Đa thức duy nhất và bi urs kiểu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không gian acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
---------- oOo ----------

ðặng Tuấn Hiệp

ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS
KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH
TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET
Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN TRỌNG HỊA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


2

Mở đầu
Một trong các vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm giải tích là nghiên
cứu các không điểm và điểm kỳ dị. Theo hướng này, vào những năm 20 của
thế kỷ XX, R. Nevanlinna đã công bố các công trình nghiên cứu mà ngày
nay được xem là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc nhất của
toán học: Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của lý thuyết Nevanlinna
là hai định lý cơ bản: định lý cơ bản thứ nhất là một tương tự siêu việt
của định lý cơ bản của đại số, định lý cơ bản thứ hai là mở rộng của định

lý Picard. Gần 60 năm sau, P. Vojta đã phát hiện ra bản dịch của lý thuyết
Nevanlinna trong số học: định lý Roth. Phát hiện này đã giúp P. Vojta đề
ra giả thuyết tổng quát về lý thuyết Nevanlinna số học mà một trong các
hệ quả là định lý Fermat tiệm cận. Sự tương tự giữa lý thuyết Nevanlinna
và xấp xỷ Diophant đã cho một công cụ mới để nghiên cứu các vấn đề của
số học: chỉ cần tìm ra từ điển thích hợp, có thể phiên dịch các kết quả của
lý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học. Lý thuyết Nevanlinna cũng
cho một sự tương tự giữa số đại số và hàm phân hình. Nếu xét trên trường
cơ sở là trường không Acsimet, mà trường các số phức p-adic là một ví dụ,
chúng ta có lý thuyết Nevanlinna p-adic, được xây dựng và phát triển bởi
Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tö, W. Cherry, P. C. Hu, C. C.
Yang, A. Escassut, A. Boutabaa, .... Giả thuyết nổi tiếng của W. Cherry chỉ ra
có sự tương tự giữa trường số phức và trường p-adic: "Mọi kết quả đúng cho
đa thức (hoặc hàm hữu tỷ) trên C thì cũng đúng cho hàm nguyên (hàm phân
hình, tương ứng) trên Cp , trừ những kết quả hiển nhiên sai", nghóa là tồn tại
một bản dịch từ trường số phức C sang trường không Acsimet K. Đây là
vấn đề đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới.
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác
định một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không tính bội của năm giá trị phân
biệt. Định lý năm điểm của Nevanlinna suy ra rằng hai hàm nguyên khác
hằng chung nhau bốn giá trị hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm


3

f và g chung nhau giá trị a nếu f −1 (a) = g −1 (a)). Kết quả này không thể
tốt hơn, vì hai hàm ez và e−z chung nhau tại 0, 1, −1. Sau đó, Polya chỉ ra,
nếu hai hàm phân hình f và g chung nhau bốn giá trị phân biệt, kể cả bội,
af + b

với các hằng số a, b, c, d
thì g là biến đổi Mobius của f , nghóa là g =
cf + d
thỏa mãn (c, d) = (0, 0).
Lý thuyết về tập xác định duy nhất của các hàm phân hình được F.
Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghịch ảnh của một tập con
S mà không phải là nghịch ảnh của từng phần tử, chúng ta có thể nhận
được các kết quả tương tự định lý năm điểm Nevanlinna hay không? Tức
là có tồn tại hay không tập S để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa
mãn f −1 (S) = g −1 (S) keùo theo f = g?
Ký hiệu W là trường số phức C hoặc trường K đóng đại số, đặc số
không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) là vành các hàm chỉnh
hình trên W, M(W) là trường các hàm phân hình trên W. Giả sử S là tập
con không rỗng của W = W ∪ {∞}, F là một họ nào đó các hàm xác định
trên W lấy giá trị trên W, f ∈ F . Đặt
{(z, m) ∈ W × N|z là không điểm bội m của f − a},

Ef (S) =
a∈S

{z ∈ W|z là không điểm của f − a}.

Ef (S) =
a∈S

Hai hàm phân hình f, g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng,
không tính bội) nếu Ef (S) = Eg (S) (tương ứng, Ef (S) = Eg (S)). Tập S được
gọi là tập xác định duy nhất (tương ứng, tập xác định duy nhất không tính bội)
cho họ các hàm F , kí hiệu là URS (tương ứng, URSIM), nếu với mọi hàm
f, g ∈ F thỏa mãn Ef (S) = Eg (S) (tương ứng, Ef (S) = Eg (S)) thì f = g.

Giả sử B = {a1 , a2 , . . . , an } là tập hữu hạn, chúng ta gọi PB (z) =
(z − a1)(z − a2 ) . . . (z − an ) là đa thức liên kết với tập hợp B. Trong [13], C.
C. Yang - P. Li đã nêu khái niệm sau.
Định nghóa. Đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh
cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f, g ∈ F và hằng số c = 0 nào đó thỏa
mãn P (f ) = cP (g) thì c = 1 và f = g. Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] được
gọi là đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f, g ∈ F thoûa


