TÀI LIỆU dạy TOÁN 9 GIAI đoạn 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 26 trang )
TÀI LIỆU ÔN ĐẠI SỐ GIAI ĐOẠN 3
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyên đề 1: Hệ phương trình.
Dạng 1. Giải hệ phương trình
Bài 1) Giải các hệ phương trình
4 x 2 y 3
2 x 3 y 5
a)
b)
4 x 6 y 10
6 x 3 y 5
0,2 x 0,1y 0,3
e)
3x y 5
f)
x 3 - (2 + 3)y = 4
x-y=2
Bài 2) Giải các hệ phương trình sau:
(3x 2)(2 y 3) 6 xy
a)
(4 x 5)( y 5) 4 xy
(2 x 3)(2 y 4) 4 x( y 3) 54
c)
( x 1)(3 y 3) 3 y ( x 1) 12
1
1
2 ( x 2)( y 3) 2 xy 50
e)
1 xy 1 ( x 2)( y 2) 32
2
2
Bài 3) Giải các hệ phương trình sau:
1
1 1 1
2
x 2 y y 2x 3
x y 12
a)
b)
4 3 1
8 15 1
x 2 y y 2 x
x y
3x 4 y 2 0
c)
5 x 2 y 14
x 2
g) y 3
x y 10 0
2 x 5 y 3
d)
3x 2 y 14
2 1 x 2 y 3
2 2 x y 4
2( x y ) 3( x y ) 4
b)
( x y ) 2( x y ) 5
( x 20)( y 1) xy
d)
( x 10)( y 1) xy
y 27
2 y 5x
5
2x
3
4
g)
x 1 y 6 y 5x
3
7
3x
x 1
c)
2x
x 1
2
5
y4
5
4
y4
2
2
3 x 2 y 16
x y 13
d) 2
e)
2
2 x 3 y 11
3x 2 y 6
Bài 4) Giải các hệ phương trình:
y
2
x 2 y 5 0
3
a)
; 4
2
1 1 1
x 2 y 5
x 4 y 18
g)
3 x y 10
y
1
x 3 2y 3 0
c)
2 3 5
x 3 2y 3
4
7
2x
2x 1 y 1 2
d)
3 y 3
2x 1 y 1
3
; 3
2
y
x
2x 3 y 1 1
f)
2 3 1
2x 3 y 1
1;6
2y 1
3x
x 2 y 1 6
e)
3 x 2 4 y 1
4;1
2; 2
Bài 5) Giải các hệ phương trình :
x 2y 5
a)
1; 2 , 7; 1
xy 3y 4
xy x y 1
c)
3x 4y 5
1; 2 ; 3;1
HD: c) Rút ẩn từ (2) giải được nhưng không hay.
3
2x
x 3 y 1 16
b)
5 y2 3
x 3 y 1
x 2y 2 7
b)
2x y 4
2x
1
d) y 1
x y 4 2
d) Chứa ẩn ở mẫu.
5 3
;
2 2
1; 2 ...
2;3 ...
1
Bài 6) Tìm các giá trị của m, n thỏa mãn:
2mx 1 n y m n 1
a) Hệ
có nghiệm (2; 1);
m 1 x m n y 3
2mx (m 1) y m n
c) Hệ
có nghiệm là (2; -1)
(m 2) x 3ny 2m 3
3mx n 1 y 93
b) Hệ
có nghiệm (1; -5);
nx 4my 3
m 2 x 5ny 25
d) Hệ
có nghiệm (3; -1).
2
mx
n
2
y
5
Bài 7)
a) Tìm a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
b) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6, f(-1) = 0
c) Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm : A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
d) Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm : P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 8) Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
2 x3 1 5 y 5 x
Bài 9) *Giải hệ phương trình:
(Đề thi vào Lê Hồng Phong 2013-2014)
3
3
x
y
1.
x2 4 x 3 x 3 y
Bài 10) *Giải hệ phương trình:
2
2
x y 4x 2 y 4 0
Dạng 2. Hệ phương trình chứa tham số
(1)
mx y 2m
Bài 1) Cho hệ phương trình:
4 x my m 6 (2)
a) Tìm m để hệ vơ nghiệm
b) Tìm m để hệ vơ số nghiệm
m
2m 3
c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m. (ĐS:
;
)
m2
m2
( Liên hệ: Tìm m để hệ có nghiệm?)
2 x y m 2
Bài 2) Cho hệ phương trình
x 2 y 3m 4
a) Giải hệ với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn : x2 + y2 = 10.
c) Tìm m để để hệ có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x (cm) và y (cm) là độ dài hai cạnh góc vng của một tam
giác vng có độ dài cạnh huyền là 10cm.
x 2y 3 m
Bài 3) Cho hệ phương trình:
2x y 3(m 2)
a) Giải hệ phương trình khi m = -1.
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x - 3y > 5.
c) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
x my 9
Bài 4) Cho hệ phương trình:
mx 3 y 4
a) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 2)
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình ln ln có nghiệm duy nhất với mọi m
mx y 2
Bài 5) Cho hệ phương trình :
x my 1
a) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x + y = -1.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
mx 2 y m 1
Bài 6) Tìm m nguyên để hệ sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
2 x my 2m 1
Gợi ý: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 2, m 2 .
(m 2)(2m 1) 2m 1
3
2
2
y
m2
m2
m 4
. Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1;1;3;3.
m
1
3
x
1
m2
m2
2
Chuyên đề 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
A. Chú ý:
* Các bước giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Chọn ẩn: Tùy từng dạng bài cụ thể mà linh hoạt chọn ẩn. Chú ý có đơn vị, ngơn ngữ phải rõ nghĩa
Đặt điều kiện cho ẩn: phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế....
Bước 2. Lập các phương trình: Biểu diễn các đại lượng chưa biết thơng qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 3. Lập và giải hệ phương trình.
Bước 4. Trả lời: Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời theo yêu cầu bài
toán. Bước đối chiếu có thể làm ln sau khi giải xong hệ phương trình ở bước 3.
Nhận xét: Bước 1 và bước 3 quan trọng và quyết định nhất.
B. Các bài tập:
Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
I. Những kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b ( víi 0+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc 100a 10b c ( víi 0+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
1 1
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: .
x y
II. Bài tập
Bài 1: Hai lần mẫu số của một phân số lớn hơn ba lần tử số của nó là 4 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó
1
thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng . Tìm phân số đó?
2
Bài 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết
bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?
2
1
Bài 3: Hai lần số thứ nhất kém số thứ hai 6 đơn vị. Tìm hai số biết
số thứ nhất thì bằng
số thứ hai.
5
6
Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn
vị và hàng chục cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị.
2
Đáp số: Bài 1: ; Bài 2: 18; Bài 3: 15 và 36; Bài 4: 61.
5
Dạng 2: Toán chuyển động
I. Những kiến thức cần nhớ:
S
S
- Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì: S = v.t; v ; t .
t
v
- Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dịng nước là v2 thì:
Vận tốc ca nơ khi xi dịng nước là v = v1 + v2. Vân tốc ca nơ khi ngược dịng là v = v1 - v2
- Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn; Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn; Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian
II. Bài tập
Bài 1: Trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình, xe máy thứ nhất đi hết 3 giờ 20 phút. Còn xe máy thứ hai đi hết 3 giờ
40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km.
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình?
Bài 2: Đoạn đường AB dài 180 km. Cùng lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B gặp nhau tại C cách A 80 km.
Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A 60 km. Tính vận tốc của ơ tơ và xe máy?
Bài 3: Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 150 km. Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn
hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính vận tốc của
mỗi ơ tơ.
Bài 4: Một chiếc thuyền đi trên dịng sơng dài 50 km. Tổng thời gian xi dịng và ngược dịng là 4 giờ 10
phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dịng sơng.
Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với
vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính
vận tốc của mỗi xe?
3
Bài 6: Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách nhau 100 km. Cùng lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A đến B.
Ca nô đến B thì quay lại A ngay, trên đường về nó gặp bè nứa khi đã đi được 10 giờ. Khi về đến B thì tổng
thời gian cả xi dịng và ngược dịng hết 15 giờ. Tìm vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước?
Đáp án: Bài 1. 33 km/h, 30 km/h, 110 km; Bài 2. 50 km/h, 40 km/h; Bài 3. 60 km/h, 50 km/h; Bài 4. 25
km/h; Bài 5. ? ; Bài 6. 15 km/h, 5 km/h.
Dạng 3: Tốn làm chung cơng việc
I. Những kiến thức cần nhớ:
a) Dạng bài năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
- Lượng công việc = thời gian năng suất Năng suất = lượng công việc : thời gian
1
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được
cơng việc.
x
- Xem tồn bộ cơng việc có lượng cơng việc là 1.
- Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn.
- Làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
- Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai.
Thường có một phương trình là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
b) Dạng bài nhiều đối tượng:
- Tổng số lượng công việc = số đối tượng lượng cơng việc của mỗi đối tượng
Ví dụ: Tổng số cây trồng được = Tổng số học sinh X số cây mỗi học sinh trồng.
- Đối tượng : số xe, số người, số tàu,…
- Thường chọn số đối tượng làm ẩn.
II. Bài tập
Bài 1: Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người
thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hồn thành được 25% cơng việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hồn thành cơng
việc trong bao lâu?
Bài 2: Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hồn
thành cơng việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì
xong cơng việc?
Chú ý: + Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại
lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai. Bài này có thể chọn một ẩn.
+ Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn làm thời gian
của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải.
Bài 3: Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngơi nhà thì 2 ngày xong việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4
ngày rồi nghỉ, người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao
lâu xong cơng việc?
