Tính compắc và liên thông của tập nghiệm cho bài toán biên trong phương trình vi phân với đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ MINH THƯ

TÍNH COMPĂC VÀ LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM
CHO BÀI TỐN BIÊN TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VỚI ĐỐI SỐ LỆCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2003



LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ
HỒ CHÍ MINH

Thầy hướng dẫn:
PGS.TS LÊ HỒN HĨA.
Khoa Toán - Tin học.
Trường Đại học sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Thầy phản biện 1:
PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY.
Khoa Tốn - Tin học.
Trường Đại học sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Thầy phản biện 2:
TS. CHU ĐỨC KHÁNH.
Bộ mơn Tốn - Tin học.

Trường Dự bị Đại học Thành phố Hồ Chí Minh.

Người thực hiện:
NGUYỄN THỊ MINH THƯ.
Học viên Cao học Tốn khóa 11.
Chun ngành: Giải tích.

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH.


LỜI CÁM ƠN
Tôi chân thành cám ơn các Thầy Cô khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã
tận tình giảng dạy tơi từ bước đầu vào trường Sư Phạm đến Thạc sĩ . Đặc biệt tôi cám ơn quý Thầy Cô
đã tham gia giảng dạy tôi trong lớp Cao học Giải tích khóa 11.
Tơi rất biết ơn Thầy PGS.TS. Lê Hồn Hóa đã động viên và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi
trong suốt q trình học tập.
Tơi chân thành cám ơn Thầy PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và Thầy TS. Chu Đức Khánh đã nhận
xét và góp ý giúp tơi hồn thành tốt luận văn.
Tơi rất biết ơn Ban Giám Hiệu, Bộ Mơn Tốn Trường Dự Bị Đại Học TP. Hồ Chí Minh đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tơi trong cơng tác để tơi có thể n tâm tham gia đầy đủ khóa học.
Tơi cám ơn khoa Tốn và Phịng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh đã tạo
điều kiện cho tơi hồn thành khóa học và hồn thành luận văn Cao học.

TP. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2003
Nguyễn Thị Minh Thư

3

MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN ................................................................................................................... 3
MỤC LỤC ......................................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU............................................................................................................................ 6
Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN .................................... 7
1.1. Bậc tôpô trên không gian Banach ............................................................................................... 7
1.2. Định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương ........................................................................................... 8
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................................................................. 8
1.2.2. Định lý 1.1 ............................................................................................................................. 8
1.3. Định lý về tính compăc liên thơng ............................................................................................. 11
1.4. Định lý điểm bất động của toán tử loại Krasnosel’skii............................................................. 13
1.4.1. Điều kiện (A) ........................................................................................................................ 13
1.4.2. Định lý 1.3 (xem [2]) ........................................................................................................... 13
1.4.3. Định lý 1.4 (Định lý điểm bất động, xem [2]) ..................................................................... 14
1.5. Tính compắc tương đối trong khơng gian các ánh xạ liên tục ................................................ 14
1.5.1. Định nghĩa ........................................................................................................................... 15
1.5.2. Định lý 1.5 (Định lý Ascoli -Arzela, xem [1]) ..................................................................... 15
1.5.3. Định lý 1.6 (xem [3]) ........................................................................................................... 15

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM ..................................... 17
2.1. Sự tồn tại nghiệm ....................................................................................................................... 18
2.1.1. Xét bài toán (I) ..................................................................................................................... 18
2.1.2. Xét bài tốn (II) ....................................................................................................................... 31
2.2. Tính duy nhất nghiệm ................................................................................................................ 36
2.2.1. Xét bài toán (I) ..................................................................................................................... 36

4

2.2.2. Xét bài tốn (II) ................................................................................................................... 38

Chương 3: TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM ................... 41
3.1. Tính compắc liên thông của tập nghiệm trên [0, n] ................................................................. 41
3.1.1. Xét bài toán (I) ..................................................................................................................... 41
Định lý 3.1 ..................................................................................................................................... 41
3.1.2. Xét bài tốn (II) ................................................................................................................... 44
3.2. Tính compắc liên thơng của tập nghiệm trên [0, ∞) ................................................................. 46

KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 50

5


MỞ ĐẦU
Thơng thường khi khảo sát một phương trình ta cần xét các vấn đề như sự tồn tại nghiệm, tính
duy nhất nghiệm và cấu trúc của tập nghiệm.
Trong luận văn này ta sẽ khảo sát sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và tính compắc liên
thơng khác rỗng của tập nghiệm cho hai phương trình vi phân hàm với đối số lệch

