Bài tập nguyên hàm, tích phân đầy đủ dạng - Giáo viên Việt Nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (413.14 KB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

M C L C

Ụ

Loại . HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ...1

Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ...5

Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN...7

Loại . ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN...9

Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1...14

Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2...15

Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN...19

Loại . TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG...20

Loại . TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRỊN XOAY...23

Loại

 .

HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa

Cho hàm số f x

( )

xác định trên khoảng K . Hàm số F x

( )

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x

( )

nếu F x'

( )

= f x

( )

với mọi x KỴ .

Nhận xét. Nếu F x

( )

là một nguyên hàm của f x

( )

thì F x

( )

+C C,

(

Ỵ ¡

)

cũng là ngun hàm của f x

( )

.
Ký hiệu:

ò

f x x

( )

d =F x

( )

+C.

2. Tính chất



(

( )

)

( )

f x x =f x

ò

.



ò

a f x x a.

( )

d = .

ị

f x x a

( )

(

Ỵ ¡, a¹ 0

)

.


ị

ëéf x

( )

±g x x

( )

ùûd =

ị

f x x

( )

d ±

ò

g x x

( )

d .
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm

k x kx C= +

ò

, k là hằng số

(

)

d 1

x

x xa a C a
a

= + ¹

ị

(

)

(

)

d .

ax b

ax b x C

a

a
a

a
+

+ = +

ò

1dx lnx C

x = +

ò

1 dx 1lnax b C

ax b+ =a + +

ò

x x

e x e= +C

ò

eax bdx 1eax b C

a

+ = + +

ò

d
ln

x

x a

a x C

a

= +

ò

.ln
mx n

mx n a

a x C

m a
+
+ = +

ò

cos dx x=sinx C+

ò

cos

(

ax b x

)

d 1sin

(

ax b

)

C
a

+ = + +

ò

sin dx x=- cosx C+

ò

sin

(

ax b x

)

d 1cos

(

ax b

)

C
a

+ =- + +

ò

d tan
cos x x= x C+

ò

(

)

(

)

1 1

d tan

cos ax b+ x=a ax b+ +C

ò

d cot
sin x x=- x C+

ò

(

)

(

)

1 1

d cot

sin ax b+ x=- a ax b+ +C

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 1. Hàm số f x

( )

có nguyên hàm trên K nếu:

A. f x

( )

xác định trên K . B. f x

( )

có giá trị lớn nhất trên K .
C. f x

( )

có giá trị nhỏ nhất trên K . D. f x

( )

liên tục trên K .

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu F x

( )

là một nguyên hàm của f x

( )

trên

(

a b;

)

và C là hằng số thì

ị

f x x

( )

d =F x

( )

+C.

B. Mọi hàm số liên tục trên

(

a b;

)

đều có nguyên hàm trên

(

a b;

)

C. F x

( )

là một nguyên hàm của f x

( )

trên

(

a b;

)

Û F x/

( )

=f x

( )

, " Ỵx

(

a b;

)

D.

(

( )

)

( )

f x x =f x

ò

.

Câu 3. Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn

[

a b;

]

đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn

[

a b;

]

đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:

A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Câu 4. Hàm số F x

( )

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x

( )

trên đoạn

[

a b;

]

nếu:
A. Với mọi xỴ

(

a b;

)

, ta có F x/

( )

=f x

( )

B. Với mọi xỴ

(

a b;

)

, ta có f x/

( )

=F x

( )

.
C. Với mọi xỴ

[

a b;

]

, ta có

( )

F x =f x
.

D. Với mọi xỴ

(

a b;

)

, ta có

( )

F x =f x

, ngoài ra

( )

F a+ =f a

và

( )

F b- =f b

Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D, câu nào là sai?
(I)F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " Îx D F x: '

( )

=f x

( )

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D.

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

A. Khơng có câu nào sai. B. Câu (I) sai.
C. Câu (II) sai. D. Câu (III) sai.

Câu 6. Giả sử F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số f x

( )

trên khoảng

(

a b;

)

. Giả sử G x

( )

cũng là một nguyên hàm của f x

( )

trên
khoảng

(

a b;

)

. Khi đó:

A. F x

( )

=G x

( )

trên khoảng

(

a b;

)

B. G x

( )

=F x

( )

- C trên khoảng

(

a b;

)

, với C là hằng số.

C. F x

( )

=G x

( )

+C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.

Câu 7. Xét hai câu sau:

(I)

ò

(

f x

( )

+g x

( )

)

dx=

ò

f x x

( )

d +

ò

g x x

( )

d =F x

( )

+G x

( )

+C,

trong đó F x

( )

và G x

( )

tương ứng là nguyên hàm của f x g x

( )

.
(II) Mỗi nguyên hàm của a f x.

( )

là tích của a với một nguyên hàm của f x

( )

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.

C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.
Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?

A.

ị

f x x

( )

d =F x

( )

+ ÞC

ò

f t t

( )

d =F t

( )

+C. B.

( )

f x x f x

é ù =

ê ú

ò

û .

C.

ị

f x x

( )

d =F x

( )

+ ÞC

ò

f u x

( )

d =F u

( )

+C. D.

ò

kf x x k f x x

( )

d =

ò

( )

d (k là hằng số).
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. F x

( )

=x2 là một nguyên hàm của f x

( )

=2x.

B. F x

( )

=x là một nguyên hàm của f x

( )

=2 x.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

D.

ò

ëéf x1

( )

+f x2

( )

ûùdx=

ò

f x x1

( )

d +

ò

f x x2

( )

d .
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số f x

( )

thì mọi nguyên hàm của f x

( )

đều có dạng F x

( )

+C (C là hằng số).

B.

( )

d log

u x

x u x C

u x = +

ò

C. F x

( )

= +1 tanx là một nguyên hàm của hàm số

( )

1 tan

f x = + x
.
D. F x

( )

= -5 cosx là một nguyên hàm của hàm số f x

( )

=sinx.
Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

ò

0dx C= (C là hằng số). B. 
1

dx lnx C

x = +

ò

(C là hằng số).

C.

x
x xa a C

a
+

= +

ò

(C là hằng số). D.

ò

dx= +x C

(C là hằng số).

Câu 12.(TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm ngun hàm của hàm số

 

cos3

f x



x



cos 3

xdx



3sin 3

x C



.B.

sin 3

cos3

3 x

xdx





C



.C.



cos 3

xdx



sin 3

3

x



C

.D.

cos 3

xdx



sin 3

x C





.

Câu 13. Hàm số

( )

1
cos

f x

x

có nguyên hàm trên:

A.

(

0;p

)

. B.

;
2 2

p p

ổ ửữ

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗố ứ. C.

(

p p;2

)

. D.

;
2 2

p p

é ù

ê- ú

ê ú

ë û.
Câu 14. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

f x

( ) 2sin



x



2sin

xdx



2cos

x C



. B.

2sin

xdx



sin

x C





2sin

xdx



sin 2

x C





D.



2sin

xdx



2 cos

x C



Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số

( )

(

)

3
2

1
2

x
y f x

x

-= =

là kết quả nào sau đây?

A.

( )

2 3 1

4 2 2

x x

F x x

x

= - + +

. B.

( )

(

)

4
3

3 1

x
F x

x

C.

( )

2 3

3 1 1

4 2 2

x x
F x

x x

= - -

-. D. Một kết quả khác.
Câu 16. Tính

. d
x x

e e+ x

ò

ta được kết quả nào sau đây?

A. e ex. x+1+C. B.
2 1

1
2

x

e + +C

. C. 2e2x+1+C. D. Một kết quả khác.
Câu 17. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số

( ) (

)

f x = x- ?

A.

( )

(

)

3
5

x

F x = - +x

. B.

( )

(

)

3
5

x
F x =

C.

( )

(

)

2017
5

x
F x = - +

. D.

( )

(

)

3
1
5

x
F x = -

Câu 18. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

2

x

f x



e



x

thỏa mãn

3 (0)

2 F



.
Tìm

F x

( )

3 ( )

2

x

F x



e



x



1 ( ) 2

2

x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5 ( )

2

x

F x



e



x



1 ( )

2

x

F x



e



x



Câu 19. Hàm số

( )

3
x

F x =e là một nguyên hàm của hàm số:

A.

( )

3
x

f x =e

. B.

( )

3 . x

f x = x e

. C.

( )

3
x

e
f x

x

. D.

( )

3. x 1
f x =x e

Câu 20. Cho

ln2
2x d

I x

x

ị

. Khi đó kết quả nào sau đây là sai?

A. I =2x+C. B. I =2x+1+C. C. 2 2

(

)

x

I = + +C

. D. 2 2

(

)

x

I = - +C

Câu 21. Cho

1
2

ln2
2 .x d

I x

x

ị

. Khi đó kết quả nào sau õy l sai?

A.

1
2

2 2x 2

I = ổỗỗỗ + +ửữữữữ C

ỗố ứ . B. I =221x+1+C

C.
1
2

2x

I = +C. D.

1
2

2 2x 2

I = ổỗỗỗ - ửữữữữ+C

ỗố ứ .

