BAO CAO NHOM giáo dục toán thực tế RME trong dạy học toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SAU ĐẠI HỌC

BÁO CÁO NHÓM

ĐỀ TÀI:

GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN

Hướng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN PHÚ LỘC
CẦN THƠ NĂM 2015


DANH SÁCH NHÓM

CÁC TỪ VIẾT TẮT
RME

Realistic Mathematics Education

MiC

Mathematics in Context

Phần 1: LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ
CỦA FREUDENTHAL
1. Giới thiệu

Giáo dục toán học thực tế (giáo dục toán học bằng thực tế) được hình thành
từ những năm 1970 ở Hà Lan bởi Hans Freudenthal với tên gọi Realistic
Mathematics Education (RME). Về sau, lý thuyết này được ứng dụng mạnh mẽ
trong giáo dục Toán học ở Anh, Mỹ,… RME còn được biết đến với tên gọi
Mathematics in Context (MiC) (tên gọi này khá phổ biến ở Anh thay vì RME). Từ
năm 1971, viện Freudenthal ở Hà Lan ra đời với chức năng nghiên cứu hướng dẫn
ứng dụng RME trong học tập và giảng dạy toán học. Đến năm 2003, viện
Freudenthal ở Mỹ1 được thành lập nhằm cải thiện tình trạng giáo dục trong toán học
và các phân ngành khoa học khác, mà trọng tâm là nghiên cứu giảng dạy và phát
triển các chương trình giảng dạy với xu hướng gắn kiến thức toán học với thực tế
cuộc sống.
Theo Freudenthal toán học phải liên hệ với thực tiễn, gần gũi với trẻ em và
liên quan đến xã hội. Việc học tốn khơng nên và khơng cần thiết là sự truyền đạt từ
người thầy cho người trò những kiến thức trừu tượng, khó hiểu. Mơn tốn được học
thơng qua việc “phát minh lại” (reinvent) kiến thức bằng một ngữ cảnh cụ thể với
một vài hướng dẫn cần thiết từ giáo viên. Việc lặp đi lặp lại quy trình, giải thuật, của
một bài tốn trên giấy khơng thể tạo cảm hứng sáng tạo cho học sinh và vấn đề ứng
dụng nó ra thực tế đang được quan tâm sâu sắc trong thế giới nghiên cứu hiện đại.

1 Địa chỉ website: ntc 27/02/2015

1


Từ năm 1987, Treffers đã phát triển phong phú tư tưởng giáo dục toán học
bằng thực tế của Freudenthal.

2. Một số khái niệm về RME
Ý tưởng chính của RME là trẻ em nên được trao cơ hội sáng tạo lại kiến thức
toán học dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Ngồi ra các kiến thức tốn học mới cịn

được phát triển từ những hiểu biết vốn có của trẻ em (Treffers, 1991a). Theo quan
điểm này việc học toán cần sự tương tác cao và giáo viên xây dựng bài học dựa trên
ý tưởng của học sinh. Tiếp cận thực tế tốn học như một hoạt động mà trong đó việc
học toán cũng giống như thực hành toán, nghĩa là sẽ giải quyết các vấn đề trong
cuộc sống hàng ngày theo từng ngữ cảnh. Theo Freudenthal (1971) hoạt động giải
quyết vấn đề, tìm kiếm vấn đề, cũng là một hoạt động trong việc tổ chức đối tượng.
Đó có thể là vấn đề từ thực tế nó có thể được tổ chức theo mơ hình tốn học, những
kết quả mới hoặc cũ của riêng bạn hay của người khác thì đều được tổ chức lại theo
một ý tưởng mới, để hiểu rõ hơn, trong bối cảnh rộng lớn hơn bằng một phương
pháp tiên đề. Tổ chức hoạt động đó gọi là hoạt động toán học toán học hoá
(mathematizing2). Các đề cập của Freudenthal về các hoạt động tốn học như một
q trình quan trọng trong việc giáo dục toán học bởi hai lý do.
Thứ nhất, làm việc với các hoạt động toán học khơng chỉ là nhiệm vụ của các
nhà tốn học, mà nó cịn giúp học sinh làm quen với cách tiếp cận tốn học thơng
qua tình huống xảy ra hàng ngày. Ví dụ trong các hoạt động của tốn học để giải
quyết vấn đề theo ngữ cảnh, nó ám chỉ một quan điểm toán học là học sinh nên biết
được ưu điểm và hạn chế của một phương pháp giải quyết bài tốn, biết được khi
nào thì tiếp cận bài toán là phù hợp. Thứ hai, giai đoạn cuối cùng, tốn học được
chính xác hố bằng lý thuyết. Cuối cùng, Freudenthal cho rằng, giáo dục toán học
cho học sinh là một q trình tái tạo lại kiến thức có hướng dẫn của giáo viên, để
các em trải nghiệm lại quá trình sáng tạo tốn học như những nhà phát minh toán
học thực thụ.
2 regard or treat (a subject or problem) in mathematical terms. (chú ý và luận giải một chủ đề hoặc
vấn đề trong thuật ngữ toán học)

2


Q trình khái niệm hố tốn học được miêu tả cụ thể trong hình sau (theo
Lange (1996), dẫn lại từ tài liệu [1]). Hình 1 lý giải tại sao bối cảnh thực tế lại trở

nên quan trọng và là bước khởi đầu khi học tập mơn tốn. De Lange cho rằng q
trình phát triển các khái niệm tốn học đều xuất phát từ thực tế và các giải pháp cuối
cùng cũng để đem ra thế giới thực. Vì vậy những gì chúng ta cần làm trong giáo dục
tốn học là đem những gì từ thế giới thực biến thành các hoạt động tốn học và sau
đó trả về với thế giới thực. Quá trình này dẫn đến việc hình thành khái niệm toán
học.