4

mãn P (f ) = P (g) thì f = g.
Từ các định nghóa của URS và đa thức duy nhất ta thấy rằng có một
mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng. Cho tập S là URS cho các hàm phân hình,
chúng ta xây dựng một đa thức P (z) không có nghiệm bội và nhận S làm
tập nghiệm. Khi đó điều kiện Ef (S) = Eg (S) có nghóa là P (f ) và P (g) có
cùng không điểm với cùng bội, điều này yếu hơn điều kiện P (f ) = cP (g).
Nghóa là, nếu S là URS cho các hàm phân hình thì đa thức P liên kết
với S cũng là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình. Vì vậy để
nghiên cứu URS cho các hàm phân hình ta nghiên cứu các đa thức duy nhất.
Khi xem xét sự xác định của hàm phân hình thông qua ảnh ngược
của một tập hợp ta gặp rất nhiều khó khăn để giảm số điểm của tập hợp
đó. Cho đến nay, chưa có phương pháp nào để tìm URS cho các hàm phân
hình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé hơn 11 (tương ứng, 10). Vì
vậy có một vấn đề được đặt ra là xem xét sự xác định của các hàm phân
hình thông qua ảnh ngược của nhiều hơn một tập hợp.
Định nghóa. ([3]) Giả sử S, T là các tập con trong W = W ∪ {∞} sao
cho S ∩ T = ∅. Khi đó cặp (S, T ) được gọi là bi-URS cho F nếu với hai hàm
khác hằng số f, g ∈ F thỏa mãn Ef (S) = Eg (S) và Ef (T ) = Eg (T ) thì f = g.
Năm 1996, P. Li và C. C. Yang ([12]) đã chứng minh rằng trên C tồn

tại bi-URS kiểu (1, n) cho hàm phân hình có dạng ({∞}, S) với #S ≥ 15.
Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W. W. Adams và E. G. Straus đã
chỉ ra: với mọi a = b ∈ K, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm
1998, A. Boutabaa và A. Escassut ([4]), bằng các ước lượng phù hợp cho đa
thức P (z) = z n − az m + 1, đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞},
tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1 , z2 , . . . , zn }). Tieáp theo, trong
[6], các tác giả đã chứng minh không tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng
({ω}, {z1 , z2 , z3 }). Sau đó, đến năm 2001, bằng cách sử dụng các ước lượng
hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thị Hoài An ([9]) đã chỉ ra sự tồn
tại của bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1 , z2 , z3 , z4 }). Như vậy, vấn đề
tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (1, n) đã được giải quyết trọn vẹn và n = 4
là số tốt nhất có thể.
Gần đây, bằng cách sử dụng công cụ của Hình học đại số, xây dựng
các đa thức liên kết và xét tính hyperbolic của các đường cong tương ứng,


5

Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) đã chỉ ra sự tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu
(2, n), với mọi n ≥ 3 và khẳng định n = 3 là số bé nhất có thể. Các kết
quả của Tạ Thị Hoài An và Nguyễn Trọng Hòa đạt được là những đóng
góp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiên
cứu các vấn đề tương tự. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu về đa thức duy nhất và song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho hàm
phân hình trên trường không Acsimet. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại
một cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ
ra. Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa các
kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. Đề tài của chúng tôi mang tên:
"Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1, n)
cho hàm phân hình trên trường không Acsimet".

Phương pháp của chúng tôi là sử dụng ước lượng các hàm Nevanlinna
để đánh giá tập không điểm của một lớp các đa thức thỏa mãn một số điều
kiện nào đó.
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, các tài liệu
tham khảo và ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic và lý
thuyết Nevanlinna p-adic. Đây là các kiến thức cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 trình bày các kết quả về đa thức duy nhất cho các hàm
phân hình trên trường không Acsimet.
Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác định duy nhất kiểu
(1, n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trọng
Hòa, ngưới đã đặt vấn đề và dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc của mình.
Tác giả xin gửi tới TS. Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy
đầu tiên đã hướng dẫn tác giả trong công việc nghiên cứu các vấn đề về
lý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng. Tác giả cũng xin chân thành
biết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố Hồ
Chí Minh, đặc biệt là TS. Nguyễn Thái Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả
hoàn thành công việc của mình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS.


6

TS. Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS. TS. Đậu Thế Cấp và PGS. TS.
Lê Hoàn Hóa đã giảng dạy cho tác giả các chuyên đề cao học. Tác giả cũng
xin gửi lời cảm ơn tới tập thể cán bộ Phòng Khoa học công nghệ và Sau
đại học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp tác giả hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến Mẹ, người mà đã chấp nhận

khó khăn và dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành công
việc học tập của mình.


7

Chương 1
Các kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở về hàm
phân hình và lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Trước hết,
chúng tôi đưa ra các ký hiệu dùng trong luận văn.
• K là trường đóng đại số, đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không Acsimet.
• C là trường các số phức.
• Cp là trường các số phức p-adic.
• L là C hoặc K.
• A(L) là vành các hàm nguyên trên L.
• M(L) là trường các hàm phân hình trên L.
• W là trường đóng đại số, đặc số 0.
• W là không gian xạ ảnh một chiều trên W.
• F là một họ các hàm xác định trên W và lấy giá trị trên W.


1.1 Trường không Acsimet

8

Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trình
bày một cách chi tiết trong [8].
Chuẩn không Acsimet
Định nghóa 1.1. Một chuẩn trên trường W là ánh xạ

|.| : W → R+ = [0, ∞),
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) |x| = 0 ⇔ x = 0,
(2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W,
(3) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ W.
Nếu thay (3) bởi điều kiện mạnh hơn: (3 ) |x + y| ≤ max{|x|, |y|} thì ta thu
được chuẩn không Acsimet.
Mỗi chuẩn |.| trên trường W cảm sinh một hàm khoảng cách d xác
định bởi d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ W, và do đó chuẩn này cảm sinh
một tôpô trên W. Trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường không
Acsimet, ký hiệu K. Hai chuẩn trên một trường W gọi là tương đương nếu
nó cùng cảm sinh một tôpô trên W.
Cho r là số thực dương và điểm x ∈ W. Ký hiệu đóa mở, đóa đóng tâm
x bán kính r theo thứ tự bởi:
D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) < r},
D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) ≤ r}.
Đóa D = D(0, 1) được gọi là đóa đơn vị.
Với hằng số c > 1, hàm vc : W → R ∪ {∞},
vc (x) =

− log c |x| neáu x = 0,
+∞
nếu x = 0.

được gọi là hàm cộng tương ứng của chuẩn |.|.


