Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ oxyz

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (970.57 KB, 59 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

V

IẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG

THẲNG TRONG OXYZ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A x

(

A;y zA; A

)

, B x

(

B;y zB; B

)

và C x

(

C;yC;zC

)

Ta có: AB=

(

xB −xA;yB −yA;zB −zA

)



Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB ,

A B

I

A B

I

A B

I

x x

x

y y

I y

z z

z

+
 =



 =



+
 =


Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ,

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x
x

y y y
G y

z z z
z

+ +

 =




+ +

 =




+ +

 =



 Nếu u=

(

x y z; ;

)

⇔ = +u xi y j+zk .

 u =

(

x y z1; 1; 1

)

cùng phương với v=

(

x2;y2;z2

)

( )

v ≠0 khi và chỉ khi

1 2

x kx

u kv y ky

z kz

=


= ⇔ =

 =

 

 Nếu 2 vectơ u , v không cùng phương và a u a u v,

a v

 ⊥

 ⇒ = 

  

⊥


 

  

  .

 Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B thì ∆ có một vectơ chỉ phương là AB hoặc BA .
 Nếu u là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku k

(

≠0

)

cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó
một đường thẳng có vơ số vectơ chỉ phương.

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ
phương của đường thẳng kia.

 Nếu đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng

( )

α thì vectơ chỉ phương u∆ của đường thẳng ∆
chính là vectơ pháp tuyến nα



của mặt phẳng

( )

α , tức u ∆ =nα .

 Đường thẳng ∆ đi qua điểm M x

(

0;y0;z0

)

và có một vectơ chỉ phương là u=

(

a b c; ;

)



có phương

trình tham số

0
:

x x at

y y bt

z z ct

= +




∆  = +
 = +


và

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Website: tailieumontoan.com

phương trình chính tắc 0 0 0

(

)

:x x y y z z abc 0 .

a b c

− − −

∆ = = ≠

 Điểm M thuộc đường thẳng ∆ có PTTS

0
:

x x at

y y bt

z z ct

= +





∆  = +
 = +


thì M x

(

0+at y; 0+bt z; 0+ct

)

 Cho hai mặt phẳng

( )

α

:Ax+By+Cz+ =D 0 và

( )

α

′ :A x′ +B y′ +C z′ +D′=0

Với điều kiện A B C: : ≠ A B C′ ′: : ′ . Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọi d là
đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm những điểm M x y z

(

; ;

)

vừa thuộc

( )

α

vừa

thuộc

( )

α

′ , nên tọa độ của M là nghiệm của hệ 0
0

Ax By Cz D
A x B y C z D

+ + + =



 ′ + ′ + ′ + ′=

 . Khi đó ud =  n n, ′

  

với

(

, ,

)

n= A B C



và n′=

(

A B C′ ′ ′, ,

)

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d
 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Ox là i=

(

1; 0; 0

)

 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oy là j=

(

0;1; 0

)

.
 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oz là k =

(

0; 0;1

)

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (khơng dùng t.c.h)
PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp)
PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt)
PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp)

PTĐT qua 1 điểm, cắt d , có liên h1 ệ với d . 2

PTĐT qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ với mp

( )

P .

PTĐT qua 1 điểm, cắt d l1 ẫn d 2

PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vng góc với d

PTĐT qua 1 điểm, vng góc với d , thỏa ĐK khoảng cách

PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

PTĐT cắt 2 đường thẳng d d , th1, 2 ỏa ĐK khác

PTĐT nằm trong

( )

P , vừa cắt vừa vng góc với d

PTĐT thỏa ĐK đối xứng
PT giao tuyến của 2 mặt phẳng

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gianOxyz, cho hai điểm M

(

1; 0;1

)

và

(

3; 2; 1

)

N − . Đường thẳng MN có phương trình tham số là

A.

1 2

x t

y t

z t

= +

 =

 = +


. B. 
1

x t

y t

z t

= +

 =

 = +


. C. 
1

x t

y t

z t

= −

 =

 = +


. D.

x t
y t
z t

= +

 =

 = −


Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn viết phương trình đường thẳng trong hệ trục toạ độ Oxyzkhi biết
điểm đi qua và một vectơ chỉ phương.

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

* Trong không gian Oxyz:

 Cho hai điểm A x

(

A;y zA; A

)

, B x

(

B;y zB; B

)

. Ta có: AB=

(

xB−xA;yB −yA;zB −zA

)

 Đường thẳng ∆ đi qua điểm M x

(

0;y z0; 0

)

và có một vectơ chỉ phương là u =

(

a b c; ;

)

có phương

trình tham số

(

)

0
:

x x at

y y bt t

z z ct

= +




∆  = + ∈
 = +



 và phương trình chính tắc 0 0 0

(

)

: x x y y z z abc 0 .

a b c

− − −

∆ = = ≠

 Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B thì ∆ có một vectơ chỉ phương là AB hoặc BA . 
 Nếu u là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku k

(

≠0

)

cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó
một đường thẳng có vơ số vectơ chỉ phương.

3. HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính MN=

(

2; 2; 2−

)

và suy ra MN =2u, với u =

(

1;1; 1−

)

B2: Chọn u =

(

1;1; 1−

)

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N .

B3: Viết phương trình đường thẳng MN đi qua M

(

1; 0;1

)

và có một vectơ chỉ phương u =

(

1;1; 1−

)

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải 
Chọn D

Ta có: MN=

(

2; 2; 2− ⇒

)

MN =2u, với u =

(

1;1; 1−

)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Website: tailieumontoan.com

Đường thẳng MN đi qua M

(

1; 0;1

)

và có một vectơ chỉ phương u =

(

1;1; 1−

)

có phương trình tham số là

x t
y t
z t

= +

 =

 = −


Bài tập tương tự và phát triển 1:

 Mức độ 1

Câu 1. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua E

(

1; 2;3

)

va có một vectơ chỉ phương

3 5

a  = −i j+ k có phương trình tham số là

A. 
1

3 2

5 3

x t

y t

z t

= +


 = − +


 = +



. B. 
1

2 3

3 5

x t

y t

z t

= +

 = +

 = +


. C. 
1

2 3

3 5

x t

y t

z t

= −

 = −

 = +


. D. 
1

2 3

3 5

x t

y t

z t

= +

 = −

 = +



Lời giải 
Chọn D

Ta có a  = −i 3j+5k⇔ =a

(

1; 3;5−

)

Suy ra vectơ chỉ phương của ∆ là a =

(

1; 3;5−

)

Đường thẳng ∆ đi qua E

(

1; 2;3

)

và có VTCP a =

(

1; 3;5−

)

có PTTS:
1

2 3

3 5

x t

y t

z t

= +

 = −

 = +


Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

(

−3; 2; 2 ,

) (

B 0; 1; 2 ,−

) (

C 4; 0; 2− , đường thẳng đi qua

)

C và song song với AB có phương trình tham số là

A. 
4

x t

y t

z

= +

 = −

 = −


. B.

x t

y t

z

= +

 = −

 =


. C.

1 4

x t

y

z t

= +


 = −

 = −


. D. 
4

x t

y t

z

= +

 =

 = −


Lời giải 
Chọn A

Gọi ∆ là đường thẳng song song với AB, nên AB là một vectơ chỉ phương của ∆.
Ta có: AB=

(

3; 3; 0−

)

⇒AB=3u với u=

(

1; 1; 0−

)

Ta chọn u=

(

1; 1; 0−

)

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Đường thẳng ∆ đi qua C

(

4; 0; 2− và có VTCP

)

u=

(

1; 1; 0−

)

có PTTS:
4

x t

y t

z

= +

 = −

 = −


Câu 3. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm A

(

1; 7 ; 4− và vng góc với mặt phẳng

)

( )

α :x+2y+5z− = có phương trình chính tắc là4 0

A. 1 2 5

1 7 4

x− = y− = z−

− . B.

1 7 4

1 2 5

x− = y− = z+

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

C. 1 7 4

1 2 5

x+ y+ z−

= = . D. 1 7 4

1 2 5

x+ y− z−

= = .

Lời giải 
Chọn B

Mặt phẳng

( )

α có một vectơ pháp tuyến nα =

(

1; 2;3−

)

Vì ∆ ⊥

( )

α ⇒ vectơ chỉ phương của ∆: u ∆ =nα =

(

1; 2;3−

)

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

1; 7 ; 4− và có VTCP

)

u =

(

1; 2;5

)

có PTCT: 1 7 4

1 2 5

x− y− z+

= = .

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 3

1 2 3

x− y+ z−

∆ = =

− − . Đường thẳng d đi qua

(

3; 0; 5

)

N − song song với đường thẳng∆ có phương trình tham số là

A.

1 3

3 5

x t

y

z t

= − +


 =


 = − −


. B. 
3

5 3

x t

y t

z t

= −


 =


 = − −


. C. 
3

5 3

x t

y t

z t

= −

 =


 = − +


. D. 
3

5 3

x t

y t

z t

= −

 = −


 = − −


Lời giải 
Chọn B

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u∆ = −

(

1; 2; 3−

)

Vì d song song với ∆ nên vectơ chỉ phương của d là u d =u∆ = −

(

1; 2; 3−

)

Đường thẳng d đi qua N

(

3; 5; 0−

)

và có VTCP u = −

(

1; 2; 3−

)

có PTTS:
3

5 3

x t

y t

z t

= −

 =


 = − −


Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A

(

1; 2;3 ,

) (

B 3; 2;3 ,−

) (

C −1; 0; 3 ,−

) (

D 1;1; 0

)

, đường
thẳng ∆ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với CD có phương trình tham số

là

A.

2 2

3 3

x t

y t

z t

= +

 =

 = +


. B.

2 2

3 3

x t

y

z t

= +


 =

 = +


. C.

2 2

3 3

x t

y t

z t

= −

 =

 = +


. D.

2 2

3 3

x t

y t

z t

= +

 =

 = −


Lời giải 
Chọn A

Gọi I là trung điểm của

1 3
2
2
2 2

0
2
3 3

3
2

I

I
x

AB I y

z

 = =




−


⇒  = =



 = =



. Vậy I

(

2; 0;3

)

Vì∆ song song với CD, nên CD là một vectơ chỉ phương của ∆.
Ta có: CD=

(

2;1;3

)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Website: tailieumontoan.com

Đường thẳng ∆ đi qua I

(

2; 0;3

)

và có VTCP u =

(

2;1;3

)

có PTTS:

2 2
3 3
x t
y t
z t
= +

 =

 = +

.

Câu 6. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm M

(

2; 3; 4− − và song song đường thẳng

)

chứa trục Oycó phương trình tham số là

A.

2 2020
3
4
x t
y
z
= +

 = −

 = −


. B. 
2
3
4 2020
x
y
z t
=

 = −

 = − +


. C. 
2
3 2020

4
x
y t
z
=

 = − +

 = −


. D. 
2
3
4
x t
y
z t
= −

 = −

 = − −

.

Lời giải 
Chọn C

Ta có, một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy là j=

(

0;1; 0

)

Chọn u =2020j=

(

0; 2020; 0

)

làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy.
Vì đường thẳng ∆ song song đường thẳng chứa trục Oy⇒ một VTCP của đường thẳng ∆ là

(

)

2020 0; 2020; 0

u= j=

Đường thẳng ∆ đi qua M

(

2; 3; 4− − và có VTCP

)

u=

(

0; 2020; 0

)

có PTTS:
2
3 2020
4
x
y t
z
=

 = − +

 = −

.

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2
2 3
x t
y t
z t

=


∆  = −
 = −


. Đường thẳng d đi qua B

(

1; 0; 2−

)

song song với đường thẳng∆ có phương trình chính tắc là

A. 1 2

1 2 3

x− = =y z+

− . B.

1 2 3

x− = y+ = z+

C. 1 2

1 2 3

x− y z+

= = . D. 1 2

1 2 3

x− y z+

= =

− − .
Lời giải

Chọn D

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u∆ =

(

1; 2; 3− −

)

Vì d song song với ∆ nên vectơ chỉ phương của d là u d =u∆ =

(

1; 2; 3− −

)

Đường thẳng d đi qua B

(

1; 0; 2− và có VTCP

)

u=

(

1; 2; 3− −

)

có PTCT: 1 2

1 2 3

x− = y = z+

− − .

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A

(

1;1;1 ,

) (

B −1;1; 0 ,

) (

C 1;3; 2

)

. Đường trung
tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình tham số là

A. 
1
1
1
x t
y t
z
= +

 = +

 =


. B.

1
1
1
x
y t
z
=

 = +

 =


. C. 
1
1
1
x t
y t
z
= −

 = +

 =


. D.

1
1
x t
y t
z t
= − +

 = +

 =

.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Gọi M là trung điểm của BC thì

(

)

1 1
0
2
1 3

2 0; 2;1
2

0 2
1
2

M

M
x

M y M

z

− +

 = =




 = = ⇒




 = =



, suy ra AM = −

(

1;1; 0

)

Ta có đường thẳng AM nhận u = AM = −

(

1;1; 0

)

làm một vectơ chỉ phương.

Ta có đường thẳng AM đi qua A

(

1;1;1

)

và nhận u =AM = −

(

1;1; 0

)

làm một vectơ chỉ

phương có PTTS:
1

x t

y t

z

= −

 = +

 =


Câu 9. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm A

(

1; 3; 2−

)

và song song đường thẳng
chứa trục Oxcó phương trình tham số là

A. 
1

x

y t

z

=


 = − +


 =


. B. 
1

x

y

z t

=

 = −

 = +


. C. 
1

x t

y

z

= +

 = −

 =


. D. 
1

x

y t

z t

=


 = − +


 = +


Lời giải 
Chọn C

Ta có, một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Ox là i=

(

1; 0; 0

)

Vì đường thẳng ∆ song song đường thẳng chứa trục Ox⇒ một VTCP của đường thẳng ∆ là

(

1; 0; 0

)

u = =i

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

1; 3; 2−

)

và có VTCP i=

(

1; 0; 0

)

có PTTS:
1

x t

y

z

= +

 = −

 =


Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A

(

1; 0; 2 ,−

) (

B 2; 3; 4 ,− −

) (

C 3; 0; 3− . Gọi G

)

là trọng tâm tam giác ABC . Đường thẳng OG có phương trình chính tắc là

A. 2 1

2 1 3

x− y− z

= = . B.

2 1 3

x y z

= =

− − . C.

2 1 3

x− y+ z−

= =

− . D. 2 1 3

x y z

= = .

Lời giải 
Chọn B

Vì G là trọng tam tam giác

1 2 3
2
3

0 3 0
1
3

2 4 3

3
3

G

x

ABC G y

z

+ +

 = =




− +


⇒  = = −



− − −

 = = −



. Vậy G

(

2; 1; 3− − .

)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Website: tailieumontoan.com

Ta có đường thẳng OG đi qua O

(

0; 0; 0

)

nhận u =OG=

(

2; 1; 3− −

)

làm một vectơ chỉ

phương có PTCT:

2 1 3

x y z

= =
− − .

 Mức độ 2

Câu 1. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm A

(

3; 4; 7− và song song với 2 mặt

)

phẳng

( )

α :x− + − = và y z 2 0

( )

β : 2x+ + − = có phương trình chính tắc lày z 1 0

A. 3 4 7

2 1 3

x− y− z+

= =

− . B.

3 4 7

2 1 3

x− y− z+

= =

− − .

C. 2 1 3

3 4 7

x+ y− z−

= =

− . D.

3 4 7

2 1 3

x− y− z+

= =

− − .

Lời giải 
Chọn A

Mặt phẳng

( )

α có một vectơ pháp tuyến là n1=

(

1; 1;1−

)

Mặt phẳng

( )

β có một vectơ pháp tuyến là n2 =

(

2;1;1

)

Vì 1 1 1 1

2 1 1 n

−

≠ ≠ ⇒ và n2 khơng cùng phương.