Thế giới thực

Hoạt động toán học
trong ứng dụng

Hoạt động tốn học
Và sự phản ánh

Trừu tượng và
hình thức hố
Figure 1 Toán học hoá khái niệm
(theo Lange (1996), dẫn lại từ tài liệu [1])

3


3. Các nguyên tắc chính của RME
Theo Gravemeijer (1994, 1997) thì có 3 ngun tắc chủ chốt:
3.1 Hướng dẫn tái tạo để tiến tới toán học hoá
Theo de Lange (1987), trong RME thế giới thực được khám phá đầu tiên
bằng trực giác. Sau đó, tổ chức và cơ cấu lại vấn đề, cố gắng xác định các khía cạnh
tốn học để khám phá tìm ra quy luật. Đây là bước đầu của q trình sáng tạo lại
tốn học. Tiêu chí hàng đầu của RME trong giảng dạy: đó là hướng dẫn sáng tạo lại

tốn học thơng qua các hoạt động.
Trong các nguyên tắc của việc sáng tạo lại kiến thức toán học là học sinh
được trao cơ hội tương tự như các nhà toán học đã trải qua để khám phá ra kiến
thức toán học. Ban đầu học sinh sẽ phải tưởng tượng ra con đường giải quyết vấn đề
và phỏng đốn xem giải pháp đó có phù hợp khơng. Quá trình này thì quan trọng
hơn là việc đạt được kết quả.
Theo Gravemeijer (1994, 1997) thì có 2 điều cần chú ý khi hướng dẫn học
sinh tái tạo lại kiến thức toán học. Thứ nhất từ lịch sử toán học chúng ta có thể tìm
hiểu được bằng cách nào mà một số kiến thức toán học được phát triển. Điều này
giúp cho các nhà thiết kế chương trình đặt ra các bước trung gian để học sinh tái tạo
kiến thức. Thứ hai là đưa ra ngữ cảnh có vấn đề để học sinh hoạt động toán học giải
quyết chúng. Muốn vậy các nhà thiết kế phải tìm ra các ngữ cảnh có vấn đề cùng
các giải pháp để chỉ rõ một lộ trình giải quyết các vấn đề đó.
Trong q trình học tập cần các nhà thiết kế chương trình giảng dạy tìm một
loạt các ngữ cảnh có vấn đề liên tiếp và nối kết với nhau. Trong đó việc giải quyết
các ngữ cảnh có thể bằng các phương pháp khác nhau.
Có hai quan điểm khác nhau trong việc ứng dụng hình thức tốn học để giải
quyết các vấn đề thực tế. Xem hình 2.

4


Giải quyết

Hình thức của
các kiến thức tốn học

Mơ tả

Vấn đề theo ngữ cảnh

Vấn đề theo ngữ cảnh

Figure 1 Quá trình tốn học hố trong xử lý thơng tin và cách tiếp cận thực tế
(theo Gravemeijer (1994) dẫn lại từ tài liệu [1])

Ở mơ hình thứ nhất (hình bên trái) một vấn đề thực tế được đưa vào toán học
và bằng các cơng cụ của tốn học, người ta giải quyết chúng trên giấy sau đó trả kết
quả trở về tình huống gốc. Gravemeijer chỉ trích việc giải quyết vấn đề theo hình
thức này, vì nó có thể làm giảm đi thơng tin của tình huống gốc khi tốn học hố.
Do đó khi kết quả được trả trở về thực tế, nó sẽ dẫn đến sự sai lệch nhất định vì
nhiều khía cạnh thực tế đã khơng được chú ý giải quyết trong q trình tốn học
hố. Nó dẫn đến sự khơng phù hợp nào đó so với thực tế. Ở mơ hình thứ hai, giải
quyết một vấn đề thực tế trải qua 3 giai đoạn. Khi một vấn đề nào đó trong thực tế
nảy sinh, nó được mơ tả lại chính thức hơn, ở cấp độ đó nó được giải quyết, sau đó
các kết quả sẽ được chuyển về bối cảnh thực. Phương pháp này giúp giải quyết vấn
đề thực tế một cách đầy đủ hơn.
Treffers (1987, 1991a) đưa ra một quan điểm về toán học hoá khi giải quyết
vấn đề thực tế đó là tốn học hố theo chiều ngang và chiều dọc. Freudenthal (1991)
giải thích khái niệm này như sau: Toán học hoá theo chiều ngang dẫn từ thế giới
thực tế vào thế giới của các biểu tượng. Tốn học hố theo chiều dọc là q trình
thao tác trong thế giới các biểu tượng để mô tả lại, định hình, giải quyết và phản ánh
lại thực tế. De Lange (1987) phân biệt toán học hoá theo chiều ngang và chiều dọc
một cách chi tiết hơn dựa vào các hoạt động toán học. Các hoạt động toán học hoá

5


theo chiều ngang, liên quan đến việc xác định một vấn đề toán học cụ thể trong ngữ
cảnh chung, sơ đồ hố và hình dung vấn đề theo nhiều cách khác nhau, để tìm ra các

mối quan hệ, các quy luật, tìm ra những khía cạnh tương đồng trong các vấn đề
khác nhau, để chuyển một vấn đề từ thế giới thực sang thế giới tốn học và mơ hình
tốn học tương ứng đó được biết đến từ trước. Trong khi đó tốn học hố theo chiều
dọc là các hoạt động ngay trong các cơng thức tốn học để chứng minh các quy luật,
điều chỉnh và thu gọn hình thức thể hiện của chúng, sử dụng các hình thức khác
nhau, kết hợp nhiều hình thức, xây dựng khái niệm tốn học mới và khái qt hố
chúng. Hình 3 mơ tả q trình giải quyết vấn đề thực tế bằng mơ hình tốn học theo
chiều dọc và chiều ngang.

Thuật tốn

Ngơn ngữ tốn học

Giải quyết

Mơ tả

Vấn đề theo ngữ cảnh
Figure 2 Q trình Tốn học hố theo chiều ngang và chiều dọc
(theo Gravemeijer, 1994)
(Toán học hoá theo chiều ngang: (- - - - - ), toán học hoá theo chiều dọc ())

Quá trình tái tạo kiến thức tốn học được Gravemeijer (1994) mô tả như sau:

6


Các hình thức của kiến thức tốn học
Ngơn ngữ tốn học

Thuật tốn

Giải quyết

Mơ tả

Vấn đề theo ngữ cảnh
Figure 3 Q trình tái tạo kiến thức tốn học

Trong hình 4 q trình tái tạo lại kiến thức diễn ra theo hình mũi tên, trong
thực tế quá trình này lặp đi lặp lại. Nói cách khác, trước khi phát minh lại kiến thức
tốn học học sinh cần phải trải qua bước mơ tả và giải quyết vấn đề trong thế giới
ký hiệu tốn học. Q trình này sẽ làm hình thành ngơn ngữ toán học và các giải
thuật.
De Lange (1987), đưa ra đánh giá về cách tiếp cận toán học hoá theo chiều
dọc và chiều ngang như sau:
Table 1 Các cách tiếp cận toán học theo chiều dọc và chiều ngang
(theo De Lange (1987), dẫn từ tài liệu [1])

