A12.2020 (2)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Nguyễn Việt Anh

SỬA CHỮA CHÙM NỨT BẰNG MIẾNG VÁ ÁP ĐIỆN

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Cơ kỹ thuật

HÀ NỘI - 2020
1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Nguyễn Việt Anh

SỬA CHỮA CHÙM NỨT BẰNG MIẾNG VÁ ÁP ĐIỆN

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Cơ kỹ thuật

Cán bộ hướng dẫn: TS. Trần Thanh Hải

HÀ NỘI - 2020
2


TÓM TẮT

Việc sửa chữa các thành phần bị nứt trong các cấu trúc bằng cách sử dụng một miếng vá tổng
hợp có tác dụng làm tăng độ cứng đã được nghiên cứu khá rộng rãi. Bản vá tổng hợp có đặc tính
hấp dẫn độ cứng cao, độ bền cao và nó cũng rất nhẹ. Tuy nhiên nó vẫn cịn một số hạn chế tồn tại ví
dụ như: thiết kế bản lề hỗn hợp vá trên phân tích kết cấu theo mơ hình nhất định của tải bên ngồi,
khi tải ngồi thay đổi thì hiệu quả thiết kế trở thành nghi vấn.
Để thay thế cho phương pháp này, vật liệu áp điện, đã được nghiên cứu rộng rãi để có thể sử
dụng và có lợi thế về sửa chữa một cách chủ động. Các lớp áp điện được sử dụng có đặc điểm: nhẹ,
mỏng và dễ dàng liên kết trên cấu trúc bị hư hỏng. Đặc tính cơ điện mạnh mẽ cho phép nó áp dụng
điện áp khác nhau để sửa chữa hoàn toàn hiệu quả ngay cả khi điều kiện bị hư hỏng hoặc tải bên
ngồi bị thay đổi.

Từ khóa: Dầm Euler – Bernoulli áp điện, Dầm công xôn, áp điện, vết nứt.

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi là Nguyễn Việt Anh, hiện đang là sinh viên của khoa Cơ học kỹ thuật và Tự động
hóa, trường Đại học Cơng nghệ - Đại học quốc gia Hà Nội.
Tơi xin cam đoan nội dung trình bày trong đồ án tốt nghiệp này là do tơi tìm hiểu dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Thanh Hải. Các kết quả được trình bày trong đồ án này là đáng
tin cậy, không trùng với các kết quả đã được cơng bố trước đó. Những thơng tin trích dẫn
trong đồ án đã được ghi rõ nguồn gốc. Tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung của đồ án này.
Hà Nội, ngày tháng năm 2020
Sinh viên

Nguyễn Việt Anh

2

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn TS. Phạm
Hồng Cơng đã ln theo sát và tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình thực
hiện đồ án tốt nghiệp.
Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô phịng thí nghiệm vật liệu và kết cấu tiên tiến, các
thầy cô giáo khoa Cơ học kỹ thuật và Tự động hóa và thầy cơ trong trường Đại học Cơng
nghệ – ĐHQGHN đã luôn quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong
suốt thời gian em học tập tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã ln bên cạnh động viên,
giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho em học tập, nghiên cứu và hoàn thành đồ án này.
Hà Nội, ngày tháng năm 2020
Sinh viên

Nguyễn Việt Anh

3


MỤC LỤC

4


DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬA DỤNG
Cv

điện dung của lớp áp điện

D

bề dày của dầm

EI

độ cứng chống uốn của dầm (Nm2)

F

lực tác động lên dầm

e31

hằng số áp điện

g

hệ số điều khiển

H

chiều cao của dầm

L

chiều dài dầm

Li

khoảng cách các đoạn trong dầm

Mx

mơ men uốn (Nm)

Nz

lực dọc

Ni

phản lực lên dầm



bán kính cong của trục

Qy

lực cắt

Q

điện tích

u

chuyển vị ngang của điểm

Va

điện áp tác dụng lên áp điện

Vs

điện áp đầu ra của sensor

v

chuyển vị đứng hay độ võng của điểm



chuyển vị góc (góc xoay)