Vì ∆ song song với mặt phẳng

( )

α và

( )

β nên ∆ có một VTCP u = n n1, 2= −

(

2;1;3

)

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

3; 4; 7− và có VTCP

)

u= −

(

2;1;3

)

có PTCT: 3 4 7

2 1 3

x− = y− = z+

− .

Câu 2. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm B

(

0; 4; 5− và vng góc với 2 đường

)

thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=

(

1; 2; 0−

)



và u2 = −

(

1;1; 2−

)



có phương trình tham
số là

A.

4 2

x t

y t

z t

= −

 = −


 = − +


. B.

4 2

x t

y t

z t

= −

 = −


 = − +


. C.

2 4

1 5

x

y t

z t

= −


 = − +


 = −


. D.

4 2

x t

y t

z t

= − +


 = −

 = −


Lời giải 
Chọn B

Vì ∆ vng góc với 2 đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=

(

1; 2; 0−

)

và

(

)

2 1;1; 2

u= − − , suy ra một VTCP của ∆ là u=u u1, 2= − −

(

4; 2;1

)

  

Đường thẳng ∆ đi qua B

(

0; 4; 5− và có VTCP

)

u= − −

(

4; 2;1

)

có PTTS: 3 4 7

2 1 3

x− = y− = z+

− .

Câu 3. Trong không gian Oxyz, gọi P P l1, 2 ần lượt là hình chiếu vng góc của điểm P

(

6; 7 ;8

)

lên
trục Oy và mặt phẳng

(

Oxz

)

. Đường thẳng ∆ đi qua C

(

7 ; 2; 1− và song song với đường

)

thẳng P P 1 2 có phương trình chính tắc là

A. 6 7 8

7 2 1

x− y+ z−

= =

− . B.

7 2 1

6 7 8

x− y− z+

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

C. 7 2 1

6 7 8

x− y− z+

= =

− . D.

7 2 1

6 7 8

x− y− z+

= =

− − .
Lời giải

Chọn C 
Ta có:

P là hình chiếu vng góc của điểm P

(

6; 7 ;8

)

lên trục Oy⇒P1

(

0; 7 ; 0 .

)

P là hình chiếu vng góc của điểm P

(

6; 7 ;8

)

lên mặt phẳng

(

Oxz

)

⇒P2

(

6; 0;8 .

)

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng P P là 1 2 P P1 2 =

(

6; 7 ;8 .−

)



Vì ∆ song song với đường thẳng P P , suy ra 1 2 ∆ có một VTCP là u=P P1 2 =

(

6; 7 ;8 .−

)

 

Đường thẳng ∆ đi qua C

(

7 ; 2; 1− và có VTCP

)

u=

(

6; 7 ;8−

)

có PTCT: 7 2 1

6 7 8

x− y− z+

= =

− .

Câu 4. Trong không gian Oxyz, gọi T T l1, 2 ần lượt là hình chiếu vng góc của điểm T

(

4;5; 6

)

lên
các trục Oy và trục Oz . Đường thẳng ∆ đi qua D

(

−4;3; 8− và song song với đường thẳng

)

1 2

T T có phương trình tham số là

A.

5 3

6 8

x t

y t

z t

= −


 = − −


 = −


. B.

3 5

8 6

x

y t

z t

= −


 = −


 = − +


. C.

3 5

8 6

x

y t

z t

= −

 = −


 = − +


. D.

3 5

8 6

x

y t

z t

= −

 = −


 = − +


Lời giải 
Chọn D

Ta có:

T là hình chiếu vng góc của điểm T

(

4;5; 6

)

lên trục Oy⇒T1

(

0;5; 0 .

)

T là hình chiếu vng góc của điểm T

(

4;5; 6

)

lên trục Oz⇒T2

(

0; 0; 6 .

)

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng T T là 1 2 T T1 2 =

(

0; 5; 6 .−

)



Vì ∆ song song với đường thẳng T T , suy ra 1 2 ∆ có một VTCP là u =T T1 2 =

(

0; 5; 6 .−

)

Đường thẳng ∆ đi qua D

(

−4;3; 8− và có VTCP

)

u =

(

0; 5; 6−

)

có PTTS:

3 5

8 6

x

y t

z t

= −

 = −



 = − +


Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

(

1;3; 2 ,

) (

B 2; 1;5 ,−

) (

C 3; 2; 1− . Đường thẳng

)

∆ đi
qua trọng tâm G của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng đi qua ba điểm , ,A B C có

phương trình là

A. 14 9 7.
4

2 2

x− y− z−

= = B. 2 3 2.

15 9 7

x− y− z−

= =

C.

2 3 2

15 9 7

y

x− = + = z−

D.

2 3 2

15 9 7

y

x− = − = z−

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Website: tailieumontoan.com

Vì G là trọng tam tam giác

1 2 3
2
3

3 1 2 4

3 3

2 5 1
2
3
G
G
G
x

ABC G y

z
+ +
 = =


− +

⇒  = =

+ −
 = =



. Vậy 2; ; 24
3

G 

 .

Ta có AB=

(

1; 4;3 ,−

)

AC=

(

2; 1; 3− − ⇒

)

 AB AC, =

(

15;9; 7 .

)

Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng đi qua ba điểm , ,A B C , nên ta chọn môt vectơ

chỉ phương u∆ =

(

15;9; 7

)

Vậy đường thẳng ∆ đi qua 2; ; 24
3

G 

  và nhận u∆ =

(

15;9; 7

)



làm một vectơ chỉ phương có

phương trình chính tắc là:

2 3 2

15 9 7

y

x− − z−

= =

Câu 6. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm E

(

1; 2;1

)

, song song với mặt phẳng

( )

α :x+ − − = và vng góc với đường thẳng y z 2 0

: 1

2 5

x t

d y t

z t
=

 = − −


 = +


có phương trình tham số là

A. 
4
7 2
3
x t
y t
z t
= +

 = − −

 = − +


. B.

1 4
2 7
1 3
x t
y t
z t
= −

 = −


 = −


. C.

1 4
2 7
1 3
x t
y t
z t
= +

 = −

 = −


. D.

1 4
2 7
1 3
x t
y t
z t
= +

 = +


 = +

.

Lời giải 
Chọn C

Mặt phẳng

( )

α có một vectơ pháp tuyến là n1=

(

1;1; 1−

)

.
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud =

(

2; 1;5−

)

Vì ∆ song song với mặt phẳng

( )

α và vng góc với đường thẳng d nên ∆ có một VTCP

(

)

1, d 4; 7 ;3
u=n u = −

Đường thẳng ∆ đi qua E

(

1; 2;1

)

và có VTCP u = −

(

4; 7 ;3

)

có PTTS:

1 4
2 7
1 3
x t
y t
z t
= +

 = −


 = −

.

Câu 7. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng

( )

α :x+2y+ − = z 1 0
và

( )

β :x− − + = có phương trình tham số lày z 2 0

A. 
1
2
3
x t
y t
z
= +

 = − +

 =


. B.

1
1 2
3
x t
y t
z t
= − +


 = −

 =


. C.

1
1 2
3
x t
y t
z t
= − −

 = −

 =


. D.

1
1 2
3
x t
y t
z t
= − +


 = +

 =

.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Mặt phẳng

( )

α có một VTPT là nα =

(

1; 2;1

)

Mặt phẳng

( )

β có một VTPT là nβ =

(

1; 1; 1− −

)

Khi đó n n α, β = −

(

1; 2; 3−

)

Vì đường thẳng ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng

( )

α :x+2y+ − = và z 1 0

( )

β :x− − + = nên y z 2 0 ∆ có một vectơ chỉ phương là u∆ cùng phương với n nα, β
 

Chọn một VTCP của ∆ là u∆ =

(

1; 2;3−

)

Tọa độ M x y z

(

; ;

)

∈ ∆ là nghiệm của hệ phương trình 2 1 0
2 0

x y z

+ + − =


 − − + =

 .

Trong hệ trên, cho x= − ta được 1 2 2 1

(

1;1; 0

)

1 0

y z y

M

y z z

+ = =

 

⇔ ⇒ −

 + =  =

  .

Đường thẳng ∆ đi qua M

(

−1;1; 0

)

và có VTCP u∆ =

(

1; 2;3−

)



có PTTS:

1 2

x t

y t

z t

= − +


 = −

 =


Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

(

− −1; 4; 0 ,

) (

B 3; 0; 0

)

. Viết phương trình đường trung
trực ∆ của đoạn thẳng AB, biết ∆ nằm trong mặt phẳng

( )

α :x+ + + = . y z 1 0

A.

4 2

x t

y t

z

= − +


 = −

 =


. B. 
1

x t

y t

z

= +

 = −

 =


. C. 
1

x t

y t

z

= +


 = − −


 =


. D.

x t

y t

z

= +


 = − +


 =


Lời giải 
Chọn C

Mặt phẳng

( )

α có một vectơ pháp tuyến là n =

(

1;1;1

)

và AB=

(

4; 4; 0

)

Gọi u là một VTCP của ∆, theo đề ∆ ⊥ AB và ∆ ⊥

( )

nên u AB u n AB,

(

4; 4; 0

)

4 1; 1; 0

(

)

u n

 ⊥

 ⇒ = = − = − −

  

⊥


 

  

  .

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó

1 3
1
2
4

2
2
0 0

0
2

I

x

I y

z

− +

 = =




−
 = = −




 = =



. Vậy I

(

1; 2; 0−

)

Đường thẳng ∆ đi qua I

(

1; 2; 0−

)

và có VTCP u =

(

1; 1; 0−

)

có PTTS:
1

x t

y t

z

= +


 = − −


 =


</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Website: tailieumontoan.com

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

2 1 1

x y z
d − = + =

− . Đường thẳng ∆ đi qua

(

2;1; 0

)

M cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình chính tắc là

A. 1 4 2.

2 1 1

x− y+ z+

= =

− B.

2 1

1 4 2

x+ y+ z

= =

− −

C. 2 1 .

1 4 2

x− y− z

= =

− − D.

2 1

1 4 2

x− y− z

= =

Lời giải 
Chọn C

Đường thẳng d có PTTS:

1 2

x t

y t

z t

= +


 = − +


 = −


Đường thẳng d có một VTCP là u=

(

2;1; 1−

)

Gọi N = ∩ ∆ ⇒d N

(

1 2 ; 1+ t − + − t; t

)

Ta có MN=

(

2 ;t t− −2; t

)

là một VTCP của ∆

Vì ∆ ⊥ ⇔d  MN ⊥ ⇔u  MN u. = ⇔0 2 1 2

(

+ t

)

− + + =2 t t 0 2 1; 4; 2

3 3 3 3

t MN  

⇔ = ⇒ = − − 

 



Chọn một VTCP của ∆ là u∆ =

(

1; 4; 2− −

)

Đường thẳng ∆ đi qua M

(

2;1; 0

)

và có VTCP u∆ =

(

1; 4; 2− −

)

có PTCT: 2 1 .

1 4 2

x− y− z

= =

− −

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A

(

1; 0; 1 ,−

) (

B 2;3; 1 ,−

) (

C −2;1;1

)

. Đường
thẳng ∆ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng

(

ABC

)

có phương trình tham số là

A. 
3

1 2

x

y t

z

=


 = − +


 =


. B. 
3

x t

y t

z t

=

 = +

 =


. C. 
3

2 3

x t

y t

z t

=

 = −

 =


. D. 
3

x t

y t

z t

=

 = −

 =


Lời giải 
Chọn D

Ta có AB=

(

1;3; 0 ,

)

BC= − −

(

4; 2; 2 ,

)

AC= −

(

3;1; 2 .

)

Suy ra AB= 10 ,BC= 24 ,AC = 14. Nhận xét BC2 =AB2+AC2 ⇒ ∆ABC vuông tại A.
TâmI của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC⇒I

(

0; 2; 0

)

Ta có  AB AC,  =

(

6; 2;10−

)

. Vì ∆ vng góc với mặt phẳng

(

ABC nên ch

)

ọn một VTCP

của ∆ là 1

(

6; 2;10

) (

3; 1;5

)

u= − = − .

Đường thẳng ∆ đi qua I

(

0; 2; 0

)

và có VTCP u =

(

3; 1;5−

)

có PTTS:
3

x t

y t

z t

=

 = −

 =


</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 Mức độ 3

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 2

2 1 3

x y z

d + = − = − và mặt phẳng

( )

P :x− − − = . Đường thẳng y z 1 0 ∆ đi qua A

(

1;1; 2−

)

, song song với mặt phẳng

( )

P và cắt

đường thẳng d có phương trình chính tắc là

A. 1 1 2.

8 3 5

x− = y− = z+

B. 1 1 2.

8 3 5

x+ = y+ = z−

C. 8 3 5.

1 1 2

x− y− z−

= =

− D.

1 1 2

8 3 5

x− y− z+

= =

−
Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d có PTTS:

1 2

2 3

x t

y t

z t

= − +


 = +

 = +


Mặt phẳng

( )

P có một VTPT là nP =

(

1; 1; 1− −

)



Gọi B= ∩ ∆ ⇒d B

(

− +1 2 ;1t +t; 2 3+ t

)

Ta có AB=

(

2t−2; ;3t t+4

)

là một VTCP của ∆.

Vì ∆//

( )

P ⇔ AB⊥nP ⇔ AB n. P = ⇔0 2t− − − − = ⇔ = − ⇒2 t 3t 4 0 t 3 AB= − − −

(

8; 3; 5

)

Chọn một VTCP của ∆ là u=

(

8;3;5

)

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

1;1; 2− và có VTCP

)

u =

(

8;3;5

)

có PTCT: 1 1 2.

8 3 5

x− = y− = z+

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1

2 3 1

3 2 1

x y z

d − = + = − và 2: 1

1 3 2

x y z
d + = =

−

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

−1;1; 2

)

cắt d và vng góc v1 ới d 2 có phương trình tham số là

A. 
3

x t

y t

z t

= +


 = − +


 =


. B.

1 3

x t

y t

z

= − +


 = −

 =


. C.

1 3

x t

y t

z

= − +


 = +

 =


. D.

1 3

x t

y t

z

= − −


 = −

 =


Lời giải 
Chọn B

Đường thẳng d có PTTS: 1

2 3

3 2

x t

y t

z t

= +


 = − +


 = +


Đường thẳng d có m2 ột VTCP là u2 =

(

1;3; 2−

)



Gọi B= ∩ ∆ ⇒d1 B

(

2 3 ; 3 2 ;1+ t − + t + . t

)

Ta có AB= +

(

3 3 ; 4 2 ; 1t − + t − +t

)

là một VTCP của ∆.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Website: tailieumontoan.com

(

)

1 6; 2; 0

t AB

⇔ = ⇒= − .

Chọn một VTCP của ∆ là u =

(

3; 1; 0−

)

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

−1;1; 2

)

và có VTCP u =

(

3; 1; 0−

)

có PTTS:

1 3

x t

y t

z

= − +


 = −

 =



Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 12 9 1

4 3 1

x y z

d − = − = − và mặt phẳng

( )

P : 3x+5y− − = . Gọi d′ là hình chiếu vng góc của d lên z 2 0

( )

P . Phương trình tham số

của d′ là

A.

61 2

x

y

z t


 = −


 = −


. B.

2 61

x t

y t

z t

=

 =


 = − +


. C.

2 61

x t

y t

z t

=

 = −

 = +


. D.

2 61

x t

y t

z t

=

 = −


 = − +


Lời giải 
Chọn D

Mặt phẳng

( )

P có một VTPT là nP =

(

3;5; 1−

)

Đường thẳng d có PTTS:

12 4

9 3

x t

y t

z t

= +


 = +

 = +


. Gọi A= ∩d

( )

P ⇒A

(

12 4 ;9 3 ;1+ t + t + t

)

Vì A∈

( )

P ⇒3 12 4

(

+ t

) (

+5 9 3+ t

) (

− + − = ⇔ = − ⇒1 t

)

2 0 t 3 A

(

0; 0; 2− .