Toán học hoá
theo chiều ngang
Tiếp cận máy móc
Tiếp cận cấu trúc
Tiếp cận kinh nghiệm
+
Tiếp cận thực tế
+
(Dấu + là có ảnh hưởng, dấu – là khơng có ảnh hưởng)
3.2 Hiện tượng có tính giáo khoa

7

Toán học hoá
theo chiều dọc
+
+


Ngược lại với hiện tượng bài xích sách giáo khoa, Freudenthal ủng hộ những
hiện tượng có tính giáo khoa (nhằm mục đích giảng dạy và giáo dục đạo đức).
Trong tốn học cũng vậy, cần chọn những hiện tượng thực tế có ý nghĩa với học
sinh để tổ chức giải quyết và học tập sau đó. Có hai lý do giải thích tại sao phải chú
ý đến tính giáo khoa của một hiện tượng. Đầu tiên, các hiện tượng phải có liên quan
đến một khía cạnh tốn học mà giáo viên dự định cho học sinh tái tạo. Thứ hai, cần
có những điểm phù hợp nhất định giữa các hiện tượng với các chủ điểm tốn học để
có thể tiến đến q trình tốn học hố. Ngun tắc căn bản mà nhà thiết kế chương
trình cần chú ý đó là vấn đề được chọn phải có thật và có ý nghĩa đối với học sinh.
Đôi khi các nhà giáo dục hiểu nhầm thuật ngữ “thực tế” trong RME với tính “thực”.
Họ giải thích điều đó như là một đối tượng thực sự, hoặc một tình huống trong mơi
trường xung quanh. Gravemeijer (1999) đã giải thích rõ điều này: Từ “thực tế”
trong RME đề cập đến một nền tảng toán học mà nó là kinh nghiệm thực tế của học
sinh. Bối cảnh trong RME khơng nhất thiết là tình huống thực tế trong cuộc sống
hàng ngày của học sinh. Nhưng những thực tế đó phải nằm trong kinh nghiệm của
học sinh, để các em có thể ngay lập tức thơng hiểu nó. Dĩ nhiên mục tiêu cuối cùng
vẫn là toán học và nó giúp học sinh có kinh nghiệm trước những bối cảnh trong
thực tế cuộc sống.
3.3 Tự phát triển các mô hình
Nguyên tắc then chốt thứ ba cho việc giảng dạy theo RME là tự phát triển
các mơ hình, hoặc các mơ hình mới xuất hiện. Điều này thu hẹp khoảng cách giữa
các kiến thức có tính hình thức và các kiến thức ứng dụng thực tế. Nghĩa là chúng ta

phải tạo điều kiện để các em có cơ hội phát triển những hình thức, những phương
pháp và mơ hình giải quyết vấn đề riêng của các em. Lúc đầu đó là những mơ hình
quen thuộc chung, sau q trình khái qt hố và chính thức hố nó trở thành của
riêng của học sinh. Gravemeijer (1994) gọi đây là quá trình chuyển đổi các mơ hình
tốn học. Sau q trình lập luận, các mơ hình này có thể được sử dụng chính thức
cho q trình lý luận tốn học (Gravemeijer, 1994, 1999; Treffers, 1991a). Sau đây

8


là một minh hoạ cho việc sử dụng các mô hình trong ba cách tiếp cận khác nhau để
giáo dục tốn học.

Kiến thức chính
thống

Kiến thức chính
thống

Mơ hình

Kiến thức chính
thống

Mơ hình

Mơ hình này

Tình huống

Mơ hình khác
Tình huống

Cấu trúc

4. Các ngun tắc giảng

Mơ hình
trung
dạy
vàgian
học

Thực tế

tập bằng RME

Q trình
dụng
mơ hình
ba cách
cận khác
nhau
Khi đã hiểuFigure
được 4RME,
việcsửứng
dụng
vàovới
giảng
dạytiếp

là điều
được
xét đến
(theo
Gravemeijer
từ tài
sau đây. Treffers (1991a) đề
xuất
5 nguyên(1994),
lý chodẫn
việclạidạy
vàliệu
học[1])
bằng RME là:

xây dựng và cụ thể hoá, các mức độ và các mơ hình, sự phản ánh và các nhiệm vụ
đặc biệt, bối cảnh xã hội và sự tương tác, việc cấu trúc và đan xen vào nhau. Những
nguyên tắc dạy học song song với 5 nguyên lý trên được de Lange (1987) đề ra:
Việc sử dụng những bối cảnh thực tế cuộc sống, việc sử dụng các mô hình ứng
dụng, học sinh tự do tạo ra các sản phẩm, tương tác, gắn bó
4.1 Xây dựng và cụ thể hoá
Nguyên lý đầu tiên của việc học bằng RME là học tốn xem như một hoạt
động có tính xây dựng, nó khá mâu thuẫn với việc tiếp thu kiến thức theo kiểu
truyền thống. Một ý kiến cho rằng, sự hướng dẫn nên bắt đầu với một định hướng
cụ thể có tính cơ sở. Nói cách khác các hướng dẫn này phải được nhấn mạnh thơng
qua một thăm dị đối với các hiện tượng. Từ hiện đó cần tổ chức những bước khởi
đầu, giáo viên có thể kích thích học sinh sử dụng các phương tiện của việc tổ chức.
4.2 Các mức độ và các mơ hình
Về ngun tắc này việc học tập một khái niệm hoặc một kỹ năng toán học
được xem như là quá trình diễn ra trong thời gian dài, mức độ trừu tượng tăng dần

