Tính ổn định của phương trình volterra vi tích phân tuyến tính trên không gian banach
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (382.76 KB, 41 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
______________________
Nguyễn Thành Trung
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN
TÍNH TRÊN KHƠNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
______________________
Nguyễn Thành Trung
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN
TÍNH TRÊN KHƠNG GIAN BANACH
Chun ngành : Tốn Giải tích
Mã số
: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ HỒN HỐ
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
LỜI CẢM ƠN
Để thực hiện thành công luận văn này tôi xin chân thành cảm ơn Quý
thầy cô thuộc hai trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học
Khoa học Tự Nhiên đã nhiệt tình giảng dạy cho tơi trong suốt khố học, cảm
ơn phịng Khoa học Công nghệ Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi
trong q trình học tập và khi thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cám ơn PGS. TS Lê Hồn Hố đã tận tình hướng
dẫn tơi trong suốt thời gian qua, cám ơn các anh chị học viên lớp Giải tích
K17 đã động viên giúp đỡ và cho nhiều ý kiến q báu giúp tơi hồn thiện
luận văn này.
Tác giả luận văn
Nguyễn Thành Trung
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắc
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
Chương 1 : CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ .................... 4
Chương 2 : TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ
GIẢI ............................................................................................ 10
2.1. Định lý 2.1....................................................................................... 10
2.2. Định lý 2.2....................................................................................... 13
Chương 3 : ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM
-BỊ CHẶN,
NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN ............................ 19
3.1. Nghiệm
-bị chặn.......................................................................... 19
3.2. Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận...................................................... 22
Chương 4 : ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA
VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN............................................. 30
4.1. Áp dụng vào phương trình Volterra tổng quát hơn ........................ 30
4.2. Ví dụ 4.2.......................................................................................... 31
KẾT LUẬN ................................................................................................ 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 36
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Trong luận văn này, chúng tơi kí hiệu
- X,
X
khơng gian Banach với chuẩn
- Với J
X
.
kí hiệu:
+ C ( J ; X ) không gian các hàm liên tục trên J, nhận giá trị trên X.
+ BC ( J ; X ) không gian con của C ( J ; X ) gồm các hàm liên tục và bị
chặn trên J. Khi đó BC ( J ; X ) là khơng gian Banach với chuẩn sup
J
.
- L(X) không gian Banach các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X với chuẩn ánh
xạ tuyến tính
- AP(
.
;X) khơng gian các hàm f :
X hầu tuần hoàn.
1
MỞ ĐẦU
Trong luận văn này, chúng tôi xem xét các phương trình Volterra vi tích phân
tuyến tính:
t
(E)
du (t )
Au (t ) B t , s u s ds, t
dt
0
(E )
dv(t )
Av (t ) B t , s v s ds, t : (; ),
dt
(P)
du (t )
Au (t ) B t , s u s ds p (t ), t
dt
0
(P )
dv(t )
Av(t ) B t , s v s ds p (t ), t ,
dt
: [0; ),
t
t
,
t
trong đó:
- A là phần tử sinh của nửa nhóm compact C0 các ánh xạ tuyến tính bị chặn
trên khơng gian Banach X
- B(t,s) ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X thoả mãn hầu tuần hoàn theo t đều
theo s
- Trong trường hợp X là hữu hạn chiều, các tác giả trong [1], [2] đã đánh
giá được mối liên hệ giữa tính ổn định của phương trình Volterra vi tích phân
và phương trình giới hạn. Trong đó, nổi bật là tính ổn định tiệm cận đều và sự
khả tích của ánh xạ giải (resolvent operator), ứng dụng để chỉ ra sự tồn tại của
nghiệm bị chặn của phương trình không thuần nhất.
- Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi mở rộng nhiều kết quả
trong [1], [2] cho trường hợp X là vô hạn chiều. Nếu theo con đường trong
[1], [2] khi X vô hạn chiều, chúng ta sẽ gặp nhiều khó khăn, ví dụ như đánh
giá tính khả tích của ánh xạ giải.
