(Luận văn thạc sĩ) tính thế tương tác nguyên tử hiệu dụng, biểu thức tán sắc và dao động nguyên tử thực của tinh thể chứa tạp chất trong lý thuyết XAFS đối với tinh thể cấu trúc BCC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THANH HUYỀN

TÍNH THẾ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ HIỆU DỤNG, BIỂU
THƯC TÁN SẮC VÀ DAO ĐỘNG NGUYÊN TỬ THỰC CỦA
TINH THỂ CHỨA TẠP CHẤT TRONG LÝ THUYẾT XAFS
ĐỐI VỚI TINH THỂ CẤU TRÚC BCC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THANH HUYỀN

TÍNH THẾ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ HIỆU DỤNG, BIỂU
THƯC TÁN SẮC VÀ DAO ĐỘNG NGUYÊN TỬ THỰC CỦA
TINH THỂ CHỨA TẠP CHẤT TRONG LÝ THUYẾT XAFS
ĐỐI VỚI TINH THỂ CẤU TRÚC BCC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN HÙNG

Hà Nội - Năm 2014


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy
GS.TSKH Nguyễn Văn Hùng, thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian
em làm luận văn này. Được làm việc với thầy đối với em thực sự có ý nghĩa to lớn,
thầy không chỉ dạy bảo em về mặt kiến thức mà cịn giúp em tự tin có ý chí phấn
đấu hơn công việc, nhờ tác phong làm việc khoa học của thầy.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Vật lý lý
thuyết đã nhiệt tình truyền đạt kiến thức và tạo điều kiện cho em hoàn thành luận
văn.
Xin chân thành cảm ơn các bạn trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết đã đóng góp
ý kiến q báu giúp em hồn thiện luận văn luận văn. Ngoài ra, em muốn gửi lời
cảm ơn tới gia đình, bạn bè cùng những người thân yêu nhất đã hết lịng động viên,
khích lệ, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Học viên

Nguyễn Thanh Huyền


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU................................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG MẠNG ............................................. 4
1.1 Phƣơng trình chuyển động của dao động mạng. ................................................................4
1.2 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyển tử. ............................................8
1.3 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử. ........................................... 11

1.4 Dao động của mạng thực – Dao động định xứ. ................................................................ 16
1.5 Hệ số Debye – Waller. ...................................................................................................... 21

CHƢƠNG 2: XẤY DỰNG CÁC BIỂU THỨC TÍNH THẾ TƢƠNG TÁC
NGUYÊN TỬ HIỆU DỤNG, BIỂU THỨC TÁN SẮC, DAO ĐỘNG MẠNG
THỰC VÀ HỆ SỐ DEBYE –WALLER CỦA TINH THỂ CHỨA TẠP CHẤT
TRONG CẤU TRÚC BCC. ................................................................................... 23
2.1 Cấu trúc mạng tinh thể bcc. ............................................................................................ 23

2.1.1 Liên kết kim loại. .................................................................................. 23
2.1.2 Cấu trúc mạng tinh thể bcc (body centered cubic). ............................... 24
2.2 Biểu thức tính thế tƣơng tác nguyên tử hiệu dụng của tinh thể chứa tạp chất trong cấu
trúc bcc................................................................................................................................... 25
2.3 Biểu thức tán sắc của tinh thể chứa tạp chất trong cấu trúc bcc. ..................................... 29
2.4 Dao động của mạng thực ................................................................................................. 31
2.5 Tính hệ số Debye – Waller hay cumulant bậc 2 σ2 ........................................................... 32

CHƢƠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH SỐ VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ........................... 34
3.1 Tính số đối với các tham số nhiệt động khi Fe nhiễm W và Cr và thế hiệu dụng ............. 34

3.1.1 Thế Morse đối với nguyên tử Fe, W, Cr và Fe-W, Fe-Cr ...................... 35
3.1.2 Thế tương tác nguyên tử hiệu dụng điều hòa của Fe, W, Cr, Fe-W, Fe-Cr.36
3.2 Đƣờng cong tán sắc. ......................................................................................................... 37

3.2.1 Đường cong tán sắc của Fe, W, Cr. ...................................................... 37
3.2.2 Đường cong tán sắc của Fe-W, Fe-Cr với các nhánh âm và nhánh quang.
...................................................................................................................... 39
3.3 Dao động nguyên tử của Fe khi nhiễm tạp W và Cr......................................................... 41

3.4 Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe khi bị nhiễm tạp W và Cr ................................. 43
3.5 Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số Debye-Waller của Fe, W, Cr, Fe-W, Fe-Cr........................ 45
3.6 Sự phụ thuộc nhiệt độ của biên độ dao động nguyên tử của Fe, W, Cr và Fe-W, Fe-Cr.. 46

KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................ 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 48


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1: Tọa độ các nguyên tử ............................................................................. 27
Bảng 2: Các thông số hệ số [2] ............................................................................ 34
Bảng 3: Các giá trị tính tốn của Fe khi nhiễm tạp chất W, Cr. ....................... 35