9

Mệnh đề 1.1. Một chuẩn trên trường W là không Acsimet nếu và chỉ nếu hàm

cộng v tương ứng của nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) v(x) = +∞ ⇔ x = 0,
(2) v(xy) = v(x)v(y); ∀x, y ∈ W,
(3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}; ∀x, y ∈ W.
Không gian p-adic (Xem [8], [2])
Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic, được xác định
như sau:
Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên a = 0, ta có thể viết a = pv a ,
p không chia hết a . Số tự nhiên v được xác định duy nhất bởi a và p, cho
nên ta nhận được hàm
vp : Z∗ → Z+ , vp (a) = v.
Có thể mở rộng hàm vp lên trường các số hữu tỷ: với mọi x = a/b ∈ Q, đặt
vp (x) =

vp (a) − vp (b) nếu x = 0,
+∞

nếu x = 0.

Khi đó, chúng ta có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|p trên Q, xác định
bởi:
p−vp (x) nếu x = 0,
|x|p =
0
nếu x = 0.
Định lý 1.1 (Ostrowski [8]). Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương
đương với chuẩn p-adic hoặc chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường.
Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỷ Q. Mở rộng
theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R. Mở
rộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, ký hiệu là Qp .

Gọi Qp là bao đóng đại số của Qp . Tuy đóng đại số nhưng Qp không
đầy đủ theo tôpô không Acsimet. Ký hiệu Cp = Qp là trường mở rộng
đầy đủ của Qp theo tôpô không Acsimet, và được gọi là trường các số phức
p-adic.
Mệnh đề 1.2. Cp là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn không Acsimet.
Cp là không gian khả ly nhưng không compact địa phương.


10

1.2 Hàm phân hình p-adic
Định nghóa 1.2. Một chuỗi lũy thừa
∞

anz n ; an ∈ K,

f (z) =
n=0

hội tụ trên đóa D(0, ρ) được gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đóa ấy. Hàm
chỉnh hình p-adic trên toàn K được gọi là hàm nguyên p-adic.
Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm
chung trên một đóa. Khi đó hàm
ϕ=

f
,
g

được gọi là hàm phân hình p-adic trên đóa đó. Nếu f và g là các hàm nguyên

p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic.
Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình
trên K và hàm phân hình trên C là hàm phân hình.
Cho f là hàm chỉnh hình p-adic khác hằng số trên đóa D(0, ρ). Với
mỗi 0 < r < ρ, ta định nghóa hạng tử tối đại:
µ(r, f ) = max{|an |r n},
n≥0

tương ứng là chỉ số tâm:
ν(r, f ) = max{n : |an |r n = µ(r, f )}.
n≥0

Chúng ta quy ước
µ(0, f ) = lim+ µ(r, f ); ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ).
r→0

r→0

Bổ đề 1.1. Chỉ số tâm ν(r, f ) tăng lên khi r → ρ và thỏa mãn công thức
r

log µ(r, f ) = log |aν(0,f)| +
0

ν(t, f ) − ν(0, f )
dt + ν(0, f ) log r.
t

Bổ đề 1.2 (Định lý chuẩn bị Weierstrass). Cho f là hàm chỉnh hình trên đóa
D(0, ρ). Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f ) và một hàm

chỉnh hình p-adic g trên D(0, r) sao cho f = gP . Hơn nữa, g không có không
điểm trong D(0, r) và P có đúng ν(r, f ) không điểm kể cả bội trên D(0, r).


11

g
, với g, h là hai
h
hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên D(0, ρ). Ta định
nghóa
µ(r, g)
µ(r, f ) =
.
µ(r, h)
Cho hàm phân hình f trên D(0, ρ), thì khi đó f =

Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm phân hình trên D(0, ρ), khi đó
1
µ(r, f ) ≤ µ(r, f ).
r
Bổ đề 1.4. Với mỗi 0 < r < ρ và f, g là các hàm phân hình trên đóa D(0, ρ)
ta có:
(1) µ(r, f ) = 0 ⇔ f ≡ 0,
(2) µ(r, f g) = µ(r, f )µ(r, g),
(3) µ(r, f + g) ≤ max{µ(r, f ), µ(r, g)}.

1.3 Lý thuyết Nevanlinna p-adic
Một trong những vấn đề quan trọng nhất của lý thuyết hàm giải tích
là nghiên cứu các không điểm và cực điểm. Công trình quan trọng đầu tiên

trong hướng này là kết quả của Hadamard nói rằng, nếu f (z) là hàm chỉnh
hình trong mặt phẳng phức thì ta có bất đẳng thức sau đây: ``Số các không
điểm của f (z) trong hình tròn Dr ≤ log max |f (z)| + O(1)''. Bất đẳng thức
|z|≤r

trên cho ta một mối liên hệ giữa cấp tăng của hàm chỉnh hình với số không
điểm của nó. Có thể thấy rõ ý nghóa của định lý Hadamard khi xem nó
như là một sự tương tự siêu việt của định lý cơ bản của đại số nói rằng, số
nghiệm của một đa thức trên trường đóng đại số đúng bằng số bậc của đa
thức. Tuy nhiên định lý Hadamard có hai thiếu sót:
1. Thứ nhất, tồn tại các hàm giải tích, chẳng hạn f (z) = ez có cấp tăng
rất lớn, nhưng không có không điểm nào cả. Khi đó, định lý Hadamard
không cho một ước lượng dưới của cấp tăng.
2. Thứ hai, khi f (z) là hàm phân hình, vế phải của bất đẳng thức
Hadamard có thể trở thành vô hạn, và như vậy ta không thu được
cận trên của số các không điểm của hàm f (z).


