Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (191.84 KB, 5 trang )
ứng
ứng ứng
ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa
dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa
dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số
tham số tham số
tham số trần mạnh sâm
trần mạnh sâm trần mạnh sâm
trần mạnh sâm
thpt lạng giang số 2
thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2
thpt lạng giang số 2
Th vin Sỏch Online
1
I. KIN THC CN NH
Cho hm s
( )
y f x=
liờn tc trờn tp
D
1. Phng trỡnh
( )
f x m=
cú nghim
x D
( ) ( )
min max
x D
x D
f x m f x
2. Bt phng trỡnh
( )
f x m
cú nghim
x D
( )
min
x D
f x m
3. Bt phng trỡnh
( )
f x m
cú nghim ủỳng
vi
x D
( )
max
x D
f x m
4. Bt phng trỡnh
( )
f x m
cú nghim x D
( )
max
x D
f x m
5. Bt phng trỡnh
( )
f x m
cú nghim ủỳng
vi
x D
( )
min
x D
f x m
II. PHNG PHP GII
gii bi toỏn tỡm giỏ tr ca tham s
m
sao
cho phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh
cú nghim ta lm nh sau:
1. Bin ủi phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng:
( ) ( )
f x g m=
( hoc
( ) ( ) ( ) ( )
;f x g m f x g m
)
2. Tỡm TX
D
ca hm s
( )
y f x=
3. Lp bng bin thiờn ca hm s
( )
y f x=
trờn
D
4. Tỡm
( ) ( )
min ;max
x D
x D
f x f x
5. Vn dng cỏc kin thc cn nh bờn trờn suy ra
giỏ tr
m
cn tỡm
Lu ý:
Trong trng hp PT, BPT, HPT cha cỏc
biu thc phc tp ta cú th ủt n ph:
+ t
( )
t x
=
(
( )
x
l hm s thớch hp cú mt
trong
( )
f x
)
+ T ủiu kin rng buc ca
x D
ta tỡm ủiu
kin
t K
+ Ta ủa PT, BPT v dng
( ) ( )
f t h m
=
( hoc
( ) ( ) ( ) ( )
;
f t h m f t h m
)
+ Lp bng bin thiờn ca hm s
( )
y f t
=
trờn
K
+ T bng bin thiờn ta suy ra kt lun ca bi toỏn
III. MT S V D MINH HA
Vớ d 1.(B-06). Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú 2
nghim thc phõn bit
2
2 2 1
x mx x
+ + = +
Gii:
2
2 2 1
x mx x
+ + = +
( )
( )
2
2
2
1
2 1 0
2
2 2 1
3 4 1 *
x
x
x mx x
mx x x
+
+ + = +
= +
Xột phng trỡnh
( )
*
+
0 0. 1
x x= =
, phng trỡnh ny vụ
nghim. Ngha l khụng cú giỏ tr no ca
m
ủ
phng trỡnh cú nghim
0
x =
+
1
0 3 4
x x m
x
+ = . Ta xột hm s
( )
1
3 4f x x
x
= + trờn tp
{ }
1
; \ 0
2
+
Ta cú
( )
2
1
' 3 0
f x
x
= + > vi
{ }
1
; \ 0
2
x
+
,
suy ra hm s
( )
1
3 4f x x
x
= +
ủng bin trờn
{ }
1
; \ 0
2
+
( )
0 0
1
lim lim 3 4
x x
f x x
x
= + =
m
;
( )
1
lim lim 3 4
x x
f x x
x
+ +
= + = +
Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f x
S nghim ca phng trỡnh (1) bng s giao ủim
ca ủ th hm s
( )
1
3 4f x x
x
= + v ủng thng
y m
=
trờn min
{ }
1
; \ 0
2
+
Da vo bng bin thiờn ta ủc giỏ tr ca m tha
món yờu cu bi toỏn l
9
2
m
Vớ d 2. Tỡm m ủ phng trỡnh
(
)
( )
2
2 2 1 2 0m x x x x + + +
cú nghim
thuc
0;1 3
+
Gii:
t
2
2 2t x x
= +
( )
2
2 2x x t
=
.