{
(II) {
(I)

x'(t)=f(t,φ(x t ))+g(t,φ(x t ));t ≥0
x 0 =h

[x(t)-A(t).x(t-r)]'=g(t,φ(x t ));t ≥ 0
x 0 =h

Lý thuyết điểm bất động là cơng cụ chính để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Để
khảo sát tính compắc liên thông của tập nghiệm, luận văn sử dụng lý thuyết bậc tơpơ của trường tốn tử
compắc trên khơng gian Banach.
Luận văn gồm có ba chương. Chương 1 giới thiệu các khái niệm và các kết quả cơ bản được sử
dụng trong luận văn. Chương 2 trình bày sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm. Phần trọng tâm của luận
văn ở chương 3 trình bày tính compắc liên thơng của tập nghiệm.
Trong luận văn Cao học của Nguyễn Đình Tùng [8] đã xét hai phương trình trên, trong đó ϕ là
ánh xạ tuyến tính liên tục và chỉ đề cập đến sự tồn tại nghiệm, nghiệm tuần hoàn. Trong luận văn này ta
khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hai phương trình trên trong trường hợp ϕ thỏa điều kiện
Lipschitz và phần chính của luận văn là xét tính compắc liên thơng của tập nghiệm.
Định lý (3.1) - (3.2) về tính compắc liên thơng của tập nghiệm trên [0, n] và định lý (3.3) - (3.4)
về tính compắc liến thơng của tập nghiệm trên [0, ∞) trong luận văn không trùng lặp với các kết quả
cùng loại đã có.

6


Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN
Trong chương này sẽ giới thiệu các khái niệm và các định lý được sử dụng trong luận văn như
bậc tôpô trên không gian Banach, định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương, định lý về tính compắc liên
thơng, định lý điểm bất động của tốn tử loại Krasnosel'skii và tính compắc tương đối trong không gian
các ánh xạ liên tục.
1.1. Bậc tôpô trên không gian Banach
Cho E là một không gian Banach, I là ánh xạ đồng nhất trên E, D là một tập mở bị chặn trong E
� là bao đóng của D.
và D

� → E được gọi là ánh xạ compắc nếu T( D
� ) là tập compắc tương đối trong E.

Ánh xạ liên tục T: D
Khi đó I -T được gọi là một trường compắc.
Định lý A
� → E là ánh xạ compắc và
Cho D là tập mở bị chặn trong không gian Banach E, T: 𝐷

p ∉(I-T)(∂D).

Khi đó bậc tơpơ của (I-T) trên D tại điểm p, ký hiệu : deg (I-T, D, p), là một số ngun hồn tồn
xác định và thỏa mãn các tính chất.
i) Nếu deg (I— T, D, p) #0 thì tồn tại x ∈ D sao cho (I - T)(x) = p.
∞

2i) Cho (D i ) i ∈ N là dãy các tập mở cách biệt chứa trong D và p ∉ ( I -T) ( D \ U

i =1

T, D i , p) = 0 trừ một số hữu hạn các giá trị i∈N và deg(I-T,D,p) =

Di )

thì deg (I -

∞

∑ deg( I − T , Di , p) .
i =1

3i) (Bất biến đồng luân )
� → E liên tục sao cho H ([0,1]x 𝐷

� ) là tập compắc tương đối. Đặt h:[0,1]x 𝐷
�→
Cho H:[0,1] x 𝐷

E định bởi h(t,x) = x - H(t,x).

Giả sử p ∉ h([0, l]x ∂D). Khi đó
� → E định bởi h t (x) = h(t, x)
ht 𝐷

là một trường compắc và p ∉ h t (∂D) với mọi t ∈ [0,1] và deg(h t , D, p) không phụ thuộc t.
7


� → D thì deg(I - T, D, 0) = 1.
4i) Nếu D là một tập mở lồi bị chặn trong E và T: 𝐷

1.2. Định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương
1.2.1. Định nghĩa

Cho X, Y là hai không gian Banach .
Anh xạ I: X → Y được gọi là Lipschitz địa phương nêu với mọi X o E X, tồn tại lân cận V của X o
và một hằng số k ( phụ thuộc X o ) sao cho
f(x) - f(x') ≤ k.x - x' với mọi X, x' ∈ V.
1.2.2. Định lý 1.1
Cho X, Y là hai không gian Banach, D là một tập mở trong và f: D → Y liên tục. Khi đó với mỗi ε
> 0, tồn tại f ε :D → Y Lipschitz địa phương sao cho

f(x)-f ε (x) I < ε với mọi x ∈ D và f ε (D) ⊂ cof(D) . (với co A là bao lồi của A).
Chứng minh

𝜀

Với x∈D, đặt ωX {y∈D /f( y) - f( x)< 2 thì họ { ω x , x∈D } là phủ mở của D.