12

Lý thuyết Nevanlinna ra đời nhằm khắc phục những thiếu sót này. Sau đây
là các khái niệm và kết quả chính của lý thuyết này.
Cho f là hàm chỉnh hình trên D(0, ρ). Với mỗi t ≥ 0, ta đặt n(t, f1 )
là số các không điểm kể cả bội của f trong D(0, t). Với mỗi 0 < r < ρ, ta
định nghóa hàm đếm các không điểm của f bởi công thức
N

1
r,
f

r

=

n(t, f1 ) − n(0, f1 )
t

0

dt + n 0,

1
f

log r.

Từ bổ đề 1.2 cho ta

1
= ν(r, f ).
f
Do đó, kết hợp với bổ đề 1.1 ta thu được công thức Poision-Jensen cho các
hàm chỉnh hình:
1
= log µ(r, f ) − log |an(0, f1 ) |.
N r,
(1.1)
f
n r,

Tương tự, chúng ta cũng đặt n
¯ (t, f1 ) là số các không điểm phân biệt của f
trong D(0, t) và định nghóa
N

r

1
r,
f

=

n
¯ t, f1 − n
¯ 0, f1
t

0

dt + n
¯ 0,

1
f

log r.

g

, với g, h là hai hàm
h
chỉnh hình không có không điểm chung trên D(0, ρ). Ta định nghóa n(t, f )
và hàm đếm các cực điểm N (r, f ) của f như sau:
Cho f là hàm phân hình trên D(0, ρ), khi đó f =

n(t, f ) = n t,

1
; N (r, f ) = N
h

r,

1
.
h

Áp dụng công thức (1.1) cho các hàm g và h, chúng ta nhận được công thức
Poision-Jensen cho các hàm phân hình:
N

r,

1
f

− N (r, f ) = log µ(r, f ) − Cf ,

trong đó Cf là hằng số chỉ phụ thuộc vào f .

Mệnh đề 1.3. Với mọi hàm phân hình f ta có
r

N (r, f ) =
0

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r.
t

(1.2)


13

Định nghóa 1.3 (Hàm xấp xỉ). Cho f là hàm phân hình trên D(0, ρ). Ta
gọi hàm m(r, f ) = log + µ(r, f ) = max{0, log µ(r, f )} là hàm xấp xỉ của f .
Nhận xét. Hàm xấp xỉ m(r, f ) đo độ lớn của tập hợp mà tại đó hàm f nhận
giá trị gần với ∞ trong hình tròn bán kính r.
Định nghóa 1.4 (Hàm đặc trưng). Cho f là hàm phân hình trên D(0, ρ).
Ta gọi hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) là hàm đặc trưng của f .
Mệnh đề 1.4. Hàm đặc trưng T (r, f ) là hàm tăng theo biến r và hơn nữa nếu
f là hàm phân hình trên K thì ta có lim T (r, f ) = ∞.
r→∞

Định lý 1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất). Giả sử r là một số thực dương, f là
hàm phân hình trên K và a ∈ K bất kỳ. Khi đó
T

r,

1
f −a

= T (r, f ) + O(1).

Định lý 1.3 (Định lý cơ bản thứ hai). Giả sử r là một số thực dương, f là
hàm phân hình khác hằng số trong K vaø a1 , a2, . . . , aq ∈ K(q ≥ 1) là các số
phân biệt. Khi đó
q

(q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) +

N r,

1
− NRam (r, f ) − log r + O(1)
f − ai

¯ r,
N

1
1
− N0 r,
f − ai
f

i=1
q

¯ (r, f ) +
≤N
i=1

− log r + O(1),

trong đó NRam (r, f ) = N (r, 1/f ) + 2N (r, f ) − N (r, f ) là hạng tử rẽ nhánh
và N0(r, 1/f ) là hàm đếm các không điểm của f khi f không nhận các giá
trị a1 , a2 , . . . , aq .
Định nghóa 1.5. Cho f là hàm phân hình trên K và a ∈ K ∪ {∞}. Ta đặt
δf (a) = lim inf
r→∞

1
m r, f−a

T (r, f )

Θf (a) = 1 − lim sup
r→∞

= 1 − lim sup

¯ r, 1
N
f−a
T (r, f )

1

N r, f−a

r→∞

, θf = lim inf
r→∞

T (r, f )

,

NRam (r, f )
.
T (r, f )

Định lý 1.4 (Quan hệ số khuyết). Giả sử f là hàm phân hình trên K. Khi
đó, tập hợp các phần tử a ∈ K ∪ {∞} sao cho Θ(a) = 0 là đếm được và hơn
nữa,
δf (a) ≤
Θf (a) ≤
δf (a) + θf ≤ 2.
a∈K∪{∞}

a∈K∪{∞}

a∈K∪{∞}


14

Bổ đề 1.5. Giả sử q ∈ N∗ , a ∈ K và f ∈ M(K) sao cho mọi không điểm của
1
f − a đều có bội lớn hơn hoặc bằng q. Khi đó Θf (a) ≥ 1 − .
q
1
1
1
≤ n r,
.
f −a
q
f −a
1
¯ r, 1
¯ r, 1
N
N
f−a
f−a
1 N r, f−a
1
≤
. Do đó lim sup
≤ .
Suy ra
r→∞
T (r, f )
q T (r, f )
T (r, f )
q

1
Vì vậy Θf (a) ≥ 1 − .
q
Chứng minh. Từ giả thiết của bổ đề, ta có n
¯ r,

Định lý 1.5. Với mọi

> 0 bất kỳ, luôn tồn tại f ∈ M(K) sao cho
Θf (a) ≥ 2 − .
a∈K∪{∞}

Chứng minh. Với mọi p, q ∈ N∗ ta đặt g = up , h = v q , trong đó u, v là các
g
hàm nguyên không có không điểm chung. Lấy f = ∈ M(K). Theo công
h
thức (1.2) và bổ đề 1.4 ta có T (r, f ) = max{T (r, g), T (r, h)} + O(1).
Áp dụng bổ đề 1.5 ta thu được
Θf (0) = 1 − lim sup
r→∞