Cõu 22. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f x( ) 3 5sin  x và f(0) 10 . Mệnh đề nào dưới
đây là đúng ?

A. f x( ) 3 x5cosx5B. f x( ) 3 x5cosx2
C. f x( ) 3 x 5cosx2D. f x( ) 3 x 5cosx15

Câu 23. Nếu

( )

x

f x x= + +e C

ò

thì f x

( )

bằng:

A.

( )

3
x

x
f x = +e

. B.

( )

3 x

f x = x +e

. C.

( )

12
x

x
f x = +e

. D.

( )

2 x
f x =x +e

.
Câu 24. Nếu

ò

f x x

( )

d =sin2 cosx x thì f x

( )

là:

A.

( )

(

)

3cos3 cos
2

f x = x+ x

. B.

( )

(

)

cos3 cos
2

f x = x+ x

C.

( )

(

)

13cos3 cos
2

f x = x- x

. D.

( )

(

)

1 cos3 cos
2

f x = x- x

Câu 25. Nếu

( )

d ln

f x x x C

x

= + +

ị

thì f x

( )

là:

A. f x

( )

= x+lnx C+ . B.

( )

f x x C

x

=- + +

C.

( )

2
1

f x x C

x

=- + +

. D.

( )

x
f x

x

Câu 26. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

1

5

2 f x

x





1 ln 5

2

5

2

5 dx

x

C

x











. B.

5

x

dx

2



1 2

ln(5

x



2)



C





.

5ln 5

2

5

2 dx

x

C

x











. D.

5

x

dx

2



ln 5

x



2 

C





.

Câu 27. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là ngun hàm của hàm số còn lại?

A. f x

( )

=sin2x và g x

( )

=cos2x. B. f x

( )

=tan2x và

( )

2 2
1
cos

g x

x

.
C.

( )

x
f x =e

và

( )

x
g x =e

-. D. f x

( )

=sin2x và

( )

sin

g x = x
.
Câu 28. Tìm số thực m để hàm số

( )

(

)

3 3 2 2 4 3

F x =mx + m+ x - x+ là một nguyên hàm của hàm số f x

( )

=3x2+10x- 4

.
A. m=- 1. B. m=0. C. m=1. D. m=2.

Câu 29. (Sai)Cho hàm số f x

( )

=x e2. x. Tìm a b c, , để

( )

(

)

2 . x

F x = ax +bx c e+

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A.

(

a b c =; ;

) (

1;2;0

)

. B.

(

a b c = -; ;

) (

1; 2;0

)

.
C.

(

a b c = -; ;

) (

1;2;0

)

. D.

(

a b c =; ;

) (

2;1;0

)

Câu 30. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

f x 

( ) 7

x.

A. 7 7 ln 7

xdx x C

 



B.

7 ln 7

x
x

dx

C







1
7xdx 7x C

 



D.

7

1

x

dx

C

x









Câu 31. Để F x

( ) (

= acosx b+ sinx e

)

x là một nguyên hàm của f x

( )

=excosx thì giá trị của a b, là:

A. a=1, b=0. B. a=0, b=1. C. a b= =1. D.

1
2

a b= =
.
Câu 32. Giả sử hàm số

( )

(

)

2 . x

f x = ax +bx c e+

là một nguyên hàm của hàm số g x

( )

=x

(

1- x e

)

-x. Tính tổng A= + +a b c
, ta được:

A. A =- 2. B.A =4. C. A =1 . D. A =3.

Câu 33. Cho các hàm số

( )

(

)

20 30 7; 2 3

2 3

x x

f x F x ax bx c x

x

- +

= = + +

-- với

3
2

x>

. Để hàm số F x

( )

là một nguyên

hàm của hàm số f x

( )

thì giá trị của a b c, , là:

A. a=4, b=2, c=1. B. a=4, b=- 2, c=- 1.

C. a=4, b=- 2, c=1. D. a=4, b=2, c=- 1.

Câu 34. Với giá trị nào của a b c d, , , thì F x

( ) (

= ax b+

)

.cosx+

(

cx d+

)

.sinx là một nguyên hàm của f x

( )

=xcosx?
A. a b= =1, c d= =0. B. a d= =0, b c= =1.

C. a=1, b=2, c=- 1, d=- 2. D. Kết quả khác.

Câu 35. Một nguyên hàm F x

( )

của hàm số

( )

sin

f x = x

là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 8

p

khi x 4

p

=
?

A.

( )

sin .
3

x
F x =

B.

( )

sin2
.

2 4

x x

F x =

-C.

( )

sin2 1.

2 4 4

x x

F x = - +

D.

( )

sin 2

.
3 12

x
F x =

-Câu 36. Cho hàm số y= f x

( )

có đạo hàm là

( )

1
'

2 1

f x
x

- và f

( )

1=1 thì f

( )

5 có giá trị bằng:

A. ln2. B. ln3. C. ln2 1.+ D. ln3 1.+

Câu 37. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm ngun hàm

F x

( )

của hàm số

f x

( ) sin



x



cos

x

thỏa mãn

2 F

















.

F x

( ) cos



x



sin

x



3 F x

( )



cos

x



sin

x



3 F x

( )



cos

x



sin

x



1 F x

( )



cos

x



sin

x



1

Câu 38. Cho hàm số

( )

4
sin

m

f x x

p

= +

. Tìm m để nguyên hàm F x

( )

của f x

( )

thỏa món F

( )

0 =1 v 4 8

Fổ ửỗ =ỗ ữỗố ứpữữ p
.

A.

4
3

m=-. B. 
3
4

m=

. C.

3
4

m=-. D.

4
3

m=

Cõu 39. Cho hàm số

( )

2
1
sin

y f x

x

= =

. Nếu F x

( )

là nguyên hàm của hàm số f x

( )

và đồ thị y F x=

( )

i qua im
;0

Mổ ửỗỗỗốp ữữữứ

thỡ F x

( )

là:

A.

( )

cot
3

F x = - x

. B.

( )

cot .
3

F x =- + x

C. F x

( )

=- 3 cot .+ x D. F x

( )

= 3 cot .- x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A.

(

0; 1-

)

. B. 
5

;9
2
æ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ. C.

(

0; 1-

)

v

5
;9
2
ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ. D.

;8
2
ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ.

Loi  . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1. Phương pháp đổi biến số

Nếu

ò

f x x

( )

d =F x

( )

+C thì

ị

f u x u x xëé

( )

ùû. '

( )

d =F u xéë

( )

ùû+C.

Giả sử ta cần tìm họ ngun hàm I =

ị

f x x

( )

d , trong đó ta có thể phân tích f x

( )

=g u x u x

(

( )

)

( )

thì ta thực hiện phép đổi
biến số t u x=

( )

, suy ra dt u x x= '

( )

d .

Khi đó ta được ngun hàm:

ị

g t t G t

( )

d =

( )

+ =C G u xéë

( )

ùû+C.

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x=

( )

.
Câu 34. Câu nào sau đây sai?

A. Nếu F t'

( )

=f t

( )

thì

(

( )

)

(

( )

)

F u x =f u x

B.

ò

f t t

( )

d =F t

( )

+ ÞC

ị

f u x u x x

(

( )

)

( )

d =F u x

(

( )

)

+C.

C. Nếu G t

( )

là một nguyên hàm của hàm số g t

( )

thì G u x

(

( )

)

là một nguyên hàm của hàm số

(

( )

)

( )

g u x u x

.
D.

ò

f t t

( )

d =F t

( )

+ ÞC

ị

f u u F u

( )

d =

( )

+C với u u x=

( )

Câu 35. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu

ị

f t t

( )

d =F t

( )

+C thì

(

( )

)

( )

(

( )

)

. d

f u x u x x=F u x +C

ò

.

B. Nếu F x

( )

và G x

( )

đều là nguyên hàm của hàm số f x

( )

thì

ị

ëéF x

( )

- G x

( )

ùûdx có dạng h x

( )

=Cx D+ (C D, là các

hằng số và C ¹ 0).

C.

( )

7 sin

F x = + x

là một nguyên hàm của f x

( )

=sin2x.

D.

( )

u x

x u x C

u x = +

ò

Câu 41. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

( )

= 2x- 1.

A.

( )

(

)

d 2 1 2 1 .

f x x= x- x- +C

ò

B.

( )

(

)

d 2 1 2 1 .

f x x= x- x- +C

ò

C.

( )

d 2 1 .

f x x=- x- +C

ò

D.

( )

d 2 1 .

f x x= x- +C

ị

Câu 42. Để tính

d
x

e x
x

ò

theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A. t e= lnx. B. t=ln .x C. t=x. D.

1
.

t
x

Câu 43. F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số

2
x

y xe= .

Hàm số nào sau đây không phải là F x

( )

A.

( )

1 2

x

F x = e +

. B.

( )

(

)

1 5

2
x

F x = e +
.

C.

( )

2
1
2

x

F x =- e +C

. D.

( )

(

)

2
1 2

x

F x =- - e

Câu 44. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

F x

( )

là nguyên hàm của hàm số

ln
( ) x

f x
x



. Tính

F e

( )



F

(1)

I



e

. B.

1 I

e



. C.