Bài 4: Hai người thợ cùng làm một cơng việc thì xong trong 18 giờ. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ,
người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 cơng việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong
cơng việc?
Bài 5: Để hồn thành một cơng việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi
làm việc khác. Tổ một đã hồn thành cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu
xong cơng việc đó?
Bài 6: Hai đội cơng nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong cơng việc.
Nếu làm riêng thì đội hai hồn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội
phải làm trong bao nhiêu ngày để xong cơng việc?
Bài 7: Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít. Ở mỗi bình có một vịi nước chảy vào
và dung lượng nước chảy trong một giờ là như nhau. Người ta mở cho hai vịi cùng chảy vào bình nhưng sau
2 giờ thì khố vịi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại. Để hai bình cùng đầy một lúc người ta phải
tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ. Tính xem mỗi giờ vịi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước.
Bài 8:Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vì có 1 bạn
trong tổ được phân công đi làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều
trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc đầu. Hỏi tổ học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho
mỗi bạn trồng đều bằng nhau.
Kết quả:
Bài 1. 24 giờ, 48 giờ; Bài 2. 5 giờ, 7 giờ; Bài 3. 6 ngày, 3 ngày; Bài 4. 54 giờ, 27 giờ;
Bài 5. 10 giờ, 15 giờ; Bài 6. 6 ngày, 3 ngày; Bài 7. 75 lít. Bài 8. 8 h/s
4
Dạng 4: Tốn có nội dung hình học:
I. Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( x và y là các kích thước hình chữ nhật)
1
- Diện tích tam giác S x.y ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)
2
- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a, b là các cạnh góc vng)
II. Bài tập
Bài 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40cm2, biết nếu tăng mỗi kích thước thêm 3cm thì
diện tích tăng thêm 48 cm2.
Bài 2: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai lần cạnh góc vng thứ nhất hơn cạnh góc vng
thứ hai là 1m. Tính các cạnh góc vng của tam giác?
Bài 3: Tính diện tích hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7m.
Bài 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều dài
giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thỡ chu vi thửa ruộng không thay đổi
Bài 5: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m2 . Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4
m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích khơng đổi?
Bài 6: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy lần lượt bằng 30 m và 50 m người ta làm
hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các tim đường lần lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn
thẳng nối hai trung điểm của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết rằng diện tích phần làm đường
1
bằng
diện tích hình thang.
4
Đáp số: Bài 1: 5cm và 8cm; Bài 2 : 3m và 4m; Bài 3: 60m2 ; Bài 4: 3750m2 ; Bài 5: 36 m; Bài 6: 5 m.
Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng
I. Những kiến thức cần nhớ :
x
+ x% =
100
x
+ Dân số năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay l a a.
100
x
x
x
+ Số dân năm sau là (a+a.
) (a+a.
).
100
100 100
II. Bài tập
Bài 1: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới
nên trong thời gian quy định tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy họ đã
hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu.
Bài 2: Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lờn 2048288 người. Tính xem hàng năm
trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm.
Bài 3: Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được
nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 11
881 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
Bài 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian dự định. Do áp dụng kỹ thuật mới
nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đó sản
xuất được tất cả được 1162 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiêu?
Kết quả: Bài 1: 200 (sản phẩm) và 400 (sản phẩm); Bài 2: tăng 1,2%;
Bài 3: 9% trong 1 năm; Bài 4: 400 sản phẩm và 600 sản phẩm
Dạng 6: Các dạng toán khác
I. Những kiến thức cần nhớ :
m
- V (V lµ thể tich dung dich; m là khối lượng; D là khối lượng riêng)
D
Khối lượng chất tan
- Khi lng nng dung dch =
Khối lượng dung môi (m tổng)
II. Bi tp
Bi 1: Một phịng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau. Nếu mỗi dãy bớt đi một ghế
thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế. Hỏi phòng họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế.
5
Bài 2: Hai giá sách có 400 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30 cuốn thì số sách ở giá thứ
3
nhất bằng số sách ở giá thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi giá?
5
Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m
thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều. Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên bờ của
thửa đất. Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau nhưng
số tiền thu được của hai người lại bằng nhau. Người thứ nhất nói với người kia: “ Nếu số trứng của tôi bằng
số trứng của anh thì tơi bán được 15 đồng ”. Người kia nói “ Nếu số trứng của tơi bằng số trứng của anh tôi
chỉ bán được 10 đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì
được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng đó giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của
hợp kim?
Bài 6: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó là 0,2g/cm3 để
được hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng biết thể tích hỗn hợp
bằng tổng thể tích các chất lỏng.
Bài 7: Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích của miếng thứ nhất
nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối
lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
Kết quả:
Bài 1: 60 dãy ghế ; Bài 2: 180 quyển và 220 quyển ; Bài 3: 5m ; Bài 4: 40 quả và 60 quả ;
Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam; Bài 6: 0,8 (g/cm3) và 0,6 (g/cm3) ; Bài 7: 8,8 g/cm3 và 7,8 g/cm3
Chuyên đề 3. Hàm số y = ax2 và đồ thị
A. Chú ý: Xét hàm số y = ax2
* Với a > 0:
- Hàm số đồng biến với x > 0, nghịch biến với x < 0, giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 khi x = 0.
- Đồ thị hàm số là một Parabol nhận Oy làm trục đối xứng, quay bề lõm lên trên, điểm thấp nhất là O.
* Với a < 0:
- Hàm số nghịch biến với x > 0, đồng biến với x < 0, giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 khi x = 0.
- Đồ thị hàm số là một Parabol nhận Oy làm trục đối xứng, quay bề lõm xuống dưới, điểm cao nhất là O.
B. Các bài tập
Bài 1) Cho hàm số y = (3m - 4)x2 với m là tham số
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 5).
b) Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x < 0.
1
Bài 2) Cho hàm số y = x 2 có đồ thị là (P)
2
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ là 2
c) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ là -2
d) Chứng tỏ đường thẳng y = mx + 2m – 2 luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P)
Bài 3) Cho hàm số y = (- m2 + 2m + 4)x2 với m là tham số
a) Khi m = 3, vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm (1; -4)
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M thuộc đường thẳng y = 2x + 7 và có tung độ là 5.
Bài 4) Cho hàm số y = (3 – 2m)x2
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -4). Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được
b) Tìm m để hàm số nghịch biến với mọi x < 0.
c) Tìm m để đồ thị hàm số là một Parabol có điểm cao nhất là O(0;0).
Bài 5) Cho hàm số y = ax2
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm (4; 8). Vẽ đồ thị hàm số với a tìm được.
b) Khi a = 2, tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = 2x + 4.
Bài 6) Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = 2x +1.
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ điểm A thuộc (P) có hồnh độ bằng -2
c) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có tung độ là 8
d) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với (d).
6
Bài 7) Cho (P) y x 2 và đường thẳng (d) y = 2x + m
a) Với m = -2. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d). Tìm toạ độ tiếp điểm.
c) Tìm m để (d) đi qua điểm M thuộc (P) có hồnh độ là 3. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d)
1
Bài 8) Cho (P): y x 2 và đường thẳng (d): y = ax + b .
2
Xác định a và b để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm.
Chuyên đề 4. Phương trình bậc hai.
Bài 1) Giải các phương trình:
a) x2 – 2x – 35 = 0
b) x2 – 4x + 9 = 0
c) - x2 – 3x + 8 = 0
d) -3x2 – 5x + 50 = 0
e) - 2x2 – 3x + 6 = 0
f) -3x2 – 2 5 x + 5 = 0
g) x2 + 2 3 x – 1 - 2 3 = 0
h) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0
i) ( 3 +1)x2 +2 3 x + 3 - 1 = 0
Bài 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2mx + m2 – 2m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình nhận x = 2 là nghiệm. Tìm nghiệm cịn lại nếu có.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 -2mx + m2 – 3m + 4 = 0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Bài 4) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 -2(m-1)x + m2 – m + 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm. Tìm nghiệm đó.
c) Tìm m để phương trình vơ nghiệm.
Bài 5) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - mx + m - 1 = 0
a) Chứng minh phương trình ln nhận x = 1 là nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau.
Bài 6) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2 ( m 2 )x 4 0
a) Tìm m để phương trình nhận giá trị nguyên âm lớn nhất là nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Bài 7) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
(có hai cách)
b) Tìm m để phương trình nhận x = 3 là nghiệm
Bài 8) Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 9) Tìm điều kiện để các phương trình sau có nghiệm:
a) x 2 x 2 m 0
b) 2 x 2 3 x m 1 0
c) x 2 2 mx 3m 4 0
Bài 10) Tìm điều kiện để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
a) x 2 4 x m2 0
b) x 2 1 2 m x 2( m 1) 0
c) x 2 6 mx 2 m 7 0
Bài 11) Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm.
a) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ;
b) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
c) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ;
d) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;
e) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0
Bài 12) Chứng minh rằng các phương trình sau ln có 2 nghiệm phân biệt
a) x 2 4 x m2 0
b) x 2 3 x 1 m2 0
c) x 2 2 mx m 3 0
Bài 13) *Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
7
PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1) Cho đường trịn (O;R) và hai đường kính AB, CD
vng góc với nhau. M là điểm trên cung BC sao cho
MAB 300 .
a) Tính theo R độ dài của MA và MB
b) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt đường thẳng AB tại S và
cắt đường thẳng CD tại K. Chứng minh MA = MS
c) AM c ắt CD tại N. Chứng minh tam giác KNM đều.