9


(từ khơng hình thức thức đến hình thức, từ trực quan đến lý luận). Việc thu hẹp
khoảng cách giữa các mức độ thường được giải quyết bằng các công cụ theo chiều
dọc. Gravemeijer (1994) chủ trường rằng nên mở rộng sự chú ý đến các mơ hình
trực quan, tình huống có tính mơ hình, lượt đồ, những thứ phát sinh từ việc giải
quyết các hoạt động vì nó giúp học sinh lần lượt trải qua các cấp độ khác nhau.
4.3 Sự phản ánh và các nhiệm vụ đặc biệt
Nguyên tắc thứ ba liên quan đến việc nâng cao trình độ của quá trình học tập.
Quá trình nâng cao dần được thúc đẩy thơng qua sự phản ánh, do đó cần nghiêm túc
quan tâm đến các cơng trình và sản phẩm riêng của học sinh. Trên nguyên tắc học
sinh phải thường xun có cơ hội và được kích thích ở những thời điểm quan trọng
trong buổi học, để phản ánh các chuỗi vấn đề gặp phải trong học tập và dự đốn
những tiến triển của nó ở phía trước. Để thực hiện nguyên tắc này chúng ta cần
cung cấp cho học sinh những bài tập đặc biệt ví dụ như các vấn đề mâu thuẫn để
kích thích sự sáng tạo của học sinh.
4.4 Bối cảnh xã hội và sự tương tác
Nguyên tắc học tập thứ tư liên quan đến tầm quan trọng của bối cảnh xã hội,
như Treffers (1991a) đã nói rằng việc học khơng phải là một q trình đơn độc xảy
ra trong xã hội mà nó được hướng dẫn và kích thích bởi bối cảnh văn hố xã hội.
Làm việc theo nhóm là một ví dụ, học sinh được trao đổi ý kiến và tranh luận với
nhau để học hỏi từ người khác. Nguyên tắc này hàm ý rằng giáo dục tốn học nên
có tính tương tác tự nhiên. Nó bao gồm sự thoả thuận cơng khai, sự can thiệp, thảo
luận, hợp tác và đánh giá trở thành cần thiết trong q trình học hỏi mang tính xây
dựng này.
4.5 Việc cấu trúc và đang xen vào nhau
Nguyên tắc cuối cùng có liên quan đến nguyên tắc đầu tiên. Việc học tập
mơn tốn khơng phải là việc hấp thu các kiến thức và kỹ năng toán học mà là việc

xây dựng nên cấu trúc của nó. Ngồi ra việc học tập lý thuyết và ứng dụng thực tế
phải được kết hợp với nhau, đan xen với nhau. Thứ ba, bối cảnh liên quan đến việc

10


thiết lập và các tình huống. Việc thiết lập được nói đến trong các khung vật lý khác
nhau của các hoạt động

5. Vai trò của ngữ cảnh trong RME
Roth (1996) đề cập đến 3 loại ngữ cảnh. Thứ nhất, bối cảnh liên quan đến
việc bổ sung kiến thức, điều đó thì cần thiết để hiểu rõ một vấn đề tốn học. Bối
cảnh có thể là một câu chuyện chứa các vấn đề, nhưng khơng được nói ra hay viết
ra. Thứ hai, bối cảnh đề cập đến hiện tượng của thế giới thực, cái mà sẽ được mơ
hình hố trong tốn học. Thứ ba, bối cảnh liên quan đến hoàn cảnh và thiết lập thậm
chí một tình huống đã bao gồm tất cả các mặt của xã hội, vật lý, lịch sử và thời gian.
Thực tế nội tại của toán học hay thế giới thực trong trí tưởng tượng của học sinh
cũng là những nguồn để phát triển các khái niệm tốn học. Figueiredo cho rằng, ngữ
cảnh cần có đặc tính như: dễ tưởng tượng, dễ nhận ra và hấp dẫn; quen thuộc với
học sinh; đáp ứng yêu cầu của việc tổ chức tốn học; khơng tách rời với q trình
giải quyết vấn đề và phải dẫn học sinh đi đến giải pháp. Các chức năng của ngữ
cảnh trong RME:
+ Giúp học sinh hiểu được mục đích vấn đề nhanh chóng;
+ Cung cấp cho học sinh các chiến lược dựa trên kinh nghiệm riêng, và kiến
thức khơng chính thống.
+ Cho học sinh nhiều cơ hội để chứng minh khả năng của mình.
+ Mời gọi học sinh giải quyết vấn đề (yếu tố động lực)

Phần 2: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC
THỰC TẾ CỦA FREUDENTHAL VÀO GIẢNG DẠY

Phần 3: GIỚI THIỆU HAI BÀI BÁO QUỐC TẾ LIÊN QUAN
ĐẾN LÝ THUYẾT GIÁO DỤC TOÁN HỌC THỰC TẾ CỦA
FREUDENTHAL
Bài 1
(Bản tiếng anh)

11


TEACHING MATHEMATICS IN INDONESIAN PRIMARY SCHOOLS
USING REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME)-APPROACH3
Ahmad FAUZAN
Mathematics Department, Faculty of Mathematics and Science, Padang State University
(UNP)
Kompleks UNP - Air Tawar, Padang, West Sumatera, Indonesia
()
Dick SLETTENHAAR
Faculty of Science and Technology (TO), Twente University, The Netherlands
P.O. Box 217, 7500 AE Enschede, The Netherlands
()
Tjeerd PLOMP
Faculty of Science and Technology Twente University, The Netherlands
P.O. Box 217, 7500 AE Enschede, The Netherlands
()
ABSTRACT
This paper presents a case study about employing Realistic Mathematics Education
(RME)-approach to teach mathematics in Indonesian primary schools. Many obstacles,
such as the very dependent attitude of the pupils, the pupils who were not used to working
in groups, lack of reasoning capability and lack of understanding of basic concepts, were
found when the pupils, who were used to the traditional way of teaching, dealt with the

new approach (RME). The discussion in this paper is focused on these obstacles and the
efforts undertaken to overcome them.
1. Introduction
There is a number of problems in mathematics instruction in Indonesian primary
schools. For example, the approach that is used to teach mathematics is very theoretical,
and many abstract concepts and formulas are introduced without paying much attention on
aspects such as logic, reasoning, and understanding (Karnasih & Soeparno, 1999; Soedjadi,
2000). Besides, the teaching learning-process is always organized in a traditional (teacher
centered) way (Somerset, 1997).
The conditions above make mathematics more difficult to learn and understand and
pupils become afraid of mathematics. Moreover, the conditions also create unfavorable
climate for mathematics instruction in the classrooms. In general, the climate in Indonesian
3 In: 2nd International Conference on the Teaching on Mathematics, ICTM 2002, July 1-6, 2002, Hersonissos,
Crete, Greece (Hội nghị quốc tế lần thứ 2 về giảng dạy về Toán, ICTM 2002, tháng 1-6, 2002, Hersonissos,
Crete, Hy Lạp)