x
f(x)
f(x)
1 / 2
0
+
+
+
+
+
9
2
ứng
ứng ứng
ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa
dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa
dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số
tham số tham số
tham số trần mạnh sâm
trần mạnh sâm trần mạnh sâm
trần mạnh sâm
thpt lạng giang số 2
thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2
thpt lạng giang số 2
Th vin Sỏch Online
2
Khi ủú bt phng trỡnh tr thnh:
( )
2
1 2m t t
+
(*)
Ta cú
2
1
' , ' 0 1
2 2
x
t t x
x x
= = =
+
Ta cú bng bin thiờn :
T ủú ta cú
1 2t
, t (*) suy ra
2
2
1
t
m
t
+
(1)
Xột hm s
( )
2
2
1
t
f t
t
=
+
trờn tp
[ ]
1;2
Ta cú
( )
( )
( )
2
2
1 1
' 0
1
t
f t
t
+ +
= >
+
vi
[ ]
1;2t
Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f t
Bt phng trỡnh ủó cho cú nghim
0;1 3x
+
bt phng trỡnh
( )
1
cú nghim
[ ]
1;2t
[ ]
( ) ( )
1;2
2
max 2
3
m f t f = =
Vớ d 3.(A-08). Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú 2
nghim thc phõn bit
( )
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m m+ + + = Ă
Gii
iu kin:
0 6
x
Xột hm s
( )
4 4
2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + +
trờn tp
[ ]
0;6
Ta cú
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
4 2 4 2
2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + +
( ) ( ) ( )
3 1
4 2
1 1
' 2 .2 2 .2
4 2
f x x x
= + +
( ) ( ) ( ) ( )
3 1
4 2
1 1
2. 6 . 1 2. 6 . 1
4 2
x x
+
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1 1
. .
2 2
2 6
2 6
x x
x x
= +
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1
.
2
2 6
2 6
x x
x x
= +
( )
( )
( )
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
.
2
2 6
2 6
2 6
x x
x x
x x
= + +
4 4 4 4
1 1 1 1
2 6 2 6
x x x x
+ +
( )
( )
( )
4 4 4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 6 2 6
2 6
2 6
x x x x
x x
x x
= + + + +
ta cú
( )
( )
( )
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
0
2
2 6
2 6
2 6
x x
x x
x x
+ + + + >
vi
( )
0;6x
( )
4 4
' 0 2 6 2 6 2f x x x x x x= = = =
Ta cú bng bin thiờn
S nghim ca phng trỡnh ủó cho bng s giao
ủim ca ủ th hm s
( )
y f x=
v ủng thng
y m
=
trờn min
[ ]
0;6
Da vo bng bin thiờn ta ủc giỏ tr ca m tha
món yờu cu bi toỏn l
4
2 6 2 6 3 2 6m
+ < +
Vớ d 4.(B-07) Chng minh rng vi mi giỏ tr
dng ca tham s m, phng trỡnh sau cú 2
nghim thc phõn bit:
( )
2
2 8 2x x m x
+ =
Gii: iu kin: do
0 2m x
>
. Ta cú:
( )
2
2 8 2x x m x
+ =
( )( ) ( )
2 4 2x x m x
+ =
( )( ) ( )
2
2
2 4 *
x
x x m
=
+ =
x
t
t
0
+
-
1 3
+
1
0
2
1
2
t
f(t)
f(t)
1
+
2
2
3
1
2
x
f(x)
f(x)
0
-
+
6
2
0
4
2 6 2 6
+
3 2 6
+
4
12 2 3
+
øng
øng øng
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa
dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa
dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè
tham sè tham sè
tham sè trÇn m¹nh s©m
trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m
trÇn m¹nh s©m –
––
– thpt l¹ng giang sè 2
thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2
thpt l¹ng giang sè 2
– Thư viện Sách Online
3
Nhận thấy phương trình ñã cho luôn có 1 nghiệm
2x
=
, ñể chứng minh khi
0m
>
phương trình ñã
cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương
trình
( )
*
luôn có một nghiệm thực
2x
>
khi
0m
>
Xét hàm số
( ) ( )( )
2
3 2
2 4 6 32f x x x x x
= − + = + −
trên tập
( )
2;+∞
Ta có
( )
2
' 3 12 0f x x x= + >
với
2x
∀ >
( )
3
3
6 32
lim lim 1
x x
f x x
x x
→+∞ →+∞
= + − = +∞
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao ñiểm
của ñồ thị hàm số
( )
y f x=
và ñường thẳng
y m=
trên miền
( )
2;+∞
