LỜI GIẢI và BÌNH LUẬN đề THI HSG cấp HUYỆN lớp 9

Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN LỚP 9
MƠN: TỐN
Bài 1 (5,0 điểm).

Cho biểu thức
a) Rút gọn M.

a + 1 a a −1 a 2 − a a + a −1
M=
+
+
a
a− a
a −a a

b) Chứng minh rằng

a > 0, a ≠ 1.

với

M > 4.

N=
c) Với những giá trị nào của a thì biểu thức

6

M

nhận giá trị nguyên.
Lời giải

M=

a > 0, a ≠ 1,

a) Với

b) Chứng minh

ta có

a +1 a a −1 a 2 − a a + a −1
+
+
a
a− a
a −a a

(

)(
a(

) +a a(

a −1 a + a +1

)

a −1 + a −1

=

a +1
+
a

=

a −1 a a +1
a +1 a + a +1
+
−
a
a
a a −1 a +1

=

a +1+ a + a +1
−
a

=

2a + a + 2 a − a + 1

−
a
a

=

a + 2 a +1
1
= a+
+ 2.
a
a

)

a −1

(

(

)(

(

)(
a(

a (1− a )

)

)(

)

)

a +1 a − a +1

)

a +1

M > 4.

1


Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343

(

1
M−4 = a +
−2 =
a

)

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

2

a −1
a

Cách 1:Xét
a > 0, a ≠ 1

Vì

nên

(

)

2

a −1 > 0
suy ra

M−4>0⇔ M > 4

1
≥2
a

a+

(đpcm).

a.

1
a

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
1
1
≥2⇔ a +
+2≥4
a
a

⇔ a+

1
⇔ a =1
a

a=
Xét dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy dấu bằng không xảy ra do đó
6 6
<
M > 4⇒ M 4

c) Ta có

6
=1⇔ M = 6
M

a+

a > 0, a ≠ 1

(mâu thuẫn vì

)

M > 4.

N<
hay

3
2

0< N<
. Vậy

1
+ 2 = 6 ⇔ a +1 = 4 a ⇔
a

(

a −2

Ta có

)

2

3
2

. Do đó N nhận giá trị nguyên khi

N = 1.

Khi đó

 a = 2+ 3
a = 7 + 4 3
=3⇔ 
⇔
 a = 2 − 3
 a = 7 − 4 3

Nhận xét: Bài tập 1 là bài tập cơ bản, chỉ cần chắc kiến thức các em sẽ hoàn thành tốt bài này. Chỉ có
ý c) của bài tốn là cần tư duy một chút nên theo thầy bài này thuộc mức độ cơ bản.
Bài 2 (4 điểm).
a) giải phương trình:

x ( 5x 3 + 2 ) − 2

(

)

2x + 1 − 1 = 0.

x 2 − 2y 2 = 1.
b) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình:

lời giải
2


Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343

a) Điều kiện xác định:

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

1
x≥− .
2
4x
=0
2x + 1 + 1

x ( 5x 3 + 2 ) −
Phương trình tương đương với phương trình:

4



⇔ x  5x 3 + 2 −
÷= 0
2x + 1 + 1 


⇔x=0

5x 3 + 2 −
Xét phương trình:

4
=0
2x + 1 + 1

5x 3 + 2 −
hoặc

4
2 2x + 1 − 2
= 0 ⇔ 5x 3 +
=0
2x + 1 + 1
2x + 1 + 1

⇔ 5x 3 +


⇔ x 5x 2 +




(

(

5x 2 +
⇒x =0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2 ( 2x + 1 − 1)

)

2

2x + 1 + 1

=0


=0
2
2x + 1 + 1 

4

(

)

4

)

2x + 1 + 1

2

>0

(vì

)

x = 0.

Nhận xét ta có thể giải bài tốn trên bằng cách ngắn gọn như sau:
x≥−
Với điều kiện

1
2

x ( 5x 3 + 2 ) − 2
, ta có phương trình:

(

2x + 1 − 1 = 0.

