BỔ TRỢ LƯỢNG GIÁC ( MỚI NHẤT )

PHẦN MỘT :
Nhớ:
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
M
cos
cotg
sin tg
P
Q
O
K
H
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
Cô nằm , sin đứng
α
Nhắc lại kiến thức đã học
sin đi học
cứ khóc hoài
thôi đừng khóc
có khó đâu


Chỉ áp dụng cho tam giác vuông

B A
C
cứ khóc hoài
sin đi học
thôi đừng khóc
có khó đâu
sin
cos

cotg

tg

OP
Giá trị đại số của OP
Khi điểm M di chuyển trên đường (O) với bán kính
bằng 1 đơn vị, hình chiếu vuông góc của M lên trục
cos là P có thể nằm về phần âm hay dương của trục
tính từ tâm O.
Vì vậy, GIÁ TRỊ ĐẠI SỐ có thể âm hay dương
Lưu ý:
1
OP
2
OP
>
<
0 0
1
P

2
P
0
tg
α
cos
α
OQ
OM
1
AHAH
OA
OQ
sin
α
AH
1
OQ
=
OP
PM
OM
1
OP
1
BK
OP
OM
BK
OB

cot g
α
BK
Vận dụng vào tam giác OPM vuông tại P:
Xét tam giác OBK vuông tại B :
Xét tam giác OAH vuông tại A :
= = =
= = =
=
=
=
=
= =
O P
M
α
O
H
A
α
α
O
B K
M
cos
cotg
sin tg
P
Q
O

K
H
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
tg
α
=
PM
OP
OQ
OP
sin
cos
α
α
cot g
α
OP
PM
OP
OQ
cos

sin
α
α
=
=
tg
α
= =
=
cot g
α
O P
M
α
Q
α
Đối với trục tg ta nhớ gốc đặt tại A , chiều dương hướng theo
chiều mũi tên
Đối với trục cotg ta nhớ gốc đặt tại B , chiều dương hướng theo
chiều mũi tên
Xét tam giác OPM vuông tại P :
M
cos
cotg
sin tg
P
Q
O
K
H

+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
OP
OQ
>
0
M thuộc ptư I:
0
0
0
sin 0
α
>
0tg
α
>
0cotg
α
>
AH
BK
>

cos 0
α
>
>
>
0
2
π
α
< <
M di chuyển trên cung
»
AB
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
0
M thuộc ptư II:
0

0
0
sin 0
α
>
>
1
P
1
Q
cos 0
α
<
1
OP
1
OQ
<
2
π
α π
< <
1
AH
1
BK
0tg
α
<
0cotg

α
<
<
<
1
H
1
K
M di chuyển trên cung
»
BA
′
M
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
>
0
M thuộc ptư III:

0
0
0
0tg
α
>
0cotg
α
>
>
cos 0
α
<
<
2
H
2
K
2
P
2
Q
sin 0
α
<
2
AH
2
BK
2

OP
2
OQ
3
2
π
π α
< <
M di chuyển trên cung
¼
A B
′ ′
<
M
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
M di chuyển trên cung
0

M thuộc ptư IV:
0
0
0
>
cos 0
α
>
<
0tg
α
<
0cotg
α
<
sin 0
α
<
3
H
3
K
3
Q
3
P
3
OP
3
OQ

3
AH
3
BK
3
2
2
π
α π
< <
»
B A
′
<
<
M
1
PM
2
cos
2
αsin
2
α
+
(sinα)
2

(cosα)
2

Xét tam giác OPM vuông tại P :
=
Một số công thức cơ bản :
Áp dụng định lý Pitago , ta có :
OP
2
OM
2
+
=
+
=
1
O P
M
α
OQ
2
+ OP
2
=
1
( * )
Chia 2 vế của pt (*) cho cos
2
α ≠ 0
2
2
sin
cos