1

2 I 

. D.

I 

1

Câu 45. F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số

lnx

y
x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nếu

( )

2 4
F e =

thì
ln

x
x
x

ị

bằng:

A.

( )

ln
2

x
F x = +C

. B.

( )

ln 2
2

x
F x = +

C.

( )

ln
2

x
F x =

-. D.

( )

ln
2

x
F x = + +x C

.
Câu 46. F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số y e= sinxcosx.

Nếu F p =

( )

5 thì

sinxcos d

e x x

ò

bằng:

A.F x

( )

=esinx+4. B. F x

( )

=esinx+C .

C. F x

( )

=ecosx+4. D. F x

( )

=ecosx+C.
Câu 47. F x

( )

là nguyên hàm của hàm số y=sin4xcosx.

( )

F x là hàm số nào sau đây?

A.

( )

cos
5

x
F x = +C

. B.

( )

cos
4

x
F x = +C

C.

( )

sin
4

x
F x = +C

. D.

( )

sin
5

x
F x = +C

.
Câu 48. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:

(I)

ò

tan dx x=- ln cos

(

x

)

+C.

(II)

3cos sin d 1 3cos

x x

e x x=- e +C

ò

(III)

cos sin d 2 sin cos
sin cos

x x x x x C

x x

+ = - +

-ò

.
Số mệnh đề đúng là:

A. 0. B. 1. C. 2. D.3.

Loại  . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn

[

a b;

]

và có đạo hàm liên tục trên đoạn

[

a b;

]

.
Khi đó:

ị

u v uvd = -

ị

v ud .

( )

Để tính ngun hàm

ị

f x x

( )

d bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn u v, sao cho f x x u v

( )

d = d (chú ý dv v x x= '

( )

d ).

Sau đó tính v=

ị

dv và du u x= '.d .
Bước 2. Thay vào cơng thức

( )

* và tính

ị

v ud .

Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

ị

v ud dễ tính hơn

ị

u vd . Ta thường
gặp các dạng sau

● Dạng 1.

( )

sin d
cos

x

I P x x

x

é ù

ê ú

= ê ú

ë û

ò

, trong đó P x

( )

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

( )

sin

d d

cos

u P x
x

v x

x

ìï =

ïïï é ù
íï =ê ú

ï ê ú

ïï ë û

ỵ .

● Dạng 2.

( )

d
ax b

I = P x e + x

ị

, trong đó P x

( )

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

( )

d ax bd

u P x
v e + x

ìï =
ïí
ï =

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

● Dạng 3. I =

ò

P x

( ) (

ln mx n x+

)

d , trong đó P x

( )

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

(

)

( )

d d

u mx n
v P x x

ìï = +

ïí
ï =

ïỵ .

● Dạng 4.

sin
d
cos

x

I e x

x

é ù

ê ú

= ê ú

ë û

ò

.

Với dạng này, ta đặt

sin
cos
d xd

x
u

x
v e x

ì é ù

ïï =ê ú
ïï ê ú

í ë û

ïï
ï =

ïỵ .

Câu 49. Để tính

ị

xln 2

(

+x x

)

d theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A.

(

)

.
d ln 2 d

u x

v x x

ì =
ïï

íï = +

ïỵ B.

(

)

ln 2
.

d d

u x

v x x

ìï = +
ïí

ï =
ïỵ

C.

(

)

ln 2
.

d d

u x x

v x

ìï = +

ïí
ï =

ïỵ D.

(

)

ln 2
.

d d

u x

v x

ìï = +
ïí

ï =
ïỵ

Câu 50. Để tính

2cos d
x x x

ị

theo phương pháp tính ngun hàm từng phần, ta đặt:

A.

.
d cos d

u x

v x x x

ì =
ïï
íï =

ïỵ B.

.
d cos d

u x
v x x

ìï =
ïí
ï =

ïỵ C. 2

cos
.

d d

u x

v x x

ì =
ïï
íï =

ïỵ D.

2cos

.
d d

u x x
v x

ìï =
ïí
ï =
ïỵ

Câu 51. Kết quả của d
x

I =

ò

xe x

là:

A. I =ex+xex+C. B.

2
x

x
I = e +C

C. I =xex- ex+C. D.

x x

x

I = e + +e C

Câu 52. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

F x

( ) (



x



1)

e

x là một nguyên hàm của hàm số

f x e

( )

2x. Tìm nguyên hàm
của hàm số

f x e



( )

2x.

( )

x

d

(4 2 )

x

f x e



x





x e



C



B.

2 ( )

d

2

x

f x e



x





e



C



( )

x

d

(2

)

x

f x e



x





x e



C



D.



f x e



( )

2x

d

x



(

x



2)

e

x



C

Câu 53. Hàm số f x

( ) (

= x- 1

)

ex có một nguyên hàm F x

( )

là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x =0?
A.

( ) (

)

x
F x = x- e

. B.

( ) (

)

x
F x = x- e

.
C. F x

( ) (

= x+1

)

ex+1. D. F x

( ) (

= x- 2

)

ex+3.

Câu 54. Một nguyên hàm của f x

( )

=x xln là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x =1?

A.

( )

(

)

2 2

1 1

ln 1

2 4

F x = x x- x +

. B.

( )

1 1

ln 1

2 4

F x = x x+ x+
.

C.

( )

(

)

1 ln 1 1

2 2

F x = x x+ x +

. D. Một kết quả khác.

Câu 55. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

1 ( )

2 F x

x



là một nguyên hàm của hàm số

( )

f x

x

. Tìm nguyên hàm của hàm

số

f x



( ) ln

x

A. 2 2

ln

1 ( ) ln

2 x

f x

xdx

C

x























B. 2 2

ln

1 ( ) ln

x

f x

xdx

C

x









2 2

ln

1 ( )ln

x

f x

xdx

C

x























D. 2 2

ln

1 ( ) ln

2 x

f x

xdx

C

x









Câu 56. Tính ngun hàm

(

)

ln ln
d

x

I x

x

ị

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A. I =ln .ln lnx

(

x

)

+C. B. I =ln .ln lnx

(

x

)

+lnx C+ .

C. I =ln .ln lnx

(

x

)

- lnx C+ . D. I =ln ln

(

x

)

+lnx C+ .

Câu 57. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F x( ) x2 là một nguyên hàm của hàm số f x e( ) 2x. Tìm nguyên hàm của hàm
số f x e( ) 2x.

2 2

( )

x

2 f x e dx





x



x C





B.



f x e dx



( )

2x



x

 

x C

2 2

( )

x

2 f x e dx





x



x C





D.



f x e dx



( )

2x



2 x



2 x C



Câu 58. Tính ngun hàm sin . d
x

I =

ị

x e x

, ta được:

A.

(

)

1 sin cos
2

x x

I = e x e- x +C

. B.

(

)

sin cos
2

x x

I = e x e+ x +C

.
C. I =exsinx C+ . D. I =excosx C+ .

Câu 59. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho 2

1 ( )

3 F x

x



là một nguyên hàm của hàm số

( )

f x

x

. Tìm nguyên hàm của hàm

số

f x



( ) ln

x

A. 3 5

ln

1 ( )ln

5 x

f x

xdx

C

x









B. 3 5

ln

1 ( ) ln

5 x

f x

xdx

C

x











C. 3 3

ln

1 ( )ln

3 x

f x

xdx

C

x









D. 3 3

ln

1 ( ) ln

3 x

f x

xdx

C

x









Câu 60. Để tìm nguyên hàm của f x

( )

=sin4xcos4x thì nên:
A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=sinx.

B. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=cosx.

C. Biến đổi lượng giác

2 2 sin 2 1 cos4

sin cos

4 8

x x

x x= =

rồi tính.

D. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt u=sin , d4x v=cos d4x x.

Loại  . ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa

Cho f x

( )

là hàm số liên tục trên K và a b, là hai số bất kì thuộc K . Giả sử F x

( )

là một nguyên hàm của f x

( )

trên K
thì hiệu số

( )

F b- F a

được gọi là tích phân của f x

( )

từ a đến b và kí hiệu là

( )

d

( )

b

b
a
a

f x x F x

=

F b

-

F a

ị

2. Tính chất

 Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0, tức là

( )

d 0
a

a

f x x =

ò

 Đổi cận thì đổi dấu, tức là

( )

b a

a b

f x x=- f x x

ò

 Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngồi dấu tích phân, tức là

( )

b b

a a

kf x x k f x x=

ò

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

( )

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

é ± ù = ±

ë û

ị

 Tách đơi tích phân, tức là

( )

b c b

a a c

f x x= f x x+ f x x

ò

ị

Chú ý: Tích phân

( )

d
b

a

f x x

ị

chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a b, mà không phụ thuộc vào biến số x, tức là

( )

b b

a a

f x x= f t t

ò

Câu 61. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn

[

a b;

]

. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

A.

( )

b a

a b

f x x=- f x x

ò

. B.

(

)

.d ,

b

a

k x k b a= - " Ỵk

ị

C.

( )

b c b

a a c

f x x= f x x+ f x x

ị

với cỴ

[

a b;

]

D.

