(Luận văn thạc sĩ) động học của phương trình komogorov chịu nhiễu markov luận văn ths toán học 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH
KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH
KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục
1

2

Kiến thức chuẩn bị.

5

1.1

Phương trình Kolmogorov tất định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục. . . . . . . . . . . . .

9

Quá trình Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toán tử sinh của nửa nhóm các tốn tử Markov. . . . . . . . . . . .

9
11

1.2.3

Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục. . . . . . . . . .

11

1.2.4

Quá trình Markov như là nghiệm của phương trình vi phân . . . . .

12

1.2.5

Quá trình Markov hai trạng thái. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.
14
2.1

Tính bền vững của hệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Tập ω- giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1
2.2.2

Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định. . . . . . . . . . . . . .
Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định. . . . . . . .

22
23

2.2.3

Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu. . . . . .

24

Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3
3

1.2.1
1.2.2

Ứng dụng.
3.0.1

Trường hợp 1: Hệ (3.2) và (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục . . . . .

3.0.2

Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và (3.3) song ổn

3.0.3

33
35

định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và tất cả các
nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên. . . . . . . .

39

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

43

i

Lời nói đầu.
Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái học và quần thể học gồm có hai lồi,
người ta thường mơ tả chúng bằng mơ hình tốn học dưới dạng các hệ phương trình vi phân:
x˙ = x f (x, y) , y˙ = yg (x, y) ,

(1)

trong đó x(t) và y(t) là mật độ quần thể của từng loài tại thời điểm t và f (x, y) , g (x, y) là tốc
độ tăng trưởng bình qn của từng lồi. Thơng thường, các hệ như vậy được gọi là các hệ
Kolmogorov.
Các hệ kiểu Kolmogorov là các mơ hình thơng dụng nhất để mơ tả sự phát triển của
quần thể trong một hệ mà tốc độ tăng trưởng bình qn của mỗi lồi phụ thuộc vào quy mơ
quần thể của cả hai lồi. Mơ hình kiểu Kolmogorov quan trọng vì mỗi quỹ đạo xuất phát
trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng thì ln nằm trong mặt phẳng này (tức là nếu
x (0) > 0, y (0) > 0) thì x (t) > 0, y (t) > 0) với mọi t > 0). Nói cách khác miền trong của góc
phần tư thứ nhất của mặt phẳng là bất biến đối với hệ (1). Đã có rất nhiều cơng trình nghiên
cứu về động lực học quần thể thông qua nghiên cứu các nghiệm dương, chẳng hạn như là tính
bền vững đều, sự diệt vong hay và sự giới nội toàn cục (xem [10, 13, 20, 11]).
Cách mơ tả hệ theo các phương trình trên đều dựa vào giả thiết các lồi sống trong một
mơi trường khơng thay đổi. Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) là các hàm tất định.
Tuy nhiên, rõ ràng rằng điều đó nói chung khơng phù hợp trong thực tế bởi vì chúng ta phải
tính đến sự các biến động của mơi trường mà có thể gây những tác động mạnh đến tính động
lực học cũng như sự phát triển bền vững của quần thể. Sự biến đổi của mơi trường có thể
được thể hiện như là các yếu tố ngẫu nhiên và điều quan trọng là chúng ta phải mơ tả chúng ở
dạng phương trình ngẫu nhiên. Tuy vậy, trong khi hệ Kolmogorov tất định (1) đã được nghiên
cứu với một lịch sử lâu dài thì hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều trong các tài
liệu tốn học và hầu như khơng có cơng trình nào nghiên cứu về phương diện thống kê. Ở
đây, chúng tôi đề cập đến một trong những nỗ lực đầu tiên theo hướng này, đó là báo báo rất
hay của Arnold [5], trong đó các tác giả đã sử dụng các lý thuyết về quá trình chuyển động
Brown để nghiên cứu các quỹ đạo mẫu của phương trình. Đối với các mơ hình phân nhánh

trong một mơi trường biến thiên, chúng ta có thể tham khảo [2, 3, 18, vv....]. Một cách trình
bày tương đối hệ thống về vấn đề này đã được đưa ra trong [1]. Gần đây, [16] xem xét ảnh
1


MỤC LỤC

hưởng của cả hai loại nhiễu là quá trình chuyển đổi Markov và ồn trắng tác động lên hệ (1),
A. Bobrowski trong [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu sự ổn định của phân phối
dừng của các hệ ngẫu nhiên (1); W. Shen, Y. Wang trong [19] nghiên cứu các hệ Kolmogorov
cạnh tranh ngẫu nhiên thông qua các phương pháp tích lệch...
Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta giả sử điều kiện mơi trường có thể chuyển đổi
ngẫu nhiên giữa hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng và lạnh, trạng thái khơ và ướt ... . Như
vậy, chúng ta có thể giả sử có một nhiễu điện báo ảnh hưởng đến trên mơ hình bằng cách
chuyển đổi hai trạng thái trong một tập hợp E = {+, −} có hai phần tử . Với các trạng thái
khác nhau, động lực học của hệ trong mô hình là khác nhau. Sự chuyển đổi ngẫu nhiên của
điều kiện mơi trường khiến cho mơ hình thay đổi từ hệ trong trạng thái + với hệ trong trạng
thái − và ngược lại.
Trong [7], các tác giả đã nghiên cứu các hệ cạnh tranh cổ điển với nhiễu điện báo. Các
tác giả chỉ ra rằng tập ω-giới hạn của các nghiệm đối với các hệ là rất phức tạp và đã thành
công trong việc mô tả một số tập hợp con của tập ω- giới hạn. Mục đích của chúng tôi là
khái quát những kết quả này bằng cách xét một hệ tổng quát và sẽ mô tả đầy đủ tất cả các
tập ω- giới hạn của các nghiệm của phương trình. Chúng tơi cũng chứng minh rằng các tập
ω- giới hạn của tất cả các nghiệm dương là như nhau và nó hấp thụ tất cả các nghiệm dương
khác. Hơn nữa, chúng tôi muốn đi xa hơn bằng cách nghiên cứu một số tính chất của phân
phối dừng. Chúng tơi chỉ ra rằng phân phối dừng (nếu nó tồn tại) sẽ có mật độ và mật độ này
hút tất cả các phân phối khác.
Để làm được điều đó, chúng tôi đưa ra 2 tham số λ1 , λ2 như là ngưỡng phát triển của hệ.
Mặc dù chưa đưa ra được biểu thức hiển để tìm các giá trị λ1 , λ2 , nhưng chúng ta có thể dễ
dàng ước lượng chúng bằng phương pháp mô phỏng thông qua các hệ số. Các tham số này

đóng một vai trị quan trọng trong thực tế vì bằng cách phân tích các hệ số, chúng ta hiểu
được dáng điệu động học của hệ.
Luận văn được chia làm 3 chương:
Chương I: Các kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là đưa ra một số khái niệm cơ bản về mơ hình cạnh tranh của
hệ Kolmogorov tất định cũng như các tính chất quan trọng của quá trình Markov hữu hạn
trạng thái với thời gian liên tục.
Chương II: Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu
Markov.
Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [23]. Trong chương này, chúng tôi mô
tả quỹ đạo động học của các nghiệm dương đối với các loại hệ cạnh tranh chịu sự tác động
của tiếng ồn điện báo. Nó cho thấy rằng các tập ω- giới hạn hấp thụ tất cả các nghiệm dương.
Chúng tôi cũng xét 3 trường hợp cụ thể về dáng điệu của các nghiệm của hệ Kolmogorov
chịu nhiễu Markov.