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi
0m
>
thì
phương trình (*) luôn có 1 nghiệm
2x
>
Vậy với
0m
>
thì phương trình ñã cho luôn có 2
nghiệm thực phân biệt
Ví dụ 5. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm:
2 2
2 4 2 4x x x x m+ + − − + =
Giải:
Vì
( )
2
2
2 4 1 3 3 0,x x x x
± + = ± + ≥ > ∀ ∈
¡ nên
TXð:
D
= ¡
Xét hàm số
( )
2 2
2 4 2 4
f x x x x x
= + + − − +
trên
¡
Ta có:
( )
2 2
1 1
'
2 4 2 4
x x
f x
x x x x
+ −
= −
+ + − +
( )
' 0f x = ⇔
2 2
1 1
0
2 4 2 4
x x
x x x x
+ −
− =
+ + − +
( ) ( )
2 2
1 2 4 1 2 4x x x x x x⇔ + − + = − + + (*)
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 2 4 1 2 4x x x x x x⇒ + − + = − + +
4 3 2 3 2 2
2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x⇔ − + + − + + − + =
4 3 2 3 2 2
2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x+ + − − − + + +
0x⇔ =
Thay
0x =
vào phương trình (*) ñược: 1 = - 1. Vậy
phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra
( )
'f x
chỉ mang
1 dấu (không ñổi dấu), có
( )
' 0 1 0f = >
( )
' 0,f x x⇐ > ∀ ∈¡
Ta có
( )
(
)
2 2
lim lim 2 4 2 4
x x
f x x x x x
→+∞ →+∞
= + + − − +
2 2
4
lim
2 4 2 4
x
x
x x x x
→+∞
=
+ + + − +
2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
x
x x x x
→+∞
=
+ + + − +
2=
( )
(
)
2 2
lim lim 2 4 2 4
x x
f x x x x x
→−∞ →−∞
= + + − − +
2 2
4
lim
2 4 2 4
x
x
x x x x
→−∞
=
+ + + − +
2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
x
x x x x
→−∞
=
− + + − − +
2= −
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao
ñiểm của ñồ thị hàm số
( )
y f x=
và ñường thẳng
y m=
trên ¡
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
2 2m⇔ − < <
Ví dụ 6. Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm
2
3 2
3 4 0
3 15 0
x x
x x x m m
− − ≤
− − − ≥
Giải:
Ta có:
2
3 4 0 1 4x x x− − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm
⇔
3 2
3 15 0x x x m m− − − ≥
có nghiệm
[ ]
1;4x∈ −
3 2
3 15x x x m m⇔ − ≥ +
có nghiệm
[ ]
1;4x∈ −
ðặt
( )
3 2
3
3 2
3 1 0
3
3 0 4
x x khi x
f x x x x
x x khi x
+ − ≤ <
= − =
− ≤ ≤
Ta có
x
f’(x)
f(x)
2
+
+∞
0
+∞
x
f’(x)
f(x)
-
∞
+
+∞
-2
2
øng
øng øng
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa
dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa
dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè
tham sè tham sè
tham sè trÇn m¹nh s©m
trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m
trÇn m¹nh s©m –
––
– thpt l¹ng giang sè 2
thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2
thpt l¹ng giang sè 2
– Thư viện Sách Online
4
( )
2
2
3 6 1 0
'
3 6 0 4
x x khi x
f x
x x khi x
+ − < <
=
− < <
( )
' 0 0; 2f x x x= ⇔ = = ±
Ta có bảng biến thiên :
( )
2
15f x m m≥ +
có nghiệm
[ ]
1;4x∈ −
[ ]
( )
2
1;4
max 15
f x m m
−
⇔ ≥ +
2
16 15
m m
⇔ ≥ +
2
15 16 0 16 1
m m m
⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
16 1
m
⇔ − ≤ ≤
Ví dụ 7. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm:
3 3
sin cos
x x m
+ =
Giải
( )( )
3 3
sin cos sin cos 1 sin .cosx x m x x x x m+ = ⇔ + − =
ðặt
sin cos 2.sin
4
t x x x
π
= + = +
,
2 2t− ≤ ≤
Khi ñó:
( )
2
2
sin cos sin cos
t x x t x x
= + ⇒ = +
2
1
sin .cos
2
t
x x
−
⇒ =
Phương trình trở thành:
2
3
1 1 3
1
2 2 2
t
t m t t m
−
− = ⇔ − + =
Xét hàm số
( )
3
1 3
2 2
f t t t
= − + trên tập
2; 2
−
Ta có:
( )
2
3 3
'
2 2
f t t= − +
( )
' 0f t = ⇔
2
3 3
0 1
2 2
t t
− + = ⇔ = ±
Ta có bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao
ñiểm của ñồ thị hàm số
( )
y f t=
và ñường thẳng
y m=
trên
2; 2
−
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