K
C
A
Bài 4) Cho đường tròn (O). Từ điểm A bên ngồi đường
trịn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là
các tiếp điểm). Gọi N là trung điểm AB, giao điểm của
CN với đường tròn (O) là M. Kẻ cát tuyến AMD với
đường tròn (O). Chứng minh:
a) OAC OCB ;
b) NB2 = NM.NC;
c) AB//CD.
Bài 5) Cho điểm A ở bên ngồi đường trịn (O). Kẻ tiếp
tuyến AB, AC và cát tuyến ADE không đi qua tâm O (B,
C là tiếp điểm, D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm
DE. Gọi K là giao điểm của BC và DE. Chứng minh:
a) OHB OAB
b) HA là tia phân giác của BHC
c) AD.AE = AK.AH
(cùng bằng AI.AO hoặc AB2)
Bài 6) Cho điểm A ở bên ngồi đường trịn (O). Kẻ tiếp
tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (B, C là
tiếp điểm, D nằm giữa A và E). Gọi I và K lần lượt là
giao điểm của OA và AE với BC. Chứng minh:
a) Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) AC.AB=AD.AE
c) AID AEO
Bài 7) Từ điểm A trên đường tròn (O; R), đặt liên tiếp ba
điểm A, B, C sao cho sđ AB 900 , sđ BC 300 . Kẻ AH
vng góc với đường thẳng BC.
a) Chứng minh tứ giác AHBO nội tiếp
b) Chứng minh OH là trung trực của AC.
c) Tính theo R độ dài các đoạn AB, AH, BH, BC, OH
S
B
O
D
Bài 2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O),
các đường cao BD, CE.
a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. Xác định tâm I
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b) Chứng minh AE.AB=AD.AC
c) Chứng minh OA ED
Gợi ý: Cách 1: Kẻ đường kính AK.
Cách 2: Kẻ tiếp tuyến xy tại A của đường tròn (O)
Bài 3) Cho đường trịn (O). Từ điểm A bên ngồi đường
trịn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là
các tiếp điểm). Đường thẳng kẻ qua C song song với AB
cắt đường tròn (O) ở D, AD cắt đường tròn (O) ở M, CM
cắt AB ở N. Chứng minh:
a) Góc BAD ACN ;
b) AN2 = NM.NC;
c) N là trung điểm của AB.
M
N
y
A
x
D
O
E
H
B
C
B
N
O
A
M
D
C
B
N
O
A
M
D
C
B
I
A
D
K
O
H
E
C
B
I
A
D
O
K
E
C
H
B
C
A
O
8
Bài 8) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại
A. Một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở B, cắt
đường tròn (O’) ở C. Kẻ các đường kính BD và CE của
hai đường trịn (O) và (O’).
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng
b) Chứng minh BD//CE
c) Nếu đường tròn (O) bằng đường trịn (O’) thì tứ giác
BDCE là hình gì? Vì sao?
Gợi ý: b) Hai góc so le trong bằng nhau
c) Là hình thoi ( hbh có hai đường chéo vng góc)
Bài 9) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, tiếp
tuyến Ax. Gọi C là một điểm trên nửa đường trịn. Tia
phân giác của góc CAx cắt nửa đường trịn ở E, AE và
BC cắt nhau ở K.
a) Tam giác ABK là tam giác gì? Vì sao?
b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Cminh: KI//Ax
c) Chứng minh OE//BC
Bài 10) Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài.
Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ ( A và A’ là tiếp điểm)
và cát tuyến SBC tới đường trịn (BC khơng đi qua O).
Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường trịn ở E.
Gọi H là giao điểm của OS và AA’, G là giao điểm của
OE và BS, F là giao điểm của AA’ với BC. Chứng minh:
a) Tam giác SAD cân
b) SF.SG = SO.SH
c) SA2 = SF.SG
Bài 11) Cho đường tròn tâm O đường kính AB và C là
điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm thay đổi
trên cung CB. Qua C kẻ CN AM .
a) Chứng minh tam giác MNC vuông cân
b) Chứng minh OCN OAN
c) Điểm M ở vị trí nào trên cung BC thì tam giác OMC
là tam giác đều.
Gợi ý b) Cách 1: Tứ giác nt. Cách 2: Cùng bằng góc M
Bài 12) Cho (O), hai đường kính AB và CD vng góc
với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC. Kẻ các
dây MP và MQ sao cho MP AB, MQ AC .
a) Chứng minh ba điểm P, O, Q thẳng hàng
b) Nếu M là điểm chính giữa cung AC thì tứ giác APQC
là hình gì? Tính các góc của tứ giác đó.
c) Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung AC
thì các tia phân giác trong của góc P và góc Q của tam
giác MPQ ln ln đi qua những điểm cố định.
Gợi ý: a) Góc PMQ vng và nội tiếp đường trịn
b) PA AM MC CQ , APQC là hình thang cân
c) QA ln là phân giác của góc MQP, mà A cố định nên
tia phân giác của góc MQP ln đi qua A, tương tự tia
phân giác của góc MPQ ln đi qua C.
Bài 13) Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp
đường tròn (O). Trên các cung AB và AC lây tương ứng
hai điểm D và E, biết s®AD = s®AE = 600 .
a) ADOE là hình gì?
b) Chứng minh DECB là hình thang cân
c) ABC cần có đk gì để DECB là hình chữ nhật?
Gợi ý: b) Hình thang nội tiếp đtrịn là hình thang cân
c) ACE 300 . BCE 900 BCA 600 ABC đều
D
C
A
O
O'
E
B
x
K
C
E
I
A
B
O
A
H
O
S
B
D F
G
C
E
A'
C
M
N
A
B
O
A
P
M
K
D
O
I
C
Q
B
A
E
D
O
B
C
9
Bài 14) Cho (O) và một dây cung AC cố định. Trên
cung lớn AC lấy điểm B bất kỳ. Phân giác của góc ABC
cắt cạnh AC tại M và cắt (O) tại K.
a) Chứng minh: OK AC
b) Kẻ đường cao BH của tam giác ABC.
Chứng minh: BM là tia phân giác của góc OBH.
c) Chứng minh: KC2 = KM . KB
d) Gọi E là giao của BM và đường phân giác trong tại A
của tam giác ABC. Hỏi khi B thay đổi trên cung lớn AC
của (O) thì E thay đổi trên đường nào?
Gợi ý d : Trong tam giác AEC tính góc AEC ?
ABC khơng đổi nên B C không đổi. Vậy AEC ?
Bài 15) Cho nửa (O), đường kính BC, lấy điểm A trên
cung BC sao cho AB < AC. D là trung điểm của OC, từ
D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC tại E
a) Chứng minh: tứ giác ABDE nội tiếp được đường
tròn, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
b) Chứng minh: BAD = BED
c) Chứng minh: CE.CA = CD.CB
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM =
AC. Giả sử khơng có điều kiện AB < AC, tìm quỹ tích
điểm M khi A di chuyển trên nửa đường tròn tâm O.
Gợi ý d) Tam giác ACM vuông cân
0
Suy ra AMC 45 hay BMC 450
B
O
A
C
H M
K
M
A
E
I
B
O
D
C
10
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI GIỮA KÌ II
PHẦN ĐẠI SỐ
Giải các hệ phương trình sau: (Bài 1 đến bài 4)
Bài 1.
35 x 3 y 5
3 x 2 2 2 y 1 14
a.
b.
49 x 4 y 9
5 2 x y 2 3x 2 y 11
2
2
4a 5b 10 0
x 1 x 2 9 y
c.
d) a b 1
2
2
5 3 3 0
y 3 y 2 5 x
Bài 2.
2
x2
a)
2
x 2
2
2
y 1
3
1
y 1
1
3
3
y 1 x 2 4
c)
5 3 29
y 1 x 2 12
2
2
3x y 5
b) 2
2
x 3 y 1
5
2
x y x y 1
d)
3 1 8
x y x y 5
2
2
( ĐK: m 1 . Nghiệm
;
)
m 1 m 1
x 2my 1
Bài 8. Tìm m để hệ
m 2 x 2 y 1
có nghiệm
duy nhất (x; y) thỏa mãn x – 4y = -2
1
1
1
(ĐK: m 1 . Nghiệm
;
m )
m 1 2 m 1
2
x my m 2
Bài 9. Cho hệ
m 2 x 3 y 5
a. Tìm m để hệ vơ số nghiệm ( m = -3)
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn:
2x + y = 5
( ĐK: m 1, m 3 . KQ: m = 2)
c. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn:
2x - 4y = 5 ( ĐK: m 1, m 3 . KQ: m = -3, loại)
x2
và (d): y = x 4
2
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).
Bài 3.
c. Tìm điểm thuộc (P) có tung độ bằng -8
3
x
Bài 11. Cho hàm số y = ax + b.
3 x 5 4 y 3
x 1 y 4 2
Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song
a.
b. 1
2 y 1 7
song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A
x 5 y 3 12
1 y 2 2
1
x 1 y 4
thuộc Parabol (P): y = x2 có hồnh độ bằng -2.
3
2
5
3
2x
x 1 y 2
Bài 12. Cho Parabol (P): y x 2
2x 3 y 2 4
3x 2 y 1 4
và đường thẳng (d): y = 2mx – m2 – 2m + 1 ( m 0 )
c.
d*.
3
4 x 1 y 7
2 x 3y 7
a. Với m , tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
2 x 3 y 2 20
3x 2 y 1
2
b.
Tìm
m
để
(P)
cắt (d) tại điểm có hồnh độ - 1
d*. Nhân hai vế mỗi ptrình với 3. Kết quả ( 1; -2)
c. Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
x x 2 y 16
x 2 y 2
Bài 4. a.
b.