2


MỤC LỤC

Chương III: Ứng dụng vào mơ hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển.
Chương này đề cập đến dáng điệu của các nghiệm của hệ phương trình cạnh tranh cổ điển
Lotka- Volterra dưới tác động của nhiễu Markov. Các mơ hình cổ điển này có thể xem là thí
dụ cụ thể minh họa các kết quả trong Chương II.

3


Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình

của GS. TS Nguyễn Hữu Dư. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các
thắc mắc của tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
người thầy của mình.
Qua đây, tơi xin gửi tới các thầy cơ Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao học
Tốn khóa 2010- 2012, đặc biệt là thầy Nguyễn Hải Đăng, giảng viên khoa tốn sinh thái học
mơi trường, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, chỉ dẫn nhiệt tình trong suốt
khóa học và thời gian làm luận văn.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh chị em học viên đồng khóa và các em sinh viên
năm cuối khoa Toán- Cơ- Tin của trường đã giúp đỡ rất nhiệt tình để tơi hồn thành bản luận
văn này.
Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên
cổ vũ tơi để tơi có thể hồn thành nhiệm vụ của mình.
Hà nội, tháng 12 năm 2012
Người làm luận văn

Lê Thị Minh Thu

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị.
1.1

Phương trình Kolmogorov tất định.

Xét một hệ sinh thái đơn giản gồm có hai lồi sống trong cùng một môi trường tương đối
ổn định. Giả sử x(t), y(t) là số lượng cá thể của mỗi loài tại thời điểm t và f (tương ứng g)
là tỷ lệ tăng trưởng của loài thứ nhất (tương ứng loài thứ 2); trong đó f , g là hai hàm của hai

biến x và y.
Như thế, chúng ta có thể mô tả sự phát triển của hệ bởi các phương trình:
dx
dy
= x f (x, y) , = yg (x, y) .
dt
dt

(1.1)

Giả thiết trong các phương trình (1.1) là tỷ lệ tăng hoặc giảm của số lượng các cá thể
trong quần thể không phụ thuộc vào thời gian và rằng số lượng các quần thể đủ lớn để ta xem
x và y là các số thực không âm và không chịu sự tác động ngẫu nhiên.
Hệ (1.1) được gọi là hệ Kolmogorov.
Trong tồn bộ Luận văn này, chúng tơi ln đưa ra giả thiết là f , g cùng với đạo hàm bậc
nhất của chúng xác định và liên tục với mọi giá trị không âm của x và y và phương trình (1.1)
ln tồn tại nghiệm xác định trên [0, ∞) (do đó là duy nhất). Nhờ tính duy nhất nghiệm của
hệ, dễ dàng thấy rằng góc phần tư thứ nhất R2+ = {(u, v) : u
bất biến. Tức là nếu x(0)

0, y(0)

0 thì x(t)

0, y(t)

0, v

0} của mặt phẳng R2 là

0 với mọi t > 0. Tương tự như vậy

int R2+

phần trong
= {(u, v) : u > 0, v > 0} cũng sẽ bất biến.
Tùy theo từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm
f và g.
Mối quan hệ giữa các lồi có thể có chia làm ba loại chính:
a) Lồi thứ nhất gặp khó khăn, lồi thứ hai gặp thuận lợi, do có sự hiện diện của một yếu
tố nào đó khác (quan hệ lồi săn mồi với con mồi),

5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

b) Cả hai loài đều gặp khó khăn bởi sự hiện diện của một lồi cịn lại (mơ hình cạnh
tranh),
c) Cả hai lồi đều gặp thuận lợi bởi sự hiện diện của một loài khác (mơ hình cộng sinh).
Trong tồn bộ Luận văn này chúng ta chỉ xét các mơ hình cạnh tranh. Đó là trường hợp
mà cả hai loài sống trong một vùng lãnh thổ và cạnh tranh nhau về nguồn thức ăn hay mơi
trường. Mơ hình tốn học đầu tiên nghiên cứu hiện tượng này được đưa ra bởi Volterra (1927)
và đã đưa ra nhiều kết luận bổ ích về sự phát triển của từng lồi. Ở đây chúng tơi xét mơ hình
cạnh tranh tổng quát hơn (1.1) và cố gắng đạt được kết luận tương tự.
Để mơ tả mơ hình có tính chất cạnh tranh, chúng ta đưa ra các giả thiết sau về các hàm f
và g :
a) Sự gia tăng của một trong hai quần thể tạo ra một sự sụt giảm về tốc độ tăng trưởng
của cả hai quần thể; do đó ta có
∂f

∂f
< 0,
< 0,
∂x
∂y
∂g
∂g
< 0 và
< 0,
∂x
∂y

∀x, y ∈ R2+ .

b) Nếu cả hai quần thể đều rất nhỏ, cả hai tăng trưởng, thì
f (0, 0) > 0 và g (0, 0) > 0
c) Mỗi quần thể, ngay cả khi rất nhỏ, cũng không thể tăng thêm nếu đạt đến một kích cỡ
nhất định, do đó, tồn tại A và C sao cho f (0, A) = g (C, 0) = 0.