2
- Để giải quyết khó khăn trên, chúng tơi đưa ra những tính chất yếu hơn
cho ánh xạ giải (định lý 2.1). Thật vậy, khi (E) là phương trình chập, nghĩa là
B (t , s ) B(t s ) , tính chất yếu cho ta tính khả tích của ánh xạ giải, kết quả là
chúng ta có thể đánh giá tính ổn đinh tiệm cận đều của (E) bằng tính khả tích
của ánh xạ giải, cũng như bằng tính khả nghịch của ánh xạ đặc trưng (định lý
2.2). Do vậy, định lý 2.2 là sự tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp X vô
hạn chiều.
Cuối cùng, bằng cách sử dụng tiêu chuẩn yếu của ánh xạ giải, chúng tôi đi
đến những kết quả như sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hồn tiệm cận của
phương trình khơng thuần nhất với phần tuần hồn tiệm cận (định lý 3.2.4),
và các kết quả về phổ Borh của phần hầu tuần hoàn của nghiệm hầu tuần hoàn
tiệm cận (định lý 3.2.7).
Các kết quả được trình bày trong luận văn này được tham khảo chủ yếu từ
các bài báo, các cơng trình nghiên cứu của Hino, Y. và Murakami.
Luận văn được chia làm các chương sau:
Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày các định nghĩa, các kết quả sơ bộ:
mệnh đề và định lý phục vụ cho các chứng minh trong các chương sau.
Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ
GIẢI
Chương này chúng tơi trình bày điều kiện cần và đủ để nghiệm không của
(E) là ổn định (định lý 2.1), liên hệ giữa tính ổn định của nghiệm khơng của
(E) và tính khả tích của ánh xạ giải R(t, s) (định lý 2.2)
Chương 3: ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM
-BỊ CHẶN,
NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN
Trong chương này, với giả thiết (E) ổn định tiệm cận đều, chúng tơi đi đến
các kết quả như: Tính duy nhất của nghiệm
-bị chặn của (P ) (định lý
3
3.1.1), công thức nghiệm
-bị chặn của (P ) (định lý 3.1.2). Ngoài ra, khi
đưa ra khái niệm hầu tuần hoàn tiệm cận và khái niệm về phổ Borh, chúng tôi
đi đến kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm
-bị chặn hầu tuần hoà tiệm cận
và quan hệ phổ Borh của phần hầu tuần hoàn của nghiệm (định lý 3.2.7)
Chương 4: ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA
VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN
Trong chương này, chúng tôi xét thêm một phương trình Volterra vi tích
phân tuyến tính để thấy rõ các kết quả đã có vẫn áp dụng được vào phương
trình này. Ngồi ra, chúng tơi cịn nghiên cứu thêm một ví dụ về phương trình
vi tích phân với điều kiện biên Neumann để thấy rỏ tính áp dụng của lý thuyết
vừa nêu.
4
Chương 1
CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
Equation Chapter 1 Section 1
Xét các phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính:
t
(E)
du (t )
Au (t ) B t , s u s ds, t
dt
0
(E )
dv(t )
Av (t ) B t , s v s ds, t : (; ),
dt
(P)
du (t )
Au (t ) B t , s u s ds p (t ), t
dt
0
(P )
dv(t )
Av(t ) B t , s v s ds p (t ), t ,
dt
: [0; ),
t
t
,
t
Với A là phần tử sinh của nửa nhóm C0 compact T (t )t 0 các ánh xạ
tuyến tính trên khơng gian Banach X, B(t,s) là ánh xạ tuyến tính liên tục bị
với s t và hầu tuần hoàn.
chặn, liên tục theo chuẩn ánh xạ
1.1 Định nghĩa 1.1.
B(t, s) được gọi là hầu tuần hoàn biến t đều theo s nếu với mọi 0 và
bất kỳ tập compact J 0
khoảng
mở
: (;0] , tồn tại số dương l ( , J 0 ) sao cho mọi
độ
dài
l ( , J 0 )
chứa
thì
B(t , t s ) B (t , t s ) , t , s J 0 .