( )

b a

a b

f x dx= f x x

ò

Câu 62. Giả sử hàm số f x

( )

liên tục trên khoảng K và a b, là hai điểm của K , ngoài ra k là một số thực tùy ý. Khi đó:

(I)

( )

d 0
a

a

f x x =

ò

. (II)

( )

a b

b a

f x x= f x x

ò

. (II)

( )

. d d

b b

a a

k f x x k= f x x

ị

.
Trong ba cơng thức trên:

A. Chỉ có (I) sai. B. Chỉ có (II) sai.
C. Chỉ có (I) và (II) sai. D. Cả ba đều đúng.
Câu 63. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

dx 1

ò

. B.

( )

1 . 2 d 1 d . 2 d

b b b

a a a

f x f x x= f x x f x x

ò

C. Nếu f x

( )

liên tục và khơng âm trên đoạn

[

a b;

]

thì

( )

d 0
b

a

f x x ³

ò

D. Nếu

( )

d 0

a

f x x =

ị

thì f x

( )

là hàm số lẻ.
Câu 64. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

( )

b c b

a a c

f x x= f x x+ f x x

ò

với mọi a b c, , thuộc tập xác định của f x

( )

B. Nếu

( )

d 0
b

a

f x x ³

ị

thì f x

( )

³ 0," Ỵx

[

a b;

]

C.

2
2

2 1
1

x

x C

x = + +

ò

D. Nếu F x

( )

là nguyên hàm của hàm số f x

( )

thì F x

( )

là nguyên hàm của hàm số f x

( )

Câu 65. Đặt

( )

1 d

x

F x =

ò

+t t

. Đạo hàm F x/

( )

là hàm số nào dưới đây?

A.

( )

x
F x

x

+ . B. F x/

( )

= 1+x2.

C.

( )

1
1

F x

x

+ . D. F x/

( )

(

x2+1 1

)

+x2.

Câu 66. Cho

( )

(

)

d
x

F x =

ò

t +t t

. Giá trị nhỏ nhất của F x

( )

trên đoạn

[

- 1;1

]

là:

A.

1
.

6 B. 2. C.

5
.
6

-D.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 67. Cho

( )

3
d
1
x

t

F x t

t

ò

. Xét các mệnh đề:

( )

2
3
'

x
F x

x

+ .

II. Hàm số F x

( )

đạt cực tiểu tại x = 3.
III. Hàm số F x

( )

đạt cực đại tại x = 3.
Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I và II. D. I và III.
Câu 68. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

A.

1 1
2 3

0 0

d d

x x³ x x

ò

B. Đạo hàm của

( )

d
1
x

t
F x

t

=
+

ò

là

( )

(

)

/ 1 0

F x x

x

= >

+ .

C. Hàm số f x

( )

liên tục trên

[

- a a;

]

thì

( )

d 2 d

a a

a

f x x f x x

ò

D. Nếu f x

( )

liên tục trên ¡ thì

( )

b c c

a b a

f x x+ f x x= f x x

ò

Câu 69. Cho f x

( )

là hàm số chẵn và

( )

f x x a

ò

. Chọn mệnh đề đúng:

A.

( )

f x x=- a

ò

. B.

( )

d 2

f x x a

ò

C.

( )

f x x a

ò

. D.

( )

f x x a=

ò

Câu 70. Nếu ff

( )

1=12, 'x

( )

liên tục và

( )

' d 17

f x x =

ò

. Giá trị của f

( )

4 bằng:

A. 29. B. 5. C. 19. D. 9.

Câu 71. Cho

( )

d 10

f x x =

ị

. Khi đó

( )

2 4f x dx

é- ù

ë û

ò

bằng:
A. 32. B. 34. C. 36. D. 40.

Câu 72. Cho

( )

d 1

f x x =

ò

và

( )

d 3

f t t

=-ò

. Giá trị của

( )

f u u

ò

là:

A. - 2. B.- 4. C. 4. D. 2.

Câu 73. Cho hàm f liên tục trên ¡ thỏa mãn

( )

d 10,

( )

d 8,

( )

d 7

d d c

a b a

f x x= f x x= f x x=

ị

Tính

( )

d
c

b

I =

ị

f x x

, ta được.

A. I =- 5. B. I =7. C.I =5. D. I =- 7.

Câu 74. Cho biết

( )

3 4 4

1 1 1

d 2, d 3, d 7

f x x=- f x x= g x x=

ò

.
Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

( )

d 10.

f x g x x

é + ù =

ë û

ò

B.

( )

d 1.

f x x =

ò

C.

( )

d 5.

f x x

=-ò

D.

( )

4f x 2g x dx 2.

é - ù

=-ë û

ò

Câu 75. Cho biết

( )

3 2 d 1

A=

ò

éëf x + g xùûx=
và

( )

2 d 3

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Giá trị của

( )

f x x

ò

bằng:

A. 1. B. 2. C.

5
7

-. D.

1
2.

Câu 76. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

( )

5 f x dx







. Tính





( ) 2sin

I

f x

x dx









I 

7 I

5

2 

 

I 

3 I

 

5 

Câu 77. Giả sử A B, là các hằng số của hàm số f x

( )

=Asin

( )

px +Bx2.

Biết

( )

d 4

f x x =

ò

. Giá trị của B là:

A. 1. B. Một đáp số khác. C. 2. D.

3
2.

Câu 78. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

( )

2 f x dx







và

( )

1 g x dx







. Tính





2 ( ) 3 ( )

I

x

f x

g x dx











5

2 I 

7

2 I 

17

2 I 

11

2 I 

Câu 79. Tính các hằng số A và B để hàm số f x

( )

=Asin

( )

px +B thỏa mãn đồng thời các điều kiện f' 1

( )

=2 và

( )

d 4

f x x =

ò

A.

, 2

A B

p

=- =

. B.

2
, 2

A B

p

= =

C.

, 2

A B

p

=-. D.

, 2

A B

p

=-.

Câu 80. Giá trị nào của b để

(

)

2 6 d 0
b

x- x=

ò

A. b=0 hoặc b=3. B. b=0 hoặc b=1
C. b=5 hoặc b=0. D. b=1 hoặc b=5.

Câu 81. Cho 1

1
d
a

x

x e
x

+
=

ò

với a>1. Khi đó, giá trị của a thỏa mãn là:

A. 
1

e. B. e. C. 2

e

. D. e2.

Câu 82. Để

(

)

4 d 6 5
k

k- x x= - k

ị

thì giá trị của k là:

A. k =1. B. k =2. C. k =3. D. k =4.

Câu 83. Để

2
0

sin d 0

2
x

t t

ổ ửữ

ỗ - ữ =

ỗ ữ

ỗố ứ

ũ

, vi k Ỵ ¢ thì x thỏa:

A. x k p= 2 . B. x kp= . C. x k2

p

. D. x=

(

2k+1

)

p.

Câu 84. Nếu

(

)

(

)

cos sin d 0 0 2
a

x+ x x= < <a p

ị

thì giá trị a bằng:

A. 4

p

. B. 2

p

. C.
3

p

. D. p.

Câu 85. Nếu

5
1

d
ln
2 1

x

c
x- =

ò

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 86. Nếu kết quả của

d
3

x
x+

ò

được viết ở dạng ln

a

b với a b, là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a b, bằng 1.

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. 3a b- <12. B. a+2b=13. C. a b- >2. D. a2+b2=41.

Câu 87. Tớnh tớch phõn

2
1

1 2 1

3 x

x x x

ổ ửữ

ỗ - - ữ

ỗ ữ

ỗố - ứ

ũ

, ta thu c kt qu dng a b+ ln2 vi a bẻ Ô, . Chọn khẳng định đúng trong
các khẳng định sau?

A. a2+b2>10. B. a>0. C. a b- >1. D. b- 2a>0.

Câu 88. Kết quả của tích phân

1 d

x x

x

-ổ ửữ

ỗ + + ữ

ỗ ữ

ỗố - ứ

ũ

c vit di dng a b+ ln2 vi a bẻ Ô, . Khi đó a b+ bằng:

A.

3
2. B.

3
2

-. C. 
5

2. D.

5
2

Câu 89. Biết rằng

2 3

d ln2
2

x

x a b

x

= +

-ũ

vi a bẻ Ô, .
Chn khng định sai trong các khẳng định sau:

A. a<5. B. b>4. C.a2+b2>50. D.a b+ <1.

Câu 90. Cho tích phân

(

)

(

)

2 1

d ln2 ln3

x x x

I x a b c

x

-= = + +

ò

với a b cẻ Ô, , . Chn khng nh đúng trong các khẳng
định sau:

A. b>0. B. c<0. C. a<0. D.a b c+ + >0.

Câu 91. Cho tích phân

(

)

(

)

2 2

d ln2 ln3

x x x

I x a b c

x

- - +

= = + +

ũ

vi a b cẻ Ô, , . Chọn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:

A. b>0. B. c>0. C. a<0. D. a b c+ + >0.

Câu 92. Một vật chuyển động với vận tốc ( ) ( )

2 4

1,2 m/ s

t
v t

t

= +

+ . Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao

nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

A. 18,82m. B.11,81m. C. 4,06m. D. 7,28m.

Câu 93. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật

3 2

1

6

2 s



t



t

với t (giây) là khoảng thời gian
tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng
thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

24 (m/s)

108 (m/s)

. C.

