Phương trình vô tỷ (Chuyên đề Bồi dưỡng HSG) - Tài liệu Toán 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (728.41 KB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ.

I. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
I-KIẾN THỨC:

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )
f x

f x g x g x

f x g x





   

 



2/ 2

( ) 0

( ) ( )

( ) ( )
g x

f x g x

f x g x



  




( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
f x

f x g x h x g x

f x g x f x g x h x

 



    



  



4/ 2 2 *

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0 ( )

( ) ( )

n n

f x

f x g x g x n N

f x g x





    

 



5/ 2 *

2
( ) 0

( ) ( ) ( )

( ) ( )
n

n
g x

f x g x n N

f x g x



   




6/ 2n1 f x( ) 2n1g x( ) f x( ) g x( ) (n N*)

   

7/ 2n1 f x( ) g x( ) f x( ) g2n1( ) (x n N*)

   

II-BÀI TẬP

Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1   (1)

HD: (1)  2 2

x 1 0 x 1 x 1

x 3

x 1 (x 1) x 3x 0

   

  

 

  



     

 

3
x

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HD:Ta có: x 2x 3 0  2x 3 x

3

1

0

032

0

32

0

22

















































x

xx

x

xx

x

Bài 3: Giải phương trình: x 4 1 x 1 2 x

HD: Ta có: x 4 1 x  1 2 x  x4 1 2 x 1 x

1 2 0

1 0

4 1 2 1 2 (1 2 )(1 )

x

x x x x x

  

   

       

2
1
2

2 1 2 3 1

x

x x x




 

    

 2 2

1
2

2 1 0

(2 1) 2 3 1

x
x

x x x





   

   


2
1 1
1 1
2 2
0

2 2 0

7 0
7
x
x
x
x
x x
x


 

 
 
 
     


   

  



Bài 4: Giải phương trình: x 2 3 x2 4 0

   

HD:ĐK: 2
2 0

2
4 0
x
x
x
 

 

 

 (1)









2 3 ( 2)( 2) 0

2. 1 3 2 0

2
2 0

(2)
17

1 3 2 0

x x x

x x
x
x
x
x
     
    


  


  
 
   
 

Kết hợp (1) và (2) ta được: x = 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

HD: Đk: 0 x 3 khi đó pt đã cho tương đương: x3 3x2 x 3 0

3 3

1 10 10 1

3 3 3 3

x x 

 

      

 

Bài 6. Giải phương trình sau :2 x 3 9x2 x 4

   

HD: Đk:x 3 phương trình tương đương :





2 2

1
3 1 3

1 3 9 5 97

3 1 3

x

x x

x

x x




    

       

 
  

 

Bài 7. Giải phương trình sau : 2





3





2
3

2 3 9 x x2 2x3 3x x2

HD: pt



3 x 2 33x



3 0 x 1

     

Bài 8. Giải và biện luận phương trình: x2 4 x m

  

HD: Ta có: x2 4 x m

    2 2 2 2

x m x m

x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0

 

 



 

      

 

– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm

– Nếu m ≠ 0: x m2 4
2m



 . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 
2

m 4

2m


≥ m

+ Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2  m2 ≤ 4  0 m 2 

+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2  m2 ≥ 4  m ≤ –2

Tóm lại:– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có mợt nghiệm x m2 4
2m




– Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm
Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x2  3x m

Bài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x x m m
HD: Điều kiện: x ≥ 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0   có hai nghiệm: x1 = 0,

x2 = 1

– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với

( x m)( x  m 1) 0  x m 0

x 1 m

  

 

 


+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 m)2

+ Nếu m > 1: phương trình có mợt nghiệm: x = m
III-Bài tập áp dụng:

Bài 1:Giải các phương trình sau:

1/ x x1 13 2/ 3 x34 3 x 3 1 3/ 2x 5 3x 5 2
4/ 1 x x2 4 x 1

    5/ x 3 5   x 2 6/ x 1  x 7  12 x
7/ x  x 1  x 4  x 9 0  8/ x  2 5 0  9/ 3 = 6x x2


10/ 5 1 21 0

x    11/ 3 2 3 19

6
x

   12/ 8 2 5 2 0

3x

  

13/ 16x17 8x 23 14/ 3x 1 2 x 3 15/20 3 2 x 2x 3
Bài 2: Giải phương trình:

a) x2 1 x 1

   b) x 2x3 0 c) x2 x 1 1

d) 3x 6 x 3 e) 3x 2 x 1 3 f) 3x 2 x 1

g) x9 5  2x4 h) 3x4 2x 1 x3 i) x 4x 32
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 3x 2 2m x x2

     

Bài 4: Cho phương trình: x2 1 x m

  

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 5: Cho phương trình: 2x2 mx 3 x m

   

a) Giải phương trình khi m=3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a/ x 7 x 3 9 0  d/ 1 1 9 1 3 1 17

2 x  2 x  x  g/

2 6
4 7

x x

 



 

b/ 2x  1 1 e/ 3 5 9 27 3 4 12 1

3 2

x  x  x  h/ x 5 5 x 1 0
c/ 3x 7 x 4 0 f) (x 3) 10 x2 x2 x 12

     i/ 5x7 x12 0

II. PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)
( ) ( ) ( ( ) 0)
f x g x f x
f x g x f x g x

f x g x f x

 



    

 



II-BÀI TẬP:

Bài 1: Giải phương trình: x2 4x 4 x 8

    (1)

HD: (1)  (x 2)2 8 x

    |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1)  2 – x = 8 – x (vô nghiệm)

– Nếu x  2 : (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5.

Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1    x 10 6 x 1   2 x 2 2 x 1   (2)

HD: (2)  x 1 0

x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
 





             




 x 1

x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|







       



 (*)

Đặt y = x 1 (y ≥ 0)  phương trình(*) đã cho trở thành:
y 1 | y 3 | 2 | y 1|    

– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y  y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2  y = 3

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3  x + 1 = 9  x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

HD:ĐK: 5
2
x 

PT  2x 5 2 2 x 5 1  2x 5 6 2 x 5 9 14 

 2x 5 1  2x 5 3 14   2x 5 5  x15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15
Bài 4:Giải phương trình: x2 x1 x 2 x1 2

HD:ĐK:x 1

Pt  x1 2 x 1 1  x1 2 x1 1 2   x1 1  x1 1 2
Nếu x 2 pt  x1 1  x1 1 2   x2 (Loại)

Nếu x 2 pt  x 1 1 1   x1 2  0x0 (Luôn đúng với x)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 



x R |1 x 2



III-Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:

1/ 2

2 1 5

x  x  2/ x 4 x4 3

3/ x2 6x 9 2x 1

    4/ x4 x 4 5 x2

5/ x2 2x 1 x2 4x 4 4

      6/ x 2 x 1 x 4 x4 10
7/ x2 6x 9 2x2 8x 8 x2 2x 1

        8/ x2 4x 4 x2 6x9 1
9/ x2 x1 x 2 x1 2 10/ x 3 2 x 4  x 4 x 4 1

11/ x 6 2 x2  x11 6 x2 1 12/ x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2
13/ x2 2x x2 2x 1 5 0

      14/ 2x46 2x 5  2x 4 2 2x 5 4

15/ x2 4x 4 2x 10

    16/ x2 2x 1 2x8

17/ x x21 x14 2 18/ 4 1 6 2 5 0

1 2







x

x

19/ 2 1 2 1 3

2
x

x x  x x   20/ x2 4x4 2  x

21/ (x1) 4 4  x1 x1 6 x 1 9 1  22/ x 8 6 x1 4

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vơ tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x

 

và

chú ý điều kiện của tnếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa mợt 
biến tquan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo tthì việc đặt phụ 
xem như “hoàn toàn ” .

Bài 1. Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2

     

HD: Điều kiện: x 1

Nhận xét. x x2 1. x x2 1 1

    

Đặt t x x2 1

   thì phương trình có dạng: t   1t 2 t 1. Thay vào tìm

được x 1

Bài 2. Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x 5

   

HD:Điều kiện: 4

x 

Đặt t  4x5(t0) thì

2 5

t

x  . Thay vào ta có phương trình sau:

4 2

2 4 2

10 25 6

2. ( 5) 1 22 8 27 0

16 4

t t

t t t t t

 

        

2 2

(t 2t 7)(t 2t 11) 0

     

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 1 2 2;t3,4  1 2 3

Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị t1  1 2 2,t3 1 2 3

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 vaø x 2 3

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

2x  6x 1 0

Ta được: x x2( 3)2 (x 1)2 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y 3 4x5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt

ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

HD:Điều kiện: 1 x 6

Đặt y x 1(y0) thì phương trình trở thành:

2 5 5 4 10 2 20 0

y  y   y  y  y  ( với y  5)  (y2y 4)(y2 y 5) 0

1 21 1 17

2 (loại) 2

y  y  

  

Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17

x 

Bài 4. Giải phương trình sau :x



2004 x





1 1 x



HD: ĐK: 0 x 1

Đặt y 1 x thì phương trình trở thành:









2 1 y y  y 1002  0 y 1 x0

Bài 5. Giải phương trình sau : x2 2x x 1 3x 1

x

   

HD:Điều kiện:   1 x 0

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:x 2 x 1 3 1

x x

    . Đặt t x 1

x

  , ta giải được.

Bài 6. Giải phương trình : x2 3 x4 x2 2x 1

   

HD: x 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:

1 1

x x

 

   

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đặt t=3 x 1
x

 , Ta có : t3 t 2 0  1 1 5
2

t   x 

Bài 7.Giải phương trình: 2 2

3x 21x18 2 x 7x7 2
HD:Đặt y = 2

7 7

x  x ;y 0

Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - 5 = 0

5
3
1

y
y












1
y

 

Với y = 1 x2 7x 7 1

   

1
6
x
x




  

 Là nghiệm của phương trình đã cho.

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một

lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2uvv2 0 (1) bằng cách

Xét v 0 phương trình trở thành :

u u

v  v 

   

  

   

   

v 0 thử trực tiếp

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

 a A x.

 

bB x

 

c A x B x

   

 u v mu2 nv2

   

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận
được phương trình vô tỉ theo dạng này .