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.2.1 Hệ một chiều gồm một loại nguyên tử .................................................... 8
Hình 1.2.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều gồm một loại nguyên tử ................. 10
Hình 1.3.1 Hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử ................................................... 11
Hình 1.3.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều hai loại nguyên tử ......................... 13
Hình 1.3.3 Dao động âm học ................................................................................. 14
Hình 1.3.4 Biểu diễn nhánh âm và nhánh quang .................................................... 16
Hình 1.3.5 Hình biểu diễn sóng dọc L và sóng ngang T ......................................... 16
Hình 2.1.1 Liên kết kim loại gồm cation (+) ở nút mạng và electron hóa trị (e)
chuyển động tự do. ................................................................................................ 23
Hình 2.1.2 Các loại mạng tinh thể kim loại............................................................ 24
Hình 2.1.3 Cấu trúc mạng tinh thể lập phương tâm khối. ...................................... 24
Hình 2.2.1 Hình vẽ mơ tả việc xác định tọa độ của các nguyên tử......................... 27
Hình 3.1.1a Thế Morse đối với nguyên tử Fe, W và Fe-W...................................... 35
Hình 3.1.1b Thế Morse đối với nguyên tử Fe, Cr và Fe-Cr. ................................... 36
Hình 3.1.2a Thế tương tác nguyên tử hiệu dụng điều hòa của Fe, W và Fe-W. ...... 36

Hình 3.1.2b Thế tương tác nguyên tử hiệu dụng điều hòa của Fe, Cr và Fe-Cr. .... 37
Hình 3.2.1a Đường cong tán sắc của Fe. ............................................................... 37
Hình 3.2.1b Đường cong tán sắc của W................................................................. 38
Hình 3.2.1a Đường cong tán sắc của Cr. ............................................................... 38
Hình 3.2.2a Đường cong tán sắc của Fe-W với các nhánh âm và nhánh quang. .... 39
Hình 3.2.2b Đường cong tán sắc của Fe-Cr với các nhánh âm và nhánh quang. ... 39
Hình 3.2.2c Đường cong tán sắc của Fe-W và Fe-Cr với các nhánh âm và nhánh quang.
.............................................................................................................................. 40
Hình 3.3a Dao động nguyên tử của Fe khi nhiễm tạp W. ....................................... 41
Hình 3.3b Dao động nguyên tử của Fe khi nhiễm tạp Cr. ...................................... 41
Hình 3.3c Dao động nguyên tử của Fe – W và Fe – Cr. ......................................... 42
Hình 3.4a Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe khi bị nhiễm tạp W. ................. 43
Hình 3.4b Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe khi bị nhiễm tạp Cr. ................ 43


Hình 3.4c Sự dịch pha của dao động nguyên tử Fe-W và Fe-Cr. .......................... 44
Hình 3.5a Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số Debye-Waller của Fe, W, Fe-W. ......... 45
Hình 3.5b Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số Debye-Waller của F, Cr, Fe-Cr. ......... 45
Hình 3.6a Sự phụ thuộc nhiệt độ của biên độ dao động nguyên tử của Fe, W, và Fe-W... 46
Hình 3.6b Sự phụ thuộc nhiệt độ của biên độ dao động nguyên tử của Fe, Cr và, Fe-Cr.
.............................................................................................................................. 46


MỞ ĐẦU
Ngày nay, những thành tựu Khoa học kỹ thuật đóng vai trị to lớn trong việc
thúc đẩy nhiều ngành nghề phát triển, trong đó khơng thể khơng kể đến sự phát triển
của các bộ mơn Khoa học nói chung và Vật lý hiện đại nói riêng. Nền tảng cốt lõi
của của sự phát triển đó chính là sự nghiên cứu các tính chất vật lý của vật rắn,
tương tác giữa các nguyên tử trong vật rắn, các tham số nhiệt động, các tham số cấu
trúc và hiệu ứng dao động nhiệt nguyên tử của các hệ vật liệu. Cho nên nó được

phát triển rộng rãi trên cả mảng lý thuyết lẫn thực nghiệm với nhiều phương pháp
khác nhau.
Sử dụng phương pháp XAFS là một phương pháp hữu nghiệm trong việc xác
định cấu trúc vật thể khơng những thích hợp với các vật liệu có cấu trúc định hình
mà cịn rất ưu thế đối với việc nghiên cứu các vật liệu có cấu trúc vơ định hình. Sự
phát triển rộng rãi của kỹ thuật này khơng chỉ vì bản chất lượng tử của nó mà cịn vì
những lợi ích thực tiễn đã mang lại cho nhiều ngành nghiên cứu khác. Tính ưu việt
của phương pháp này cho ta thơng tin về số nguyên tử trên quả cầu phối vị và ảnh
Fourier của các phổ trên cho thông tin về bán kính của các quả cầu này.
XAFS là kết quả của q trình hấp thụ trong đó do tác dụng của photon tia X
điện tử chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối. Cụ thể là dưới tác dụng của
photon tia X một quang điện tử phát ra khỏi nguyên tử. Nó bị tán xạ bởi các nguyên
tử lân cận rồi quay trở lại giao thoa với sóng của quang điện tử mới phát ra và cho
ta hình ảnh về cấu trúc tinh thể. Do chuyển động giữa chùm các nguyên tử bao
quanh nguyên tử hấp thụ hay nguyên tử trung tâm nên phổ XAFS không chỉ cho
thông tin về cấu trúc mà cịn cung cấp thơng tin về các tính chất nhiệt động của các
nguyên tử dao động cấu thành vật thể.
Dao động mạng thực thường liên quan đến sự có mặt của nguyên tử tạp chất.
Và nghiên cứu các tính chất nhiệt động học của các tinh thể trong những trường hợp
này là một đề tài thú vị [3, 4]. Dao động nguyên tử luôn luôn bị chi phối bởi các thế
tương tác. Thế Morse đã được tính toán [3, 11] nhưng với thế tương tác đơn cặp
tinh khiết này không đủ để mô tả dao động nguyên tử [6] và mơ hình thế tương tác