18 (m/s)

64 (m/s)

Câu 94. Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v t

( )

=3t2+5 m/ s

(

)

. Quãng đường
máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :

A. 36m. B. 252m. C. 1134m. D. 966m.

Câu 95. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm

đó, ơ tơ chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t

( )

=- 5t+10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc
bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển bao nhiêu mét ?

A. 0,2 m. B. 2 m. C. 10 m. D. 20 m.

Câu 96. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật

3 2

1

6

3 s



t



t

với t (giây) là khoảng thời gian
tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng
thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

144 (m/s)

36 (m/s)

243 (m/s)

27 (m/s)

Câu 97. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a t

( )

= +3t t2(m/s2). Quãng đường vật đi được trong khoảng

thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu ?

A.

4000m

3 . B.

4300m

3 . C.

1900m

3 . D.

2200m
3 .

Câu 98. Một vật chuyển động với vận tốc v t

( )(

m/ s

)

, có gia tốc

( )

(

)

' m/ s

v t
t

+ . Vận tốc ban đầu của vật là 6m/ s. Vận
tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

13

1 t

v

O

8

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Giaovienvietnam.com Bài tập trắc nghiệm full cả chương: Nguyên hàm tích phân

A. 14m/ s. B.13m/ s. C. 11m/ s. D. 12m/ s.

Câu 99. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ
thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh

I

(2;9)

với trục đối xứng song song
với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính
qng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó

26,5 (km)

28,5 (km)

27 (km)

24 (km)

Câu 100. Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N t

( )

. Biết rằng

( )

4000
'

1 0,5

N t

t

+ và lúc đầu đám vi trùng có 250.000 con.
Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị):

A. 264.334 con. B. 257.167 con. C. 258.959 con. D. 253.584 con.

Câu 101. Gọi h t

( )(

)

là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

( )

' 8

h t = t+

và lúc đầu bồn
không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

A. 2,33 cm. B. 5,06 cm. C. 2,66 cm. D. 3,33 cm.

Câu 102. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h)

phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh

1 ;8

2 I













và trục đối
xứng song song với trục tung như hình bên. Tính qng đường s người đó chạy được trong khoảng
thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.

s 

4,0 (km)

s 

2,3 (km)

s 

4,5 (km)

s 

5,3 (km)

Câu 103. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất

6%

/năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất
bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất

không đổi và người đó khơng rút tiền ra.

A. 13 năm B. 14 năm C. 12 năm D. 11 năm

Câu 104. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Nếu w t'

( )

là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì

( )

' d

w t t

ị

là sự cân nặng của đứa trẻ giữa 5 và 10
tuổi.

B. Nếu dầu rò rỉ từ một cái thùng với tốc độ r t

( )

tính bằng galơng/phút tại thời gian t, thì

( )

120

r t t

ị

biểu thị lượng galơng
dầu rị rỉ trong 2 giờ đầu tiên.

C. Nếu r t

( )

là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới, trong đó t được bằng năm, bắt đầu tại t =0 vào ngày 1 tháng 1 năm 2000

và r t

( )

được tính bằng thùng/năm,

( )

r t t

ị

biểu thị số lượng thùng dầu tiêu thụ từ ngày 1 tháng 1 năm 2000 đến ngày
1 tháng 1 năm 2017.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 105. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ 
thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu 
chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với
trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính quãng đường

s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm trịn đến hàng phần trăm).

A. s 23, 25 (km) B. s 21,58 (km)

C. s 15,50 (km) D. s 13,83 (km)

Câu 106. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho
nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng

3 2

t

v

9 O

4

1

2

1 t

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

thêm

15

% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong
cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng ?

A. Năm 2023 B. Năm 2022. C. Năm 2021 D. Năm 2020

Câu 107. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động
trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian

t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh

(2;9)

I

và trục đối xứng song song với trục tung như

hình bên. Tính qng đường s mà vật di chuyển được
trong 3 giờ đó.

A.

s 

24, 25 (km)

B.

s 

26, 75 (km)

C.

s 

24, 75 (km)

D.

s 

25, 25 (km)

Loại  . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1

1. Phương pháp đổi biến số 
a) Phương pháp đổi biến số loại 1

Giả sử cần tính

( )

d
b

a

I =

ị

f x x

ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Đặt x u t=

( )

(với u t

( )

là hàm có đạo hàm liên tục trên

[

a b;

]

, f u tëé

( )

ûù xác định trên

[

a b;

]

và u

( )

a =a u,

( )

b =b)
và xác định a b, .

Bước 2. Thay vào, ta có:

( )

. '

( )

I f u t u t t g t t G t G G

b b

b
a

a a

b a

é ù

ò

ë û =

ò

= =

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại 1

Dấu hiệu Cách chọn

2 2

a - x

[

]

sin ;
2 2
cos 0;

x a t t

p p

p

é é ù

ê = Ỵ -ê ú

ê êë úû

ê = Ỵ

ê
ë

2 2

x - a

{ }

[

]

, \ 0

sin 2 2

0, \

cos 2

a

x t

t
a

x t

t

p p

p
p

é é ù

ê = Ỵ -ê ú

ê êë úû

ê ì ü

ï ï
ê = Ỵ ï ïí ý

ê ï ï

ê ï ùợ ỵ

ở

2 2

x +a tan ;

2 2

x=a t tẻ -ổỗỗỗố p pửữữữứ

Cõu 108. i biến số x=4sint của tích phân

2
0

16 d

I =

ị

- x x

, ta được:

A.

4
2
0

16 cos d

I t t

p

ò

. B.

(

)

8 1 cos2 d

I t t

p

ò

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

C.

4
2
0

16 sin d

I t t

p

ò

. D.

(

)

8 1 cos2 d

I t t

p

ò

-.

Câu 109. Cho tích phân

1
2
0
d
4
x
I
x
=

-ị

. Nếu đổi biến số x=2sint thì:

A.
6
0
d
I t
p
=

ị

. B. 
6
0
d

I t t

p
=

ị

. C. 
6
0
dt
I
t
p
=

ị

. D.

3
0
d
I t
p
=

ị

Câu 110. Đổi biến số x= 3tant của tích phân

3
2
3
1
d
3
I x
x
=
+

ò

, ta được:

A.

3 d .

I t
p
p
=

ò

B. 
3
4
3 d
.
3
t
I
t
p
p
=

ò

C. 
3
4

3 d .
3

I t t

p
p
=

ò

D.
3
4

3 d .
3

I t

p

ị

Câu 111. Cho tích phân

2 2
3
1
1d
x
I x
x

-=

ị

. Nếu đổi biến số
1
sin

x
t
=
thì:
A. 
4
2
2

cos d .

I t t

p
p
=

ò

B. 
2
2
4

sin d .

I t t

p
p
=

ò

C.
2

2
4

cos d .

I t t

p
p
=

ò

D.

(

)

2
4
1

1 cos2 d
2

I t t

p

p
=

ò

Loại  . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2

b) Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như ngun hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau:

Để tính tích phân

( )

d
b

a

I =

ị

f x x

nếu f x

( )

= ë ûg u x u xé

( )

ù. '

( )

, ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau

Bước 1. Đặt t u x=

( )

Þ dt u x x= '

( )

d . Đổi cận

( )

x a t u a
x b t u b

ỡù = ị =
ùớ

ù = ị =
ùợ

Bc 2. Thay vào ta có

( )

( )
( )
( )
( )
d .

u b u b

u a
u a

I =

ò

g t t G t=

Câu 112. Cho hàm số f x

( )

có nguyên hàm trên ¡ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

( )

(

)

1 1

0 0

d 1 d

f x x= f - x x

ò

. B.

( )

d 2 d

a a

a

f x x f x x

-=

ò

.
C.

(

)

(

)

0 0

sin d sin d

f x x f x x

p p
p
=

ò

. D.

( )

1 2
0 0
1
d d
2

f x x= f x x

ò

Câu 113. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

( )

12 f x dx 



. Tính

(3 )

I





f x dx

I 

6 I 

36 I 

2 I 

4

Câu 114. Nếu f x

( )

liên tục và

( )

d 10

f x x =

ị

, thì

( )

2
0
2 d

f x x

ò

bằng:

A. 5. B. 29. C. 19. D. 9.

Câu 115. Hàm số y= f x

( )

có nguyên hàm trên

(

a b;

)

đồng thời thỏa mãn f a

( )

= f b

( )

. Lựa chọn phương án đúng:

A.

( )

' d 0

b

f x

a

f x e x =

ò

. B.

( )

' d 1

b

f x

a

f x e x =

ò

C.

( )

' d 1

b

f x

a

f x e x

=-ò

. D.

( )

' d 2

b

f x

a

f x e x =

ò

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Câu 116. Cho hàm số f x

( )

có nguyên hàm trên ¡ . Xét các mệnh đề:

(

)

( )

0 0

sin2 . sin dx f x x f x xd .
p
=

ò

II.