   

 

P x A x B x
Q x aA x bB x

 




 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Xuất phát từ đẳng thức :









3 1 1 2 1

x   x x  x





Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4x2 2 2x 4 x4 1

   

Để có mợt phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình

bậc hai at2 bt c 0

   giải “ nghiệm đẹp”

Bài 1. Giải phương trình :





2 x 2 5 x 1

HD: Đặt 2 3

1 ( 0) ; 1 ( )

u x u v x  x v

phương trình trở thành :



2 2



2 5 1

u v

u v uv

u v





  

 


Tìm được: 5 37

x 

Bài 2. Giải phương trình : 2 3 1 3 4 2 1

x  x  x x  (*)

x2 x 1





x2 x 1



3



x2 x 1

 

x2 x 1



          

Đồng nhất vế trái với (*) ta được :











 



3 x x 1 6 x x 1 3 x x 1 x x 1

          

Đặt : 2 1 3 ; 2 1 3

4 4

u x  x u  vx  x v 

   

phương trình trở thành :-3u+6v=- 3. uv  u3v Từ đây ta sẽ tìm được x.
Bài 3: Giải phương trình sau :2x2 5x 1 7 x3 1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

HD:Đk: x 1

x2 x 1



       

Đặt u x 1 0 ,v x2 x 1 0

       , ta được:

3 2 7 1

v u
u v uv

v u





  

 


Ta được :x  4 6

Bài 4. Giải phương trình : 3 2





3 2 2 6 0

x  x  x  x

HD:Nhận xét : Đặt y x2 ta biến pt trên về pt thuần nhất bậc 3 đối với x và

y :

3 2 3 3 2 3

3 2 6 0 3 2 0

x y

x x y x x xy y

x y




         



 .Pt có nghiệm :

2, 2 2 3

x x 

Bài 5:Giải phương trình: 3





10 x  1 3 x 2
HD:ĐK:x 1

Pt 10 x 1. x2 x 1 3(x2 2)

      . Đặt 2

( , 0)
1

u x

u v

v x x

  






  




Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2) 



3u v u

 

 3v



0 3

3
u v
v u



  



Nếu u = 3v x 1 3 x2 x 1 9x2 10x 8 0

         (vô nghiệm)

Nếu v = 3u 2 1 3 1 2 10 8 0 5 33

5 33
x

x x x x x

x
  

          

 

 là nghiệm.

b).Phương trình dạng : u v mu2 nv2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta
bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.

Bài 1. Giải phương trình : x2 3 x2 1 x4 x2 1

    

HD:Ta đặt :





2 1 , 0;

u x

u v u v
v x

 


 



 




khi đó phương trình trở thành :

2 2

u v u  v

hay: 2(u + v) - (u - v)=





x2 2x





2x 1





x2 2x





2x 1



          

Ta có thể đặt :

2 1

u x x
v x

  



 

 khi đó ta có hệ :

1 5

u v

uv u v

u v

 




  

 





Do u v , 0. 1 5 2 1 5





2 2 1

2 2

u  v x  x  x

Bài 3. Giải phương trình : 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1

      

HD:Đk x 5. Chuyển vế bình phương ta được:









2 2

2x  5x 2 5 x  x 20 x1

Nhận xét : Không tồn tại số  , để : 2x2 5x 2 



x2 x 20







x1



vậy ta không thể đặt :

2 20

u x x
v x

   



 


</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Nhưng may mắn ta có :



x2 x 20



x2 4x 5



          

Ta viết lại phương trình: 2



x2 4x 5



3



x 4



5 (x2 4x 5)(x 4)

        . Đến đây

bài toán được giải quyết .

3. Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn

Từ những phương trình tích



x 1 1

 

x 1 x2



0,



2x 3 x

 

2x 3 x2



0

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ khơng tầm thường chút
nào, đợ khó của phương trình dạng này phụ tḥc vào phương trình tích mà ta
xuất phát .

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải
được thể hiện qua các ví dụ sau .

Bài 1. Giải phương trình :x2



3 x2 2



x 1 2 x2 2

     

HD:Đặt t x2 2

  ;t  2 , ta có : 2





2 3 3 0

t

t x t x

t x




t 0

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có  chẵn :

















2 2 2

2 3 1 2 1 0 1 2 1 0

t

x x x t x t x t x

t x




              

 


Bài 3:Giải phương trình:x2 3x 1



x3



x2 1
HD:Đặt t x2 1;t 1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = 0 (t - x)(t - 3) = 0

3
t x
t




  



Nếu t = x x2 1 x

   (Vô lý) -Nếu t = 3  x2   1 3 x2 2
Vậy:x 2 2

4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ mợt số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương

trình vơ tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa
các ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức



a b c



3 a3 b3 c3 3



a b b c c a

 



         , Ta có







 



3 3 3 0

a b c  a b c   a b a c b c   

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vơ tỉ có chứa căn bậc ba .

2 2

3 3

37x 1 x x 8 x 8x 1 2

       

33x 1 35 x 32x 9 3 4x 3 0

       

Bài 1. Giải phương trình :x 2 x. 3 x 3 x. 5 x 5 x. 2 x
HD:ĐK:x 2

Đặt

2 ; 0

3 ; 1

5 ; 3

u x u

v x v

w x w

   




  




  




, ta có :



 





 





 



2
2

3 3

5 5

u v u w
u uv vw wu

v uv vw wu u v v w
w uv vw wu v w u w

   

    




       

 

 

      

 

giải hệ ta được: 30 239

60 120

u  x

Bài 2. Giải phương trình sau : 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 2

         

HD:Ta đặt :

2
2

2 1

3 2

2 2 3

a x

b x x

c x x

d x x

  



   




  




  




, khi đó ta có : a b c d2 2 2 2 x 2

a b c d

  


 



  

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 3. Giải các phương trình sau : 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3

      

HD:Đặt





2
2

4 5 1

; 0

a x x

a b

b x x

   







  




Ta được hệ phương trình:

2 2

4 9 3

2 9 3

a b x

   



  



Từ đó ta có: a2 - 4b2 = a - 2b  (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0 2

1 2

a b



   



Nếu a = 2b 4 2 5 1 2 2 1 1

x x x x x

        (thoả mãn)

Nếu a = 1 - 2b 4x2 5x 1 1 2 x2 x 1

       (*)