12


classrooms is similar to those in several African countries as was summarized by de Feiter
at all. (1995) and Ottevanger (2001) as follow: pupils are passive through out the lesson;
‘chalk and talk’ is preferred teaching style; emphasis on factual knowledge; questions
require only single words, often provided in chorus; lack of learning questioning; only
correct answers are accepted and acted upon; whole-class activities of writing/there is no
hands work is carried out.
In our research project (started in 1998 and is partly reported in this paper) we
explored the extent to which Realistic Mathematics Education (RME) could address some
of the problems in mathematics education in Indonesia, more specifically in the geometry
instruction. This aim is realized by developing and implementing the student book and
teacher guide based on RME theory through development research (see Akker & Plomp,

1993; Richey & Nelson, 1996).
The paper reports about the very first experiences in Indonesia to teach geometry
according to the RME approach, and addresses specifically the research question ‘what are
the obstacles when introducing the RME approach and how can they be overcome?’ In the
next section, the characteristics of RME will be summarized. Then, the RME-based
intervention for teaching geometry topics to grade 4 classroom will be described followed
by the design of this research. The report of the research findings is followed by some
conclusions and reflections relevant for further work in this area.
2. Realistic Mathematics Education (RME)
RME is an approach in which mathematics education is conceived as human
activity (see Freudenthal, 1973; Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; De Lange, 1987, 1998).
In RME, learning mathematics means doing mathematics, of which solving every day life
problems (contextual problems) is an essential part.
There are three key principles of RME for instructional design namely guided
reinvention and progressive mathematizing, didactical phenomenology, and self developed
models (Gravemeijer, 1994). Even for teaching learning process, RME has five learning
and teaching principles: constructing and concretizing, level and models, reflection and
special assignment, social context and interaction, structuring and interweaving (see De
Lange, 1987; Streeflands, 1991; Gravemeijer, 1994). So, in RME-based lessons, pupils
should be given the opportunity to reinvent mathematical concepts, and teaching learning
process would be highly interactive. The main role of teachers is to determine in which

13


way an optimal result can be obtained, for example by organizing pupils’ interaction,
individual work, group work, classroom discussion, pupil presentation, teacher
presentation, and/or other activities.
Given its characteristics, RME is considered a very promising approach to change
the classroom’ climate in order to improve mathematics teaching and make it more relevant

for pupils
in Indonesia.
The Intervention: a series of lessons on topic ‘area and perimeter’
To investigate whether and under what conditions RME can be utilized in
Indonesian primary schools, a series of 10 lessons have been designed for pupils at grade 4
(age 9 – 11) on the topic ‘area and perimeter’. There are two potentials of RME-based
lessons on this topic compare to traditional lessons. Firstly, Indonesian curriculum for topic
area and perimeter school contains only the most minimal concept of area that is area as
“length times width’ or area as counting the squares centimeters in a rectangle or square.
Even in the RME-based lessons the concept of area is broaden to other shapes, by relating
area to other “magnitudes’ (costs, weight, paint, rice, cake, etc.); investigating the relation
between area and perimeter; connecting measurement units to reality; integrating some
geometry activity (re-shaping, tessellation, etc.). Secondly, the lessons for topic area and
perimeter in Indonesian curriculum emphasize only on applying the formulas (after the
formulas are introduced deductively using chalk and talk method). In other hand,
RMEbased lessons would create the situations that due to learning and teaching principles
and RME characteristics mentioned above such as pupils centered instruction, pupils active
learning (interactivity), pupils free production (reinvention and self-developed models),
etc. The principle ‘free production’ would stimulate pupils’ reasoning because the pupils
have to share or discuss concepts they reinvent or models they develop in solving
contextual problems.
Related to the potentials of RME-based lessons, pupils are expected not only to
master the mathematical concepts related but also to pay much attention on the process
related. They are expected to know how to work in groups, be active and creative in
reinventing the concepts related and developing their model in solving a contextual
problem, understand the importance of giving an explanation for a solution. The same case
for teachers, they are expected to be able to attract the pupils to solve the contextual

14

problems, stimulate the pupils when they are working in groups, to react upon the pupils’
contribution, and to guide the classroom discussions.
As there was no information at all about how Indonesian pupils would react on
such a new approach, it was decided to use an ‘emergent’ design approach: the series of
lessons was only planned in general terms of what content, methods and learner activities
should be applied in the lesson series, while the detailed plan for each lesson would be
strongly determined by the events and experiences of the preceding lesson(s). This
approach implies that only the first lesson a detailed plan was designed.
3. Design of the research
Given the research question and its context, the research reported here has an
exploratory character. The research was conducted in a primary school in Surabaya (East
Java). As no teacher in Indonesia has experience with teaching RME-based lessons the first
author taught the pupils himself, even the teacher and the second author taking the role of
observers. The data collection focused on pupils’ activities and reactions when they dealt
with RME-approach. The instruments used to collect the data were observation scheme,
logbook, and interview guidelines. The data analysis in this exploratory research was
qualitative and judgmental.
4. Research Findings
Below is described what happened in the consecutive lessons to the classroom . The
data are presented in narrative form to be able to convey the richness of the interactions
and other processes that took place. As the first author acted as the teacher, researcher
(formative evaluator) and developer of the lessons, this part of the paper is written in a
‘personalistic style’
Finding from lesson 1
The topic for the first lesson is “the sizes of shapes” in which pupils would
compare and order the sizes of various shapes. To do these activities, I prepared materials
such as: worksheet, tracing papers, drawing papers, and scissors. An important goal of the
lesson is to see how pupils would react and act to the change in roles: from passive
listening and making exercises towards active working on mathematics tasks. In this

meeting pupils worked in groups of 4, in which pupils who sat next to each other were in
the same group. The pupils were grouped to make it easier to observe their activities. At
the beginning I explained what the lesson is about, what expectations I had from the lesson

