HỆ TRỤC tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Dạng 1: Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số
điều kiện cho trước.
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và khái niệm có liên quan đến vectơ: Tọa độ các
vectơ; độ dài của vector; tổng hiệu của hai vectơ; tính các tọa độ trung điểm của đoạn
thẳng; trọng tâm của tam giác; . . .
VÍ DỤ 1: Trong khơng gian
Hãy tìm tọa độ các vector sau:
ur
r
r r
a )m = 3a − 2b + c

Oxyz

, cho 3 vector

r
r
r
a = ( 5, 7, 2 ) , b = ( 3, 0, 4 ) , c = ( −6,1, −1)

r
r
r
r
b) n = 5a + 6b + 4c

Giải

a) Ta có:

r
3a = ( 15, 21, 6 )
 r
−2b = ( −6, 0, −8 )
r
c = ( −6,1, −1)

ur
r r r
⇒ m = 3a − 2b + c = ( 3, 22, −3)

b) Tương tự:

r
r r r
n = 5a + 6b + 4c = ( 19,39,30 )

VÍ DỤ 2: Trong khơng gian
a) Tính độ dài các cạnh của

Oxyz

∆ABC

, cho ba điểm
.

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của

A ( 1, 0, −2 ) , B ( 2,1, −1) , C ( 1, −2, 2 )

∆ABC

∆ABC

.
Giải

.

.

.


a) Ta có:

uuur
uuur
uuu
r
AB = ( 1,1,1) , BC = ( −1, −3,3) , CA = ( 0, 2, −4 )

uuur
BC = BC =

uuu

r
AB = AB = 12 + 12 + 12 = 3

. Do đó

,

uuu
r
2
2
2
( −1) + ( −3) + 32 = 19 CA = CA = 02 + 22 + ( −4 ) = 2 5

,

b) Gọi

D, E , F

lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, BC , CA

. Ta có:

x A + xB 1

=
 xD =

2
2

y A + yB
3

=−
 yD =
2
2

z A + zB 3

 zD = 2 = 2


Vậy

 1 −3 3 
D , , ÷
2 2 2

. Tương tự

c) Gọi G là trọng tâm của

Vậy

 4 −1 −1 
G , , ÷

3 3 3 

 3 −1 1 
E  , , ÷, F ( 1, −1, 0 )
2 2 2

∆ABC

. Ta có

.

x A + xB + xC 4

=
 xG =
3
3

y A + y B + yC − 1

=
 yG =
3
3

z A + z B + zC −1

=
 zG =

3
3


.

Dạng 2: Tích vơ hướng và các ứng dụng của tích vơ hướng.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tích vơ hướng và biểu thức tọa độ của tích vơ hướng. Sử dụng
các cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vector.
VÍ DỤ 3: Trong không gian
r r
a −b

r
r
a = 3, b = 5

, biết

Oxyz

, cho

r r
a, b

tạo với nhau một góc

.

Giải

120°

r r
a+b

. Tìm

và


r r r r
rr
r r
 −1 
a + b = a + b + 2a.b.cos a, b = 9 + 25 + 2.3.5.  ÷ = 19
 2 

( )

-

Ta có:

r r
a + b = 19

Vậy
r r r r

rr
r r
 −1 
a − b = a + b − 2a.b.cos a, b = 9 + 25 − 2.3.5.  ÷ = 49
 2 

( )

-

Ta có:
r r
a −b = 7

Vậy
VÍ DỤ 4: Trong khơng gian
a) Chứng minh rằng
b) Tính diện tích

∆ABC

∆ABC

Oxyz

. Cho 3 điểm

A ( 1, 2,1) , B ( 5,3, 4 ) , C ( 8, −3, 2 )

là tam giác vng

.
Giải

a) Ta có:

uuu
r
uuur
uuur
AB = ( 4,1,3) ⇒ AB = 26, AC = ( 7; 5;1) ⇒ AC = 5 3, BC = ( 3; 6; 2) ⇒ BC = 7

Nhận xét:

uuur uuur
uuur uuur
AB.BC = 4.3 +1( −6 ) + 3. ( −2 ) = 0 ⇒ AB ⊥ BC

b) Gọi S là diện tích tam giác ABC , ta có:

. Hay tam giác

1
1
7 26
S = . AB.BC = . 26.7 =
2
2
2

Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHƠNG đồng phẳng (
của tứ diện

ABCD

ABC

) . Tính thể tích khối tứ diện.

B

vng tại .

.

A, B, C , D

là bốn đỉnh


Phương pháp:
uuu
r
AB = ( ...;...;...)
uuur
AC = ( ...,...,...)
uuur
AD = ( ...,...,...)

Bước 1: Tính

uuur uuur
 AB, AC  = ( ...,...,...)



Bước 2: Tính

uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD = ... ≠ 0



Bước 3: Vậy ba vector
đồng phẳng.
VABCD =

Bước 4:
VÍ

DỤ

5:

uuu
r uuur uuur
AB, AC , AD

không đồng phẳng, nên bốn điểm

không

r uuur uuur
1 uuu
 AB, AC  . AD

6

Trong

không

gian

với

A ( 0, −1, 0 ) , B ( 2,1, −2 ) , C ( −1, 2, −2 ) , D ( −2, 2,1)

tích tứ diện

A, B, C , D

ABCD

hệ

tọa

độ

Oxyz

,

cho

bốn

điểm

. Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính thể

.
Giải


Ta có:

uuu
r
 AB = ( 2, 2, −2 )
 uuur
 AC = ( −1,3, −2 )
 uuur
 AD = ( −2,3,1)

uuur uuur
 AB, AC  = ( 2, −6,8 )



uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD = −4 + 18 + 8 = 22 ≠ 0 ⇒  AB, AC , AD  



không đồng phẳng

⇒ ABCD

là một tứ

diện.
VABCD =

r uuur uuur 22
1 uuu
 AB, AC  . AD =

6
6

Dạng 4: Chứng minh bốn điểm

A, B, C , D

đồng phẳng.

Phương pháp:

Bước 1: Tính
Bước 2: Tính

uuur
AB = ( ...;...;...)
uuur
AC = ( ...,...,...)
uuur
AD = ( ...,...,...)
uuur uuur
 AB, AC  = ( ...,...,...)


uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD = ... = 0



Bước 3: Vậy ba vector

uuu
r uuur uuur
AB, AC , AD

đồng phẳng, nên bốn điểm

A, B, C , D

đồng phẳng.


VÍ

DỤ

6:

Trong

khơng

A ( 1, −2,0 ) , B ( 1, 0, −1) , C ( 0, −1, 2 ) , D ( 0, m, k )

gian

Oxyz

,

cho

. Hệ thức giữa m và k để bốn điểm

đồng phẳng?
Giải
uuur
uuur
uuur

AB = ( 0, 2, −1) , AC = ( −1,1, 2 ) , AD = ( −1, m + 2, k )
uuur uuur
uuur uuur uuur
 AB, AC  = ( 5,1, 2 ) ⇒  AB, AC  . AD = m + 2k − 3





Vậy bốn điểm

A, B, C , D

đồng phẳng

bốn

uuu
r uuur uuur
⇔  AB, AC  . AD = 0 ⇔ m + 2k = 3

điểm

A, B, C , D