)

Đường thẳng d đi qua điểm B

(

12;9;1

)

. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng

( )

P .

Đường thẳng BH đi qua B

(

12;9;1

)

và có vectơ chỉ phương u BH =nP =

(

3;5; 1−

)

có PTTS là

12 3

9 5

x t

y t

z t

= +


 = +

 = −


và H∈BH ⇒H

(

12 5 ;9 3 ;1+ t + t − . t

)

Vì

( )

3 12 3

(

) (

5 9 5

) (

)

2 0 78 186; 15 113;

35 35 7 35

H∈ P ⇒ + t + + t − − − = ⇔ = −t t ⇒H − 

 .

Ta có 186; 15 183;

35 7 35

AH = − 

 



. Chọn một VTCP của đường thẳng d′ là u′=

(

62; 25; 61−

)

Đường thẳng d′ đi qua A

(

0; 0; 2− và có VTCP

)

u′=

(

62; 25; 61−

)

có PTTS:

2 61

x t

y t

z t

=

 = −


 = − +


Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là:

6 6

1 4 3

x y z
d = − = −

− − . Biết rằng điểm M

(

0;5;3

)

thuộc đường thẳng AB và điểm N

(

1;1; 0

)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

A. 1

x t

y t

z

=

 = +

 =


. B.

x

y t

z t

=

 = −

 =


. C. 
1

x

y t

z t

=

 = +

 = −


. D. 
1

x

y t

z t

=

 = +

 =


Lời giải 
Chọn D

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc ,

( )

: 6 4
6 3

x t

A d y t

z t

=

 = −

 = −


Gọi D là điểm đối xứng với M qua

( )

d . Khi đó D AC∈ ⇒ đường thẳng AC có một vectơ

chỉ phương là ND.

* Ta xác định điểm .D Gọi K là giao điểm của MD với

( )

d .

Ta có K t

(

; 6 4 ; 6 3− t − t

)

;MK =

(

t;1 4 ;3 3 .− t − t

)

Vì MK ⊥ud , với ud =

(

1; 4; 3− −

)

nên 4 1 4

(

) (

3 3 3

)

0 1.

t− − t − − t = ⇔ =t

1 9

; 4;

2 2

K 

⇒  , mà K là trung điểm của MD nên

2 1

2 3

2 6

D K M D

x x x x

y y y y

z z z z

= − =

 

 = − ⇔ =

 

 = −  =

 

hay D

(

1;3; 6

)

Một vectơ chỉ phương của AC là ND=

(

0; 2; 6

) (

=2 0;1;3

)

=2u, với u =

(

0;1;3 .

)

Đường thẳng AC đi qua N

(

1;1; 0

)

và có VTCP u =

(

0;1;3 .

)

có PTTS:
1

x

y t

z t

=

 = +

 =


Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P : 2x−5y− = và 2 đường thẳng z 0 1

: 1

x t

d y t

z t

= +


 = − +


 = −


; 2: 1

2 1 1

x y z
d = − =

− − . Đường thẳng ∆ nằm trên mặt phẳng

( )

P sao cho ∆ cắt hai đường thẳng

d và d 2 có phương trình chính tắc là

A. 3 1 1

4 1 3

x− = y− = z−

. B. 4 1 3

3 1 1

x− = y− = z−

C. 3 1 1

4 1 3

x+ y+ z+

= = . D. 3 1 1

4 1 3

x− y− z−

= =

− .

Lời giải 
Chọn A

Đường thẳng d có PTTS: 2
2

x s

y s

z s

=

 = −

 = −


</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Website: tailieumontoan.com

Suy ra A

(

3;1;1

)

Gọi B=d2∩ ∆ ⇒B s2 1

(

+t;1− − mà s; s

)

( )

2 2

( ) (

5 1

) ( )

0 1
2

B∈ P ⇒ s − − − − = ⇔ =s s s .

Suy ra 1; ;1 1 2; ;1 3 1

(

4;1;3

)

2 2 2 2 2 2

B − ⇒AB= = = u∆

   

 

Chọn một VTCP của ∆ là u∆ =

(

4;1;3

)

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

3;1;1

)

và có VTCP u∆ =

(

4;1;3

)



có PTCT: 3 1 1

4 1 3

x− y− z−

= = .

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

1 2 2

x y z
d − = = +

− và mặt phẳng

( )

P : 3x+ + = . Đường thẳng y z 0 ∆ nằm trong mặt phẳng

( )

P , cắt và vng góc với đường

thẳng d có phương trình tham số là

A. 
4

7 3

x t

y t

z t

= +

 = −


 = − −


. B.

1 4

3 7

x t

y t

z t

= +


 =


 = − −


. C.

1 4

3 7

x t

y t

z t

= +

 = −


 = − −


. D.

1 4

3 7

x t

y t

z t

= −

 = −


 = − −


Lời giải 
Chọn C

Đường thẳng d có PTTS: 
1

3 2

x t

y t

z t

= +

 = −


 = − +


Đường thẳng d có một VTCP: ud =

(

1; 2; 2−

)

Mặt phẳng

( )

P có một VTPT là nP =

(

3;1;1

)

Gọi M = ∩d

( )

α ⇒M

(

1+ −t; 2 ; 3 2t − + t

)

, mà

( )

3 1

(

)

2 4 2 0 0

(

1; 0; 3

)

M∈ P ⇒ + − − + = ⇔ = ⇒t t t t M −

Gọi u là một VTCP của ∆, theo đề ∆ ⊥ và d ∆ ⊥

( )

nên u ud u n u, d

(

4; 5; 7 .

)

u n

 ⊥

 ⇒ = = − −

  

⊥


 

  

  .

Chọn một VTCP của ∆ là u=

(

4; 5; 7− −

)

Đường thẳng ∆ đi qua M

(

1; 0; 3− và có VTCP

)

u =

(

4; 5; 7− −

)

có PTTS:

1 4

3 7

x t

y t

z t

= +

 = −

 = −


Câu 7. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng

( )

P : 7x+ −y 4z= , cắt 0

hai đường thẳng 1

1 2

2 1 1

x y z
d = − = +

− và 2

1 2

: 1

x t

d y t

z

= − +


 = +

 =


</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

A. : 2 1.

7 1 4

x− y z+

∆ = =

− − B.

2 7

: .

1 4

x t

y t

z t

= −


∆  = −

 = − +


C. : 2 3 1.

7 1 4

x+ y− z+

∆ = =

− − D.

7 1 4

: .

5 1 3

x+ y+ z−

∆ = =

− −

Lời giải 
Chọn A

Mặt phẳng

( )

P có một vectơ pháp tuyến n=

(

7 ;1; 4

)

d có phương trình tham số: 1

: 1 2

x m

d y m

z m

=

 = −


 = − +


Giả sử ∆ cắt d t1 ại A⇒A

(

2 ;1 2 ; 2m − m − +m

)

Giả sử ∆ cắt d t2 ại B⇒B

(

− +1 2 ;1t +t;3

)

Suy ra AB=

(

2t− −1 2 ;m t+m;5−m

)

Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng

( )

P ⇒AB cùng phương với n

Tức là

2 1 2 7 2

2 1 2 5

7 1 4

5 4 1

t m k t

t m t m m

k t m k m

m k k

− − = = −

 

− − = + = − = ⇔ + = ⇔ =

 

−  

− = − = −

 

Suy ra A

(

2; 0; 1 ,−

) (

B − −5; 1;3

)

⇒AB= − −

(

7 ; 1; 4 .

)

Vậy đường thẳng ∆ đi qua A

(

2; 0; 1−

)

và nhận u = AB= − −

(

7 ; 1; 4

)

làm một vectơ chỉ
phương có phương trình chính tắc là : 2 1.

7 1 4

x− y z+

∆ = =

− −

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P : 2x− + −y z 10= , điểm 0 A

(

1;3; 2

)

và đường

thẳng

2 2

: 1

x t

d y t

z t

= − +


 = +

 = −


. Đường thẳng ∆ cắt

( )

P và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho

A là trung điểm của MN có phương trình tham số là

A.

6 7

: 1 4 .

x t

y t

z t

= − −




∆  = − +
 = +


B.

6 7

: 1 4 .

x t

y t

z t

= − −




∆  = − −
 = +


C. : 6 1 3.

7 4 1

x− y− z+

∆ = =

− D.

6 1 3

: .

7 4 1

x+ y+ z−

∆ = =

− −

Lời giải 
Chọn B

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Website: tailieumontoan.com

Vì A là trung điểm của MN nên

2 4 2

: 2 5

2 3

N A M

x x x t

N y y y t

z z z t

= − = −



 = − = −



 = − = +


hay N

(

4 2 ;5− t −t t; + . 3

)

Vì ∆ cắt

( )

P tại N⇒ ∈N

( )

P ⇒2 4 2

(

− t

) (

− − + + −5 t

) (

3 t

)

10= ⇔ = − 0 t 2.
Do đó M

(

− −6; 1;3

)

và AM = − −

(

7 ; 4;1

)

Vậy đường thẳng ∆ đi qua M

(

− −6; 1;3

)

và nhận u =AM = − −

(

7 ; 4;1

)

làm một vectơ chỉ

phương có phương trình tham số là

6 7

: 1 4 .

x t

y t

z t

= − −




∆  = − −
 = +


Câu 9. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm M

(

0; 1; 2−

)

đồng thời cắt hai đường

thẳng 1: 1 2 3

1 1 2

x y z
d − = + = −

− và 2

1 2

: 4

2 4

x t

d y t

z t

= − +


 = −

 = +


có phương trình tham số là

A. 
4

7 3

x t

y t

z t

= +

 = −


 = − −


. B.

1 4

3 7

x t

y t

z t

= +

 =


 = − −


. C. 
9

1 9

2 16

x t

y t

z t

=


 = − −


 = −


. D.

1 4

3 7

x t

y t

z t

= −

 = −


 = − −


Lời giải 
Chọn C

Đường thẳng d có PTTS: 1
1

3 2

x s

y s

z s

= +


 = − −


 = +


Gọi A= ∩ ∆ ⇒d1 A

(

1+ − −s; 2 s;3 2+ s

)

và B=d2∩ ∆ ⇒B

(

− +1 2 ; 4t −t; 2 4+ t

)

(

1; 1; 2 1 ;

)

(

2 1; 5; 4

)

MA= + − −s s s+ MB= t− − +t t

 

Ta có ∆ đi qua điểm M cắt d t1 ại A và cắt d t2 ại B nên 3 điểm M A B, , thẳng hàng

(

)

(

)

(

)

7
2
1 2 1

1 5 9;9; 16

2 1 4 4

s

s k t

MA k MB s k t k MB

s kt t

 =


 + = − 

 

= ⇔ − − = − + ⇔ = − ⇒ = − −

 + = 

= −

 



  

Chọn một VTCP của ∆ là u =

(

9; 9;16−

)

Đường thẳng ∆ đi qua M

(

0; 1; 2−

)

và có VTCP u =

(

9; 9;16−

)

có PTTS:
9

1 9

2 16

x t

y t

z t

=


 = − −


 = −


</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1

4 3

: 1

5 2

x t

d y t

z t

= +

 = −


 = − −


và 2: 2 3

1 3 1

x y z

d − = + = . Đường

vng góc chung ∆ của 2 đường thẳng d và 1 d 2 có phương trình chính tắc là

A. 1 1 2

1 1 3

x− y+ z−

= =

− . B.

1 2 3

1 1 2

x+ y+ z−

= =

− .

C. 1 2 3

1 1 2

x− y− z+

= =

− . D.

1 2 3

1 1 2

x− y− z+

= = .

Lời giải 
Chọn C

Đường thẳng d có PTTS: 2
2

3 3

x s

y s

z s

= +


 = − +


 =


Gọi M = ∩ ∆ ⇒d1 M

(

4 3 ;1+ t − − −t; 5 2t

)

và N =d2∩ ∆ ⇒N

(

2+ − +s; 3 3 ;s s

)

Ta có MN = − − +

(

2 3t s t; +3s−4; 2t+ +s 5

)

, suy ra MN là một VTCP của ∆
Vì ∆ là đường vng góc chung của 2 đường thẳng d và 1 d nên 2

. 0 2 3 0 1

8 9 0 1

. 0

MN u s t s

s t t

MN u

 =  − − =  =

 ⇔ ⇔

  − − =  = −

=  


 
 

Suy ra M

(

1; 2; 3 ,−

) (

N 3; 0;1

)

⇒MN =

(

2; 2; 4−

) (

=2 1; 1; 2−

)

=2u∆.

Chọn một VTCP của ∆ là u∆ =

(

1; 1; 2−

)

Đường thẳng ∆ đi qua M

(

1; 2; 3− và có VTCP

)

u∆ =

(

1; 1; 2−

)



có PTCT: 1 2 3

1 1 2

x− y− z+

= =

− .

 Mức độ 4

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1

1 2

2 1 1

x y z
d − = = +

− và 2

1 1 3

1 7 1

x y z
d + = − = −

− .

Đường vng góc chung ∆ của 2 đường thẳng d và 1 d c2 ắt d và 1 d l2 ần lượt tại A và B.
Diện tích S của tam giác OAB bằng

A. 3
2

S= . B. S = 6. C. 6

S= . D. 6

S = .

Lời giải 
Chọn D

Đường thẳng d có PTTS: 1

1 2

x t

y t

z t

= +

 = −


 = − +


và u1 =

(

2; 1;1−

)

là một VTCP của d . 1

Đường thẳng d có PTTS: 2

1 7

x s

y s

z s

= − +


 = +

 = −


</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Website: tailieumontoan.com

Gọi A= ∩ ∆ ⇒d1 A

(

1 2 ;+ t − − + và t; 2 t

)

B=d2∩ ∆ ⇒B

(

− +1 s;1 7 ;3+ s − s

)

Ta có AB= − − +

(

2 2t s;1+ +t 7 ;5s − −t s

)

, suy ra AB là một VTCP của ∆
Vì ∆ là đường vng góc chung của 2 đường thẳng d và 1 d nên 2

(

)

(

)

1; 0; 2

. 0 6 6 0 0

6 52 0 0 1;1;3

. 0

A

AB u t s t

t s s B

AB u

 = − − =  =  −

 ⇔ ⇔ ⇒

  + =  = 

−

=   

 


 

  .

Ta có OA=

(

1; 0; 2 ;−

)

OB= −

(

1;1;3

)

⇒OA OB , =

(

2; 1;1−

)

Vậy 1 1 2

( )

2 2 6

, 2 1 1 .

2 2 2

OAB

S = OA OB  = + − + =

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A

(

3; 0; 0 ,

) (

B 0; 2; 0 ,

) (

C 0; 0; 6

)

và D

(

1;1;1

)

. Gọi ∆ là
đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A B C, , đến đường thẳng ∆ là

lớn nhất. Hỏi điểm nào sau đây nằm trên ∆?

A. E

(

− −1; 2; 0

)

. B. F

(

1; 1; 0−

)

. C. G

(

− − − . 1; 1; 1

)

D. H

(

5; 7 ;3−

)

Lời giải 
Chọn A

Ta có phương trình tổng qt của mặt phẳng qua ba điểm A B C, , là

(

)

: 1 2 3 6 0

3 2 6

x y z

ABC + + = ⇔ x+ y+ − =z .

Nhận xét D

(

1;1;1

) (

∈ ABC

)

. Gọi A B C′ ′ ′, , lần lượt là hình chiếu vng góc của A B C, , trên

∆ .

Suy ra d A

(

,∆ +

) (

d B,∆ +

) (

d C,∆ =

)

AA′+BB′+CC′≤AD+BD CD+ . Dấu bằng xảy ra khi

A′≡B′≡C′≡ . Hay tổng khoảng cách từ điểm D A B C, , đến ∆ lớn nhất khi ∆ là đường
thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng

(

ABC .

