Bài giảng số 1: Các dạng phương trình quy về bậc nhất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (371.2 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

BÀI GIẢNG SỐ 01: CÁC PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT

A.CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Phương pháp:

+ Nếu a 0 phương trình có nghiệm duy nhất x b
a
 

+ Nếu a 0và b 0phương trình vơ nghiệm

+ Nếu ab0phương trình nghiệm đúng với  x R

Ví dụ 1:Giải và biện luận các phương trình sau:

a) 2mx2xm4 c) 2

(2m 1)x 2 m4x

b) m x( m) x 1 d) 2

( 1) 1 (4 3)

m x    m x

Giải:

a) Ta có: 2mx2xm4



2 2 m x



m 4 0 (1)

+ Nếu2 2 m0m1 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 4

2 2

m
x

m





+ Nếu2 2 m0m1 thì phương trình (1) trở thành 0x + 5 = 0 ( vô nghiệm)

Vậy: Với m 1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 4

2 2

m
x

m





Với m 1 phương trình đã cho vơ nghiệm

b) Ta có: m x( m) x 1



m1



xm2 1 0 (1)

+ Nếu m 1 0m1 thì (1) có nghiệm duy nhất

2
1

1
1

m

x m

m



   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

+ Nếu m 1 0m1 thì (1) trở thành 0x + 0 = 0 (luôn đúng) (1) nghiệm đúng với

x R
 

Vậy: Với m 1 thì pt đã cho có nghiệm duy nhất x  1 m

Với m = 1 thì pt đã cho nghiệm đúng với  x R

c) Ta có: 2

(2m 1)x 2 m4x 



2m23



xm 2 0 (1)

Vì 2

2m  3 0 với m nên (1) ln có nghiệm duy nhất 2 2

2 3

m
x

m





d) Ta có 2

( 1) 1 (4 3)

m x    m x



m24m3



 1 m2 0 (1)

+ Nếu 2 1

4 3 0

m

m m

m

 


    

 


thì (1) có nghiệm duy nhât

1 1

4 3 3

m m

x

m m m

 

 

  

+ Nếu 2 1

4 3 0

m

m m

m

 


    

 


- Với m  1. Khi đó (1)0x 0 0( luôn đúng) (1) nghiệm đúng với  x R
- Với m  3. Khi đó (1) 0x 8 0( vô lý) (1) vô nghiệm

Vậy: Với 1
3

m

 



 


thì (1) có nghiệm duy nhất 1
3
m
x

m





Với m  1 thì (1) nghiệm đúng với  x R

Với m  3thì (1) vơ nghiệm

Dạng 2: Điều kiện để nghiệm phương trình bậc nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Cho phương trình f(x, m) = 0 (1). Giả sử điều kiện cho ẩn số (nếu có) là D

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

1) Phương trình (1) vơ nghiệm

0, 0

a b

a

b
D
a

 







 

 




2) Phương trình (1) có nghiệm

a b

a

b
D
a

 







 

 




3) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0

a

b
D
a











Ví dụ 2:

a) Tìm m để phương trình





4m 2 x 1 2mx vơ nghiệm.

b) Tìm m để phương trình



xm



x1



0 có nghiệm duy nhất

c) Tìm m để phương trình



m1



x 5



m1



xm có nghiệm thỏa mãn  3 x3.

Giải:

a) Ta có:





4m 2 x 1 2mx





4m 1 x 2m 1

    (1)

Để pt vơ nghiệm (1) vơ nghiệm thì
2

4 1 0 2 1

1 2

2 1 0

m
m

m


 


   

  

 


 

  




Vậy với 1
2

m  thì pt đã cho vơ nghiệm

b) Ta có:



xm



x1



0

x m

x



  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m = 1

c) Ta có:



m1



x 5



m1



xm

2 5

5
2

x m

m
x

   

 

 

Để pt có nghiệm thỏa mãn  3 x3. thì

3 3 6 5 6 11 1

2
m

m m

 

            

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình quy về bậc nhất

a)Phương trình dạng phân thức

Ví dụ 3: Giải và biện luận các phương trình sau:

a) 3

1 1

x m x

x x

 



  b)







0
3

x mx

;

x m

 





Giải:

a) Đk: x  1

Ta có: 3

1 1

x m x

x x

 



  (1)





 





(1) xm x1  x3 x1





2 2

4 3

5 3 (2)

x x mx m x x

m x m

      

   

+ Nếu 5m0m 5. Khi đó (2)  3
5
m
x

m





Nếu

3
1

3 5 0 8

3 3 5 2 2

1
5

m

m m m

m

m m m m

m






      

 

    

  

        

  

 


thì 3
5
m
x

m



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

duy nhất của pt (1)

Nếu
3

0 8

3 2 2

1
5

m

m
m

m

m m

m






   

   

 

   

  

 


( thỏa mãn m  5) thì pt (1) vơ nghiệm

+ Nếu 5m0m 5. Khi đó (2) trở thành 0x  8(vô lý)

Vậy : Với 5
1

m

 



 


thì pt(1) có nghiệm duy nhất 3
5
m
x

m






Với 1
5

m

 

  


thì pt (1) vơ nghiệm

b) Đk: x3m

Ta có







0
3

x mx

x m

 



 (1)







0
1

2 0 (2)

x mx

x

mx

   

 


   



Ta đi giải và biện luận (2)

+ Nếu m 0. Khi đó (2) x 2
m


 

+ Nếu m 0. Khi đó (2)0x 2 0( vơ nghiệm)