Gọi {V λ ,λ∈Λ} là phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn của phủ {ω x , x∈ D} sao cho

- Với mọi x ∈ D tồn tại lân cận V(x) của x thỏa mãn V(x) ∩ V λ # 0 chỉ với một số hữu hạn λ⊂Λ
.
- Với mỗi λ⊂Λ , tồn tại x∈ D để V λ ⊂ ωx .
Với mỗi λ⊂Λ, xác định α λ : D → R định bởi

0

, nếu x∉V λ

ρ(x,∂V λ )

, nếu x∉V λ

α λ (x) =

trong đó ρ (x, A) = inf {x - y, y ∈ A }

8


Khi đó, ta xét các trường hợp
- Nếu x∉V λ và y∉V λ , ta có
α λ (x)=αλ (y)=0
⇒ αλ (x)- αλ (y)=0≤x-y

- Nếu x∈V λ và y∉V λ , ta có
α λ (x)=ρ(x,∂V λ ) và αλ (y)=0
⇒ αλ (x)- αλ (y)=ρ(x,∂V λ )
Giả sử ρ(x,∂V λ ) > x-y thì B(x, x-y) ⊂ V λ ⇒ y ∈ V λ
Mâu thuẫn.
Nếu x∈V λ và y∈V λ , ta có
α λ (x)=ρ(x,∂V λ ) và αλ (y)=ρ(y,∂V λ )
⇒ αλ (x)- αλ (y)=ρ(x,∂V λ )-ρ(y,∂V λ )
Lấy z ∈∂V λ , ta có x-z-y-z≤x-y
⇒ ρ(x,∂V λ )-ρ(y,∂V λ )≤x-y (theo tính chất của inf)
Vậy α λ là ánh xạ Lipschitz trên D .
Đặt φλ ( x )

= ∑ (α µ ( x)) −1α λ ( x) với x∈D
µ∈Λ

Do {V λ ,λ∈Λ} là phủ mở hữu hạn địa phương nên chỉ có hữu hạn µ∈Λ sao cho x∈V µ và như



vậy chỉ có một số hữu hạn µ∈Λ sao cho α λ (x)>0, còn lại đều bằng 0 nên  ∑ α µ ( x ) 
 µ∈Λ

mọi x∈ D.
Vậy φ µ (x) hồn tồn xác định
Hơn nữa φλ (x) = 0 nếu x∉V λ và φλ Lipschitz địa phương.

9

−1

xác định với


Thật vậy, lấy x∈ D thì tồn tại lân cận V(x) của X sao cho có một số hữu hạn λ 1 ,λ 2 ,…λ n ∈Λ để
n

V(x) ⊂ U Vλi . Nên tồn tại M sao cho
i=1

φλ (x)-φλ (y)≤M.αλ (x)-αλ (x)≤Mx-yvới mọi x, y ∈V(x)
Như vậy φλ Lipschitz địa phương.

f ε (x)= ∑ fλ (x).f(a λ )

Với mỗi λ∈Λ , chọn a λ ∈V λ ∩D. Định nghĩa f ε : D → F xác định bởi

λ∈Λ

Khi đó, ta có φλ (x)≥ 0 và

φλ ( x) = 1 nên f
∑
λ

ε

(x) ∈ cof(D) với mọi x ∈ D.

∈Λ

Ta chứng minh f ε Lipschitz địa phương trên D
Thật vậy, lấy x ∈ D thì tồn tại lân cận V(x) của x sao cho chỉ có hữu hạn
n

λ 1 ,λ 2 ,…λ n ∈Λ để
Do các

V(x) ⊂ U Vλi
i=1

φλ ( x) Lipschitz địa phương, nên tồn tại các M i sao cho
i

φλ (x) - φλ (y) ≤ M i x-y với mọi x, y∈Vλi ( x) và i=1,n
i

Đặt

i

{

M=max{M i }i=1,n ; N = max f (a λi )

Khi đó

}

n

và

i=1,n

n

n

i=1

i=1

V(x)= 1 Vλi
i=1

fε ( x) − fε ( y ) = ∑ ff
λi (x).f (a λi ) − ∑ λi (y).f (a λi )
≤ M .N.x - y với mọi x∈V(x)

