PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
§6.
PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. Phân
thức đối của phân thức
A
−A
là phân thức
B
B
- Muốn trừ phân thức
của
A
C
A
cho phân thức , ta cộng
với phân thức đối
B
D
B
C A C A C
: − = +−
D B D B D
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a.
c.
y
15 y − 25 x
− 2
2
xy − 5 x
y − 25 x 2
3x + 2
6
3x − 2
− 2
− 2
2
x − 2x + 1 x −1 x + 2x + 1
b.
5
4 − 3x2
−
−3
2 x2 + 6 x x2 − 9
d.
x 2 + 3xy + 2 y 2
x 2 − 5 xy + 4 y 2
−
5 x 2 − 7 xy + 12 y 2 −2 x 2 + 4 xy − 2 y 2
Hướng dẫn giải:
a.
y
15 y − 25 x
y
15 y − 25 x
− 2
=
+
2
2
2
xy − 5 x
y − 25 x
xy − 5 x
25 x 2 − y 2
=
y
15 y − 25 x
−y
15 y − 25 x
+
=
+
x ( y − 5 x ) ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y ) ( 5 x − y )( 5 x + y )
MTC = x ( 5 x − y )( 5 x + y )
− y ( 5x + y )
(15 y − 25 x ) x
−y
15 y − 25 x
+
=
+
x ( 5 x − y ) ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y )( 5 x + y )
(
− 25 x 2 − 10 xy + y 2
−5 xy − y 2
15 xy − 25 x 2
=
+
=
x ( 5 x − y )( 5 x + y ) x ( 5 x − y )( 5 x + y )
x ( 5 x − y )( 5 x + y )
=
− (5x − y )
2
x ( 5 x − y )( 5 x + y )
=
)
y − 5x
.
x (5x + y )
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 82
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
b.
5
4 − 3x 2
5
3x 2 − 4
−
−
3
=
+
+ ( −3 )
2 x2 + 6x x2 − 9
2 x ( x + 3) ( x − 3 )( x + 3)
MTC = 2 x ( x + 3)( x − 3) .
5
3x 2 − 4
+
+ ( −3)
2 x ( x + 3) ( x − 3)( x + 3)
5 ( x − 3)
(
)
=
( −3) .2 x ( x + 3)( x − 3)
2 x ( x + 3)( x − 3) 2 x ( x + 3)( x − 3)
2 x ( x + 3)( x − 3)
=
5 x − 15
6 x3 − 8 x
−6 x 2 + 54 x
+
+
2 x ( x + 3)( x − 3) 2 x ( x + 3)( x − 3) 2 x ( x + 3)( x − 3 )
2 x 3x 2 − 4
+
+
6 x 3 − 6 x 2 + 59 x − 15
=
2 x ( x + 3)( x − 3)
c.
− ( 3x − 2 )
3x + 2
6
3x − 2
3x + 2
−6
− 2
− 2
=
+
+
2
x − 2 x + 1 x − 1 x + 2 x + 1 ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2
2
MTC : ( x + 1) ( x − 1)
2
3x + 2
+
2
− ( 3x − 2 )
−6
+
( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2
( x − 1)
2
2
3 x + 2 )( x + 1) −6 ( x − 1)( x + 1) − ( 3 x − 2 )( x − 1)
(
=
+
+
2
2
2
2
2
2
( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
( x + 1) ( x − 1)
−6 ( x 2 − 1)
− ( 3 x − 2 ) ( x 2 − 2 x + 1)
( 3x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 1)
=
+
+
2
2
2
2
2
2
( x − 1) ( x + 1)
( x − 1) ( x + 1)
( x + 1) ( x − 1)
2
=
=
3x 2 + 8 x 2 + 7 x + 2
( x − 1) ( x + 1)
2
2
+
−6 x 2 + 6
( x − 1) ( x + 1)
2
2
+
−3 x 3 + 8 x 2 + x + 2
( x − 1) ( x + 1)
2
2
10 x 2 + 8 x + 4
( x − 1) ( x + 1)
2
2
d. Ta cần rút gọn phân thức:
x 2 + 3 xy + 2 y 2 ( x + y )( x + 2 y ) x + 2 y
=
=
5 x 2 + 4 xy − y 2 ( x + y )( 5 x − y ) 5 x − y
( x − y )( x − 4 y ) = x − 4 y
x 2 − 5 xy + 4 y 2
=
2
2
2
−2 x + 4 xy − 2 y
−2 ( x − y )
−2 ( x − y )
Vậy:
x 2 + 3 xy + 2 y 2
x 2 − 5 xy + 4 y 2
x + 2y
x − 4y
−
=
−
2
2
2
2
5 x − 7 xy + 12 y
−2 x + 4 xy − 2 y
5 x − y −2 ( x − y )
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 83
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
=
x + 2y
x − 4y
+
5x − y 2 ( x − y )
MTC = 2 ( x − y )( 5 x − y ) .