Vậy với m 0.pt (1) có 2 nghiệm x 1,x 2
m

  

Với m 0 pt (1) có nghiệm duy nhất x = - 1

b)Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

a) 3xm  2x2m b) 2
1

x m  m x

Giải:

a) Ta có: 3xm  2x2m

3 2 2 3

3 2 2 5

x m

x m x m x m

m

x m x m x m x

 


    

  

  



     

 



+ Nếu 3 15 16 0 0

5
m

m m m m m

          thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

+ Nếu 3 0

5
m

m m

    thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = -3m,
5
m
x 

b) Ta có: 2
1

x m  m x









2
2

2 2

1 1 (1)

1 1 1 (2)

m x m

x m m x

x m m x m x m

   



 



      

 

Giải và biện luận (1)

+ Nếu 2

1m 0m 1.Khi đó (1) có nghiệm duy nhất 12 1

1 (1 )

m
x

m m

 

 

 

+ Nếu 2

1m 0m 1.

Với m 1 (1)0x0(luôn đúng) nên pt (1) nghiệm đúng với  x R

Với m  1 (1)0x 2( vô lý) nên pt vô nghiệm

Giải và biện luận 2:

Vì 2

1m 0nên pt (2) có nghiệm duy nhất 12
1

m
x

m





Vậy: Với m  1 pt (1) có 2 nghiệm 1
1
x

m



 , 2

1
1

m
x

m






</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

Với m = -1 pt có nghiệm duy nhất 12
1

m
x

m





Dạng 4. Tìm điều kiện để phương trình quy về bậc nhất có nghiệm

Ví dụ 5:Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm

2 2 (1)

1 1

x m x

x x

 

 

 

Giải:

Cách 1:

Đk: x  1





 









(1) x m x1  x2 x1 2 x 1





m2



x 4 m (2)

Trường hợp 1: Nếu m20m 2. Khi đó (2)0x6(vơ lý) pt vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu m20m 2. Khi đó (2) 4
2
m
x

m


 



Do đó (1) vơ nghiệm
4

1
2

1
4

1
2

m
m

m





 

  



  

 


Vậy với m = - 2 hoặc m = 1 phương trình (1) vơ nghiệm

Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta trình bày theo các bước của bài toán giải biện luận, tuy

nhiên cũng có thể trình bày dưới dạng:

Cách 2:

Đk: x  1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

Phương trình (1) vơ nghiệm

2 0

4 0

2 0 2

4 1

2
4

1
2

m

m m

m
m
m

  




 




  

 



    



  

  
 


   
  


Tuy nhiên cách trình bày này có thể khiến 1 số em thấy phức tạp. Do vậy, nếu bài tốn u cầu” 
Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm ( hoặc vơ nghiệm) thì tốt nhất các em làm 
theo cách 1

Ví dụ 6: Tìm m để phương sau có nghiệm:

3 2 2 2 1 (1)

2 2

x m x m

x

x x

  

  

 

Giải:

Đk: x > 2

(1)3xm  x 2 2x2m1

2 3 1

3 1

x m

m
x

  



 

Để phương trình có nghiệm thì 3 1 2 3 1 4 3 3 1
2

m

x  m m m

         

Vậy với m 1 phương trình (1) có nghiệm

B.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:





2 2 3

m  x m x c) m x



m3



m x



2



6

b) m x



m



xm2 d) 2









1 3 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

ĐS: a) 2 2 3,
1
m

x m

m


 

 b) Nếu m 1 pt nghiệm đúng với x

Nếu m 1 pt có nghiệm duy nhất xm2

c) Nếu 2
3

m








pt vô nghiệm

Nếu 2
3

m



 


pt nghiệm đúng với x

d)Nếu 1
2

m








pt có nghiệm

2
m
x

m




Nếu m 1, pt nghiệm đúng với x

Nếu m 2, pt vơ nghiệm

Bài 2:

a) Tìm m để phương trình 1

2 2

x m x

x m x

 



  vơ nghiệm.

b) Tìm m để phương trình









2 2

2 1 3 2 3 2

4 4

m x m x m

x x

    



 

có nghiệm.

ĐS: a) m = 0, m = 1, m = 3 b) 1 < m < 9

Bài 3:

a) Tìm a và b để phương trình a x



2



b



2x1



x1 có nghiệm   x .

b) Tìm m để phương trình 2mx 1 xm vơ số nghiệm

c) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

ĐS: a) 3, 1

5 5

a b b) không tồn tại m

Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau:

a)
2

3 2

x x

x m

 



 b)

1 1 1

ax b ax a

x x x

 

 

   c) ax 1 1





1 (1)

a b a b

bx a b x



 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

ĐS: a) Nếu m = 1 hoặc m = 2 thì pt có 1 nghiệm

Nếu 1
2

m








thì pt có 2 nghiệm

b) Nếu a b 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất 1
1
a b
x

a b
 


 

Nếu a b 1 thì phương trình vơ nghiệm

c) Nếu a = b = 0, pt nghiệm đúng với  x R

Nếu 0
0

a

b








, pt nghiệm đúng với x 1
b
 

Nếu 0
0

a

b








, pt nghiệm đúng với x 1

a
 

Nếu b  a 0, pt có nghiệm duy nhất x = 0

Nếu a0,b0,a b 0,ab, pt có 2 nghiệm x = 0, x 2
a b


</div>

Bài giảng số 1: Các dạng phương trình quy về bậc nhất





<sub></sub>

<sub></sub>













<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>











 

































 

















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>