Với mỗi x∈D, tồn tại λ∈ Λ để x∈V λ và x 0 ∈ D để
Khi đó x, a λ ∈

Vλ ⊂ ω x0

Vλ ⊂ ω x0

nên

f(a λ ) – f(x)≤f(a λ ) – f(x 0 )+f(x 0 ) – f(x)<ε với mọi x∈V λ

10


Do

φλ ( x) = 1 ,ta có
∑
λ
∈Λ

f(x) − fε (x) =
≤

ff
∑
λ (x).f (x) − ∑ λ (x).f (a λ )
λ
λ
∈Λ

∈Λ

fλ (x). f (x) − f(a λ )
∑
λ
∈Λ

≤

ε.∑ φλ (x) ≤ ε

với mọi x∈D

λ∈Λ

Định lý được chứng minh.
1.3. Định lý về tính compăc liên thơng
Định lý 1.2 (Định lý Krasnosel'skii - Perov)
� → E là ánh
Cho (E, . ) là một không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn trong E và T: 𝐷

xạ compắc.

Giả sử T thỏa mãn điều kiện (1)
Với mỗi ε>0, tồn tại ánh xạ compắc T ε sao cho
(1)

�
T ε (x)-T(x)<ε với mọi x ∈ 𝐷

� nếu b≤ε
Và phương trình x= T ε (x)+b có nhiều nhất một nghiệm trong 𝐷

Giả sử 0∉(I-T)(∂D) và deg(I-T,D,0)≠0.
Khi đó, tập các điểm bất động của T là tập khác rỗng, compắc và liên thông.
Chứng minh
� ,T(x) = x}.
Đặt N = {x∈D

Do deg(I - T, D, 0) ≠ 0 nên theo tính chất i) của bậc tơpơ suy ra tồn tại x ∈ D sao cho
� sao cho T(x) = x .
= 0 hay tồn tại x ∈ D
Vậy N khác rỗng.

Ta chứng minh N là tập compắc trong E
11

(I-T)(x)


Do T là ánh xạ compắc và N ⊂ D là tập bị chặn
Nên T(N) compắc tương đối trong E
Hơn nữa N = T(N) là tập đóng
Suy ra N là tập compắc trong E.
Giả sử N không liên thông. Khi đó tồn tại hai tập mở O 1 , O 2 chứa trong D sao cho
N ∩ O1 ≠ ∅ , N ∩ O2 ≠ ∅
N ⊂ O1 ∪ O2
O1 ∩ O2 ≠ ∅
Theo tính chất 2i) của bậc tơpơ, ta có
deg(I -T, D, 0) = deg(I -T, O 1 , 0) + deg(I - T, O 2 , 0)
Ta chứng minh deg(I -T, D, 0) = deg(I -T, O 1 , 0) + deg(I - T, O 2 , 0) = 0
Thật vậy
Do N ∩ O 1 ≠ ∅ nên tồn tại x 1 ∈ N ∩ O 1 sao cho T(x 1 ) = x 1
α

Đặt ϕ ε (x) = x- T ε (x)- [x 1 - T ε (x 1 )] trong đó 0<ε<2 , với

α = min {|x-T(x)|, x ∈ ∂O 2 } và T ε là ánh xạ compắc thỏa mãn điều kiện (1)
� và t ∈ [0,1]

Xét đồng luân H(t, x) = t.ϕ ε (x) + (1 - t)(I - T)(x) với x ∈ D

Ta có H(t, x) = x - T(x) - t [T ε (x) - T(x) ] - t [x 1 - T ε (x 1 ) ]

=> H(t, x)≥x - T(x) - t  T ε (x)-T(x)-tx 1 - T ε (x 1 )≥α-2ε>0
với mọi x ∈ ∂O 2 và t ∈ [0, 1]
Áp dụng tính chất bất biến đồng luân, ta có
deg(I - T, O 2 , 0) = deg(ϕ ε ,O 2 ,0)
Đặt b = x 1 - T ε (x 1 ) = T(x 1 ) - T ε (x 1 ) thì b<ε
Do ϕ ε (x) = x - T ε (x) - b thỏa mãn điều kiện (1), nên ϕ ε (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm và do
ϕ ε (x 1 ) = 0 nên ϕ ε không triệt tiêu trong O 2 .
Suy ra deg(ϕ ε ,O 2 , 0) = deg(I - T, O 2 , 0) = 0.
12


