(Luận văn thạc sĩ) rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN VỀ
ĐƯỜNG TRỊN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9
TRUNG HỌC CƠ CỞ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.01.11

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIỀU OANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN VỀ
ĐƯỜNG TRỊN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9
TRUNG HỌC CƠ CỞ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.01.11

Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Nguyễn Chí Thành
người Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn
này.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Giáo
Dục _Đại họcQuốc Gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường THCS Đền Lừ,
Hoàng Mai, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học
tập, công tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của
các thầy cô giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Kiều Oanh

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

PBT

Phiếu bài tập

THCS

Trung học cơ sở

SGK

Sách giáo khoa

ii


DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1: Đánh giá kết quả kiểm tra về kỹ năng khai thác bài toán ...................79
Bảng 3.2: Đánh giá kết quả kiểm tra về kỹ năng vẽ thêm đường phụ ................79

iii


DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ

Biểu đồ tần suất 3.1: Kết quả kiểm tra nội dung khai thác bài toán của lớp
9A....................................................................................................................80
Biểu đồ tần suất 3.2: Kết quả kiểm tra nội dung khai thác bài toán của lớp
9C....................................................................................................................81
Biểu đồ tần suất 3.3: Kết quả kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ của lớp
9A...................................................................................................................81
Biểu đồ tần suất 3.4: Kết quả kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ của lớp
9C…………………………………………………………………………..82

iv


MỤC LỤC
Lời cảm ơn .............................................................................................................. i
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt..................................................................ii
Danh mục các bảng ...............................................................................................iii
Danh mục các biểu đồ .......................................................................................... iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Khách thể nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 2

5. Giả thuyết nghiên cứu ................................................................................ 2
6. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 2
7. Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu .............................................................. 2
8. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 3
9. Nghiên cứu luận cứ .................................................................................... 3
10. Cấu trúc luận văn...................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN
CỨU ....................................................................................................................... 5
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập tốn ........................................................ 5
1.1.1. Vai trị và ý nghĩa của việc giải bài tập tốn ở trường phổ thơng .......... 5
1.1.2. Chức năng của giải bài tập toán ............................................................ 6
1.2. Kỹ năng ................................................................................................... 7
1.2.1. Kỹ năng là gì? ...................................................................................... 7
1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng ......................................................................... 8
1.2.3. Sự hình thành và phát triển kỹ năng ...................................................... 8
1.2.4. Phân biệt kỹ năng với năng lực ........................................................... 10
v


1.3. Giải toán và kỹ năng giải toán ............................................................... 11
1.3.1. Kỹ năng giải tốn ............................................................................... 11
1.3.2. Sự hình thành kỹ năng giải toán......................................................... 12
1.3.3. Dạy học phương pháp giải bài tập toán ............................................... 13
1.4. Chứng minh toán học và dạy học chứng minh ....................................... 17
1.4.1. Chứng minh ........................................................................................ 17
1.4.2. Bác bỏ ................................................................................................ 18
1.4.3. Chứng minh phản chứng..................................................................... 18
1.4.4. Dạy học chứng minh........................................................................... 19
1.4.5. Phân loại chứng minh: ........................................................................ 19
1.4.6. Phương pháp tìm tịi chứng minh ........................................................ 19

1.5. Một số kỹ năng giải một bài tốn chứng minh hình học......................... 20
1.5.1. Kỹ năng vẽ hình ................................................................................. 20
1.5.2. Kỹ năng tìm hướng giải ...................................................................... 20
1.5.3. Kỹ năng vẽ thêm hình phụ trong chứng minh ..................................... 21
1.5.4. Kỹ năng nghiên cứu lời giải bài tốn (phát hiện lỗi sai, đặc biệt hóa,
khái qt hóa, tương tự hóa) ......................................................................... 21
1.6. Dạy học rèn luyện kỹ năng giải tốn chứng minh .................................. 22
1.6.1. Phân tích chương trình sách giáo khoa................................................ 22
1.6.2. Nội dung các dạng tốn chứng minh đường trịn................................ 22
1.6.3. Đối tượng học sinh khá giỏi ............................................................... 23
1.6.4. Một phần thực trạng dạy học giải tốn chứng minh đường trịn .......... 23
1.7. Một số khó khăn của học sinh khi giải bài tốn chứng minh hình học về
đường trịn .................................................................................................... 23

