Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài giảng số 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH </b>

<b>A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM </b>

<i><b>Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: </b></i>
<i><b>- Bước 1: Lập hệ phương trình. </b></i>

<i>+ Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thong thường ẩn là đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm). </i>
<i>+ Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. </i>

<i>+ Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. </i>
<i><b>- Bước 2: Giải hệ phương trình. </b></i>

<i><b>- Bước 3: Kết luận bài tốn. </b></i>

<b>B. CÁC VÍ DỤ MẪU </b>

<b> Dạng 1: Toán chuyển động. </b>
<i>- Ba đại lượng: S v t</i>, , <i>. </i>

<i>- Quan hệ: S</i> <i>vt</i>; <i>v</i> <i>S</i>; <i>t</i> <i>S</i>

<i>t</i> <i>v</i>

   <i>. </i>

<i>- Chú ý: v_xuoi</i> <i>v_thuc</i> <i>v_nuoc; v_nguoc</i> <i>v_thuc</i><i>v_nuoc</i>

<b>Ví dụ 1.1:</b><i> Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu người đó tăng vận </i>
<i>tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1 giờ. Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h </i>
<i>thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2 giờ so với dự định. Hỏi người đó đi với vận tốc và thời gian </i>

<i>dự định là bao nhiêu? </i>

<i><b>Đs: Vậy vận tốc người đó dự định đi là 30km/h và thời gian người đó dự định đi là 4 giờ. </b></i>

<b> Dạng 2: Lập số. </b>

<i>- Ta có: ab</i>10<i>a b</i> , <i>abc</i>100<i>a</i>10<i>b c</i>
<i>- Điều kiện: </i>0 <i>a</i> 9; 0<i>b c</i>, 9



<i>a b c</i>, , 



<b>Ví dụ 2.1:</b><i> Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số </i>
<i>mới có ba chữ số lớn hơn số đã cho là 280. Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta được một số mới lớn hơn số </i>
<i>đó 18 đơn vị. </i> Đs: Vậy số cần tìm là 35.

<b>Ví dụ 2.2:</b><i> Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 4 đơn vị. </i>
<i>Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 3 và dư 7. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>- Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị. </i>

<i>- Tìm trong một đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao nhiêu phần cơng </i>
<i>việc. Phần cơng việc </i> 1

<i>thoi gian</i>


<b>Ví dụ 3.1:</b><i> Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 6 </i>
<i>giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hồn thành cơng việc. Hỏi mỗi người </i>
<i>làm một mình trong bao lâu thì xong cơng việc? </i>

Đs: Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình hồn thành cơng việc là 24 giờ.
Và thời gian người thứ hai làm một mình hồn thành cơng việc là 12 giờ.

<b>Ví dụ 3.2:</b><i> Hai người A và B làm xong cơng việc trong 72 giờ, cịn người A và C làm xong cơng việc đó </i>
<i>trong 63 giờ; người B và C làm xong cơng việc đó trong 56 giờ. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì </i>
<i>trong bao lâu sẽ làm xong cơng việc đó? Nếu ba người cùng làm sẽ hồn thành cơng việc trong mấy giờ </i>

Đs: Vậy cả ba ngưịi cùng làm sẽ hồn thành cơng việc trong 504 42
12  (giờ)

<b>Ví dụ 3.3:</b><i> Hai vịi nước cùng chảy đầy một bể khơng có nước trong 3 giờ 45 phút. Nếu chảy riêng rẽ, mỗi </i>
<i>vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể, biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 giờ. </i>

<i><b>Đs: Vậy vịi đầu chảy một mình đầy bể trong 6h, vịi sau chảy một mình đầy bể trong 10h. </b></i>

<b>Ví dụ 3.4:</b><i> Hai người thợ cùng làm một cơng việc. Nếu làm riêng rẽ, mỗi người nửa việc thì tổng số giờ </i>
<i>làm việc là </i>12 30<i>h</i> <i>. Nếu hai người cùng làm thì hai người chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Hỏi làm việc riêng </i>

<i>rẽ cả công việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian? </i>

<i><b>Đs: Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một người làm trong 10 giờ, còn người kia làm trong 15 giờ. </b></i>

<b> Dạng 4: Tốn có nội dung hình học. </b>

<b>Ví dụ 4.1:</b><i> Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích sẽ tăng thêm 88m . </i>2
<i>Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích sẽ tăng thêm </i> 2

<i>18m . Tìm kích thước </i>
<i>hình chữ nhật. </i>

<i><b>Đs: Vậy chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là 10m.</b></i>
Và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là 8m.