Ta có : VT(*) 0 (1)

VP(*) =

2 1 3

1 2 1 1 2 1 3 0

2 4

x x x 

           

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vơ nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1
3
x 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3( 3 ) 30
35

xy x y
x y

 





 




, giải hệ này

ta tìm được ( ; ) (2;3) (3;2)x y   . Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}

Bài 2. Giải phương trình: 2 1 4 41
2

x x

   

HD:Điều kiện: 0 x 2 1

Đặt 4

2 1

0 2 1,0 2 1

x u

u v

x v

   



      






Ta đưa về hệ phương trình sau:

4
4

2 4 4

4
1
1

2
2

2 1 2 1

u v

u v

u v v v



 

 

 

 



 

 

        

  




Giải pt thứ 2:

2 2

4
1

( 1) 0

v   v  

  , từ đó tìm ra

v rồi thay vào tìm nghiệm

của pt.

Bài 3. Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

HD:Điều kiện: x 1

Đặt a x 1,b 5 x 1(a0,b 5) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

( )( 1) 0 1 0 1

a b

a b a b a b a b

b a

  



           



 




Vậy 1 1 5 1 1 5 11 17

x    x  x   x x 

Bài 4. Giải phương trình: 6 2 6 2 8

5 5

x x

 

 

 

HD: Điều kiện: 5x5

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Khi đó ta được hệ phương trình:

2 2 10 ( ) 10 2

2 4

4 4 8 ( ) 1

2( )

3
3

u v uv

u v
u v
u v
uv
u v

     

 

   
  
      
 
   

Bài 5. Giải phương trình: 4 629 x4 77x 8

HD:ĐK:77 x 629

Đặt
4
4

629

( ; 0)
77
u x
u v
v x
  



 



706
,

8 4 4






 u v u v

Đặt t = uv











113
15
0
1695
128
2

t
t
t
t

Với t = 15  x = 4

Với t = 113  x = 548

Bài 6. Giải phương trình: x3 x2 1 x3 x2 2 3

      (1)

HD:Với điều kiện: x3 x2 1 0 x3 x2 2 0

      
Đặt
3 2
3 2
1
2

u x x

v x x

   


  




Với v > u ≥ 0

Phương trình (1) trở thành u + v = 3
Ta có hệ phương trình

2 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3
3

3 3 1

( )( ) 3 1 2

1 1
2 2
1 1
2 4
u v
v u

u v u v u

v u v u v u v

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

3 2
2

2
2 0

( 1)( 2 2) 0

1 ( 2 2 0 )

x x

x x x

x do x x x

   

    

     

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Bài 7. Giải phương trình: 2 2

3
2
1 









 x x

HD: Điều kiện:

2 1 1

1 0
0 1
0
0
x
x
x
x
x
     
   
 

 
 (*)

Với điều kiện (*), đặt u  x;v  x
3
2

, với u ≥ 0, v32

Ta có:
















2
2
4
2
3
2
1

1
v
x
u
x

Do đó ta có hệ









4 4

4 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2
2 2
2 2
2 2
3 3
1
1
2
2
3

2 . 1 2 . 2 1

2 2

3 3

16 65

4 2 . . 0

2 . 2 . 1

9 81
9
2
3
8 194
.
18

u v u v

u v
u v

u v
u v

u v u v u v u v u v

u v u v

u v u v
u v u v

u v
u v
u v
 
   
 

 
     

 
 
 
 

   
         
 
 

 
   
 

 
   
 
       
  
  


 




 




</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

 u và v là nghiệm của phương trình















)
(
0
18
194
8
3
2
)
(
0
18
194
8
3
2
2
2
b
y
y
a
y
y

 (b) vơ nghiệm

 (a) có 2 nghiệm

3
3
2
97
1
;
2
3
2
97
1
2
1





 y

y Do đó: 











1
2
2
2
2
1
1
1
y
v
y
u
y
v
y
u

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

3
3
2
97
1
2




y
u
3
3
2
97
1 

 x
2
3
3
2
97
1


















 x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

2
3
2
97
1
9
1











x

Bài 8. Giải phương trình: 4185x4 64 5x 4

HD:Với điều kiện
























5
64
5
18
5
645

18
0
5
64
0
5
18
x
x
x
x
x
(*)

Đặt u4185x,v4 64 5x, với u ≥ 0, v ≥ 0

Suy ra







x
v
x
u
5
64

5
18
4
4

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>






























0
,
0
82
)
(
2
4
0
,
0
82
4
2
2
2
2
4
4
v
v
uv
v
u
v
u
v
v
v
u

v
u

Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:







































0
29
3
4
0
0
87
32
4
0
,
0
82
2
2
4
2
2
2
2
P

P
P
S
P
P
p
S
S
P
P
P
S
S

(1) Với S = 4, P = 3

u và v là nghiệm của phương trình:

2 4 3 0 1

3
y
y y
y


    



Do đó ta có:












1
3
3
1
v
u
v
u
Suy ra
4 4
4 4

18 5 1 18 5 3

64 5 3 64 5 1

x x

x x
     
 

 
   
 
 

18 5 1 18 5 81

64 5 81 64 5 1

x x
x x
   
 
   
   
 
5
63
5
17





 x x thoả mãn (*)

(2) Với S = 4, P = 29  không tồn tại u và v

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1
2
17
5
63
5
x
x




 


5.2 Giải phương trình vơ tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :









2
2

1 2 (1)

1 2 (2)

x y

y x

   




  




việc

giải hệ này thì đơn giản

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt yf x

 

sao cho (2)

luôn đúng , y x2 1 , khi đó ta có phương trình :



x1



2 ( x2 1) 1   x22x x2

Vậy để giải phương trình : x2 2x x 2

   ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :









2
2

x ay b

y ax b

 

   




  




, ta sẽ xây

dựng được phương trình dạng sau : đặt y  ax b , khi đó ta có phương

trình :



x 



2 a ax b b 

 

    

Tương tự cho bậc cao hơn :



x



n a nax b b 

 

 

    

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :



x



n p a x bn ' '

     đặt y nax b để đưa về hệ , chú ý về dấu của

 ???