1
Bài 13. Cho Parabol (P): y x 2
xy 4
x y 1
2
x 1
và
đường
thẳng
(d):
y
=
mx
–
2m
+2( m0 )
3x 5 y 2
2 y 3 2
a.
Khi
m=2,
vẽ
(P)
và
(d)
trên
cùng
mặt phẳng tọa độ
c. 2
d.
x
xy
x
y
0
b. Chứng tỏ rằng (P) và (d) ln có điểm chung
x2 y 2 8
Bài 14. Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0 (1)
Bài 5. Tìm m và n để các hệ phương trình :
a) Giải phương trình (1) với m = -2
2 m 1 x 7 n 2 y 6
b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm x1, x2
a) m 1
có nghiệm (x;y) = (1;2) với mọi giá trị của m.
n2
x
y
2
c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 1 nghiệm
6
6
bằng 3 . Tìm nghiệm cịn lại
Bài 15. Cho phương trình : x2 - 2x + 3m - 1 = 0
4m 1 x 8 n 2 y 11
b)
có nghiệm (x;y)=( 1;3 ) a. Giải phương trình với m = - 1
3m 2 x 5 n 1 y 4
b. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tính
2 x y 1
nghiệm kép với m vừa tìm được.
Bài 6. Tìm m để hệ
có nghiệm (x; y)
Bài 16. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau
x y 3m 1
thỏa mãn 3x + 2y = 4 (Ln có nghiệm (m; 2m – 1)) 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Nếu mở vịi thứ nhất trong
15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp
mx y 2
Bài 7. Tìm m để hệ
có nghiệm trong 20 phút thì sẽ chảy được 20 bể. Hỏi mỗi vịi
x
m
2
y
2
chảy 1 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể
duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất ấy.
Bài 10. Cho (P): y =
11
Bài 17. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4
giờ thì đầy .Nếu để vịi thứ nhất chảy một mình đầy
bể thì hết ít hơn vịi thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu mỗi vịi
chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể.
Bài 18. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu
tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5
ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng
trong một ngày, tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ
thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày
may được bao nhiêu chiếc áo?
Bài 19. Hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc trên quãng
đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất
chạy nhanh hơn ô tô thứ 2 là 10 km nên đến B trước
2
ơ tơ thứ 2 là giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
5
Bài 20. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là
180m. Ba lần chiều rộng hơn hai lần chiều dài là
20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
Bài 21. Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn
hàng. Hơm làm việc có 5 xe được điều đi làm
nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5
tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?
Bài 22. Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì
1
san lấp được
khu đất. Nếu máy ủi thứ nhất làm
10
một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ
hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san
lấp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì
mỗi máy ủi san lấp xong khu đất đó trong bao lâu.
Bài 23. Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4
giờ một người đi xe máy cũng đi từ A đuổi theo trên
cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A
là 60km. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết vận tốc của
xe máy lớn hơn vận tốc của xe đạp là 20km/h.
Bài 24. Trên cùng một dịng sơng, một ca nơ
xi dịng 12km, rồi ngược dịng 12km mất 2h30ph.
Nếu ca nơ xi dịng 4km rồi ngược dịng 8km thì
hết 1h20ph. Tính vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc
của dòng nước? (ĐS: 10km/h và 2km/h)
Bài 25. Một ca nơ chạy trên sơng xi dịng 84km
và ngược dịng 44km mất 5 giờ. Nếu ca nơ xi
dịng 112km và ngược dịng 110km thì mất 9 giờ.
Tính vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc dịng nước.
Bài 26. Một HCN có chu vi 80m. Nếu tăng chiều
dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích
của mảnh đất tăng thêm 195m2. Tính chiều dài, chiều
rộng của mảnh đất (ĐS: 30m và 10m)
Bài 27. Một thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài
thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích
tăng thêm 100m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và
chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính
diện tích của thửa ruộng đó? (Dài 22m và rộng 14m)
Bài 28. Tháng 1 hai tổ sản xuất được 600 chi tiết
máy. Sang tháng 2 tổ một vượt mức 18% và tổ hai
vượt mức 21% nên sản xuất được 720 chi tiết máy.
Tính số chi tiết máy mỗi tổ làm được trong tháng 1
PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1. Cho (O) đường kính AB. Lấy C khác A và B
nằm trên đường tròn. Gọi E là giao điểm của AC và
tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh rằng:
a) ACO CBE
b) BC2 = AC.CE
c) Cho BC = 12cm, AE = 25cm.
Tính AB và BE (biết BE nhỏ hơn AB).
Bài 2. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ 2
tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B và C là tiếp điểm).
a. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. Xác định tâm
I của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, O, C.
b. Gọi M là trung điểm AC. Đường thẳng MB cắt
đường tròn (O) tại E. Chứng minh MC2 = ME . MB.
c. Tia AE cắt (O) tại F. Chứng minh BF//AC
Bài 3. Cho ABC có 3 góc nhọn. Đường trịn đường
kính BC cắt AB; AC lần lượt ở M và N. Gọi I là
giao điểm của CM và BN.
a. Chứng minh AI BC
b. Chứng minh AM.AB = AN.AC
c. Chứng minh : BMN BCN 1800
d*. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
Chứng minh AO MN
Bài 4. Cho đường tròn tâm O. Hai dây AB, CD
vng góc với nhau tại điểm M nằm trong (O) và
MD < NC. Từ A vẽ đường thẳng vng góc với
đường thẳng BC, cắt BC tại H, cắt đường thẳng CD
tại E. Chứng minh:
a. Tứ giác AMHC nội tiếp.
b. MAH MCB
c. Tam giác ADE là tam giác cân.
Bài 5. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB,
bán kính R = 5cm. Từ O vẽ bán kính OC vng góc
với AB. M là điểm thuộc cung BC sao cho
CAM 150 . Gọi giao điểm của AM với BC là E, với
OC là N. Gọi K là giao điểm của AC với BM.
a. Cminh các tứ giác OBMN và CEMK nội tiếp.
b. Chứng minh KE // CO.
c. Tính số đo cung ON của đường trịn ngoại tiếp tứ
giác OBMN.
Bài 6. Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Trên
cung AB lấy hai điểm C, D sao cho sđ CD 600 và
C thuộc cung AD nhỏ. Gọi E là giao điểm của AC
và BD, F là giao điểm của AD và BC.
a. Tính AEB và AFB
b. Chứng minh ECFD nội tiếp, xác định tâm O’
đường tròn ngoại tiếp ECFD .
c. Chứng minh OD là tiếp tuyến của (O’).
Bài 7. Cho (O) và cung AB cố định có số đo 900.
Một điểm C di động trên cung lớn AB sao cho
CAB nhọn. Kẻ BN AC (N AC), đường thẳng
BN cắt (O) ở E (khác B). Kẻ AM BC (M BC),
đường thẳng AM cắt (O) ở D (khácA). Đường thẳng
AE cắt BD ở I. Chứng minh :
a. Tính ACB và ANMB là tứ giác nội tiếp
b. E, O, D thẳng hàng và ACBI là hình bình hành.
12
MỘT SỐ ĐỀ KSCL GIỮA KÌ II
ĐỀ 1
Câu 1: A = x x 1 x x 1 víi x 0, x 1
x 1 x 1
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của biểu thức A biết x = 4 2 3
1 2
Câu 2: a,Vẽ đồ thị hàm số y = x (P)
2
b, Tìm giá trị của m sao cho điểm C(-2; m) (P)
Câu 3: Giải bài tốn bằng cách lập hệ p trình
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ
nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày
thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng
trong một ngày, tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ
thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày
may được bao nhiêu chiếc áo?
Câu 4: Từ điểm A ở bên ngồi đường trịn (O) kẻ
hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là các tiếp điểm). M
là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Kẻ MI AB,
MH BC, MK AC (I, H, K là chân các đường
vng góc)
a. Chứng minh tứ giác BIMH nội tiếp.
b. Chứng minh MH 2 = MI.MK
c. Gọi P là giao điểm của IH và MB. Q là giao điểm
của KH và MC. C minh tứ giác MPHQ nội tiếp.
Câu 5*: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b ; với x > 0, a và b là các
P = x + a
x +
x
x
hằng số dương cho trước.
ĐỀ 2.
Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau:
2 x y 3
a)
b) x 2 5x + 6 = 0
5
x
y
10
Câu 2: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 (P) và
y = x – 2 (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên
bằng phép tính.
Câu 3: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phtrình.
Tính kích thước của một hình chữ nhật, biết
rằng: Nếu tăng chiều dài thêm 20m và giảm chiều
rộng đi 1m thì diện tích khơng đổi. Nếu giảm chiều
dài đi 10m và tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích
tăng thêm 30m2
Câu 4: Từ một điểm M ở ngồi đường trịn O bán
kính R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường trịn O
bán kính R (với A, B là hai tiếp điểm). Qua A vẽ
đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tâm
O tại E. Đoạn ME cắt đường tròn tâm O tại F. Hai
đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
b) IB2 = IF.IA.
c) IM = IB.
Câu 5: Cho dương x, y dương thỏa mãn 4xy = 1
2
Tìm GTNN của biểu thức: A = 2( x y ) 16 xy
x y
ĐỀ 3.
1
1
1
x 1
x 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A = - 3
Câu 2: Xe tải lớn chở 3 chuyến và xe tải nhỏ chở
4 chuyến thì chuyển được tất cả 85 tấn hàng. Biết 4
chuyến xe tải lớn chở nhiều hơn 5 chuyến xe tải
nhỏ 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe chở mỗi chuyến bao
nhiêu tấn hàng ?
x ym2
Câu 3: Cho hệ phương trình
3x 5 y 2m
a) Giải hệ phương trình khi m = –1.
b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình có
nghiệm (x; y) thỏa điều kiện:
x + y = 1.