5


DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

6


DANH MỤC BẢNG BIỂU

7


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài

Khuyết tật nói chung và vết nứt nói riêng khi xuất hiện trong kết cấu sẽ gây ra nguy
hiểm cho người và kết cấu. Nếu vết nứt phát triển càng lớn thì nguy cơ xuất hiện nguy hiểm
ngày càng tăng ảnh hưởng đến hoạt động của kết cấu, năng suất và chất lượng giảm, gây
nguy hiểm cho người vận hành.
Để tránh vấn đề này, chúng ta thường xuyên kiểm tra để phát hiện khuyết tật và vết
nứt sớm. Để khắc phục tính gây nguy hiểm cho người, sản phẩm (chất lượng) và tuổi thọ
của kết cấu và giảm giá thành kết cấu.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Bài toán “Sửa chữa chùm nứt bằng miếng vá áp điện” là vấn đề
được quan tâm và có ý nghĩa quan trọng, thiết thực trong lĩnh vực cơ học kết cấu. Các kết
quả nhận được trong phần phân tích và tính tốn sẽ cung cấp các thơng tin quan trọng trong
việc sửa chữa, đảm bảo an toàn.
Ý nghĩa thực tiễn: Việc ứng dụng vật liệu áp điện (cảm biến – sensor, lực kích động –
actuator) gắn lên kết cấu giống như phịng thí nghiệm kiểm tra động của kết cấu, làm cho
việc giám sát trực tuyến (online) – theo thời gian thực được thực hiện. Khi đó, nếu có xuất
hiện bất thường (hỏng, mất khả năng làm việc…) trong kết cấu đều được phát hiện kịp thời.
3. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Đối tượng: vật liệu áp điện
Phương pháp nghiên cứu: Ngày này với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, có nhiều
kỹ thuật để khắc phục được sự xuất hiện vết nứt trong kết cấu mà kết cấu vẫn làm việc ở chế
độ bình thường đó là sử dụng vật liệu áp điện gắn lên vết nứt:
Hiện tượng áp điện (piezoelectric) được đề cập lần đầu tiên vào năm 1817 bởi nhà
khoáng vật học người pháp René Just Hauy. Nó được chứng minh lần đầu tiên bởi Pierre và
Jacques Curie vào năm 1880. Thí nghiệm của họ đã dẫn dắt họ để xây dựng lý thuyết ban
đầu về áp điện. Lý thuyết này được bổ sung bởi G. Lippman, W.G. Hankel, Lord Kelvin and
W. Voigt.
Hiệu ứng áp điện thuận (direct piezoelectric effect) bao gồm khả năng của một số vật
liệu tinh thể nhất định (tức là gốm sứ) để tạo ra một điện tích theo tỷ lệ với một lực tác dụng
bên ngoài. Hiệu ứng thuận này được sử dụng rộng rãi trong thiết kế các bộ chuyển đổi
(transducer) như: đầu đo gia tốc, lực và áp suất… Hiệu ứng áp điện ngược (inverse

piezoelectric effect), điện trường gây ra một biến dạng của vật liệu áp điện. Hiệu ứng này đã
được áp dụng trong thiết kế actuator (bộ kích động).
8