)

Phương trình tham số của đường thẳng d là

1 2

: 1 3

x t

d y t

z t

= +

 = +

 = +


. Nhận thấy E

(

− −1; 2; 0

)

∈ ∆

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1

1 2

x t

d y t

z t

= +

 =


 = − −


và 2: 1 2 2

1 3 2

x y z
d − = + = −

− . .

Đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng

( )

P :x+ + − = và cắt y z 7 0 d1,d l2 ần lượt tại 2

điểm A B, sao cho AB ngắn nhất có phương trình tham số là

A.

1 6

5
2

9
1

x t

y

t
z



 = − +


 =


 = −


. B. 
6

5
2
9

x t

y

z t


 = +

 =



 = − +


. C. 
6

5
2
9
2

x t

y

z t


 = −

 =



 = − +


. D. 
6

5
2
9
2

x t

y

z t


 = −

 =




 = − −


</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lời giải 
Chọn C

Mặt phẳng

( )

P có một VTPT là nP =

(

1;1;1

)

Đường thẳng d có PTTS: 2
1

2 3

2 2

x s

y s

z s

= +


 = − +


 = −


Gọi A= ∩ ∆ ⇒d1 A

(

1 2 ; ; 2+ t t − − và t

)

B=d2∩ ∆ ⇒B

(

1+ − +s; 2 3 ; 2 2s − s

)

Ta có AB= −

(

s 2 ;3t s t− − − + +2; 2s t 4

)

, suy ra AB là một VTCP của ∆

Vì ∆//

( )

P ⇒ AB⊥nP ⇔ AB n. P = ⇔ = −0 s t 1. Khi đó AB= − −

(

t 1; 2t−5; 6−t

)

(

) (

)

2 2 5 2 49 7 2

1 2 5 6 6 30 62 6 , .

2 2 2

AB= − −t + t− + −t = t − t+ = t−  + ≥ ∀ ∈t

  

Dấu đẳng thức xảy ra khi 5 6; ;5 9 , 7; 0;7

2 2 2 2 2

t= ⇒ A −  AB= − 

   



Chọn một VTCP của ∆ là u∆ = −

(

1; 0;1

)

Đường thẳng ∆ đi qua 6; ;5 9

2 2

A − 

  và có VTCP u∆ = −

(

1; 0;1

)



có PTTS:
6

5
2
9
2

x t

y

z t


 = −


 =



 = − +


Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm A

(

−3;3; 3− thuộc mặt phẳng

)

( )

α : 2x−2y+ +z 15= và 0
mặt cầu

( ) (

S : x−2

) (

2+ y−3

) (

2+ −z 5

)

2 =100. Đường thẳng ∆ qua A nằm trên mặt phẳng

( )

α cắt mặt cầu

( )

S tại 2 điểm A B, . Để AB có độ dài lớn nhất thì phương trình của ∆ là

A. 1 4 6

3 3 3

x− y− z−

= =

− − . B.

3 3 3

4 1 6

x+ y− z+

= = .

C. 3 3 3

1 4 6

x+ = y− = z+

. D. 3 3 3

1 6 4

x+ = y− = z+

Lời giải 
Chọn C

Mặt phẳng

( )

α có một VTPT là n =

(

2; 2;1−

)

.
Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

2;3;5

)

và bán kính R= . 10

(

( )

)

( )

2 2

2.2 2.3 5 15

, 6

2 2 1

d I α = − + + = <R

+ − + nên ∆ luôn cắt

( )

S tại 2 điểm A B, .

Khi đó 2

(

)

2 ,

AB= R −d I ∆  . Do đó, AB lớn nhất thì d I

( )

,∆ nhỏ nhất.

( )

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Website: tailieumontoan.com

Đường thẳng IH đi qua I

(

2;3;5

)

và vng góc với

( )

α có PTTS:

2 2

3 2

x t

y t

z t

= +

 = −

 = +


Vì H∈

( )

α ⇒2 2 2

(

+ t

) (

−2 3 2− t

)

+ + +5 t 15= ⇔ = − ⇒0 t 2 H

(

−2; 7 ;3

)

Ta có AH =

(

1; 4; 6

)

. Chọn một VTCP của đường thẳng ∆ là u∆ =

(

1; 4; 6

)

Đường thẳng ∆ đi qua A

(

−3;3; 3− và có VTCP

)

u∆ =

(

1; 4; 6

)

có PTCT: 3 3 3

1 4 6

x+ = y− = z+

Câu 5. Trong không gian Oxyz, gọi đường thẳng : 1 1

1 2 3

x y z

d − = = − , điểm A

(

2; 2; 4

)

và mặt phẳng

( )

P :x+ + − = . Đường thẳng y z 2 0 ∆ nằm trong mặt phẳng

( )

P , cắt d sao cho khoảng cách

từ A đến ∆ là lớn nhất có phương trình chính tắc là

A. 1 2 1

3 4 3

x− y+ z−

= =

− . B.

3 4 3

1 2 1

x− y+ z−

= =

− .

C. 3 4 3

1 2 1

x− y+ z−

= = . D. 3 4 3

1 2 1

x− y+ z−

= =

− − .

Lời giải 
Chọn B

Mặt phẳng

( )

P có một VTPT là nP =

(

1;1;1

)

Tọa độ giao điểm B của d và

( )

P là nghiệm của hệ phương trình

(

)

1 1

0 1; 0;1

1 2 3

2 0 1

x

x y z

y B

x y z z

=


− −

 = =

 ⇔ = ⇒

 

 + + − =  =

 

. Ta có ∆ đi qua B.

Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên ∆. Ta có d A

(

,∆ =

)

AH ≤AB nên d A

(

,∆ đạt giá

)

trị lớn nhất bằng AB.

Khi đó đường thẳng ∆ qua B và có một VTCP là u=n P,AB= −

(

1; 2; 1−

)

Chọn một VTCP của đường thẳng ∆ là u∆ =

(

1; 2;1−

)

Đường thẳng ∆ đi qua B

(

1; 0;1

)

và có VTCP u∆ =

(

1; 2;1−

)

có PTCT: 3 4 3

1 2 1

x− = y+ = z−

− .

Thay tọa độ B

(

1; 0;1

)

vào 4 phương án, ta thấy phương án B thỏa mãn.

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho điểm I

(

1; 0; 0

)

và mặt phẳng

( )

P :x−2y−2z+ = và đường 1 0

thẳng

x

d y t

z t

=

 =


 = +


. Gọi d′ là đường thẳng đi qua I và vng góc với mặt phẳng

( )

P , M là

hình chiếu vng góc của I trên mặt phẳng

( )

P , N là điểm thuộc d sao cho diện tích tam

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

A. 2; 3; 5
2 2

N − − 

 . B.

5 3
2; ;

2 2

N − 

 . C.

5 3
2; ;

2 2

N − − 

 . D.

5 3
2; ;

2 2

N 

 .
Lời giải

Chọn C

Đường thẳng d′ có PTTS là

: 2

x s

d y s

z s

= +



′  = −

 = −


Tọa độ M là giao điểm của d′ và

( )

P

(

) (

)

2 7 4 4

1 2 2 2 2 1 0 ; ;

9 9 9 9

s s s s M 

⇒ + − − − − + = ⇔ = − ⇒  

 .

Vậy

2 2 2

7 4 4 2

1 0 0

9 9 9 3

IM =  −  + −  + −  =

      .

Gọi H là hình chiếu của N lên d′ thì 1 . 1 .

2 3

MNI

S = IM NH = NH

Do đó, diện tích tam giác MNI nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài NH nhỏ nhất.

N là điểm thuộc d nên tọa độ N có dạng N

(

2; ;1t + ⇒t

)

IN=

(

1; ;t t+1

)

Đường thẳng d′ có VTCP u′=

(

1; 2; 2− −

)

. Ta có IN u , ′ =

(

2;t+ − −3; t 2

)

Mà

(

)

(

) (

)

2 2

2 2

, 2 3 2 2 10 17

3 3

IN u t t t t

NH d N d

u

 ′ + + + − − + +

 

′

= = = =

′
 



5 9

2 2 2

3 2

t

 +  +
 
 

= ≥ .

Vậy NH nhỏ nhất bằng 2

2 khi và chỉ khi

5 5 3

2; ;

2 2 2

t= − ⇒N − − 

 .

Câu 7. Trong không gian Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua A

(

−1; 0; 1− và cắt

)

1 2 2

2 1 1

x y z
d − = − = +

− sao cho góc giữa d và 2

3 4 3

1 2 2

x y z
d − = − = +

− là nhỏ nhất. Phương

trình chính tắc của đường thẳng d là

A. 2 2 1

1 1 1

x− = y− = z+

− − . B.

1 1

2 2 1

x+ = =y z+

− .

C. 1 1

2 2 1

x+ y z+

= = . D. 1 1

2 2 1

x+ y z+

= =

− − .

Lời giải 
Chọn B

Đường thẳng d có PTTS: 1

1 2

x t

y t

z t

= +

 = +


</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Website: tailieumontoan.com

Gọi M = ∩ ⇒d1 d M

(

1 2 ; 2+ t + − − t; 2 t

)

Ta có AM =

(

2t+2;t+ − −2; t 1

)

, suy ra AB là một VTCP của d

d có một VTCP là u2 = −

(

1; 2; 2

)



(

)

( ) (

) (

)

( )

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2

2 2

1 . 2 2 2 2 2 1 2 2

cos ,

3 6 14 9
3 6 14 9

1 2 2 . 2 2 2 1

t t t t t

d d

t t

t t t

− + + + + − −

= = =

+ +
+ +

− + + + + + + − −

Xét hàm số

( )

2 ,

6 14 9

t

f t t

t t

= ∀ ∈

+ + 

Ta có

( )

(

)

2
2

9
14 18

0 14 18 0 7

6 14 9 0

t
t t

f t t t

t t t

 = −

+ 

′ = = ⇔ + = ⇔



+ +  =

Bảng biến thiên:

ta suy ra được min f t

( )

= f

( )

0 = ⇔ =0 t 0

 .

Do đó min cos

(

d d, 2

)

 = ⇔ = ⇒ 0 t 0 AM =

(

2; 2; 1−

)



Chọn một VTCP của d là ud =

(

2; 2; 1−

)

Đường thẳng d đi qua A

(

−1; 0; 1− và có VTCP

)

ud =

(

2; 2; 1−

)



có PTCT: 1 1

2 2 1

x+ = =y z+

− .

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3; 0
2 2

M 

  và mặt cầu

( )

2 2 2

: 8 0

S x +y +z − = . Đường

thẳng d thay đổi đi qua M , cắt mặt cầu

( )

S tại hai điểm phân biệt A B, . Tính diện tích lớn
nhất Smax của tam giác OAB .

A. Smax =2 7. B. Smax =3 7. C. Smax =2 2. D. Smax = 7.
Lời giải

Chọn D

Mặt cầu

( )

S có tâm O

(

0; 0; 0

)

và bán kính R=2 2.

Vì OM = < ⇒1 R M nằm bên trong mặt cầu.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ O xuống AB. Đặt OH x= với 0< ≤ . x 1
Suy ra HA= R2−OH2 = 8−x2 .

Ta có 1 . 1 .2 12 8 2 8 2

2 2 2

OAB

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Xét hàm số f x

( )

=x 8−x2 trên

(

0;1

]

Ta có

( )

(

]

( ]

( )

2 2

2 2 0;1

8 2

8 0 , 0;1 max 1 7

8 8

x x

f x x x f x f

x x

−

′ = − − = > ∀ ∈ ⇒ = =

− − .

Vậy Smax = 7.

Câu 9. Trong không gian Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua A

(

1; 1; 2−

)

, song song với mặt phẳng

( )

P : 2x− − + = sao cho góc giữa d và y z 3 0 : 3 4 3

1 2 2

x− y− z+

∆ = =

− là lớn nhất. Phương

trình chính tắc của đường thẳng d là

A. 1 1 2

1 5 7

x− y+ z−

= =

− . B.

1 5 7

1 1 2

x− y+ z−

= =

− .

C. 1 1 2

1 5 7

x− y+ z−

= = . D. 1 1 2

4 5 7

x− y+ z−

= =

− .

Lời giải 
Chọn A

∆ có một VTCP là u∆ =

(

1; 2; 2−

)

d có một VTCP là ud =

(

a b c; ;

)

( )

P có một VTPT là nP =

(

2; 1; 1− −

)

Vì d//

( )

P ⇒ud ⊥nP ⇔u nd. P = ⇔0 2a b c− − = ⇔ =0 c 2a b−

   

(

)

( )

(

)

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

5 4

2 2 5 4 1

cos ,

3 5 4 2

3 5 4 2
1 2 2 .

a b

a b c a b

d

a ab b

a b c

−

− + −

∆ = = =

− +

+ − + + + .

Đặt t a
b

= , ta có

(

)

(

)

5 4
1

cos ,

3 5 4 2

t
d

t t

−
∆ =

− + .

Xét hàm số

( ) (

)

2 2

2 2

5 4 25 40 16
,

5 4 2 5 4 2

t t t

f t t

t t t t

− − +

= = ∀ ∈

− + − + 

Ta có

( )

(

)

2
2

100 60 16 5

0 100 60 16 0

4
5 4 2

t

t t

f t t t

t t t

 = −

− −

′ = = ⇔ − − = ⇔ 



− + =



</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Website: tailieumontoan.com

ta suy ra được max

( )

1 5 3

5 3

f t = f − =

 

 .

Do đó max cos

(

)

1 5 3 1 1

3 3 5 5

a

d t

b

 ∆ = ⇔ = − ⇒ = −

  .

Chọn a= ⇒ = −1 b 5,c=7.

Đường thẳng d đi qua A

(

1; 1; 2−

)

và có VTCP ud =

(

1; 5; 7−

)

có PTCT: 1 1 2

1 5 7

x− y+ z−

= =

− .

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm A

(

1; 2; 3− và mặt phẳng

)

( )

P : 2x+2y− + = . Đường z 9 0
thẳng d đi qua A và vng góc với mặt phẳng

( )

Q : 3x+4y−4z+ = và cắt mặt phẳng 5 0

( )

P

tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng

( )

P sao cho M ln nhìn AB dưới một góc vng và
MB có độ dài lớn nhất. Tính độ dài MB.

A. MB= 5. B. MB= 51. C. 5
2

MB= . D. MB= 41.

Lời giải 
Chọn A

Đường thẳng d đi qua A

(

1; 2; 3− và có VTCP

)

u =nQ =

(

3; 4 4−

)

có PTTS

1 3

: 2 4

3 4

x t

d y t

z t

= +

 = +


 = − −


Ta có MB2 =AB2−MA2 . Do đó MNmax ⇔MAmin .

Gọi E là hình chiếu của A lên

( )

P . Ta có AM ≥ AE. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M ≡E.
Khi đó MAmin =AE và MB qua B nhận BE



làm VTCP.

