Giải tích i tuần 2 20201

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
I

Các định lý về hàm khả vi

1

Định lý Fermat

Cho hàm số f (x) xác định trên (a, b) thỏa mãn f (x0 ) tồn tại với x0 ∈ (a, b). Khi đó nếu f (x) đạt
cực trị tại x = c thì f (c) = 0
VD
(1) Xét hàm số y = x2 trên khoảng (−1, 2). Ta có f (x) đạt cực trị tại x0 = 0 và f (x) = 2x xác
định tại x0 = 0. Khi đó f (x0 ) = f (0) = 0
(2) Xét hàm số y = |x| trên khoảng (−1, 1). Ta có f (x) đạt cực trị tại x0 = 0 nhưng f (x) không
xác định tại x0 = 0 do
|0 + ∆x| − |0|
=1
∆x→0
∆x
|0 + ∆x| − |0|
f (0− ) = lim −
= −1
∆x→0
∆x
Do đó f (0) = 0 do khơng thỏa mãn giả thiết
f (0+ ) = lim +

2

Định lý Rolle

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b) và f (a) = f (b). Khi đó tồn
tại c ∈ (a, b) để f (c) = 0
VD Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn a = b + c. Chứng minh rằng phương trình
4ax3 + 3bx2 + c = 0
ln có nghiệm thuộc khoảng (−1, 0)
Giải
Xét hàm số f (x) = ax4 + bx2 + cx. Ta có f (x) liên tục trên [−1, 0], khả vi trên (−1, 0). Hơn nữa,
ta cịn có f (0) = 0 và f (−1) = a − b − c = 0 nên f (0) = f (−1) = 0. Vậy theo định lý Rolle, tồn
tại c ∈ (−1, 0) để f (c) = 0, hay phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = 0 ln có nghiệm x = c ∈ (−1, 0)

3

Định lý Lagrange

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó tồn tại c ∈ (a, b)
thỏa mãn
f (c) =

f (b) − f (a)
b−a

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

1

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

VD1 Chứng minh rằng
a−b
a
a−b
< ln <
(0 < b < a)
a
b
b
Giải
Xét hàm số f (x) = ln x. Với 0 < b < a, ta có f (x) liên tục trên [b, a] và khả vi trên (b, a). Do đó
theo định lý Lagrange, tồn tại c ∈ (a, b) thỏa mãn
f (c) =

f (b) − f (a)
b−a

Hay
ln a − ln b
1
a
1
=
=
ln

c
a−b
a−b b
Mà c ∈ (a, b) nên ta có

1
1
1
< < . Do đó
a
c
b
1
ln a − ln b
1
a
1
<
=
ln <
a
a−b
a−b b
b

Nhân hai vế với a − b (Chú ý rằng a − b là số dương nên khi nhân sẽ không làm đảo chiều bất
đẳng thức), ta được đpcm
VD2 Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0, 1], khả vi trên khoảng (0, 1) và có f (0) = 0, f (1) = 1
a) Chứng minh rằng phương trình f (x) = 1 − x có nghiệm trong khoảng (0, 1)
b) Chứng minh rằng tồn tại hai số phân biệt a, b trong khoảng (0, 1) sao cho f (a)f (b) = 1

Giải
a) Xét hàm số g(x) = f (x) + x − 1, ta có g(0) = −1 và g(1) = 1 nên g(0)g(1) < 0

(∗ )

Nhận thấy f (x) và x − 1 liên tục trên [0, 1] nên g(x) cũng liên tục trên [0, 1]

(∗∗ )

Từ (∗ ) và (∗∗ ) ⇒ c ∈ (0, 1) để g(c) = 0, hay phương trình f (x) = 1 − x có nghiệm x = c ∈ (0, 1)
b) Xét trên đoạn [0, c], theo định lý Lagrange, tồn tại a ∈ (0, c) sao cho
f (a) =

f (c) − f (0)
f (c)
1−c
=
=
c−0
c
c

Xét trên đoạn [c, 1], theo định lý Lagrange, tồn tại b ∈ (c, 1) sao cho
f (b) =

f (1) − f (c)
1 − (1 − c)
c
=
=

1−c
1−c
1−c

Nhân hai đẳng thức trên với nhau, ta được đpcm

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

4

Định lý Cauchy

Cho f (x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b). Khi đó tồn tại
c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a) g (c) = g(b) − g(a) f (c)
Nếu g (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì ta có
f (b) − f (a)
f (c)
=
g(b) − g(a)
g (c)
VD Chứng minh rằng với mọi x > 0, ta có bất đẳng thức

