Bất phương trình biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

HUỲNH KIM LINH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH – 1996


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

HUỲNH KIM LINH

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 1.01.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PTS. LÊ HỒN HỐ

TP. HỒ CHÍ MINH – 1996


LỜI NĨI ĐẦU

Xin kính gởi đến thầy LÊ HỒN HỐ – PTS. Khoa Toán trường Đại học Sư phạm T.P Hồ Chí
Minh, người đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này lời biết ơn chân
thành và sâu sắc.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với q Thầy, Cơ thuộc khoa Tốn và khoa Tâm lý- Giáo dục thuộc
trường Đại học Sư phạm T.P Hồ Chí Minh và khoa Triết trường đại học Tổng hợp T.P Hồ Chí Minh đã
giảng dạy chúng tơi trong suốt 2 năm qua.
Xin cám ơn BGH trường Đại học Sư phạm T.P Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên,
ban giám hiệu trường PTTH Lê Lợi – Phú Yên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm
vụ học tập.
Xin chân thành cám ơn các thầy:
•

PGS-PTS DƯƠNG MINH ĐỨC

Khoa Tốn, Đại học Tổng hợp Tp. Hồ Chí Minh
•

PTS TRỊNH CƠNG DIỆU

Khoa Tốn, Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh
Đã đọc bản thảo và góp nhiều ý kiến bổ sung qúy báu cho luận văn.
Xin cám ơn các anh chị trong khoá học, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm giúp đỡ tôi trong
thời gian học tập và làm luận văn.
Thành phố Hồ Chí Minh, 08 – 1996
HUỲNH KIM LINH

3

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................3
MỤC LỤC ........................................................................................................4
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................6
CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.................8
1.1. CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC. .................................................................................................... 8
1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: ..................................................................................................... 9
1.2.1. Định nghĩa: ........................................................................................................................... 9
1.2.2. Toán tử vi phân Λ ............................................................................................................... 10
1.2.3. Toán tử phi tuyến A ........................................................................................................... 11

CHƯƠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC ............14
2.1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN MỞ ĐẦU. ..................................................... 14
2.1.1. Dạng song tuyến tính.......................................................................................................... 14
2.1.2. Bài tốn: .............................................................................................................................. 15
2.2. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA NHỮNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN
PHÂN ELLIPTIC. ........................................................................................................................... 18
2.3. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT ............................................................. 20
2.4. ỨNG DỤNG: .............................................................................................................................. 21
2.5. BIẾN PHÂN ............................................................................................................................... 22
2.6. LỜI GIẢI CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN VỚI NHỮNG VI PHÂN DƯỚI .. 23
2.7.2. Một kết quả chính qui bởi phương pháp tịnh tiến. ........................................................... 26
2.7.3. Một kết quả chính quy “trừu trượng” ............................................................................... 27
2.8. ĐỊNH LÝ SO SÁNH ................................................................................................................. 30
2.9. MỘT DẠNG KHÁC: ................................................................................................................ 31

CHƯƠNG 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC .......33
3.1. BÀI TỐN MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 33
3.2. CƠNG THỨC TỔNG QT CHO NHỮNG BÀI TỐN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN
PHÂN PARABOLIC........................................................................................................................ 34

3.2.1. Giả thiết thích hợp, thí dụ: ................................................................................................. 35

4


3.2.2. Định lý tồn tại lời giải “yếu” .............................................................................................. 37
3.2.3. Định lý tồn tại duy nhất của lời giải yếu ........................................................................... 42
3.3. NHỮNG ỨNG DỤNG: ............................................................................................................. 43
3.3.1. Trường hợp HILBERT....................................................................................................... 43
3.3.2. Các bài toán tương tự trong Lp, 2 < P < ∞ ........................................................................ 45
3.3.3. Các lời giải tuần hoàn ........................................................................................................ 46
3.3.4. Bài tốn đơi:........................................................................................................................ 47
3.3.5. Bài tốn bất phương trình biến phân với tốn tử Parabolic suy biến .............................. 48
3.4. CÁC ĐỊNH LÝ CHÍNH QUY .................................................................................................. 49
3.4.1. Định lý chính quy, phương pháp đầu tiên: ....................................................................... 49
3.5. NHỮNG LƯU Ý KHÁC NHAU .............................................................................................. 56

KẾT LUẬN ....................................................................................................60

5


LỜI NĨI ĐẦU
Việc chuyển từ những bài tốn biên về xét các bất phương trình biến phân là một vấn đề mà cá
nhà toán học trên thế giới cũng như ở Việt Nam rất quan tâm. Có thể điểm qua một số tác giả với các
cơng trình liên quan như: J. L. LIONS, DAVID KINDERLEHRER, KLAUS SCHMITT, ĐẶNG ĐÌNH
ÁNG,…
Luận văn này đề cập đến hai loại bất phương trình biến phân đó là: BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BIẾN PHÂN ELLIPTIC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC.
Luận văn được chia làm 3 chương:

+ Chương 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong chương này dành để nêu lên một số ký hiệu và các khái niệm cơ bản để làm cơ sở cho
chương 2 và chương 3. Một số khái niệm được xét đến như:
•

Xây dựng các khơng gian V, H, V ‘ trên không gian vectơ tôpô Φ và đối ngẫu Φ’.

•

Tốn tử vi phân Λ của nửa nhóm G(s) và có miền xác định là D(Λ;V ) trong V, D(Λ,H )
trong H, D(Λ,V 1) trong V ‘’. Với V là không gian Banach và H là không gian Hilbert.

•

Tốn tử phi tuyến tính A (A): V → V ‘thoả:

(i)

A (A) là giả đơn điệu.

(ii)

A (A) là bức.

(iii)

A (A) là đơn điệu.