1


hiệu dụng đã phát triển để xem xét bằng số lực địa phương trong nghiên cứu XAFS
(X- ray Absorption Fine Structure) [8, 10, 11]. Đối với hệ gồm hai loại nguyên tử
người ta xây dựng thế tương tác hiệu dụng với đóng góp của các thế tương tác cặp
một chiều [6, 7]. Các hiệu ứng tán sắc cho ta một liên hệ giữa tần số dao động và số

sóng trong vùng Brillouin thứ nhất của vật rắn.
Thế tương tác và hằng số lực có ý nghĩa quan trọng cho nghiên cứu các đặc
tính vật lý, chẳng hạn như các tham số nhiệt động của mạng tinh thể. Trong đó, các
Cumulant bậc nhất hay độ giãn nở mạng, cumulant bậc hai hay hệ số Debye –
Waller, cumulant bậc ba hay độ dịch pha của phổ XAFS… đã được xem xét rất
nhiều cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm trong phương pháp cấu trúc tinh thể của hiện
tượng hấp thụ tia X. Nó cũng rất quan trọng trong việc nghiên cứu các đặc tính
nhiệt động học của hệ vật chất khi có sự pha tạp các nguyên tử hoặc là của các hệ
hợp kim. Một nghiên cứu quan trọng cả về thực nghiệm lẫn lý thuyết đối với thế
tương tác nguyên tử và các hằng số lực địa phương trong các hệ vật liệu có chứa tạp
chất đã được thực hiện. Cơng trình này đã được cơng bố tại tạp chí Physical Review
B – (2004) [12]. Các kết quả thực nghiệm đã được phân tích trên cơ sở mơ hình
Einstein tương quan phi điều hịa [8], trong đó dựa vào các lực địa phương mơ hình
bỏ qua các hiệu ứng tán sắc. Tuy nhiên để tính các hiệu ứng tán sắc đặc biệt trong
trường hợp hệ gồm hai loại nguyên tử, ta có thể sử dụng mơ hình Debye tương quan
phi điều hịa, tức là mơ hình trong đó các ngun tử dao động trong một dải tần số
cực đại là tần số Debye để có thể tính các nhánh tần số âm và quang, trong dao
động nguyên tử điều này sẽ thuận tiện khi xét các dao động thực đối với các tinh thể
có chứa ngun tử tạp chất.
Mục đích của luận văn thạc sĩ này là xây dựng phương pháp lý thuyết trong
tính tốn và định giá các biểu thức tán sắc, các dao động nguyên tử, hệ số Debye
Waller trong XAFS đối với các tinh thể cấu trúc bcc có chứa nguyên tử tạp chất sử
dụng phương pháp thế hiệu dụng gồm có các tham số thế Morse.
Nhiệm vụ chính: Xây dựng các biểu thức giải thích để tính thế hiệu dụng phi
điều hòa và hằng số lực hiệu dụng, tính hiệu ứng tán sắc với các nhánh âm và

2


quang, vùng cấm giữa các nhánh này, tần số và nhiệt độ Debye, sự biến đổi biên độ

và pha của dao động thực trong chuỗi nguyên tử có chứa nguyên tử tạp chất cũng
như sự định xứ của dao động nguyên tử tạp chất.
Lập trình một số thảo luận kết quả.
Phương pháp chính được sử dụng trong bài luận văn này là phương pháp đại
số và phương pháp thống kê lượng tử. Các hiệu ứng phi điều hòa là kết quả của
tương tác phonon – phonon. Mơ hình sử dụng là mơ hình Debye tương quan phi
điều hịa, nó được xây dựng trên cơ sở thống kê lượng tử và phương pháp thế hiệu
dụng.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày đại cương về dao dộng mạng. Trong chương này tính
tốn được độ dịch pha và độ dịch chuyển của các nguyên tử khi mạng tinh thể có
khuyết tật (1.3). Biểu thức của hệ số Debye Waller cũng được dẫn ra trong chương
này. Các kết quả của luận văn được trình bày chủ yếu tại chương 2 và chương 3.
Chương 2: Xây dựng cơng thức tính hệ số đàn hồi hiệu dụng cho tinh thể có
cấu trúc lập phương tâm khối (bcc) dựa trên thế tương tác hiệu dụng có bao chứa
thế Morse đặc trưng cho tương tác cặp (thế Morse). Từ đó áp dụng vào xây dựng
biểu thức tán sắc (biểu thức sự phụ thuộc của tần số dao động vào số sóng) và tính
hệ só Debye Waller dựa trên mơ hình Debye tương quan phi điều hịa.
Chương 3: Áp dụng tính số thảo luận. Trên cơ sở đó các biểu thức thu được ở
chương 2 được áp dụng số liệu tính số cho tính thế Fe có chứa nguyên tử tạp chất W
và Cr.
Kết quả thu được sẽ là các biểu thức tán sắc với các nhánh âm và nhánh
quang, vùng cấm giữa chúng, các hằng số lực hiệu dụng, tần số và nhiệt dộ Debye,
sự biến đổi và pha của dao động và hệ số Debye – Waller phụ thuộc vào nhiệt độ.

