Bài giảng số 3: Các phương trình quy về bậc hai ôn thi vào lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (381.19 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Dạng 1: Phương trình phân thức

Phương pháp:

- Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Quy đồng và khử mẫu

- Giải phương trình vừa nhận

- So sánh nghiệm vừa tìm với điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)
1
x

 + x 2
2

 = 3(x 6
2

 – x 3
1
 ).

b)
2

3 15

9 3

x x x

x

x x



 

 

c)
2

4 3 2

9 1 17

1 1

x x

x x x x

 



   

Giải:







2 8 8

2 4 2 4

x x x

x x x x



 

    (1)

TXĐ: x  



4; 2



2 ( 4) ( 2) 8 8
(1)

( 2)( 4) ( 2)( 4)

x x x x x

x x x x

   

 

   

2 2

2 8 2 8 8

2 8 0

x x x x x

x x

     

   

Ta có:      ' 1 8 7 0
Vậy phương trình vơ nghiệm

b)
2

3 15

9 3

x x x

x

x x



 

  (1)

TXĐ: x  3

2 2

3 15 4

(1)

( 3)( 3) 3

x x x x

x x x

 

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 2

2 3 2

3 2

3 15 ( 4 )( 3)

3 15 12

4 3 0

( 4 3) 0

0
0

4 3 0

3 ( )

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x
x
x
x x
x l

    
    
   
   



 
 
 
  
  


Vậy nghiệm của phương trình 0
1
x
x


 

c)
2

4 3 2

9 1 17

1 1

x x

x x x x

 



    (1)

TXĐ: x  1
2

2 2

9 1 17

(1)

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x

x x x x x

 
 
    

2
2
2
2

9 1 17( 1)

9 1 17 17

8 16 0

( 4) 0

4 0

4 ( / )

x x x

x x

x

x t m

    

    
   
  
  
 

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 4
Bài tập:

Giải các phương trình sau:

1) 12 8 1

1 1

x x  3)







3 5 1

3 2 3

x x

x x x

 



  

2) 16 30 3

3 1

x  x  4)

3 2 2

3 2

7 6 30 16

1 1

x x x x x

x x x

    



  

ĐS: 1) 1
2
3
7

x
x
 




2)
1
2
5
13
3
x
x
 


 


3) x = 1 4) 1
2
7
9
2
x
x

 






Dạng 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) 2

8 15 3

x  x  x

b) 2

2 4 3
x x  x 

Giải:

+ Nếu 2 3

8 15 0

5
x

x x

x


    




thì phương trình đã cho tương đương với

8 15 3

9 18 0

( / )
6

x x x

x x

x

t m
x

   

   



  



+ Nếu 2

8 15 0 3 5

x  x   x thì phương trình đã cho tương đương với

8 15 3

7 12 0

3 ( )

4
4

x x x

x x

x l

x
x

    

   




  




Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x3, x4, x6

b) Lập bảng xét dấu hai biểu thức 2

x x và 2x 4

TH1: Với x 0 hoặc 1x2, phương trình đã cho tương đương với





2 2 1

2 4 3 3 1 0 3 5

x  x x  x  x  x  (loại)

TH2: Với 0 x1, phương trình đã cho tương đương với

2 2

1 5
2

2 4 3 1 0

1 5
( )
2

x x x x x

l
  



         

  



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2 2

1 29
( )
2

2 4 3 7 0

1 29
2

x l

x x x x x

x
  




        

  




Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 5; 1 29

2 2

x   x 

Bài tập:

a) x 1 2x1 c) 2 2 x   1 1 3

b) 3 1 2

1 3

x
x



 

 d)





2 2

1 2 2 1

x x   x 

ĐS: a) 2

3 b)
2

4
x

x


  


c) 5
2

x   d) 2 1;



6 2



2 4

x  

 

 

Dạng 3: Phương trình căn thức

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau

a) 2

2x 4x 1 x1

b) 2 2

2 2 4 3

x  x  x  x

c) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
Giải:

a) Đk: 2

2 6
2

2 4 1 0

2 6
2
x

x x

x

  



   

  




Phương trình đã cho tương đương với

2 2 2

2 4 1 2 1 2 2 0

1 1

x x x x x x

x x

         



 

  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 3

1 3 ( / )

1 3

x

x t m

x
x

   


       


 


Vậy nghiệm của phương trình là x   1 3

b) 2 2

2 0

0
x

x x

x
 

   