Việc chọn  ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :



x



n p a x bn ' '

     là chọn được.

Bài 1: Giải phương trình: x2 2x 2 2x 1

  

HD:Điều kiện: 1
2

x 

Ta có phương trình được viết lại là: (x 1)2 1 2 2x 1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Đặt y 1 2x 1 thì ta đưa về hệ sau:
2

2 2( 1)

x x y

y y x

   




  




Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y )(  ) 0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2 2

Cách 2: Đặt 2x1 t a 2x 1t2 2at a 2

Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2

kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình:

2
2

2 2 2

x x t

t t x

   




  




Giải hệ này ta sẽ tìm được x.

Bài 2. Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x 5

   

HD:Điều kiện 5

x 

Ta biến đổi phương trình như sau:

2 2

4x  12x 2 2 4 x5  (2x 3) 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta được hệ phương trình sau:

(2 3) 4 5

( )( 1) 0

(2 3) 4 5

x y

x y x y

y x

   



    



  




Với x y 2x 3 4x 5 x 2 3

Với x y  1 0  y 1 x 2x 1 4x5 (vô nghiệm)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x  2 3

Bài 3: Giải phương trình:x2 x 5 5

  

HD: ĐK:x 5

Pt x2 5 x 5 ; x 5

     (*)

Đặt x 5 t a x 5 t2 2at a2

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Chọn a = 0 ta được:t2 - 5 = x và kết hợp với (*) ta được hệ phương trình:

2
2

5
5

x t

t x

  




 


 từ đây ta sẽ tìm được nghiệm.

Bài 4: Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4 9( 0)

28
x

x


 .

HD: Đặt 4 9

28
x

t a


  4 9 2 2 2

28
x

t at a


   

Chọn 1

a  ta được: 4 9 2 1 7 2 7 1

28 4 2

x

t t t t x



      

Kết hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:

2
2

7 7

2
1

7 7

2
x x t

t t x


  





   




Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm.

Bài tập áp dụng:
Giải phương trình: 2

2x 2x 1 4x1

IV. PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:

1. Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:

Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2 (a2 b2)(x2 y2)

  

Dấu ‘‘=’’ xảy ra  axby

2. Bất đẳng thức côsi:

a) Với hai số a, b  0 thì ta có:
2
a b

ab




Dấu ‘‘=’’ xảy ra  a b

b) Với ba số a, b, c  0 thì ta có: 3
3
a b c

abc
 



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

c) Với bốn số a, b, c, d  0 thì ta có: 4
4

a b c d

abcd
  



Dấu ‘‘=’’ xảy ra  a b = c = d

e) Với n số a1, a2,…, an  0 thì ta có: 1 2 1 2
...

. ....
n n

n

a a a

a a a
n

  



Dấu ‘‘=’’ xảy ra  a1a2  ... an

3. GTLN,GTNN của biểu thức:

a/ A = m + f2(x)  m

A m
MinA m

 

 

Dấu ''='' xảy ra  f(x) = 0

b/ A = M - g2(x)  M

ax
A M
M A M

 

 

Dấu ''='' xảy ra g(x) = 0

4. Dùng hằng đẳng thức :

Từ những đánh giá bình phương : A2 B2 0

  , ta xây dựng phương trình dạng

2 2 0

A B 

Từ phương trình



5x 1 2 x

 

2 9 5 x 2



2 x 1 0

ta khai triển ra có phương trình :4x212 x 1 4



x 5x 1 9 5 x



5. Dùng bất đẳng thức

Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: (1)

(2)

A m
B m









nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương

trình A B

Ta có : 1x 1 x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x 0 và 1 1 2
1

x

  

 ,

dấu bằng khi và chỉ khi x = 0. Vậy ta có phương trình:

1 2008 1 2008 1

x x x

x

     

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :

 

( )

A f x
B f x

 







khi đó :

 

A f x
A B

B f x

 


  





 Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn,

nhưng có nhiều bài nghiệm là vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta vẫn dùng

bất đẳng thức để đánh giá được.

II-BÀI TẬP:

Bài 1. Giải phương trình : 2 2 9

1 x x

x   

HD:Đk: x 0

Ta có :





2 2

2 2 1

2 2 1 9

1 1

x

x x x

x

x x

 

    

  

      

     

  

   

     

Dấu bằng 2 2 1 1

1 1 x

x x

   

 

Bài 2. Giải phương trình : 13 x2 x4 9 x2 x4 16

   

HD:Đk:   1 x 1

Biến đổi pt ta có : x2



13 1 x2 9 1 x2



2 256

   

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

















2 2 2 2 2

13. 13. 1 x 3. 3. 3 1x 13 27 13 13  x  3 3x 40 16 10 x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:





2 2 16

10 16 10 64

x  x   

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Dấu bằng

2
2

2 2

2
1

5
1

10 16 10

x
x

x

x x



   

 





  



   

 



Bài 3. Giải phương trình: x3` 3x2 8x 40 8 44 x 4 0

     