3


CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG MẠNG
1.1 Phƣơng trình chuyển động của dao động mạng.

Vật rắn là kết quả của sự liên kết các phần tử hay nguyên tử lại với nhau bằng
các lực nhất định, như lực Van – der – walls [2]. Các nguyên tử này luôn dao động
xung quanh vị trí cân bằng và chúng nằm trong chuyển động nhiệt của toàn vật thể.
Để nhận được phổ dao động của toàn mạng ta cần xuất phát từ các lực địa
phương và mô tả chuyển động một cách đầy đủ. Khi dao động, vị trí của nguyên tử
dịch chuyển trên một giá trị u nào đó. Do dao động nhỏ, nên ta cá thể phân tích thế
năng tương tác  giữa các nguyên tử thành chuỗi Taylor theo các thành phần
Decartes ukn là độ dịch chuyển của ngun tử k tại ơ mạng n, trong đó α, (α,β) = x,
y, z:
    1
  2   


1
 2
   0     .ukn 
   .uknuk ' n ' 
  
.



2 kk '.nn '.  ukn uk ' n ' 
3! kk 'k''.nn 'n''.  ukn uk ' n 'uk '' n ''  (1.1.1)
kn  ukn 
 
.ukn
uk ' n 'uk '' n ''  ...

Tại các đạo hàm, chỉ số 0 ký hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng.

Ta sử dụng phương pháp Lagrange để xây dựng phương trình chuyển động
của dao động mạng tinh thể, trong đó động năng có dạng.:
T

1
 M k ukn
2

2

(1.1.2)

Với M k là khối lượng nguyên tử k. Thành phần với đạo hàm bậc nhất trong
thể năng (1.1.1) bằng 0 do ta xét nguyên tử ở vị trí cân bằng. Khi đó hàm Lagrange
của hệ bằng:
L

    1
  2   
1
2
M k ukn     .ukn

   .uknuk ' n '


2
2 kk '.nn '.  ukn
uk ' n ' 
kn  ukn 

Và phương trình chuyển động:

M k ukn

2

d L
L
   0 sẽ là:

dt ukn ukn
  2  
1
     uk ' n '
2 k ' n '   ukn uk ' n ' 

4

(1.1.3)


Ta giới hạn ở dao động tử điều hòa, nên trong (1.1.3) chỉ còn thành phần với
đạo hàm bậc 2 và bỏ qua các số hạng gần đúng bậc cao vì chúng mơ tả các đóng
góp phi điều hịa.
Hệ phương trình chuyển động trên bao gồm vơ số các phương trình vi phân.
Ta xét các hệ phía bên phải (1.1.3).
 2



     Gkn;k ' n '
 ukn uk ' n '  0

(1.1.4)

Chúng đóng vai trị hệ số đàn hồi đối với dao động giữa các nguyên tử k tại ô
mạng n và k’ tại ô mạng n’. Các hệ số trên tạo thành các số hạng của một tenxơ. Khi
đó phương trình (1.1.3) có thể viết dưới dạng vectơ đơn giản hơn:





M k ukn   Gkn;k ' n ' uk ' n '

(1.1.5)

k 'n'

Phương trình trên (1.1.5) giải thích như sau:
Mỗi số hạng trong tổng phía bên phải là các lực tác dụng lên nguyên tử k nằm
trong ơ mạng n, nó được tạo lên bởi nguyển tử k’ trong ơ mạng n’ khi nó dịch
chuyển vị trí trên một giá trị uk ' n ' . Ta giả thiết là thế năng tổng của mạng chỉ do các
lực giữa các cặp nguyên tử tạo nên, vì vậy có thể viết ngay phương trình khi biết lực
tác dụng giữa các nguyên tử. Các lực này khơng phụ thuộc vào vị trí tuyệt đối của
các ơ mạng n và n’, mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng là h  Rn '  Rn
nên:
Gkn;k ' n '  Gkk ' (h)

(1.1.6)

Khi đó phương trình chuyển động (1.1.5) có dạng:
M k ukn   Gkk '  h uk ', Rn  h

(1.1.7)

k 'n '

Theo định lý Bloch các phương trình này phải có dạng bất biến đối với chuyển
dịch tịnh tiến, nghĩa là khi chuyển từ chỉ số n sang n” ta lại nhận được chính hệ số
đó.