vi


1.8. Một số khó khăn của giáo viên trong dạy học giải tốn chứng minh hình
học về đường trịn ........................................................................................ 24
Kết luận chương 1 ................................................................................................ 24
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
TOÁN CHỨNG MINH VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9 ..... 26
2.1. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh đường tròn .. 26
2.1.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ đúng hình theo yêu cầu
đề bài............................................................................................................ 26
2.1.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp chứng
minh bài tốn................................................................................................ 27
2.1.3. Biện pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm hướng
giải quyết bài tốn ........................................................................................ 29
2.1.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tìm nhiều cách giải khác nhau cho một

bài toán......................................................................................................... 30
2.1.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải .............................. 30
2.1.6. Biện pháp 6: Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm hình phụ cho học sinh ........ 32
2.1.7. Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán............................. 36
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán về đường
tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9 ................................................................... 48
2.2.1. Một số chú ý khi xây dựng hệ thống bài tập ....................................... 49
2.2.2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau............................................... 50
2.2.3. Các bài toán chứng minh quan hệ song song, vng góc của hai đường
thẳng ............................................................................................................ 52
2.2.4. Các bài tốn chứng minh tính chất của các phần tử và xác định hình
dạng của các đa giác đặc biệt........................................................................ 54
2.2.5. Các bài toán chứng minh các hệ thức.................................................. 57
vii


2.2.6. Các bài tốn chứng minh có kẻ thêm hình phụ ................................... 60
2.2.7. Các bài toán tổng hợp ......................................................................... 71
Kết luận chương 2 ................................................................................................ 72
CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................... 74
3.1. Mục đích ............................................................................................... 74
3.2. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................. 74
3.2.1. Chọn lớp thực nghiệm ........................................................................ 74
3.2.2. Phương pháp thực nghiệm .................................................................. 75
3.2.3. Thời gian thực nghiệm........................................................................ 75
3.3. Nội dung thực nghiệm ........................................................................... 75
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................... 78
3.4.1. Thống kê kết quả kiểm tra .................................................................. 78
3.4.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .............................................. 79
Kết luận chương 3 ........................................................................................ 82

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................. 84
PHỤ LỤC ............................................................................................................ 85

viii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời kỳ cả nước đang tiến nhanh trên con đường cơng nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát
triển không ngừng, nhất là đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) là một vấn
đề đáng được đề cập, nghiên cứu và bàn luận rất sôi nổi. Đặc biệt đối với bộ
mơn tốn là một bộ mơn khoa học trừu tượng song có ý nghĩa vơ cùng quan
trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung và dạy tốn ở nhà trường THCS
nói riêng.
Dạy như thế nào để HS không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là
một câu hỏi mà mỗi GV chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Trong quá trình giảng dạy, việc đánh giá chất lượng năng lực hay khả
năng tiếp thu kiến thức của HS chủ yếu là thông qua giải bài tập. Thông qua
việc giải bài tập, HS có thể củng cố, hồn thiện, khắc sâu, nâng cao những nội
kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc giải toán là hình thức chủ
yếu của hoạt động tốn học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo. Dạy giải
bài tập tốn cho HS có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát huy
tính tích cực, gây hứng thú học tập cho HS, yêu cầu HS có kỹ năng vận dụng
kiến thức vào tình huống mới, có năng lực độc lập suy nghĩ.
Đối với HS lớp 9, ngoài việc truyền đạt kiến thức cơ bản theo chương
trình đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận HS khá,
giỏi. Đây là một việc rất cân thiết, phải được tiến hành thường xuyên để tao

điều kiện cho các em phát huy được năng lực trí thơng minh sáng tạo. Từ đó
tạo tiền đề cho các em học toán các lớp THPT.
Thực tiễn dạy học cho thấy: Mơn hình học lớp 9 là mơn học khó đối
với các em. Nội dung hình học trong các bài thi vào THPT, tập trung nhiều
vào các bài toán về đường tròn. Trong khi HS còn lúng túng trong giải tốn
như: chứng minh hình học, dựng hình, tìm tập hợp điểm … về đường tròn.
1


Với những lí do trên và trong khn khổ của luận văn Thạc sĩ tôi chọn
đề tài: “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tốn về đường trịn cho
học sinh khá giỏi lớp 9 – Trung học cơ sở”

2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở tổng quan các khái niệm về giải tốn chứng minh và phân
tích chương trình, sách giáo khoa cũng như một phần thực trạng dạy học giải
toán chứng minh để xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp
rèn kỹ năng giải tốn chứng minh hình học về đường trịn cho HS, qua đó
phát triển năng lực giải tốn cho HS.
3. Khách thể nghiên cứu
Chương trình sách giáo khoa mơn Tốn lớp 9 và dạy học giải tốn
chứng minh hình học cho HS lớp 9 trường THCS Đền Lừ, Hoàng Mai, Hà
Nội.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các kỹ năng giải toán và các biện pháp rèn kỹ năng giải toán về chứng
minh về đường tròn cho HS.
5. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập phù hợp và có biện pháp dạy học
thích hợp thì sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải tốn chứng minh hình học về
nội dung đường tròn cho HS.

6. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu giải tốn chứng minh về đường trịn theo chương trình
sách giáo khoa lớp 9 và tài liệu tham khảo lớp 9 phần hình học.
- Thời gian: Học kỳ 1 năm học 2014 – 2015.
7. Nhiệm vụ và nội dung nghiên cứu
7.1. Nhiệm vụ nghiên cứu

2


- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của dạy học giải toán chứng
minh.
- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển kĩ năng giải toán cho HS.
- Đề xuất một số biện pháp rèn kỹ năng giải tốn về đường trịn cho
HS.
7.2. Nội dung nghiên cứu
- Các vấn đề lý luận về dạy học giải toán, dạy học chứng minh và dạy
học rèn luyện kĩ năng.
- Vấn đề về rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình học về nội dung
đường trịn cho HS lớp 9.
8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học mơn Tốn, tâm lý học,lý luận
và phương pháp dạy học mơn Tốn.
- Các sách báo, tạp chí, các bài viết, luận văn liên quan đến đề tài.
8.2. Điều tra quan sát
- Dự giờ, quan sát việc dạy của GV, việc học của HS ở các lớp 9 của trường
THCS Đền Lừ về nội dung đường tròn.
- Điều tra HSkhá giỏi lớp 9 của trường THCS Đền Lừ.
8.3. Thực nghiệm sư phạm

- Kiểm chứng giả thuyết khoa học và tính khả thi của biện pháp đề xuất.
9. Nghiên cứu luận cứ
9.1. Luận cứ lý thuyết
- Khái niệm về kỹ năng, đặc điểm của kỹ năng, sự hình thành kỹ năng.
- Vấn đề rèn kỹ năng giải tốn chứng minh hình học về đường trịn cho
HS lớp 9.
- Các biện pháp rèn kỹ năng giải tốn về đường trịn cho HS lớp 9.

3


9.2. Luận cứ thực tế
Dựa vào việc quan sát việc dạy và học giải tốn chứng minh hình học
về nội dung đường tròn cho HS lớp 9 tại trường THCS Đền Lừ.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn trong dạy học giải toán chứng
minh về đường tròn
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải tốn chứng minh
về đường trịn cho HS lớp 9
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập tốn
1.1.1. Vai trị và ý nghĩa của việc giải bài tập tốn ở trường phổ thơng
Theo G. Polya: “Trong tốn học, nắm vững bộ mơn tốn quan trọng

hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy ma ta có thể bổ sung nhờ một
cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong
các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức
nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào
đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững mơn tốn? Đó là biết
giải tốn” [12,tr.82].
Vai trị: Tốn học có vai trị lớn trong đời sống, trong khoa học và
cơng nghệ hiện đại, kiến thức tốn học là công cụ để HS học tốt các môn học
khác, giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói: “Một
khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của
tốn học”[9,tr.5].
Mơn tốn có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ
như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa. Rèn luyện
những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính
xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo.
Ý nghĩa:Ở trường phổ thơng giải bài tập tốn là hình thức tốt nhất để
củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận
dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn
đề mới, là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu
và khả năng vận dụng kiến thức đã học.
Các bài tập tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả
và khơng thể thay thế được trong việc giúp HS nẵm vững tri thức, phát triển
5


tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Việc giải
bài tập tốn có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho HS nhằm
phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện HS về nhiều mặt.
Việc giải một bài tốn cụ thể khơng những nhằm một dụng ý đơn nhất
đơn nhất nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên.

1.1.2. Chức năng của giải bài tập toán
Mỗi bài tập toán đặt ra ở thời điểm nào đó của q trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
 Chức năng dạy học;
 Chức năng giáo dục;
 Chức năng phát triển;
 Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
 Chức năng dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho HS
những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học.
 Chức năng giáo dục: Bài tập tốn nhằm hình thành cho HS thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
 Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho
HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm
chất của tư duy khoa học.
 Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng
kiến thức và trình độ phát triển của HS.