HD:Ta chứng minh : 8 44 x 4 x 13

   và



 



3 3 2 8 40 0 3 3 13

x  x  x   x x  x

Bài 4: Giải phương trình: 7 x x 5 x2 12x 38

     

HD:Ta có :VT2=( 7 x x 5

   )2(1 + 1).(7- x + x - 5) = 4
Nên : 0 < VT  2

Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2  2

Theo giả thiết dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6
Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài 5: Giải phương trình: x2 3x 2 x 1 2

     

HD:ĐK:x 



1;2



(1)

PT x2 3x 2 2 x 1 (2)

      

Từ (2) ta có:

2 1 0

1 2

1 2
1 (3)

x
x
x
x

  

  

 

Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thế vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1

Bài 6:Giải phương trình : x 4x 1 2
x

4x 1



 



HD: Điều kiện x 1
4


</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

x 4x 1 x 4x 1

2 2

x x

4x 1 4x 1

 

   

  .

Theo giả thiết dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x 4x 1
x
4x 1






x 4x 1 0
(x 2) 3

x 2 3

   

  

  

Dấu “=” xảy ra  x 4x 1 x2 4x 1 0

     

 x2 4x 4 3 0 (x 2)2 3 x 2 3 x 2 3

             (Thoả mãn)

Vậy :x  2 3

Bài 7:Giải phương trình : x 1  5x 1  3x 2

HD: Cách 1. điều kiện x ≥ 1

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1  5x 1  vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2 ≥ 1  vế phải luôn dương
Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:

x 1  5x 1  3x 2

 x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)     
 2 7x 2 (5x 1)(3x 2)   

Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1  phương trình vô
nghiệm

Bài 8:Giải phương trình : 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2

        (1)

HD: Ta có (1)  2 4 2 9 2

3 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5

3 5

   

          

   

   

 3(x 1)2 4 5(x 1)2 9 5 (x 1)2

       

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra  x = –1
Vậy: phương trình đã cho có mợt nghiệm x = –1

Bài 9:Giải phương trình : x 7 8 2x2 2x 1
x 1



   



HD: điều kiện x ≥ 1
2

Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình

– Nếu 1 x 2

2  : VT =

1 8 8 3

x 1

   

 . Mà: VP > 8 3
– Nếu x > 2: VP = 2x2 +

2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3. VT < 8 3

x 2 x 1 2 1

6 6

1 1 3

x 1 2 1

    

   

 

Vậy: phương trình đã cho có mợt nghiệm duy nhất là x = 2

Bài 10:Giải phương trình : 6 8 6

3 x  2 x 

HD: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = 3

2 là nghiệm của phương trình. Ta cần

chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy:Với x < 3
2:

6
2
3 x  và

8
4
2 x 

 6 8 6

3 x  2 x  .

Tương tự với 3

2 < x < 2:

6 8

6
3 x  2 x 

Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:





1 1 1 1 4 4

1.2 2.3 3.4 . 1 4 5

x

x x x

 

    

  

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ta có:1 1 1 1

1 4 5

x x

  

  

 4 x  x 4 (*)

Ta có: VP(*) = x 4 0  x4 (2)

Từ (1) và (2) ta có:x = 4 là nghiệm duy nhất.
III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Giải các phương trình sau :

1 2 1 2

x x

 

    

 

1 1

2 x 2 4 x

x x

 

       

 

4 4 4

2x  8 4 4x 4 x  4 16x4 5 6 43 x3x

3` 3 2 8 40 8 44 4 0

x  x  x  x  8 x3 64 x3 x4 8x2 28

     

4 x 41 x x 1 x 2 48

       x 3 5 x x2 8x18

Bài 2: Giải các phương trình sau :

1/ x - 2 + 6 - x = x - 8x + 242 2/ x 4 6 x x210x27

3/ 2

6 x x2x  6x13 4/ 1 x 4x 3
5/ 2x 3 5 2x 3x2 12x 14

      6/ x 2 10 x x212x40

V. PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng tốn khá quen
tḥc.

Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )k

Bước 2: Xét hàm số yf x( )

Bước 3: Nhận xét:

 Với x x 0  f x( )f x( )0 k do đó x0 là nghiệm

 Với x x 0  f x( ) f x( )0 k do đó phương trình vơ nghiệm

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )g x( )

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất trái

ngược nhau và xác định x0 sao cho f x( )0 g x( )0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( )f v( )

Bước 2: Xét hàm số yf x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3: Khi đó f u( )f v( ) u v

Ví dụ: Giải phương trình :



2x1 2





 4x24x4



3 2x



 9x23



0

HD:pt



2x1 2



, là hàm đồng biến trên R, ta có 1
5

x 

Ví Dụ 2: Giải phương trình: 3 x 6 3 x 2 3 x 3 0

     

HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình

Đặt f x

 

3 x 6 3 x 2 3 x 3

     

Với x1  x2  f x

 

1  f x

 

2 vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:

a) 4x 1 4x2 1 1

    c) x 1 3  x x2 e) x 1 x2 3

b) x 1 x3 4x 5

    d) x  1 2x2x2 x3 f) 2x 1 x2 3 4 x

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

VI. PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN 
THỨC

Một số phương trình vơ tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương

trình luôn đưa về được dạng tích



x x A x 0

  

0 ta có thể giải phương trình

 

A x  hoặc chứng minh A x 

 

0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của

phương trình để ta có thể đánh gía A x 

 

0 vô nghiệm

Bài 1:Giải phương trình: x x



2



x x



1



2 x2

    (1)

HD: C1: ĐK x2;x1

 

