1 1
m
⇔ − ≤ ≤
Ví dụ 8: Tìm m ñể bất phương trình sau có
nghiệm:
3 1
mx x m
− − ≤ +
(1)
Giải:
ðặt
3 0
t x
= − ≥
2
3
x t
⇒ = +
. Khi ñó bất phương
trình trở thành:
( )
2
3 1
m t t m
+ − ≤ +
( )
2
2 1
m t t
⇔ + ≤ +
2
1
2
t
m
t
+
⇔ ≥
+
(*)
Xét hàm số
( )
2
1
2
t
f t
t
+
=
+
trên
( )
0;+∞
Ta có:
( )
( )
2
2
2
2 2
'
2
t t
f t
t
− − +
=
+
( )
2
' 0 2 2 0 1 3f t t t t= ⇔ − − + = ⇔ = − ±
( )
1
1
lim lim 0
2
x x
t
f t
t
t
→+∞ →+∞
+
= =
+
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình
(1) có nghiệm
⇔ bất phương trình (*) có nghiệm
0
t
> ⇔
( )
( )
0;
3 1
max
4
f t m m
+∞
+
≥ ⇔ ≤
Ví dụ 9.(A-07) Tìm m ñể phương trình sau có
nghiệm
:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
Giải:
ðiều kiện:
1
x
≥
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ − + =
+ +
(1)
ðặt
4
1
1
x
t
x
−
=
+
, khi ñó phương trình (1) trở thành:
2
3 2
t t m
− + = (*)
x
f’(x)
f(x)
-1
+
4
-4
2
0 2
0
0
- -
16
t
f’(t)
f(t)
-
2
-
-1
2
2
−
-1 1
0
0
+ -
2
1
2
2
t
f’(t)
f(t)
0
-
+∞
3 1
4
+
1
2
1 3− +
0
+
0
øng
øng øng
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa
dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa
dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè
tham sè tham sè
tham sè trÇn m¹nh s©m
trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m
trÇn m¹nh s©m –
––
– thpt l¹ng giang sè 2
thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2
thpt l¹ng giang sè 2
– Thư viện Sách Online
5
Ta có
1
x
≥ 0
t
⇒ ≥
và
4
2
1 1
1
t
x
= − <
+
, vậy
0 1
t
≤ <
Xét hàm số
( )
2
3 2f t t t= − +
trên tập
[
)
0;1
Có
( ) ( )
1
' 6 2; ' 0 6 2 0
3
f t t f t t t= − + = ⇔ − + = ⇔ =
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao
ñiểm của ñồ thị hàm số
( )
y f t=
và ñường thẳng
y m=
trên miền
[
)
0;1
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
1
1
3
m
⇔ − < ≤
Ví dụ 10. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm
( )( )
1 8 1 8x x x x m+ + − + + − =
ðiều kiện:
1 8
x
− ≤ ≤
ðặt
1 8
t x x
= + + −
Ta có:
1 1
'
2 1 2 8
t
x x
= −
+ −
với
1 8
x
− < <
' 0
t
= ⇔
1 1
0
2 1 2 8x x
− =
+ −
1 8
x x
⇔ + = −
7
1 8
2
x x x
⇔ + = − ⇔ =
Ta có bảng biến thiên:
Từ ñó dẫn ñến
3 3 2t≤ ≤
Có
( )
2
2
1 8 1 8t x x t x x= + + − ⇒ = + + −
( )( )
2
9
1 8
2
t
x x
−
⇒ + − =
, phương trình ñã cho trở
thành:
2
9
2
t
t m
−
+ =
2
2 9 2t t m⇔ + − =
Xét hàm số
( )
2
2 9f t t t= + −
trên tập
3;3 2
Ta có:
( )
' 2 2 0f t t= + >
với
3;3 2x
∀ ∈
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao
ñiểm của ñồ thị hàm số
( )
y f t=
và ñường thẳng
2y m= trên 3;3 2
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
9 6 2
6 2 9 6 2 3
2
m m
+
⇔ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤
IV. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm m ñể các phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình sau có nghiệm:
1)
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y
+ + + =
+ + + = −
2)
4
4
13 1 0x x m x− + + − =
có ñúng một nghiệm
3)
6 6
sin cos .sin 2x x m x+ =
4)
cos3 -cos 2 cos -1 0x x m x+ =
có ñúng 7 nghiệm
thuộc
;2
2
π
π
−
5)
( )( )
2
4 6 2x x x x m+ − ≤ − + nghiệm ñúng với
mọi
[ ]
4;6x∈ −
6)
2
9 9x x x x m+ − = − + +
7)
3 2 4 6 4 5x x x x m− − − + − − + =
có ñúng
hai nghiệm thực phân biệt
8)
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x m x+ = −
có ñúng 2 nghiệm
;
12 2
x
π π
∈
9) Tìm m nhỏ nhất ñể bất phương trình sau ñúng
với
[ ]
0;1x∀ ∈
:
( )
2 2
1 1m x x x x− + ≤ + +
t
f’(t)
f(t)
0
-
-1
0
1
3
1
0
+
1
3
x
t’
t
-1
-
3
3
7
2
8
0
+
3 2
t
f’(t)
f(t)
3
6
3 2
+
9 6 2+