5


Giả sử ta tìm được một nghiệm của phương trình trên là tập hợp các hàm của
thời gian mà nó mô tả ukn đối với từng giá trị của Rn . Khi đó các hàm này phải thỏa
mãn định lý Bloch. Như vậy tồn tại một vectơ sóng q sao cho:
ukn (t )  eiq.Rn uk ,0 (t )

(1.1.8)

Trong đó uk ,0 (t ) là độ dịch chuyển trong ô mạng mà ở đó có gốc tọa độ đối với
các vectơ mạng Rn . Cần lưu ý rằng trong tất cả các ô mạng các nguyên tử chuyển
động cùng hướng và cùng biên độ, chỉ có pha thay đổi khi chuyển động từ ô mạng
này sang ô mạng khác.
Đặt (1.1.8) vào (1.1.7) ta nhận được:
M k ukn   Gkk '  h uk ',0 eiq.h

(1.1.9)

k 'h

Vì gốc tọa độ được chọn một cách tùy ý và xét nghiệm với một giá trị xác định
của vectơ q nên ta viết:
uk ,0  U k ,q

(1.1.10)

Thay (1.1.10) vào (1.1.9) ta nhận được:


M k ukn    Gkk '  h  eiq.h U k ',q   Gkk '  q U k ',q
k'  h
k'


(1.1.11)

Trong đó:
Gkk '  q    Gkk '  h  eiq.h

(1.1.12)

h

Là thành phần Fourier của tenxơ lực Gkk '  q  và Gkk '  h  (trong một số tài liệu)
được gọi là ma trận động lực.
Các phương trình (1.1.11) được giải một cách tương đối đơn giản. Vấn đề
quan trọng nhất là giới hạn số lượng các phương trình này. Giả sử có s ngun tử

trong một ơ mạng và vật thể có N ơ mạng. Nếu sử dụng 3 thành phần của tọa độ
Decartes thì các phương trình ban đầu (1.1.3), (1.1.5) có 3sN phương trình. Tuy
nhiên ta sử dụng sự bất biến đối xứng chuyển dịch tịnh tiến, cho nên chỉ cần xét
chuyển động trong một ô mạng rồi từ đó suy ra tồn bộ, do đó hệ phương trình

6


(1.1.11) chỉ chứa 3s phương trình, đó là 3 phương trình thành phần đối với một
trong các giá trị của chỉ số k.
Như trong lý thuyết dao động ta phải giả thiết là U kq chứa thừa số thời gian
dưới dạng:
U k ' q (t )  U k ' q (0)eit

(1.1.13)

Trong đó  là tần số của dao động.
Thay (1.1.13) vào (1.1.11) ta có thể nhận được hệ 3s phương trình:

 G (q)   M 
2

kk '

k



kk ' 

U


k 'q

0

(1.1.14)

k'

Đối với các thành phần U kq .
Để giải hệ phương trình trên ta đặt định thức trong dấu ngoặc bằng khơng và
tìm các nghiệm  2 của phương trình:
Gkk' (q)   2 M k  kk '  0

(1.1.15)

Các nghiệm  2 của phương trình thế kỷ trên có giá trị thực.
Ta xét có 3s nghiệm  j :
   j (q) ; j= 1,2,3….3s.

(1.1.16)

Các biểu thức tán sắc này rất quan trọng mà ta sẽ thấy sau. Sử dụng các giá trị
 2 sẽ được các U k' q (0) và từ đó tìm được U k' q (t ).

Thực tế là ta tìm 3s dao động chuẩn của s nguyên tử trong một ô mạng cơ sở,
trong đó ta đã giả thiết là sự tương tác giữa các nguyên tử này được mô tả bởi tenxơ
lực Gkk '  q  , mà chúng khác nhau đối với các vectơ sóng khác nhau. Trong phương

trình (1.1.14) đối với tenxơ G , người ta lấy tổng các đóng góp của các thành phần
kk '

tọa độ Decartes cũng như sự tương tác của các nguyên từ dạng k trong mỗi ô mạng
cơ sở với tất cả các nguyên tử dạng k’ trong một ô mạng cơ sở khác nhau. Để hiểu
tính chất của các sóng mạng trên, trong phần tiếp theo ta sẽ xét các trường hợp đơn
giản khi các nguyên tử nằm trên một chuỗi tuyến tính.

7


1.2 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyển tử.
Giả sử ta có chuỗi các nguyên tử trong hệ một chiều mà mỗi ơ mạng chỉ có
một nguyên tử với khối lượng M và nó chỉ tương tác với các nguyên tử gần nhất
(H1.2.1).Từ (1.1.1) ta dễ dàng nhận được thế năng tương tác cho trường hợp này


1
  (un  un1 )2
2 n

(1.2.1)

a
un1

un



n 1

un1



n 1

n

Hình 1.2.1 Hệ một chiều gồm một loại nguyên tử
Lực tương tác ở đây là lực đàn hồi nên  là hằng số lực hay hệ số đàn hồi.
Các nguyên tử với khối lượng M, liên kết với nhau qua các lò xo với lực đàn hồi  .
Do dao động mà nguyên tử ở vị trí n sẽ dịch chuyển một khoảng un , nguyên tử ở vị
trí (n – 1) sẽ dịch chuyển một khoảng un1 và nguyên tử ở vị trí (n +1) sẽ dịch
chuyển một khoảng un1 . Như vậy ta xét thế năng tương tác giữa nguyên tử n với
các nguyên tử lân cận n  1 có khoảng cách bằng a (hằng số mạng) (H2.2.1). Khi đó
từ (1.1.5) ta nhận được phương trình chuyển động:
Mun   (un  un1 )   (un  un1 )   (2un  un1  un1 )