d) Mỗi quần thể không thể làm tăng kích thước nhất định ngay cả khi số lượng cá thể
trong đó rất nhỏ, do đó tồn tại B và D sao cho f (B, 0) = g (0, D) = 0.
Nói chung, hai đường cong f = 0 và g = 0 có thể có bất kỳ số lượng điểm chung. Khi
đó, góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ (x, y) sẽ được chia thành 3 khu vực: khu vực I có
f > 0, g > 0; khu vực II có f < 0, g < 0 và khu vực III có f .g < 0. Những khu vực đó được
biểu diễn bởi biểu đồ trong hình 1
Tất cả các đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II cuối cùng đi vào khu vực
III. Khu vực III được hình thành bởi các đường cong f = 0 , g = 0, bởi các điểm bên trong
bị chặn bởi hai đường cong đó và đoạn AD và BC. Tùy thuộc vào đồ thị của các hàm f và g,
các điểm trong khu vực này ít hơn các điểm trên biên. Khu vực III này có thể được chia
thành một hoặc nhiều tập con, mỗi tập này cộng với những điểm biên tạo thành một khu vực

con; tất cả các đường cong tích phân trong khu vực con kết thúc tại một điểm cân bằng của
nó x = maximum, y = minimum, hoặc tương ứng x = minimum, y = maximum, tùy thuộc vào
6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Hình 1
việc những điểm trong của khu vực con là f > 0, g < 0 hoặc f < 0, g > 0. Ví dụ, trong trường
hợp của hình 1, D là một điểm cân bằng của một khu vực con và R là một điểm cân bằng của
một khu vực con khác. Có thể, nhưng không chắc chắn, một vài điểm của khu vực III khơng
thuộc vào nhóm các khu vực con này, điều này xảy ra khi mà đường cong f = 0 và g = 0 có
đoạn trùng nhau. Trong trường hợp này, đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II
đến đoạn trùng nhau này thì dừng lại.
Một ví dụ minh họa đơn giản có thể cho ta biết rất nhiều thông tin về dáng điệu giới hạn
của đường cong tích phân. Ví dụ như những đường cong trong hình 1 được sao chép trong
hình 2, ở đây dấu của các hàm f và g được biểu diễn bởi 2 véc tơ đơn vị song song với các
trục. Trong khu vực I, chúng ta có f > 0 và g > 0 và do đó, với thời gian ngày càng tăng, các
đường cong tích phân trong khu vực này được giới hạn trong góc phần tư xác định bởi 2 véc
tơ đơn vị như thể hiện trong hình 2.
Để minh họa cụ thể, ta hãy xét khu vực con được giới hạn bởi điểm Q và R; rõ ràng từ các
véc tơ ta thấy, Q là một điểm cân bằng không ổn định và R là một điểm cân bằng ổn định.
Chú ý rằng, đường cong tích phân bất kỳ đi qua khu vực hình chữ nhật xq1 Q∞ và cuối cùng
phải kết thúc tại điểm R. Các đường cong tích phân đi qua khu vực hình chữ nhật yq2 Q∞
không bao giờ đến được R, nhưng đến D. Dáng điệu của các đường cong tích phân trong các
khu vực cịn lại của góc phần tư thứ nhất phải được xác định bằng cách phân tích chi tiết.
Kết luận, khi các đường cong f = 0 và g = 0 khơng giao nhau, một lồi sẽ tồn tại, cụ thể
7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Hình 2
là, lồi thứ nhất tồn tại nếu B > C hoặc loài thứ hai tồn tại nếu B < C. Khi các đường cong
f = 0 và g = 0 cắt nhau tại một điểm, khi đó nếu B > C thì chỉ có một trong hai lồi sống
sót, tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu; cịn nếu B < C thì cả hai lồi cùng sống sót. Khi
các đường cong f = 0 và g = 0 cắt nhau tại nhiều điểm, có thể cả hai lồi đều có khả năng
sống sót cao tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu. Nhìn chung, các giao điểm giữa các đường
cong f = 0 có cùng hoặc lớn hơn về độ dốc (trong giá trị tuyệt đối) so với các giao điểm giữa
các đường cong g = 0, những điểm đó cùng nhau tồn tại.
Khả năng sống sót của cả hai lồi có mâu thuẫn với nguyên tắc cạnh tranh loại trừ của
Volterra hay khơng? Trong ý nghĩa tốn học, nếu hai lồi tương tác theo các điều kiện của
Volterra, khi đó chỉ có một lồi sống sót. Tuy nhiên, mơ hình Volterra là đơn giản nhất, và
khi xem xét một hình thức chung của các phương trình tăng trưởng dân số thì ta thấy có một
loạt các phương thức cho sự phát triển của hai lồi cạnh tranh. Thực tế, khơng khó khăn để
tìm được một mơ hình chỉ hơi phức tạp hơn Volterra mà cho phép cả hai lồi tồn tại. Đó là
mơ hình Kolmogorov.
Ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.1. Giả sử rằng hệ


x˙ (t) = f (x, y) ,

y˙ (t) = g (x, y) ,
trong đó f , g : R2 → R2 có một trạng thái cân bằng (x∗ , y∗ ) trở thành ổn định tiệm cận toàn
cục, có nghĩa là, (x∗ , y∗ ) ổn định và với mọi nghiệm duy nhất (x (t) , y (t)) xác định trên [0, ∞)
8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

thỏa mãn limt→∞ (x (t) , y (t)) = (x∗ , y∗ ). Khi đó, đối với tập compact K ⊂ R2 bất kỳ , với
lân cận U bất kỳ của (x∗ , y∗ ), tồn tại một số T ∗ > 0 sao cho (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ U, với
bất kỳ t > T ∗ , (x0 , y0 ) ∈ K .
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại một lân cận mở V của (x∗ , y∗ ) sao cho
(x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ U, ∀t

0, (x0 , y0 ) ∈ V.

(1.2)

Hơn thế nữa, với mỗi (x, y) ∈ K , có một Tx,y > 0 sao cho
(x (t, x, y) , y (t, x, y)) ∈ V, ∀t

Tx,y .

Theo (1.2) và tính liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, tồn tại một lân cận mở Ux,y
của (x, y) sao cho
∀ (u, v) ∈ Ux,y , (x (Tx,y , u, v) , y (Tx,y , u, v)) ∈ V,
kéo theo (x (t, u, v) , y (t, u, v)) ∈ U, ∀t > Tx,y .
Họ (Vx,y )(x,y)∈K là một phủ mở của K .
Do K compact, nên có các Uxi ,yi , i = 1, ..., n sao cho
n

K ⊂

Uxi ,yi .
i=1

Đặt T ∗ = max1

i n Txi ,yi

Ta thấy (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ U, với bất kỳ t > T ∗ , (x0 , y0 ) ∈ K .

1.2
1.2.1

Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục.
Quá trình Markov.

Mục đích của phần này là trình bày vắn tắt về quá trình Markov.
Giả sử (Ω, F , (Ft )t

0 , P)

là một không gian xác suất với lọc thỏa mãn các điều kiện

là dòng tăng các σ − đại số con của F và F là đầy đủ theo P.
Một quá trình ngẫu nhiên d− chiều {Xt ,t 0} là một tập hợp các biến ngẫu nhiên, xác định

thông thường, tức là (Ft )t

0

trên (Ω, F , P), lấy giá trị trong Rd với d

1. Chỉ số t được gọi là thời gian. Như thế một q

trình ngẫu nhiên có thể xem là một ánh xạ
X : Ω × [0, ∞) → Rd sao cho với mỗi t ta có Xt là F - đo được.