1.2 Định nghĩa 1.2.
Với bất kỳ ( , )
duy nhất hàm
u:
u ( ) ( ), [0, ] và
BC [0; ]; X và p BC [ ; ); X tồn tại
X
thoả mãn u liên tục trên
[ , ) ,
5
s
u (t ) T (t ) ( ) T (t s ) B( s, )u ( )d p ( s ) ds, t
0
t
(1.1)
Hàm u được gọi là nghiệm yếu của (P) theo ( , ) trên [ ; ) và kí hiệu là
u (, , , p )
Tương tự, với bất kỳ ( , ) BC (-; ]; X và p BC [ ; ); X tồn
X thoả mãn v liên tục trên [ , ) ,
tại duy nhất hàm v :
v( ) ( ), (, ] và
s
v(t ) T (t ) ( ) T (t s ) B ( s, )v( )d p ( s ) ds, t .
t
(1.2)
Hàm v được gọi là nghiệm yếu của (P ) theo ( , ) trên [ ; ) và kí hiệu là
v(, , , p )
1.3 Định nghĩa 1.3.
Nghiệm không của (E) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ 0 , tồn tại
( ) 0
thoả
mãn
p BC [ ; ); X
nếu
với
( , )
mọi
[0, ]
( )
u (t , , , p ) X với t , trong đó
[0, ]
BC ([0, ], X )
và
( )
thì
và
p
[ , )
sup ( x) X
s[0; ]
1.4 Định nghĩa 1.4.
Nghiệm không của (E ) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ 0 , tồn
tại
( ) 0
thoả
p BC [ ; ); X
mãn
với
nếu
mọi
( , ]
( , ) BC ((, ], X )
( )
v(t , , , p ) X ) với t , trong đó
[- , ]
và
p
[ , )
sup ( x ) X
s[ ; ]
( )
và
thì
6
1.5 Định nghĩa 1.5.
Nghiệm không của (E) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu với bất kỳ
0 , tồn tại ( ) 0 thoả mãn với mọi ( , )
[0, ]
BC ([0, ], X ) nếu
( ) thì u (t , , ,0) X mọi t . Hơn nữa, tồn tại 0 0 sao
cho mỗi
0
tồn tại
l ( ) 0
sao cho
[0, ]
0
kéo theo
u (t , , ,0) X với t l ( ) .
1.6 Định nghĩa 1.6.
Nghiệm không của (E ) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu với bất
kỳ 0 , tồn tại ( ) 0 thoả mãn với mọi ( , ) BC ((, ], X ) nếu
( , ]
( ) thì v(t , , ,0) X ) mọi t . Hơn nữa, tồn tại 0 0 sao
cho mỗi 0
tồn tại
l ( ) 0
sao cho
( , ]
0
kéo theo
v(t , , ,0) X với t l ( ) .
Bổ sung thêm một số điều kiện của (E) như tính hầu tuần hồn của B(t, s), …,
ta có hai điều kiện sau:
t
(H1 ) sup B(t , s ) ds : M *
t
(H 2 ) Với mọi 0 , tồn tại S ( ) 0 sao cho sup
t
t S ( )
B (t , s ) ds .
Khi B(t, s) là chập, nghĩa là B (t , s ) B(t s ) , điều kiện (H1 ) , (H 2 ) tương
đương với tính khả tích của B(t), nghĩa là
B(t ) dt .
0
Mệnh đề bên dưới được trích từ [4, Định lí 3.11] xin không nêu lại chứng
minh.
7
1.7 Mênh đề 1.7.
Bốn mệnh đề sau đôi một tương đương
i)
Nghiệm không của (E) là ổn định
ii)
Nghiệm không của (E ) là ổn định
iii)
Nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều
iv)
Nghiệm không của (E ) là ổn định tiệm cận đều
1.8 Định nghĩa 1.8
Tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn R(t , ) trên X sao cho
R(t , ) liên tục mạnh với t ,
R t , 0 nếu t
và
s
R t , x T t x T (t s ) B( s, ) R ( , )xd ds, t , x X
t
(1.3)
Rõ ràng R(t, t) = I, ánh xạ đồng nhất.