Đặt 2

2 0

y x  x ta được phương trình

2 2

2 3 2 3 0 3 1

( )
2

y

y y y y y

y l





         

  


Với 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 0 1 2

y  x  x  x  x x  x  x  

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x   1 2
c) Đk : x 1

Phương trình đã cho tương đương với

1 4 1 4 1 6 1 9 1

x  x   x  x  



1 2





1 3



2 1

1 2 1 3 1

x x

      





1 4 4 1 1 9 6 1 1

2 10 1 10

5 1 5

25 1 10 25

15 50 0 ( / )

x x x x

x x

x x x

x

x x t m

x

          

    

   

   

    





     




</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

a) 2





4x 101x642 x10







1 2 3 4

x x x  x

c) x 14x49 x 14x49  14

d) 2 2

1 2 2

x   x x  x

ĐS: a) 16 b) 3 37

2
 

c)
7
7
2

x




 


d) 1 5

Dạng 4: Đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ 
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau đây:

(4

x



5)



6(4

x



5) 8

 

0;

(

x



3 x



4)(

x



3 x



2)



3;

2

5

3 0;

(

1)

1 x





x



 

d) x x  1 3 0

e) 4 3 2

2 3 2 3 0

x  x  x  x 
Giải:

a) Đặt t = 4x – 5, phương trình đã cho trở thành t2 – 6t + 8 = 0 (1)

' 9 8 1 0
    

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2
4
t

t


 


Với 2 4 5 2 7

t  x  x

Với 4 4 5 4 9

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
7
4
9
4
x

x






 


b) Đặt 2

3 2

tx  x , ta được phương trình 2

( 2) 3 2 3 0

t t  t  t 

1
' 1 3 4

3
t

t


     

 


Với 1 2 3 2 1 2 3 1 0 3 5

t x  x   x  x  x 

Với 2 2

3 3 2 3 3 5 0

t   x  x   x  x  (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 3 5
2
x 

c) Đk x  1

Đặt
1

x
t

x  , ta được phương trình
2

2t 5t 3 0

25 24 1

    phương trình có hai nghiệm
1

3
2

t
t




 


Với 1 1 1 0 1

x

t x x x

x

       

 (vô nghiệm)

3 3

2 3 3 3

2 1 2

x

t x x x

x

        

 ( tmđk)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = - 3

d) Đk x 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đặt x  1 t 0. Khi đó 2 1 ( )

(1) 2 0

t l

t t

t
 

     




Với t2 x 1 2x 1 4x5 (tmđk)

Vậy phương trình có một nghiệm x = 5

e) 4 3 2

2 3 2 3 0

x  x  x  x 

















4 3 2 2

2 2

2 2 2 3 0

2 1 2 1 3 0

1 2 1 3 0

x x x x x

x x x x x

x x x x

      

      

Đặt tx x



1



, phương trình đã cho trở thành 2 1
2 3 0

3
t

t t

t


    

 


Với





2 1 5

1 1 1 1 0

2
t x x   x   x x 

Với





3 1 3 3 0

t   x x   x   x (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1 5
2
x 

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

a) 2 2 2

(x 3x1) 2(x 3x1) 8 0; e)(x1)(x3) )(x5) (x7)20.





2 2

2x  x 2 10x 5x160 f) 4 3 2

4 1 0.

x x  x   x

c) 1 2 2

1 1 2

x
.

x x x



 

  g)

4 3 2

2 5 4 4 0.

x  x  x  x 

d) 2 2

(x  x 1)(x x2) 12 0.  h) 4 3 2

5 2 5 1 0.

x  x  x  x 





4 4

3 ( 5) 2.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ĐS: a) Đặt 2 3 21
3 1

tx  x x  b) Đặt

1
2

2
1

2 2 3

2
x

t x x

x




    

 


c) Đặt t x 0 x1. d) Đặt 2 1
1

2
x
t x x

x


    

 


e) Phương trình







8 7 8 15 20

x x x x

      . Đặt 2

8 7 4 11

tx  x x  

f) x 0 chia 2 vế cho 2

x . Sau đó đặt





1
1

2 3 5

2
x

t x t

x x





     

 


g) x 0 chia 2 vế cho 2

x . Sau đó đặt t x 2



t 2 2



x

   pt ẩn t vô nghiệm

h) x 0 chia 2 vế cho 2

x phương trình 2
2

1 1

5 2 0

x x

   