6


1.2. Kỹ năng
1.2.1. Kỹ năng là gì?
Trong tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó nhằm đạt một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu
tạm thời tách kiến thức và kĩ năng để xem xét riêng thì kiến thức thuộc phạm

vi nhận thức, thuộc khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động,
thuộc khả năng “biết làm”.
Theo [1, tr. 548]: “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào
thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để
thực hiện việc gì”
Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng.
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có
được để đạt được mục đích, kỹ năng cịn có thể đặc trưng như tồn bộ các thói
quen nhất định; kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. G. Polya đã
khẳng định rằng: “Trong tốn học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh nhận được kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều những
kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [12, tr.99]
Như vậy, có nhiều cách phát biểu khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên
trong các cách phát biểu về kỹ năng, vẫn có thể tìm ra những điểm chung, đó
là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để
đạt được mục đích đã thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt
được mục đích đã định. Khi nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả
khi hành động sẽ diễn ra. Khi nói đến kỹ năng là nói đến sự nắm vững cách
thức thực hiện các thao tác, trình tự thực hiện các thao tác. Vậy ta có thể hiểu
về kỹ năng như sau:
Kỹ năng là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có
một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết
7


quả một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến
cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được
mục đích đã định. Kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức,

nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kỹ năng mới phù
hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc
sống. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát
triển trong hoạt động và bằng hoạt động.
1.2.2. Đặc điểm của kỹnăng
Theo [6, tr. 13] thì trong vận dụng ta thường chú ý tới các đặc điểm của kỹ
năng:
 Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích đến biết cách thức
đi tới kết quả, rồi đến hiểu các điều kiện để triển khai các cách thức đó.
 Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và
tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động.
Vây muốn có kỹ năng về một hành động nào đó thì cần phải:
 Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được mục
đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả,
để thực hiện hành động.
 Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
 Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
 Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
-

Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải

qua thời gian đủ dài.
1.2.3. Sự hình thành và phát triểnkỹ năng
1.2.3.1. Sự hình thành kỹ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kỹ năng trước hết cần có
kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho
8

đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu. Do kiến thức
là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức học sinh cần nắm được mà có
những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng.
Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết
các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường
phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc
tính mới. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu
tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt
nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đà cho.
Con đường hình thành kỹ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các
tham số như: Kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn luyện kỹ năng, mức độ
tích cực, chủ động của học sinh. Có hai con đường để hình thành kĩ năng cho
HS đó là:
- Truyền thụ cho HS những trí thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho HS
những bài toán vận dụng những tri thức đó. Từ đó, HS sẽ phải tìm tòi cách
giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (Thử các
phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định
hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt
động.
- Dạy cho HS nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được
đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài
toán cụ thể.
Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo dựng cho HS khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các
thông tin chứa đựng trong bài toán.
Khi hình thành kỹ năng cho HS cần tiến hành:
- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đà cho, yếu tố phải
tìm và mối quan hệ gi÷a chóng.

9


- Giúp HS hình thành một mơ hình khái qt để giải các bài toán cùng
loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tốn mơ hình khái qt và kiến
thức tương ứng.
Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khó
khăn trong sự vận dụng kiến thức phụ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu
nhiệm vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệ
vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đính nhất định.
Sự hình thành kỹ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:
- Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che
phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình
thành kỹ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng. Vì
thế, tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS trong việc hình thành kỹ
năng.
- Có khả năng khái quát hóa đối tượng một cách toàn thể.
1.2.3.2. Sự phát triển kỹ năng
Rõ ràng kỹ năng được phát triển qua việc thực hành. Để thông thạo một
kỹ năng địi hỏi phải thực hành có trọng điểm với một thời lượng nhất định.
Trong quá trình thực hành cần thay đổi và định hình những gì mình đã học
được.
1.2.4. Phân biệt kỹ năng với năng lực
Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng
được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành tốt hoạt động đó.
Thơng thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm

vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết
quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng
tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hồn cảnh tương đương.
10


Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất
định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động
giải quyết những yêu cầu đặt ra.
Trong khuôn khổ của luận văn, tác giả đưa ra các biện pháp rèn kỹ
năng toán học cho HS, cụ thể là kỹ năng giải tốn về đường trịn cho HS, hình
thức thấp hơn năng lực toán học.
1.3. Giải toán và kỹ năng giải toán
1.3.1. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải
các bài tập Tốn học (tìm tịi, suy đốn, suy luận, chứng minh …).
Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến
thức, kỹ năng, phương pháp. HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình
luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển,
đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Tốn học.
Kỹ năng tốn học được hình thành và phát triển thơng qua việc thực
hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong mơn Tốn. Kỹ
năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Sựtrừu tượng hóa trong Tốn học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn
luyện cho HS những kỹ năng trên những bình diện khác nhau.
Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn Tốn: Là sự thể hiện mức
độ thơng hiểu tri thức Tốn học. Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ
vận dụng được để làm toán.
Kỹ năng vận dụng tri thức coán học vào các mơn học khác: Kỹ năng
trên bình diện này thể hiện vai trị cơng cụ của Tốn học đối với những mơn