Chúng ta gọi R(t , ) là ánh xạ giải (resolvent operator) của (E)
Bây giờ, với p BC ( ; X ), x X ,
đặt
u () u (, , x, p )
trong đó u là nghiệm của phương trình
t
du (t )
Au (t ) B(t , s)u ( s)ds p (t ), t
dt
(1.4)
với u ( ) x
1.9 Mệnh đề 1.9
Với mọi ( , x) X và mọi p BC ([ , ); X ) nghiệm u (, , x, p )
của phương trình khơng thuần nhất (1.4) thoả u ( , , x, p ) x được cho bởi
công thức
8
t
u t , , x, p R (t , s ) x R (t , s) p ( s )ds, t
(1.5)
u (t , , x, p ) u (t , , x,0) u (t , ,0, p )
(1.6)
hay
Chứng minh
Theo (1.1) ta có
u (t ) T (t ) x T (t ) B( , s)u ( s )ds p( ) d , t
t
Vì
R (t , ) x T (t ) x T (t ) B ( , s ) R( s, ) xds d , t
t
nên ta có
R (t , s ) x u (t , , x,0), t
Với t đặt
t
z (t ) R (t , s ) p ( s )ds
Do
t
t
z (t ) T (t s ) p ( s )ds R (t , r ) p (r ) T (t r ) p (r ) dr
9
t t
s
T (t s ) B ( s, ) R( , r ) p (r )d ds dr
r
r
s s
t
T (t s) B( s, )) R( , r ) p(r )d dr ds
r
s
t
T (t s ) B ( s, ) R ( , r ) p(r )dr d ds
t
s
T (t s ) B ( s, )z ( )d ds
nên ta có:
s
z (t ) T (t s ) B( s, ) z ( )d p ( s ) ds
0
t
Do vậy
t
u (t , ,0, p ) R(t , s ) p( s )ds, t
t
Vậy: u (t , , x, p ) R(t , ) x R (t , s ) p ( s )ds, t
10
Chương 2
TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI
Equation Chapter 2 Section 1
Cho ( , )
BC ([0, ]; X ) và u (t ) : u (t , , , p) là nghiệm yếu của
t
du (t )
Au (t ) B(t , s)u ( s) ds p(t )
dt
0
t
0
Au (t ) B(t , s)u ( s)ds p (t ) B(t , s ) ( s )ds, t
Theo mệnh đề 1.9 thì
u (t , , , p ) R(t , ) ( ) R (t , ) p ( ) B ( , s) ( s)ds d
0
t
(2.1)
với mọi t , R (t , s ) là ánh xạ giải của (E).
Tương tự, cho ( , ) BC ((, ]; X ) và v(t ) : u (t , , , p ) là nghiệm
yếu của
t
dv(t )
Av(t ) B(t , s )v( s) ds p (t )
dt
t
Av(t ) B(t , s )v( s)ds p (t )
B(t , s) ( s)ds, t
Theo mệnh đề 1.9 thì
v(t , , , p ) R(t , ) ( ) R (t , ) p ( ) B( , s ) ( s)ds d
0
t
(2.2)
với mọi t , R (t , s ) là ánh xạ giải của (E).
2.1 Định lí 2.1
Nghiệm không của (E ) là ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận đều)
nếu và chỉ nếu ánh xạ giải R(t, s) của (E) thoả mãn điều kiện:
11
t
R
(
t
,
)
R
(
t
,
)
h
(
)
d
:
t
,
M : sup
(2.3)
X
h() C ([ , t ]; X ), h [ ,t ] 1
Từ đây và theo mệnh đề 1.7 điều kiện (2.3) tương đương với tính ổn định tiệm
cận đều (tương ứng tính ổn định) của nghiệm khơng của (E)
Chứng minh
Trước hết, theo mệnh đề 1.7 thì tính ổn định tiệm cận đều và tính ổn định của
nghiệm khơng của (E ) hay (E) là đôi một tương đương.