Với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ t → Xt (ω) được gọi là quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên Xt .
9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo mẫu của (Xt ) là các hàm liên tục thì ta gọi nó là q trình
ngẫu nhiên liên tục.
Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo là những hàm hằng từng khúc thì ta gọi (Xt ) là quá trình
bước nhảy.
Nếu với mỗi t, biến ngẫu nhiên Xt là Ft - đo được thì quá trình (Xt ) được gọi là Ft − phù
hợp.
Quá trình ngẫu nhiên (Xt ) được gọi là có tính markov (gọi tắt là q trình Markov) nếu
nó thỏa mãn điều kiện sau
P (Xt ∈ B|Fs ) = P (Xt ∈ B|Xs ) ,

∀0

s < t, ∀ B ∈ B d .

(1.3)

Tính Markov (1.3) có thể được phát biểu một cách hình thức như sau:
Nếu trạng thái của quá trình tại một thời điểm cụ thể s (hiện tại) đã biết, thì thơng tin bổ
sung về dáng điệu của quá trình tại thời điểm r < s (quá khứ) không ảnh hưởng đến xác suất
của quá trình tại thời điểm t > s (trong tương lai).
Đặt
P(s, x,t, B) = P (Xt ∈ B|Xs = x) ,

∀0

s < t, ∀ B ∈ B d .

và gọi nó là hàm xác suất chuyển của quá trình markov Xt .
Quá trình Markov (Xt ) được gọi là thuần nhất nếu P(s, x,t, B) chỉ phụ thuộc vào hiệu số
thời gian t − s, có nghĩa là
P (Xt+h ∈ B|Xt ) = P (Xh ∈ B|X0 ) ,

∀0

t, h,

∀B ∈ B d .

Cho (Xt ) là một quá trình Markov thuần nhất với phân bố ban đầu ν0 . Khi đó, phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên Xt tại thời điểm t được cho bởi
P (Xt ∈ B) =

Rd

P (t, x, B) ν0 (dx),

(1.4)

với mọi tập con B ∈ B d . Trong đó,
P (s, x, B) := P (Xs ∈ B|X0 = x) ,

s ∈ [0, ∞), x ∈ Rd , B ∈ B d .

Hàm P : [0; ∞) × Rd × B d → [0; 1] có tính chất sau:

(i) x → P (s, x, B) đo được với s ∈ [0, ∞) cố định và B ∈ B d cố định.
(ii) B → P (s, x, B) là một độ đo xác suất với s ∈ [0, ∞) cố định và x ∈ Rd cố định.
(iii) P 0, x, Rd \ {x} = 0 với mọi x ∈ Rd .
(iv) Thỏa mãn phương trình Chapman- Komogorov
P (t + s, x, B) =

Rd

với mọi t, s ∈ [0, ∞), x ∈ Rd , B ∈ B d .
10

P (t, x, dz) P (s, z, B)

(1.5)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Ta nói rằng q trình Markov (Xt ) có phân phối dừng µ, nếu
Rd

∀t ∈ [0, ∞), ∀B ∈ B d .

P (t, x, B) µ (dx) = µ (B) ,

(1.6)

Từ (1.4) ta thấy nếu q trình markov (Xt ) có phân phối dừng µ và X0 cũng có phân phối µ
thì Xt có phân phối xác suất µ với mọi t. Hơn nữa, trong trường hợp này quá trình (Xt ) sẽ là
quá trình dừng, tức là với mọi 0

t1 < t2 < · · · < tn và h > 0 ta có biến ngẫu nhiên n chiều

(Xt1 +h , Xt2 +h , ..., Xtn +h ) có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên (Xt1 , Xt2 , ..., Xtn ).

1.2.2

Toán tử sinh của nửa nhóm các tốn tử Markov.

Mỗi một q trình Markov thuần nhất có thể gán một nửa nhóm các toán tử Markov
{Tt ,t

0}, được định nghĩa bởi
Tt u (x) := Ex [u (Xt )] =

Rd

u (y) P (t, x, dy) ,

(1.7)

với u : Rd → R là các hàm đo được giới nội và Ex [u (Xt )] là kỳ vọng của có điều kiện
trên X0 = x. Theo định nghĩa toán tử T0 là toán tử đồng nhất. Từ phương trình ChapmanKomogorov ta thấy họ {Tt ,t 0} và có tính chất nửa nhóm, tức là,
Ts+t = Ts Tt = Tt Ts ,

∀t, s ∈ [0, ∞).

Ta định nghĩa tốn tử sinh L của q trình Markov thuần nhất Xt bởi đạo hàm của toán tử
{Tt ,t 0} tại điểm t = 0,
Tt u (x) − u (x)

L u (x) = lim
.
(1.8)
t
t↓0
Miền xác định DL của toán tử L là một tập con của không gian các hàm vô hướng đo được
bị chặn xác định trên Rd để cho giới hạn trong (1.8) tồn tại.

1.2.3

Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục.

Giả sử {ξt ,t

0} là một xích Markov thời gian liên tục, tức nó chỉ nhận giá trị trong một

tập khơng q đếm được J. Khi đó thay hàm xác suất chuyển P(t, x, B) với x ∈ Rd , B ∈ B d
ta chỉ cần biết hàm pi, j (t) = P(t, i, { j}), i, j ∈ J vì khi đó P(t, i, B) = ∑ j∈B pi, j (t), i ∈ J. Hơn
nữa, trong trường hợp này
Tt u(i) =

∑ pi, j (t) f ( j), i ∈ J.
j∈J

Phân phối xác suất µ(·) là phân phối dừng nếu nó thỏa mãn phương trình
µ( j) = ∑ pi, j (t)µ(i), j ∈ J.
i∈J

11

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong trường hợp này, để xác định toán tử sinh L ta chỉ cần biết đại lượng
ai, j = lim
t↓

pi, j (t) − δi, j
,
t

(1.9)

trong đó δi, j là ký hiệu Kronecker.
Nếu ký hiệu P(t) là ma trận xác suất chuyển, P(t) = (pi, j (t)), khi đó
P (t + u) = P (u) P (t) = P (t) P (u) .
Đặt A = (ai, j ) ta có
dP
= AP.
dt
Nếu tập J là hữu hạn thì các giới hạn trong (1.9) ln tồn tại. Hơn nữa, do