¯ r, 1
N
f
T (r, f )

= 1 − lim sup
r→∞

¯ r, 1

N
g
T (r, f )

¯ r, 1
N
g

1
= Θg (0) ≥ 1 − ,
r→∞
T (r, g)
p
¯ r, 1
¯ (r, f )
N
N
h
Θf (∞) = 1 − lim sup
= 1 − lim sup
r→∞
r→∞
T (r, f )
T (r, f )
¯ r, 1
N
1
h
≥ 1 − lim sup
= Θh (0) ≥ 1 − .

r→∞
T (r, h)
q
≥ 1 − lim sup

Do đó
Θf (a) ≥ Θf (0) + Θf (∞) ≥ 2 −
a∈K∪{∞}

1 1
− .
p q

1 1
+ ≤ , khi đó ta sẽ có hàm phân hình f thỏa
p q
Θf (a) ≥ 2 − .

Chọn p, q đủ lớn sao cho
mãn
a∈K∪{∞}


15

Định lý 1.6. Tồn tại f ∈ M(K) sao cho

Θf (a) = 2.
a∈K∪{∞}

∞

∞

z i
z
Chứng minh. Lấy f (z) =
1 − i , g(z) =
1 − i , trong đó b ∈ K
b
b
i=1
i=1
sao cho |b| > 1. Theo hệ quả 1.25 trong [8], ta được f, g ∈ A(K), và hơn nữa
¯ r, 1 = N r, 1 . Ta có T (r, f ) = T r, 1 + O(1) = N r, 1 + O(1).
N
f
g
f
f
Do đó
Θf (0) = 1 − lim sup
r→∞

¯ r, 1
N
f
T (r, f )

= 1 − lim sup

r→∞

r,

1
f

≥ kN

r,

1
g

N r, f1

.

1
+ O(log r).
gk
N r, 1g
1
+ O(log r). Do đó lim sup
≤ .
r→∞
k
N r, f1

Với mọi k ∈ N∗ và r đủ lớn, ta sẽ thấy N

Suy ra N

N r, 1g

r,

1
f

≥N

r,

1
Vì vậy Θf (0) ≥ 1 − , ∀k ∈ N∗ . Cho k → ∞, ta phải có Θf (0) = 1.
k
Hơn nữa, do f ∈ A(K) nên Θf (∞) = δf (∞) = 1.
Tóm lại, ta coù 2 ≥
Θf (a) ≥ Θf (∞) + Θf (0) = 2.
a∈K∪{∞}

Do đó

Θf (a) = 2.
a∈K∪{∞}

Định lý 1.7. Tồn taïi f ∈ M(K) sao cho

δf (a) + θf = 2.
a∈K∪{∞}

Chứng minh. Lấy g là hàm chỉnh hình siêu việt trên K, tức là g ∈ A(K) −
1
K[z]. Khi đó, với r đủ lớn, ta có µ(r, g ) = µ(r, g). Suy ra
r
T (r, g ) = m(r, g ) = log µ(r, g) − log r
= m(r, g) + O(log r)
= T (r, g) + O(log r).
1
Xét hàm phân hình f = . Hệ thức Wronskian của f laø
g
W =

1 g
0 g

= g ∈ A(K).


16

Theo định lý 2.15 trong [8] ta có N

r,

1
W

= NRam (r, f ). Do đó

1
1
= T r,
= T (r, g ) + O(1)
g
g
= T (r, g) + O(log r) = T (r, f ) + O(log r).

NRam (r, f ) = N

r,

Suy ra θf = 1. Mặt khác, ta có δf (0) = δg (∞) = 1.
Với mọi a ∈ K ∪ {∞}, a = 0 ta coù δf (a) = δg (a−1) = 0.
Do đó
δf (a) + θf = δf (∞) + θf = 2.
a∈K∪{∞}

Từ các kết quả trên, chúng ta có thể khẳng định số ''2'' trong bất đẳng
thức quan hệ số khuyết là số nhỏ nhất có thể chọn được.
Định lý 1.8. Với mọi δ ∈ [0, 1], luôn tồn tại f ∈ M(K) và a ∈ K ∪ {∞} sao
cho δf (a) = δ.
Chứng minh. Nếu f ∈ A(K) thì δf (∞) = 1 và δf (a) = 0, ∀a ∈ K.
Với mọi δ ∈ (0, 1) ta đặt
∞

g(z) =
i=1

z

1 − a i , h(z) =
b

∞

1−
i=1

z
i

b[ 1−δ ]

.

Trong đó a, b ∈ K thỏa mãn |a| = 1, a = 1 vaø |b| > 1, [x] là số nguyên
lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x. Gọi n là số nguyên i lớn nhất sao cho
n
i
i
n
log |b| ≤ log r. Khi đó µ(r, h) = r
|b|−[ 1−δ ] . Suy ra
1−δ
i=1
n

log µ(r, h) = n log r −
i=1

Áp dụng bổ đề 6.3 trong [5] với

i
log |b|.
1−δ

= 1 − δ và ρ =

log r
ta thu được
log |b|

(log r)2
+ O(log r).
log µ(r, h) = (1 − δ)
2 log |b|
Tương tự, ta cũng tính được
log µ(r, g) =

(log r)2
+ O(log r).
2 log |b|


17

Theo hệ quả 1.25 trong [8], ta được g, h ∈ A(K), hơn nữa dễ thấy g, h
không có không điểm chung, nên áp dụng công thức (1.2) và bổ đề 1.4 với
g
ϕ = ∈ M(K), ta có

h
N (r, ϕ) = N

r,

1
h

= (1 − δ)

(log r)2
+ O(log r),
2 log |b|

(log r)2
+ O(log r).
T (r, ϕ) =
2 log |b|
Do đó
δϕ (∞) = 1 − lim sup
r→∞

Choïn f = a +

N (r, ϕ)
= δ.
T (r, ϕ)

1
, khi đó δf (a) = δϕ (∞) = δ.