(iv)

A (A) là hémicontinue

+ Chương 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC
Mục đích của chương 2 là nghiên cứu bất phương trình biến phân dạng:
(*)

(A u, v - u) ≥ (f, v - u). ∀ v ∈ K, f ∈ V’ cho trước. Với A : V → V’ là tốn tử tuyến tính

liên tục xác định dạng song tuyến tính a (u, v) và K là tập lồi, đóng của V.
Ta xem xét sự tồn tại nghiệm của (*) trong hai trường hợp là K bị chặn và K khơng bị chặn, và
xét khi nào (*) có duy nhất nghiệm, sau đó xem xét sự ứng dụng của (*).
Tiếp theo xét tính biến phân và xét các bất phương trình với những vi phân dưới.
Cuối cùng là xét sự chính quy của bất phương trình biến phân (**) và xem xét một dạng khác của
bài toán.
+ Chương 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC
Xét bát phương trình biến phân parabolic:

6


(**)

(Λu, v - u) + (A u, v -u) + (gu, v - u) ≥ (f, v - u), ∀ v ∈ V ∩ D (Λ*, V ‘).

Ta cũng xét sự tồn tại nghiệm của (**) trong 2 trường hợp:
+V ⊂H
+ V không chứa trong H
Tiếp theo là nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của (**), sau đó nêu lên một số ứng dụng và
cuối cùng là xét sự chính quy của (**) trong trường hợp nà hàm phi tuyến g thoả thêm điều kiện khả vi.

7


CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong chương này, chúng ta giới thiệu các ký hiệu toán học và các khái niệm cơ bản được dùng
cho chương 2 và chương 3.
1.1. CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC.
Ω là tập mở, bị chặn của Rn.
Γ=∂ Ω là biên của Ω, d Γ = độ đo mặt trên Γ.
Q = Ω × (0, T) với T ∈ R và 0 < T < ∞.
∑ = ∂ Q = Γ × (0, T), d∑ = dΓ × dt.

Ω = Ω ∪ ∂ Ω là bao đóng của Ω.
δu / δx j là đạo hàm riêng của u đối với biến x j , ta cũng có thể viết u xj , δ j u hay u j .
u x = grad u = (u x1 , u x2 ,…,u xn ).
Dx = dx 1 …dx n là độ đo Lebesgue trên Rn.

δ2
∆ =∑ 2 là toán tử Laplace.
i =1 δx i
n

V (V ) là không gian Banach phản xạ.
H (H ) là không gian Hilbert.
D (Ω), D (Q),… là các khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact trong Ω, Q,…
D’ (Ω), D’ (Q),…là các không gian đối ngẫu của D (Ω), D (Q),…
Lp (Ω) là không gian các hàm luỹ thừa p lần khả tích trên Ω, bởi độ đo dx = dx 1 .dx 2 …dx n và

f
f

L (Ω)
p

L∞ ( Ω )

(∫

p

Ω

f (x) dx

)

1/p

víi 1 < p < ∞ vµ

inf {M : f ≤ M h. k. n trong Ω}
=


LP (0,
T; V) u : (0, T) V đo được sao cho
=

Vi V l khụng gian Banach và 1 ≤ p < ∞, u

p

(∫

T

0

L (0,T,V)

p

(∫

=

T

0

)

1/p

u(t) v dt

2

α

m,p

α1

p

αn

 δ 
 δ 
D =
 ... 
 , α = (α1 ,..., α n ), α = α1 + ... + α n ≥ 0
 δx1 
 δx n 
α

8

p

u(t) v dt

{u : Ω → Ω sαo cho u, u' ∈ L (Ω)} ;
Ω=
(Ω) {v : D v ∈ L (Ω), α ≤ m} . Víi

H1 (Ω=
)


< ∞


)

1/p


Là không gian Sobolev với chuẩn: u

w m ,p ( Ω )


=  ∑ Dα u
 0≤ α ≤ m


1/p




Lp ( Ω ) 
p

Wom,p (W) là bao đóng của D (Ω) trong W m,p (W)

W − m,p ' (W) là đối ngẫu của W m,p với (1/p + 1/p’=1).
Đơn giản W-m(Ω) với p = 2.

H m (W=
) W m,2 (WW
) ; H om ( =
) H om (W)
H − m=
(W)

(W

(

m,2

)

(WW
) '=
W − m,2 ( ).

)

C k (Ω) C k (Ω) : không gian các hàm k lần khả ci liên tục trên Ω(Ω) .
D (Ω=
) C ∞ (Ω)
D (] 0, T [ ; X) là không gian các hàm C∞ từ ] 0, T[ → X có giá compact trong ] 0 T[.
Ck ([0. T] ; X) là không gian các hàm k lần khả vi liên tục từ [0, T]→X.
L (X; Y) = {f : X→Y là tuyến tính, liên tục}. (với X, Y là không gian vectơ tôpô).
D’ (] 0, T [; X) = L (D (] 0, T [ ; X) là các không gian các hàm mở rộng trên ] 0, T[ và có giá trị
trong X.
1

,p

W p ' (Γ) =không gian các hàm v Γ với v ∈ W1,p (W) .
1

Với=
p 2, H 2 =
(Γ) không gian các hàm v Γ với v ∈ H1 (Ω)
−

1
2

1
2

H (Γ) là đối ngẫu của H (Γ)

1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
1.2.1. Định nghĩa:
Cho không gian vectơ tôpô Φ và đối ngẫu Φ’. Kí hiệu (ϕ, f) là tích vô hướng giữa ϕ ∈ Φ và
f∈Φ’;
Ta định nghĩa các không gian V , H , V ‘ như sau:
(2.1) Φ ⊂ V ⊂ Φ’ , Φ ⊂ H ⊂ Φ’ , Φ ⊂ V ‘ ⊂ Φ’
(2.2) H là khơng gian Hilbert (có tích vơ hướng (h 1 , h 2 ) H và chuẩn là h
(2.3) V là một không gian Banach phản xạ với chuẩn .
(2.4) V ‘ là đối ngẫu của V với chuẩn .

V‘

9

V

.

H ).


Nếu ϕ, ψ ∈ Φ ta có:
(2.5) (ϕ, ψ) = (ϕ, ψ) H là tích vơ hướng giữa ϕ ∈ V và ψ ∈ V ‘.
(2.6) Φ là trù mật trong V ∩ V ‘. Có chuẩn .

V

+ .