Câu 4: Cho ABC nhọn, các đường cao BD, CE.
a) Chứng minh: BEDC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB
c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Chứng minh Ax//ED.
ĐỀ 4.
Câu 1: Giải hệ phương trình:
x y 5
a)
b) x2 - 7x = 8
x
2
y
4
Câu 2: Xác định hàm số y = ax + b . Biết đồ thị hàm
số đi qua điểm A(2 ; 5) và B( -1 ; 2).
Câu 3: Chu vi của một tam giác bằng 48cm. Biết
cạnh lớn nhất bằng 20cm, hai cạnh còn lại hơn kém
nhau 2 cm. Tìm độ dài hai cạnh đó?
Câu 4: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), các tiếp
tuyến tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại E,
AE cắt đường tròn tại D ( khác điểm A).
a) Chứng minh rằng tứ giác OBEC nội tiếp.
b) Từ E kẻ đường thẳng d song song với tiếp tuyến
tại A của (O), d cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt
tại P, Q. Chứng minh AC.AQ = AD.AE.
c) ABC cần thêm ĐK gì thì A, O, E thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng EP = EQ.
Câu 5*: Biết a + b + c = 0 và a.b.c ≠0. Chứng minh:
1
1
1
2
2
0
2
2
2
2
2
b c a c a b a b2 c 2
ĐỀ 5.
Câu 1: a, Rút gọn biểu thức
Câu 1: Cho biểu thức
A=
1
1
a 1
với a 0; a 1 .
:
a 1 a 2 a 1
a a
Q=
b, Cho hsố y = (2m-1)x + n-3 (1) (m, n là tham số)
Tìm m và n để đồ thị của hàm số (1) đi qua hai điểm
A(-1;-2), B(2;7).
2 x y 2
Câu 2: Cho hệ phương trình:
x 2 y 4m 5
a) Giải hệ với m = -1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả: x - y = -2.
Câu 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phtrình:
13
Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước
sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy
3
trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được
4
bể. Hỏi mỗi vịi chảy một mình sau bao lâu đầy bể?
C©u 4: Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn
(O). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại H
a. Chứng minh : Tứ giác BDHE, ACDE nội tiếp
b. Kéo dài AD và CE cắt đường tròn (O) tại F và I.
Chứng minh : IF // DE
c. Đường kính BK của (O) cắt AF tại J. BK và AI
cắt nhau tại M. Chứng minh: KM.BJ = BM.KJ
ĐỀ 6.
Câu 1: Giải các phương trình , hệ phương trình sau:
a) 2 x2 5x 3 0
b) 2 x2 5x 0
c) x 2 14 x 49 2017
d) 4x 5y = 7
3x y = 9
x
2x x
(vớix>0; x 1)
x 1
xx
Câu 3: Cho ptrình : x2 - (m+2)x+2m+1=0 (ẩn x)
a) Giải phương trình khi m=2
b) Tìm giá trị
của m để phương trình có nghiệm kép.
Câu 4: Cho đường trịn (O) và điểm A nằm bên
ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường
tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d
đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB
< AC, d không đi qua tâm O).
a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
b) Chứng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn
thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt
(O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.
Câu 5*: Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều
kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc .
1 1 1
Chứng minh: 2 2 2 3
a
b c
ĐỀ 7.
Câu 2: Rút gọn B=
Câu 1: Rút gọn P = 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
3
2
x 3 y 4 2
Câu 2: Giải hệ:
4 2y 4
x 3 y 4
Câu 3: Cho ptrình : x2 -(m+3)x+2m+2=0 (ẩn x)
a) Giải phương trình khi m=5
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.
Tìm nghiệm kép đó.
Câu 4: Cho (O; R) đường kính AB cố định. Trên tia
đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC = R. Kẻ
đường thẳng d vng góc với BC tại C. Gọi D là
trung điểm của OA; qua D vẽ dây cung EF bất kỳ
của đường trịn (O; R), ( EF khơng là đường kính).
Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N.
a) Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp.
b) Chứng minh BE.BM = BF.BN
c) Khi EF AB, tính độ dài đoạn thẳng MN theo R.
ĐỀ 8.
Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình :
3x 4 y 11
a.
b. 4x - 5x2 = 0
5
x
6
y
20
- x2
Câu 2: Cho (P) : y = 2 và (D) y = x - 4
a. Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ gđiểm của (P) và (D) bằng phép toán
Câu 3: Cho pt : x2 - 2x + 3m - 1 = 0 (m là tham số)
a. Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b. Tính nghiệm kép với m vừa tìm được
Câu 4: Cho MND có 3 góc nhọn (MN < MD) nội
tiếp đường trịn (O; R) có đường cao MA, NB, DE
cắt nhau tại H
a. Chứng minh tứ giác NEBD nội tiếp. Xác định
tâm I của đường trịn này
b. Vẽ đường kính MC của đường tròn (O). Chứng
minh MN.MD = MC.MA
c. Gọi K là điểm đối xứng với điểm H qua đường
thẳng ND. Chứng minh điểm K thuộc (O)
d. Cho ND = R 3 . Tính bán kính đường trịn ngoại
tiếp tam giác MEB theo R
ĐỀ 9.
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
15 12
1
A=
5 2
2 3
a 2
a 2
4
B= (
).( a
) với a>0; a 4
a 2
a 2
a
Câu 2: Viết phương trình đường thẳng (d) song
song với đường thẳng y= 3x+1 và cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 4.
Câu 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau
1 giờ 30 phút thì đầy bể. Nếu mở vịi thứ nhất trong
15 phút rồi khóa lại và mở vịi thứ hai chảy tiếp
trong 20 phút thì sẽ chảy được 20 bể. Hỏi mỗi vịi
chảy 1 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh
AC lấy một điểm M, vẽ đường trịn đường kính MC
cắt BC tại D và cắt đường thẳng BM tại E (E M).
Đường thẳng AE cắt đường tròn tại S (S khác E).
Chứng minh rằng:
a. Tứ giác ABDM nội tiếp được trong đường tròn
b. AM.MC= BM.ME
c. MD = MS
2
x 2 y y 2
Câu 5*: Giải hệ: 2
x 2 xy y 2 0
ĐỀ 10
Câu 1:
a) Xác định m, biết đồ thị hàm số y = mx - 1 đi qua
điểm N(2;1)
b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được ở câu a.
14
Câu 2: Giải các hệ phương trình sau:
2 x y 3
x 2y 5
a)
b)
x 3y 5
3x 2 y 1
Câu 3: Hai lớp 9A và 9B có tổng số học sinh là 84.
Trong đợt mua tăm ủng hộ các chú thương binh, mỗi
học sinh lớp 9A mua 3 gói, mỗi học sinh lớp 9B mua
2 gói. Tìm số học sinh của mỗi lớp, biết tổng số gói
tăm hai lớp mua được là 211.
Câu 4: Cho đường tròn (O). Từ điểm A bên ngồi
đường trịn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là các
tiếp điểm). Đường thẳng kẻ qua C song song với AB
cắt đường tròn (O) ở D, AD cắt đường tròn (O) ở M,
CM cắt AB ở N. Chứng minh:
a) Góc BAD ACN ;
b) AN2 = NM.NC;
c) N là trung điểm của AB.
1
1 1
Câu 5: Cho x, y, z dương và
1
xy yz xz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
y
z
Q=
.
yz (1 x 2 )
zx(1 y 2 )
xy (1 z 2 )
ĐỀ 11
Câu 1: Giải các hệ phương trình và phương trình:
1
4
x 2 y 1 3
x 2y 5
a)
b)
3x 4y 5
2 y 1
x 2 y 1
2
c) 3x - 4x + 1 = 0
Câu 2: Giải bài toán bằng cách lập ptrình, hệ ptrình
Hai cơng nhân cùng sơn cửa cho một cơng trình
trong 4 ngày thì xong cơng việc. Nếu người thứ nhất
làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến
cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong cơng việc.
Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?
mx y 5
Câu 3: Cho hệ phương trình :
(I)
2x y 2
Xác định m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy
nhất, khi đó hãy tìm nghiệm duy nhất đó.
Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB
và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và
B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn
kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác
của góc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại
F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a. Chứng minh rằng : AI2 IM.IB
b. Chứng minh BAF là tam giác cân
c. Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P a 2 ab 3b 2 a 1
ĐỀ 12
Bài 1: Cho biểu thức
A=
x 2 x 10
1
x 2
với x 0 và x 9
x x 6
x 2
x 3
a) Rút gọn A ;
b) Tính giá trị của A khi x = 9 4 5 ;
1
c) Tìm giá trị của x để A = .
3
2 x y 3m 2
x y 5
Bài 2:Cho hệ phương trình:
( m là tham số )
a) Giải hệ phương trình khi m = - 4 ;
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa
mãn: x + y = 13.
Bài 3: Cho phtrình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -3
b) Chứng tỏ rằng phương trình (1) ln có hai
nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ
thức x12 + x 22 = 8
Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB
và điểm C nằm giữa O và A. Đường thẳng vng
góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là
một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C
và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM
cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) Các tứ giác: ACMD; BCKM nội tiếp đường tròn.
b) CK.CD = CA.CB
c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn (O)
chứng minh B, K, N thẳng hàng
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm
trên một đường thẳng cố định khi K di động trên
đoạn thẳng CI.
ĐỀ 13
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
x y 3
3( x y ) 9 2( x y )
a.
b.