Ta có B∈ ⇒d B

(

1 3 ; 2 4 ; 3 4+ t + t − − t

)

mà B∈

( )

P ⇒2 1 3

(

+ t

) (

+2 2 4+ t

) (

− − −3 4t

)

+ = ⇔ = − ⇒9 0 t 1 B

(

− −2; 2;1

)

Đường thẳng AE qua A

(

1; 2; 3− và nhận

)

nP =

(

2; 2; 1−

)

làm VTCP có PTTS

1 2

: 2 2

x t

d y t

z t

= +

 = +


 = − −


Suy ra E

(

1 2 ; 2 2 ; 3+ t + t − − . t

)

mà E∈

( )

P ⇒2 1 2

(

+ t

) (

+2 2 2+ t

) (

− − − + = ⇔ = − ⇒3 t

)

9 0 t 2 E

(

− − − . 3; 2; 1

)

Khi đó

(

( )

)

(

( )

)

(

)

3 2 2 2 1 1 5

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
1. Phương trình đường thẳng:

•

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0

(

x y z0; 0; 0

)

và nhận vectơ a =

(

a a a1; 2; 3

)



với a12+a22 +a32 ≠ 0

làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là :

(

)

0 1

0 2

;

x x a t
y y a t t
z z a t

= +



 = + ∈



 = +




•

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0

(

x y z0; 0; 0

)

và nhận vectơ a =

(

a a a1; 2; 3

)



sao cho a a a1 2 3 ≠ làm 0

vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là : 0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

− = − = −

2. Góc:

a. Góc giữa hai đường thẳng:

∆ có vectơ chỉ phương a1


∆ có vectơ chỉ phương a2


Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và 1 ∆ . Ta có: 2

1 2

1 2
.
cos

a a

a a

=
 
 
ϕ

b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
∆ có vectơ chỉ phương a∆

( )

α có vectơ chỉ phương nα


Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và ( )α . Ta có:

.
sin

a n

a n

∆

∆
=

 
 α

α
ϕ

3. Khoảng cách:

a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : 
∆ đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a∆



(

)

, 0

a M M
d M

a

∆

 

 

∆ =

 


b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

∆ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a1

∆ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2


(

)

1 2

1 2
, .
, =

a a MN

d

a a

 
 
∆ ∆

 
 
  

 

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Website: tailieumontoan.com

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 PT đường thẳng trong Oxyz (Lập PTĐT qua hai điểm)

 PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (khơng dùng t.c.h)
 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp) 
 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt) 
 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp)
 PTĐT qua 1 điểm, cắt d1, có liên hệ với d2

 PTĐT qua 1 điểm, cắt d, có liên hệ với mp (P)
 PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 lẫn d2

 PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vng góc với d

 PTĐT qua 1 điểm, vng góc với d, thỏa ĐK khoảng cách
 PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

 PTĐT cắt 2 đường thẳng d1,d2, thỏa ĐK khác
 PTĐT nằm trong (P), vừa cắt vừa vng góc với d
 PTĐT thỏa ĐK đối xứng

 PT giao tuyến của 2 mặt phẳng

 PT đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gianOxyz, cho hai điểm M

(

1; 0;1

)

và

(

3; 2; 1

)

N − . Đường thẳng MN có phương trình tham số là

A.

1 2
2
1

x t
y t
z t

= +

 =

 = +


. B.

x t
y t
z t

= +

 =

 = +


. C.

x t
y t
z t

= −

 =

 = +


. D.

x t
y t
z t

= +

 =

 = −



Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn viết phương trình đường thẳng trong hệ trục toạ độ Oxyzkhi biết
điểm đi qua và một vectơ chỉ phương.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính MN=

(

2; 2; 2−

)

và suy ra MN =2u, với u =

(

1;1; 1−

)

B2: Chọn u =

(

1;1; 1−

)

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N .

B3: Viết phương trình đường thẳng MN đi qua M

(

1; 0;1

)

và có một vectơ chỉ phương u =

(

1;1; 1−

)

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Ta có: MN=

(

2; 2; 2− ⇒

)

MN =2u, với u =

(

1;1; 1−

)

Ta chọn u =

(

1;1; 1−

)

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N .

Đường thẳng MN đi qua M

(

1; 0;1

)

và có một vectơ chỉ phương u=

(

1;1; 1−

)

có phương trình tham số là

x t
y t
z t

= +

 =

 = −


Bài tập tương tự và phát triển 2:

 Mức độ 1

Câu 1. Trong không gianOxyz, cho hai điểm A

(

1; 2;3

)

và B

(

1, 4− . Đường thẳng AB có phương 2

)

trình tham số là

A.

1
2 2
3 5

x

y t

z t

=


 = −


 = +


. B.

1
2 2
3 5

x

y t
z t

=


 = +


 = −


. C. 2 3
5 3

x t
y t
z t

=


 = +


 = −


. D.

1
4 2
2 5

x

y t
z t

=


 = +


 = −


Lời giải

Chọn B

Ta có AB=

(

0;2; 5− ⇒ =

)

u

(

0;2 5−

)

Đường thẳng AB qua A

(

1; 2;3

)

có véctơ chỉ phương u=

(

0;2 5−

)

là:

1
2 2
3 5

x

y t
z t

=


 = +



 = −


Câu 2. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d qua A

(

2;3; 4− và có véctơ chỉ phương

)

(

1;3; 4

)

u= có phương trình chính tắc là ?

A. 2 3 4

1 3 4

x− y− z+

= = . B. 2 3 4

1 3 4

x+ y+ z−

= = .

C. 2 3 4

1 3 4

x− = y− = z+

− . D.

1 3 4

2 3 4

x− = y− = z+

Lời giải 
Chọn A

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Website: tailieumontoan.com

2 3 4

1 3 4

x− y− z+

= =

Câu 3. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng ∆ qua M

(

−1;3; 4

)

vng góc với mặt phẳng

( )

P :x+2y+3z+ = có phương trình tham số là ? 4 0

A.

1
3 2

4 3

x t
y t
z t

= − +


 = +

 = +


. B.

1
3 2
4 3

x t
y t
z t

= − +


 = −

 = +



. C.

1
2 3
3 4

x t
y t
z t

= −


 = +


 = +


. D.

1
3 2
4 3

x t
y t
z t

= − −


 = +

 = −


Lời giải

Chọn A

Ta có d ⊥

( )

P ⇒ud =nP =

(

1;2;3

)

 

Phương trình tham số đường thẳng d qua M

(

−1;3; 4

)

và có véctơ chỉ phương u =

(

1;2;3

)

là:

1
3 2
4 3

x t
y t
z t

= − +


 = +

 = +


Câu 4. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d qua điểm A

(

−1;2;3

)

và song song với

1 2 3

2 4 5

x− y+ z−

∆ = = có phương trình tham số là

A.

1 2
2 4
3 5

x t
y t
z t

= − +


 = +


 = +


. B.

1 2
2 4
3 5

x t
y t
z t

= +


 = − +


 = − +


. C.

1
2 2

3 5

x t
y t
z t

= − +


 = +

 = +


. D.

2
4 2
5 3

x t
y t
z t

= −

 = +

 = +


Lời giải

Chọn A

(

)

/ / d 2;4;5

d ∆ ⇒u =u∆ =

Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A

(

−1;2;3

)

và có véctơ chỉ phương u=

(

2; 4;5

)

1 2
2 4
3 5

x t
y t
z t

= − +


 = +


 = +



</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

A. 1 2

2 2 1

x y− z−

= =

− . B.

1 1 2

2 2 1

x+ y− z−

= =

− .

C. 1 2

2 2 1

x = y− = z−

. D. 1 2

2 2 1

x = y+ = z+

− .

Lời giải:

Chọn A

Gọi M là trung điểm BC , khi đó M

(

2; 1;3−

)

Đường thẳng AM có véctơ chỉ phương AM =

(

2; 2;1−

)

=u

Phương trình chính tắc đường thẳng AM qua A

(

0;1; 2

)

và có véctơ chỉ phương u=

(

2; 2;1−

)

là: 1 2

2 2 1

x= y− = z−

−

Câu 6. Trong khơng gianOxyz, viết phương trình tham số đường thẳng d qua A

(

1; 2;3

)

và có véctơ
chỉ phương u=

(

3;3;3

)

A.

2
3

x t
y t
z t

= − +


 = − +


 = +


. B.

1
2
3

x t
y t
z t

= −


 = +



 = +


. C. 
1

2
3

x t
y t
z t

= +


 = +


 = +


. D.

3
3 2
3 3

x t
y t
z t

= +

 = +

 = +


Lời giải:

Chọn C

Véctơ

(

1;1;1

)

cùng phương với u=

(

3;3;3

)

nên cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng

d suy ra phương trình tham số đường thẳng qua A

(

1; 2;3

)

có véctơ chỉ phương u1 =

(

1;1;1

)

là

1
2
3

x t
y t
z t

= +



 = +


 = +


Câu 7. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc 1 3

2 2

x y

z

− = − =

Phương trình tham số của đường thẳng d là?

A.

1 2

3 2

x t

y t

z t

= +

 = +

 =


. B. 
2

2 3

x t

y t

z

= +


 = +


 =


. C.

1 2

3 2

x t

y t

z t

= −

 = −

 =


. D.

1 2

3 2

x t

y t

z t

= − +


 = − +


 = −


Lời giải:

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Website: tailieumontoan.com

Đường thẳng : 1 3

2 2

x y

d − = − =z có một véctơ chỉ phương u=

(

2; 2;1

)

và qua điểm M

(

1;3; 0

)

Phương trình tham số đường thẳng d là:

1 2

3 2

x t

y t

z t

= +

 = +

 =


Câu 8. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số :

1 2

3 3

x t
y t
z t

= − +


 = −


 = +


. Phương

trình chính tắc của đường thẳng ∆ là ?

A. 5 2 4.

2 1 5

x− = y+ = z+

− B.

2 1 5

5 2 4

x+ = y− = z+

−

C. 2 1 5.

5 2 4

x+ = y− = z+

− − D.

1 3

2 1 3

x+ = y = z−

− .

Lời giải:

Chọn D

Đường thẳng ∆ có một véctơ chỉ phương u=

(

2; 1;3−

)

và qua điểm M

(

−1; 0;3

)

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: 1 3

2 1 3

x+ = y = z−

− .

Câu 9. Trong không gian$Oxyz$, viết phương trình chính tắc đường thẳng PQ với P

(

1; 2;3

)

và

(

2; 4; 6

)

Q

A. 2 4 6

1 2 3

x− y− z−

= =

− − . B.

1 2 3

x+ y− z+

= = .

C. 2 4 6

1 2 3

x− = y− = z−

. D. 2 4 6

1 2 3

x+ = y+ = z+

Lời giải:

Chọn C

Đường thẳng PQ có một véctơ chỉ phương PQ=

(

1; 2;3

)

=u

Phương trình chính tắc đường thẳng PQ qua Q

(

2; 4; 6

)

và có véctơ chỉ phương u =

(

1; 2;3

)

là

2 4 6

1 2 3

x− = y− = z−

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

A.

3 3

1 2

x t
y t
z t

= +


 = + −



 =


. B.

3 3
1
1

x t
y t
z t

= − +


 = − +


 = − +


. C.

1 3
2
1

x t
y t
z

= +


 = − +


 =


. D.

1 3
2

x t
y t
z t

= +


 = − +


 =


Lời giải:

Chọn D

ABCD là hình bình hành ⇒uCD =CD =BA= − − −

(

3; 1; 1

)

(

3;1;1

)

CD

u= = −u nên cũng là một véctơ chỉ phương của CD

Phương trình tham số đường thẳng CD qua C

(

1; 2; 0−

)

và có véctơ chỉnh phương u=

(

3;1;1

)

là:

1 3
2

x t
y t
z t

= +


 = − +


 =


 Mức độ 2

Câu 1. Trong không gianOxyz, viết phương trình tham số đường thẳng d qua M

(

1; 2;3

)

và vng
góc với mặt phẳng

( )

P :x+2y+3z= và 0

( )

Q :− +x 2y− = 3 0

A.

1 3
2 3
3 2

x t
y t
z t

= −


 = −


 = +


. B.

1 6

2 3
3 4

x t
y t
z t

= −


 = −


 = +


. C.

3 6
2 3
3 4

x t
y t
z t

= − −


 = −


 = +


. D.

1 6
2 3
3 4

x t
y t
z t

= −


 = −


 = −


Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng

( )

P có VTPT nP =

(

1; 2;3

)

Mặt phẳng

( )

Q có VTPT nQ = −

(

1; 2; 0

)

( )

(

)

/ /

; 6; 3; 4
/ /

d P

d P Q

d Q

d P u n

u n n

u n

d Q

  ⊥

 ⇒ ⇒ = = − −

  ⊥  



 



 

  
 

Phương trình tham số đường thẳng d qua M

(

1; 2;3

)

có VTCP u= − −

(

6; 3; 4

)

là:

1 6
2 3
3 4

x t
y t
z t

= −


 = −


 = +



</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Website: tailieumontoan.com
A. 
6 6
3 3
4
x t
y t
z t
= − −

 = −

 =


. B. 
6
6
5
3
3
5
4
x t
y t
z t
 = −



 = − −


=



. C.

6
2
5
3
5
2
x t
y t
z t
 = − −


 = −


=



. D.

6
6
5
3
3
5
4
x t
y t
z t
 = − −


 = −


=


.
Lời giải: 
Chọn D

Gọi

( ) ( )

P ∩ Q = d

Mặt phẳng

( )

P có VTPT nP =

(

1; 2;3

)

Mặt phẳng

( )

Q có VTPT n( )Q = −

(

1; 2; 0

)

( )

(

)

/ /

; 6; 3; 4
/ /

d P

d P Q

d Q

d P u n

u n n

u n
d Q
  ⊂
 ⇒ ⇒ = = − −
  ⊂  

 

 
  

  Xét hệ phương trình 2 3 0

2 3 0

x y z

x y

+ + =


− + − =


Chọn z= , hệ trở thành :0

2 0 5

3 3 0 3

5
x
x y
x y
y
 = −

+ =

 ⇔
− + − = 
  =


Suy ra 6 3; ; 0
5 5

A− 

  thuộc hai mặt phẳng

( )

P và

( )

Q hay A∈ d

Phương trình tham số đường thẳng d là:

6
6
5
3
3
5
4
x t
y t
z t
 = − −


 = −



=



Câu 3. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng : 1 2

2 3

y z
x −

∆ − = = và mặt phẳng

( )

P :x−2y+ = . Phương trình tham số đường thẳng d qua 3 0 A

(

1; 2;3

)

đồng thời vuông góc

với đường thẳng ∆ và song song với mặt phẳng

( )

P là?

A. 
1
2 2
3 3
x t
y t
z t
= +

 = +

 = −


. B.

1 6
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +

 = +

 = −


. C.

1 6
2 3
3 4
x t
y t
z t
= −

 = +

 = −


. D.

1 4
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +

 = +

 = −

.

Lời giải 
Chọn B

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Mặt phẳng

( )

P có một VTPT nP =

(

1; 2; 0−

)

Ta có:

( )

[

;

]

(

6;3; 4

)

/ /

d

d P

d u u

u u n

d P u n

∆

⊥ ∆ ⊥

 

 ⇒ ⇒ = = −

  ⊥

 



 

  
 

Phương trình tham số đường thẳng d qua A

(

1; 2;3

)

và có VTCP u=

(

6;3; 4−

)

là:

1 6
2 3
3 4

x t
y t
z t

= +


 = +


 = −


Câu 4. Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng

( )

P : 2x−3y+5z− = . Phương trình đường thẳng 4 0
∆ đi qua điểm A

(

−2;1; 3− , song song với

)

( )

P và vng góc với trục tung là

A.

2 5

1 .

3 2

x t

y

y t

= − +


 =


 = − +


B.

2 5

1 .

3 2

x t

y

y t

= − +



 =


 = − −


C.

2 5

1 .

3 2

x t

y t

= − −


 = −


 = − +


D.

2 5

1 .

3 2

x t

y

y t

= − +


 =


 = − +


Lời giải

Chọn B

Oycó vectơ chỉ phương j=

(

0;1;0

)

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

2; 3;5−

)



∆ đi qua điểm A

(

−2;1; 3 ,−

)

và có vectơ chỉ phương là a∆ =j n, P=

(

5;0; 2−

)

  

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là

2 5

3 2

x t

y

y t

= − +


 =


 = − −


Câu 5. Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳng 1 2

1 2 1

: , :

3 1 3

x t x t
y t y t
z t z t

= + = − +

 

 

∆  = ∆  = −

 =  = +

 

.Viết phương trình

tham số đường thẳng d qua gốc toạ độ O đồng thời vng góc cả hai đường thẳng ∆ và 1 ∆ 2

A.

x t
y t
z t

=

 =

 = −


. B.

x t
y t
z t

=

 =

 =


. C.