V ‘.

lưu ý:
* Từ (2.6) ta suy ra:
(2.7) V ∩ V ‘ ⊂ H
Nếu ϕ ∈ Φ ta có: ϕ
* Nếu

H

= (ϕ, ϕ) ≤ ϕ

V

× ϕ

V ‘

V ⊂ H thì

(2.8) V ⊂ V ‘ ⊂ H
1.2.2. Toán tử vi phân Λ
G (s) là nửa nhóm liên tục trong V , H , V ‘ thoả:
(2.9) G (s) là nửa nhóm co trong H , nghĩa là
G(s)

L (H , H )

≤ 1, ∀ s ≥ 0.

- Λ là toán tử vi phân của nửa nhóm G (s) có miền xác định là D (Λ, V ) trong V ; D (Λ, H )
trong H và D (Λ, V ‘) trong V ‘.
G * (s) là nửa nhóm liên hợp của G (s) sinh ra trong V , H , V ‘;
- Λ* là tốn tử vi phân của G* (s) có miền xác định là D (Λ*, V ) trong V ; D (Λ*, H ) trong H
và D (Λ*, V ‘) trong V ‘.
(2.10) D (Λ, V ‘) ∩ V (D(Λ*, V ‘) ∩ V ) là trù mật V .
−1

(với u ∈ V và ε > 0 tuỳ ý, ta chọn ϕ ∈ Φ với u − ϕ

V ≤ε

 1 
thì  I + Λ  ϕ ∈ V ∩ D (Λ, V ‘) và
 2 

tiến đến ϕ trong V khi n → ∞).
Xem Λ như là toán tử tuyến tính từ V → V ‘ có miền xác định là D (Λ; V , V ‘) với D (Λ; V ,V
‘)= {v : v ∈ V sao cho dạng tuyến tính w → (v, Λ*w) trên D (Λ, V ‘) ∩ V là liên tục đối với tôpô cảm
sinh trên V }
Khi đó, tồn tại duy nhất x v ∈ V ‘ sao cho
(2.12) (v, Λ*w) = (x v , w)
(vì D (Λ*, V ‘) ∩ V là trù mật trong V ).
Nếu v ∈ D (Λ, V ‘) ∩ V thì xv = Λv cho trường hợp tổng quát, từ đó:
10


(2.13) (v, Λ*w) = (Λv, w), ∀ w ∈ D (Λ*, V ‘) ∩ V .
Trong không gian D (Λ; V , V ‘) ta đưa vào chuẩn

v

V

+ Λv

V ‘

thì D (Λ; V , V ‘) là không

gian Banach.
Một cách tương tự, ta cũng định nghĩa cho D (Λ*; V , V ‘).

Lưu ý:
(2.14) Nếu V ⊂ H thì D (Λ; V ‘) ⊂ V

= D (Λ; V , V ‘) và

D (Λ*; V ‘) ∩ V ‘) = D (Λ*;V , V ‘).
(2.15) Nếu V không chứa trong H thì V ∩ D(Λ, V ‘) (tương ứng D(Λ*; V ‘) ∩ V là trù mật
trong D(Λ; V , V ‘) (tương ứng D (Λ*; V , V ‘)).
(2.16) (Λv, v) ≥ 0, ∀ v ∈ D (Λ; V , V ‘)
Thật vậy, từ (2.7) và (2.8) ta lấy ∀ v ∈ D (Λ*; V ‘) ∩ V
∞

Xét G(p n ) = ∫ G(s)p n (s) ds thì p n là đều trong D (0, ∞)).
0

Và vì v ∈ D (Λ*; V ‘) ∩ V nên G(p n ) v→ v trong D (Λ*; V ‘) ∩ V .
G(p n ) v ∈ D (Λ; V ) ∩ D (Λ; V ‘).
Vậy w = G(p n ) v ∈ D (Λ; H ), nhưng do (2.1) ta có (Λw, w) ≥ 0.
Tương tự (Λ* v, v) ≥ 0, ∀ v ∈ D (Λ*; V , V ‘).
1.2.3. Toán tử phi tuyến A
Toán tử phi tuyến A : V → V ‘ thoả:
A là giả đơn điệu, nghĩa là

(2.17)
(i)

A là toán tử bị chặn.

(ii)

Khi u j → u trong V yếu và lim sup (A (u j ), u j - u) ≤ 0 thì
Lim inf (A (u j ), u j - v) ≥ (A (u), u - v), ∀ v ∈ V
A là bức, tức là tồn tại v o ∈ V sao cho

(2.18)

( A (v),(v − v o )
→∞
vV

khi

v

V

→∞

(2.19) A là đơn điệu, nghĩa là (A u – A v, u - v) ≥ 0, ∀u, v ∈ V .
(2.20) A là hémicontinue, tức là nếu ∀ u, v ∈ V hàm số biến λ → (A (u + λv), w) liên tục từ R
vào R.
Mệnh đề:
11


A bị chặn, hémicontinue, đơn điệu ⇒ A giả đơn điệu ⇒ A thoả tính chất (M).
(Tính chất M: Nếu u j → u trong V yếu và A (u j ) → χ trong V ‘ yếu và nếu lim (A (u j ), u j ) ≤ (χ,
u) Thì χ = A (u)).
Chứng minh:
1. a) Nếu u j → u trong V yếu và lim Sup (A (u j ), u j - u) ≤ 0, do A đơn điệu, ta có: A (u j , u j – u)

→0

(*)
Thật vậy, do tính đơn điệu: (A (u j ), u j – u) ≥ (A (u), u j – u) → 0
b) Cho w = (1 - θ)u + θv, θ ∈ ]0, 1[, ta có : (A (u j ) – A (w), u j - w) ≥ 0
Như vậy:
θ (A (u j ), u - v) ≥ - (A (u j ), u j - u) + (A (w), u j - u) - θ (A (w), v - u)
Hay nhờ (*) ta có:
θ lim Inf (A (u j ), u - v) ≥ - θ (A (w), v - u)
Đơn giản cho θ ta có:
lim Inf (A (u j ), u - v) ≥ (A (w), u - v)
w = (1 - θ)u + θv, θ ∈ ]0, 1[
Cho θ → 0, ta có kết quả.
Ghi chứ: từ (i) và (ii) trong định nghĩa của giả đơn điệu suy ra A liên tục từ V mạnh vào V yếu.