2 x y 4
2( x y ) 3( x y ) 11
Bài 2.
a) Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4
đi qua 2 điểm A(4;3) và B(-6;7)
b) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m2 – 3m - 2)x2 đi
qua điểm (-2; 8)
Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai người thợ cùng làm chung một cơng việc trong
16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và
1
người thứ hai làm 6 giờ thì hồn thành cơng việc.
4
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hồn thành cơng
việc đó trong bao lâu?
Bài 4. Từ một điểm A ở ngồi đường trịn vẽ tiếp
tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của
BAC cắt BC, BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF
vng góc với MN cắt MN tại H, cắt CD tại E.
Chứng minh:
a) Tam giác ABE cân.
b) BF là tia phân giác của góc CBD.
c) FD 2 FE.FB
15
Bài 5. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức:
1
1
1
2
a 1 b 1 c 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = abc
ĐỀ 14
3
x
4
Bài 1: Giải hệ: y
2( x 1) 5 y
1
2 x 1
Bài 2: Cho A
x 2
:
x x
x 1 x
1. Tìm x để A có nghĩa.
2. Rút gọn A.
3. Tìn x để A.x = 2
Bài 3: Cho hai đường thẳng có ptrình:
y = (m - 1)x -3
(d1)
y - x = 3 (d2)
a. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 song song.
b. Cho m = 3, tìm toạ độ giao điểm của hai đường
thẳng trên.
c. Tim m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại
1
M(x,y) mà toạ độ M thoả mãn điều kiện y 2 x 2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho ABC nhọn nội tiếp (O,R). Kẻ BD
AC, CE AB, BD cắt (O) tại M B. CE cắt (O) tại
N C, BD cắt CE tại H.
a. Chứng minh AM = AN.
b. Chứng minh 4 điểm E, D, B, C cùng thuộc một
đường tròn.
c. Chứng minh MN // ED.
d. Cho BC cố định, A di động trên cung BC lớn, A
khác B, C. Chứng minh bán kính đường trịn ngoại
tiếp AHB khơng đổi.
ax + by = 3
Bài 5. Cho a, b N* và a b và
bx ay 3
Tìm a, b để hệ đã cho có nghiệm nguyên dương.
ĐỀ 15
3 x x 3
x 3
x 2
Bài 1 P =
x x 2
x 2
x 1
a) Rút gọn
b) Tìm x để P = 7/2
c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị ngun
Bài 2 Để hồn thành một công việc, hai tổ phải làm
chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II
được điều đi làm việc khác, tổ I đó hồn thành cơng
việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng
thì sau bao lâu sẽ làm xong cơng việc đó?
2mx y 5
Bài 3 Cho hệ phương trình :
mx 3 y 1
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn
x2 + y2 = 1 .
Bài 4. Cho đường trịn (O) đường kính AB. Trên tia
AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB ( AB < AD ) và
kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C là tiếp
điểm). Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A
xuống đường thẳng CD và F là chân đường vng
góc hạ từ D xuống đường thẳng AC. Chứng minh:
a) Tứ giác EFDA nội tiếp .
b) AF là phân giác của EAD .
c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng .
d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích .
ĐỀ 16
Bài 1) Cho biểu thức:
1
1 x 1
A
2 với x 0; x 1
x 1 x 1
x 1
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A tại x 3 2 2
Bài 2) Giải hệ phương trình:
2 x y 5 x y 3
a)
3x 2 y x 1
1
x
x 2 y 3 4
b)
2 y 0
x 2 y 3
Bài 3) Cho phương trình bậc hai ẩn x sau:
x2 + 2mx + m2 + 3m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Tìm m để phương trình nhận x = -1 là nghiệm.
Bài 4) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai
tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C là các tiếp
điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D
và E (D nằm giữa A và E , dây DE không qua tâm
O). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K .
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn .
b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC
2
1
1
c) Chứng minh :
.
AK AD AE
Bài 5) Giải phương trình
2 x x 2 6 x 2 12 x 7 0
ĐỀ 17
Câu 1.
a) Biết điểm A thuộc đồ thị hàm số y = -2x2 và có
hồnh độ bằng -1, tìm tọa độ điểm A.
b) Tìm m để hsố y = (m–1)x2 nghịch biến khi x > 0.
c) Cho đtrịn đường kính BC = 5cm và điểm A thuộc
đường trịn đó sao cho AC = 4cm. Tính tan ABC .
d) Tìm tọa độ giao điểm của đthẳng y = -5x + 6 và
Parabol y = x2
Câu 2. Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình
Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài
thêm 2m, tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích
tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều
rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích
thửa ruộng đó.
16
Câu 3. Cho phương trình:
x2 – 2(m +2)x + m2 + 4m + 3 = 0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 0
b) Chứng minh rằng phương trình ln có 2 nghiệm
phân biệt với mọi giá trị của m
Câu 4. Cho (O;R) , A là điểm nằm ngoài (O) . Kẻ
hai tiếp tuyến AB;AC ( B;C là các tiếp điểm) và cát
tuyến ADE ( D nằm giữa A và E ) .Gọi H là giao
điểm của AO và BC. Chứng minh:
a) Tứ giác ABOC nội tiếp .
b) AD.AE AH .AO
c) EHO EDO
Câu 5*. Giải phương trình:
2 x2 6 x 8 2 x2 4 x 6 3 x 4 3 x 3 1
ĐỀ 18
x 2 x 10
1
x 2
Bài 1: Cho A =
x x 6
x 2
x 3
với x 0 và x 9
a) Rút gọn A ;
b) Tính giá trị của A khi x = 9 4 5 ;
1
c) Tìm giá trị của x để A = .
3
2 x y 3m 2
Bài 2: Cho hệ phương trình:
x y 5
a) Giải hệ phương trình khi m = - 4 ;
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa
mãn: x + y = 13.
Bài 3: Cho ptrình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trỡnh (1) với m = -3
b) Chứng tỏ rằng phương trình (1) ln có hai
nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ
thức x12 + x 22 = 8
Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. C
là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vng
góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại I. K là một
điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I),
tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia
CI tại D. Chứng minh:
a) Các tứ giác: ACMD; BCKM nội tiếp đường tròn.
b) CK.CD = CA.CB
c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn (O)
chứng minh B, K, N thẳng hàng
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm
trên một đường thẳng cố định khi K di động trên
đoạn thẳng CI.
ĐỀ 19
Câu 1: Cho biểu thức:
x x 1 x x 1 2 x 2 x 1
.
:
x 1
x x
x x
A=
với x 0; x 1
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
Câu 2: Hai cơng nhân cùng sơn cửa cho một cơng
trình trong 4 ngày thì xong cơng việc. Nếu người thứ
nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai
đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc.
Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?
mx y 5
Câu 3: Cho hệ phương trình:
(I)
2x y 2
a) Giải hệ (I) với m = 5.
b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình (I) có
nghiệm duy nhất và thỏa mãn: 2x + 3y = 12
Câu 4:Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB
và điểm M bất kì trên nửa đường trịn (M khác A và
B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn
kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác
của góc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại
F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh AEMB là tgnt và AI2 IM.IB
b) Chứng minh BAF là tam giác cân
c) Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P a 2 ab 3b 2 a 1
ĐỀ 20
Câu 1: Giải các phương trình, hệ phương trình
a) 2x2 + 5x +2 = 0
b) x2 - ( 2- 3 )x - 2 3 = 0
1
3
10
4 x 5 y 3
x 1 y 1
c)
d)
x 3 y 5
1 1 2
x 1 y 1
Câu 2: Cho hai đường thẳng, (d1): 2x + 3y = 7 và
(d2): 3x + 2y = 13
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d1) và (d2)
b) Tìm m để đường thẳng (d) : y = (2m – 5)x – 5m
đi qua giao điểm của (d1) và (d2).
Câu 3: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ
trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B
chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc
50 km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định.
Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm ô tô xuất
phát tại A.
Câu 4: Cho đều ABC nội tiếp (O;R) và M là một
điểm thuộc cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng AM lấy
điểm D sao cho MD = MB. Chứng minh rằng:
a) MBD là tam giác đều .
b) BDA = BMC
c) MA = MB + MC
d) Kẻ ME AB; MF AC; MH BC. Chứng
minh H, E, F thẳng hàng
1 1 1
x y z 2
Câu 5: Giải hệ phương trình:
2 1 4
xy z 2
17
ĐỀ 21
Câu 1: Giải các phương trình, hệ phương trình
a) 2x2 - 5x + 2 = 0
b) x2 - ( 2 - 3 )x - 6 = 0
( x 2)( y 1) xy 3
c)
( x 3)( y 1) xy 10
5
4
x 2 y 1 3
d)
1 3 5
x 2 y 1
Câu 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là parabol (P),
đường thẳng (d): y = x + 2.
a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một
hệ trục toạ độ.
b) Xác định tọa độ giao điểm của Parabol (P) và
đường thẳng (d) .
Câu 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng
ngắn hơn chiều dài 45 m. Biết rằng nếu chiều dài
giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa
ruộng khơng thay đổi. Tính diện tích thửa ruộng?
Câu 4: (3.5đ) Từ điểm M cố định nằm bên ngoài
(O;R) kẻ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD
không đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm của CD.
Chứng minh rằng:
a) Năm điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên một
đường trịn .
b) Khi cát tuyến MCD quay quanh M thì tích
MC.MD có giá trị khơng đổi
c) Xác định vị trí của cát tuyến MCD sao cho
MBD có diện tích lớn nhất
d) Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại D của (O) ở E.