=
2 ( x + 2 y )( x − y ) ( x − 4 y )( 5 x − y )
x + 2y
x − 4y
+
=
+
5 x − y 2 ( x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y )
=
2 x 2 + 2 xy − 4 y 2 5 x 2 − 21xy − 4 y 2 7 x 2 − 19 xy − 8 y 2
+
=
2 ( x − y )( 5 x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y ) 2 ( x − y )( 5 x − y )
Nhận xét: Cũng như ở phép cộng, ta cần lưu ý đến việc Rút gọn phân thức kết
quả và các phân thức khác (nếu được).
Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a.
1
x2 + 2
−
+1
x2 − x + 1 x3 + 1
với x=999
1
3y 2
y
− 4
− 3
b. 2
với x=3; y=-1
3
x − xy x − xy
x + xy 2 + x 2 y
c.
1
1
1
1
1
+
+
+
+
với x=3
x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 2 )( x + 3) ( x + 3)( x + 4 ) ( x + 4 )( x + 5 )
Hướng dẫn giải:
− ( x2 + 2)
1
x2 + 2
1
a. Ta có: 2
−
+1 = 2
+
+1
x − x + 1 x3 + 1
x − x +1
x3 + 1
(
)
− x2 + 2
1
= 2
+
+1
x − x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1
(
)
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 84
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
(
)
− ( x + 2)
1
+
+1
x − x + 1 ( x + 1) ( x − x + 1)
− ( x + 2)
( x + 1) ( x − x + 1)
1. ( x + 1)
=
+
+
( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1)
− ( x + 2)
( x + 1)
x +1
=
+
+
( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1)
x ( x − x + 1)
x −x +x
x
=
=
=
( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) x + 1
MTC = ( x + 1) x 2 − x + 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
Khi x=999, ta có giá trị biểu thức là:
999
.
1000
b. Ta có:
1
3y 2
y
−
− 3
2
4
3
x − xy x − xy
x + xy 2 + x 2 y
=
1
−3 y 2
−y
+
+
3
3
2
x (x − y) x x − y
x x + y 2 + xy
=
1
−3 y 2
−y
+
+
2
2
2
x ( x − y ) x ( x − y ) x + xy + y
x x + y 2 + xy
(
)
(
(
(
MTC = x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
)
)
)
(
1
−3 y 2
−y
+
+
2
2
2
x ( x − y ) x ( x − y ) x + xy + y
x x + y 2 + xy
(
)
(
)
)
=
−y ( x − y)
x 2 + xy + y 2
−3 y 2
+
+
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
)
=
x 2 + xy + y 2
− yx + y 2
−3 y 2
+
+
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
x ( x − y ) x 2 + xy + y 2
)
(
(
)
(
)
(
x2 − y 2
x+ y
=
=
2
2
2
x ( x − y ) x + xy + y
x x + xy + y 2
(
)
)
(
)
(
(
)
Khi x=3; y=-1, Ta có gi của biểu thức là:
2
21
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 85
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
c. Ta có:
( x + 1) − x = x + 1 − x = 1 − 1
1
=
x ( x + 1)
x ( x + 1)
x ( x + 1) x ( x + 1) x x + 1
Tương tự:
1
=
( x + 1)( x + 2 )
1
( x + 2 )( x + 3)
1
( x + 3)( x + 4 )
1
( x + 4 )( x + 5 )
1
1
−
x +1 x + 2
=
1
1
−
x+2 x+3
=
1
1
−
x+3 x+4
=
1
1
−
x+4 x+5
Do đó:
1
1
1
1
1
+
+
+
+
x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 2 )( x + 3) ( x + 3)( x + 4 ) ( x + 4 )( x + 5 )
=
1
1
5
−
=
x x + 5 x ( x + 5)
Khi x=3, ta có giá trị của biểu thức là:
3
.
24
Nhận xét: Tổng quát hóa bài c:
m
m
m
m1
1
+
+ ... +
= −
x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2l )
x + ( n − 1) l ( x + nl ) l x x + nl
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a.
c.
1
1
1
−
+ 2
2x − 2 y 2x + 2 y y − x2
x3 + 1
3
−
−x
2
x −9 x+3
b.
d.
x2 − 1
x+3
−
2
3 x − 6 x + 3 3x + 3
3
−
2
−
1
( x + 1)( x + 2 ) ( x + 2 )( x + 3) ( x + 3)( x + 1)
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 86
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
e.
x+ z
x+ y
y+z
−
−
( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z ) ( x − y )( x − z )
Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
a.