( ) Giả sử rằng nghiệm không của (E ) là ổn định, chúng ta suy ra điều
kiện (2.3).
1
n
s
x
s
[
(
)
1]
,
khi
n
n ,
Với bất kỳ x X , x 1 đặt ( s )
.
1
0
, khi s
n
Khi đó
sup n , ( s )
s
X
x X 1
Do vậy
v(t , , n , ,0
X
1
, t
(1)
(do tính ổn định tiệm cận đều của (E ) )
Theo (2.2) ta có
R (t , ) x X v(t , ,
n ,
,0 R(t , )
X
t
t
1
R(t , )
(1)
B(t , s) n , ( s)dsd
1
n
X
B(t , s ) n , ( s)dsd
1
n
X
12
Cho n ta có R (t , ) x X
Do vậy R(t , )
1
(1)
1
(1)
Hơn nữa, với mọi h C ([ , t ]; X ), h [ ,t ] 1 , ta có
v(t , , n , , h
X
t
Do đó R(t , )h( )d
v (t , , n, , h)
X
1
, t
(1)
v(t , , n, ,0)
X
X
1
2 (1)
Vậy điều kiện (2.3) được thoả mãn.
( ) Ngược lại giả sử rằng
R(t , )
t
R(t, )h( )d )
M , t , h () C ([ , t ]; X ), h
X
Với M là hằng số trong điều kiện (2.3).
Giả sử rằng
( , ]
, p [ , ) thì (2.2) kéo theo
v(t , , ; p ) X R(t , ) ( ) X
M
( , ]
R(t , ) p ( ) B ( , s) ( s)ds d
t
*
M p [ ,t ] M .M .
( , ]
M (2 M * )
t
với sup B(t , s ) ds : M *
t
điều này chứng tỏ nghiệm không của (E ) là ổn định.
X
[ , t ]
1
13
2.2 Định lí 2.2
Cho (E) là phương trình chập với B (t , s) B(t s ) . Khi đó ba mệnh đề
sau đơi một tương đương:
i)
Nghiệm khơng của (E) là ổn định tiệm cận đều.
ii)
Mọi mà 0 thì ánh xạ I A B( ) khả nghịch trên L(X).
iii)
Ánh xạ giải của (E) khả tích trên [0, )
Chứng minh
[(i) (ii)] Bằng phản chứng, giả sử rằng nghiệm không của (E) là ổn định
tiệm cận đều, và tồn tại 0 mà 0 0 nhưng 0 I A B(0 ) không khả
nghịch trên L(X).
Lấy s ( A) . Khi đó
I A B( ) (sI A)
0
0
1
I (0 s ) I B(0 ) sI A
1
IK
Suy ra
0 I A B(0 ) I K sI A
trong đó K : (0 s ) I B (0 ) sI A
1
Rõ ràng K là compact do tính compact của nửa nhóm T(t).
Vì 0 I A B(0 ) khơng khả nghịch nên ánh xạ I+K không khả nghịch. Từ
đây và theo định lí Riesz-Schauder về ánh xạ compact ta suy ra I+K là không
đơn ánh.
1
Chọn phần tử khác không X mà ( I K ) 0 đặt sI A . Khi
đó
14
I A B ( ) 0
0
0
0 A
Hay
B(t ) e
0t
dt
0
Định nghĩa ánh xạ
v0 BC (
v:
X
với
v(t ) e0t . Do 0 0
nên
; X ) . Hơn nữa, v(t) thảo mãn (E ) vì:
dv(t )
0t
0t
0e e A B ( s ) e 0 s ds
dt
0
Av(t )
B(s)v(t s)ds
0
Do nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều nên nghiệm không của
(E ) là ổn định tiệm cận đều. Do đó ta có lim v(t ) X 0 , điều này mâu thuẫn
t
với v(t ) X
X
0, t 0 nên có ii).
