de boi duong hsg 12

ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 12 MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3
Câu 1. Giải hệ phương trình: a)
3
1 1 4
x y xy
x y

+ − =


+ + + =


b)
2
2
3 14 12 1
3 14 12 1
x
y
y y
x x
+
+

= + +


= + +



.
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), tam giác BCD vuông tại C,
( ) ( )
·
(
)
·
,ABD ACD CBD=
.
CMR
·
·
2 2
tan . os 1.CBD c BAC =
Câu 3. Cho PT:
5 4 3 2
1 0x ax bx cx dx+ + + + + =
với a, b, c là các số thực. Biết PT đã cho có đúng 5 nghiệm
thực phân biệt. CMR:
( )
( )
2 2
2 5a d b c+ > +
.
Câu 4. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, kéo dài các đường thẳng GA, GB, GC, GD lần lượt cắt mặt cầu
ngoại tiếp tứ diệnABCD tại A
1
; B
1
; C

1
; D
1
. CMR:
1 1 1 1
GA GB GC GD GA GB GC GD+ + + ≥ + + +
.
Câu 5. Tìm m để PT có nghiệm duy nhất:
4 4
1 1 .x x x x m+ + − + − =
Câu 6. Biết
2 3 0b c+ =
. CMR PT:
cos2 cos 0a x b x c+ + =
luôn có nghiệm trong
0;
2
π
 
 ÷
 
.
Câu 7. Chứng minh rằng PT:
tan x x=
có vô số nghiệm. Giả sử
1 2
, ,..., ,...
n
x x x
là các nghiệm của PT sắp xếp

theo thứ tự tăng dần. Tìm
( )
1
lim
n n
x x
−
−
.
Câu 8. Tìm GTLN của
( ) ( )
[ ]
3 3 3 2 2 2
2 , , , 0;1F x y z x y y z z x x y z= + + − + + ∈víi
.
Câu 9. Bốn đường thẳng
1 2 3 4
, , ,d d d d
đôi một song song và không có ba đường nào nằm trên cùng một mặt
phẳng. (P) cắt chúng tại A, B, C, D, (Q) cắt chúng tại A’, B’, C’, D’. CMR hai khối tứ diện D’ABC và
DA’B’C’ có thể tích bằng nhau.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N.
CMR:
SA SC SB SD
SK SM SL SN
+ = +
.
Câu 11. Tìm m để PT sau có nghiệm:
( ) ( )
2 1 2 2 2 1 0m x m x m− + + − − + − =

.
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có thể tích V nội tiếp mặt cầu bán kính R. CMR:
3
8 3
.
27
V R≤
Câu 13. Kí hiệu
{ }
[ ]
x x x= −
,
{ }
x
là phần lẻ của x,
[ ]
x
là phần nguyên của x. Tìm
( )
{ }
n
n
lim 2 2
→∞
+
.
Câu 14. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F. (ABF),(ACE), (BCD) cắt nhau tại
M, SM cắt mp(ABC) tại D và cắt mp(DEF) tại N. CM:
NP MP
3

NS MS
=
Câu 15. Cho hình chóp tam giác có 3 cạnh bên vuông góc với nhau. Chứng minh:
2
321
h
2
9
SSS ≥++
.
Trong đó S
1
, S
2
, S
3
là diện tích các mặt bên, h là đường cao của hình chóp.
Câu 16. Cho xy + yz + zx = -1. Chứng minh:
2
171
z2y2x
222
+
≥++
.
Câu 17. Cho tam giác ABC. CMR
( ) ( ) ( )
2 2 2
125
1 cos 1 cos 1 cos

64
A B C+ + + ≥
.
Câu 18. Tìm m để PT:
( ) ( )
4 3 2 2
10 2 1 2 5 6 2 0x x m x m x m m− − − + + + + =
có nghiệm.
Câu 19. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
1 1
1 1
x y m
y y m

+ − = +


+ − = +


.
Câu 20. Tìm m để đồ thị HS:
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 4 1 4 1y x m x m m x m m= − + + + + − +
tiếp xúc với trục hoành.
HẾT.