(1.2.2)

Cách giải phương trình này cũng tương tự như trong mục 1.1 nghĩa là coi
nghiệm un chứa một thừa số biểu diễn sự phụ thuộc thời gian dưới dạng:

un  U 0 e

i ( q . Rn q t )

 U qe

iq t

(1.2.3)

U q  U 0 eiqRn

q là tần số của dao động mạng và q là véctơ sóng. Thay (1.2.3) vào (1.2.2) ta

nhận được

8


iq t

q2 MU q e

  (2  eiqa  eiqa )U q e

iq t

(1.2.4)
Trong đó ta sử dụng các biểu thức
iq t

un  q2U q e

(1.2.5)

un 1  U q ei (t  qa )

(1.2.6)

Tiếp theo, trong (1.2.4) ta sử dụng công thức:
eiqa  cos qa  isin qa

Và ước lược các thừa số ei t thì (1.2.6) chuyển thành dạng
q

(1.2.6’)

q2 MU q  2  (1  cos qa )U q

(q2 M  4 sin 2

Hay

qa
)U q  0
2

(1.2.7)

Nó có dạng tương tự phương trình (1.1.14). Đó là phương trình dao động của
mộ dao động tử điều hịa đơn giản. Muốn giải phương trình này ta đặt định thức
q2 M  4 sin 2

qa
0

2

Và từ đây ta nhận được tần số dao động:
q 



 qa 
2 sin  
M
 2 

(1.2.8)

Đó là biểu thức tán sắc, tức là sự phụ thuộc của tần số dao động vào số sóng
mà được mơ tả trên (H1.2.2).
q  qa

q





0

a


a

9

q


M


Hình 1.2.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều gồm một loại nguyên tử
Kết quả trên đã đưa tới nhận xét sau đây:
1. Biểu thức (1.2.8) cho thấy tất cả các dao động khả dĩ được xác định qua các
giá trị q nằm trong vùng:



a

q


a

(1.2.9)

Đó chính là vùng BZ1. Do mỗi giá trị q nằm ngồi vùng trên thơng qua các
véctơ mạng đảo g được đưa về BZ1 nên nó cũng mơ tả một dao động ở trong BZ1:
un  Uei ( q  g ).Rn  Ueiq.Rn

(1.2.10)

Điều này cho phép ta xét tất cả các véctơ sóng nằm ngoài BZ1. Tần số q theo
(1.2.8) là hàm tuần hoàn đối với q, cho nên tất cả các giá trị của q, mà chúng được
đưa về cùng một điểm trong BZ1, sẽ ứng với cùng tần số. Có N nghiệm khác nhau
ứng với N giá trị cho phép của số sóng q trong BZ1. Điều đó ứng với số bậc tự do
(bằng N) của ô mạng ban đầu.
2. Đối với các giá trị nhỏ của q (qa <<1) mà bước sóng  

2
, nghĩa là đối
q

với sóng dài, ta nhận được:
sin

qa qa


 q 
qa
2
2
M

(1.2.11)

Vận tốc truyền sóng, tức vận tốc truyền năng lượng trong môi trường, sẽ là
hằng số
v

d

dq


M

a  const

(1.2.12)

Sự tỉ lệ giữa tần số và số sóng tương tự với tính chất của các sóng đàn hồi
thơng thường trong môi trường liên tục. Điều này cũng dễ hiểu, vì khi bước sóng
kích thích rất lớn so với hằng số mạng thì chuỗi ngun tử có thể coi như một dây
đàn hồi.

10


3. Đối với các giá trị của q, vận tốc truyền sóng khơng cịn coi là hằng số, cụ
thể là từ (2.2.8) ta nhận được:
v

d

qa
a
cos
dq
M

2

(1.2.13)


Đối với giá trị q  qmax   ta có   2a và vận tốc truyền sóng v = 0. Như
a

vậy ở biên BZ vận tốc truyền sóng bằng 0. Điều đó ứng với sự tạo thành sóng dừng.
Khi q  


a

tần số có giá trị cực đại:
q  max  2



(1.2.14)

M

Là tiếp tuyến nằm ngang. Khi đó khơng cịn sự phụ thuộc tuyến tính vào số
sóng và xuất hiện tính chất gọi là sự tán sắc. Khi đó (1.2.8) có dạng:
q  max sin

qa
2

1.3 Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử.
Ta xét một chuỗi tuyến tính gồm các nguyên tử có khoảng cách và hằng số lực
(hệ số đàn hồi) bằng nhau như trước đây, nhưng với hai loại khối lượng M1  M 2 ,
mà chúng tương tác với nhau (H1.3.1). Như vậy ta có ơ mạng cơ sở với hai nguyên
tử khác nhau và hằng số mạng là 2a.
2a
a
M1

u1,n  2

a

M1

M2

u2,n2

a

M2

u1,n

u2,n

Hình 1.3.1 Hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử

11

M1

u1,n  2

M2

u2,n2


Gọi u1.n và u2.n là độ dịch chuyển của M 1 và M 2 tại vị trí n, u1.n2 và u2.n2 là
độ dịch chuyển của nguyên tử M 1 và M 2 tại vị trí n+2 và, u1.n2 và u2.n2 là độ dịch
chuyển của nguyên tử M 1 và M 2 tại vị trí n – 2. Đồng thời phân tích ta nhận được:
M 1u1.n     u1.n  u2.n     u1.n  u2.n 2 