Tương tự, do N ∩ O 2 ≠ ∅, ta cũng có được deg(I - T, O 1 , 0) = 0 .
Khi đó, ta có deg(I - T, D, 0) = deg(I - T, O 1 , 0) + deg(I - T, O 2 , 0) = 0 .
Mâu thuẫn giả thiết.
Vậy N là tập liên thông.
1.4. Định lý điểm bất động của toán tử loại Krasnosel’skii
Trong phần này sẽ giới thiệu định lý điểm bất động đối với các toán tử dạng U + C trên tập con
lồi đóng bị chặn của khơng gian lồi địa phương, với C là toán tử compắc và U thỏa mãn điều kiện (A)
được định nghĩa như sau
1.4.1. Điều kiện (A)
Giả sử X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương và p là một họ nửa chuẩn tách trên X, D là tập
con của X và U : D → X.
Với bất kỳ a ∈ X, ta định nghĩa U a : D → X xác định bởi
U a (x) = U(x) + a
Toán tử U : D → X được gọi là thỏa mãn điều kiện (A) trên tập con Ω của X nếu
(A.l) Với bất kỳ a ∈ Ω , U a (D) ⊂ D .

(A.2) Với bất kỳ a ∈ Ω và p ∈ P , tồn tại k a ∈ Z+ có tính chất với mọi ε > 0
tồn tại r ∈ N và δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D

a ap < ε + δ ⇒ a ap (U ar (x), U ar (y)) < ε
trong đó

a ap (x,y)= max{p(U ia (x) − U ia (y)) / i,j
= 0, k a }

N={1, 2, 3,...} và Z + = N ∪ {0}.
1.4.2. Định lý 1.3 (xem [2])
Giả sử X là một không gian lồi địa phương với một họ nửa chuẩn tách P, D là một tập con đầy
đủ theo dãy của X, U là một toán tử liên tục đều trên D (nghĩa là với mọi p ∈ P và ε > 0, tồn tại δ > 0
sao cho p (x - y) < δ => p (U(x) - U(y))<ε)
Giả sử U thỏa mãn điều kiện (A) trên tập con Ω của X.

13


Khi đó tốn tử (I –U)-1 được hồn tồn xác định và liên tục trên Ω.
Hơn nữa, nếu ở trong điều kiện (A) được chọn không phụ thuộc vào a ∈ Ω thì tốn tử

(I –U)-1

liên tục đều trên Ω.
1.4.3. Định lý 1.4 (Định lý điểm bất động, xem [2])
Giả sử X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả
sử U, C là các toán tử trên X sao cho
i) U thỏa mãn điều kiện (A) trên X.
2i) Với bất kỳ p ∈ P, tồn tại k > 0 (phụ thuộc theo p) sao cho

p(U(x) - U(y)) ≤ k.p(x-y) với mọi x, y ∈ X.
3i) Tồn tại x 0 ∈X có tính chất với mọi p ∈ P, tồn tại r ∈ N và λ ∈ [0, 1) ( r, λ phụ thuộc theo p)
sao cho

p (U xr0 ( x) − U xr0 ( y )) ≤ λ. p ( x − y )
4i) C compắc và p (C(A)) <∞ với p(A) <∞, A ⊂ X.
5𝑖) 𝑙𝑙𝑙𝑝(𝑥)→∞

𝑝�𝐶(𝑥)�
𝑝(𝑥)

với mọi x ∈ X.

Khi đó U + C có điểm bất động.
Chứ thích : Trong phần chứng minh của định lý 1.4 (xem [2]) ta có kết quả
Giả sử X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả
sử U, C là các toán tử trên X thỏa mãn các điều kiện từ i) đến 5i).
� → D. Khi đó (I- U)-1C có
Nếu tồn tại D là một tập con lồi mở bị chặn của X sao cho (I - U)-1C: 𝐷

� , đó cũng chính là điểm bất động của U + C trong 𝐷
� (nhưng không thuộc ∂D).
điểm bất động trong 𝐷
1.5. Tính compắc tương đối trong khơng gian các ánh xạ liên tục

Giả sử (S, d) là một không gian metric compắc và E là một không gian Banach với chuẩn .
Gọi C(S) là không gian Banach các ánh xạ liên tục từ S vào E với chuẩn ||x|| = sup{| x(s)|,s∈S}.