Việc sử dụng vật liệu áp điện actuator và cảm biến để điều khiển ồn và rung đã được
sử dụng rộng rãi trong vài năm qua (Forward, 1981; Crawley & de Luis, 1987). Có hai loại
vật liệu áp điện sử dụng trong điều khiển dao động là: ceramics và polymers (gốm sứ và
polyme). Gốm áp điện nổi tiếng là Lead Zirconate Titanate (PZT); nó có thể phục hồi biến
dạng 0,1% và được sử dụng rộng rãi làm actuator và cảm biến cho một dải tần số rộng, bao
gồm các ứng dụng siêu âm; và rất phù hợp với độ chính xác cao. Piezopolymers (polyme áp
điện) được sử dụng chủ yếu như một sensor, nổi tiếng nhất là Polyvinylidene Fluoride
(PVDF). PVDF là nghiên cứu đầu tiên bởi Kawai (cuối thế 60) và có sẵn trên thị trường vào
đầu thập kỷ 80.
+ Áp điện (piezoelectric) được phát hiện bởi Pierre và Jacques Curie năm 1880. Tác
động áp điện thuận là thuộc tính của vật liệu xuất hiện điện tích (electric charge) trên bề mặt
dưới tác động bên ngoài của ứng suất cơ học (nghĩa là thay đổi sự phân cực của nó) và tỷ lệ
với ngoại lực tác dụng. Tác động áp điện thuận được sử dụng rộng rãi trong thiết kế bộ
chuyển đổi (transducer) như (đầu đo gia tốc, vận tốc và chuyển vị). Tác động điện áp
ngược, một trường điện tích (thay đổi trong phân cực) gây ra một biến dạng (strain) của vật
liệu áp điện và được sử dụng trong thiết kế actuator (bộ kích động).
Do đó, việc kết hợp giữa chẩn đốn hư hỏng (tìm ra vị trí và độ sâu vết nứt GS. Khiêm
và cộng sự đã có nhiều cơng trình liên quan đến chẩn đốn vết nứt như…trong đó, bài tốn
chẩn đốn vết nứt bằng tải trọng tĩnh [3]) kết hợp với vật liệu thông minh (áp điện) để sửa
chữa vết nứt có vai trị quan trọng.
4. Bố cục của đồ án gồm:
Đồ án gốm: phần mở đầu, hai chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo.
Mở đầu: Trình bày tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn, mục tiêu, đối tượng,
phương pháp nghiên cứu của đồ án.
Chương 1: Cơ sở lý thuyết: Xây dựng các phương trình chuyển vị và góc xoay của

dầm gối tựa hai đầu, dầm cơng xơn có và khơng có vết nứt, áp điện chịu tác động của tải
trọng tĩnh. Xác định vị trí và độ mềm của một vết nứt xuất hiện trong dầm.
Chương 2: Kết quả tính tốn: trình bày sơ đồ khối thuật tốn tính tốn và kết quả tính
tốn ảnh hưởng của vết nứt và áp điện lên chuyển vị của dầm, đồng thời xác định vị trí và
sửa chữa dầm có vết nứt vết nứt.
Kết luận chung.
Tài liệu tham khảo.
Phụ lục.

9


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Dưới tác động của một lực P, trục của dầm sẽ bị cong trong mặt phẳng tác dụng của
lực. Xét một điểm K trên trục của dầm trước khi biến dạng. Sau khi biến dạng điểm K sẽ di
chuyển đến vị trí mới K’. Khoảng cách KK’ gọi là chuyển vị thẳng của điểm K (Hình 1.1).
Chuyển vị này có thể phân ra làm hai thành phần:
- Thành phần vng góc với trục của dầm (song song với trục Oy) gọi là chuyển vị
đứng hay độ võng của điểm K.
- Thành phần u song song với trục của dầm (song song với trục z) gọi là chuyển vị
ngang của điểm K.
Sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở điểm K bị xoay đi một góc là , ta
gọi góc xoay  là chuyển vị góc (hay gọi là góc xoay) của mặt cắt ngang ở điểm K. Có thể
thấy rằng, góc xoay  chính bằng góc giữa trục chưa biến dạng của dầm và tiếp tuyến ở
điểm K của đường đàn hồi. Ba đại lượng u, v và  là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt
ngang ở điểm K. Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị u là một
đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v. Do đó, có thể bỏ qua chuyển vị u và xem KK’ bằng v,
nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vng góc với trục của dầm trước biến
dạng.

Hình 1.1 Đường đàn hồi

10


1.1. Phương trình đường đàn hồi của dầm Euler – Bernoulli khơng và có vết nứt
Mối liên hệ giữa độ cong của trục dầm tại điểm K sau khi biến dạng với mô men uốn
nội lực Mx tại K là [1]:
(1.2)

1 Mx

 EI

trong đó,  - bán kính cong của trục, Mx mô men uốn (Nm), EI – độ cứng chống uốn
của dầm (Nm2).
Mặt khác, độ cong có thể tính theo công thức:
(1.2)

�
y�

1
�


3
2 2

 1  y�

.

So sánh (1.1) và (1.2) ta được phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi là:

�
y�
3

 1  y�2  2

M
� x.
EI

(1.2)

Để thỏa mãn hai vế của đẳng thức ta qui ước dấu các thành phần nội lực: gồm 3
thành phần Nz (lực dọc), Qy (lực cắt), và Mx (mô men uốn) như sau:
+ Nz dương khi hướng ra ngoài mặt cắt.
+ Qy dương khi chiều quay phân tố xét theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
+ Mx dương khi làm căng thớ nằm về phía dương trục y (Hình 1.2).