[ii) iii)]
Trước hết ta chứng minh khẳng định
R( z ) zI A B ( z )
1
với những z mà z đủ lớn.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thấy R(t) là bị chặn luỹ thừa,
nghĩa là sup e t R(t ) M , với M và là các hằng số dương nào đó.
t 0
Ta có thể giả sử sup e t T (t ) .
t 0
Ta có T ( z ) zI A
1
khi z . Chọn x là phần tử bất kỳ của X.
Biến đổi Laplace hai vế của
s
R(t ) x T (t ) x T (t s ) B( s ) R( ) xd ds, t 0
0
0
t
ta được
15
R( z ) x T ( z ) x T ( z ) B( z ) R( z ) x
zI A
1
x B( z ) R( z ) x
hay
zI A B( z) R( z) x x khi z
Theo giả thiết ii) thì zI A B( z ) là khả nghịch kéo theo
R( z ) x zI A B ( z )
1
x, x X , z
Do đó ta có R( z ) zI A B ( z )
1
với những z mà z .
Bây giờ chúng ta chứng minh tính khả tích của R trên
.
Chọn hằng số 0 mà 0 trong đó là hằng số nói trong phần chứng
minh trên.
Định nghĩa e(t ) T (t )e
0t
t
và D(t ) B(t s )e( s )ds 0e(t ), t 0 . Do nửa
0
nhóm T (t )t 0 là compact nên theo [5, Định lý 3.2] thì T(t) liên tục với t > 0
và là hàm nhận giá trị trong L(X). Từ đây và bất đẳng thức
e(t ) supe T ( )
0
Do đó hàm D :
(0 )t
ta có hàm e :
e
L( X ) khả tích.
L( X ) khả tích.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi z mà z 0 thì I D( z )
1
khả
nghịch trên L(X) và
e ( z ) I D( z )
1
zI A B( z )
1
(2.4)
1
Thật vậy, biến đổi Laplace của e ( z ) cho bởi e ( z ) z 0 I A , từ đây
ta có
16
D ( z ) B ( z ) 0 I
z I A
1
0
Để ý rằng
zI A B ( z ) 0 z I A B ( z ) 0 I
I D( z )
0
z I A
Do ánh xạ zI A B( z ) và (0 z ) I A là song ánh từ D(A) vào X nên ánh
xạ I D ( z ) : X X là song ánh.
Từ đây I D( z ) là khả nghịch trên L(X) và
I D( z )
1
(0 z ) I A zI A B( z )
1
.
Do đó (2.4) được thoả mãn.
Vì I D( z ) khả nghịch với mọi z mà z 0 , theo [7, Định lí 0.7] tồn tại
hàm Q :
t
L( X ), Q(t ) D(t ) D(t )Q( )d .
0
Để ý rằng Q( z ) I D( z ) D( z ) hay Q( z ) D( z ) I D( z )
1
. Từ đây suy
ra:
I Q( z ) I D( z )
1
và
e ( z ) I Q( z ) e ( z ) I D ( z )
1
zI A B( z )
1
t
(do (2.4))
Đặt S (t ) e(t ) e(t s )Q( s)ds, t 0 . Khi đó S khả tích trên
0
S ( z ) zI A B( z )
1
R( z ) với mọi z mà z đủ lớn.
và
17
Do tính duy nhất của biến đổi Laplace, ta có R S , điều này chứng tỏ R khả
tích.
[iii) i)]
Giả sử rằng
R (t ) dt . Trước hết chúng ta kiểm tra rằng R(t ) là bị
0
chặn trên [0, ) .
Chọn hai hằng số dương M và thoả sup e t T (t ) M .
t 0
Đặt S (t ) T (t )e t . Khi đó S (t )t 0 là nửa nhóm C0 bị chặn đều với phần tử
sinh A I .
Với mỗi x X , u (t ) : R (t ) x là nghiệm yếu của phương trình
du
Au g (t )
dt
t
với g (t ) : B(t s )u ( s )ds .