15


(the changes of pupils’ and teacher’s role, compare to traditional method), what activities
the pupils would do, and what the nature of the materials was which I provided for. This
was what happened when the pupils dealt with the first contextual problem.
Hand Size-fingers
Draw the outlines of your hand size-fingers on a piece of paper then find out who
has
the smallest hand size-fingers? Explain your answer!
After reading the contextual problem the pupils kept silent. It seemed they did not
know what to do and were waiting for instruction. I tried to explain and encouraged them
to use any materials in order to solve the problem, but there was none of the pupils started
to work. Because of that, I explained how to draw hand size-fingers on a drawing
paper/tracing paper. Then, I gave a clue how to use those drawings to find the member of
groups who had the smallest hand size-fingers (by putting one drawing on top of the
others). Some groups were not interested and just observed their drawings then decided
about the answers (without giving any reasoning). When I asked them `how do you know it
is the smallest?’, they just looked at each other. Because most pupils were still confuse, I
asked them to cut out their drawings in order to make easier to compare the drawings. All
groups did this but only two groups (out of ten) succeeded on this task.
Initially I thought the problem was because of poor reading ability. After asking
some pupils I discovered that the problem was not in reading but that the pupils never
worked on story problems. Besides, they were used to a situation in which the teacher
would give first an example, after which the pupils do the tasks that similar to the example.
Working in groups was not running smoothly because only one or two pupils in

each group
were working seriously, while the others were waiting for the answers. Moreover,
the pupils in the mixed groups (boys and girls) did not enjoy working together.
From the first lesson, the following points emerged as lessons learned:




Most pupils had a very dependent attitude. They lacked initiative very much, and
were not self-confident in solving a problem. Every time after they finished a task,
they always asked me (the teacher) to come closer and check if what they did were
correct or not.
I had difficulties in organizing the class because the pupils shouting many times
asking for helps. The classroom was also too small so that I could not move easily
from one group to he others to give guidance.

16


In solving a contextual problem, the pupils could not explain about what they did,
how they did it, or why they did it, neither orally nor in written.
 The problem in the mixed groups (boys and girls) was because of the pupils’
culture. In their everyday life, it is rarely seen that boys and girls are doing
activities together. So they were shy to work together in one group.
Finding from lesson 2
The tasks in lesson 2 were similar to those in the lesson 1. Dealing with the


problems found
before, I made a plan for this lesson as follow:

 using Overhead Projector (OHP) to attract the pupils and to focus their attention to
the process of solving the contextual problems;
 minimize the intervention of the teacher in order to reduce dependent attitude of the
pupils;
 making agreements on not shouting, putting a hand in the air when wanting to say
something.
 in grouping the pupils, they could choose their friends themselves.
However, this planning did not go well. It was the first time the pupils followed an
instruction using OHP. Some pupils came closer to see the OHP and played with its light,
and the others were laughing when seeing the shadows were moving on the screen. Pupils
from other grades (they did not have lessons at that time) were also curious, especially
about the use of OHP and presence of the observers in the classroom. They stood in front
of the door and made noise.
Most pupils still asked ‘what should they do now and next?’. I tried to motivate
them to think themselves by giving hints and/or rising stimulating questions. This effort
worked for most of the pupils, but still did not work for some pupils who were very weak
in basic mathematical concepts. (they could not draw a simple geometry objects; they also
still used their fingers to count 3 x 4, and did not know the results of 8 x 7, a half of 6, a
half of 9, etc.). These pupils really needed guidance step by step in solving a problem.
The frequency of pupils’ shouting in asking for helps and clues was reduced,
although sometimes they forgot the rule. The motivation of most pupils to work in groups
was increased, and they also started to give the reasons for their solutions orally as well as
in writing, although most of those reasons were not relevant to the questions. It was also
found pupils’ tendency just to get the results and did not pay attention to the process in
solving a problem. For example, some groups preferred dividing the tasks among the group

17


members in order to get the answers as soon as possible, rather than having a discussion to

find the answers together.
The findings mentioned above can be seen as the effects of the traditional way of
teaching as these pupils were almost never work on contextual problems and the teacher
never conducted working group. As a consequence, the activity and creativity of the pupils
were not developed well because lack of opportunities.
I learned from the two lessons that the pupils needed time to get used to the new
approach (RME), therefore some more efforts had to be done to realize it. Below is
summarized the efforts were done in the next lessons (3 –10) and the impacts that these
had.
Lesson 3-7: the efforts and impacts
Firstly, the effort related to the condition where the pupils were not used to the
contextual problems. In the third meeting I read the contextual problems for the pupils
orally, instead of just let them read and solve the contextual problems by themselves.
Sometimes I changed the context (became not exactly the same with those in their book) to
make the problems more interesting so that the pupils could come inside the problem and
then they feel responsible or have motivation to solve them. After reading a contextual
problem, I took some times to rise questions; for example: Who can explain what the
problem is about? Who get an idea to solve the problem? Who has another idea? This
tactic could work well. The pupils started to give their contribution in solving a problem,
though their opinions were frequently not relevant. But by emerging democratic condition
(not just saying right or wrong for what the pupils said) in the classroom, the pupils were
not afraid anymore to mention their idea.
The positive impact of this effort was found in the fourth meeting. In this meeting
the pupils worked in groups of 4 with special assignment in which a member in a group
should write down the answers on the blackboard. I observed that most pupils were very
enthusiast in doing this task. Each group had a discussion to find the answers instead of
dividing the tasks among the group members (as they did before). They were glad when
they finished one task then could show the result on the blackboard directly (the groups
competed each other).
Secondly, the effort related to pupils’ tendency just to get the results and did not pay

attention to the process. I succeeded to stimulate them in changing that attitude after
applying some rules in the class. I told the pupils that they would not get a maximum mark

18


if they could not show or explain the process and reasons in solving a problem. Moreover,
I also wrote the notes in pupils’ exercise books, asking them to explain the processes and
reasons every time they worked on their homework. This effort had an impact in that the
pupils started to give explanations or reasons. Even at the beginning most of their
reasoning was very weak, but after few meetings most pupils showed an improvement. The
next example shows an improvement of a pupil (Astrid).
In the first two meetings, Astrid was very weak in reasoning. Every time she
compared “the size of shapes” she wrote ‘……. is bigger than……., because it is looked
bigger or when I measure it, it is bigger’. In the third meeting she wrote ‘when I compare
it, and tried to trace it, I found……’ eight times in solving the problems. However, in the
seventh meeting she could come with nice idea when she worked on the problem below.
Rini, Eko, Tuti Salim and Rahmad drew the shapes below. Did they draw shapes with area
five square units? Explain your answers.