Hình 1.2 Qui ước chiều lực dọc, lực cắt và mô men uốn dương, âm.

11


�
�

+ Từ đó, ta thấy giữa y và M ln ngược dấu với nhau nên phương trình vi phân của
đường đàn hồi có dạng:

�
y�
3
2 2

 1  y�



Mx
EI

(1.2)

2
�
+ Giả thiết góc xoay là bé và có thể bỏ qua y .

+ Phương trình vi phân sẽ có dạng gần đúng như sau [1]:

�
y�


(1.2)

Mx

EI

và qui ước dương của chuyển vị:
+ Độ võng y dương nếu hướng xuống dưới.
+ Góc xoay  dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ.
1.1.1. Dầm gối tựa hai đầu khơng có vết nứt và chịu lực tĩnh F
Xét dầm Euler – Bernoulli đồng nhất thiết diện khơng đổi có chiều dài L, mặt cắt
ngang hình chữ nhật bh, mơ men qn tính hình học I (m4), mô đun đàn hồi E, độ cứng
chống uốn EI. Chịu lực tĩnh F tại vị trí L2 (hình 1.3). Chia dầm làm 2 đoạn và gọi chuyển vị
của từng đoạn tương ứng là y1(x) và y2(x).

Hình 1.3 Dầm gối tựa hai đầu chịu lực tĩnh
Xác định phản lực N1 và N2 tại các gối tựa:
Phương trình cân bằng mô men:

�M ( x)  0 �FL

2

(1.2)

 LN 2  0

Phương trình cân bằng lực:

12


�F

y

(1.2)

 0 �N1  N 2  F  0

Giải phương trình (1.6) và (1.7) ta được:

N2  

N1   N 2  F � N1 

L2
F
L

(1.7)

L2
�L  L2 �
F  F � N1   F �
�
L
� L �

(1.8)

Xét đoạn 1: 0 �x �L2
Từ phương trình cân bằng mô men:

�M ( x)  0 �M  N x  0
1

Ta có mơ men tại một điểm bất kỳ thuộc đoạn

(1.9)

 0, L2  là:

�L  L2 �
M ( x)  N1 x   F �
�x
� L �

(1.10)

Thay (1.10) vào (1.4) ta được độ cong của dầm trong đoạn 1 là:

F �L  L2 �
�L  L2 �
�
�
EIy1�
( x)   M ( x)  F �
x � y1�
( x) 
x
�
�
�

EI � L �
� L �

(1.11)

Từ (1.11)  góc xoay của dầm trong đoạn 1 là :

y1�
( x) 

F �L  L2 �2
�
�x  a1.
2 EI � L �

(1.12)

Từ (1.12)  chuyển vị của dầm trong đoạn 1 là:

y1 ( x) 

F �L  L2 �3
�
�x  a1 x  a2
6 EI � L �

(1.13)

với các hằng số a1, a2 xác định từ điều kiện biên và điều kiện liên tục.
Xét đoạn 2: L2 �x �L

Từ phương trình cân bằng mô men và (1.10):

�M ( x)  0 � M  N x  F ( x  L )  0
1

13

2

(1.14)


� M ( x)  N1 x  F ( x  L2 )  

FL2
 L  x
L

(1.15)

Thay (1.15) vào (1.4) ta được độ cong của dầm trong đoạn 2 là:

�
EIy3�
( x )   M ( x) 
Từ (1.16)

FL2
FL
�

( x)  2  L  x 
 L  x  � y2�
L
EIL

(1.16)

 góc xoay của dầm trong đoạn 2 là:

y�
2 ( x)  

FL2
2
 L  x   a3
2 EIL

(1.17)

Từ (1.17)  Chuyển vị của dầm trong đoạn 3 là:

y2 ( x ) 

FL2
3
 L  x   a3 x  a4
6 EIL
.