(1.3.1)

M 2u2.n     u2.n  u1.n  2     u2.n  u1.n 

Hay:
M1u1.n   (2u1.n  u2.n  u2.n2 )

(1.3.2)

M 2u2.n   (2u2.n  u1.n  u1.n2 )

Tương tự như trong mục 2.2 ta thay
u1.n  U1eit ; u1.n   2U1eit

(1.3.3)

u2.n  U 2eit ; u2.n   2U 2eit

…..
u1.n  2  U1ei (2 qa t ) và u2.n2  U 2ei ( 2 qa t )

Vào các phương trình (1.3.2) ta nhận được
(2   2 M1 )U1   (1  ei 2 qa )U 2  0

(1.3.4)

 (1  ei 2 qa )U1  (2   2 M 2 )U 2  0

Để giải hệ phương trình (2.3.4) ta giải định thức:
(2   2 M1 )   (1  ei 2 qa )
  (1  ei 2 qa )(2   2 M 2 )

0

(1.3.5)

Và nhận được phương trình đối với 
M1M 2 4  2 ( M1  M 2 ) 2  2 2 (1  cos2qa)  0

(1.3.6)

Nó cho hai nghiệm sau đây
2

 M  M 2  4sin 2 qa

M  M2
  1
  1
 
M 1M 2
M1M 2
 M1M 2 
2


(1.3.7)

Các nghiệm trên được biểu diễn trên H1.3.2 như các hàm của số sóng q và đồ
thị bao gồm 2 nhánh dối với  và 

12





Quan
g
Âm 





0

q

2a


2a

Hình 1.3.2 Biểu thức tán sắc cho hệ một chiều hai loại nguyên tử
1. Nhánh âm ứng với nghiệm  : Từ (1.3.7) ta thấy:
Khi q = 0:   0
Khi q  0 : sin 2 qa  (qa)2 nên
2
aq
M1  M 2

 

Khi q  


2a

; sin 2 qa 1

(1.3.8)

và
 

2
M1

(1.3.9)

Như vậy, nhánh ứng với  có dạng giống như chuỗi có chứa một loại nguyên
tử. Tại tâm BZ q = 0 nên   0 và gần tâm vùng BZ theo (1.3.8) tần số  tỷ lệ với q,
do đó vận tốc truyền năng lượng dao động là hằng số như (1.2.12), cụ thể là:
v

d

dq

13

2
a  const
M1  M 2

(1.3.10)


Chính nó bằng vận tốc truyền âm, nên nhánh ứng với  gọi là nhánh âm, các
nguyên tử dao động gần như cùng pha với nhau, giống như dao động âm học có
bước sóng lớn (H1.3.3a).
2. Nhánh quang ứng với nghiệm  . Từ (1.3.7) ta nhận được:
  2

Khi q = 0:

Khi q  


2a

 

:

M1  M 2
M 1M 2

(1.3.11)

2
M2

(1.3.12)

Trong tinh thể ion, các nguyên tử M 1 và M 2 mang điện tích trái dấu nhau
(H1.3.3b). Khi chúng dao động, mômen lưỡng cực điện do chúng tạo lên cũng biến
đổi tuần hồn. Ánh sáng (sóng điện từ) tương tác mạnh với dao động mạng thuộc
loại này. Nói cụ thể hơn, vectơ điện trường E của ánh sáng tương tác mạnh với mô
men lưỡng cực của tinh thể, nếu ánh sáng có tần số bằng  . Chính vì lí do đó mà
nhánh này được gọi là nhánh quang.

+

+

-

a
,

+

-

q

+
+
+
+

+
+

b,

+

-

-

-

-

-

-

-

.

q

Hình 1.3.3 Dao động âm học
Trên phổ (q) có một khoảng giá trị từ  

2
tới  
M1

2
M2

không ứng

với nghiệm nào của phương trình sóng truyền trong mạng tinh thể. Nói khác đi,
trong mạng tinh thể khơng có dao động ứng với tần số trong khoảng này. Đó là đặc

14


điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong một ô cơ số. Trong trường hợp

này ở biên BZ1 có vùng cấm. Sóng ứng với tần số trong khu vực đó khơng lan
truyền trong tinh thể được mà bị hấp thụ mạnh.
Ta có thể xét việc chuyển từ ơ mạng chứa một nguyên tử sang ô mạng chứa 2
nguyên tử. Giả thiết rằng trong trường hợp đầu một ô mạng cơ sở có 2 nguyên tử
cùng khối lượng. Khi đó tại q 


2a

từ (1.3.7) sẽ nhận được:
2 

2
M

(1.3.13)

