BTVN buổi 8+9

KHƠNG GIAN EUCLIDE

1. Hãy chứng tỏ rằng khơng gian tuyến tính thực của các hàm thực, liên tục
trên đoạn [a, b] là Euclide với tích vơ hướng cho bởi
b

f (x), g(x) =

f (x)g(x)dx
a

(a) Tìm độ dài của vectơ f (x) = x
(b) Tìm tích vơ hướng của hai vectơ f (x) = x, g(x) = ex
(c) Tìm góc giữa các vectơ f (x) = 1, g(x) = x
2. Trong không gian tuyến tính thực của các ma trận cấp 1 × n mỗi cặp vectơ
 
 
x1

y1

 x2 

u=
. . . ,

 y2 

v=
. . . 

xn

yn

đặt tương ứng với một số x1 y1 + . . . + xn yn . Hãy cho biết đây có là tích vơ
hướng trên V không?
3. Trong không gian Euclide các ma trận cấp 1 × 4 hãy dựng một cơ sở trực
chuẩn theo cơ sở đã cho sau
 
 
 
 
1

0

1

0

 
 
 
1
 , u2 = 0 , u3 = 0 , u4 =  1 
(a) u1 = 
1
1
0
0

0

 

1





1

−1

 

 

0
0
1
−1
1
0
0
0
 
 

 

(b) u1 = 
0 , u2 = −1 , u3 = 2 , u4 = 1
1
1
2
0

4. Phép biến đổi f của không gian Euclide biến đổi mỗi vectơ u thành f (u) =
u, a a, trong đó a là một vectơ cố định của khơng gian này, có là tuyến tính
khơng?
5. Hãy tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc và
viết dạng chính tắc đó
(a) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 5x21 + 9x22 + 9x23 − 12x1 x2 − 6x1 x3
(b) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 3x22 − 2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3
1


6. Tìm phép biến đổi trực giao đưa mỗi dạng tồn phương sau về dạng chính
tắc và viết dạng chính tắc đó
√

(a) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + x22 + 3x23 − 4 2x24
(b) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 3x22 − 2x1 x2 + 4x! x3 + 4x2 x3
7. Trong mặt phẳng tọa độ, đưa phương trình sau về dạng chính tắc
(a) 25x2 − 14xy + 25y 2 − 64x + 64y − 512 = 0
(b) 3x2 + 10xy + 3y 2 + 2x + 14y − 13 = 0
8.

a) Cho dạng song tuyến tính trên R3 xác định bởi
(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = ax1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3x2 y2 − x2 y3 − x3 y2 + x3 y3

(a là tham số). Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở
chính tắc của R3 và tìm điều kiện của a để dạng song tuyến tính là một
tích vơ hướng trên R3
b) Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
h = 3x21 + 3x22 + 3x23 − 4x1 x2 − 4x1 x3 − 4x2 x3

9.

a) Cho dạng song tuyến tính trên R3 xác định bởi
(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2 y2 − 2x2 y3 − 2x3 y3 + 3x3 y3

(a là tham số). Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở
chính tắc của R3 và tìm điều kiện của a để dạng song tuyến tính là một
tích vơ hướng trên R3
b) Cho cơ sở B = {(1, 1, −2), (2, 0, 1), (1, 2, 3)} trong không gian R3 với tích
vơ hướng chính tắc. Trực giao hóa Gram Schmidt cơ sở B để thu được
cơ sở trực chuẩn B và tìm tọa độ của vectơ u = {5, 8, 6} đối với cơ sở B
10. Xét không gian R3 với tích vơ hướng thơng thường
a) Cho hai vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (1, −2, 5). Tìm vectơ u thỏa mãn
u, u1 = 25;

u, u2 = 56

b) Đưa dạng toàn phương
ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 2x22 + 5x23 − 2x1 x2 − 4x1 x3 + 4x2 x3

trong đó (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
11. Xét khơng gian R3 với tích vơ hướng thơng thường
a) Cho hai vectơ u1 = (−1, 2, 1), u2 = (2, −5, 1). Tìm vectơ u thỏa mãn

u, u1 = 29;

2

u, u2 = −63


b) Đưa dạng toàn phương
ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 3x22 + 3x23 − 2x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3

trong đó (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
12. Chéo hóa trực giao các ma trận sau


1 0 0

a) A = 0 1 1

b) B =

0 1 1





−7 24
24 7



1 −1 0
c) C = −1 1 0
0
0 1



7 −2 0
d) D = −2 6 2
0
2 5

13. Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao
(a) x21 + x22 + x23 + 2x1 x2
(b) 7x21 − 7x22 + 48x1 x2
(c) 2x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1 x2 − 2x1 x3
:
14. Giả sử T là tốn tử tuyến tính
√ T V −→ V thỏa mãn T v ≤ v với mọi
v ∈ V . Chứng minh rằng T − 2 I là ánh xạ khả nghịch, biết I là ánh xạ đơn
vị.

15. Giả sử u, v ∈ V và u ≤ 1 và v ≤ 1. Chứng minh rằng
1− u

2

1− v

2

≤ 1 − u, v

16. Giả sử p > 0. Chứng minh rằng tồn tại tích vơ hướng trên R2 sao cho nó có
chuẩn tương ứng là
1
(x, y) = (xp + y p ) p

với mọi (x, y) ∈ R2 khi và chỉ khi p = 2.
17. Tìm đa thức q bậc 2 khả tích hệ số thực thỏa mãn
p

1
2

1

=

p(x)q(x) dx
0

với mọi đa thức p bậc 2 khả tích hệ số thực.
18. Tìm đa thức q khả tích hệ số thực thỏa mãn
1

1

p(x)(cos πx) dx =

0

p(x)q(x) dx
0

với mọi đa thức p khả tích hệ số thực.

3


19. Trong R4 , gọi
U = span{(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 2)}

Tìm u ∈ U sao cho u − (1, 2, 3, 4) đạt giá trị nhỏ nhất%bài 11
20. Tìm đa thức p bậc 3 khả tích hệ số thực thỏa mãn p(0) = 0, p (0) = 0 sao cho
1

2

2 + 3x − p(x) dx
0

đạt giá trị nhỏ nhất.

4