14

1.5.1. Định nghĩa
Tập A ⊂ C(S) được gọi là đẳng liên tục nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với bất kỳ s, s'∈S
, d(s, s') < δ thì x(s) - x(s') < ε , x ∈ A .
1.5.2. Định lý 1.5 (Định lý Ascoli -Arzela, xem [1])
Cho S là một không gian metric compắc, E là một không gian Banach và C(S) là không gian
Banach các ánh xạ liên tục từ S vào E. Khi đó
Tập hợp A ⊂ C(S) là compắc tương đối nếu và chỉ nếu A đẳng liên tục và với mọi s ∈ S tập hợp
A(s)= {x(s) / x ∈ A} compắc tương đối trong E.
Bây giờ ta xét một điều kiện cần và đủ cho tính compắc tương đối trong trường hợp S là một
không gian metric không cần compắc.
Giả sử S là một không gian metric thỏa mãn.
∞

(ci )S= U Sn , S n ⊂S,S n compắc, khác rỗng.
n=1

(c ii ) S 1 ⊂ S 2 ⊂ S 3 ⊂ …
(c iii ) Với mỗi tập con K compắc của s, tồn tại n ∈ N sao cho K ⊂ S n .
Với mỗi n ∈ N, đặt
P n (x) = sup{|x(s)|, s ∈ S n }
∞

Và d(x,y)=

∑2
n=1

-n

với mọi x ∈ C(S)

p n (x-y)
1+p n (x-y)

với mọi x,y ∈ C(S).

Khi đó (p n )n là một họ nửa chuẩn tách và d là metric trên C(S).
Ta có C(S) là không gian Fréchet và dãy (x k )k trong C(S) hội tụ về X nếu và chỉ nếu
limk→∞ pn (xk − x) = 0 với mọi n ∈ N.

1.5.3. Định lý 1.6 (xem [3])

Cho S là một không gian metric thỏa mãn (c i ) - (c ii ) - (c iii ) và C(S) là không gian Fréchet các ánh
xạ liên tục từ S vào E.

15


Khi đó, tập A trong C(S) là compắc tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi n ∈ N, A đẳng liên tục trên
S n và tập A n = {x(s) /x ∈ A, s ∈ S n } compắc tương đối trong E.

16


Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM

Cho E là không gian Banach với chuấn . và r > 0 cho trước.
Đặt C = C ([-r, 0], E) là không gian Banach của các hàm liên tục từ [-r, 0] vào E với chuẩn
∥ x ∥ = sup{|x(θ)|/θ ∈[-r,0]}.

Đặt X = C ( [-r, ∞), E ) là không gian các hàm liên tục từ [-r, ∞) vào E.
Với mỗi x ∈ X và t ≥ 0 . Đặt x t ∈ C được định nghĩa
x t (θ) = x(t+θ) với θ ∈ [-r, 0].
Ký hiệu En = E x... x E là không gian Banach với chuẩn định bởi
với u = ( u 1 ,…, u n )
n

∥ x ∥ n=
R

∑u

i

i=1

Chúng ta sẽ khảo sát sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của hai phương trình vi phân
hàm với đối số lệch
x’(t)=f(t,ϕ(x t ))+g(t,ϕ(x t ));≥0
x 0 =h
[x(t)-A(t).x(t-r)]’=g(t,ϕ(x t ));≥0
x 0 =h
với h ∈ C cho trước
ϕ : C → En là ánh xạ Lipschitz thỏa mãn

φ(u)-φ(v)
trong đó

φ

φ

n

≤ φ . u-v

là hệ số Lipschitz của ϕ định bởi

inf{k / φ(u)-φ(v)

n

≤ k. u-v

với mọi u, v ∈ C}

17


2.1. Sự tồn tại nghiệm
2.1.1. Xét bài toán (I)
x’(t)=f(t,ϕ(x t ))+g(t,ϕ(x t ));≥0
x 0 =h
với h ∈ C cho trước, ϕ : C → En là ánh xạ Lipschitz
f và g thỏa mãn các điều kiện
(I.1) f: [0,∞) x En E liên tục, thỏa mãn
Với mỗi n ∈ N, tồn tại k n > 0 sao cho

f(t,u)-f(t,u') ≤ k n u-u' n

với mọi u,u' ∈En và t ∈ [0,n].
(I.2)

g : [0, ∞) x En → E là ánh xạ compắc, nghĩa là g liên tục và biến tập bị chặn trong

[0, ∞) x En thành tập compắc tương đối trong E .