(

2x + 1 − 1 = 0

⇔ 5x 4 + 2x − 2

)

)

3


Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

(

)

⇔ 5x 4 + 2 x + 1 − 2x + 1 = 0

⇔ 5x 4 +

2x 2
=0

x + 1 + 2x + 1

2


⇔ x 2  5x 2 +
÷= 0
x + 1 + 2x + 1 

5x 2 +
Vì

2
x + 1 + 2x + 1

>0

x≥−
với mọi

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

1
2

nên từ (*) ta được

x2 = 0 ⇔ x = 0

(*)

(tmđk)

x = 0.

Nhận xét: Đây là một bài toán hay ý tưởng bài toán là cho nghiệm bội 2 của phương trình vơ tỷ.
Nhiều học sinh sẽ mắc sau quá trình liên hợp lần thứ nhất nếu không phát hiện ra nghiệm bội 2.

x 2 − 2y 2 = 1
b) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình

x 2 = 2y 2 + 1
Từ phương trình ta có:
Đặt

x = 2k + 1

suy ra

∈ N)

(k

, ta có

x2

là số lẻ.

x 2 = 4k 2 + 4k + 1

x 2 − 2y2 = 1
Do đó phương trình

4k 2 + 4k − 2y 2 = 0 ⇔ y 2 = 2k 2 + 2k
trở thành:

y2
Do đó

y = 2.

chẵn suy ra y chẵn mà y là số nguyên tố nên

Khi đó ta được

x 2 = 9 ⇒ x = 3.

( x; y ) = ( 3; 2 ) .
Vậy nghiệm nguyên tố của phương trình là
Nhận xét: Đây là bài tốn số học cơ bản, chỉ cần sử dụng tính chẵn lẻ là có thể giải quyết bài tốn.
Bài 3 (4,0 điểm).
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) ≤ a 3 + b 3 + c3 + 3abc.

4


Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

x 2 + 2y 2 + 2xy + 3y − 4 = 0
b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho

(1)

a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
a 2 ( b + c ) + b 2 ( c + a ) + c 2 ( a + b ) ≤ a 3 + b3 + c3 + 3abc.
Khơng biết vơ tình hay ngẫu nhiên bài tốn này đúng bài mình sáng tác cho hs và cũng cho học sinh
làm rồi, chỉ tiếc là em lại không nhớ cách làm mặc dù rất đơn giản. Có thể vào phịng thi các em bị tâm
lý đó là điều dễ hiểu mà.
Ta dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
⇔ a 3 + abc − a 2 ( b + c ) + b 3 + abc − b 2 ( c + a ) + c3 + abc − c 2 ( a + b ) ≥ 0
⇔ a ( a 2 + bc − ab − ac ) + b ( b 2 + ac − bc − ba ) + c ( c 2 + ab − ca − cb ) ≥ 0.
⇔ a ( a − b ) ( a − c ) + b ( b − c ) ( b − a ) + c ( c − a ) ( c − b ) ≥ 0.
(*)
Khơng mất tính tổng qt giả sử

Khi đó VT (*)

Vì

.

= ( a − b ) a ( a − c ) − b ( b − c )  + c ( c − a ) ( c − b )

= ( a − b)
a≥b≥c

a≥b≥c

và

2

( a + b − c) + c ( c − a ) ( c − b)

a+b>c

( a − b) ( a + b − c) + c ( c − a ) ( c − b) ≥ 0
2

nên

Vậy (*) đúng. Đó là đpcm.

x 2 + 2y 2 + 2xy + 3y − 4 = 0
b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho

(1)

x 2 + 2y 2 + 2xy + 3y − 4 = 0 ⇔ ( x + y ) + ( y − 1) ( y + 4 ) = 0
2

Ta có
⇔ ( y − 1) ( y + 4 ) = − ( x + y )

2

5


Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343

( y − 1) ( y + 4 ) ≤ 0 ⇒ −4 ≤ y ≤ 1 ⇒ y ∈ { 0;1}

− ( x + y) ≤ 0
2

Vì

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

nên

(vì y là số tự nhiên).

y = 0,

• Với

thay vào (1) ta có:

x 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1
2

y = 1,

• Với

x 2 − 4 = 0 ⇒ x = 2.

thay vào (1) ta có:

(loại)

x = 2, y = 0.