ϕ

Trong cách xây dựng hàm f trong định lý 1.8, chúng ta thấy hàm ϕ
chỉ có các cực điểm đơn, do đó Θϕ (∞) = δϕ (∞). Vì vậy, ta có kết quả sau
đây.
Định lý 1.9. Với mọi Θ ∈ [0, 1], luôn tồn tại f ∈ M(K) vaø a ∈ K ∪ {∞} sao
cho Θf (a) = Θ.

Kết luận chương 1
Nội dung của chương 1 là trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích
p-adic. Đặc biệtlà lý thuyết Nevanlinna p-adic, với hai định lý cơ bản. Lý
thuyết này chính là một sự mở rộng định lý cơ bản của đại số. Lý thuyết
Nevanlinna p-adic là công cụ chủ yếu của chúng tôi trong công việc nghiên
cứu các vấn đề về đa thức duy nhất và song tập xác định duy nhất kiểu
(1, n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Trong chương này, các kết quả của định lý 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 và 1.9 là các
kết quả mới của chúng tôi. Những kết quả này bổ sung và khẳng định đánh
giá số khuyết của Nevanlinna là tốt nhất.


18

Chương 2
Đa thức duy nhất
Khái niệm đa thức duy nhất được đưa ra lần đầu tiên bởi P. Li và C.
C. Yang ([12]) năm 1995. Trong bài báo đó các tác giả đã chứng minh được
rằng, mọi đa thức lấy hệ số trên C bậc bé hơn 5 không phải là đa thức duy
nhất yếu (do đó cũng không phải là đa thức duy nhất mạnh) và họ đưa ra
nhận xét rằng không dễ để có thể khẳng định một đa thức có phải là đa
thức duy nhất hay không. Gần đây, B. Shiffman ([14]) đã đưa ra một điều

kiện đủ tổng quát cho một đa thức phức là đa thức duy nhất. Sau đó, H.
Fujimoto ([7]) cũng đưa ra những điều kiện đủ để một đa thức phức là đa
thức duy nhất mạnh. Đối với trường không Acsimet, năm 2001, bằng cách
sử dụng các ước lượng hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thị Hoài An
([9]) đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức là đa thức duy nhất yếu và mạnh
cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet K. Sau đó, đến năm
2002, J. T-Y. Wang ([16]) đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để lớp các đa thức
thỏa mãn điều kiện tách nghiệm là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho các
hàm phân hình trên trường không Acsimet, đặc số p ≥ 0 bất kỳ.
Định nghóa 2.1. ([9]) Một đa thức khác hằng số P (z) ∈ W[z] được gọi là đa
thức duy nhất yếu cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều
kiện P (f ) = P (g) thì f = g. Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa
thức duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số
khác không c ∈ W thỏa mãn điều kiện P (f ) = cP (g) thì c = 1 và f = g.
Trong chương này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các điều kiện
cần và điều kiện đủ để một đa thức lấy hệ số trên W là đa thức duy nhất
yếu (mạnh). Trong suốt phần này, chúng ta luôn giả sử rằng P (z) ∈ W[z] là
một đa thức monic bậc q ≥ 1. Ta vieát
P (z) = q(z − d1 )q1 (z − d2 )q2 . . . (z − dk )qk ,


19

trong đó q1 + q2 + · · · + qk = q − 1, di = dj ; ∀i = j và k được gọi là chỉ số đạo
hàm của P .
Định nghóa 2.2. ([1])
• Đa thức P (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (H) nếu
P (di ) = P (dj ); ∀i = j.
• Đa thức P (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (G) neáu
P (d1 ) + P (d2) + · · · + P (dk ) = 0.

2.1 Các trường hợp đặc biệt
• Nếu q = 1 thì P (z) = z + a. Khi đó P (f ) = P (g) ⇒ f + a = g +
a ⇒ f = g. Do đó P là đa thức duy nhất yếu cho F . Tuy nhieân,
P (f ) = cP (g) ⇒ f = cg + (c − 1)a, do đó P không là đa thức duy nhất
mạnh cho F .
• Nếu q = 2 thì P (z) = z 2 + az + b. Với bất kỳ hàm khác hằng số f ∈ F ,
đặt g = −f − a, khi đó P (f ) = P (g) nhưng f = g. Do đó, P không
là đa thức duy nhất yếu (do đó cũng không là đa thức duy nhất mạnh)
cho F .
Định lý 2.1. Nếu q = 3 thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho
M(W).
Chứng minh. Giả sử P (z) = z 3 + az 2 + bz + c. Đặt Q(z) = P (z + d), khi đó
Q(z) = z 3 + (a + 3d)z 2 + (3d2 + 2ad + b)z + d3 + ad2 + bd + c.
Choïn d ∈ W sao cho 3d2 + 2ad + b = 0. Khi đó Q(z) sẽ có dạng
Q(z) = z 3 + a1z 2 + a2.
Nếu a1 = 0 thì ta chọn f = h và g = ξh, với h ∈ M∗ (W) bất kỳ và
ξ 3 = 1, ξ = 1. Nếu a1 = 0 thì ta chọn
f (z) = −a1