<b> Dạng 5: Tốn mang yếu tố vật lý. </b>

<b>Ví dụ 5.1:</b><i> Hai điện trở mắc song song với nhau biết rằng điện trở thứ nhất lớn hơn điện trở thứ hai </i>6

<i>và điện trở tương đương của đoạn mạch là </i>4<i>. Tính độ lớn của hai điện trở. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 <b>Dạng 6: Toán năng suất kế hoạch</b>.
<i>- Gồm ba đại lượng: Tsp Ns t </i>; ;
<i>- Quan hệ: Tsp</i><i>Ns t</i>. <i>; t</i> <i>Tsp</i>

<i>Ns</i>

 <i>; Ns</i> <i>Tsp</i>
<i>t</i>


<b>Ví dụ 6.1:</b><i> Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm được 900 sản phẩm. Sang tháng 2 do sự thay đổi nhân sự </i>
<i>nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I, số sản phẩm của tổ II bằng 120% số </i>
<i>sản phẩm ở tháng 1 của tổ II. Vì vậy tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm. Hỏi </i>
<i>trong tháng 1 mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? </i>

<i><b>Đs: Vậy trong tháng 1, tổ I sản xuất được 400 sản phẩm và tổ II sản xuất được 500 sản phẩm. </b></i>

<b>Ví dụ 6.2: Hai người dự định làm một cơng việc trong 12 giờ thì xong. Họ làm với nhau được 8 giờ thì </b>

<i>người thứ nhất nghỉ, cịn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người </i>
<i>thứ hai đã làm xong cơng việc cịn lại trong 3giờ 20phút. Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng </i>
<i>suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong cơng việc nói trên? </i>

Đs: Vậy theo dự định người thứ nhất làm xong công việc hết 30 giờ và người thứ hai hết 20 giờ.
<b>C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN </b>

<b>Bài 1:</b> Hai máy cày làm việc trên đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì 10 ngày là xong cơng việc. Nhưng
thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất đi cày nơi khác, máy thứ 2 làm tiếp 9
ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi máy làm việc một mình trong bao lâu thi xong công việc?

ĐS: 15 ngày, 30 ngày

<b>Bài 2:</b> Hai bến sông A và B cách nhau 240km. Một ca nơ xi dịng từ bến A đến địa điểm C nằm chính
giữa hai bến A và B, cùng lúc đó một ca nơ ngược dịng từ B đến C. Ca nô từ A đến C trước ca nô đi từ B
đến C 1 giờ. Tìm vận tốc của dịng nước biết vận tốc thực của hai ca nô bằng nhau và bằng 27km/h.

ĐS: 3<i>km h</i>/

<b>Bài 3:</b> Trong một bể nước có một vịi chảy ra và một vòi chảy vào. Nếu mở cùng hai vịi thì sau 6 giờ sẽ
đầy bể. Hỏi vịi chảy vào chảy trong bao nhiêu lâu thì đầy bể. Biết rằng thời gian vòi chảy vào chảy đầy
bể ít hơn thời gian chảy ra hết bể nước đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vịi là khơng đổi.

ĐS: <i>4h</i>

<b>Bài 4:</b> Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 1200 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Nhưng trong thực tế sau khi làm xong 12 giờ với năng suất dự định thì tổ cơng nhân cải tiến kỹ thuật tăng
năng suất lên 5 sản phẩm trong 1 giờ. Vì vậy họ đã hồn thành số sản phẩm đó trước thời hạn là 6 giờ.
Hỏi mỗi giờ tổ công nhân dự định làm được bao nhiêu sản phẩm.

<i><b>ĐS: 25 sản phẩm </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

ĐS: 4 giờ, 8 giờ

<b>Bài 6:</b> Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào bản trong 4 giờ thì xong. Nếu làm
riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc?

ĐS: 6 ngày, 12 ngày

<b>Bài 7: Hai đội công nhân làm một đoạn đường. Đội 1 làm xong một nửa đoạn đường thì đội 2 đến làm </b>
tiếp nửa cịn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã làm là 30 ngày. Nếu hai đội cùng làm thì trong 72
ngày xong cả đoạn đường. Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này?

ĐS: 60 ngày, 90 ngày

<b>Bài 8: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian. Đội 1 phải trồng </b>
40 ha, đội 2 phải trồng 90 ha. Đội 1 hồn thành cơng việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch. Đội 2 hoàn
thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch. Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2
đã làm và đội 2 làm trong thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng được của hai đội bằng nhau. Tính
thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch?

ĐS: 10 ngày

<b>Bài 9:</b> Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ
và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% cơng việc. Hỏi mỗi người làm cơng việc đó trong
mấy giờ thì xong?

ĐS: 24 giờ, 48 giờ

<b>Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể khơng chứa nước thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy </b>

trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được 2

5 bể. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu thì đầy

bể?

ĐS: 10 giờ, 15 giờ

<b>Bài 11:</b> Cho tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với nhau
theo tỉ lệ 4:3. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết một cạnh góc vng của tam giác có độ dài là 14cm.

ĐS: 7 3<i>cm</i>;14<i>cm</i>; 343<i>cm</i> hoặc 28 3 ;14 ;2 343

3 <i>cm</i> <i>cm</i> 3 <i>cm </i>

<b>Bài 12:</b> Cho một tam giác vuông biết đường cao ứng với cạnh huyền là 24cm và cạnh huyền là 50cm.
Tính độ dài hai cạnh góc vng.