Thật vậy, giả sử tồn tại u η → u trong V mạnh A (u η ) không hội tụ về A (u) trong V ‘ yếu. Do A (u η )
chứa trong tập bị chặn trong V ‘, tồn tại dãy u η sao cho A (u η ) → f trong V ‘ yếu, f ≠ A (u). Khi đó
lim sup (A (u η ), u η - u) = 0
Vậy lim Inf (A (u η ), u η - v) = (f, u - v) ≥ (A (u), u η - v) ; ∀ v ∈ V
Như vậy
f = A (u) mâu thuẫn
A : V → V ‘ (Có thể phi tuyến)
1) A đơn điệu nếu ∀ u, v ∈ V

(A (u) – A (v), u - v) ≥ 0

2) A bị chặn nếu A biến một tập bị chặn trong V thành lập bị chặn trong V ‘.
2.

A đơn điệu ⇒ “Nếu u j → u trong V yếu và A (u j ) → χ trong V ‘ yếu và nếu lim sup (A (u j ),

u j ) ≤ (χ, u). Thì χ = A (u)”
Thật vậy:
(A (u j ), u j - u) ≥ (A (u), u j - u) → 0
12


(A (u j ), u j ) - (A (u j ), u) ≥ (A (u), u j - u) → 0
Nên (A (u j ), u j ) - (χ, u) ≤ 0
Suy ra

lim (A (u j ), u j - u) = 0
j→∞

suy ra
lim(A (u j ), u j - v) = lim[(A (u j ), u j - u) + (A (u j ), u - v)] =
lim(A (u j ), u j - v) = (χ, u - v) ≥ (A (u), u - v), ∀ v ∈ V
j→∞
Vậy A (u) = χ.

13


CHƯƠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC
2.1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN MỞ ĐẦU.
2.1.1. Dạng song tuyến tính
Nhiều vấn đề quan trọng của lý thuyết Bất phương trình biến phân có thể sử dụng các khái niệm
vá các cơng thức của dạng song tuyến tính trên khơng gian Hilbert. Lý thuyết này là một sự tổng quát
hoá của lý thuyết biến phân cho các phương trình ELLIPTIC.
Cho V là một khơng gian Hilbert thực, với tích vơ hướng (,) và chuẩn . . Đặt V’ = {f: V → R là

tuyến tính liên tục} gọi là khơng gian đối ngẫu của V.
<, > : V’ × V → R định bởi f, x  < f, x> gọi là một cặp giữa V và V’
Cho a: V × V → R là một dạng song tuyến tính liên tục, nghĩa là a tuyến tính và liên tục theo mỗi
biến u, v ∈ V. Dạng song tuyến tính a được gọi là đối xứng nếu:
(1.1) a (u, v) = a (v, u),

∀ u, v ∈ V.

Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : V → V’ xác định một dạng song tuyến tính định bởi:
(1.2) a (u, v) = < Au, v >
Ta thấy, các điều kiện về tuyến tính là thoả và a(u, v) ≤ A . u . v , víi A là chuẩn của A,
điều này chứng tỏ a là liên tục.
Ngược lại cho dạng song tuyến tính a (u, v) thì ánh xạ tuyến tính biến v → a (u, v), (với u ∈ V cố
định) ghi là Au ∈ V’, xác định một tuyến tính liên tục A : V → V’ bởi công thức < Au, v > = a(u, v),
∀u, v ∈ V
Định nghĩa 1.1
Dạng song tuyến tính a (u, v) được gọi là bức trên V nếu tồn tại α > 0 sao cho:
(1.3)

2

a(v, v) ≥ a v v , ∀ v ∈ V

Dạng song tuyến tính a (u, v) là bức nếu và chỉ nếu ánh xạ tuyến tính liên tục A định bởi (1.2) là
bức theo nghĩa
< Av, v >
→ ∞ khi v → ∞
v

Một dạng tuyến tính đối xứng, bức a (u, v) xác định một chuẩn (a (v, v))1/2 trên V, tương đương

với chuẩn v .

14


2.1.2. Bài toán:
Xét dạng bậc hai J (v) được cho bởi
(1.4)

J (v) = a (v, v) – 2L(v)

Với a(u, v) là dạng song tuyến tính liên tục trên V và L(v) là ánh xạ tuyến tính liên tục trên V.
Cho K là tập lồi đóng của V. Vấn đề đặt ra là tìm:
(1.5)

Inf J (v)
v∈V

Vậy thì, khi ta kết hợp các điều kiện (1.1) và (1.3) cho a(u, v) sẽ tồn tại phần tử u ∈ K sao cho J
(u) ≤ J (v), ∀ v ∈ K.
Phần tử u được đặt trưng bởi bất phương trình biến phân sau:
(1.6) a (u, v - u) ≥ L (v - u), ∀ v ∈ K.
Lưu ý:
* Nếu A ∈ S (V, V’) các định bởi (1.2) thì (1.6) tương đương với (1.7)
(Au, v - u) ≥ L (v - u), ∀ v ∈ K.
* Nếu K = V thì (1.7) được quy về phương trình


=
Au L

 v), L
 ∈ V)
(víi L(v) = ( L,

* Nếu K là các nón lồi, đóng, đỉnh gốc {0} thì (1.6) tương đương với

a(u − v) ≥ L(v), ∀ v ∈ K

a(u, u) = L(u)

(1.8)

* Bài toán (1.6) là khơng tuyến tính (nếu K khơng là khơng gian vectơ con của V) cùng với A là
tuyến tính.
* Thí dụ, ta có thể cho một khơng gian Banach V, V’ đối ngẫu V, một toán tử phi tuyến A: V →
V’, một tập lồi đóng K của V và tìm u ∈ K sao cho:
(Au, v - u) ≥ (f, v - u), ∀ v∈ K