∑ pi j (t) = 1 với mọi i ∈ J,
j∈J

nên ta có

∑ ai j = 0 với mọi i ∈ J.
j∈J

Trong trường hợp này, toán tử sinh của xích Markov (ξt ) cho bởi

L u( j) =

∑ ai, j u( j), i ∈ J.
j∈J

Toán tử L xác định trên tất cả các hàm xác định trên J, nhận giá trị trên R.
Phân phối dừng đối với xích Markov hữu hạn trạng thái luôn tồn tại. Nếu ký hiệu phân
phối dừng là φ = {φ (i) : i ∈ J thì nó là nghiệm của phương trình đại số

∑ ai j φ (i) = 0, φ ( j)
j∈J

1.2.4

0, với mọi j ∈ J, ∑ φ (i) = 0.
i∈J

Quá trình Markov như là nghiệm của phương trình vi phân

Xét phương trình
dXt
= f (Xt , ξt ).
(1.10)
dt
Trong đó ξt là q trình Markov lấy giá trị trong tập đếm được J với ma trận chuyển trạng
thái (ai j ) và f (x, i) là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo x, đều theo i ∈ J. Khi đó người
ta đã chứng minh rằng quá trình (Xt , ξt ) là một q trình Markov với tốn tử sinh
L u(x, i) = f (x, i)

du

+ ai j u(x, j),
dx ∑
j∈J

xác định trên lớp hàm u(x, i), khả vi liên tục theo x.
Phân phối dừng của quá trình (Xt , ξt ) nếu tồn tại và có hàm mật độ φ (x, i) khả vi thì nó
sẽ thỏa mãn phương trình Focker-Planck
d
0 = L ∗ φ (x, i) =
f (x, i)φ (x, i) + ∑ ai j φ (x, i).
dx
i∈J
12


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

1.2.5

Quá trình Markov hai trạng thái.

Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất thỏa mãn các điều kiện thông thường và (ξt )t

0

là một quá trình Makov, xác định trên (Ω, F , P), lấy giá trị trong tập hợp gồm 2 phần tử, kí
α

β

hiệu E = {+; −}. Giả sử rằng (ξt ) có cường độ xác suất chuyển từ + → − và − → + với
α > 0, β > 0. Q trình (ξt ) có phân phối dừng:
p = lim P {ξt = +} =
t→∞

β
α
; q = lim P {ξt = −} =
t→∞
α +β
α +β

Quỹ đạo của (ξt ) là những hàm hằng từng khúc và liên tục phải. Giả sử
0 = τ0 < τ1 < τ2 < ... < τn < ...
là các bước nhảy của quá trình ξt .
Đặt
σ1 = τ1 − τ0 ; σ2 = τ2 − τ1 ; ...; σn = τn − τn−1 ; ...
σ1 = τ1 là lần đầu tiên (ξt ) đi ra từ trạng thái ban đầu, σ2 là thời gian tiếp theo mà quá trình
(ξt ) di chuyển từ trạng thái đầu tiên... Người ta chứng minh được (σk )∞
k=1 là dãy độc lập với
điều kiện biết được chuỗi (ξτk )∞
k=1 . Chú ý rằng nếu ta biết được ξ0 thì sẽ biết được ξτn vì quá
trình (ξt ) chỉ lấy 2 giá trị. Do đó, (ξk )∞
n=1 là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có điều
kiện, lấy giá trị trong [0, ∞). Hơn thế nữa, nếu ξ0 = + thì σ2n+1 có phân phối mũ với mật độ
α1[0,∞) e−αt và σ2n có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞) e−βt . Ngược lại, nếu ξ0 = − thì σ2n
có phân phối mũ với mật độ α1[0,∞) e−αt và σ2n+1 có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞) e−βt
(xem [12]). Trong đó:
1[0,∞) (t) =



1

nếu t


0

nếu t < 0

13

0


Chương 2
Tính chất tiệm cận của hệ phương trình
cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.
2.1

Tính bền vững của hệ.

Cho (ξt ) là quá trình Markov 2 trạng thái nhận giá trị trong tập E = {+, −}. Xét phương
trình Kolmogorov:


x˙ (t) = xa (ξt , x, y)

(2.1)


y˙ (t) = yb (ξt , x, y)
Trong đó, a (±, x, y) , b (±, x, y) xác định trên E × R2 , lấy giá trị trong R là khả vi liên tục
trong (x, y) ∈ R2+ , R2+ = {(x, y) : x 0, y 0}.
Dưới tác động của tiếng ồn (ξt ), hệ phương trình (2.1) chuyển đổi qua lại giữa hai hệ
Kolmogorov tất định:


x˙ (t) = xa (+, x, y)
(2.2)

y˙ (t) = yb (+, x, y)
và hệ:


x˙ (t) = xa (−, x, y)

(2.3)


y˙ (t) = yb (−, x, y)
Ta cũng giả thiết rằng trong cả 2 hệ (2.2) và (2.3), các hệ số a (±, x, y) , b (±, x, y) thỏa mãn
các giả thiết sau:
14


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.

Giả thiết 2.1.
1.

∂ a(±,x,0)
∂x

< 0, ∀x > 0.

2. a (±, 0, 0) > 0, limx→∞ a (±, x, 0) < 0.
3.

∂ b(±,0,y)
∂y

< 0, ∀y > 0.

4. b (±, 0, 0) > 0, limy→∞ b (±, 0, y) < 0.
Giả sử hệ (2.2) có một nghiệm duy nhất (x+ (t, x0 , y0 ) , y+ (t, x0 , y0 )), kí hiệu là (x+ (t) , y+ (t))
(tương tự với (2.3) có nghiệm duy nhất (x− (t, x0 , y0 ) , y− (t, x0 , y0 )), kí hiệu: (x− (t) , y− (t))),
bắt đầu từ (x0 , y0 ) ∈ R2+ .
Trong suốt bản luận văn này, giả thiết rằng những nghiệm đó xác định trên [0, ∞). Hơn
nữa, giả sử rằng,
Giả thiết 2.2. Tồn tại tập compact D ⊂ R2+ bất biến đối với cả hai hệ (2.2) , (2.3). Hơn thế
nữa, ∀ (x, y) ∈ R2+ , tồn tại T 0 sao cho (x+ (t) , y+ (t)) ∈ D, (x− (t) , y− (t)) ∈ D, ∀t > T .
Ta chú ý rằng Giả thiết 2.2 sẽ được thỏa mãn nếu a (±, x, y) < 0, b (±, x, y) < 0 khi x hoặc
y đủ lớn.
Để thuận tiện cho lập luận, chúng tôi giả sử ξ0 = + . Đầu tiên, chúng ta xét hai hệ trên
biên
u˙ (t) = u (t) a (ξt , u (t) , 0) , u (0) ∈ [0, ∞),

(2.4)

v˙ (t) = v (t) a (ξt , 0, v (t)) , v (0) ∈ [0, ∞).