0
Khi đó u là nghiệm yếu của phương trình
du
A I u h(t ) với h(t ) : g (t ) u (t )
dt
Từ đây ta có
t
u (t ) S (t )u (0) S (t s )h( s )ds
0
hay
s
R(t ) x S (t ) x S (t s ) R( s ) xds S (t s ) B ( s ) R ( ) xd ds
0
0
0
t
t
Thật vậy, nếu u trơn thì khẳng định trên đúng. Nếu u khơng trơn, ta xét dãy
hàm trơn hội tụ về u, khi đó ta có khẳng định.
Do sup S (t ) M ta có
t 0
18
t
ts
R(t ) x M x 1 R ( s ) ds B ( s ) R ( ) d ds
0
0 0
Khi đó
sup R(t ) M1 : M 1 R ( s ) ds B ( ) d R( s ) ds
t 0
0
0
0
Chứng tỏ R(t ) bị chặn trên [0, ) .
Giả sử rằng
[0, ]
và p [ , ) . Khi đó theo (2.1) ta có
u (t , , ; p ) X
M1 R ( s ) ds B ( ) d R( s ) ds
0
0
0
Chứng tỏ rằng nghiệm không của (E) là ổn định. Theo mệnh đề 1.7 nghiệm
không của (E) là ổn định tiệm cận đều.
19
Chương 3
ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM
-BỊ
CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN
Equation Chapter (Next) Section 1
3.1 NGHIỆM
-BỊ CHẶN
3.1.1 Định nghĩa 3.1.1
Chúng ta gọi v BC ( ; X ) là nghiệm
-bị chặn của (P ) nếu v là nghiệm
yếu của (P ) trên [ , ) với mọi
.
3.1.2 Định lý 3.1.2
Giả sử rằng nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều. Với bất kỳ
p BC ( ; X ) , tồn tại một và chỉ một nghiệm
-bị chặn của (P ) .
Chứng minh
(1)
Với n = 1, 2, 3,…, đặt v n (t ) v t , n,0;
p , t , trong đó
2
p
0(t ) 0, t
Do v n
n
và () xác định do tính ổn định của nghiệm khơng của (E ) .
0 và tính ổn định của nghiệm khơng của (E ) kéo theo
v n (t )
X
1
và
s
(1)
v (t ) T (t n)v (n) T (t s ) B( s, )v n ( )d
p( s ) ds, t n
2 p
n
t
n
n
Theo [3, Bổ đề 2], tập v n (t ) : t , n 1,2,3, là compact tương đối trên X
và họ v n (t ) là liên tục đồng bậc đều với t .
20
Từ đây có thể giả sử v n (t ) v(t ) khi n là compact trên
(chọn dãy
con nếu cần).
Rõ ràng v
1.
Với bất kỳ
, chọn n thoả n . Khi đó ta có với t
s
(1)
v (t ) T (t )v ( ) T (t s ) B( s, )v n ( )d
p ( s) ds
2 p
t
n
n
và v n (t ) dần về
s
(1)
v(t ) T (t )v( ) T (t s ) B ( s, )v( )d
p ( s ) ds
2 p
s
t
khi n
Khi đó v(t) là nghiệm
-bị chặn của phương trình
dv(t )
(1)
Av(t ) B(t , s )v( s )ds
p (t ), t
dt
2
p
t
Do đó
(1)
2 p
v(t ) là nghiệm
-bị chặn của (P ) .
Tiếp theo ta sẽ chứng minh tính duy nhất của nghiệm
Giả sử v(t) và w(t) là các nghiệm
-bị chặn của (P ) , và đặt
v(t ) v(t ) w(t ) là nghiệm
-bị chặn của (E ) .
Giả sử v(t1 ) w(t1 ) với t1
nào đó. Khi đó
w(t ) :
là nghiệm
0
2v
-bị chặn của (P ) .
v(t )
-bị chặn của (P ) , trong đó 0 được cho do tính ổn định tiệm
cận đều của nghiệm không của (E ) . Do
wt0
BC
0
2
0 , t0