ĐS: 40<i>cm</i>, 30<i>cm </i>

<b>Bài 13:</b> Trong một kho giấy có 1500 tấn giấy loại I và II. Sau đó người ta bổ sung vào trong kho thêm 255
tấn giấy cả hai loại. Trong đó giấy loại I bằng 15% lượng giấy loại I trong kho, giấy loại II bằng 20%
lượng giấy loại II trong kho. Hỏi ban đầu lượng giấy loại I và loại II trong kho là bao nhiêu?

ĐS: 900 tấn, 600 tấn

<b>Bài 14:</b> Tìm hai số tự nhiên biết rằng hai số đó chia cho 3 được cùng một thương và số dư lần lượt là 1 và
2 và tổng bình phương của chúng là 221.

` ĐS: 10; 11

<b>Bài 15:</b> Trong chiến dich Điện Biên Phủ một tiểu đội công binh nhận nhiệm vụ đào 60m giao thông hào.

Nhưng đến khi nhận nhiệm vụ 2 chiến sĩ trong tiểu đội đã bị hi sinh. Vì vậy bình quân mỗi chiến sĩ phải
<i><b>đào thêm 1m giao thơng hào nữa mới hồn thành cơng việc. Hỏi tiểu đội cơng binh có bao nhiêu người? </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 16:</b> Hai anh Quang và Hùng góp vốn kinh doanh. Anh Quang góp 15 triệu đồng. Anh Hùng góp 13
triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp. Hãy tính tiền lãi
mà mỗi anh được hưởng.

ĐS: 3,75 triệu; 3,25 triệu

<b>Bài 17:</b> Trong phịng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh khơng có chỗ.
Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

ĐS: 10 ghế; 36 học sinh

<b>Bài 18:</b> Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm 3 người thì
thời gian kéo dài 6 ngày. Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu
thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mỗi thợ đều như nhau.

ĐS: 8 thợ; 10 ngày

<b>Bài 19:</b> Trên một cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn
thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu, biết rằng 3ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn
4ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

ĐS: 5 tấn; 4 tấn

<b>Bài 20:</b> Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi Hà
Nội. Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội bay đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của
máy bay cánh quạt là 300km/h. Nó đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc
của mỗi máy bay.

ĐS: 600km/h; 900km/h

<b>Bài 21:</b> Một xuồng máy xuôi dịng sơng 30km và ngược dịng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà
xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nước
chảy trong sông là 3km/h.

ĐS: 17km/h

<b>Bài 22: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến </b>
chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính qng đường AB và thời
gian dự định đi lúc đầu.

ĐS: 350km; 8 giờ

<b>Bài 23:</b> Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được

3

1

quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên qng đường cịn lại. Tìm vận tốc dự định và
thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.

ĐS: 40km/h, 2 36<i>h</i> 

<b>Bài 24:</b> Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A.
Thời gian xi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng
vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau.

ĐS: 80km

<b>Bài 25:</b> Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xi dịng sơng nhiều
hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xi dịng hơn vận tốc khi ngược dịng là 6 km/h. Hỏi
vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 26:</b> Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất
làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được

4
3

cơng việc. Hỏi một
người làm cơng việc đó trong mấy giờ thì xong?

ĐS: 12 giờ, 18 giờ
<b>Bài 27: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được </b>

5
4

hồ. Nếu vịi A chảy trong 3 giờ và vòi
B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được

2
1

hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗi vịi chảy trong bao lâu mới đầy
hồ.

ĐS: 20 ; 30
7

<i>h</i> <i><b>h </b></i>

<b>Bài 28:</b> Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vịi chảy một mình cho đầy bể
thì vịi II cần nhiều thời gian hơn vịi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể?

ĐS: 10 giờ, 15 giờ

<b>Bài 29:</b> Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ
II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được
bao nhiêu chi tiết máy?

ĐS: 420 sản phẩm, 300 sản phẩm

<b>Bài 30:</b> Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%,
còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh
năm ngối và năm nay?

ĐS: Năm ngoái: 1 triệu người, 3 triệu người
Năm nay: 1012000 người, 3033000 người
<b>Bài 31: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất </b>
trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m2

.
ĐS: 80 ; 60<i>m</i> <i>m </i>

<b>Bài 32: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng </b>
500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều
rộng ban đầu.

ĐS: 40 ; 25<i>m</i> <i>m </i>

<b>Bài 33: Cho một tam giác vng. Nếu tăng các cạnh góc vng lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác </b>
tăng 50 cm2_{. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm}2_{. Tính hai cạnh góc vng.}

ĐS: 26<i>cm</i>; 8<i><b>cm </b></i>

<b>Bài 34: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và </b>
hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.

ĐS: 47

<b>Bài 35: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm </b>
chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 36: Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đơi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng </b>

4
1

. Nếu
tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng

24
5

. Tìm phân số đó.
ĐS: 3

</div>

<!--links-->