2
1
1

x
y
z

=

 = −

 = −


. D.

x t
y t
z t

=

 = −

 = −


Lời giải.

Chọn D

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Website: tailieumontoan.com

Đường thẳng ∆ có VTCP 2 u2 =

(

1; 1;3−

)



[

]

(

)

1
1

1 2

2 2

; 6; 3; 3

d

d
d

u u
d

u u u
d u u

⊥

⊥ ∆ 



⇒ ⇒ = = − −

 ⊥ ∆  ⊥

 

 

  

  .

Véctơ 1

(

2; 1; 1

)

2 d

u= u = − − cũng là VTCP của d

Phương trình tham số đường thẳng d qua O

(

0; 0; 0

)

và có VTCP u=

(

2; 1; 1− −

)

là:

x t
y t
z t

=

 = −

 = −


Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 1 1

1 3 2

x y z
d − = − = −

− và

1 3

: 2

x t

d y t

z t

= −


 = − +


 = − −


. Phương trình đường thẳng nằm trong

( )

α

:x+2y− − =3z 2 0 và cắt hai đường

thẳng d d1, 2 là:

A. 3 2 1.

5 1 1

x− y+ z+

= =

− − B.

3 2 1

5 1 1

x+ y− z−

= =

− − .

C. 3 2 1.

5 1 1

x+ = y− = z−

− D.

8 3

1 3 4

x+ = y− = z

− .

Lời giải

Chọn A

Gọi d là đường thẳng cần tìm

 Gọi A= ∩d1

( )

(

)

( )

(

)

1 2 ;1 3 ;1 2

1 3; 2; 1

A d A a a a

A α a A

∈ ⇒ − + +

∈ ⇒ = − ⇒ − −
 Gọi B=d2∩

( )

(

)

( )

(

)

2 1 3 ; 2 ; 1

1 2; 1; 2

B d B b b b

B α b B

∈ ⇒ − − + − −
∈ ⇒ = ⇒ − − −

 d đi qua điểm A

(

3; 2; 1− − và có vectơ chỉ phương

)

AB= −

(

5;1; 1−

)

Vậy phương trình chính tắc của d là 3 2 1.

5 1 1

x− = y+ = z+

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 9 1

4 3 1

x y z

d − = − = − và mặt thẳng

( )

P : 3x+4y z− − =2 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng

( )

P đồng thời cắt và

vng góc đường thẳng d

A. 1 2

y
x− = = +z

− B.

1 1

y z
x= = +

− −

C. 1 2

z
x= − =y +

− D.

2
1

1 1

y z

x− = = +

− −

Lời giải.

Chọn B

Mặt phẳng

( )

P có một VTPT nP =

(

3; 4; 1−

)

Đường thẳng d có một VTCP ud =

(

4;3;1

)

Ta có:

( )

P

[

P; d

]

(

7; 7; 7

)

d

u n

P

u n u

u u

d

∆

∆
∆

⊥
∆ ⊃

 

 ⇒ ⇒ = = − −

  ⊥

∆ ⊥

 



 

  
 

Ta chọn u∆ =

(

1; 1; 1− −

)

Theo hình vẽ, đường thẳng ∆ đi qua M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

( )

P .

(

12 4 ;9 3 ;1

)

M∈ ⇒d M + t + t + t

( )

3 12 4

(

) (

4 9 3

) (

)

2 0

M∈ P ⇒ + t + + t − + − = t

t

⇔ = −

Do đó M

(

0; 0; 2−

)

Phương trình đường thẳng ∆ qua M

(

0; 0; 2− và có một VTCP

)

u∆ =

(

1; 1; 1− −

)

là:

1 1 1

x= y = z+

− −

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 2

1 1 1

x+ y− z

∆ = =

− và mặt phẳng

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Website: tailieumontoan.com

A.

3
1 2 .
1

x t
y t
z t

= − +


 = −

 = −


B.

3 3
1 2 .
1

x t
y t
z t

= − −


 = +

 = +


C.

3 2

1 .

x t
y t
z t

= − +


 = −

 = +


D.

1 3
2 3 .
1

x t
y t
z t

= −


 = − +


 = − +


Lời giải.

Chọn A

Gọi M = ∆ ∩

( )

P

(

2 ; 2 ;

)

M∈∆ ⇒M − +t + −t t

( )

(

3;1;1

)

M∈ P ⇒ = − ⇒t M −

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

1; 2; 3−

)

∆ có vectơ chỉ phương a∆ =

(

1;1; 1−

)

Có

(

)

( )

, 1; 2; 1

d P

d

d P a n

a n a

d a a∆ ∆



⊂ ⇒ ⊥   

⇒ = = − −

  

⊥ ∆ ⇒ ⊥ 
 

  
 

d đi qua điểm M

(

−3;1;1

)

và có vectơ chỉ phương là ad



Vậy phương trình tham số của d là

3
1 2 .
1

x t
y t
z t

= − +


 = −

 = −


Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

3 2

: 1

1 4

x t
d y t

z t

= − +


 = −


 = − +


. Phương trình chính

tắc của đường thẳng đi qua điểm A

(

− −4; 2; 4

)

, cắt và vng góc với d là:

A. 3 2 1

4 2 4

x− y− z+

= =

− − . B.

4 2 4

3 2 1

x− y− z+

= =

− .

C. 4 2 4

3 2 1

x+ = y+ = z−

− . D.

4 2 4

3 2 1

x− = y− = z+

− − .

Lời giải:

Chọn C

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi B= ∆ ∩ d

(

)

(

)

3 2 ;1 ; 1 4

1 2 ;3 ; 5 4

B d B t t t

AB t t t

∈ ⇒ − + − − +
= + − − +


d có vectơ chỉ phương ad =

(

2; 1; 4−

)

. 0

d d

d AB a AB a
t

∆ ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =

⇔ =

   

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Vậy phương trình của ∆ là 4 2 4

3 2 1

x+ y+ z−

= =

−

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 2 3

2 1 1

x y z
d − = + = −

− và

1 1 1

1 2 1

x y z
d − = − = +

− . Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A

(

1; 2;3

)

vng góc với d1
và cắt d2 là:

A. 1 2 3.

1 3 5

x− = y− = z−

− − B.

1 2 3

1 3 5

x− = y+ = z+

− −

C. 1 2 3.

1 3 5

x+ y+ z+

= =

− D.

1 3 5

1 2 3

x− y+ z+

= =

− −

Lời giải:

Chọn A

Gọi B= ∆ ∩d2

(

)

(

)

2 1 ;1 2 ; 1

; 2 1; 4

B d B t t t

AB t t t

∈ ⇒ − + − +

= − − −


d có vectơ chỉ phương a1=

(

2; 1;1−

)

1 1 . 1 0

d AB a AB a
t

∆ ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =

⇔ = −

   

∆ đi qua điểm A

(

1; 2;3

)

và có vectơ chỉ phương AB=

(

1; 3; 5− −

)

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 3.

1 3 5

x− y− z−

= =

− −

 Mức độ 3

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 2

: 2 4

x t

d y t

z t

= +


 = − +


 = +


. Hình chiếu song song

của d lên mặt phẳng

( )

Oxz theo phương : 1 6 2

1 1 1

x+ y− z−

∆ = =

− − có phương trình là:

A.

3 2

0 .

1 4

x t

y

z t

= +

 =

 = −


B.

1 2

0 .

5 4

x t

y

z t

= − −


 =

 = −


C. 
3

0 .

1 2

x t

y

z t

= +

 =

 = +


D.

3 2

0 .

x t

y

z t

= −

 =

 = +


Lời giải:

Chọn C

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Website: tailieumontoan.com

Trên

1 2

: 2 4

x t

d y t

z t

= +


 = − +


 = +


chọn M bất kỳ không trùng với M0(5;0;5); ví dụ: (1; 2;3)M − . Gọi A là

hình chiếu song song của M lên mặt phẳng

( )

Oxz theo phương : 1 6 2

1 1 1

x+ y− z−

∆ = =

− − .

+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với : 1 6 2

1 1 1

x+ y− z−

∆ = =

− − .

+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và

( )

Oxz

+/ Ta tìm được (3;0;1)A

Hình chiếu song song của

1 2

: 2 4

x t

d y t

z t

= +


 = − +


 = +


lên mặt phẳng

( )

Oxz theo phương

1 6 2

1 1 1

x+ y− z−

∆ = =

− − là đường thẳng đi qua M0(5;0;5) và A(3;0;1).

Vậy phương trình là:
3

1 2

x t

y

z t

= +

 =

 = +


Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 9 1,

4 3 1

x y z

d − = − = − và mặt thẳng

( )

P : 3x+5y− − =z 2 0. Gọi 'd là hình chiếu của d lên

( )

P .Phương trình tham số của 'd là

A.

62
25 .
2 61

x t
y t
z t

=


 = −


 = − +


B.

62
25 .
2 61

x t
y t
z t

=

 = −

 = +


C.

62
25 .
2 61

x t

y t
z t

= −

 =

 = −


D.

62
25 .
2 61

x t
y t
z t

=

 = −

 = +


Lời giải

Chọn A

Gọi A d= ∩

( )

P

(

)

( )

(

)

12 4 ;9 3 ;1

3 0; 0; 2

A d A a a a

A P a A

∈ ⇒ + + +

∈ ⇒ = − ⇒ −

d đi qua điểm B

(

12;9;1

)

Gọi H là hình chiếu của B lên

( )

P

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

3;5; 1−

)

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

(

)

( )

12 3

: 9 5

12 3 ;9 5 ;1

78 186 15 113

; ;

35 35 7 35

186 15 183

; ;

35 7 35

x t
BH y t

z t

H BH H t t t
H P t H

AH

= +



 = +


 = −


∈ ⇒ + + −

 

∈ ⇒ = − ⇒  − 

 

 

= − 

 



d đi qua A

(

0;0; 2−

)

và có vectơ chỉ phương ad'=

(

62; 25;61−

)

Vậy phương trình tham số của 'd là

62
25
2 61

x t
y t
z t

=

 = −


 = − +


Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 2 1

3 1 2

x+ y− z−

∆ = = và

1 1

1 2 3

x− y z+

∆ = = . Phương trình đường thẳng song song với

: 1

x

d y t
z t

=


 = − +


 = +


và cắt hai

đường thẳng ∆ ∆1; 2 là:

A.

2
3 .
3

x

y t
z t

= −


 = − −


 = − −


B.

2
3 .
3

x
y t
z t

=

 = −

 = −


C.

2
3 .
3

x

y t
z t

= −


 = − +


 = − +


D.

3 .
3

x

y t
z t

=


 = − +


 = +


Lời giải

Chọn B

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi A= ∆ ∩ ∆1,B= ∆ ∩ ∆2

(

)

(

)

(

)

1 3 ;2 ;1 2

1 ;2 ; 1 3

3 2; 2 2; 2 3 2

A A a a a

B B b b b

AB a b a b a b

∈ ∆ ⇒ − + + +
∈ ∆ ⇒ + − +

= − + + − + − − + −


d có vectơ chỉ phương ad =

(

0;1;1

)

/ /d AB a, d

∆ ⇔  cùng phương

⇔ có một số k thỏa AB=k ad

3 2 0 3 2 1

2 2 2 2 1

2 3 2 2 3 2 1

a b a b a
a b k a b k b
a b k a b k k

− + + = − + = − =

  

  

⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ =

− + − = − + − =  = −

  

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Website: tailieumontoan.com

∆ đi qua điểm A

(

2;3;3

)

và có vectơ chỉ phương AB=

(

0; 1; 1− −

)

Vậy phương trình của ∆ là

2
3

x
y t
z t

=

 = −

 = −


Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 2

2 1 1

x y z
d = − = +

− và

1 2

: 1

x t
d y t

z

= − +


 = +

 =


. Phương trình đường thẳng vng góc với

( )

P : 7x+ −y 4z=0 và cắt hai

đường thẳng d d1, 2 là:

A. 2 1.

7 1 4

x− y z+

= =

− B.

7 4

2 1 1

x− y z+

= =

C. 2 1.

7 1 4

x+ = y = z−

− − D.

2 1

7 1 4

x− = =y z+

Lời giải

Chọn A

Gọi d là đường thẳng cần tìm

Gọi A d= ∩d B1, = ∩d d2

(

)

(

)

(

)

2 ;1 ; 2

1 2 ;1 ;3

2 2 1; ; 5

A d A a a a

B d B b b

AB a b a b a

∈ ⇒ − − +

∈ ⇒ − + +

= − + − + − +


( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

7;1; 4−

)

( )

, p

d ⊥ P ⇔ AB n cùng phương

⇔ có một số k thỏa AB=k np

2 2 1 7 2 2 7 1 1

0 2

5 4 4 5 1

a b k a b k a

a b k a b k b

a k a k k

− + − = − + − = =

  

  

⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = −
− + = − − + = −  = −

  

d đi qua điểm A

(

2;0; 1−

)

và có vectơ chỉ phương a d =nP =

(

7;1 4−

)

Vậy phương trình của d là 2 1

7 1 4

x− = =y z+

−

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

(

2; 2;1

)

A − cắt trục tung tại B sao cho OB=2OA.

A. 6 .

2 8 1

x = y+ = z

− − B.

6
.

2 4 1

x = y− = z

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

C. 6

2 4 1

x y− z

= =

− và

6
.

2 8 1

x y+ z

= =

− − D.

3 6 2

5 9 3

x+ y+ z−

= =

− −

Lời giải:

Chọn C

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0; ;0

0;6;0 , 2;4; 1
6

6 0; 6;0 , 2; 8; 1

B Oy B b

B AB

b

OB OA

b B AB

∈ ⇒

 = −

=


= ⇔ = − ⇒ 

− = − −



 




∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB

Vậy phương trình của ∆ là 6

2 4 1

x = y− = z

− và

6
.

2 8 1

x = y+ = z

− −

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆đi qua điểm B

(

1;1;2

)

cắt đường thẳng : 2 3 1

1 2 1

x y z
d − = − = +

− tại C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 
83
2 .

A. 1 1 2

3 2 1

x− = y− = z−

− − và

1 1 2

31 78 109

x− = y− = z−

− B.

6
.

2 4 1

x = y− = z

−

C. 1 1 2.

3 2 1

x− y− z−

= =

− − D.

1 1 2

31 78 109

x− y− z−

= =

−

Lời giải:

Chọn A

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 ;3 2 ; 1

1;1;2

, 5 7; 5;1 3

2 3; 2; 1
1

, 4 31 78 109

2 ; ;

35 35 35 35

OBC

C d C t t t

OC t t t

OB

OB OC t t t

t BC

S OB OC

t BC

∆

∈ ⇒ + − − +

= + − − +
=

  = − + −

 

 = ⇒ = − −


 

=   ⇔ −  

= ⇒ = − 

  





 



∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC

Vậy phương trình của ∆ là 1 1 2

3 2 1

x− y− z−

= =

− − và

1 1 2

31 78 109

x− y− z−

= =

−

Câu 7. Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 1 2

1 1 1

x y z
d − = − = −

− − và

2: 3

x t
d y

z t

=

 =


 = − +


</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Website: tailieumontoan.com

A.

2 3
1 2 .
2 5

x t
y t
z t

= +

 = −

 = −


B.

3
3 2 .
1

x t
y t
z t

= +


 = −


 = −


C. 
2

1 2 .

x t

y t

z t

= +

 = +

 = −


D.