(1.9)

Với f ∈ V’ cho trước.
Ta đã đưa bài toán trên về dạng Bất phương trình biến phân Elliptic. Ta sẽ cho dạng song tuyến
tính a (u, v) đối xứng một điều kiện đủ để từ đó kéo theo sự tồn tại nghiệm của (1.9).
Đầu tiên, áp dụng (1.6) để xét các thí dụ sau:
Thí dụ 1.1:
Lấy V = Hl(Ω)

15

n

∑∫

(1.10) a(u, v)
=

i,j=1

Ω

a ij

dd
u v
dx + ∫ a o u v dx
Ω
dd
x j xi

Với

(1.11)

a o ,a ij= a ji ∈ L∞ (Ω),a o (x) ≥ a o > 0 h.k.n trong Ω,
 n

2
n

 ∑ a ij (x)xi x j ≥ a x , a > 0 h.k.n trong Ω, ∀ x ∈ R
i,j=1

(1.12)

K = {v : v ∈ H1 (Ω), v ≥ 0 h.k.n trên Γ}. Thì
K là các nón lồi, đóng của H1 (Ω) và có đỉnh góc {0}

L(v)
=

∫

Ω

f v dx, f ∈ L2 (Ω)

Ta có thể áp dụng (1.8) và kiểm tra sự duy nhất của u ∈ K. Hiển nhiên
(1.13)

n



δ  δu 
Au= f trong Ω  Au = - ∑
 a ij
 +a o u  ; u ≥ 0 trªn Γ;



δx j 

i,j=1 δx i 



n
δu
δu
 δu
 δV =∑ a ij δx .cos(n,x i ) ≥ 0 trªn Γ, u δV =0 trªn Γ.
j
A
 A i,j=1

Với u ∈ H1 (Ω) và thoả Au ∈ L2(Ω). Ta có
(1.14)

1
−
δu
∈ H 2 (Γ )
δv A

Và tích u

δu
là có nghĩa. Ta chứng minh (1.13). Ta suy ra từ bất đẳng thức thứ nhất của (1.8)
δv A

khi lấy v = ± ϕ , với ϕ ∈ D (Ω). Ta có

a(u, ϕ=
)

∫

Ω

f ϕ dx, ∀ ϕ ∈ D (Ω)

Trong đó Au = f.
Vậy có (1.14) (khi những hệ số aij trơn trong Ω ).
Áp dụng công thức Green

(Au)v.δx=

∫

fv.dx ≤ a(u,v) (dấu đẳng thức xảy ra khi v = u);

Ω

Và do

Ω

∫

δu

fv.δx =
vδΓ+a(u,v)
−∫
Γδ
VA

∫

Ω

u được đặc trưng bởi:
(1.15)

δu
vδΓ ≥ 0, ∀ v ∈ K (dấu đẳng thức xảy ra khi v = u).
Γδ
VA

∫

16


Nhưng từ (1.15) suy ra
δu
Suy
ra u
0
=
δv A

δu
≥ 0 vµ t
δv A

 δu 
uδΓ =0
Γ
A 

∫  δv



δu
≥ 0 .
 δo
δv A



Thí dụ 1.2:

V H10 (Ω),a(u, v) như trong thí dụ 1.1 nhưng α o ≥ 0 và
Ta lấy =
(1.16)

K= {v : v ∈ H10 (Ω), v ≥ 0 h.k.n trong Ω}
K là nón lồi, đóng, đỉnh gốc của H10 (Ω)) .

Lấy L(v) = ∫ fv.dx (như trong thí dụ 1.1). Ta chia Ω thành Ω + và Ω o như sau:
Ω

Ω += {x ∈ Ω / u(x) > 0};
Ωo= {x ∈ Ω / u(x) > 0}.
Trên Ω + đặt v = εϕ, ϕ ∈ D (Ω + ), ε là đủ nhỏ. Ta có Au = f, suy ra Au ∈ L2 (Ω). Hiển nhiên u
được làm rõ hơn.
u > 0 trong Ω + , u = 0 trong Ωo ,

(1.17) 
δu
=
Au f trong Ω + , u = 0, δv =0 trªn Γ + = δ Ω + .
A


Lưu ý:
Ta cũng có thể xét tương tự như trên khi K xac định bởi
(1.18) =
K {v : v ∈ H1o (Ω), ψ1 ≤ v ≤ ψ 2 h.k.n trong Ω, ψ i cho tr­íc}
Thí dụ 1.3:

V H10 (Ω),a(u, v) như trong ví dụ 1.1 và
Ta lấy =
(1.19)

K = {v : v ∈ H1o (Ω), grad v (x) ≤ 1 h.k.n trong Ω}.

L(v)
K – là tập con lồi, đóng của H10 (Ω) và nếu ta lấy=

∫

Ω

fv.dx,

f ∈ L2 (Ω)

Để áp dụng (1.6) ta chia Ω thành Ω - và Ω 1 như sau:

=
Ω − {x : grad u =
(x) < 1}; Ω1 {x =
: grad u (x) 1} . Khi đó, lời giải u được cho bởi
(1.20) =
 Au f trong Ω − ,


grad u
1 trong Ω1
=

 u vµ du , i = 1, 2... n liªn tơc trªn biªn cđa Ω vµ Ω
1
−

dx i


17


2.2. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA NHỮNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN
ELLIPTIC.
(2.1)

Cho V là một khơng gian Banach phản xạ khả li

(2.2)

K là tập lồi đóng của V.
A là toán tử xác định trên K bởi:

(2.3)

A : K → V’

Ta xét hai trường hợp
Trường hợp 1: K là bị chặn
Định lý 2.1
Giả sử K khác rỗng là một tập lồi, đóng và bị chặn, A : K → V’ là tốn tử giả đơn điệu. Khi đó,
với f cho trước trong V’. Tồn tại u ∈ K : thoả (1.9), nghĩa là : (Au, v - u) ≥ (f, v - u), ∀ v ∈ K.
Chứng minh
1) Xét dãy tăng K m
(2.4)