(1.18)

với các hằng số a3, a4 xác định từ điều kiện biên và điều kiện liên tục.
Xét điều kiện biên và điều kiện liên tục:
+ Điều kiện biên: y1 ( x  0)  0 � a2  0

y2 ( x  L )  0 � y2 ( L )  0 

FL2
3
 L  L   a3L  a4 � a3L  a4  0
6 EIL
.
a4   a3 L

(1.19)

(1.20)
(1.21)

+ Điều kiện liên tục tại vị trí lực F: y1 ( x  L2 )  y2 ( x  L2 )

F
FL
3
 L  L2  L32  a1L2  2  L  L2   a3 L2  a4
6 EIL
6 EIL

(1.22)

+ Thay (1.21) vào (1.22)

F
FL
3
 L  L2  L32  a1L2  2  L  L2   a3 L2  a3 L
6 EIL
6 EIL
F
FL
3
 L  L2  L32  a1L2  2  L  L2   a3  L2  L 
6 EIL
6 EIL

a1L2  a3  L  L2  

FL2  L  L2 
 L  2 L2 
6 EI

F �L  L2 �2
FL2
2
L

a


L


L
 a3


�
�2 1
2
�
�
y
(
L
)

y
(
L
)
2
EI
L
2
EIL
�
�
1
2
2
2

Từ
.
14

(1.23)


FL2  L  L2 
2 EI

a1  a3 

(1.24)

Giải hệ phương trình (1.23) và (1.24)  a1 và a3;
1.1.2. Dầm cơng xơn khơng có vết nứt và khơng chịu lực F

+ Ta chia dầm ra làm 2 đoạn lần lượt là: 0 �x �L2 , L2 �x �L
+ Tìm phản lực ở đầu ngàm:

�
�M ( x)  0 �M1  L2 F  0 � M 1   L2 F
�
�
�Fy  0 �N1  F  0 � N1  F
�
(1.25)
Đoạn 1: 0 �x �L2 , L2 – vị trí đặt lực.
Cân bằng mơ men:

�M ( x)  0 �M  N x  M
1

1

 0 � M ( x)  N1 x  M 1  Fx  L2 F   F ( L2  x )

+ Mối quan hệ giữa mô men uốn và độ cong dạng riêng [1]:

�
EIy�
( x)   M ( x)
�
�
EIy1�
( x)   M ( x)  F ( L2  x) � y1�
( x) 

15

F
( L2  x )
EI


+ Góc xoay của dầm:
(1.26)

y1�
( x)  

+ Chuyển vị của dầm:

F
( L2  x) 2  a1
2 EI

y1 ( x) 

F
( L2  x)3  a1 x  a2
6 EI

Đoạn 2: L2 �x �L
+ Cân bằng mô men:

�M ( x)  0 �M  N x  M
1

1

 F ( x  L2 )  0

� M ( x)  N1 x  M 1  F ( x  L2 )  Fx  L2 F  F ( x  L2 )  0
+ Mối quan hệ giữa mô men uốn và độ cong dạng riêng [1]:

�
�
EIy2�
( x)   M ( x)  0 � y2�

( x)  0 ,
y2�
( x)  a3

+ Góc xoay của dầm trong đoạn 2 là:
(1.28)

y2 ( x)  a3 x  a4

+ Chuyển vị của dầm trong đoạn 2 là:
(1.29)
Điều kiện biên và điều kiện liên tục

�
+ Điều kiện biên: y1 ( x  0)  0 , y1 ( x  0)  0 .
�
�
+ Điều kiện liên tục tại L2: y1 ( L2 )  y2 ( L2 ), y1 ( L2 )  y2 ( L2 )
Từ y1 ( x  0)  0 thay vào:

F
FL32
FL32
3
y1 ( x) 
( L2  x )  a1 x  a2 �
 a2  0 � a2  
6 EI
6 EI
6 EI

(1.30)

y1�
( x  0)  0 thay

y1�
( x)  

F
FL2
FL2
( L2  x) 2  a1 �  2  a1  0 � a1  2
2 EI
2 EI
2 EI (1.31)

Từ y1 ( L2 )  y2 ( L2 ) :

� a3 L2  a4 

F
( L2  L2 )3  a1L2  a2
6 EI
16

(1.27)


FL32
FL32

a3 L2  a4  a1L2  a2 
� a4 
 a3 L2
3EI
3EI

(1.32)

F
FL22
2
y1�
( L2 )  y2�
( L2 ) � 
( L2  L2 )  a1  a3 � a3  a1 
2
EI
2 EI
Từ
(1.33)