3
3 .
1

x t
y
z t

= +

 =

 = −


Lời giải:

Chọn C

Gọi d là đường thẳng cần tìm

Gọi A= ∩d d B1, = ∩d d2

(

)

(

)

(

)

2 ;1 ; 2
;3; 2

2; 2; 4

A d A a a a
B d B b b
AB a b a a b

∈ ⇒ + − −

∈ ⇒ − +

= − + − + + −



d có vectơ chỉ phương a1=

(

1; 1; 1− −

)

d có vectơ chỉ phương a2 =

(

1;0;1

)

(

) (

)

1 1 1

2 2 2

. 0 0

2;1;2 ; 3;3;1

. 0

d d AB a AB a a

A B

d d AB a AB a b

 

⊥ ⊥ = =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒

 ⊥    =

⊥ = 

  

   
   

d đi qua điểm A

(

2;1; 2

)

và có vectơ chỉ phương a d = AB=

(

1;2; 1−

)

Vậy phương trình của d là 
2

1 2 .

x t

y t

z t

= +

 = +

 = −


Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 1,

1 2 1

x y z
d − = − = −

− mặt cầu

( ) (

) (

)

: 1 3 1 29

S x− + y+ + +z = và A

(

1; 2;1−

)

. Đường thẳng ∆ cắt d và

( )

S lần lượt tại

M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là

A. 1 2 1

2 5 1

x− = y+ = z−

− và

1 2 1

7 11 10

x+ = y− = z+

−

B. 1 2 1

2 5 1

x+ y− z+

= =

− và

1 2 1

7 11 10

x− = y+ = z−

−

C. 1 2 1

2 5 1

x+ = y− = z+

− và

1 2 1

7 11 10

x+ = y− = z+

− .

D. 1 2 1

2 5 1

x− y+ z−

= =

− và

1 2 1

7 11 10

x− = y+ = z−

−

Lời giải:

Chọn D

(

2 ;1 2 ;1

)

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

A là trung điểm MN ⇒N

(

− − −t; 5 2 ;1t + t

)

( )

(

)

(

)

(

)

1 4; 10;2 2 2;5; 1

6 14 20 0 10 14 22 20 2

; ; 7;11; 10

3 3 3 3 3

t MN

N S t t

t MN

 = ⇒ = − − = − −


∈ ⇒ + − = ⇒ = − ⇒  

= − = −

  





∆ đi qua điểm A

(

1; 2;1−

)

và có vectơ chỉ phương a ∆=MN

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 1

2 5 1

x− = y+ = z−

− và

1 2 1

7 11 10

x− = y+ = z−

−

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P :x−2y+2z− = và hai điểm 5 0

(

3;0;1 , 1; 1;3 .

) (

)

A − B − Trong các đường thẳng đi qua A và song song với

( )

P , đường thẳng

mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

A. 2 1 3.

26 11 2

x− y+ z−

= =

− B.

3 1

26 11 2

x+ y z−

= =

− .

C. 3 1.

26 11 2

x− = y = z+

− D.

2 1 3

26 11 2

x+ = y− = z+

− .

Lời giải:

Chọn B

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm

Gọi mặt phẳng

( )

Q qua A

(

−3;0;1

)

và song song với

( )

P . Khi đó:

( )

Q :x−2y+2z+ = 1 0

Gọi ,K H lần lượt là hình chiếu của B lên ∆, Q

( )

. Ta có d B

(

,∆ =

)

BK≥BH. Do đó AH là
đường thẳng cần tìm.

( )

Q có vectơ pháp tuyến nQ =

(

1; 2; 2−

)

BH qua B và có vectơ chỉ phương a BH =nQ=

(

1; 2; 2−

)

(

)

( )

: 1 2

3 2

1 ; 1 2 ;3 2

10 1 11 7

; ;

9 9 9 9

x t
BH y t

z t

H BH H t t t
H P t H

= +


 = − −


 = +


∈ ⇒ + − − +

 

∈ ⇒ = − ⇒ − 

 

∆ đi qua điểm A

(

−3;0;1

)

và có vectơ chỉ phương 26 11; ; 2 1

(

26;11; 2

)

9 9 9 9

a∆ = AH = − = −

 

 

Vậy phương trình của ∆ là : 3 1

26 11 2

x+ y z−

∆ = =

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Website: tailieumontoan.com

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3 2 1

2 1 1

x y z

d − = + = +

− , mặt phẳng

( )

P :x+ + + = . Gọi M là giao điểm của d và y z 2 0

( )

P . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong

( )

P vng góc với d và cách M một khoảng bằng 42. Phương trình đường thẳng ∆ là.

A. 3 4 5

2 3 1

x+ = y+ = z−

và 3 4 5.

2 3 1

x+ = y+ = z−

B. 5 2 5.

2 3 1

x− = y+ = z+

−

C. 3 4 5.

2 3 1

x+ = y+ = z−

−

D. 5 2 5

2 3 1

x− = y+ = z+

− và

3 4 5

2 3 1

x+ = y+ = z−

−

Lời giải:

Chọn D

Gọi M = ∩d

( )

P

(

)

( )

(

)

3 2 ; 2 ; 1

1 1; 3;0

M d M t t t

M P t M

∈ ⇒ + − + − −

∈ ⇒ = − ⇒ −

( )

P có vecttơ pháp tuyến nP =

(

1;1;1

)

d có vecttơ chỉ phương ad =

(

2;1; 1−

)

∆có vecttơ chỉ phương a∆ =a n d, P=

(

2; 3;1−

)

Gọi N x y z là hình chi

(

; ;

)

ếu vng góc của M trên ∆, khi đó MN=

(

x−1;y+3;z

)

Ta có:

( )

(

) (

)

2 2

2 3 11 0

2 0

1 3 42

MN a x y z
N P x y z

x y z
MN

∆ 

 ⊥ − + − =




∈ ⇔ + + + =

 

  − + + + =

 

 

Giải hệ ta tìm được hai điểm N

(

5; 2; 5− − và

)

N

(

− −3; 4;5

)

Với N

(

5; 2; 5− − , ta có

)

: 5 2 5

2 3 1

x− y+ z+

∆ = =

−

Với N

(

− −3; 4;5

)

, ta có : 3 4 5

2 3 1

x+ y+ z−

∆ = =

−

Câu 11 . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A

(

1; 1;2−

)

, song song với

( )

P : 2x− − + = , đồng thời tạo với đường thẳng y z 3 0 : 1 1

1 2 2

x+ y− z

∆ = =

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

A. 1 1 2.

4 5 7

x− y+ z+

= =

− B.

1 1 2

1 5 7

x− y+ z−

= =

− .

C. 1 1 2.

4 5 7

x− y+ z−

= = D. 1 1 2.

1 5 7

x− y+ z−

= =

− − .

Lời giải:

Chọn B

∆ có vectơ chỉ phương a∆ =

(

1; 2; 2−

)

d có vectơ chỉ phương ad =

(

a b c; ;

)

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

2; 1; 1− −

)

Vì d / /

( )

P nên a d ⊥nP ⇔a n d. P = ⇔0 2a b c− − = ⇔ =0 c 2a b−

(

)

(

2

)

2 2

2 2

5 4 1 5 4

cos ,

3 5 4 2

a b a b

d

a ab b

− −

∆ = =

− +

Đặt t a
b

= , ta có:

(

)

(

)

2
5 4
1

cos ,

3 5 4 2

t
d

t t

−
∆ =

− +

Xét hàm số

( )

(

)

2
5 4

5 4 2

t
f t

t t

−
=

− + , ta suy ra được:

( )

1 5 3
max

5 3

f t = f − =

 

Do đó: max cos

(

)

5 3 1 1

27 5 5

a

d t

b

∆ = ⇔ = − ⇒ = −

 

 

Chọn a= ⇒ = −1 b 5,c= 7

Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1 2

1 5 7

x− = y+ = z−

−

Câu 12 . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A

(

3; 1;1−

)

, nằm trong mặt phẳng

( )

P :x− + − = , đồng thời tạo với y z 5 0 : 2

1 2 2

x y− z

∆ = = một góc 450. Phương trình đường

thẳng d là

A.

3 7
1 8 .
1 15

x t
y t
z t

= +


 = − −


 = − −


B.

3
1 .
1

x t
y t
z

= +


 = − −


 =


C.

3 7
1 8 .

1 15

x t
y t
z t

= +


 = − −


 = −


D.

3
1
1

x t
y t
z

= +


 = − −


 =


và

3 7
1 8 .
1 15

x t
y t
z t

= +


 = − −


 = −


Lời giải:

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Website: tailieumontoan.com

∆ có vectơ chỉ phương a∆ =

(

1; 2; 2

)

d có vectơ chỉ phương ad =

(

a b c; ;

)

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

1; 1;1−

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

0 0

2 2 2

2 2 2 2

; 1

, 45 cos , cos 45

2 2 2

2
3

2 2 2 9 ; 2

d P

d P a n b a c

d d

a b c
a b c

a b c a b c

⊂ ⇒ ⊥ ⇔ = +

∆ = ⇔ ∆ =

+ +

⇔ =

+ +

⇔ + + = + +

 

Từ

( )

1 và

( )

2 , ta có:14 2 30 0 0

15 7 0

c

c ac

a c

=

+ = ⇔ 

+ =



Với c=0, chọn a= =b 1, phương trình đường thẳng d là

3
1
1

x t
y t
z

= +


 = − −


 =


Với 15a+7c=0, chọn a= ⇒ = −7 c 15;b= −8, phương trình đường thẳng d là

3 7
1 8
1 15

x t
y t
z t

= +


 = − −


 = −


Câu 13 . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 2,

2 1 1

x y z

d − = = + mặt phẳng

( )

P : 2x− − + = và y z 5 0 M

(

1; 1;0−

)

. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt d và tạo với

( )

P

một góc 0

30 . Phương trình đường thẳng ∆ là.

A. 2 2

1 1 2

x+ y z−

= =

− và

4 3 5

5 2 5

x+ = y+ = z+

B. 1 1

1 1 2

x− = y+ = z

− và

1 1

23 14 1

x− y+ z

= =

−

C. 2 2

1 1 2

x− y z+

= =

− và

4 3 5

5 2 5

x− = y− = z−

D. 2 2

1 1 2

x+ = =y z−

− và

4 3 5

5 2 5

x− = y− = z−

Lời giải:

Chọn B

Gọi N = ∆ ∩d

(

2 2 ; ; 2

)

N∈ ⇒d N + t t − + t

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

2; 1; 1− −

)

( )

. 0

(

1;1 2

)

sin , 9 23 14 1

. ; ;

5 5 5 5

P

t MN
MN n

d P

MN n t MN

 = ⇒ = −



= ⇔

 

   = ⇒ = − 

 

  




 

  

∆ đi qua điểm M

(

1; 1;0−

)

và có vectơ chỉ phương a d =MN

Vậy phương trình của ∆ là 1 1

1 1 2

x− = y+ = z

− và

1 1

23 14 1

x− = y+ = z

−

 Mức độ 4

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 2

1 2 2

x+ y− z+

∆ = =

− và hai điểm

(

1;1; 0 ,

) (

3; 1; 4

)

A B − Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M

(

−1;1; 2− .

)

B. M

(

1; 1; 2−

)

. C. 3 3; ; 3
2 2

M− − 

 . D.

1 1
; ;1
2 2

M − 

 .

Lời giải

Chọn B

Ta có: cùng phương với u=

(

1; 1; 2−

)

và A

(

1;1; 0

)

∉ ∆ (do 1 1 1 1

1 1

+ −

≠
− )

/ /

AB AB

⇒ ∆ ⇒ và ∆ đồng phẳng

 Xét mặt phằng chứa AB và ∆ :

Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua ∆ ;

( )

α là mặt phẳng qua A , vng góc với ∆ 
Khi đó, giao điểm H của ∆ với

( )

α là trung điểm của AA′ .

( )

α có phương trình x− +y 2z=0

Giả sử H

(

− +1 t;1− − +t; 2 2 ,t

)

H∈

( )

α ⇔ = ⇒t 1 H

(

0; 0; 0

)

(

2; 2; 4

)

AB −

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Website: tailieumontoan.com

H là trung điểm của AA′⇒A′

(

− −1; 1; 0

)

Ta có

(

)

min

MA MB+ =MA′+MB≥ A B′ ⇒ MA MB+ =A B′ khi và chỉ khi M ≡Mo là giao

điểm của A B′ và ∆ .

Đường thẳng A B′ đi qua A′

(

− −1; 1; 0

)

, có phương trình

1
1

x t
y

z t

′
= − +


 = −

 = ′


Mà

: 1

2 2

x t
y t
z t

= − +



∆  = −

 = − +


Giải hệ phương trình

1 1

2 2

t t
t
t

t
t t

′
− + = − +

 ′ =



 − = − ⇔

  =


− + = ′



(

1; 1; 2

)

o
M

⇒ −

Vậy, để MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất thì M

(

1; 1; 2−

)

Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu

( ) ( )

S1 , S2 có phương trình lần lượt là

( )

2 2 2 2 2 2

1 : 25; ( 2) : ( 1) 4.

S x +y +z = S x +y + −z = Một đường thẳng d vng góc với véc tơ

(1; 1; 0)

u= − tiếp xúc với mặt cầu

( )

S2 và cắt mặt cầu

( )

S theo m1 ột đoạn thẳng có độ dài bằng

8 . Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của ?d

A. u1=

(

1;1; 3

)

. B. u3 =(1;1; 0). C. u2 =

(

1;1; 6

)

. D. u4 =

(

1;1;− 3

)

Lời giải

Chọn B

Hai mặt cầu (S1),(S2) có tâm lần lượt là là gốc toạ độ O, điểm I(0;0;1) và bán kính lần lượt là

1 5; 2 2

R = R = .

Gọi A là tiếp điểm của d và (S2), ta có IA = R2 = 2.

Vì d cắt

( )

S theo m1 ột đoạn thẳng có độ dài bằng 8 nên

2
2

(O; d) 25 16 3.

d = R −   = − =

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Vì d ⊥ ⇒u ud =(1;1; ),x
 

ta có:

( , ) 1 2 OA 3 , ,

OI+IA≥OA≥d O d → + ≥ ≥ ⇒O I A thẳng hàng.

3 (0; 0;3) (0; 0;3).

OA

OA OI OI A
OI

= = = ⇒

  

Do đó

, 3 2

( ; ) 3 0 (1;1; 0).

d

d
OA u

d O d x u

u x

 

 

= = = ⇔ = ⇒ =

+
 




Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M

(

−3;3; 3− thuộc mặt phẳng

)

( )

α : 2x−2y+ + = và mặt cầu z 15 0

( ) (

S : x−2

) (

2+ y−3

) (

2+ z−5

)

2 =100. Đường thẳng ∆

qua M, nằm trên mặt phẳng

( )

α cắt

( )

S tại A B, sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương
trình đường thẳng ∆ .

A. 3 3 3

1 4 6

x+ y− z+

= = . B. 3 3 3

1 1 3

x+ y− z+

= = .

C. 3 3 3

16 11 10

x+ y− z+

= =

− . D.

3 3 3

5 1 8

x+ y− z+

= = .

Lời giải

Chọn A

Ta có: Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

2;3;5

)

, bán kính R= . 10

( )

(

)

( )

2 2

2.2 2.3 5 15

, 6

2 2 1

d I α = − + + = <R

+ − + ⇒

( ) ( )

α ∩ S =C H r

(

;

)

,H là hình chiếu của I lên

( )

α .

Gọi ∆ 1 là đường thẳng qua I và vng góc với

( )

α ⇒ ∆ có VTCP là 1

(

)

1 2; 2;1

u∆ = −



⇒PTTS 1

2 2

: 3 2

x t

y t

z t

= +


∆  = −

 = +


. Tọa độ H là nghiệm của hệ:

2 2

3 2

2 2 15 0

x t

y t

z t

x y z

= +


 = −


 = +


 − + + =


2
7
3

x
y
z

= −


⇒ =

 =


(

2; 7 ;3

)

H

⇒ − .