She used reallotment strategy to explain her answer on this problem:

19


Astrid found that the drawing of Salim
was 5 units square, Rahmad was 4
units square units, and Tuti was 3
units square using reallotment
strategy.

Attitudes of the pupils and parents
There were also found interesting facts related to pupils’ and parents’ attitude.
Firstly, in checking the solutions of the exercises or homework, the pupils preferred to do it
classically so that they could express their happiness (by shouting) if their answers were
correct. They also asked me to put the mark on their exercise book every time they finished
an exercise or homework. This was not only for the proud of the pupils themselves
(especially when they get 10) but also because the parents always ask the marks the
children get every time they back home from the school.
Secondly, some parents helped their children doing the homework. But the main
reason for this was only to increase the mark of the pupils (the marks for the homework
used to be considered in determining the final mark). They did not pay attention on pupils’
understanding, because when I asked the pupils about what their parents told them they
could not explain. The next is an example of what the parents taught their children.
To determine the areas of shaded figures above, the parents told the children to use
the formulas of parallelogram (for the figure on the left) and kite (for the figure on the
right). It seemed that the parents only think about topic ‘area’ as merely playing with the
formulas (at this moment the pupils have not learned the formulas yet). In fact, the
problems could solve easily using reallotment strategy or by halving (without knowing the
formulas).
5. Conclusion

20


There were many obstacles in applying RME in Indonesian mathematics education.
Nevertheless, this first pilot with RME had many positive impacts on the teaching-learning
process in the classrooms. The difference in the learning behavior of the pupils found from
day to day showed that RME is a potential approach for teaching and learning
mathematics. Based on the interviews with a number of pupils it was know that they like

the new approach. They realized that
there were some positive changes on themselves especially in reasoning, activity
and creativity. The teacher himself admitted that there were positive changes on the pupils’
behavior after they dealt with RME-based lessons.
In conclusion, RME is an approach to mathematics education developed in the
Netherlands, but the exploratory research reported here shows that this approach is not
something impossible to utilize in Indonesia. But to realize this, a big effort is needed in
the areas of curriculum development, assessment practices, and teacher (in-service)
training, all supported by focused development research and formative evaluation to assure
that ‘local’ relevancy will be obtained. The efforts needed should not be underestimated as
the change touches on the roots of mathematics education in Indonesia: it is necessary that
all stakeholders understand that not only a new curriculum and a new pedagogy is needed,
but above all that the notion of what is good mathematics education has to change (see
Fullan, 1991). Therefore, a process of changing to the mathematics curriculum and culture
towards introducing RME in Indonesia is only possible with the support of the
government. The government has to play an important role, in the first place by providing
the budget that is needed to facilitate the research and development in all three areas
mentioned above. But also in order to develop a policy on mathematics education that
provides the formal and ‘administrative’ support that such a change of the national
curriculum and assessment approach needs. Moreover, the teacher training institutes may
become the first “targets’ for change, as they have to play a central role in preparing the
teachers to be capable of teaching and disseminating RME.
References
- Akker, J. van den & Plomp, Tjeerd., 1993, Development Research in Curriculum: Propositions and
Experiences, The Netherlands: University of Twente.
- Feiter, Leo de. At al., 1995, Towards more effective teacher development in Southern Africa, Amsterdam:
VU University Press.
- Freudenthal, H., 1973, Mathematics as an educational task, Dordrecht: Reidel.
- Fullan, M., 1991, The new meaning of educational change, London: Cassel.

21


- Gravemeijer, K.P.E., 1994, Developing realistic mathematics education, Culenborg: Technipress.
- Karnasih, I and Soeparno, 1999, Teaching mathematics has to focus on logic, Indonesia: Kompas May 17th
2000.
- Lange, Jan de., 1987, Mathematics Insight and Meaning, Utrecth: Rijkuniversiteit
- Lange, Jan de., 1998, Using and applying mathematics in education: International Handbook of
Mathematics Education, London: Kluwer Academic Publisher
- Ottevanger, W., 2001, Teacher support materials as a catalyst for science curriculum implementation in
Namibia, Enschede: PrintPartners Ipskamp.
- Richey, R.T. & Nelson, W.A., 1996, Development Research. In D. Jonassen (Ed.). Educational
Communications and Technology, London: Macmillan.
- Soedjadi, 2000, Teaching mathematics has to focus on thinking process, Indonesia: Kompas April 17 2000.
- Somerset, A., 1997, Strengthening quality in Indonesian junior secondary school: An overview of issues
and initiatives, Jakarta: MOEC.
- Streefland, L., 1991, Fraction in realistic mathematics education, a paradigm of development research,
Dordrect: Kluwer Academic Publisher.
- Treffers, A., 1987, Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics education,
Dordrecht: Reidel.
th

(Bản tiếng Việt)
Tiếp cận việc sử dụng Giáo dục toán học thực tế (RME) tại các trường Tiểu học ở
Indonesia
Ahmad FAUZAN
Khoa Toán, Khoa Toán và Khoa học, Đại học bang Padang (UNP)
Kompleks UNP - Air Tawar, Padang, Tây Sumatra, Indonesia
( )
Dick SLETTENHAAR

Khoa Khoa học và Công nghệ (TO), Đại học Twente, Hà Lan
PO Box 217, 7500 AE Enschede, Hà Lan
()
Tjeerd Plomp
Khoa Đại học Khoa học và Công nghệ Twente, Hà Lan
PO Box 217, 7500 AE Enschede, Hà Lan
()
TÓM TẮT
Bài báo này trình bày một nghiên cứu trường hợp (case study) về việc sử dụng
Giáo dục Toán học thực tế (RME) – để tiếp cận giảng dạy toán học tại trường tiểu học
Indonesia. Nhiều trở ngại, như thái độ rất phụ thuộc của học sinh, các em không quen với
làm việc theo nhóm, thiếu khả năng lý luận và thiếu sự hiểu biết về các khái niệm cơ bản,
những người đã quen với cách giảng dạy truyền thống, sẽ được giải quyết bằng các phương
pháp tiếp cận mới (RME). Các cuộc thảo luận trong bài viết này là tập trung vào các
chướng ngại và những nỗ lực thực hiện để khắc phục chúng.
1. Giới thiệu