5
10
15b
−
−
3
a +1 a − a2 +1 a b + b
b.
2x +1 x − 2
−
x − x2 x2 − 1
c.
x3
x2
1
1
−
−
+
x −1 x + 1 x −1 x + 1
d.
2x + 1 1 − 2x
2
1
với x=
+
−
2
4x − 2 4x + 2 1− 4x
4
(
với a=-2; b=
)
1
2004
1
3
với x =
với x=100
Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a.
2a + 3 x
6 − ax
a2 + 9
−
− 2
( a − 3)( a + 2 ) ( a+3)( x + 2 ) a − 9
b.
( x − a )( x − b ) − ( b − x )( x − c ) − ( x − c )( x − a )
( c − a )( c − b ) ( a-b )( a − c ) ( b − c )( a − b )
c.
d.
x 4 − ( x − 1)
(x
2
)
2
2
+ 1 − x2
( x − 1) − x + x ( x − 1) − 1
−
x ( x + 1) − 1 x − ( x + 1)
x3
2
2
2
y3
2
2
2
2
−
2
2
4
−
z3
( x − y )( x − z ) ( x − y )( y − z ) ( y − z )( z − x )
với x+y+z=1
Bài 4: Chứng tỏ rằng:
a. Nếu a+b+c=2p
thì
1
1
1
1
abc
+
+
+ =
.
p − a p − b p − c p p ( p − a )( p − b )( p − c )
b. Nếu a+b=1 thì
2 ( 2 − ab )
a
b
+ 3
− 2 2
=0
b −1 a −1 a b + 3
3
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 87
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
2 y −1
x2 − y 2
a. MTC = 2 ( x − y )( x + y ) .
ĐS:
b. MTC = 3 ( x − 1)( x + 1)
ĐS:
c. MTC = x − 9
9 x 2 − 3 x + 10
ĐS:
x2 − 9
d. MTC = ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)
ĐS:
e. MTC = ( x − y )( y − z )( x − z )
ĐS: 0
a. MTC = ( a + 1) ( a 2 − a + 1) .
ĐS:
5a
−10
;
.
a − a +1 7
b. MTC = x ( x 2 − 1) .
ĐS:
−3 x 2 − x + 1
x x2 − 1
2
4
(
)
3 x2 −1
5
( x + 1)( x + 2 )( x + 3)
Bài 2:
2
(
)
c. khi x=100, ta có giá trị của biểu thức là: 10002.
d. MTC = 4 x 2 − 1
ĐS:
2
; −4
2x −1
Bài 3:
a. MTC = ( a + 3)( a − 3)( x + 2 ) . ĐS:0
b. MTC = ( a − b )( b − c )( c − a ) . ĐS:1
c. Chú ý sử dụng hằng đẳng thức: a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) để rút gọn các
phân thức.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 88
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
x 2 − ( x − 1) x 2 + ( x − 1)
=
2
2
2
x 2 + 1 − x 2 x + 1 − x x + 1 + x
x 4 − ( x − 1)
(
2
(
)
)
(
)
x 2 − ( x − 1) x 2 + ( x − 1) x 2 + x − 1
=
=
x2 + 1 − x x2 + 1 + x x2 + x + 1
(
)
(
)
Tương tự:
( x − 1) − x = x
x ( x + 1) − 1 x
2
2
2
Vậy:
2
2
2
x 4 − ( x − 1)
(x
2
)
2
2
+ 1 − x2
2
− x − 1 x ( x − 1) − 1 x 2 − x + 1
;
= 2
2
+ x + 1 x 4 − ( x + 1)2
x + x +1
2
2
( x − 1) − x + x ( x − 1) − 1 =1.
x ( x + 1) − 1 x − ( x + 1)
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
d. Rút gọn phân thức với MTC = ( x − y )( y − z )( z − x ) , ta thu được kết quả là:
x + y + z =1
Bài 4:
a.
1
1
1
1 1
1 1
1
+
+
− =
+
−
+
p −a p −b p −c p p −a p −b p −c p
=
2 p − (a + b)
( p − a )( p − b )
+
c
c
c
=
+
p ( p − c ) ( p − a )( p − b ) p ( p − c )
c 2 p 2 − p ( a + b + c ) + ab
1
1
= c
+
=
( p − a )( p − b ) p ( p − c )
p ( p − a )( p − b )( p − c )
abc
=
p ( p − a )( p − b )( p − c )
b. Thay a=1-b; b=1-a vào tử của hai phân thức đầu để Rút gọn các phân
thức này sau đó tính tốn.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 89
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
Quý thầy cô nhận bạn file WORD tại Zalo
0918.972.605
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 90
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ 8 - TẬP 1
Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt online tại biểu mẫu:
/>Đọc trước những quyển sách này tại: />
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) -
Trang số 91