học khác, điều này thể hiện tính liên mơn giữa các mơn học trong nhà trường
địi hỏi người GV dạy Tốn cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy bộ học
bộ mơn.
Kỹ năng vận dụng Tốn học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng
của mơn Tốn, nó cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
11


1.3.2. Sự hình thành kỹ năng giải tốn
“Giải tốn là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt
tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo
những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành” (Đề Các)
Việc hình thành một kỹ năng nào đó gồm ba bước:
 Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động.
 Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu.
 Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó
nhằm đạt được mục đích đề ra.
Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành kỹ năng cho HS, khó có thể
phân chia được rạch rịi theo các giai đoạn nói trên. Chẳng hạn, khi thực hiện
hành động giải toán, HS chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà
chính trong q trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri
thức cần thiết. Điều đó chứng tỏ giữa tri thức và kỹ năng là hai mặt không thể
tách rời của hành động học. Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của GV
sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của HS. Cũng như các kỹ năng khác, kỹ
năng giải tốn cũng được hình thành qua bắt chước và tập luyện. Để kỹ năng
giải toán được rèn luyện và vận dụng trong quá trình nhận thức, trước hết HS
phải thấy rõ tác dụng của những kỹ năng thành phần, mối quan hệ giữa chúng
trong việc giải quyết một bài toán cũng như quy trình thực hiện.
Khi dạy các kỹ năng, điều quan trọng là không dạy quá nhiều kỹ năng
cùng một lúc. Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chia thành một

chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi
bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ
cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp.
Tùy theo từng nội dung kiến thức mà GV có những yêu cầu rèn luyện
kỹ năng tương ứng cho HS.

12


1.3.3. Dạy học phương pháp giải bài tập tốn
Trong mơn Tốn ở trường phổ thơng có nhiều bài tốn chưa có hoặc
khơng có thuật giải và cũng khơng có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
cả các bài tốn. Chúng ta chỉ có thể thơng qua việc dạy hoc giải một số bài
toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho HS cách thức, kinh nghiệm trong việc
suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho mỗi bài tốn.
Dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời
giải bài toán. Biết lời giải của bài tốn khơng quan trọng bằng làm thế nào để
giải được bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của HS, phát triển tư duy,
GV phải hình thành chung cho HS một quy trình chung, phương pháp tìm lời
giải cho một bài toán.
Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh giải tốn theo qui trình bốn bước
của G. Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải tốn theo quy trỡnh ny.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán.
- Phân biệt cái đà cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đà cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đà cho, cái

phải tìm với những tri thức đà biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán
tương tự, một trường hợp riêng, một trường hợp tổng quát,
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bước thực hiện.
- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đà được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

13


- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Vớ d minh ha:
Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB (đường kính của một
đường trịn chia đường trịn đó thành hai nửa đường trịn).Gọi Ax, By là các
tia vng góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp
tuyến với nửa đường trịn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh
rằng:
= 900

a)

b) CD = AC + BD
c) Tích AC.BD khơng đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường trịn
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Giả thiết của bài toán gồm:
 Ax, By ^ AB

 Ax, By, nửa (O) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB
 M là tiếp điểm của CD và nửa (O)
 M khác A, B
Yêu cầu:
 Góc COD bằng 900
 AC + BD = CD
 AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa (O)
Bước 2: Tìm cách giải
)

= 900

Sơ đồ chứng minh:
= 900

OC ^ OD

14



O + O = 900

O =O ;O =O

AC, DC là các tiếp
tuyến
BD, DC là các tiếp
Hình 1.1

tuyến

Một hướng khác là có thể chứng minh C + D = 900
b) CD = AC + BD
Sơ đồ chứng minh
CD = AC + BD

CD = CM + DM

CM = AC; DM = DB

CA, CM là hai tiếp tuyến của nửa (O) cắt nhau tại C
DB, DM là hai tiếp tuyến của nửa (O) cắt nhau tại D
c) Tích AC.BD khơng đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
Sơ đồ chứng minh
AC.BD không đổi

CM.MD không đổi (do AC = CM; BD = MD)

CM.MD = OM2 = AB/2


15