lí thuyết học kì i

Phần I : Lý thuyết hàm số
1.Xét tính đồng biến, nghịch biến
Hàm f đồng biến (hay tăng) trên K ⇔ f’(x) � 0, x ∈ K.
Hàm f nghịch biến (hay giảm) trên K ⇔ f’(x) ≤ 0, x ∈ K.
Bất phương trình bậc hai :
a0
a0
�
�
2
ax 2  bx  c �0 x �R � �
ax

bx

c
�
0

x
�
R
�
�
  b 2  4ac �0
  b 2  4ac �0
�
�
,
2. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại 1 điểm:
a/ Nếu

�f '( x0 )  0
�
�f '( x0 ) �0

thì x0 là điểm cực trị

c/ Nếu thì x0 là điểm cực tiểu

b./Nếuthì x0 là điểm cực đại

�f '( x0 )  0
�
�f ''( x0 )  0

d/ Phương trình bậc hai : Ax  Bx  C  0 có hai nghiệm phân biệt
2

x1  x2 

�f '( x0 )  0
�
�f ''( x0 )  0

B
C
; x1 x2 
A
A

�A �0
�
2
: �  B  4 AC  0

Định lí vi-ét :
3. Max , Min y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], ta tiến hành các bước:
- Tìm các giá trị của x sao cho f'(x) = 0 hay f'(x) không xác định trên đoạn [a ; b], giả sử các giá trị đó
là x1, x2, x3.....
- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm có giá trị x nói trên là f(x1), f(x2), f(x3),.........
- Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút là f(a), f(b).
- So sánh các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3), suy ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên đoạn [a ; b]
4. Tiệm Cận
lim y  y0 hay lim y  y0
x ��
Nếu x��
thì (Δ) : y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị (C) : y = f(x).
- Để tìm đường tiệm cận đứng thì hàm số phải ra vơ cực khi x tiến đến một giá trị x0 :
lim y  �hay lim y  �hoac lim y  �hay lim y  �
x � x0
x �x 0
x � x0
Nếu x�x0
thì (Δ) : x = x0 là đường tiệm cận đứng
ax  b
y
cx  d
chú : Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Ghi
ad  cb

y/ 
2
cx  d 

Đạo hàm
ad  bc  0 hàm số đồng biến .
ad  bc  0 hàm số nghịch biến
d
a
x
y
c ;
c
hai đường tiệm cận : TC đứng :
TC ngang :
có
I(

Tâm đối xứng đồ thị

d a
; )
c c


3
2
5. Hàm bậc 3 f ( x)  ax  bx  cx  d
/
2

Đạo hàm f ( x)  3ax  2bx  c

Có hai cực trị thì f ( x)  0 có 2 nghiệm :
/

�A �0
�
  B 2  4 AC  0
�

4
2
6. Hàm Trùng Phương f ( x)  ax  bx  c (a �0)
/
3
Đạo hàm f ( x)  4ax  2bx

Có 3 cực trị : a.b  0 , a.b �0 có 1 cực trị
7. Tương giao đường thẳng và đồ thị, suy ra nghiệm phương trình:
3
2
cho phương trình m  ax  bx  cx  d có nghiệm bằng số giao điểm đồ thị với đường thẳng nằm
ngang y  m
+ Nếu

yct  m  ycd

+ Nếu

yct  m  ycd

thì có 3 giao điểm nên có 3 nghiệm
m  yct hoặc m  ycd thì có 2 giao điểm nên có 2 nghiệm
+ Nếu
m  yct
m  ycd
+ Nếu
hoặc
thì có 1 giao điểm nên có 1 nghiệm
4
2
a. Hàm trùng phương f ( x)  ax  bx  c cho phương trình f ( x)  m có nghiệm bằng số giao
điểm đồ thị với đường thẳng nằm ngang y  m . Với trường hợp a.b  0 hàm số có 3 cực trị
thì có 4 giao điểm nên có 4 nghiệm
m

f
(0)
+ Nếu
thì có 3 giao điểm nên có 3 nghiệm
ax  b
y
cx  d giao với đường thẳng y  Kx  B , có phương trình hoành độ giao điểm
b. Đồ thị hàm số
ax  b
Kx  B 
Dk : cx  d �0
cx  d
, quy đồng chuyển về phương trình bậc 2
+ Giao trục ox , trục hồnh ox có phương trình y=0 . Trục tung oy có phương trình x=0

Phần 2.Lý Thuyết thể tích khối đa diện
I.cơng thức tính diện tích:
1.Diện tích hình chữ nhật có cạnh là a, b: S= ab đường chéo bằng
2. Diện tích hình vng : S = (cạnh )2
Đường chéo bằng (cạnh) . 2
3.Diện tích hình thang có 2 đáy a,b. chiều cao h
1
S = 2 h(a+b)

1
4.Diện tích tam giác thường : s= 2 h.a
a)khi biết 2 cạnh 2 bên và góc ở giữa:

a 2  b2


1
1
S= 2 bcsinA= 2 acSinB
s  p( p  a)( p  b)( p  c)
b)khi biết 3 cạnh:
với nữa chu vi p= (a+b+c)/2 ( hê-rong)
1
5. Diện tích tam giác vuông : s= 2 ab, với a và b là hai cạnh góc vng.
6.Tam giác đều :
(canh) 3
(canh) 3
2
3
Đường cao bằng

, bán kính đường trịn ngoại tiếp
(canh)2 3
4
diện tích
7. Diện tích hình thoi cạnh a, góc đỉnh bằng 
1
1
S= 2 a2.sin  hoặc s= 2 ab với a,b là 2 đường chéo.
8.Tỉ số diện tích 2 tam giác cùng 1 đỉnh:
s AB 'C ' AB ' AC '