( )

1
2

0 1
d d
x e
x

f e f x

x x

e = x

ò

.
III.

( )

2
3 2
0 0
1
d d
2
a a

x f x x= xf x x

ò

.
Các mệnh đề đúng là:

A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ III. D. Cả I, II và III.

Câu 117. Cho f x

( )

là hàm số lẻ và liên tục trên

[

- a a;

]

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

( )

d 2 d

a a

a

f x x f x x

ò

. B.

( )

d 0
a

a

f x x

-=

ò

.
C.

( )

d 2 d

a

a a

f x x f x x

-
-=

ò

. D.

( )

d 2 d

a a

a

f x x f x x

=-ò

ò

Câu 118. Cho f x

( )

là hàm số lẻ và

( )

d 2

f x x

ò

. Giá trị của

( )

f x x

ò

là:
A. 2. B. - 2. C. 1. D. - 1.

Câu 119. Cho f x

( )

là hàm số chẵn và

( )

d 3

f x x

ò

. Giá trị của

( )

f x x

-ò

là:

A.3. B. 2. C. 6. D. - 3.

Câu 120. Tính tích phân

2
2 3
0

I =

ị

x x + x

A. 
16

9. B.

16
9

-. C.

9 . D.

52
9

Câu 121. Cho

2
2
1

2 1d

I =

ò

x x - x

và u x= 2- 1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A.

I =

ò

u u

. B.
2

I =

ò

u u

. C. 
3
3
2
0
2
3

I = u

. D. I =2 3.

Câu 122. Biến đổi

3
0
d
1 1
x x
x
+ +

ò

thành

( )

2
1
d

f t t

ò

, với t= 1+x. Khi đó f t

( )

là hàm nào trong các hàm số sau?

A. f t

( )

=2t2- 2t. B. f t

( )

= +t2 t. C. f t

( )

= -t2 t. D. f t

( )

=2t2+2t.

Câu 123. Cho tích phân

3 2
2
1
1
d
x
I x
x
+
=

ị

. Nếu đổi biến số

2 1
x
t
x
+
=
thì:
A.
2
3 2
2
2
d
1
t t
I

t

=

-ị

. B. 
3 2
2
2
d
1
t t
I
t
=
+

ò

. C. 
2
3 2
2
2
d
1
t t
I
t
=

-ò

. D.

3
2
2
d
1
t t
I
t
=
+

ò

Câu 124. Kết quả của tích phân

2
3
1
d
1
x
I
x x
=
+

ị

có dạng I =aln2+bln 2 1

(

)

+c vi a b cẻ Ô, , . Khi đó giá trị của a
bằng:

A. 
1
3

a=

. B.
1
3

a=-. C. 
2
3

a=-. D. 
2
3
a=
.

Câu 125. Biết rằng

1
2
0
d ln
1
x

I x a

x

= =

ũ

vi aẻ Ô . Khi đó giá trị của a bằng:

A. a=2 B. 
1
2

a=

. C. a= 2. D. a=4.

Câu 126. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho

1 ln 2

ln 3

1

2 dx a

b

x























</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

a b





2

. B.

a



2 b



0

. C.

a b





2

. D.

a



2 b



0

Câu 127. Cho

(

)

1 3
2
4
0

2 3. d 0

2
x
m x
x
- =
+

ị

. Khi đó 144m -2 1 bằng:

A.
2
3

-. B. 4 3 1- . C. 
2 3

3 . D. Kết quả khác.

Câu 128. Tính tích phân

2
1
ln
d
x
I x
x
=

ò

A. I =2. B.

ln 2
.

I =

C. I =ln2. C.

ln 2
.
2

I

=-Câu 129. Đổi biến u=lnx thì tích phân 1 2

1 ln
d
e
x
I x
x

-=

ò

thành:
A.

(

)

0
1
1 d

I =

ò

- u u

. B.

(

)

1 ud

I = - u e- u

ò

.
C.

(

)

0
1

1 ud

I =

ò

- u e u

. D.

(

)

1 ud

I =

ò

- u e u

Câu 130. Cho 1

1 3ln
d
e
x
I x
x
+
=

ò

và t= 1 3ln+ x.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A.
2
1
2

d .
3

I =

ò

t t

B. 
2
2
1
2
d .
3

I =

ò

t t

C. 
2
3
1
2
9

I = t

. D.

14.
9

I =

Câu 131. Biến đổi

(

)

2
1
ln
d
ln 2
e
x
x
x x+

ò

thành

( )

3
2
d

f t t

ò

, với t=lnx+2. Khi đó f t

( )

là hàm nào trong các hàm số sau?

A.

( )

2
2 1

f t

t
t

-. B.

( )

2
1 2

f t

t
t

=- +

. C.

( )

2
2 1

f t

t
t

= +

. D.

( )

2
2 1
f t
t
t

=- +
.

Câu 132. Kết quả của tích phân

(

)

2
1
ln
d
ln 1
e
x
I x
x x
=
+

ị

có dng I =aln2+b vi a bẻ Ô, . Khng định nào sau đây là đúng?

A. 2a b+ =1. B. a2+b2=4. C. a b- =1. D. ab=2.

Câu 133. Tính tích phân

d .
x

I =

ò

xe x

A. 2.

e
I =
B. 
1
.
2
e
I = +

C.

1
.
2

e
I =

-D. I =e.

Câu 134. Cho

ln2

1d
x x

I =

ò

e e - x

và t= ex- 1.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A.

1
2
0

2 d

I =

ò

t t

. B.

1
2
0

I =

ò

t t

. C. 
3 1
0
2
3
t
I =
. D. 
2
3
I =
.

Câu 135. Biến đổi

ln3
0
d
1
x
x
e +

ò

thành

( )

3
1
d

f t t

ị

, với t e= x. Khi đó f t

( )

là hàm nào trong các hàm số sau?

A.

( )

2
1

f t

t t

- . B.

( )

1 1

f t

t t

= +

+ . C.

( )

1 1

f t

t t

-+ . D.

( )

f t

t t

=
+ .

Câu 136. Tìm a biết

2 3
1
d ln
2
x
x

e x ae e

I
ae b
e

-+
= =
+
+

ò

với a b, là các số nguyên dương.

A. 
1
3
a=
. B. 
1
3

a=-. C. a=2. D. a=- 2.

Câu 137. Để tính tích phân

2
sin
0

cos d

x

I e x x

p

ò

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

A. Đặt t=esin x. B. Đặt t=sinx. C. Đặt t=cosx. D. Đặt t e= x.

Câu 138. Cho tích phân

sin 3
0

sin cos d
x

I e x x x

p

ò

.
Nếu đổi biến số t=sin2x thì:

A.

(

)

1 d

2
t

I =

ị

e - t t

. B.

1 1

0 0

2 td td

I = éêê e t+ te tùúú

ê ú

ò

û.

C.

(

)

2 t 1 d

I =

ò

e - t t

. D.

1 1

0 0

d d

t t

I = éêê e t+ te tùúú

ê ú

ò

û.

Câu 139. Biến đổi 
2

2
sin

sin2 d
x

e x x

p

ò

thành

( )

f t t

ị

, với t=sin2x. Khi đó f t

( )

là hàm nào trong các hàm số sau?

A. f t

( )

=etsin2t. B. f t

( )

=et. C. f t

( )

=etsint. D.

( )

1
2
t

f t = e

Câu 140. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân

3
0

cos sin d .

I x x x

p
=

ò

A.

1 .
4

I =- p

B. I =- p4. C. I =0. D.

1.
4

I

=-Câu 141. Tính tích phân

(

)

3
2
0

sin2 1 sin d

I x x x

p

ò

A.

I =p

. B.

15
4

I =

. C.

31
4

I =

. D.

7
4

I =

Câu 142. Cho tích phân

4
2
0

6tan d

cos 3tan 1

x

I x

x x

p

ị

. Giả sử đặt u= 3tanx+1 thì ta được:

A.

(

)

2
2
1

4 2 1 d
3

I =

ò

u + u

. B.

(

)

2
2
1

4 1 d

I =

ò

u + u

C.

(

)

2
2
1

4 1 d

I =

ò

u - u

. D.

(

)

2
2
1

2 1 d
3

I =

ị

u - u

Câu 143. Tính tích phân

(

)

1 cos nsin d

I x x x

p

ò

bằng:

A.

1 .
1

I
n

+ B.

1 .
1

I
n

- C.

1.
2

I
n

D. 
1.

I
n

Câu 144. Nếu

1
sin cos d

64
n

I x x x

p

ị

thì n bằng:

A.n=3. B. n=4. C.n=6. D.n=5.