1+z
z2 + z + 1

vaø

g(z) = −a1

z + z2
.
z2 + z + 1

20

Trong mọi trường hợp, ta dễ dàng kiểm tra được Q(f ) = Q(g), nhưng f = g.
Lấy f = f + d, g = g + d. Khi đó f , g ∈ M(W) vaø f = g . Nhưng ta có
P (f ) = P (f + d) = Q(f ) = Q(g) = P (g + d) = P (g ).
Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W). Do đó P cũng không là
đa thức duy nhất mạnh cho M(W).
Định lý 2.2. Nếu k = 1 thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho F .
Chứng minh. Giả sử k = 1, khi đó q ≥ 2 và P (z) = q(z − d)q−1 . Suy ra
P (z) = (z − d)q + c, với d, c ∈ K và c = 0. Với bất kì hàm khác hằng số
f ∈ F và hằng số ξ = 1 sao cho ξ q = 1. Đặt hàm g = ξf + (1 − ξ)d. Dễ
dàng kiểm tra được P (f ) = P (g), nhưng f = g. Do đó P (z) không thể là
đa thức duy nhất yếu (do đó cũng không là đa thức duy nhất mạnh).
Định lý 2.3. Nếu k = 2 và min{q1 , q2 } = 1 thì P không là đa thức duy nhất
yếu và mạnh cho M(W).
Chứng minh. Giả sử k = 2 và min{q1 , q2 } = 1, khi đó q ≥ 3 vaø
P (z) = q(z − d1 )(z − d2 )q−2 .
Suy ra
P (z) = (z − d2 )q +

q
(d2 − d1 )(z − d2 )q−1 + b.
q−1

Đặt Q(z) = P (z + d2 ), khi đó
Q(z) = z q + az q−1 + b,
với a =

q
(d2 − d1 ) = 0. Xét hai hàm phân hình
q−1
ϕq−1 − ψ q−1
ϕq−1 − ψ q−1
aϕ; g =
aψ,
f=
ψ q − ϕq
ψ q − ϕq

trong đó ϕ, ψ ∈ M(W), ϕ ≡ ψ.
Dễ dàng kiểm tra được Q(f ) = Q(g), nhưng f = g.
Laáy f = f + d2 , g = g + d2 . Khi đó f , g ∈ M(W) và f = g . Nhưng ta có
P (f ) = P (f + d2 ) = Q(f ) = Q(g) = P (g + d2 ) = P (g ).
Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W). Do đó P cũng không là
đa thức duy nhất maïnh cho M(W).


21

Từ các trường hợp đặc biệt đã xem xét ở trên, chúng ta có thể đưa ra một
điều kiện cần để một đa thức bất kỳ trên W là đa thức duy nhất yếu (mạnh)
cho M(W).
Hệ quả 2.1. Nếu P là đa thức duy nhất yếu cho M(W) thì q = 1 hoặc k ≥ 3
hoặc k = 2 và min{q1 , q2 } ≥ 2.
Hệ quả 2.2. Nếu P là đa thức duy nhất mạnh cho M(W) thì k ≥ 3 hoặc
k = 2 và min{q1 , q2 } ≥ 2.
Trong [2], chúng tôi phân tích khá rõ một số sự khác biệt của lý
thuyết Nevanlinna p-adic. Lý do cơ bản là chúng ta đang làm việc trên

trường không Acsimet, nên chắc chắn sẽ có một số tính chất đặc thù và dễ
dàng kiểm tra hơn khi xét trên trường số phức nói chung. Đối với đa thức
duy nhất trên trường không Acsimet chúng ta cũng có các tính chất khác
biệt mà trong trường số phức không có được. Cụ thể là mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1. ([16]) Các khẳng định sau là tương đương:
(1) P (z) là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho M(K).
(2) P (z) là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho trường các phân thức trên K.

2.2 Đa thức duy nhất yếu
Định lý sau đây cho ta biết một điều kiện đủ để đa thức P (z) ∈ W[z]
là đa thức duy nhất yếu.
Định lý 2.4. Giả sử P (z) ∈ W[z] là đa thức thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ
số đạo hàm k ≥ 3. Khi đó P (z) là đa thức duy nhất yếu cho M(W).
Để chứng minh định lý này, chúng ta cần một số khái niệm sau đây.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng số. Định nghóa hàm
χaf : K ∪ {∞} → Z,
xác định như sau:
Trường hợp a ∈ K:
χaf (z) =

0

nếu f (z) = a,

1

nếu f (z) = a.


22

Trường hợp a = ∞:
χ∞
f (z) =

−1 nếu z là cực điểm của f ,
0 trong các trường hợp còn lại.

Với điều kiện C cho trước, ta định nghóa
χ∗f |C (z)

=

χ0f (z) nếu z thỏa mãn điều kiện C và f (z) = dj ; ∀j,
0
trong các trường hợp còn lại.

Chứng minh. Giả sử tồn tại hai hàm phân hình khác hằng số f và g sao
cho P (f ) = P (g). Ta chứng minh f = g. Thật vậy, giả sử f = g. Đặt
ϕ=

1 1
− .
f g

Khi đó ϕ ≡ 0 và
T (r, ϕ) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + O(1).

(2.1)

Từ giả thiết P (f ) = P (g) chuùng ta suy ra f và g có cực điểm với cùng bội.
∞
Do đó χ∞
f (z) = χg (z).
Mặt khác, từ giả thiết P (f ) = P (g) ta coù f (z)P (f (z)) = g (z)P (g(z)). Do
P thỏa mãn điều kiện (H) nên nếu f (z) = dj (1 ≤ j ≤ k) thì g(z) = dj hoặc
g (z) = 0. Vì vậy, ta có bất đẳng thức
d

χf j (z) ≤ χdg j (z) + χ∗g |f=dj (z).
Điều này kéo theo
k

k
d
χf j (z) −

χ∞
f (z)

χdg j (z) + χ∗g |f=dj (z) − χ∞
g (z)

≤

j=1

j=1
k

≤

χ0ϕ (z)

χ∗g |f=dj (z).