FL32 FL32
FL32
a4 


3EI 2 EI
6 EI

(1.34)

1.3. Mơ hình vết nứt
Vết nứt mở hồn tồn được mơ hình bằng lị xo khơng khối lượng (mơ hình mặt cắt).
Đây là, mơ hình vết nứt đơn giản và thuận tiện nhất cho đến nay. Nó đã được kiểm chứng
bằng thực nghiệm.

trong đó, độ cứng lị xo là hàm của độ sâu vết nứt và được xác định từ thực nghiệm
như sau:
(1.35)
với C(s) là độ mềm không thứ nguyên được xác định từ thực nghiệm dựa vào lý thuyết
cơ học phá hủy.
Theo Liebowitz và Claus, Liebowitz, Rizos, H. Okamura, độ mềm cục bộ được tính từ
hàm năng lượng biến dạng như sau:
(1.36)

W. M. OStachowicz và M. Krawczuk thay thế độ mềm cục bộ C(s) như sau:
(1.37)
Mơ hình C. Bilello đưa ra biểu thức độ mềm địa phương C(s):
(1.38)

17


T.G. Chondros đưa ra mơ hình độ mềm của một vết nứt tập chung tương ứng với mơ
hình liên tục sử dụng biểu thức C(s) như sau
(1.39)
Đối với dầm có một vết nứt tại vị trí xc ta chia dầm thành hai đoạn dầm nguyên vẹn
liên kết với nhau tại xc. Độ võng của dầm cần thỏa mãn điều kiện tương thích trên tại vị trí
vết nứt xc và điều kiện biên ở hai đầu dầm (x = 0 và x = L).
1.1.4. Dầm gối tựa hai đầu có một vết nứt và chịu lực tĩnh F
Xét dầm Euler – Bernoulli đồng nhất thiết diện khơng đổi có chiều dài L, mặt cắt

ngang hình chữ nhật bh. Chịu lực tĩnh F tại vị trí L2. Tại vị trí L1 có một vết nứt mở hồn
tồn và có chiều sâu vết nứt a (hình 1.6). Ta chia dầm thành các đoạn và viết phương trình
đàn hồi cho mỗi đoạn, thỏa mãn điều kiện tương thích tại vị trí vết nứt và vị trí đặt lực.

Ta chia dầm thành ba đoạn: 0 �x �L1 , L1 �x �L2 , L2 �x �L .
+ Xác định phản lực N1 và N2 tại các gối tựa:
Phương trình cân bằng mơ men:

�M ( x)  0 �FL

2

 LN 2  0

(1.40)

Phương trình cân bằng lực:

�F

y

 0 �N1  N 2  F  0

(1.41)

Giải phương trình (1.40) và (1.41) ta được:

N2  

N1   N 2  F � N1 

L2
F
L

L2
�L  L2 �
F  F � N1   F �
�
L
� L �
18

(1.42)

(1.43)


Đoạn 1: 0 �x �L1
Cân bằng mô men:

�L  L2 �
�x
L �

�M ( x)  0 �M  N x  0 � M ( x)  N x  F �
�
1

1

(1.44)
+ Mối quan hệ giữa mô men uốn và độ cong dạng riêng [1]:

�
EIy�
( x)   M ( x)
(1.45)

F �L  L2 �
�L  L2 �
�
�
EIy1�
( x)   M ( x)  F �
( x) 
x
�x � y1�
�
�
EI � L �
� L �

+ Góc xoay của dầm:
(1.47)

+ Chuyển vị của dầm:
(1.48)

y1�
( x) 

F �L  L2 �2
�
�x  a1
2 EI � L �

y1 ( x) 

F �L  L2 �3
�
�x  a1 x  a2
6 EI � L �

(1.46)

Đoạn 2: L1 �x �L2
+ Cân bằng mô men:

�L  L2 �
�x
L �

�M ( x)  0 �M  N x  0 � M ( x)  N x   F �
�
1

1

(1.49)

+ Mối quan hệ giữa mô men uốn và độ cong dạng riêng [1]:

F �L  L2 �
�L  L2 �
�
�
EIy�
x � y2�
( x) 
x
2 ( x)   M ( x)  F �
�
�
�
EI � L � ,
� L �

(1.50)

+ Góc xoay của dầm trong đoạn 2 là:

y�
2 ( x) 

F �L  L2 �2
�
�x  a3
2 EI � L �

+ Chuyển vị của dầm trong đoạn 2 là:
19

(1.51)


y2 ( x ) 

F �L  L2 �3
�
�x  a3 x  a4
6 EI � L �

(1.52)

Đoạn 3: L2 �x �L
+ Cân bằng mô men:

�M ( x)  0 � M  N x  F ( x  L )  0
1

2

� M ( x )  N1 x  F ( x  L2 )  

FL2
 L  x
L

(1.53)

+ Mối quan hệ giữa mô men uốn và độ cong dạng riêng [1]:

�
EIy3�
( x)  M ( x) 

FL2
FL
�
( x)  2  L  x 
 L  x  � y3�
L
EIL
,
( L2 �x �L )

+ Góc xoay của dầm trong đoạn 3 là:
(1.55)

+ Chuyển vị của dầm trong đoạn 3 là:
(1.56)

y3�
( x)  

y3 ( x) 

FL2

2
 L  x   a5
2 EIL

FL2
3
 L  x   a5 x  a6
6 EIL
.

+Ta xét các điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm:
+ Điều kiện biên: y1 ( x  0)  0 , y3 ( x  L )  0 .

+ Điều kiện liên tục tại vết nứt: y1 ( x  L1 )  y2 ( x  L1 ) ,

�
y2�
( x  L1 )  y1�
( x  L1 )   y2�
( L1 ) .
+ Điều kiện liên tục tại vị trí lực F: y2 ( x  L2 )  y3 ( x  L2 )
20

(1.54)


y2�
( L2 )  y3�
( L2 ) .
+ Ta đi tìm các hệ số của chuyển vị từ các điều kiện biên và tương thích:

+ Biên dầm gối tựa 2 đầu:
từ y1 ( x  0)  0 �

Từ

y1 (0) 

F �L  L1 �
0  a1 0  a2  0 � a2  0
�
�
6 EI � L �
.

y3 ( x  L)  0 � y3 ( L) 

(1.57)

FL1
3
 L  L   a5 L  a6  0 � a6  a5 L
6 EIL
. (1.58)

+ Điều kiện liên tục tại vết nứt:
- Từ y1 ( x  L1 )  y2 ( x  L1 ) ta được:

F �L  L2 �3
F �L  L2 �3
L1  a1L1  a2 

L1  a3 L1  a4
�
�
�
�
6 EI � L �
6 EI � L �
a1L1  a2  a3 L1  a4  0

(1.59)

- Thay điều kiện a2  0 từ phương trình (1.57) vào (1.59) ta có:

a1L1  a3 L1  a4  0

(1.60)

�
�
�
�
- Từ y2 ( x  L1 )  y1 ( x  L1 )   y2 ( L1 ) ta được:

F �L  L2 �2
F �L  L2 �2
F �L  L2 �
L1  a3 
L1  a1 
�
�

�
�
�
�L1
2 EI � L �
2 EI � L �
EI � L �
a1  a3 

F �L  L2 �
�
�L1
EI � L �

(1.61)
+ Điều kiện liên tục tại vị trí lực F
- Từ y2 ( x  L2 )  y3 ( x  L2 ) ta được:

F �L  L2 �3
FL2
3
 L  L2   a5 L2  a6
�
�L2  a3 L2  a4 
6 EI � L �
6 EIL
a3 L2  a4  a5 L2  a6 

FL2
F �L  L2 �3

3
L2
 L  L2  
�
�
6 EIL
6 EI � L �

- Thay điều kiện: a6   a5 L từ (1.58) vào (1.62) ta được:
21

(1.62)


a3 L2  a4  a5  L  L2  

FL2
F �L  L2 �3
3
L2
 L  L2  
�
�
6 EIL
6 EI � L � .