3 arctan x + arctan(x + 2) < 4 arctan(x + 1)
Giải
Bất đẳng thức tương đương với
arctan(x + 2) − arctan(x + 1) < 3 arctan(x + 1) − arctan x
Do x > 0 nên arctan(x + 2) − arctan(x + 1) > 0. Chia hai vế của bất đẳng thức cho VT, ta được
1
arctan(x + 1) − arctan x
>
arctan(x + 2) − arctan(x + 1)
3
Đặt f (t) = arctan t, g(t) = arctan(t + 1). Nhận thấy f (x) và g(x) liên tục trên [x, x + 1], khả vi
trên (x, x + 1) và g (t) = 0 với ∀t ∈ (x, x + 1). Theo định lý Cauchy, tồn tại c ∈ (x, x + 1) để
f (x + 1) − f (x)
f (c)
=
g(x + 1) − g(x)
g (c)
Hay
arctan(x + 1) − arctan x
=
arctan(x + 2) − arctan(x + 1)

II
1

1
(1 + c)2 + 1
1
1 + c2
=

> 1 > (đpcm)
2
1
1+c
3
2
1 + (c + 1)

Công thức khai triển Taylor, Maclaurin
Định lý

Công thức Taylor cấp n
Hàm số f (x) có f (k) (x) (k = 1, n) liên tục tại x0 và có f (n+1) (x) trong Uε0 (x0 ). Khi đó
n

f (n+1) (c)
f (k) (x0 )
n+1
f (x) =
(x − x0 )
+
(x − x0 )k
(n + 1)!
k!
k=0
với x0 < c < x0 + θ(x − x0 ), 0 ≤ θ ≤ 1

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Công thức Maclaurin cấp n
Từ công thức Taylor cấp n, ta chọn x0 = 0, ta được công thức Maclaurin cấp n
n

f (n+1) (c) n+1
f (k) (0) k
x
+
x
(n + 1)!
k!
k=0

f (x) =
với 0 < c < θx, 0 ≤ θ ≤ 1

2

Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

Với 0 < c < x, ta có các khai triển sau
x2
xn

ec
(1) ex = 1 + x +
+ ... +
+
xn+1
2!
n! (n + 1)
sin c + (n + 1)π 2n+2
x2n+1
x3 x5
+
− ... + (−1)n
+
x
(2) sin x = x −
3!
5!
(2n + 1)!
(2n + 2)!
π
cos c + (2n + 1)
2
4
2n
x
x
x
2
(3) cos x = 1 −
+

− ... + (−1)n
+
x2n+1
2!
4!
(2n)!
(2n + 1)!
(4) (1 + x)α = 1 + αx +

α(α − 1) 2
α(α − 1)...(α − n + 1) n
x + ... +
x +
2
n!
α(α − 1)...(α − n)
(1 + c)α−n−1 xn+1
+
(n + 1)!

x2 x3
xn
xn+1
+
− ... + (−1)n−1 + (−1)n
2
3
n
(n + 1)(1 + c)n+1
x+2

VD1 Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho hàm số f (x) = 2
x − 3x − 4
(5) ln(1 + x) = x −

Giải
Khai triển Maclaurin của f (x) tới x3 là
f (x) = f (0) +
Biến đổi f (x) =

f (0)
f (0) 2 f (0) 3
x+
x +
x + o x3
1!
2!
3!