Loại  . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

2. Phương pháp tích phân từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên

[

a b;

]

và có đạo hàm liên tục trên

[

a b;

]

Khi đó:

d d .

b b b

a

a a

u v uv= - v u

ò

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Dạng 1 f x

( )

lng x x

( )

d
b

a

é ù
ë û

ò

Đặt

( )

d d

u g x
v f x x

ì é ù

ï =

ï ë û

ïí
ï =
ïïỵ

Dạng 2

( )

sincos d

ax

ax
f x ax x

e

b

a

é ù

ê ú

ë û

ò

Đặt

( )

sin
d cos d

ax

u f x
ax
v ax x

e

ìï =
ïï

ï é ù

ïï ê ú

í ê ú

ï =

ï ê ú

ïï ê ú

ï ê ú

ï ë û

ỵ

Dạng 3 sin d

cos

ax ax

e x

ax

b

a

é ù

ê ú

ë û

ị

Đặt

sin
cos
d axd

ax
u

ax
v e x

ì é ù

ïï =ê ú
ïï ê ú

í ë û

ïï
ï =
ïỵ

Câu 145. Tính tích phân

ln d .

I =

ò

t t

Chọn khẳng định sai?

A. I =2ln2 1.- B. 
4
ln .

e C. ln4 log10- . D. ln4 .e

Câu 146. Biết 1 2

ln 1 1

d ln2

2 2
a

x

I x

x

ò

-. Giá trị của a bằng:

A. 2. B. ln2. C. 4. D. 8.

Câu 147. Kết quả của tích phân

(

)

3
2

ln d

I =

ị

x - x x

được viết ở dạng I =aln3- b với a b, là các số nguyên. Khi đó a b
-nhận giá trị nào sau đây?

A. - 1. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 148. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân 1

ln d .
e

I =

ò

x x x

A. 
1.
2

I =

B.

2 2

.
2

e
I =

-C.

2 1

.
4

e
I = +

D.

2 1

.
4

e
I =

-Câu 149. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả

3
1

3 1

ln d

e ea

x x x
b

+
=

ò

A. ab=64. B. ab=46. C. a b- =12. D. a b- =4.

Câu 150. Kết quả của tích phân

(

)

2
0

ln 2 d

I =

ò

x +x x

được viết ở dạng I =aln3+bln2+c với a b c, , là các số hữu tỉ. Hỏi
tổng a b c+ + bằng bao nhiêu?

A. 0. B. 1. C. 
3

2 D. 2.

Câu 151. Cho 1

ln d
e

k

I x

x

ò

. Xác định k để I < -e 2.

A. k e< +2. B. k e< . C. k e> +1. D. k e< - 1.

Câu 152. Tính tích phân

2 dx

I =

ị

x x

A. 2

2ln2 1
.
ln 2

I =

B.

2ln2 1
.
ln2

I =

-C. 2

2ln2 1
.
ln 2

I = +

D.

2ln2 1
.
ln2

I = +

Câu 153. Kết quả tích phân

(

)

2 3 dx

I =

ò

x+ e x

được viết dưới dạng I =ae b+ vi a bẻ Ô, . Khng định nào sau đây là đúng?
A. a b- =2. B. a3+b3=28. C. ab=3. D. a+2b=1.

Câu 154. Tích phân

(

)

2 2

3
1 d

4
a

x e

x- e x=

-ò

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

y

( )

y f x

=

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 155. Tính tích phân

sin2 d

I x x x

p

ị

.

A. I =1. B. I 2

p

. C.

1
4

I =

. D.

3
4

I =

Câu 156. Cho tích phân

(

)

2
0

sin 2 d 1

I x x m x

p

ò

+ = +

. Giá trị của tham số m là:
A.5. B. 3. C.4. D. 6.

Câu 157. Cho

cos d 1

x x x
m

p

ò

. Khi đó 9m -2 6 bằng:

A. 3. B. 30. C. - 3. D. - 30.

Câu 158. Kết quả của tích phân

(

)

2x 1 sin dx x

p

-ị

c vit dng

1 1

a b
p
pổỗ -ỗỗố ửữữữứ

-. Khng định nào sau đây là sai?

A. a+2b=8. B. a b+ =5. C. 2a- 3b=2. D. a b- =2.

Câu 159. Với t Ỵ -

(

1;1

)

ta có 0 2

d 1

ln3
2
1
t

x
x -

=-ị

. Khi đó giá trị t là:

A.
1
3. B.

1
3

-. D.0. D.
1
2.

Câu 160. Cho tích phân

sin
0

sin2 . xd

I x e x

p

ò

. Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt t=sinxÞ dt=cos dx x. Đổi cận

0 0

2 d .
1

t

x t

I te t
x p t

ì = Þ =
ïï

ï ị =

ớù = ị =

ùùợ

ũ

Bc 2: Chn

d d

d td t

u t u t

v e t v e

ì = ỡ =

ù ù

ù ị ù

ớ ớ

ù = ù =

ù ù

ợ î . Suy ra

1 1 1 1

0 0

d d 1

t t t t

te t te= - e t e e= - =

ò

Bước 3:

2 td 2

I =

ò

te t=
.

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Bài giải trên sai từ Bước 1. B. Bài giải trên sai từ Bước 2.

C. Bài giải trên hoàn toàn đúng. D. Bài giải trên sai từ Bước 3.

Câu 161. Cho

2 2

0 0

cos d , sin d

x x

I e x x J e x x

p p

ò

và 0

cos2 d
x

K e x x

p
=

ò

. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

(I). I+ =J ep. (II). I- J =K . (III).

1
5

e
K = p

-.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Cả (II) và (III).

Câu 162. Cho

d
1

nx

n x

e

I x

e

=
+

ị

với nỴ ¥. Giá trị của I0+I1 là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Loại  . TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Tính diện tích hình phẳng
Định lí.

Cho hàm số y= f x

( )

liên tục, không âm trên đoạn

[

a b;

]

. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y=f x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = là :

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

O

a

b

x

( )

y g x

=

y

O

a

b

( )

y f x

=

x

Giaovienvietnam.com Bài tập trắc nghiệm full cả chương: Nguyên hàm tích phân

( )

d .

b

a

S

=

ị

f x x

Bài tốn 1. Cho hàm số y= f x

( )

liên tục trên đoạn

[

a b;

]

. Khi đó diện tích S của hình phẳng

( )

D
giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x

( )

; trục hoành Ox (y=0) và hai đường thẳng x a x b= ; = là

( )

d

b

a

S

=

ị

f x x

Bài tốn 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

( )

y=f x

; y=g x

( )

và hai đường đường thẳng

;

x a x b= = là

( )

d .

b
a

S

=

ò

f x

-

g x x

Câu 163. Viết cơng thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x

( )

, trục hoành và hai đường thẳng

(

)

x a x b a b= = <

là:

A.

( )

d .
b

a

S=

ò

f x x
B.

( )

d .
b

a

S=

ò

f x x

C.

( )

2 d .

b

a

S=

ò

f x x

D.

( )

d .
b

a

S=p

ò

f x x

Câu 164. Cho đồ thị hàm số y=f x

( )

. Diện tích S của hình phẳng (phần tơ đậm trong hình dưới) là:

A.

( )

S f x x

ò

B.

( )

0 3

2 0

d d

S f x x f x x

ò

C.

( )

2 3

0 0

d d

S f x x f x x

ò

D.

( )

0 0

2 3

d d

S f x x f x x

ị

Câu 165. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x= 3+2x và y=3x2 được tính theo cơng thức:

A.

(

)

3 2
0

3 2 d

S=

ò

x - x + x x

. B.

(

)

(

)

1 2

3 2 3 2

0 1

3 2 d 3 2 d

S=

ò

x - x + x x-

ò

x - x + x x

C.

(

)

3 2

3 2 d

x x x x

- +

-ò

. D.

(

)

(

)

1 2

3 2 3 2

0 1

3 2 3 2 d

S=

ò

x - x + x dx+

ò

x - x + x x

.
Câu 166. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x= 2+2 và y=3x là:

A. S =2. B.S =3. C. 
1
2

S =

. D.

1
6

S =

Câu 167. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= 3- x và đồ thị
hàm số y x x= - 2.

A.
37

.
12

S =

B.

.
4

S =

C. 
81

.
12

S =

D. S =13.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

x = có dạng 
a
b (với

a

b là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa a và b là:

A. a b- =2. B. a b- =3. C. a b- =- 2. D. a b- =- 3.

Câu 169. Kết quả của việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

( )

C y x: = 4- 2x2+1 và trục Ox gần nhất với giá trị nào sau

đây?

A. 
1.
2

S =

B. S =1. C.

3.
2

S =

D. S =2.

Câu 170. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 1+x2 , trục hoành và đường thẳng x =1 là:

A.

1
.
3

S =

B.

2 2 1

.
3

S=

-C.

2 2 1
.
3

S= +

D. S =2 2 1 .

(

)

Câu 171. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x và x- 2y=0 bằng với diện tích hình nào sau đây:
A. Diện tích hình vng có cạnh bằng 2.

B. Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3.
C. Diện tích hình trịn có bán kính bằng 3.

D. Diện tích tồn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng

2 3
3 .

Câu 172. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

(

)

2
1

y
x

=
+

, trục hoành, đường thẳng x =0 và đường thẳng x =4
là:

A.

8
.
5

S

=-B.
8

.
5

S =

C. 
2

.
25

S =

D. 
4

.
25

S =

Câu 173. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x xln , trục hoành và đường thẳng x e= .