(1.63)

�
�

- Từ y2 ( L2 )  y3 ( L2 ) ta được:

F �L  L2 �2
FL2
2
L2  a3  
 L  L2   a5
�
�
2 EI � L �
2 EIL
a3  a5  

FL2
F �L  L2 �2
2
L2
 L  L2  
�
�
2 EIL
2 EI � L �

(1.64)

+ Viết các phương trình (1.60), (1.61), (1.63), (1.64) dưới dạng ma trận:

a1L1  a3 L1  a4  0

 a1  a3 

F �L  L2 �
L1
�
�
EI � L �

a3 L2  a4  a5  L  L2  
a3  a5  

FL2
F �L  L2 �3
3
L2
 L  L2  
�
�
6 EIL
6 EI � L �

FL2
F �L  L2 �2
2
L2
 L  L2  
�
�
2 EIL
2 EI � L �

0
�
�
a1 �
0 ��
�L1  L1 1
�
�
�
6 L1  L  L2 
a3 � F �
1 1
0
0 ��
�
�
�� �
3
3
�
�0 L2 1 L  L2 ��
a4 � 6 EIL L2  L  L2    L  L2  L2 �
�
�
�
�� �
2
2
a
0

1
0

1
�
3L2  L  L2   3L2  L  L2  �
�
��5 �
�
�
với a2  0 , a6  a5 L
Thêm vào tính dưới dạng ma trận
Thay vào phương trình chuyển vị

y1 ( x) 

F �L  L2 �3
F �L  L2 �3
�
�x  a1 x  a2 � y1 ( x) 
�
�x  a1 x
6 EI � L �
6 EI � L �

y2 ( x ) 

F �L  L2 �3
�
�x  a3 x  a4

6 EI � L �

(1.65)

(1.66)
22


y3 ( x) 

FL2
FL
3
3
 L  x   a5 x  a6 � y3 ( x)  2  L  x   a5  x  L 
6 EIL
6 EIL

(1.67)
�F �L  L2 �3 �
�6 EI � L �x �
a1 �
�
�
� �
x 0 0
0 �� �
�y1 ( x) � �
�
a3 �

�
� �F �L  L2 �3 � �
�
0 x 1
0 �
�y2 ( x) � � �
� �
�x � �
�
a4 �
�y ( x) � �6 EI � L � � �
�
0 0 0 x  L�
�
�
�3
�FL2
�
�
3
a5 �
�
 L  x �
�
�6 EIL

(1.68)
Từ

0

�
�
a1 �
0 ��
�L1  L1 1
�
�
�
�
6 L1  L  L2 
a
1 1
0
0 ��
F
�
�
3
�
�� �
3
3
�
�0 L2 1 L  L2 ��
a4 � 6 EIL L2  L  L2    L  L2  L2 �
�
�
�
�� �
2

2
a
0
1
0

1
�
3L2  L  L2   3L2  L  L2  �
�
��5 �
�
�
Suy ra
1
0
�
a1 �
0 ��
�
�L1  L1 1
�
�
��
6 L1  L  L2 
a3 � F �

1
1
0

0
�
�
� �
�
�
3
3
�
a4 � 6 EIL �0 L2 1 L  L2 � � L2  L  L2    L  L2  L2 �
�
��
�
��
2
2
a
0
1
0

1
�
3L2  L  L2   3L2  L  L2  �
�
��
�5 �
�

Thay vào (1.67):

�F �L  L2 �3 �
1
�6 EI � L �x �
0
�
L1  L1 1
0 ��
�
�
�
�
�
�
�y1 ( x) � �
�x 0 0 0 ��
�
6 L1  L  L2 

1
1
0
0
� � �F �L  L2 �3 � F �
�
�
�
�
0 x 1 0 ��
3
�y2 ( x)� � �

3 �
�x �
�
�
�0 L2 1 L  L2 � L2  L  L2    L  L2  L2
�y ( x) � �6 EI � L � � 6 EIL �
�
0 0 0 x  L�
�
��
�
�
�3
2
2
�FL2
�
0
1
0

1
3
�
3L2  L  L2   3L2  L  L2  �
�
��
�
 L  x �
�

�6 EIL

(1.69)
1.1.5. Dầm gối tựa hai đầu có hai vết nứt và chịu lực tĩnh F
Xét dầm Euler – Bernoulli đồng nhất thiết diện khơng đổi có chiều dài L, mặt cắt
ngang hình chữ nhật bh. Chịu lực tĩnh F tại vị trí L3. Tại vị trí L1 và L2 có một vết nứt mở
hồn tồn và có chiều sâu vết nứt a. (hình 1.9).
23