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Website: tailieumontoan.com

Đường thẳng MH đi qua M

(

−3;3; 3− và có VTCP

)

MH=

(

1; 4; 6

)

.
Suy ra phương trình : 3 3 3.

1 4 6

x+ y− z+

∆ = =

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

(

1; 2;3 ,

) (

B 1; 2; 0

)

và M

(

−1;3; 4

)

. Gọi d là đường

thẳng qua B vng góc với AB đồng thời cách M một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ

phương của d có dạng u

(

2; ;a b

)

. Tính tổng a b+ .

A. 1 B. 2 C. − 2. D. − 1.

Lời giải

Chọn D

* Cách 1.

(

0; 0; 3

)

AB= −



(

2; ;

)

d

u= a b .

* d ⊥ AB⇒ AB u. d = ⇔ =0 b 0

(

2; ; 0

)

d

u a

⇒=

* BM= −

(

2;1; 4

)

(

)

, d 4 ;8; 2 2

BM u a a

 

⇒ = − − −

(

)

, d

d
BM u

d d M d

u

 

 

⇒ = =

 


(

)

2 2

16 64 2 2 20 8 68

4 4

a a a a

a a

+ + + + +

= =

+ +

( )

5 2 17

2. 2

a a

f a
a

+ +

= =

Xét

( )

5 2 17
4

a a

f a

a

+ +
=

( )

(

)

2
2

2 6 8

4
4

a

a a

f a

a
a

= −


− + +

′ = = ⇔ 

=


Vì hàm f a liên t

( )

ục trên  nên f a có GTNN

( )

{

f

( ) ( )

−1 ,f 4

}

( )

1 4,

( )

4 5, 25

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Vậy dmin ⇔ f a

( )

đạt GTNN ⇔ = − a 1

a b C

⇒ + = − ⇒

* Cách 2.

d ⊥ AB nên d nằm trong mặt phẳng (P) qua B và vng góc AB=

(

0; 0; 3−

)

Có phương trình: 0

(

x− +1

) (

0 y− −2

) (

3 z− = 0

)

hay

( )

P :z= ⇒0

( )

P trùng

(

xOy

)

Khoảng cách từ M

(

−1;3; 4

)

đến

( )

P nhỏ nhất khi và chỉ khi

( )

d đi qua H là hình chiếu của

(

1;3; 4

)

M − xuống

(

xOy

)

⇒H

(

−1;3; 0

)

Vậy

( )

d có vtcp là BH= −

(

2;1; 0

)

Gt cho

( )

d có vtcp dạng u

(

2; ;a b

) (

//− 2; 1; 0−

)

1, 0 1

a b a b C

⇒ = − = ⇒ + = − ⇒ .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M

(

2; 2; 3− và

)

N

(

−4; 2;1

)

. Gọi ∆ là
đường thẳng đi qua M, nhận vecto u=

(

a b c; ;

)

làm vectơ chỉ phương và song song với mặt

phẳng

( )

P : 2x+ + = sao cho khoảng cách từ N đến y z 0 ∆ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết a , b là

hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó a b c+ + bằng:

A. 15 . B. 13 . C. 16 . D. 14.

Lời giải:

Chọn A

Gọi

( )

Q là mặt phẳng đi qua M

(

2; 2; 3− và song song với mặt phẳng

)

( )

P .

Suy ra

( )

Q : 2x+ + − = . y z 3 0

Do ∆ // P

( )

nên ∆ ⊂

( )

Q .

(

)

d N ∆ đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ ∆ đi qua N′ , với N′ là hình chiếu của N lên

( )

Q .

Gọi d là đường thẳng đi qua N và vng góc

( )

P ,

4 2

: 2

x t

d y t

z t

= − +


 = +

 = +


Ta có N′∈ ⇒d N′ − +

(

4 2 ; 2t +t;1+ ; t

)

( )

N′∈ Q ⇒ =t 4 10 7; ;
3 3 3

N′ 

⇒ − 

 .

(

; ;

)

u = a b c cùng phương 10 4 16; ;

3 3 3

MN′ = − 

 



Do a , b nguyên tố cùng nhau nên chọn u= −

(

5; 2;8

)

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Website: tailieumontoan.com

Câu 6. Trong không gianOxyz, cho đường thẳng 1

: 2

1 2

x t

d y t

z t

= +


 = +


 = − −


và 2: 2 2 2

4 3 1

x y z
d − = − = −

− − . Gọi d

là đường thẳng vng góc chung của d và 1 d , 2 M a b c thu

(

; ;

)

ộc d, N

(

4; 4;1

)

. Khi độ dài MN
ngắn nhất thì a+ +b c bằng?

A. 5. B. 9. C. 4. D. 6.

Lời giải:

Chọn B

Gọi P

(

2+t; 2+ − −t; 1 2t

)

∈ và d1 Q

(

2 4 ; 2 3 ; 2+ t′ − t′ − . t′

)

Ta có: a=

(

1;1; 2−

)

, b=

(

4; 3; 1− −

)

và PQ=

(

4t′− − − − + +t; 3t′ t; t′ 2t 3

)

Khi đó: . 0 4

(

) (

(

) (

2 3

)

)

4 4 3 3 1 2 3 0

. 0

t t t t t t

a PQ

t t t t t t

b PQ

′ ′ ′

 =  − − − − − + + =

 ⇔

  ′ ′ ′

− − − − − − + + =

= 

 


 

  .

3 6 6 0

26 3 3 1

t t t

′− = ′=

 

⇔ ⇔

′ − = = −

  .

Suy ra P

(

1;1;1

)

và Q

(

2; 2; 2

)

⇒PQ=

(

1;1;1

)

Nên

: 1

x t

d y t

z t

= +

 = +

 = +


Gọi M

(

1+t;1+t;1+ nên t

)

NM = −

(

t 3;t−3;t

)

Do đó:

(

) (

)

2 2 2

(

)

3 3 3 12 18 3 2 6 6

NM = t− + −t + =t t − t+ = t− + ≥ .

Đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng 6 khi t =2.

Suy ra M

(

3;3;3

)

⇒ + + = . a b c 9

Câu 7. Trong không gianOxyz, cho điểm A

(

0;1;9

)

và mặt cầu

( ) (

S : x−3

) (

2+ y−4

) (

2+ −z 4

)

2 =25.

Gọi

( )

C là giao tuyến của

( )

S với mặt phẳng

(

Oxy . L

)

ấy hai điểm M N, trên

( )

C sao cho

2 5

MN = . Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào

trong số các điểm dưới đây?

A.

(

5;5; 0 ..

)

B. 1; 4; 0 .
5

− 

 

  . C.

(

4; 6; 0 ..

)

D. 
12

; 3; 0 .
5

 − 

 

  .

Lời giải:

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

3; 4; 4

)

, bán kính R= . Gọi 5 r C là bán kính đường trịn

( )

C .

Gọi H là tâm đường tròn

( )

C ⇒H

(

3; 4; 0 ,

)

IH ⊥

(

Oxy

)

, d I Oxy

(

)

= . 4

2 2

5 4 3

C

r = − = , OH =5⇒ nằm ngồi đường trịn O

( )

C , d A Oxy

(

)

= 9

(

)

(

)

, .

OAMN OMN

V = d A Oxy S = 3 3.1

(

)

. 3 5.

(

)

OMN

S = d O MN MN= d O MN

Suy ra Vmax ⇔d O MN

(

)

max

Mà d O MN

(

)

( )

5 3 5 7

OH HK

≤ + = + − = . (Với K là trung điểm MN )

Dấu bằng xảy ra khi OH MN⊥ . Khi đó MN có 1 véc tơ chỉ phương là

(

)

(

)

(

)

; 4; 3; 0 , 3; 4; 0 , 0; 0;1

OH k OH k

  = − = =

    và đi qua trung điểm K của MN .

7 21 28

; ; 0

5 5 5

OK = OH ⇒ K 

 

 

Phương trình đường thẳng

21
4
5
28

: 3

5
0

x t

MN y t

z

 = +




 = −



=



(

)

5 5;5; 0

t=

→

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

(

−3; 0;1

)

, B

(

1; 1;3−

)

và mặt phẳng

( )

P :x−2y+2z− = . Đường thẳng 5 0

( )

d đi qua A, song song với mặt phẳng

( )

P sao cho

khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

(

1; ;

)

u= b c . Khi đó b

c bằng

A. b =11. B. b =3. C. b = −3. D. b = −11.

K

M

N

H

O

M'

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Website: tailieumontoan.com

Lời giải:

Chọn D

Gọi

( )

Q là mặt phẳng đi qua A

(

−3; 0;1

)

và song song với

( )

P ⇒n Q =nP =

(

1; 2; 2−

)

Phương trình mặt phẳng

( )

Q :x−2y+2z+ = . 1 0

Vì đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng

( )

P nên d ⊂

( )

Q .
Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của B lên đường thẳng d và mặt phẳng

( )

Q .

Khi đó d B d

(

( )

)

=BH ≥BK. Suy ra

(

)

min

d B d =BK ⇔H ≡ . K

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua B và vng góc với mặt phẳng

( )

Q ⇒u ∆ =nP =

(

1; 2; 2−

)

Phương trình tham số

: 1 2

3 2

x t
y t
z t

= +



∆  = − −
 = +


. Lấy H

(

1+ − −t; 1 2 ;3 2t + t

)

∈ ∆ .

Vì H∈

( )

Q nên

(

) (

2 1 2

) (

2 3 2

)

1 0 10
9

t t t t

+ − − − + + + = ⇔ = − .

Suy ra 1 11 7; ;
9 9 9

H− 

 . Khi đó

26 11 2 26 11 2

; ; 1; ;

9 9 9 9 26 26

AH = − =  − 

   



Suy ra một vec tơ chỉ phương của d là 1;11; 2
26 26

d

u = − 

 

 11 2

26 26

b c

⇒ = = − .

Vậy 11

b

c = − .

Câu 9. Trong không gianOxyz, cho tam giác ABC có A

(

2;3;3

)

, phương trình đường trung tuyến kẻ

từ B là 3 3 2

1 2 1

x− y− z−

= =

− − , phương trình đường phân giac trong góc C là

2 4 2

2 1 1

x− y− z−

= =

− − . Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là

A. u=

(

2;1; 1−

)

. B. u=

(

1; 2;1

)

. C. u=

(

0;1; 1−

)

. D. u=

(

1; 1; 0−

)

Lời giải:

Chọn C

Gọi d và 1 d l2 ần lượt là phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B và đường phân giác

trong góc C .

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

: 3 2

x t

d y t

z t

= −



⇒  = +

 = −


và 2

2 2

: 4

x t

d y t

z t

′
= +


 = − ′


 = − ′


Gọi M là trung điểm AC ⇒M∈ ⇒d1 M

(

3−t;3 2 ; 2+ t − . t

)

Vì C∈ ⇒d2 C

(

2 2 ; 4+ t′ −t′; 2− . Mà vì t′

)

M là trung điểm AC

2 2 2(3 ) 2 2 2 4 2

0
4 2(3 2 ) 3 4 3 4

2 2(2 ) 3 2 1 2

t t t t

t

t t t t

t

t t t t

′ ′

+ = − − + = −

 

=


 ′  ′

⇒ − = + − ⇔ − = + ⇔ ′ =

 − =′ − −  − = −′

 

(

3;3; 2

)

M

⇒ và C

(

4;3;1

)

Gọi

( )

P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d . 2

(

) ( )

2 2; 1; 1 : 2.( 2) ( 3) (z 3) 0 2 2 0

P d

n u P x y x y z

⇒ = = − − ⇒ − − − − − = ⇔ − − + = .

Gọi N là điểm đối xứng với A qua d 2 ⇒ ∈N

( )

BC và N∈

( )

P .

Gọi I là trung điểm của AN⇒ =I d2∩

( )

P ⇒ =I

(

2; 4; 2

)

⇒N

(

2;5;1

)

Dễ thấy N∈ khi d2 t = . 1 ⇒N ≡ . Vậy B (2;3;3)

(

0;1; 1 .

)

(2;5;1)

A

AB
B



⇒ = −






Câu 10. Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng 1: 1 1,

1 1 2

x y z
d = − = −

− 2

1 3

2 4 2

x y z
d − = = −

− − . Viết

phương trình đường phân giác của những góc tù tạo bởi d d . 1, 2

A. 1 3

3 5 4

x− y z−

= =

− − . B.

1 3

1 1 1

x− y z−

= =

− . C.

1 1

2 1 1

x y− z−

= = . D. 1 3

2 1 1

x− y z−

= =

Lời giải:

Chọn D

Ta viết phương trình tham số của 1

(

)

2

(

)

1 2

: 1 , : 4

1 2 3 2

x t x s

d y t t d y s s

z t z s

= = −

 

 = − ∈  = − ∈

 

 = +  = +

 

  .

Tìm giao điểm của hai đường thẳng d và 1 d . 2

Ta có

1 2

1 4

0
1 2 3 2

t s

t

t s

s

t s

= −


=

 − = − ⇔

  =


 + = +



suy ra I

(

1; 0;3

)

là giao điểm của hai đường thẳng d và 1 d . 2

Lấy A

(

0;1;1

)

∈ ⇒d1 IA= 6. Gọi B

(

1 2 ; 4 ;3 2− s − s + s

)

∈ sao cho d2 IB= 6.

Ta có 6 4 2 16 2 4 2 6 2 1 1.

4 2

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Website: tailieumontoan.com

Vậy có 2 điểm thỏa mãn

(

)

(

)

0; 2; 4

2; 2; 2

B

−



 .

Với B

(

0; 2; 4−

)

ta có IA

(

−1;1; 2 ,−

) (

IB − −1; 2;1

)

⇒ IA IB . = − < ⇒3 0 AIB là góc tù

Theo yêu cầu bài tốn ta viết phương trình của đường phân giác của góc AIBvới B

(

0; 2; 4−

)

(khơng cần xét trường hợp kia) .

Gọi Mlà trung điểm của AB suy ra 0; 1 5;
2 2

M − 

 , khi đó phương trình đường phân giác cần

tìm là phương trình đường thẳng đi qua hai điêm I

(

1; 0;3

)

và 0; 1 5;
2 2

M − 

 .

Ta có 1; 1; 1

2 2

IM = − − − 

 



, chọn u = −2IM⇒ =u

(

2;1;1

)

làm vectơ chỉ phương của đường

phân giác. Vậy đường phân giác đi qua điểm I

(

1; 0;3

)

và nhận u=

(

2;1;1

)

làm vectơ chỉ

phương có phương trình chính tắc là: 1 3

2 1 1

x− y z−

= = .

Nhận xét: Có thể tìm vectơ chỉ phương của đường phân giác như sau:

Ta có u1=

(

1; 1; 2 ;−

)

u2=

(

2; 4; 2−

)

lần lượt là véctơ chỉ phương của hai đường thẳng d và 1 d . 2

Vì u u 1. 2= − <6 0 nên góc giữa hai vectơ đó là góc tù.

Xét u1=

(

1; 1; 2 ;−

)

u2=

(

2; 4; 2−

)

Ta có u1 = 6, u2 =2 6.

Đặt 1

1 1 1 2

; ;

6 6 6 6

a= u = − 

 

 

; 2

1 1 2 1

; ;

2 6 6 6 6

b= u = − 

 

 

Ta có 2 ; 1 ; 1
6 6 6

a+ = b  

 

 

nên có thể chọn u=

(

2;1;1

)

là vectơ chỉ phương của đường phân

</div>

Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ oxyz

<b>Tailieumontoan.com </b>

<b> </b>

<b>Điện thoại (Zalo) 039.373.2038</b>

<b> </b>

<b>CHUYÊN ĐỀ </b>

<b>V</b>

<b>IẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG </b>

<b>THẲNG TRONG OXYZ </b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

α

( )

α

(

)

( )

α

( )

α

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)