22


Có một số vấn đề trong giảng dạy tốn học tại trường tiểu học Indonesia. Ví
dụ, các phương pháp được sử dụng để giảng dạy toán học là rất lý thuyết, và nhiều trừu
tượng khái niệm và công thức được giới thiệu mà không phải cần nhiều sự chú ý trên các
khía cạnh như logic,lý luận, và sự hiểu biết (Karnasih & Soeparno, 1999; Soedjadi,
2000). Bên cạnh đó, việc giảng dạy học tập là một q trình ln ln được tổ chức theo
cách thức truyền thống (giáo viên làm trung tâm) (Somerset, 1997).
Các điều kiện trên làm cho việc học và hiểu mơn tốn trở nên khó khăn hơn
và học sinh trở nên sợ của toán học. Hơn nữa, các điều kiện về khơng khí học tập trong lớp
cũng khơng thuận. Nhìn chung, khơng khí lớp học của Indonesia là tương tự như ở một số
nước châu Phi như đã được tóm tắt bởi de Feiter cả. (1995) và Ottevanger (2001) như sau:

học sinh thụ động thông qua ra bài học; 'Phấn và thuyết giảng " là phong cách giảng dạy
được ưu chuộng; chú trọng vào kiến thức; câu hỏi đòi hỏi những lời chỉ duy nhất, lập lại
như một điệp khúc; thiếu học vấn; chỉ câu trả lời đúng được chấp nhận; hoạt động của cả
lớp là viết/ không có làm việc thực tế bằng tay chân.
Trong dự án nghiên cứu của chúng tôi (bắt đầu vào năm 1998 và là một
phần báo cáo trong bài báo này), chúng tơi khám phá mức độ mà Giáo dục tốn học bằng
thực tế (RME) có thể giải quyết một số vấn đề trong giáo dục toán học ở Indonesia, cụ thể
hơn trong giảng dạy hình học. Mục tiêu là phát triển và thực hiện các cuốn sách hướng dẫn
học sinh và giáo viên dựa trên RME lý thuyết thông qua nghiên cứu phát triển (xem Akker
& Plomp, 1993; Richey & Nelson, 1996).
Các báo cáo giấy về những kinh nghiệm đầu tiên tại Indonesia để dạy hình học theo
các phương pháp tiếp cận RME, và câu hỏi nghiên cứu cụ thể là “Cái gì là các chướng
ngại khi giới thiệu các phương pháp tiếp cận RME và làm thế nào họ có thể vượt
qua?” Trong phần tiếp theo, đặc điểm của RME sẽ được tổng kết. Sau đó, các can thiệp
dựa trên RME trong giảng dạy chủ đề hình học đến lớp 4 sẽ được mơ tả tiếp theo đó là
cách thiết kế của nghiên cứu này. Báo cáo của các kết quả nghiên cứu được theo sau bởi
một số kết luận và phản ánh có liên quan để tiếp tục cơng việc trong lĩnh vực này.
2. Giáo dục toán học thực tế (RME)
RME là một phương pháp trong đó giáo dục tốn học được hình thành như là hoạt
động của con người (xem Freudenthal, 1973; Treffers, 1987; Gravemeijer, 1994; De

23


Lange, 1987, 1998). Trong RME, học tập tốn học có nghĩa là làm tốn, trong đó giải
quyết mọi vấn đề về cuộc sống hàng ngày (theo ngữ cảnh vấn đề) là một phần thiết yếu.
Có ba nguyên tắc chủ chốt của RME cho thiết kế giảng dạy cụ thể là sự sáng tạo có
hướng dẫn (guided reinvention) và tiến bộ trong từng chủ điểm, từng khía cạnh tốn học
(progressive mathematizing4), hiện tượng giáo khoa (didactical phenomenology5), và tự
phát triển các mơ hình (self developed models) (Gravemeijer, 1994). Ngay cả đối với giảng

dạy q trình học tập, RME có năm ngun tắc học tập và giảng dạy: xây dựng và cụ thể
hố (constructing and concretizing), mức độ và các mơ hình (level and models), phản
ánh và nhiệm vụ đặc biệt, bối cảnh xã hội và tương tác, cơ cấu và đan xen (reflection and
special assignment, social context and interaction, structuring and interweaving) (xem De
Lange, 1987; Streeflands, 1991; Gravemeijer, 1994). Vì vậy, trong RME bài học dựa trên
việc học sinh cần được tạo cơ hội để tái tạo lại các khái niệm tốn học, và q trình học tập
giảng dạy sẽ được tương tác cao. Vai trị chính của giáo viên là phải xác định được cách
nào là tối ưu để có thể đạt được, ví dụ như tổ chức những tương tác từ học sinh, cơng việc
cá nhân, làm việc nhóm, thảo luận trên lớp, học sinh trình bày, thuyết trình của giáo viên,
hoặc các hoạt động khác.
Do đặc điểm của nó, RME được coi là một cách tiếp cận rất hứa hẹn để thay đổi
khơng khí lớp học 'để cải thiện việc giảng dạy tốn học và làm cho nó phù hợp hơn cho
học sinh ở Indonesia.
Các can thiệp: một loạt các bài học về chủ đề “diện tích và chu vi”
Để điều tra liệu có hay khơng những điều kiện của RME có thể được sử dụng trong
chính trường học của Indonesia, một loạt 10 bài học đã được thiết kế cho học sinh ở lớp 4
(tuổi 9 đến 11) về chủ đề “Diện tích và chu vi”. Có hai tiềm năng của RME – những bài
học căn bản dựa trên chủ đề này để so sánh với bài học truyền thống. Thứ nhất, chương
trình giảng dạy của Indonesia cho chủ đề diện tích và học chu vi chỉ có khái niệm tối thiểu
nhất của diện tích đó là "chiều dài lần chiều rộng” hoặc diện tích với đơn vị cm2 của hình
chữ nhật hoặc hình vng. Ngay cả trong những bài học RME dựa trên các khái niệm về
4 Regard or treat (a subject or problem) in mathematical terms.
5 Intended to teach, particularly in having moralinstruction as an ulterior motive:a
didactic novel that set out to expose socialinjustice. (Nhằm mục đích giảng dạy, đặc biệt là trong
việc giảng dạy đạo đức như một động cơ kín đáo: một cuốn tiểu thuyết giáo khoa mà đặt ra để
phơi bày sự bất công xã hội)

24