Vậy các số tự nhiên cần tìm là

x 4 + y 4 + z 4 = 3xyz.

x+y+z =3

Bài 5. Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn
M = 2000x 2016 + 16y 2016 + z 2016 .
Tính giá trị biểu thức

và

Lời giải
Nhìn con số và số mũ của các biến ở biểu thức M ta thấy thật sự là kinh khủng. Tuy nhiên với các thể
loại tốn này thì việc cho hệ số hay số mũ lớn chỉ mang tính hình thức, gây tâm lý cho học trị. Bản
chất bài này là đưa về bài tốn cơ bản, nếu những ai đã quen bất đẳng thức thì bài này đơn giản.

x 4 + y 4 + z 4 = xyz ( x + y + z ) .
Từ giả thiết ta suy ra:
Áp dụng bất đẳng thức

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

với mọi a, b, c (hs tự chứng minh).

x 4 + y4 + z 4 = x 2 y 2 + y2 z 2 + z 2 x 2
Ta có:

(1)

x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xy.yz + yz.zx + zx.xy = xyz ( x + y + z )
(2)

x 4 + y 4 + z 4 ≥ xyz ( x + y + z )
Từ (1) và (2) suy ra
Dấu

'' = ''

xảy ra khi và chỉ khi dấu

⇔x=y=z

trong (1) và (2) đồng thời xảy ra

x+y+z =3

. Kết hợp với
Vậy

'' = ''

x = y = z = 1.

suy ra

M = 2016.12016 + 16.12016 + 12016 = 2033.

6


Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

Nhận xét: Đây là bài toán cũ, tác giả chỉ làm mới số liệu nên là câu này khơng có nhiều tính sáng tạo,
chỉ cần quen một chút bất đẳng thức thì sẽ giải quyết được bài tốn.
Bài 4. Cho đường trịn tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên đường trịn
(O) sao cho M khơng trùng với A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng
vng góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai E. Cac đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh tích AM.AN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Lời giải
a) Ta có
Vì

M

FN ⊥ AB

tại C (gt)

(1)

thuộc đường trịn đường kính AB nên ta dễ dàng chứng minh được

NA ⊥ FB

tại M

∠AMB = 90o

hay

(2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trực tâm của tam giác FBN suy ra
Mặt khác ta cũng chứng minh được

AE ⊥ BN

FA ⊥ BN

(3)

(vì E thuộc đường trịn đường kính AB) (4)

F, A, B

Từ (3) và (4) suy ra

thẳng hàng.

b) Dễ thấy hai tam giác vuông

Do đó ta có

và

AMB

AB
2

AM.AN =
nên

AB2
2

(khơng đổi) (ĐPCM).

c) Dễ dàng chứng minh hai tam giác vuông
( ∠CFA = ∠CBN )
dạng

suy ra

đồng dạng.

AM AC
=
⇔ AM.AN = AB.AC
AB AN

AC = AO =
Vì

ACN

ACF

CF CB
3
=
⇒ CF.CN = CA.CB = AB2
CA CN
4

và

NCB

đồng

(ko đổi)
7

Phạm Như Toàn/ ĐHSP HN/ 0988 819 343
NF = ( NC + CF ) min
Vậy

Vì

BA 2
=
BC 3

khi

Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học

NC = CF

nên A là trọng tâm tam giác BNF (đpcm).

NF
Nhận xét: Để chứng minh
ngắn nhất ta chú ý đưa về bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất của một tổng 2
số dương. Tổng này có giá trị nhỏ nhất nếu hai số dương có tích khơng đổi. Khi đó giá trị nhỏ nhất của
tổng đạt được khi hai số dương đó bằng nhau.
NHẬN XÉT CHUNG: Đây là một đề thi hay vừa sức với học sinh và đủ để phân loại được học sinh.
Thực hiện lời giải và phân tích đề thi (2h45’)
Thầy Phạm Như Tồn

8