 

2 2 2

1 2

2 2

1 2

x x x x

x

x x x x

x

x x x x

  

 

  



 

  

Nếu x 1 ta có





















 

1 2 3

2 2 1 2 3

1 2 2

x x x x

x x x

x x x x x




    



   



    



Giải (3) ta tìm được x

Nếu x-2 ta có





















 

1 2 3

2 2 1 2 4

1 2 2

x x x x

x x x

x x x x x



   



   



    



Giải (4) ta tìm được x
C2: ĐK: x2;x1

Nếu x 1 ta chia cả hai vế cho x ta được:



x2







x1



2 x
Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x

Nếu x-2 Đặt t = -x  t2Thay vào phương trình ta được









 









 

2
2

2 1 2

t t t t t

t t t t t

        

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Chia cả hai vế cho t ta được



t 2







t1



2 t
Bình phương hai vế tìm được t

Sau đó tìm ra x.

Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp. Còn trong C2 ta vận dụng kiến thức
miền xác định về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn
giản hơn.

Bài 2 . Giải phương trình sau :





2 2 2 2

3



x 2



     

Ta có thể trục căn thức 2 vế :





2 2

2 4 3 6

2 3 4

3 5 1 3 1

x x

x x x

x x x x

  



   

    

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Bài 3. Giải phương trình sau: x2 12 5 3x x2 5

    

HD: Để phương trình có nghiệm thì : 2 12 2 5 3 5 0 5

x   x   x   x

Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể
phân tích về dạng



x 2

  

A x 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :









2 2

4 4

12 4 3 6 5 3 3 2

12 4 5 3

2 1

2 3 0 2

12 4 5 3

x x

x x x x

x x

 

          

   

   

       

   

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 3 0, 53

12 4 5 3

x x
x
x x
 
    
   

Bài 4. Giải phương trình :3 x2 1 x x3 1

   

HD :Đk x 1

Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

















2 3

2 3 2

3 3 9

1 2 3 2 5 3 1

2 5

1 2 1 4

x x x

x

x x x x

x
x x
 
  

 
            
 
   
 
 

Ta chứng minh :





2 3 2



3 2



3 3

1 1 2

1 2 1 4 1 1 3

x x

x x x

 
   
      
2
3
3 9
2 5
x x
x
 

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 5:Giải phương trình sau:

2 2
2 2
3 3
3 3
x x
x

x x x x

 

 

   

HD:ĐK:x 2 3

Nhân với lượng liên hợp của từng mẫu số của phương trình đã cho ta được:



x2 3





x x2 3





x2 3





x x2 3



3.x

       



x2 3





x2 3

x x x x




 
     















2 4
2

4 3 2 4 4 3 4 4

0 ; 9 2 0

2 ( 3) 9 2 4( 3) 9 2

x x x

x

x x x x x x

   


 
   
     
 
 

Giải hệ trên ta tìm được x  2

Bài 6:Giải phương trình:





2
2
2

3 9 2

x

x
x

 

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

HD:ĐK:

9
2
0
x
x





 


Pt







 



2
2

2 2

2 3 9 2

3 9 2 3 9 2

x x

x

x x

 

  

   





2 18 2 6 9 2

9
4

x x x

x
x

  

  

 6 9 2 x 0

9

2
x

.  f x

 

3) 3 3 1 1

3 10
x

x
x   

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm tất cả các số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn:





2 2 2

1 2 2005 1 2 2005

1

2 ... 2005

2005

...

2 x





x





x





x



x



x

Bài 2: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:





1 2

x y  z  x y z 

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1 2 3 2

x  x  3(x2 x1) ( x x1)2 3 x 2 3 2x 2 1
3

1
2





 x

x x2 x 5 5

   6

2
4
).
2
(
5

)
4
)(
2

( 





x
x
x

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

2 48 4 3 2 35

x   x  x 



x 3 4

 

 x



 9 x 5 x6  3 3x4  21

2 3

2(x 2) 5 x 1 x 17 x2 x. 17 x2 9 2 1 2 1 1
2
x   x x  x 

4 3 10 3  x  x 2 3 x x. 3x x2  x 1 x x 2  1 x2  x2

0
864
5

27 10 6 5

5 x  x   2 2

3x 2x2 x x 1 x x22413x x28

Bài 4: Giải các phương trình sau:

3
x
10
x

25 2 2





 x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4x9 3  5





. 7



5 .



5
2

7 5

x x x x

x x

    



  



 







3 1 4 3 3 0

3
x

x x x

x


     





x 3 10



x2 x2 x 12

     x29x20 2 3 x10

2x 3 x x24x 5 2 2x3

1
x
x
2
x
3
x

3 2 2





 x 5 1  4x 20 1

3 7 x 1 x 2

    3x2 5 3x2 5x 12 48 5x

    

1 1

4 6 0

x x

 

    

   

   

2 2

5 1

5 3 3 1

x x

  

 

5 1

4 20 3 9 45 4

9 3

x

x    x  52 52 4

5 5

x x   x x  

2 2

2 2 2 2

x x

 

 

   





. 7



5 .



5
2

7 5

x x x x

x x

    



  

4 4 2 9 9 4

x   x  x =

x
x



3

3 .

x4 + x 2 2005 2005

 . a b 1 x  1 a b 1 x (a , b > 0)

2 5 4 5 2 5 28 0

x  x  x  x  64x6 - 112x4 + 56x2 - 7 = 2 1 x 2 .
Bài 5: Ký hiệu [x] là phần nguyên của x

Giải phương trình sau:31 3 2 ... 3 x3 1 855

    

     

Bài 6:Cho phương trình:x2.6x 6 x2 x2.6 x 62x

  

Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15 .

Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

1 1 1225

74 2 1 771.

2 1 771 x y z

x  y  z       

Bài 9:Giải các phương trình sau :

2 2

5x  14x 9 x  x 20 5 x1 36x 1 8x3 4x 1

1 1 1

2x x 1 3 x

x x x



3 2x  1 1 x 1 3 x8 2x 1 x2 x 12 x 1 36





2 3 2





3 3

2 1x 3 1 x  1 x 0 2008x2 4x 3 2007 4x 3

(2004 )(1 1 )

x  x   x (x3 x2)(x9 x18) 168 x

3 2 4

1 1 1 1

x  x x    x x  4 2 x416 2 4



 x2



16 2  x9x216

3 2

4 x 1 x 1 x x

     4x23x 3 4x x 3 2 2x 1

2 2

2x 16x18 x  1 2 x4 12 x2 x 1 3 x9

2 3

3 x 1 3x 2 3x 2

     2x2 11x21 3 4 3 x 4 0



 



x   x x  x

2 2 3 3 2

3 1

x x
x x

x

 

  



Bài 10: Giải phương trình:

a) x2 x2 2x 8 12 2x

     b) 2x2 5 2x23x9 3x 3

c) x2 4x 6 2x2 8x 12

     d) 3x215x2 x25x 1 2

e) (x 4)(x 1) 3 x2 5x 2 6

      f) 2x25x2 2 2 x25x 6 1

g) x2 3x 2 2 2x2 6x 2 2

      h) x2 x2 11 31

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>









3 1 2 2 1 2

x   x x  x 1 1 x2 



1 x



3 



1x



3  2 1 x2

 

 

2 1235

x
x

x

 





 







3 1 4 3 3

x

x x x

x



    



2 2

1 x 2 1x  x  2x  1 0 64x6 112x456x2 7 2 1  x2

Bài 12: Cho phương trình: 1x 8 x



1x

 

8 x



m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 13: Cho phương trình: 1 1 2

1 m

x  x 

a) Giải phương trình với 2 2
3

m  

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 14: Cho phương trình: 2



x2 2x



x2 2x 3 m 0

     

a) Giải phương trình với m = 9

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 15:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

y = x2 x 1 x 2 x 1 x x x x y

2 2

1 9 4

y    x  x y x x 2 2 x1

2 2 1 2 1

y  x x  x x y x1 2 x 2  x 2 4 x 2
Bài 16: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

...

x x x  x y nếu:
a/ Vế trái có 100 dấu căn.

b/ Vế trái có n dấu căn.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

4 4 ... 4 4 5
x x x  x x x
(Vế trái có 100 dấu căn).

Bài 18:Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn: 3 2 7 20 3

3 3

a b  a b  
Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn:



x2 4 x

 

y2 4 y



4

     . Tính x + y

Bài 20:Giải phương trình:3 2x 1 3 x 1

  

Bài 21:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

2 2 2 3

1 1 1

x  y y  z z  x  Chứng minh rằng: 2 2 2 3
2
x y z 

Bài 22:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a  b c  a b c 
Chứng minh rằng:2010a 2010b 2010c 2010a b c

    

Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: 4y2 2 199 x2 2x

   

Bài 24:Tìm các số hữu tỉ a và b biết: a 7  b 7  11 7 28

Bài 25:Giải phương trình: 1 2 2 1
1 2

x x

x
 




Bài 26:Tìm các số nguyên k thoả mãn:





2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2009 1

1 1 ... 1

2009

1 2 2 3 k k 1



         



Bài 27:Giải phương trình:

1/ 8 x 3 5 x 3 5
2/ x x2 x x2 x 1

    

3/ 2x2 2x 30 2007. 30 4x 2007 30. 2007

   

4/ 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 2

         

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

6/ 1 1 1 1

3 2 2 1 1

x  x  x  x  x  x 

7/ 9 2 45 1 16 2 80 3 2 5 1 25 2 125 9

12 16 4 9

x x

x   x      

8/ x712671620 52408 x26022004  x712619213 56406 x26022004 1

9/ 2 2

2009 2010 x   x 1 20 2009 2010 x  x 1
10/ (x 5)(2 x) 3 x2 3x

   

Bài 28:Giải các phương trình sau:

2 2

15x 2x  5 2x  15x11 (x5)(2 x) 3 x23x

(1x)(2 x) 1 2  x 2x x 17 x2 x 17 x2 9

3x 2 x 1 4 x 9 2 3 x  5x2 x2 x211 31

2 2 2

2 (1n x) 3 1n  x n(1 x) 0 x (2004 x)(1 1 x)2

   

</div>


Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Hoá 9- Phần 1( Hoá vô cơ 1)

chuyên đề bồi dưỡng HSG

Phương trình vô tỷ trong đề thi Đại học

CHUYEN DE BOI DUONG HSG

Chuyên đề bồi dưỡng HSG MTBT

chuyen de boi duong hsg

Chuyên đề bồi dưởng HSG

SKKN Chuyên đề bồi dưỡng HSG

Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 12

TUYEN TAP CHUYEN DE BOI DUONG HSG HOA 9

Phương trình vô tỷ (Chuyên đề Bồi dưỡng HSG) - Tài liệu Toán 9

3

3

1

0

032

0

32

0

22

















































<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>xx</i>

<i>x</i>

<i>xx</i>

<i>x</i>













<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





 













<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub>   </sub>

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 