(1.3)

lim
u n →∞

g(t,u)
u

= 0 đều theo t trên mỗi tập bị chặn của [0, ∞).

n

Định lý 2.1
Giả sử f, g thỏa mãn các điêu kiện (I.1) - (I.2) và (I.3)
Khi đó bài tốn (I) có nghiệm trên [0, ∞) .
Chứng minh
Bài tốn (I) tương đương với phương trình tích phân
t

t

0

0

x(t)=h(0) + ∫ f(s,φ(x s ))ds + ∫ g(s,φ(x s ))ds; t ≥ 0
X o =h
Đặt X o = C([0, ∞), E) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [0, ∞) vào E với họ nửa chuẩn

18


P n (x) = sup{|x(t)| , t ∈ [0,n]} với mọi n ∈ N
và metric
∞

d(x,y) = ∑ 2- n
n=1

p n (x-y)
1+p n (x-y)

Với mỗi x ∈ X o , đặt x� : [-r, ∞) → E được định nghĩa bởi

x(s)+h(0)-x(0),s≥0
x(s) { h(s),-r
≤s ≤ 0

Khi đó x� liên tục trên [- r, ∞).

Ta định nghĩa các toán tử U, G : X o → X o như sau
t

U(x)(t) = � f(s, φx� s ))ds

;t ≥ 0

G(x)(t) = � g(s, φx� s ))ds + h(0)

;t ≥ 0

0

t

0

Giả sử x ∈ X o là một điểm bất động của U + G, nghĩa là
U(x)(t) + G(x)(t) = x(t) với mọi t > 0
Khi đó, ta có :
t

t

x(t) = h(0) + � f(s, φx� s ))ds + � g(s, φx� s ))ds
x(0)=h(0)

0

0

t

t

𝑥̅ (t) = h(0) + � f(s, φx� s ))ds + � g(s, φx� s ))ds
𝑥̅ (t)=h(t)

0

0

19

;t ≥ 0

;t ≥ 0


Vậy 𝑥̅ là nghiệm của (I’) trên [0, + ∞).

Ta sẽ chứng minh U + G có điểm bất động bằng cách sử dụng định lý 1.4

Trước tiên ta chứng minh các mệnh đề sau
 Mệnh đề 2.1
Giả sử f thỏa mãn điều kiện (I.1) và định nghĩa
U:X o → X o
t

U(x)(t) = � f(s, φx� s ))ds ; t ≥ 0
0

z ∈ X o U z :X o → X o

U z (x)=U(x)+z
Khi đó với mỗi n ∈ N và bất kỳ z ∈ X o , ta có

p n (U (x)-U (y)) ≤
i
z

i
z

2(n.k n . ϕ )i
i!

p n (x-y)

với mọi I ∈ N

trong đó p n (x-y) = sup{|x(t) - y(t)|/t ∈[0,n]} với mọi n ∈ N
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh

(1)

U (x)(t)-U (y)(t) ≤
i
z

i
z

2(n.k n . ϕ )i
i!

p n (x-y)

∀t∈ [0, n] ∀i∈N

Với bất kỳ s ∈[0, n] và θ ∈ G [-r, 0], ta có
x�s (𝜃) − y�s (𝜃) = x�(s + 𝜃) − y�(s + 𝜃)

X(s+θ) - x(0) –y(s+θ)+y(0) , nếu s+θ≥ 0

=
0

, nếu -r≤s+θ≤ 0

Suy ra

20


⇒‖x�s (𝜃) − y�s (𝜃)‖ ≤ |x(s + 𝜃) − y(𝑠 + 𝜃)| + |x(0) − y(0)|
≤(x-y)(s+𝜃)+(x-y)(0)
≤ 2.p n (x-y)

(*)

(do p n (x-y) = sup{|(x-y)(t)|/t ∈ [0,n]} với mọi n ∈ N).
Chứng minh (1) bằng qui nạp

- Với i = 1, ta có
U z (x)(t) = U(x)(t) + z(t)
t

=

∫ f(s,φ(x ))ds+z(t),t > 0
s

0

t

Nên U z (x)(t)-U Z (y)(t)=

t

∫ f(s,φ(x ))ds − ∫ f(s,φ(y ))ds
s

s

0

0

t

≤

∫ f(s,φ(x ))-f(s,φ(y )) ds
s

s

0
t

≤

∫k

n

φ(x s )-φ(ys ) ds

0
t

≤

∫k

n

. ϕ . x s -ys ds

(do ϕ là ánh xạ Lipschitz)

n

. ϕ .2p n (x-y)ds

(do (*))

n

0
t

≤

∫k

(do f thoả mãn I.1)

n

0

≤ 2.t.k n

ϕ .p n (x-y)