......K m ⊂ K m +1 ....... K,

K m là tập lồi đóng trong kh«ng gian cã sè chiỊu ≤ m


∪ K m trï mËt trong K
m

Đầu tiên, giải một bất phương trình gần đúng.
Ta chỉ ra tồn tại u m ∈ K m sao cho
(2.5)

(A(u m ), v – u m ) ≥ (f, v – u m ), ∀ v ∈ K m

Cho V m là khơng gian có số chiều ≤ m, chứ K m . Ký hiệu [,] là tích vô hướng chỉ phụ thuộc m.
Nếu g ∈ V’, dạng
w → (g, w) là liên tục trên V m ,
(g, w) = [πg, w], πg ∈ V m , π ∈ S (V’, V m )
Khi đó (2.5) tương đương với
(2.6)

(πA (u m ), v - u m ) ≥ [πf, v - u m ], ∀ v ∈ K m

Hay
(2.7)

[u m , v - u m ] ≥ [u m + πf - πA (u m ), v - u m ], ∀ v ∈ K m .

Cho P m là phép chiếu của V m trên tập lồi K m với tích vơ hướng [,] thế thì (2.7) tương đương với
(2.8)

u m = P m (u m + πf - πA (u m ))

Và tồn tại u m thoả (2.8), do định lý điểm bất động Brown áp dụng cho toán tử v → P m (v + πf πA (v)) từ K m → K m với điều kiện là nó liên tục.

18


Ta chỉ cần chứng minh tính liên tục của ánh xạ từ K m → V’ yếu, cho u n → u trong K m ; thế thì, A
(u n ) là bị chặn trong V’ và ta cho A(u n ) → χ trong V’ yếu.
Vậy lim sup (A(u n ), u n - u) ≤ 0.
Do tính chất giả đơn điệu ta suy ra:
(A (u), u – v) ≤ lim inf (A (u n ), u n - v) = (χ, u - v).
Vậy

(χ - A (u), u - v) ≥ 0, ∀ v ∈ V.

Vậy

χ = A (u) và tính liên tục là thoả.

2) Do K bị chặn và K m ⊂ K, u n chứa trong tập bị chặn K và A(u n ) chứa trong tập bị chặn V’. do
đó, ta có thể trích ra một dãy u µ sao cho:
(2.9)

u µ → u trong V yếu và u ∈ K (vì K là đóng). Ta sẽ chứng tỏ

(2.10)

lim sup (A (u µ ), u µ - u) ≤ 0

Vì ∪ K m là trù mật trong K, nên ta tìm u o trong ∪ K m sao cho
m

(2.11)

m

u − u o v ≤ ε, ε > 0 t ý

Thế thì (A (u µ ), u µ - u o ) ≤ (f, u µ - u µ ) với µ đủ lớn (do (2.5)), suy ra
(A (u µ ), u o - u) ≤ c.ε (do (2.11)). Ta thấy
lim sup (A (u µ ), u o - u) = lim sup [(A (u µ ), u µ - u o ) + (A (u µ ), u o - u)]
≤ (f, u - u o ) + cε ≤ c 1 ε
Mặt khác (A (u R ), u R - u) ≤ (f, u R - u) khi R ≥ u và
lim sup (A (u R ), u R - u) ≤ 0
Theo tính chất giả đơn điệu ta suy ra:
(2.15)

lim inf (A (u R ), u R - v) ≥ (A(u), u - v),

Do đó

(A (u R ), u R - v) ≤ (f, u R - v) → (f, u - v), ∀ v ∈ K.

Suy ra từ, (2.15) rằng:
(A (u), u - v) ≤ (f, u - v), ∀ v ∈ K
Tức là có (1.9) (A (u), v - u) ≤ (f, v - u), ∀ v ∈ K.
Phép chứng minh thứ hai:
Ta cịn có một cách giải khác.
Từ kết quả u R là nghiệm của (2.14), ta có u R ≤ C và nếu ta chọn R > C thì u R là nghiệm của
(1.9). Nếu k được lấy bất kỳ trong K, ta có (từ u R ≤ C ).
v = (1 - θ) u R + θ k ∈ K R , với θ > 0 đủ nhỏ với cách chọn v như trên, (2.14) đưa đến:
19

θ (A (u R ), k – u R ) ≥ θ (f, k - u R )
Vậy

(A (u R ), k – u R ) ≥ (f, k - u R ), ∀ k ∈ K.

2.3. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT
Định lý 3.1
Nếu ta giả sử rằng:
(3.1)

(A (u 1 ) – A (u 2 ), u 1 – u 2 ) > 0 nếu u 1 ≠ u 2 , u 1 , u 2 ∈ K.

Thì bất phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm.
Chứng minh:
Giả sử u và u* là hai nghiệm của (1.9). Ta có
(A (u), v - u) ≥ (f, v - u), ∀ v ∈ K

(a)

(A (u*), v – u*) ≥ (f, v – u*), ∀ v ∈ K

(b)

Thay v = u* trong (a) và v = u trong (b) rồi cộng lại ta được
(A (u) – A (u*), u – u*) ≤ 0
Do đó u = u* (do 3.1).
Định lý 3.2
Giả sử A là toán tử đơn điệu, hémicontinu từ K → V’. Khi đó bất phương trình (1.9) tương
đương với.

(3.2)

(A (v), v - u) ≥ (f, v - u), ∀ v ∈ K.

Chứng minh:
Giả sử rằng u ∈ K thoả (1.9). Thế thì (3.2) cũng thoả vì
(A (v), v - u) = (A (u), v - u) + (A (v) - A (u), v - u)
≥ (A (u), v - u) (do tính đơn điệu)
≥ (f, v - u) (do (1.9))
Ngược lại giả sử u ∈ K thoả (3.2) với w ∈ K, đặt
v = (1 - θ) u + θ w ∈ K, ∀ θ ∈ ] 0, 1[
Thay v vào (3.2), rồi ước lược cho θ ta được:
(A (u + θ (w - u)), w – u) ≥ (f, w - u) .
Cho θ → 0 và do hémicontinu ta suy ra:
(A (u), w - u) ≤ (f, w - u), ∀ w ∈ K tức là có (1.9)
Hệ quả 3.3:
Với giả thiết của định lý 3.2. Tập hợp các nghiệm của (1.9) là tập lồi, đóng.