(2.5)

Với giả thiết 2.1, tồn tại duy nhất một số u+ thỏa mãn a (+, u+ , 0) = 0 và một số u− thỏa
mãn a (−, u− , 0) = 0.
Trong trường hợp u+ = u− chúng ta giả sử rằng u+ < u− và đặt
h+ = h+ (u) = ua (+, u, 0) ,
h− = h− (u) = ua (−, u, 0) .
Điều này có nghĩa là (xem [21]), nếu u (t) là nghiệm của hệ (2.4) thì (ξt , u (t)) là một quá
trình Markov với toán tử vi phân L cho bởi:


Lg (+, u) = −α (g (+, u) − g (−, u)) + h+ (u) d g (+, u) ,
du

Lg (−, u) = β (g (+, u) − g (−, u)) + h− (u) d g (−, u) .
du
Miền xác định của L là các hàm g (i, x) xác định trên E × (0, ∞), khả vi liên tục tại x.

15


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.
Mật độ dừng (µ + , µ − ) của (ξt , u (t)) có thể được tìm thấy từ phương trình Fokker–Planck



−α µ + (u) + β µ − (u) − d [h+ µ + (u)] = 0
du
(2.6)

α µ + (u) − β µ − (u) − d [h− µ − (u)] = 0
du
Phương trình (2.6) có một nghiệm dương duy nhất cho bởi
θ F (u)
θ F (u)
, µ − (u) =
u |a (+, u, 0)|
u |a (−, u, 0)|

µ + (u) =

(2.7)

Trong đó:
u

β
α
+
dτ ,
τa (+, τ, 0) τa (−, τ, 0)
u
u+ + u−
,
u ∈ u+ , u− , u =
2

−1
F (u)
F (u)
+q
du
.
p
u |a (+, u, 0)|
u |a (−, u, 0)|

F (u) = exp −

u−

θ=

u+

Như vậy, q trình (ξt , u (t)) có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µ + , µ − ) (xem
chi tiết trong [4]).
Hơn nữa, với hàm liên tục bất kỳ f : E × R → R với
u−

p f (+, u) µ + (u) + q f (−, u) µ − (u) du < ∞,

u+

Chúng ta có:
1
lim

t→∞ t

u−

t
0

f (ξs , u (s)) ds =

u+

p f (+, u) µ + (u) + q f (−, u) µ − (u) du.

(2.8)

Tương tự như vậy, tồn tại duy nhất v+ sao cho b (+, 0, v+ ) = 0 (tương tự v− sao cho
b (−, 0, v− ) = 0). Nếu v+ = v− , phương trình (2.5) cũng có một phân phối dừng duy nhất với
mật độ (ν + , ν − ) cho bởi:
ν + (v) =

ζ G (v)
ζ G (v)
, ν − (v) =
,
v |b (+, 0, v)|
v |b (−, 0, v)|

trong đó
v

α
β
+
dτ ,
τb (+, 0, τ) τb (−, 0, τ)
v
v+ + v−
+ −
v ∈ v ,v ,v =
, và
2
−1
G (v)
G (v)
p
+q
dv
.
v |b (+, 0, v)|
v |b (−, 0, v)|

G (v) = exp −

v−

ζ=

v+

16

(2.9)


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.
Hơn nữa, theo giả thiết 2.1, với |ε| đủ nhỏ (ε có thể âm), tồn tại duy nhất u+
ε thỏa mãn
−
−
+
−
a (+, u+
ε , 0) = ε và uε thỏa mãn a (−, uε , 0) = ε. Để đơn giản, ta viết u (hoặc u ) thay cho
−
u+
0 (hoặc u0 ). Xét phương trình:

u˙ε (t) = uε (t) (a (ξt , uε (t) , 0) − ε) .

(2.10)

Phương trình (2.10) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µε+ , µε− ) cho bởi:
µε+ (u) =

θε Fε (u)
θε Fε (u)
−
, µε− (u) =
, u ∈ u+

ε , uε ,
u |a (+, u, 0) − ε|
u |a (−, u, 0) − ε|

(2.11)

ở đó
u

Fε (u) = exp −
θε =

u−
ε
u+
ε

u

α
β
+
dτ , và
τ (a (+, τ, 0) − ε) τ (a (−, τ, 0) − ε)

Fε (u)
Fε (u)
p
+q
du

u |a (+, u, 0) − ε|
u |a (−, u, 0) − ε|

−1

.

Chúng ta xác định (νε+ , νε− ) đơn giản như cách xác định (µε+ , µε− ) .
ζε Gε (v)
,
v |b (+, 0, v) − ε|
ζε Gε (v)
−
νε− (v) =
, v ∈ v+
ε , vε ,
v |b (−, 0, v) − ε|

νε+ (v) =

ở đó
v

Gε (v) = exp −
ζε =

v−
ε
v+
ε

v

β
α
+
dτ , và
τ (b (+, 0, τ) − ε) τ (b (−, 0, τ) − ε)

Gε (v)
Gε (v)
p
+q
dv
v |b (+, 0, v) − ε|
v |b (−, 0, v) − ε|

−1

.

Bổ đề 2.1.1.
lim µε+ , µε− = µ + , µ − ,

ε→0

lim νε+ , νε− = ν + , ν − .

ε→0

Chứng minh. Do a (+, x, 0) là một hàm giảm, khả vi liên tục và u+
ε là nghiệm của phương
+
trình a (+, u+
ε , 0) = ε, nên uε liên tục giảm trong ε và trong lân cận của 0. Để đơn giản,
chúng tôi chứng minh bổ đề này cho trường hợp ε > 0. Trường hợp ε < 0 chứng minh tương
tự.
Cho M > 0 là một số dương sao cho D ⊂ [0, M) × [0, M)
và cho
da (i, u, 0)
m = max × max −
.
i∈E
0 u M
du
17


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.
−
−
Với mọi ε0 > 0 tồn tại một ε1 < ε0 sao cho u+ − ε0 < u+
ε , u − ε0 < uε , với mọi ε < ε1 .