      

   

Đặt

1
1

5 29
2
x

t x

x x

 



   

 

i)Đặt tx 4 x 4

Dạng 5: Đưa về phương trình tích

Phương pháp: Bằng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình về dạng
A(x).B(x) = 0 ( ) 0

( ) 0
A x

B x



  



. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a) 3x36x2 4x 0; b)

(

x



1)

  

x

1 (

x



1)(

x



2);

Giải:

a) 3 2

3x 6x 4x0





3 6 4 0

x x x

   

0
0

3 21

3 6 4 0

3
x

x

x x x





 

   



   





Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 0, 3 21
3
x x 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>





3 2 2

3 2

3 3 1 1 3 2

2 5 0

2 5 0 ( )

x x x x x x

x x x

x x x

x

x x vn

        

   



 

  


Vậy nghiệm của phương trình đã cho x = 0
Bài tập:

Giải các phương trình sau:

a) 4 3 2

2x x 5x   x 2 0.
b)

(2

x



3)



10 x



15 x



0;

c) x3 5x2   x 5 0

ĐS: a) 1 5
2

x  ; 1 17

x  . b)
1

3
2

x
x




 


c) x5,x 1

Dạng 6: Giải các phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0



a 0



Phương pháp:

- Đặt 2

x  t , ta được phương trình bậc hai ẩn t: 2

at bt c 0 (1)

- Giải phương trình (1) và nhận t 0

- Giải phương trình 2

x t và kết luận nghiệm của phương trình trùng phương
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:

a) 4 2

8 9 0
x  x  

b) 4 2

1,16 0,16 0

x  x  

Giải:

a) Đặt 2

x  t , phương trình đã cho trở thành 2 1 ( )
8 9 0

t l

t t

t
 

    

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Với 2

9 9 3

t x   x 

Vậy phương trình có nghiệm x  3

b) Đặt 2

x  t , phương trình đã cho trở thành 2 1
1,16 0,16 0

0,16
t

t t

t




    




Với 2

1 1 1

t x  x 

Với 2

0,16 0,16 0, 4
t x  x 

Vậy nghiệm của phương trình x 1,x 0, 4

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

a) 4 2

7 144 0

x  x   c) 1 4 1 2 1

0
3x 2x 6 

b) 4 2

36x 13x  1 0 d) 4





3x  2 3 x  2 0

ĐS: a) x  4 b) 1, 1

2 3

x  x  c) 1, 2
2

x  x  d) 2 3
3

x  

Dạng 7: Một số dạng phương trình đặc biệt khác

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a)

(

x



2)



3 x

 

5 (1



x

)(1



x

)

x x

(



6)



(

x



2)



(

x



1)

Giải:

(

x



2)



3 x

 

5 (1



x

)(1



x

)

2 2

4 4 3 5 1

2 2 0

x x x x

x x

      

   

1 16 17

    1 17

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Vậy nghiệm của phương trình là 1 17
4
x  

x x

(



6)



(

x



2)



(

x



1)

3 2 3 2

6 4 4 3 3 1

4 5 5 0

x x x x x x x

x x

        

   

25 80 55 0

     

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm
Bài tập:

Giải các phương trình

a) 2 2009 2010 1( ).

x  y  z  x yz



x yz



42 x24 y36 z5.

c) 5 2.

a

x  xa 

ĐS:

a) Phương trình

2 2 2 2009 2 2010 0 2009

2010

x

x y z x y z y

z





            

 




 



2 1 2009 1 2010 1 0 3, 2008, 2011.

x y z x y z

              

b) Phương trình



 



2 1 3 2 5 3 0 3

x

x y z y

z





           

 

3, 7, 14

x y z

   

c) Điều kiện xa x, 5 phương trình a x



a



5



x5



2



x5



xa











1
2

2 3 5 5 0 5

2
x a

x a x a a

x
 




       

 


thoả mãn điều kiện 0
5
a

a


 




</div>

Bài giảng số 3: Các phương trình quy về bậc hai ôn thi vào lớp 10











<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



































(4

<i>x</i>



5)



6(4

<i>x</i>



5) 8

 

0;

(

<i>x</i>



3

<i>x</i>



4)(

<i>x</i>



3

<i>x</i>



2)



3;

2

5

3

0;

(

1)

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





<i>x</i>



 





















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>