20


2.4. ỨNG DỤNG:
Thí dụ 4.1
Cho V là một khơng gian Hilbert và A ∈ S (V, V’) là không đối xứng: (Av, v) ≠ (u, Av). Thế thì
nếu:
2

(Av, v) ≥ α v , α > 0, ∀ v ∈ V

(4.1)

Thì do định lý 2.2 và định lý 3.1 tồn tại duy nhất u ∈ K sao cho:
(A(u), v - u) ≥ (f, v - u),

∀v∈K

Thí dụ 4.2:
Cho A là tốn tử từ Wm, p(Ω)→W-m, p’(Ω) định bởi

δ  δϕ

A(ϕ) ∑
=
(4.2)
i =1 δx i  δx i

n

p −2

δϕ 
 + ao
δx i 


p −2

ϕ

víi 1 < p < ∞.

Lấy V = W1, p(Ω) và đặt
n

∑∫

(4.3)
=
a(u, v)

i =1

Ω

p −2

dϕ
dd
u v
p −2
dx + ∫ a o u uv dx
Ω
ddd
xi
xi xi

Ta giả sử rằng:
(4.4)

a o ∈ L∞(Ω) , a o (x) ≥ αo > 0

Nếu K là một tập con, lồi, đóng của W01,p (W) , ta có thể lấy α o = 0
Chọn
(4.6)

K = {v v ∈ W1,p (W), v ≥ 0 trªn Γ}

Thế thì (tương tự như trong thí dụ 1.1 của phần I) ta thấy nghiệm u của (4.5) được xác định bởi
(4.7)

= f trong Ω, u ≥ 0 trªn Γ.
A(u)

p −2
δu
 n δu
cos(n,x i )
≥ 0 trªn Γ.
∑ δx
δx i
 i =1
i
 n
p −2
δu
δu
u
(cos(n,x
0 trªn Γ.
=

i ))
 ∑
x
x
δ
δ
=
i
1
i
i


Trong (4.7) u r ∈ W1−1/ p,p (Γ) và
J(u)
=

n

∑
i =1

δu
δx i

p −2

δu
cos(n,x i ) ∈ W −1/ p ',p (Γ)
δx i

Và tích u.J (u) là có nghĩa.

21


2.5. BIẾN PHÂN
Xét hàm ψ K định bởi
(5.1)

{ψ K (v) = +∞ nÕu v ∈ K

(v)
0 nÕu v ∈ K
{ψ K=

Thế thì, bất phương trình (1.9) tương đương với việc xác định u ∈ V sao cho:
(5.2)

(A (u) – f, v - u) + ψ K (v) - ψ K (u) ≥ 0, ∀ v ∈ V.

Suy ra, nếu u là nghiệm của (5.2), ta có u ∈ K và có (5.2) sẽ suy ra (1.9). Ngược lại, nếu u thoả
(1.9) thì ta cũng suy ra (5.2). Một cách tổng quát ta gọi các hàm lồi, riêng trên V là cỏc hm cú tớnh
cht sau:

(5.3)

xác định trên V, có giá trị trong ] -, +[

là lồi

không ®ång nhÊt víi +∞


Tính chất lồi của ϕ tương đương với
(5.4)

epi (ϕ) trong V × R là lồi

(epi(ϕ=
) {v, α v ∈ V, α ∈ R, α ∈ R, α ≥ ϕ(v)})
Hàm ϕ là nữa liên tục dưới và duy nhất nếu và chỉ nếu epi (ϕ) là đóng. Ta chú ý rằng ψ K là hàm
lồi riêng, nữa liên tục dưới. Vậy bài toán (5.2) tương tự (1.9) là một trường hợp riêng.
Cho A là toán tử phi tuyến từ V → V’ và ϕ là hàm lồi riêng tìm u ∈ V sao cho:
(5.5)

(A (u) – f, v - u) + ϕ (v) - ϕ (u) ≥ 0, ∀ v ∈ V

Ta chứng tỏ
Định lý 5.1
Cho A là toán tử giả đơn điệu từ V → V’, ϕ là hàm lồi riêng, nữa liên tục dưới. Ta giả sử:
(5.6)

∃ v o sao cho ϕ (v o ) < ∞

 (A(u), u − v 0 ) + ϕ(u) → ∞

u


nÕu u → ∞

Khi đó với f cho trước trong V’, tồn tại u ∈ V là nghiệm của (5.5)
Chứng minh
Ta thấy định lý 5.1 lá được rút ra từ định lý 2.1
Sử dụng epi (ϕ) là lồi ta kí hiệu
 =×
=
V
V R, K
epi(ϕ)
 

A(v){A(v),0}
víi v= {v, ξ} ∈ V

22


 là giả đơn điệu. Ta thấy (5.5) tương đương với việc tìm u ∈ K
 sao cho
Tốn tử A

(5.7)

  − f, v − u) ≥ 0,
(A(u)


∀ v ∈ K,

'
víi f = {f, −1} ∈ V

u {u, α} sao cho:
Ngồi ra (5.7) tương đương với tìm =
(5.8)

 α ≥ ϕ (u)
(A(u) − f, v − u) + ξ − α ≥ 0, ∀ ξ ≥ ϕ (v), u ∈ K,

Nhưng (5.8) tương đương với : (A(u) − f, v − u) + ϕ(v) − α ≥ 0
Thay v = u ta suy ra α ≤ ϕ (u). Vậy α = ϕ (u), do đó có (5.5)
Dừng lại ở kết quả (5.7), ta đưa vào

 R= {v v= {v, ξ} ∈ K,
 v − v + ξ − ϕ(v ) ≤ R}
K
o
o
 R là bị chặn trong V
 R sao cho:
 và theo định lý 2.1 sẽ ∃ u R =
K
K
(5.9)