Hơn nữa,
u−
ε
u+
ε

u− −ε0
u+ +ε0
u+ +ε0

+

u+
ε

u−

Fε (u)
du −
u |a (+, u, 0) − ε|

u+

u− −ε0

Fε (u)
du −
u |a (+, u, 0) − ε|

u+ +ε0
u+ +ε0

Fε (u)
du −
u |a (+, u, 0) − ε|

u−
ε

Fε (u)
du −
+
u− −ε0 u |a (+, u, 0) − ε|

F (u)
du
u |a (+, u, 0)|

u+

F (u)
du
u |a (+, u, 0)|
F (u)
du
u |a (+, u, 0)|

u−

F (u)
du .
u− −ε0 u |a (+, u, 0)|

−
Theo định lý Lagrange, với u ∈ [u+

ε , uε ], ta có

− (a (+, u, 0) − ε) = |a (+, u, 0) − ε|
Hơn nữa,

α
u

>

α
M

với u+
ε < u < u . Khi đó,

u

αdτ
τ (a (+, τ, 0) − ε)

−
u

u
u

αdτ
Mm u − u+
ε

m u − u+
ε .

(Mm)−1 α ln

|u − u+
ε|
+ ,
u − uε

(Mm)−1 α

|u−u+ε |
+
−1 với uε < u < u .
+ (Mm) α
|u −uε |
liên tục trong [u+
ε ,u ],

Kéo theo exp −

u
αdτ
u τ(a(+,τ,0)−ε)

Hơn nữa, do hàm

β

u(a(−,u,0)−ε)

exp −
Fε (u)
=
u (a (+, u, 0) − ε)

u
αdτ
u τ(a(+,τ,0)−ε)

. exp −

β dτ
u
u τ(a(−,τ,0)−ε)

u |a (+, u, 0) − ε|

K u − u+
ε

m−1 α−1

Với mọi u ∈ (u+
ε , u ), trong đó K là một hằng số dương thích hợp. Do đó,
u+ +ε0
u+
ε

u+ +ε

Fε (u) du
u (a (+, u, 0) − ε)

u+
ε

K u − u+
ε

(Mm)−1 α−1

= K (Mm)−1 α u+ − u+
ε + ε0
−1

< K (Mm)−1 α (2ε0 )(Mm)

du
(Mm)−1 α

α

tiến tới 0 khi ε0 → 0, và
u+ +ε 0
u+

F (u) du
ua (+, u, 0)

(Mm)−1 α

K (Mm)−1 αε0

→ 0 khi ε0 → 0.

Vậy nên,
u+ +ε0
u+
ε

Fε (u)
du −
u |a (+, u, 0) − ε|

u+ +ε0
u+

18

F (u)
du → 0 khi ε0 → 0.
u |a (+, u, 0)|


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.

tương tự như vậy

u−
ε

Fε (u)
du −
u− −ε0 u |a (+, u, 0) − ε|

u−

F (u)
du → 0 khi ε0 → 0.
u− −ε0 u |a (+, u, 0)|

Nếu ta cố định ε0 ,
u− −ε0
u+ +ε0

Fε (u)
du −
u |a (+, u, 0) − ε|

u− −ε0
u+ +ε0

F (u)
du → 0 khi ε → 0.
u |a (+, u, 0)|

Tương tự với a (−, u, 0) cố định. Kết hợp những yếu tố này, ta được θε → θ khi ε → 0. Bằng
cách sử dụng các biểu thức (2.11) , ta suy ra

lim µε+ , µε− = µ + , µ − .

ε→0

Chứng minh tương tự ta cũng được
lim νε+ , νε− = ν + , ν − .

ε→0

Nếu u+ = u− (tương tự v+ = v− ), quá trình (ξt , u (t)) có một phân phối dừng duy nhất
với mật độ tổng quát µ + (u) = µ − (u) = δ (u − u+ ), (tương tự đối với quá trình (ξt , v (t)),
ν + (v) = ν − (v) = δ (v − v+ ) ), ở đó δ (.) là hàm Dirac.
Cho 0

ε

N, ta đặt Hε,N = [ε, N] × [ε, N] và

+ (v) + qa (−, 0, v) ν − (v)) dv,

λ1 =

[v+ ,v− ] (pa (+, 0, v) ν

λ2 =

[u+ ,u− ] (pb (+, u, 0) µ

+ (u) + qb (−, u, 0) µ − (u)) du.

(2.12)
Định lí 2.1.2. Với x0 > 0, y0 > 0 bất kỳ.
a. Nếu λ1 > 0 thì tồn tại một δ1 > 0 sao cho
lim sup x (t, x0 , y0 ) > δ1 ,

h.c.c.

t→∞

b.Trong trường hợp λ2 > 0 thì tồn tại một δ2 > 0 sao cho
lim sup y (t, x0 , y0 ) > δ2 ,
t→∞

19

h.c.c.


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được ý (a) với trường hợp u+ = u− .
Cho u+ = u− và λ1 > 0. Cho M là một số được cho trong chứng minh của bổ đề 2.1.1 và
L=

max
i∈E;(x,y)∈H0,M

∂ a (i, x, y) ∂ a (i, x, y) ∂ b (i, x, y) ∂ b (i, x, y)
,
,

,
∂x
∂y
∂x
∂y

.

Theo (2.8), ta được
1
t→∞ t

t

lim

=

u−
−ε
u+
−ε

+
pν−ε

−
+ qν−ε

0

du −

(v−ε (s) − vε (s)) ds =
u−
ε
u+
ε

pνε+ + qνε− du.

Từ bổ đề 2.1.1 ta được
1
ε→0 t→∞ t

t

lim lim

0

(v−ε (s) − vε (s)) ds = 0,

Kéo theo, tồn tại một ε > 0 sao cho limt→∞ 1t
Bây giờ ta cần chỉ ra rằng lim supt→∞ x (t)

(2.13)

t
λ1

0 (v−ε (s) − vε (s)) ds < 2L .

δ1 với xác suất 1, ở đó δ1 := min

ε δ
L , 2L

.

Giả sử trái lại, có một tập B đo được với P (B) > 0 thỏa mãn lim supt→∞ x (t, ω) < δ1 , với
ω ∈ B bất kỳ.
Khi đó, tồn tại một T > 0 sao cho x (t, x0 , y0 ) < δ1 với mọi t > T .
Tính chất này kéo theo |b (ξt , x (t) , y (t)) − b (ξt , 0, y (t))| < δ1 L ε . Do đó,
y (b (ξt , 0, y (t)) − ε) < y˙ (t) = yb (ξt , x (t) , y (t)) < y (b (ξt , 0, y (t)) + ε) .
Từ đó, theo định lý so sánh
vε (t) < y (t, x0 , y0 ) < v−ε (t) , ∀t > T,
Trong đó vε , v−ε là các nghiệm của phương trình
v˙ = v (b (ξ , 0, v) − ε)
và phương trình
v˙ = v (b (ξ , 0, v) + ε)
tương ứng với điều kiện v−ε (T ) = vε (T ) = y (T, x, y).
Hơn nữa,
|a (ξt , 0, y (t)) − a (ξt , 0, v (t))|

L |y (t) − v (t)| < L (v−ε (t) − vε (t)) ,

|a (ξt , x (t) , y (t)) − a (ξt , 0, y (t))|

20

Lx (t) , ∀t > T.