Nghĩa là nhánh quang và nhánh âm gặp nhau tại q 


2a

(H2.2.4a). So sánh với

H1.2.2 ta có số lượng dao động (mode) gấp đơi. Việc tăng gấp đơi kích thước của ơ

 
mạng cơ sở      tương đương với việc BZ được chia đơi. Ta có thể dùng
a
 2a

một phép tịnh tiến AB và AB’ trên một đoạn 


a

, nghĩa là trên một véc tơ mạng

đảo, từ H1.2.4a nhận được H1.3.4b. Khi đó nhánh quang và nhánh âm gặp nhau và
kiên tục tại 


2a

. Nếu khối lượng của hai nguyên tử trong ô mạng cơ sở khác nhau

sẽ dẫn đến xuất hiện một vùng biên mới tại 


2a

. Tần số trên các vùng biên này

khơng cịn liên tục nữa, mà xuất hiện các khe được biểu diễn trên H1.3.4c.
Trong trường hợp hệ 3 chiều sẽ có 3 dạng khác nhau của các sóng âm chuyển
đi với tốc độ khác nhau. Sự khác nhau cơ bản của 3 sóng âm trên nằm trong sự phân
cực. Trong một môi trường đẳng hướng, ta có một sóng phân cực dọc, nghĩa là
véctơ chuyển dịch của mỗi nguyên tử chỉ theo hướng chuyển dịch của sóng và hai
sóng kia có cùng tốc độ, nhưng phân cực ngang, nghĩa là các nguyên tử chuyển
động trên mặt vng góc với véctơ sóng. Nói chung sóng dọc có tốc độ truyền sóng

lớn hơn tốc độ của sóng ngang, nên các mặt với tần số khơng đổi trong không gian
q được biểu diễn trên H1.3.5a. Tuy nhiên, một vật rắn thường không đẳng hướng.
Tốc độ truyền sóng phụ thuộc vào hướng. Do đó, các mặt với tần số không đổi sẽ

15


khác với mặt cầu như biểu diễn trên H1.3.5b. Trên H1.3.5a ta kí hiệu L đối với sóng
dọc và T đối với sóng ngang.




A
’
A

A’
A

B
’

B
A

A
’




2a

0


2a




a





0

2a


2a


a




a




2a

0


2a


a

Hình 1.3.4 Biểu diễn nhánh âm và nhánh quang

Hình 1.3.5 Hình biểu diễn sóng dọc L và sóng ngang T
Theo tính chất bất biến đối với chuyển dịch tịnh tiến, các nghiệm đối với véctơ
sóng q'  q  g đồng nhất với các nghiệm đối với véc \tơ sóng q nên tần số q tuần
hồn với chu kì g . Vì vậy, các mặt với tần số khơng đổi trên H1.3.4 sẽ được lặp lại
trong tồn không gian (trong sơ đồ lặp lại) [2].
1.4 Dao động của mạng thực – Dao động định xứ.
Cho đến nay ta mới xét các trường hợp lý tưởng của chuỗi các ngun tử
khơng có một nhiễu loạn nào cả [2]. Thực tế mạng tinh thể ln có khuyết tật. Ta
xét các trường hợp đơn giản nhất là chuỗi tinh thể tuyến tính trong đó ngun tử ở
điểm khuyết tật có khối lượng là M 0  M (1   ) tại điểm ứng với chỉ số thứ tự
nguyên tử l= 0 và độ dịch chuyển của nó là u0 (H1.4.1) (  có thể âm hoặc dương).
Nói chung hằng số lực hay hệ số đàn hồi đối với nguyên tử khuyết tật có thay đổi

16


mà ta ký hiệu là 0 và tiếp theo ta sử dụng tỷ lệ  / 0  æ . Như vậy ta có thể suy
xét cả trường hợp chuỗi các nguyên tử có khối lượng như nhau (   0 ) nhưng trong
đó hằng số lực có thay đổi do chuỗi có thay đổi do chuỗi nguyên tử có một sai lệch
địa phương nào đó.
Lý luận tương tự ta có được hệ các phương trình:
Mu1    0  u1  u0     u1  u2  ,
M 0u0    0 2  u0  u1  u1  ,
Mu1    0  u1  u0     u1  u2  ,

(1.4.1)

...
Mul    0  2ul  ul 1  ul 1  ,

Như trước đây ta có thể lấy các độ dịch ul tỷ lệ với thừa số phụ thuộc thời
gian exp(-iωt), nên các phương trình chuyển động (1.4.1) có dạng [2]:
 M  2u1    0  u1  u0     u1  u2  ,
 M 0 2u0   0 2  u0  u1  u1  ,
 M  2u1    0  u1  u0     u1  u2  ,

(1.4.2)

...
 M  2ul    0  2ul  ul 1  ul 1  ,

Dùng các kí hiệu  2 max  4 / M , M 0  M (1   )và / 0  ỉ từ phương trình thứ

hai của (1.4.2) ta nhận được:
 4 2

u1  u1   2 æ (1   )  2  u0  0
 max


(1.4.3)

Tương tự như vậy ta nhận được các phương trình:
 4 2

u2  u0   2 æ  æ  1 u1  0
 max


(1.4.4)

 4 2

ul 1  ul 1   2  2 ul  0; l  1, 0
 max


(1.4.5)

Ta bắt đầu với phương trình vi phân (1.4.5) có hệ số khơng đổi và viết phương
trình đặc trưng của nó:

17