Chứng minh A, E, B thẳng hàng
x y 4z 1
Câu 5: Giải hệ phương trình: y z 4 x 1
z x 4 y 1
ĐỀ 22
Bài 1:
1) Giải hệ phương trình va phương trình:
x y 5
a)
b) x2 - 7x = 8
x
2
y
4
2) Rút gọn biểu thức: 20 45 5 . 5
Bài 2:
1) Xác định hàm số y = ax2 . Biết đồ thị hàm số đi
qua điểm A(2 ; 5)
a
1 a a a a
2) Cho B =
.
2 2 a a 1
a 1
với a > 0; a ≠ 1.
a) Rút gọn B.
b) Tìm a để B = - 4.
Bài 3: Chu vi của một tam giác bằng 48cm. Biết
cạnh lớn nhất bằng 20cm, hai cạnh cịn lại hơn kém
nhau 2 đơn vị. Tìm độ dài hai cạnh đó?
Bài 4: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), các tiếp
tuyến tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại E,
AE cắt đường tròn tại D ( khác điểm A).
a) Chứng minh rằng tứ giác OBEC nội tiếp.
b) Từ E kẻ đường thẳng d song song với tiếp tuyến
tại A của (O), d cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt
tại P, Q. Chứng minh rằng AC.AQ = AD.AE.
c) Chứng minh rằng EP = EQ.
Bài 5: Biết a + b + c = 0 và a.b.c ≠ 0. Chứng minh:
1
1
1
2
2
0
2
2
2
2
2
b c a c a b a b2 c 2
ĐỀ 23
Bài 1: Cho biểu thức
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x sao cho A > 3
c) Tìm giá trị của x khi A = 7
Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau:
b) x2 – 5x + 6 = 0
Bài 3 : Cho (P): y = -x2/2 và (D): y = -x – 4
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm toạ độ gđiểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau
1 giờ 30 phút thì đầy bể. Nếu mở vịi thứ nhất trong
15 phút rồi khóa lại và mở vịi thứ hai chảy tiếp
trong 20 phút thì sẽ chảy được 20% bể. Hỏi mỗi vịi
chảy 1 mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
Bài 5: Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội
tiếp đường tròn (O). Các đường cao AF và CE của
tam giác ABC cắt nhau tại H (F BC; E AB).
a) Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp đường trịn
b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng
minh: Hai tam giác ABK và AFC đồng dạng.
c) Kẻ FM song song với BK (M AK). Chứng minh:
CM vng góc với AK.
ĐỀ 24
Câu 1. Cho hai biểu thức
3 x
x 12
1
4
1 với
P
và Q
x4
x 2
x 2
x 2
x 0, x 4
a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x 16
b) Rút gọn biểu thức P.
Q
c) Tìm x để 1 .
P
Câu 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2 3x 7 0
b) 4 x2 12 x 9 0
c) 2 x2 5x 7 0
18
2
x x( y 3) 2 y 0
d) 2
(nhánh 1: tách 3x=2x+x)
2
x y 2
Câu 3: Cho Parabol (P) y 2 x 2
a) Tìm k để đường thẳng (d) y = kx +2 tiếp xúc (P).
b) Chứng minh điểm E(m; m2+1) không thuộc P với
mọi giá trị của m.
Câu 4. Trong quý I năm 2018, hai đội thuyền đánh
cá bắt được tổng cộng 360 tấn cá. Sang quý I năm
2019, đội thứ nhất vượt mức 10% và đội thứ hai
vượt mức 8% nên cả hai đội đánh bắt được 393 tấn.
Hỏi quý I mỗi năm mỗi đội đánh bắt được bao nhiêu
tấn cá?
Câu 5. Cho đường trịn (O;R) đường kính AB. Kẻ
tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm K
(AK R ). Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường trịn
(O). Đường thẳng d vng góc AB tại O, d cắt MB
tại E.
a) Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp.
b) OK cắt AM tại I, chứng minh OI.OK = OA2
c) Gọi H là trực tâm tam giác KMA. Tìm quỹ tích
điểm H khi K chuyến động trên tia Ax
ĐỀ 25
Bài 1. Cho biểu thức
2
4 x 4
1
1
P
:
x 2 x 2 x x 2 x x 2 x
Với x 0, x 4
Tìm x để P x
Bài 2. Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y =
2x + 1 trên cùng hệ trục toạ độ Oxy
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm TĐGĐ của (d) và (P) bằng phép tốn
c) Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P),
biết đường thẳng đó song song với (d)
Bài 3. Cho hai phương trình
x 2 3x 2 a 0 1 và x 2 3x 5a 0 2
a) Giải phương trình (1) khi a = 2
b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm x 2 .
5
c) Chứng minh khi a thì ít nhất một trong hai
8
phương trình trên có nghiệm.
Bài 4. Cho 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn (O).
Lấy điểm M là điểm chính giữa cung AB khơng
chứa C, N là điểm chính giữa cung BC khơng chứa
A, P là điểm chính giữa cung AC khơng chứa B. Gọi
I là giao điểm của AN và BP, D là giao điểm của AB
và MN, E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh:
a) ∆BIN cân
b) NA.DB = NB.DA
c) DI song song với BC
d) MB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆BND.
ĐỀ 26
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
2 x 11y 7
2 x 2 y 5
a)
b)
10 x 11y 31
x 3y 1
15
8
x 1 y 2 1
c)
1 1 1
x 1 y 2 12
x2
Bài 2: Cho hàm số y =
2
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số.
b) Xác định m để đường thẳng (d): y = x – m cắt (P)
tại điểm A có hồnh độ bằng 1. Tìm tung độ của
điểm A
Bài 3: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất
được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I sản
xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%,
do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết
máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân
sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
Bài 4: Cho đường trịn tâm O bán kính R và một
điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP
và AQ với đường tròn (O; R) (P, Q là 2 tiếp điểm).
Lấy điểm M thuộc đường tròn (O ; R) sao cho PM
song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của
đường thẳng AM với đường tròn (O ; R). Tia PN cắt
đường thẳng AQ tại K.
a) Chứng minh tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp và
KA2 = KN.KP.
b) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O;R). Chứng
minh NS là tia phân giác của góc PNM
c) Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK.
Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R.
19
Hướng dẫn
ĐỀ 1
c) Vì tứ giác BIMH nội tiếp (cmt). Suy ra MIH = MBH (1)
Trong đường trịn (O) có MBH = MCK (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng
chắn một cung) (2)
Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác CKMH nội tiếp. Suy ra MCK = MHK (3)
Từ (1), (2) và (3). Suy ra: MIH = MHK (4). Chứng minh tương tự ta có: MKH = MHI (5)
MH MI
hay MH2 = MI.MK (đpcm)
=
MK MH
d) Chứng minh: MHK = MCK = MBC , IHM = IBM = MCB
Suy ra MHK + IHM = MBC + MCB Suy ra BMC + MHK + IHM = BMC + MBC + MCB = 180O
Hay PMQ + PHQ = 180O Suy ra tứ giác MPHQ nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180O)
ab
Bài 5. P = x + + a + b
x
2
ab
Chứng minh: x +
2 ab Suy ra P 2 ab + a + b = a + b
x
ab
x =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
x x = ab
x > 0
Từ (4) và (5) suy ra MIH đồng dạng MHK (g.g) Suy ra:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là:
a+ b
2
x = ab
ĐỀ 2.
c) Ta có : AE // MB ( gt) Nên IMF MEA (Hai góc so le trong)
Mà MEA FAM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AF ) IMF FAM
Xét IMF và IAM Có AIM là góc chung IMF FAM ( Chứng minh trên )
IMF đồng dạng với IAM
IM
IA
IB = IM
IM 2 IA.IF (2) Từ (1) và ( 2 ) IB2 = IM2
IF IM
Ta có
2( x y ) 2 16 xy 2( x 2 2 xy y 2 ) 16 xy 2 x 2 4 xy 2 y 2 16 xy
A
x y
x y
x y
2 x 2 2 y 2 12 xy 2 x 2 2 y 2 3.4 xy 2 x 2 2 y 2 3
(thay
x y
x y
x y
2 x y 2 xy 3 2 x y 4 xy 3 2 x y 1 3
x y
x y
x y
2
2
(đpcm)
4 xy 1)
2
2
2
2x y 2 2 x y 1
1
2 x y
x y
x y
x y
1
Vì x,y dương nên (x+y) và (
) dương
x y
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số (x+y) và (
1
Do đó: A = 2 ( x y)
≥4
x y
1
1
) ta có: (x+y) + (
)≥2
x y
x y
Vậy Min A = 4 (x+y) = (
Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = -
1
x y
x y .(
1
) =2
x y
x + y = ±1
1
1
hoặc x = y =
2
2
ĐỀ 3. 3) Ta có : AE // MB ( gt)
20
Nên
IMF FAM
IMF MFA Mà MEA FAM
Xét IMF và IAM Có IAM là góc chung IMF IAM ( Chứng minh trên )
IM
IA
IM 2 IA.IF (2)
IMF đồng dạng IAM
IF IM
Từ (1) và ( 2 ) IB2 = IM2
IB = IM (đpcm)
ĐỀ 4.
b. Ta có OB = OC ( bán kính )
EB = EC ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau )
Do đó OE là đường trung trực của BC. Suy ra A,O,E thẳng hàng AB =AC hay ABC cân tại A
c. Chứng minh đươc ECQ cân tại E
EC = EQ (1)
chứng minh tương tự EPB cân tại E EP = EB (2) mà EB = EC ( t/c hai t/t cắt nhau ) (3)
Từ (1) , (2) và (3 ) suy ra EQ = EP
Ta có: a + b + c = 0 => b + c = -a => b2 + 2bc + c2 = a2 => b2 + c2 - a2 = -2bc.