Vậy (1) đúng khi i=l.
Giả sử (1) đúng với i ≥ 1, ta có

21

U (x)(t)-U (y)(t) ≤
i
z

i
z

2(n.k n . ϕ )i
i!

p n (x-y)

với mọi t ∈ [0, n] và n ∈ N.
Ta chứng minh (1) đúng với i + 1
Thật vậy, ta có
t

U=
(x)(t)-U (y)(t)
i+1
z

i+1
z

t

∫ f(s,φ(U (x)) ds - ∫ f(s,φ(U (y)) ds
i

i

s

z

s

z

0

0

t

≤

∫ k n φ(U z(x))s − φ(U z(y))s ds
i

i

(do f thỏa mãn I.1)

n

0

t

≤ kn

∫

φ . ( U z (x))s − ( U z (y))s ds
i

i

(a)

0

Với mỗi s ∈ [0, n] và θ ∈ [-r, 0] ta có

( U z (x))s (θ ) − ( U z (y))s (θ ) = ( U z (x)(s+θ ) − ( U z (y)(s+θ )
i

i

i

i

U iz (x)(s+θ )-U iz (x)(0)-U iz (y)(s+θ )-U iz (y)(0)

; nếu s + θ ≥ 0

0

; nếu –r ≤ s + θ ≤ 0

=

U iz (x)(s+θ )-U iz (y)(s+θ )

; nếu s + θ ≥ 0

0

; nếu –r ≤ s + θ ≤ 0

=

(do U z (x)(s+θ )-U z (y)(s+θ ) = 0, giả thiết qui nạp)
i

i

Như vậy, ta có

22


i

2 (s + θ )k n . ϕ 
i
i

≤
θ
θ
(x))
(
)
(
(y))
(
)
p n (x-y)
Uz s
Uz s
i!
i

2 s.k n . φ 
≤ 
p n (x-y)
i!

∀ θ ∈ [-r, 0] (b)

Từ (a) và (b) suy ra
t

U (x)(t)-U (y)(t) ≤ ∫ k n . ϕ . ( U z (x))s - ( U z (y))s ds
i+1
z

i

i+1
z

i

0

i

2 s.k n . φ 
p n (x-y)
≤ ∫ kn . φ 
i!
0
t

2  t.k n . φ 
≤ 
(i+1)!

i+1

p n (x-y)

với mọi t ∈ [0, n]

Vậy (1) đúng với mọi I ∈ N.
i

2  n.k n . φ 
i
i
Suy ra: p n (U z (x)-U z (y)) ≤
p n (x-y)
i!
Mệnh đề 2.1 được chứng minh.
Mệnh đề 2.2
Giả sử g thỏa mãn (I.2) và G n được định nghĩa như sau
G n :X n →X n = C( [0,n],E)
t

G n (x)(t) =

≤ ∫ g(s,φ(x s ))ds+h(0) ,

t ∈ [0, n]

0

Khi đó, G n là tốn tử compắc trên khơng gian Banach X n với chuẩn
||x|| = sup{|x(t)| / t ∈ [ 0,n]}.
Chứng minh

23

(đpcm)

a) G n liên tục trên X n
Ta có G n (x) ∈ X n với mọi X ∈ X n
Thật vậy, với bất kỳ ε > 0 ta có
t

G n (x)(t) - G n (x)(t’) =

∫ g(s,φ(x ))ds
s

t'

t

≤ ∫ g (s,φ(x s )) ds
t'
t

≤ ∫ M.ds ≤ t-t' .M
t'

(do g là ánh xạ compắc nên bị chặn trên tập bị chặn)
Suy ra
ε

G n (x)(t) - G n (x)(t’)| < ε
Cho(x k ) k là dãy trong X n sao cho
Đặt B =

khi |t-t'| < δ=M

lim x k =x o
k →∞

{(x ) /s ∈[0,n],k ∈ Z }
+

k s

Khi đó B compắc trong C = C([-r,0],E).
Thật vậy:
Giả sử

( (x i) ) là dãy trong B với lims =s và lim x
k

si

i

i→∞

i

i→∞

ki

=x

trong X n

(trong đó X có thể là một trong các x k đã cho (k ∈ Z+) và (x k i) i có thể khơng là dãy con của
(x k ) k ).
Ta có

(x ki i)si − x s ≤ (x ki i)si − x si + (x si − x s

≤ 2p n (x ki -x) + x si - x s

24

(*)