A.

2 1

e
S= +

. B.

2 1

e
S= +

. C.

2 1

e
S= +

. D.

2 1

e
S= +

Câu 174. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e= x+x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x =1 là:

A.

1.
2

S= +e

B.

1.
2

S= -e

C. S= +e 1. D. S= -e 1.
Câu 175. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e= x+x, x y- + =1 0 và x =ln5 là:

A. S = +5 ln4. B. S = -5 ln4. C. S = +4 ln5. D. S = -4 ln5.
Câu 176. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +

(

e 1

)

x và

(

)

x

y= +e x

. Giá trị S cần tìm là:

A.

2
2

e

S= +

. B. 2

e
S =

. C.

2
2

e
S=

-. D.

2
4

e
S=

Câu 177. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= ex+1, trục hoành và hai đường thẳng x =ln3, x =ln8 nhận giá
trị nào sau đây:

A.

2
2 ln

S = +

. B.

3
2 ln

S = +

. C.

3
3 ln

S = +

. D.

3
2 ln

S =

Câu 178. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

( )

P y x: = 2- 2x+2, tiếp tuyến với nó tại điểm M

(

3;5

)

và trục Oy là giá
trị nào sau đây?

A. S =4. B. S =27. C.S =9. D.S =12.

Câu 179. Cho hàm số y x= 2- 2x+2 có đồ thị

( )

C . Phương trình tiếp tuyến của

( )

C tại điểm có hồnh độ bằng 3 có đồ thị
D. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

( )

C , đường thẳng V và trục tung. Giá trị củaSlà:

A.S =9. B.

9
2

S =

. C.

9
4

S =

. D.

9
10

S =

Câu 180. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
1
4

y

x

đường thẳng y =- 1, đường thẳng y=1 và trục tung
được tớnh nh sau:

A.

1
2
1

4 d

S x

x

-ổ ửữ
ỗ

ũ

ỗỗố - ữữứ

. B.

1
2
1

1
4 d .

S x

x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

-( )

y f x

=

a

b

y

x

O

C.

1
.
4

S

y

-ị

D.

1
d .
4

S y

y

-ị

Câu 181. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình x y- 2=0 và x+2y2- 12 0= bằng:
A. S =15. B. S =32. C. S =25. D. S =30.

Câu 182. Với giá trị nào của a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

( )

2 2

x x

C y

x

- , đường tiệm cận xiên của

( )

C và hai
đường thẳng x a x= , =2 a a

(

)

bằng ln3?

A. a=1. B. a=2. C. a=3. D. a=4.

Loại  . TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRỊN XOAY

2. Tính thể tích khối trịn xoay
a) Tính thể tích của vật thể

Định lí.

Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng

( )

P và

( )

Q vng góc với trục Ox lần lượt tại x a x b a b= , =

(

)

. Một mặt phẳng
bất kì vng góc với Ox tại điểm x a x b

(

£ £

)

cắt C theo một thiết diện có diện tích S x

( )

. Giả sử S x

( )

là hàm liên tục trên

đoạn

[

a b;

]

. Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng

( )

P và

( )

Q được tính theo cơng thức

( )

d

b

a

V

=

ị

S x x

.
b) Tính thể tích vậy trịn xoay

Bài tốn 1. Tính thể tích vật thể trịn xoay khi
quay miền D được giới hạn bởi các đường

( )

; 0

y=f x y=

; x a= ; x b= quanh trục Ox
được tính theo cơng thức

( )

d

b

a

V

=

p

ò

f x x

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y= f x

( )

; y=g x

( )

và hai đường x a x b= ; = (với

( ) ( )

. 0,

[

;

]

f x g x ³ " Ỵx a b) thì thể tích khối trịn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi cơng thức

( )

2 2

d

b

a

V

=

p

ò

f x

-

g x x

Bài tốn 2. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các
đường x=g y

( )

, trục tung và hai đường y a y b= , = quanh trục Oy được tính theo cơng
thức

( )

d

b

a

V

=

p

ò

g y y

Câu 183. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết cơng thức tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo ra khi quay
hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x

( )

, trục Ox và hai đường thẳng x a x b a b= , =

(

)

, xung quanh trục

Ox

A.

( )

2 d .

b

a

V =p

ò

f x x

B.

( )

2 d .

b

a

V =

ò

f x x

C.

( )

d .
b

a

V =p

ò

f x x

D.

( )

d .
b

a

V=

ò

f x x

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

A.

( )

d
b

a

V =

ò

éëf x - g xùû x

B.

( )

2 2 d

b

a

V =p é

ò

êëf x - g xùúûx

C.

( )

d
b

a

V =p é

ò

ëf x - g xùû x

D.

( )

d
b

a

V =p é

ò

ëf x - g xùûx

Câu 185. Viết cơng thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm

(

)

, ,

x a x b a b= = <

có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x a x b

(

£ £

)

là S x

( )

A.

( )

d .
b

a

V =p

ò

S x x

B.

( )

d .
b

a

V =p

ò

S x x

C.

( )

d .
b

a

V=

ò

S x x

D.

( )

2 d .

b

a

V=p

ò

S x x

Câu 186. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết Kí hiệu

( )

H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

(

)

2 1 ,x

y= x- e

trục tung và trục hồnh. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

( )

H xung quanh trục
.

Ox

A. V = -4 2 .e B. V =

(

4 2- e p

)

. C. V = -e2 5. D.

(

)

2 5 .
V= e - p

Câu 187. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =0 và x =3, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với
trục Ox tại điểm có hồnh độ x

(

0£ £x 3

)

là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9 x- 2 , bằng:

A. V =3. B. V =18. C. V =20. D. V =22.

Câu 188. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x =0 và x =2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt
phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x Ỵ

[

0;2

]

là một phần tư đường trịn bán kính 2x2, ta được kết quả nào sau
đây?

A. V =32 .p B. V =64 .p C.

16 .

V= p

D. V =8 .p

Câu 189. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

y



2 cos



x

, trục hoành và các

đường thẳng

0,

2 x



x





. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A.

V

 



1

B. V (



 1)



C.V (



1)



V

 



1

Câu 190. Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y x= 2+1, trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 2+1 tại điểm

(

1;2

)

, khi quay quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay có thể tích bằng:

A. 
4

.
5

V = p

B.

.
15

V = p

C.
8

.
15

V= p

D. V=p.

Câu 191. Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị

( )

: 2

P y= x x

và trục Ox sẽ
có thể tích là:

A.
16

.
15

V = p

B. 
11

.
15

V = p

C. 
12

.
15

V= p

D. 
4

.
15

V = p

Câu 192. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

y



2 sin



x

, trục hoành và các
đường thẳng

x



0,

x 



. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu ?

V



2(





1)

V



2 (

 



1)

2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Câu 193. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

y e



x, trục hoành và các đường thẳng

0,

1 x



x



. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu ?

2 e

V





(

1)

2 e

V







1

2 e

V





(

1)

2 e

V







Câu 194. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

y



x



1

, trục hồnh và các đường
thẳng

x



0,

x



1

. Khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

4

3 V





V



2 

4

3 V 

2

Câu 195. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=2x x- 2 và y x= khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có
thể tích bằng:

A. V 3.

p

B. V 4.

p

C. V 5.

p

D. V=p.

Câu 196. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol y= -4 x2 và y= +2 x2 quay quanh trục

Ox là kết quả nào sau đây?

A. V =10 .p B. V =12 .p C. V=14 .p D. V=16 .p

Câu 197. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4y x= 2, y x= qua quanh trục hoành bằng
bao nhiêu?

A.

124 .
15

V = p

B.

126 .
15

V = p

C.

128 .
15

V = p

D.

131 .
15

V = p

Câu 198. Cho hình phẳng

( )

H giới hạn bởi các đường y= x, y=- x và x =4. Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành
khi quay hình

( )

H quanh trục hồnh nhận giá trị nào sau đây:

A.
41

.
3

V = p

B. 
40

.
3

V = p

C. 
38

.
3

V= p

D.

41 .
2

V= p

Câu 199. Thể tích của khối trịn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi

( )

C y: =lnx, trục Ox và đường
thẳng x e= là:

A. V =p

(

e- 2 .

)

B. V =p

(

e- 1 .

)

C. V=pe. D. V =p

(

e+1 .

)

Câu 200. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x, y=- +x 2, y=0 quay quanh trục

Oy, có giá trị là kêt quả nào sau đây?

A.

.
3

V = p

B.

3 .
2

V = p

C.
32

.
15

V= p

D. 
11

.
6

V = p

</div>

Bài tập nguyên hàm, tích phân đầy đủ dạng - Giáo viên Việt Nam

<b>M C L C</b>

<b>Ụ</b>

<b>Ụ</b>

Loại

<sub> .</sub>

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

ò

( )

( )

(

( )

)

( )

ò

ò

( )

ị

( )

(

)

ị

( )

( )

ị

( )

ò

( )

ò

(

)

ị

(

)

(

)

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

(

)

(

)

ò

ò

(

)

(

)

ò

ò

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

ò

ò

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

( )

( )

( )

( )