+
j=1


23

Áp dụng định lý cơ bản thứ hai cho hàm f và các giá trị d1 , d2 , . . . , dk ta coù
k

(k − 1)T (r, f ) ≤

N

r,

j=1

1
f − dj

+ N (r, f ) − N0 r,

1
f

− log r + O(1)
≤ N

1
r,
ϕ

k

N0 r,

1
g

|f=dj − N0 r,

1
f

N0 r,

1
g

|f=dj − N0 r,

1
f

+
j=1

− log r + O(1)
≤ T

1
r,
ϕ

k

+
j=1

(2.2)

− log r + O(1).
Mặt khác, theo định lý cơ bản thứ nhất ta có
T

r,

1
ϕ

= T (r, ϕ) + O(1).

Do đó, bất đẳng thức (2.2) trở thành
k

(k − 1)T (r, f ) ≤ T (r, ϕ) +

N0 r,
j=1

1
g

|f=dj − N0 r,

1
f
(2.3)

− log r + O(1).
Đối với hàm g ta cũng có bất đẳng thức tương tự
k

(k − 1)T (r, g) ≤ T (r, ϕ) +

N0 r,
j=1

1
f

|g=dj − N0 r,

1

g
(2.4)

− log r + O(1).

Cộng các bất đẳng thức (2.3), (2.4) và kết hợp với bất đẳng thức (2.1) ta có:
(k − 1) (T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 2 (T (r, f ) + T (r, g))
k

+

N0 r,

1
g

|f=dj − N0 r,

1
g

N0 r,

1
f

|g=dj − N0 r,

1
f

j=1
k

+
j=1

−2 log r + O(1).


24

Dễ dàng nhận thấy:
k

N0 r,

1
g

|f=dj ≤ N0 r,

1
g

,

N0 r,

1

f

|g=dj ≤ N0 r,

1
f

.

j=1
k

j=1

Do đó, ta có
(k − 3) (T (r, f ) + T (r, g)) ≤ −2 log r + O(1).
Cho r → ∞ ta thu được k < 3, mâu thuẫn.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.4 chỉ cho chúng ta các điều kiện đủ để một đa thức là đa
thức duy nhất yếu cho M(W). Các điều kiện đó chưa phải là điều kiện cần
và đủ, tức là có tồn tại các đa thức duy nhất yếu cho M(W) nhưng không
thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.4. Ví dụ sau đây sẽ cho chúng ta thấy
rõ điều này.
Ví dụ. (Xem [8]) Xét đa thức
Fn,b(z) =

(n − 1)(n − 2) n
n(n − 1) n−2
z − n(n − 2)z n−1 +
z

+ b.
2
2

Khi đó

n(n − 1)(n − 2) n−3
z (z − 1)2,
2
Fn,b có chỉ số đạo hàm k = 2 vaø Fn,b(0) = b, Fn,b(1) = b + 1, tức là Fn,b vẫn
thỏa mãn điều kiện (H).
Fn,b(z) =

Mệnh đề 2.2 ([8]). Nếu n ≥ 6 thì Fn,b là đa thức duy nhất yếu cho M(W).

2.3 Đa thức Yn,m
Trong [8], các tác giả đã đưa ra đa thức
Yn,m (z) = z n − az m + b,
trong đó n, m ∈ Z+ , n > m) và đồng thời khẳng định với n ≥ m + 2, đa
thức Yn,m là đa thức duy nhất yếu cho M(K) nếu một trong hai điều kiện
sau thỏa mãn


25

(i) (n, m) = 1, n >

1
5+
2

17 + 4m(m − 3) ,

(ii) (n, m) = 1, m = n − 2 ≥ 3.
Sau đó, các tác giả có đặt ra một câu hỏi: ``Có phải đa thức Yn,n−1 là đa thức
duy nhất yếu cho M(K) khi n ≥ 5?''. Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu
trả lời phủ định cho câu hỏi trên.
Định lý 2.5. Với mọi n ≥ 2 đa thức Yn,n−1 không là đa thức duy nhất yếu cho
M(K).
Chứng minh. Xét hai hàm phân hình:
f=

ϕn−1 − ψ n−1
ϕn−1 − ψ n−1
aϕ,
g
=
aψ,
ϕn − ψ n
ϕn − ψ n

trong đó ϕ, ψ ∈ M(K), ϕ ≡ ψ.
Dễ thấy f = g. Tuy nhiên, ta lại có Yn,n−1 (f ) = Yn,n−1 (g).
Vì vậy, Yn,n−1 không là đa thức duy nhất yếu cho M(K).
Hiển nhiên, khi đó Yn,n−1 cũng không là đa thức duy nhất mạnh cho
M(K).
Bây giờ, chúng ta sẽ xét tất cả các giá trị m, n sao cho Yn,m là đa thức
duy nhất yếu cho M(K). Một vấn đề đặt ra là cần phải thêm các điều kiện
nào của m, n để cho Ym,n cũng sẽ là đa thức duy nhất mạnh cho M(K).
Định lý sau đây là câu trả lời cho vấn đề này.

Định lý 2.6. Nếu m, n là các giá trị sao cho Yn,m là đa thức duy nhất yếu cho
M(K) và hơn nữa 2m ≥ n + 3 thì Yn,m là đa thức duy nhất mạnh cho M(K).
Chứng minh. Giả sử có hai hàm f, g ∈ M∗ (K) và hằng số khác không c ∈ K
sao cho Yn,m (f ) = cYn,m (g). Ta cần chứng minh f = g. Đặt
1
c
h1 = − f m (f n−m − a), h2 = g m (g n−m − a).
b
b
Khi đó, từ đẳng thức Yn,m (f ) = cYn,m (g), ta coù h1 + h2 = 1 − c.
Nếu c = 1 và chú yù raèng T (r, f ) = T (r, g) + O(1) thì theo định lý cơ bản