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.

Từ những bất phương trình trên và (2.13), ta được
lim sup
t→∞

lim sup
t→∞

1
t

t

1
t

0

L t
λ1
x (s) ds < Lδ1 < ,
t→∞ t T
2
t
L

λ1
lim
(v−ε (s) − vε (s)) ds < .
t→∞ t T
2

|a (ξs , x (s) , y (s)) − a (ξs , 0, y (s))| ds

t
0

|a (ξs , 0, y (s)) − a (ξs , 0, v (s))| ds

lim

Như vậy, bằng cách sử dụng hệ thức
x˙
− a (ξt , 0, v) = a (ξt , x, y) − a (ξt , 0, v) =
x
= a (ξt , x, y) − a (ξt , 0, y) + a (ξt , 0, y) − a (ξt , 0, v) ,
Ta được
lim sup
t→∞

1
t

t
0

x˙
1
ds − lim
t→∞ t
x

t
0

a (ξs , 0, v) ds < λ1 .

Do x (t) giới nội,
1 t
t→∞ t 0
Nói cách khác, theo luật số lớn,
1 t
lim
a (ξs , 0, v (s)) ds
t→∞ t 0
lim sup

x˙
ln x (t) − ln x (0)
ds = lim sup
x
t
t→∞

=

0.

pa (+, 0, v) ν + (v) + qa (−, v, 0) ν − (v) dv

= λ1 > 0.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy, lim supt→∞ x (t)
Ý (b) chứng minh tương tự. Định lý được chứng minh.

δ1 h.c.c.

Từ bây giờ, giả sử rằng λ1 > 0, λ2 > 0. Bằng giả thiết a (±, 0, 0) > 0, b (±, 0, 0) > 0 và
định lý 2.1.2, tồn tại một số δ > 0 sao cho lim sup x (t) > δ , lim sup y (t) > δ và a (±, x, y) >
0, (±, x, y) > 0 nếu 0 < x, y

δ . Thực tế, a (±, x, y) > 0, (±, x, y) > 0 nếu 0 < x, y

δ kéo

theo tồn tại một T > 0 sao cho một trong hai x (t) > δ hoặc y (t) > δ , ∀t > T . Vì vậy, khơng
mất tính tổng qt, giả sử rằng x (t) > δ hoặc y (t) > δ , ∀t > 0.
Bổ đề 2.1.3. Với xác suất 1, tồn tại vô số các sn = sn (ω) > 0 sao cho sn > sn−1 , limn→∞ sn = ∞
và x (sn ) δ , y (sn ) δ , ∀n ∈ N.
Chứng minh. Ta xây dựng 2 chuỗi ngẫu nhiên (tn )

∞, (t n )

∞ với t0 = t0 ,
và với n ∈ N,tn = inf t > max tn−1 , n : x (t) > δ , tn = inf {t > max {tn , n} : y (t) > δ }
với quy ước rằng inf ∅ = ∞.
Do lim sup x (t) > δ , lim sup y (t) > δ h.c.c, P tn−1

và do x (tn )

δ , y (tn )

tn−1

tn

tn<∞ , ∀n ∈ N = 1

δ , ∀n ∈ N.

Nếu y (tn ) δ thì ta chọn sn = tn . Trong trường hợp, nếu y (tn ) < δ thì ta đặt sn =
inf {t > tn : y (t) δ }. Do y (t ) δ , sn tn , hơn nữa, y (t) < δ , ∀tn t < sn kéo theo x (t) >
δ , ∀tn

t < sn .

Do đó, x (sn )

δ , y (sn )

δ.

Bổ đề được chứng minh.
21


Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện
báo.

2.2

Tập ω- giới hạn.

Từ các khái niệm trong [6], ta định nghĩa (ngẫu nhiên) tập ω- giới hạn của các quỹ đạo
bắt đầu từ tập B đóng như sau
Ω (B, ω) =

(x (t, ., ω) , y (t, ., ω)) B.
T >0 t>T

Đặc biệt, tập ω-giới hạn của quỹ đạo bắt đầu từ một giá trị ban đầu (x0 , y0 ) là:
(x (t, x0 , y0 , ω) , y (t, x0 , y0 , ω)).

Ω (x0 , y0 , ω) =
T >0 t>T

Khái niệm này khác với định nghĩa về tập ω đưa ra trong [9] nhưng nó là gần nhất với
một tập ω- giới hạn của một hệ động lực tất định. Trong trường hợp này Ω (x0 , y0 , ω) là hằng
số hầu chắc chắn, nó tương tự như khái niệm về điểm hấp dẫn yếu và điểm hấp dẫn được
đưa ra trong [14, 22]. Mặc dù, nói chung, tập ω- giới hạn trong ý nghĩa này khơng có tính
chất bất biến, nhưng khái niệm này phù hợp với mục đích của chúng tơi mơ tả gần đúng dáng
điệu quỹ đạo của nghiệm với giá trị ban đầu đã cho. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng dưới một số
điều kiện, Ω (x0 , y0 , ω) là tất định, có nghĩa là, nó là hằng số gần như chắc chắn. Hơn nữa, nó
cũng độc lập với giá trị ban đầu (x0 , y0 ).
Để biết thêm về dáng điệu của các nghiệm của hệ (2.1), chúng ta xét một số trường hợp
cụ thể.
Trước hết, ta đặt
xn = x (τn , x, y) ; yn = y (τn , x, y) ;

F0n = σ (τk : k

n) ; Fn∞ = σ (τk − τn : k > n) .

Điều đó cho thấy rằng (xn , yn ) là F0n - đo được và nếu ξ0 cho trước thì F0n độc lập với Fn∞ .

2.2.1 Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định.
Giả thiết 2.3. Trên miền trong của góc phần tư R2+ , cả hai hệ (2.2),(2.3) có những trạng
∗ , y∗ , x∗ , y∗ .
thái dương ổn định toàn cục tương ứng là x+
+
− −
Bổ đề 2.2.1. Cho giả thiết 2.3 được thỏa mãn và cho M là một số được cho trong chứng minh
của bổ đề 2.1.1. Khi đó, với ε > 0, tồn tại σ (ε) sao cho x± (t) > σ (ε) , y± (t) > σ (ε) , ∀t >
0, (x± (0) , y± (0)) ∈ Hε,M .
Chứng minh. Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại T ∗ > 0 sao cho
x± (t) >

∗
y∗
x±
, y± (t) > ± , ∀t > T ∗ ,
2
2

22

với (x± (0) , y± (0)) ∈ Hε,M .