Tương tự ta có : c2 + a2 - b2 = -2ac và a2 + b2 - c2 = -2ab
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b c a
c a b
a b c
2bc 2ac 2ab
a
b
c
abc
0(dpcm)
2abc 2abc 2abc 2abc
ĐỀ 5.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại H
a. Chứng minh : Tứ giác BDHE, ACDE nội tiếp
b. Kéo dài AD và CE cắt đường tròn (O) tại F và I. Chứng minh : IF // DE
c. Đường kính BK của (O) cắt AF tại J. BK và AI cắt nhau tại M. Chứng minh: KM.BJ = BM.KJ
A
1 2
K
I
E
O
J
B
M
1
2
D
C
F
c. A2 C 2 IB BF . Suy ra AB là đường phân giác của AMJ
BM AM
BJ
AJ
Mặt khác AK vng góc với AB nên AK là đường phân giác ngoài của AMJ
Do đó
KM AM
KJ
AJ
BM KM
. Suy ra KM.BJ = BM.KJ
BJ
KJ
ĐỀ 6.
Câu 4c. Chứng minh I, M, A, N, O cùng thuộc đường trịn đường kính OA
Suy ra góc I = góc M ( cùng chắn cung AN). Mà góc M = góc T ( cùng chắn cung MN)
Suy ra góc I = góc T. Suy ra MT//AC
1
1 1 1 1 1
Câu 5: a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Suy ra
6
ab bc ac a b c
1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a
b b c a
c
ab bc ac
a
b c
ab bc ac
1
1
1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
Chứng minh: 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3
a
b
c
a b c
a
b c
ab bc ac
Cộng từng vế các bất đẳng thức có điều phải chứng minh
21
ĐỀ 9.
Xét MAB và MEC có AMB= CME(đối đỉnh) BAM= CEM(=900)
Do đó MAB ∽ MEC (g.g) Suy ra
MA MB
hay MA.MC= MB.ME .
ME MC
Tứ giác ABCE nội tiếp (BAC= BEC=900) Suy ra AEB=ACB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )
MD =MS MD= MS .
Do MESC nội tiếp nên: MCS= AEB(cùng bù với MES) ACB= MCS
2
x 2 y y 2
Câu 5: Giải hệ: 2
x 2 xy y 2 0
Cách 1. Rút y+2 từ (1) thay vào (2) rồi đánh giá
Cách 2. Coi (2) là phương trình ẩn x, có nghiệm khi ' 0 y 2 y 2 0
Từ (1) lại có y 2 y 2 0
ĐỀ 10.
Câu 5 (0,5 điểm): Ta có
Tương tự:
xy 1 z 2
x
Nên Q
x y x z
yz 1 x 2 yz x 2 yz yz x x y z
zx 1 y 2
z y z x ;
y
y z y x
x y x z
y z y x
z
z x z y
x
x
y
y
z
z
.
.
.
x y xz
x y yz
xz y z
A B
Áp dụng BĐT A.B
(với A, B >0), Dấu "=" xảy ra khi A = B.
2
1 x
x
y
y
z
z 3
Ta được Q
=
2 x y x z y x y z z x z y 2
3
Vậy giá trị lớn nhất của Q =
khi x = y = z = 3 .
2
Đề 11.
Cách 1. ĐK : a; b 0
=
P a 2 ab 3b 2 a 1 a 2 a
b 1 b 1 2 b 2b 2 b
2
1 1
1
a b 1 2 b
2 2
2
2
Cách 2. ĐK : a; b 0
Biểu thức : P a 2 ab 3b 2 a 1
3P 3a 6 ab 9b 6 a 3 3P a 6 ab 9b 2a 6 a 3
9
9
Ta có 3P a 6 ab 9b 2 a 3 a 3
4
2
3P
3P
P
a
a 3 b
2
2
2. a. 3 b 3 b 2
2
a
2
2
3 3 3
2. a.
2 2 2
2
3 3
3
2 a với a; b 0
2 2
2
1
với a; b 0
2
22
9
a 3 b 0
a
4 (thỏa mãn ĐK)
Dấu “=” xảy ra <=>
3
a 0
b 1
2
4
9
a
1
4
Vậy MinA đạt được <=>
2
b 1
4
Cách 3
P a 2 ab 3b 2 a 1 a b 1 2 ab 2 a 2 b 2b 2 b
2
1 1
1
a b 1 2 b
2 2
2
2
Đề 12.
Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDC BDC , lại có: BDC CAK (cùng phụ với B ), suy ra:
EDC CAK . Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp. Gọi O’ là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ củng là
tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O A = O E, suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng
AE cố định
Đề 13. Hướng dẫn bài 5:
1
1
1
1
1
1
b
c
bc
(bđt Cô-si)
2
1
1
2
a 1 b 1 c 1
a 1
b 1
c 1 b 1 c 1
(b 1)(c 1)
1
ac
1
ab
,
2
2
b 1
(a 1)(c 1)
c 1
(a 1)(b 1)
Nhân từng vế các bất đẳng thức ta có:
Tương tự
1
a 2b 2 c 2
8abc
8
2
2
2
(a 1)(b 1)(c 1)
(a 1)(b 1)(c 1)
(a 1) (b 1) (c 1)
1
1
1
abc Vậy M max a b c
8
8
2
Đề 14
A
M.
N
D
E
B
H
C
4/ C/m H ®èi xøng víi N qua AB
C/m AHB = ANB bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp AHB Bằng bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp
ANB bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp AHB Bằng bán kính đ-ờng tròn tâm O
Bài 5: Theo GT: a, b N* vµ a ≠ b
ax by 3
a b x b a y 0
a b x y 0
bx ay 3
ax by 3
ax by 3
3
V× a ≠ b a - b ≠ 0 hệ ph-ơng trình có một nghiệm là x = y =
ab
3
Để x, y nguyên d-ơng thì
là số nguyên d-ơng a + b là số nguyên d-ơng và là -ớc của 3
ab
a + b {1; 3}
Vì: a, b N* Nªn a + b 2
23
a 1
b 2
a+b=3
a 2
b 1
0. 25 ®
Đề 15
1) * EAB EAD
* EAD END
* Suy ra EAB END
* EAB END (cmt) hay FAC FNC => AFCN nội tiếp
2) * Tứ giác AFCN nội tiếp => ACH AND
* Mà ABD AND (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung DA)
* Suy ra ACH ABD => CH // BD
* CH//BD mà BD AD, suy ra CH AD.
3) Theo giả thiết AF là phân giác của góc DAC nên:
Điểm F là tâm của đường trịn nội tiếp tam giác ACD CF
là phân giác của góc ACD H là trung điểm của AD (Vì
CF AD tại H)
C trùng với O (Vì HC//BD).
Đề 16.
c)
Do AD + DE = AE và DE = 2DH nên:
1
1
AE AD AD AD ED
=
=
AD AE
AE. AD
AE. AD
2 AD 2 DH 2 AD DH
2 AH
=
AE. AD
AE. AD
AE. AD
Vậy ta cần chứng minh AE.AD = AK. AH
Nhận thấy theo phương tích AE.AD = AB2 nên ta chứng minh
AK.AH=AB2 ( ABK AHB (g.g))
B
=
A
_
O
=
D
/
K
/
E
C
ukuy jkjhjkhjkjhkhjsdfsdsdfsdfs
ioloio piop iopoighujghjgh
Bài 5. Ta biến đổi để thấy mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương trình: 2x x
2
Đặt : x 2 2 x a , Ta có phương trình:
H
6(x 2x) 7 0
2
6a 7 a (I). Giải (I) tìm a từ đó tìm x.
Đề 17.
2 x2 6 x 8 2 x2 4 x 6 3 x 4 3 x 3 1
x 1 2 x 8 x 1 2 x 6 3
2( x 1)
x 4 x 3 3
x4 x3
x 4 x 3 1
§K : x 1
x 4 x 3 1
2( x 1) 3 1
2( x 1) 3 x 4 x 3
Bình ph-ơng hai vế ta đ-ợc:
24
2 x 7 6 2( x 1) 2 x 7 2
3 2( x 1)
x 3 x 4
x 3 x 4
18( x 1) x 2 7 x 12
x 5
x 2 11x 30 0
x 6
Thay x=5; x=6 vào ph-ơng trình đà cho ta thấy chỉ có x=6 thỏa mÃn
Vậy ph-ơng trình có nghiÖm x=6
ĐỀ 18
D
M
I
K
A
E
C
O
B
d) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDC BDC , lại có: BDC CAK (cùng phụ với B ), suy
ra: EDC CAK . Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ củng
là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O A = O E, suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng AE cố định
ĐỀ 19
Câu 5. Biểu thức : P a 2 ab 3b 2 a 1 (ĐK : a; b 0 )
3P 3a 6 ab 9b 6 a 3 3P a 6 ab 9b 2a 6 a 3
9
9
Ta có 3P a 6 ab 9b 2 a 3 a 3
4
2
3P
a
2
2. a. 3 b 3 b 2
2
a
2
2
3 3 3
2. a.
2 2 2
2
1
3 3
3
3P a 3 b 2 a với a; b 0 P với a; b 0 . Dấu “=” xảy ra <=>
2
2 2
2
9
a 3 b 0
a
4
(thỏa mãn ĐK)
3
1
a
0
b
2
4
9
a
1
Vậy MinA đạt được <=> 4
2
b 1
4
ĐỀ 20
2
ĐỀ 21
x y 4z 1
y z 4x 1
z x 4 y 1
25
