PTVP cấp 1

CLB Hỗ trợ học tập

Phương trình vi phân
I.

Phương trình khuyết

1. Phương trình khuyết x
1.1.

Dạng y ' = z ( y )

1.2.

Dạng y = z ( y ')

1, y = ( y ') − ( y ') + y '

2, 2 y = ( y ') − 2 ( y ' ) + 1

3, y = ( y ') + 1

4, y = 2 ( y ' ) + y '

3

2

4

3

2

3

2. Phương trình khuyết y
1.1.

Dạng y ' = z ( x ) (giải tích 1)

1.2.

Dạng x = z ( y ')

1, x = ( y ') − y '+ 1

2, x = ( y ') − 2 ( y ') + 1

3, x = ( y ') + 1

4, x = ( y ') + 2 y '

2

4

II.

III.

3

2

3

Phương trình phân ly
1, ( xy 2 + x ) dx + ( y − x 2 y ) dy = 0

2, ( x + xy ) + y ' ( y + xy ) = 0

3, ( y 2 + xy 2 ) dx + ( x 2 − yx 2 ) dy = 0

4, (1 + y 2 )( e2 x dx − e y dy ) − (1 + y ) dy = 0

5, (1 + e x ) yy ' = e x ( y ( 0 ) = 1)

   
6, y 'sin x = y ln y  y   = 1
 2 

7, y ' = 4 x + 2 y − 1

8, y ' = x + y − 2

Phương trình đẳng cấp

(

)

1, ( x − y ) ydx − x 2 dy = 0

2, ydx + 2 xy − x dy = 0

3, ( x 2 − 3 y 3 ) dx + 2 xydy = 0 y ( 2 ) = 1

4, ( x 2 − y 2 ) dy = 2 xydx

5, ( 2 x − y + 4 ) dy + ( x − 2 y + 5 ) dx = 0

6, ( x − y ) dx + ( 2 y − x + 1) dy = 0

7, ( 4 x 2 + 3xy + y 2 ) dx + ( 4 y 2 + 3xy + x 2 ) dy = 0

IV.

Phương trình tuyến tính
Huster


CLB Hỗ trợ học tập
1, y '+ 3 y = 2 xe −3 x
3, y '−

y
= x cos x
x

2, ( x + ye y ) y ' = 1

4, xy '−

y
−x=0
x +1

5, y '+ y = 3e 2 x

6, xy '+ y = e x ( y (1) = e )

7, 2 2 ydx − (12 x − 8 y ) dy = 0

8, ( x + y 2 ) dy = ydx

9, ( x + y 3 ) dy = ydx

10, ydx − ( x + y 2 sin y ) dy = 0

11, (1 + y 2 ) dx − ( arctan y − x ) dy = 0

12, (1 + x 2 ) y '+ 2 xy = (1 + x 2 )

V.

2

Phương trình Bernoulli
1, y '+

y

+ y2 = 0
x +1

2, ( y '+ y 2 ) ( x + 1) = − y

3, y '+ 2 xy = 2 x 3 y 3

4, xy 2 y ' = x 2 + y 3

5, xy '+ y = y 2 ln x ( y (1) = 1)

6, y ' = y 4 cos x + y tan x

7, 8 xyy ' = x 2 − 8 y 3

8, y '+

VI.

3
2
y = 3 ( y (1) = 0 )
x
x

Phương trình vi phân tồn phần

1. Dạng P ' y = Q 'x
1,

2x
y 2 − 3x 2
dx
+
dy = 0
y3
y4

2,

y
dx + ( y 3 ln x ) dy = 0
x

y

3,  sin x +  dx + ( y 3 + ln x ) dy = 0
x



y2 
2y 

4,  sin x − 2  dx +  cos y +
 dy = 0
x 
x 




y2 
2y
5,  sin x + 2  dx −
dy = 0
x
x



6, 2 x cos 2 ydx + ( 2 y − x 2 sin ( 2 y ) ) dy = 0

7, ( xy 2 + x ) dx + ( − y + x 2 y ) dy = 0

8, ( xy 2 − x ) dx + ( y + x 2 y ) dy = 0

9, xdx + ydy =

xdy − ydx
x2 + y 2

x 2 + 1) cos y
(
 x

10, 
+ 2  dx +
dy = 0
cos ( 2 y ) − 1

 sin y


2. Dạng P ' y  Q 'x

Huster


CLB Hỗ trợ học tập
1, ( e 2 x − y 2 ) dx + ydy = 0

2, (1 + 3x 2 sin y ) dx − x cot ydy = 0

3, e x ( 2 + 2 x − y 2 ) dx − 2e x ydy = 0

4, ( 2 xy + x 2 y 3 ) dx + ( x 2 + x 3 y 2 ) dy = 0

5, ( y + ln x ) dx − xdy = 0

6, y (1 + xy ) dx − xdy = 0

7, (1 − sin x ) dx + ( x + cos x ) dy = 0

8, 2 x tan ydx + ( x 2 − 2sin y ) dy = 0

9, ( y + cos x ) dx + (1 − sin y ) dy = 0

10, ( x cos y − y sin y ) dx + ( x sin y + y cos y ) dy = 0

Huster