α
α
+
2
2
cos
cos
α
α
=
2
1
cos
α
2
2
1
1
cos
tg
α
α
+ =
Chia 2 vế của pt (*) cho sin
2
α ≠ 0
2
2
sin
sin

α
α
2
2
cos
sin
α
α
2
1
sin
α
2
2
1
1
sin
cotg
α
α
+ =
+
=
.tg cotg
α α
=
sin
cos
α
α

cos
sin
α
α
=
1
Vi du : Ch ng minh ́ ̣́ ư
r ng :̀ă
3 2
3
sin cos
1
cos
x x
tg x tg x tgx
x
+
= + + +
Giai:̉
VT
=
sin cos
cos
x x
x
+
2
1
cos x
(1 )tgx+

2
(1 )tg x+
3 2
1tg x tg x tgx+ + +
VP
sin cos
cos cos
x x
x x
 
+
 ÷
 
=
=
2
(1 )tg x+
=
=
(đpcm)
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau độc lập với x
Gỉai:
E
=
4
3cos x
2 4
2cos cosx x−
4 6
3sin 2sinx x

+ −
4 4
3(cos sin )x x+
−
6 6
2(cos sin )x x
+
2 2 2 2 2 3 2 3
3[(cos ) (sin ) ] 2[(cos ) (sin ) ]x x x x
= + − +
2 2 2 2 2
3[(cos sin ) 2sin cos ]x x x x
= + −
2 2 4 4 2 2
2[(cos sin )(cos sin sin cos )]x x x x x x− + + −
2 2 2
3(1 2sin cos )x x= −
2 2 2 2 2 2 2
2.1.[(cos sin ) 2sin cos sin cos ]x x x x x x
− + − −
2 2 2 2 2
3 6sin cos 2(1 3sin cos )x x x x= − − −
2 2 2 2
3 6sin cos 2 6sin cos 1x x x x
= − − + =
4 2 4 2
cos (3 2cos ) sin (3 2sin )E x x x x
= − + −
=
Vậy E độc lập với x

Ví dụ : Tính cosx,tgx,cotgx. Biết :
Trả lời:
3
( 2 )
2
x
π
π
< <
2 2
sin cos 1x x+ =
2 2
cos 1 sinx x= −
2
1
1
7
 
= − −
 ÷
 
48
49
=
cos 0x >
48 48 4 3
cos
49 7 7
x = = =
sin

cos
x
tgx
x
=
1
7
4 3
7
−
=
1 7
7
4 3
 
= −
 ÷
 
1
4 3
= −
1
cotgx
tgx
=
1
1
4 3
=
−

4 3
1
1
 
= −
 ÷
 ÷
 
4 3= −
Ta có:
2
cos x
1
1
49
= −
Vì:
3
2
2
x
π
π
< <
1
sin
7
x = −

0
0
0
6
π
3
π
4
π
2
π
0
30
0
45
0
60
0
90
α
sin
α

cos
α
tg
α
cotg
α
0
1
2
3
4
4
3
2
1
0
0
3
3
1
3
3
1
3
3
0
HSLG
cos
cotg
sin tg

O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
sin 0
α
=
cos 1
α
=
0tg
α
=
cotg
α
=+∞
Các điểm đặc biệt khi M di chuyển trên đường
tròn lượng giác
M A≡
{
thì:
0
o

α
=
0( )rad
α
=
0 .2 .2k k
α π π
= + =
( )k ∈ ¢
Khi từ A, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về A, góc α
có giá trị là:
Hay :
hay
0 .360 .360
o o o
k k
α
= + =
·
0
o
AOM
=
O 1
A
cos
cotg
sin tg

O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
cos 1
α
= −
cotg
α
= −∞
M A
′
≡
{
sin 0
α
=
0tg
α
=
Khi từ A’, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về A’, góc α

có giá trị là:
thì:
·
180
o
AOA
′
=
0
180
α
=
( )rad
α π
=
Hay :
hay
0 0
180 .360k
α
= +
2k
α π π
= +
( )k ∈ ¢
O-1
A