6 1
−1 1
.
+ .
rồi sử dụng công thức
5 x+1 5 x−4
1
x+a

(n)

x=0

(−1)n n!
=
(x + a)n+1

x=0

(−1)n n!
=
an+1

1 x 7x2 25x3
Khi đó ta được f (x) = − + −
+
+ o x3
2 8
12
128
4x3
VD2 Cho y = 4
. Tính y (11) (0)
x +1
Giải
4x3
Nhận thấy y(x) = 4
= ln x4 + 1
x +1

= f (x)

Với f (x) = ln x4 + 1

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Do đó y (11) (0) = f (12) (0)
Ta có khai triển Maclaurin
ln(1 + x) = x −

x2 x3
+
+ o x3
2
3

Thay x thành x4 , ta được
ln 1 + x

4

x8 x12
=x −
+

+ o x12
2
3
4

Do đó
y (11) (0) = f (12) (0) =

x8 x12
x4 −
+
+ o x12
2
3

(12)

=

12!
3

x=0


√

1 − 1 + x20 cos x10



,
x20 ln (1 + x10 )
VD3 (GK 20193) Tính f (0), biết f (x) =


0,

x=0
x=0

Giải
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có

√
1 − 1 + x20 cos x10
f (0 + x) − f (0)
= lim
f (0 ) = lim
x→0
x→0
x
x21 ln (1 + x10 )
±

Ta có các khai triển Maclaurin
1
√
x
1 + x = (1 + x) 2 = 1 + + o(x)
2

x2
cos x = 1 −
+ o x2
2

(1)
(2)

Thay x thành x20 vào (1), thay x thành x10 vào (2), ta được
√
x20
1 + x20 = 1 +
+ o x20
2
20
x
cos x10 = 1 −
+ o x20
2
Nhân hai vế của (3) với (4), ta được
√
x20
1 + x20 cos x10 = 1 +
+ o x20
2
Do đó
TS = 1 −

√

1−

x20
+ o x20
2

1 + x20 cos x10 =

(3)
(4)

=1−

x40
+ o x40
4

x40
+ o x40
4

Sử dụng VCB tương đương, ta có ln 1 + x10 ∼ x10 . Vậy
x40
+ o x40
x9
±
4
f (0 ) = lim
=
lim

+ o x9
x→0
x→0
x31
4

=0

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

5


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

III

Luyện tập

Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
1. Chứng minh bất đẳng thức | sin x − sin y | ≤ |x − y| (x, y ∈ R)
2.
a) Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a = b − c − d. Chứng minh rằng phương trình
6ax5 − 5bx4 + 4cx3 + d = 0
có nghiệm trong khoảng (0, 1)
b) Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = −1. Chứng minh rằng phương trình
6x10 + 3ax4 + 2ax2 + c = 0

có 2 nghiệm trong khoảng (−1, 1)
3.(CK 20193) Tìm giá trị c trong cơng thức Lagrange của hàm số y = |x|(x + 1) trên đoạn [−1, 2]
4.(CK 20191) Tìm giá trị α ∈ R để các vô cùng bé sau tương đương khi x → ∞
α(x) = sin

1
1
−
sin
4 + xα
1 + xα

,

β(x) =

1
x4

5.(CK 20181) Cho f (x) khả vi trên [a, b] (0 < a < b). Chứng minh rằng tồn tại ξ ∈ (a, b) thỏa mãn
f (b) f (a)
−
= f (ξ) − ξf (ξ)
b
a

1 1
−
b a

Cơng thức khai triển Taylor, Maclaurin
1. Tính các giới hạn sau
x − sin x
a) lim
x→0
x2
ex − 1 − x 2 −
2
1
1
c) lim
− 2
2
x→0
sin x x

b) lim

x→+∞

d) lim

x→0

2. Chứng minh bất đẳng thức sau với x ∈

0,

1
x

arcsin x − arctan x
x3

π
2

sin x ≤ x −
3. Lập công thức gần đúng của cos x khi |x| ≤

x − x2 ln 1 +

x3 x5
+
3!
5!

π
chính xác đến 10−6
4

1

. Tính y (11) (0)
1 + x + + x3 + x4
5. Tìm giá trị α ∈ R để các vô cùng bé sau là tương đương khi x → +∞

4. Cho y =

x2

1
α(x) = e − 1 +
x

x

,

β(x) =

1
xα

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

6