.
S ABC
AB AC
vs. A ' B ' C ' A ' B ' AC ' BC '

.
.
v
AB
AC
CB
s
.
ABC
9. Tỉ số thể tích chóp tam giác:
S

II. Một số cơng thức tính :
1.Tỉ số sin –cos trong tam giác vuông

doi
ke
doi
sin  
cos  
tan  
huyen
huyen
ke
c2  a 2  b2
2. Định lý pitago trong tam giác vuông:
2
2
2
3. Đinh lý cosin: c  a  b  2ab cos C
4. Cách xác định góc đương thẳng và mp:
B1: xác định hình chiếu
B2:xác định góc giữa dt và hình chiếu.
5. Cách xác định góc giữa mp và mp bằng góc giữa hai đường thẳng vng góc với giao tuyến .
1
V  h.Bday
3
III.thể tích khối chóp:

IV.Thể tích lăng trụ :

V  h.Bday

V. Nón Trịn Xoay : Đường trịn
S xq   rl

S   r 2 ; C  2 r

1
1
V  Bh   r 2 h
3
3

Nón trịn xoay :
,
r là bánh kính đường trịn đáy, l là đường sinh
VI. Hình Trụ (Trịn Xoay) :
Diện tích xung quanh và diện tích tồn phần
S xq  2 rl ; Stp  S xq  S 2 day  2 rl  2 r 2


Thể Tích khối trụ :
VII. Khối Cầu :
Diện tích mặt cầu :
Thể tích khối cầu

V  Bh   r 2 h
S  4 r 2

4
V   r3
3
:

Phần 3: Hàm số mũ và logarit :
I. Một số tính chất của lũy thừa
a
1
 a   ;
a  a  n  n
 
 .

a �
a   a   ;
(
a
)

a
;
a
a




�a � �b �
1
�a � a


;
n

� � � ��
�� 
a  a n  a  0
(ab)  a �
b ;
�b � �a �
�b � b

1. Định nghĩa: Hàm số y  x , với  ��, được gọi là hàm số lũy thừa.



2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y  x là:
g D  � nếu  là số nguyên dương.
g D  �\  0
với  nguyên âm hoặc bằng 0.
g D  (0; �) với  không nguyên.

  .x 1. (u )�
  .u 1.u /
3. Đạo hàm: ( x )�
D. Đồ thị:


Đồ thị của hàm số lũy thừa y  x luôn đi qua điểm I (1;1).
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét
hàm số đó trên tồn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn:
y  x3 , y  x 2 , y  x .

II. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

y  a x ,  a  0, a �1
1. Hàm số mũ:
 Tập xác định: D  �
x
T   0, �
 Tập giá trị:
vì y  a  0 x �R
 Tính đơn điệu : Khi a > 1 thì hàm số đồng biến trên �.
Khi 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến �.
 Dạng đồ thị: Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.


1

1

O

O

2. Hàm số logarit:



y  log a x ,  a  0, a �1

D   0, �
Tập xác định:
Tập giá trị: T  �

 0; � .
 Tính đơn điệu : Khi a > 1 thì hàm số đồng biến trên
 0; � .
Khi 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến
 Dạng đồ thị: Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

O

3. Đạo hàm
Đạo hàm hàm số sơ cấp

 a   a .ln a
e  e
x '

x

x '

x

 log

x 
'

a

 ln x 

'



O

1

1
x ln a

1
,  x  0
x

� a

1

Đạo hàm hàm số hợp

  a .ln u.u '
�  e   e .u '
u '

u

u '

u

�  log a u  
'

�  ln u  
'

u'
u ln a

u'
u

III: Công thức Lôgarit

1. Các tính chất: Cho a, b  0, a �1 , ta có:
log a a  1, log a 1  0

log a b
 b, log a (a )  
 a

a, b1 , b2
2. Lơgarit của một tích, thương : Cho 3 số dương
với a �1, ta có
b
1
log a 1  log a b1  log a b2
log a   log a b
log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2

b2
b

3. Công thức biến đổi cơ số : Cho a, b, c, x  0, a �1 , với mọi  , ta có




log a m b n 

n
log a b
m

log a n b 

1
log a b
n

log a c 

1
log c a

log c x
� log c a.log a x  log c x
log c a
 Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên
log a x 

 .Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết :
log e b  ln b
tự nhiên là lôgarit cơ số e . Viết :

log10 b  log b  lg b

Lơgarit
IV. Phương trình mũ cơ bản
Dạng 1: (a>0, a #1) Với b>0, ta có ax = b  x= logab.
Với b<0 PT vô nghiệm
u
v
Dạng 2: a  a � u  v
- Phương trình Có hơn 2 cơ số , ta tiến hành chia cơ số để đưa về cùng cơ số
- Dạng 3. Phương trình đặt ẩn phụ
- Một số dạng thường gặp
2x
x
- Dạng : ma  na  c  0
- Dạng : max + nbx = c mà a.b =1
Đặt ax = t (t>0)=> bx =
- Dạng : m (a - )x + n (a + )x = c
- Đặt (a + )x = t
- Dạng : ma2x + naxbx + b2x = 0 . Chia 2 vế cho b2x và đặt .
1. Dạng 1: Phương trình logarit cơ bản
log a x  b � x  a b
- Sử dụng định nghĩa
ĐK: x>0
log a u  log a v � u  v

- Dạng 2 :
với ĐK: u>0; v>0
phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, gôm lại thành dạng cơ bản hay đặt ẩn phụ .
V.Bất Phương trình mũ, lơgarit cơ bản: tương tự như trên “ Đồng cùng, nghịch trái”.