  R ) − f, v − u R ) ≥ 0,
(A(u

R

∀ v ∈ K

v v=
 R trong (5.9) ta thay =
Theo định nghĩa của K
{v o , ϕ(v o )} .
o
u R {u , α } thì
Khi đó (5.9) đưa đến, nếu =
R
R
(5.10)

(A(u R ), u R − v o ) + α R ≤ (f, u R − v o ) + ϕ(v o )

Và do α R ≤ ϕ(u R ) ta suy ra
(5.11)

(A(u R ), u R − v o ) + ϕ(u R ) ≤ (f, u R − v o ) + ϕ(v o ) ≤ c(1 + u R )

Từ (5.10) ta có kết quả u R ≤ constant
Mặt khác: α R ≥ ϕ(u R ) ≥ − c u R
Ta có

do (5.6)

u R + a R ≤ c1 = constant (kh«ng phơ thc vµo R). Suy ra
u R − v o + a R − ϕ(v o ) ≤ c2

Vậy ta suy ra (như trong định lý 2.2) rằng: Với R > c 2 thì u R là nghiệm của bài tốn.

2.6. LỜI GIẢI CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN VỚI NHỮNG VI PHÂN DƯỚI
Định nghĩa
Cho v → ϕ (v) là một hàm lồi riêng trên V, một phần tử χ của V’ là một gradient dưới của ϕ tại u
nếu:
(6.1)

ϕ (v) - ϕ (u) ≥ (χ, v - u), ∀ v ∈ V.

Ta ký hiệu δϕ (u) là tập các một gradient dưới của ϕ tại u, u → δϕ(u) là vi phân dưới của ϕ. Ta
viết
(6.2)

ϕ (v) - ϕ (u) ≥ (δϕ(u), v - u), ∀ v ∈ V.
23


(đơn giản ϕ (v) - ϕ (u) ≥ (χ, v - u), ∀ v ∈ V, với mọi χ ∈ δϕ(u))
So sánh (5.5) và (6.2) ta thấy bất phương trình biến phân (5.5) tương đương với việc tìm u ∈ V
sao cho:
(6.3)

-(A (u) - f) ∈ δϕ (u) hay

(6.3’)

0 ∈ A(u) – f + δϕ (u).

Mệnh đề 6.1:
Cho V là một khơng gian Banach có chuẩn lồi nghiêm ngặt và đối ngẫu V’. J là ánh xạ đối ngẫu
của Φ, và ψ được định nghĩa:

ψ(r)=

Thì

∫

r

0

Φ(dd
)d

ψ ( v ) − ψ ( u ) ≥ (J(u), v − u), ∀ v ∈ V.

Và ngược lại, nếu x ∈ V’ thoả:

ψ ( v ) − ψ ( u ) ≥ (ξ, v − u), ∀ v ∈ V.
Thì x = J (u).
Chứng minh:
Ta có

ψ ( v ) − ψ ( u=
)

∫

v
u

Φ(t)dt ≥ Φ ( u

)( v

− u

)

=
Φ ( u ) v − ( J(u), u ) ≥ ( J(u), v − u )

Ngược lại, cho x thuộc vào vi phân dưới của ψ ( .

) tại u tức là, sao cho:

ψ ( v ) − ψ ( u ) ≤ (ξ, v − u), ∀ v ∈ V.
Lấy v với v = u , thì (ξ, v − u) ≤ 0 cho ( ξ, u ) =ξ * u
Với w mà w = 1 và u = sw, lấy v = tw, t ∈ R bất kỳ. Thì

ψ(t) − ψ(s) ≥ (t − s) ( ξ=
,w)

t −s
( ξ, u )
s
t −s
=
ξ * u =(t − s) ξ *
s

Do đó

ξ *=
Φ(s) =
Φ( u

)

Vậy x = J (u).
2.7. CÁC ĐỊNH LÝ CHÍNH QUY.
2.7.1. Phản thí dụ:
24


Giả sử I là một đa tạp C∞ với những hệ số a ij được cho trong D (Ω) . Trong trường hợp phương
trình và những bài tốn biên thơng thường, ta biết rằng nếu f ∈ Hk (Ω) với mọi k ≥ 0. Cịn trong trường
hợp bất phương trình biến phân thì kết qu3a trên khơng cịn đúng khi k “đủ nhỏ”. Sau đây là phản thí
dụ
* Phản thí dụ của thí dụ 1.1
Ta xét xem trong phạm vi của thí dụ 1.1, với Ω ⊂ R2

=
Ω {x x ∈ R 2 ,x 2 > 0} vµ víi A= - ∆ + I
Cho λ → θ (λ) là một hàm C∞ trên λ ≥ 0 sao cho

1 nÕu λ ∈ [0,1]

=
θ(λ) 0 nÕu λ ≥ 2
≥ 0 ∀ λ


Ta định nghĩa:
(7.1)

u (x) = θ (r2) Re (z3/2), r2 = x 1 2 + x 2 2 , z = x 1 +ix 2

Ta chứng tỏ

−∆u +=
u f,f ∈ C1 (Ω) có giá trị compact
Đặc biệt
(7.2)

f ∈ H1(Ω), hơn nữa

u ≥ 0 trên Γ,

(và u = 0 nếu x 1 < 0),

δu
δu 3 2
δu
=
−
=
θ(r ) Im(z1/2 ) ≥ 0 trªn , (và
=0 nếu x1 >0)
n
x 2 2
n

u
=0 trên . Khi đó, u được cho bởi (7.1) là nghiệm của bài tốn trong thí dụ 1.1.
δn
* Phản thí dụ của thí dụ 1.3
Với Ω = ]0, 1[, ∆ = - d2/dx2 , f = 4
Ta thấy f ∈ Hk (Ω) ∀ k
Nghiệm u khơng ở trong H3 (Ω), mà là

(7.3)

víi 0 < x < 1/4
x

2
u(x) =−2x + 2x − 1 / 8 víi 1/4 < x < 3/4
1 − x
víi 3/4 

Để chứng minh công thức (7.3) ta có thể lý luận như sau:
Trong một miền khơng xác định trước của Ω, - u” = f = 4. Vậy
25