THI CHON HSG TINH MÔN TOÁN 12 (10.11-VONG1)

Sở Giáo Dục & Đào Tạo NGhệ an

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi
học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT
năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Ngày thi: 07/10/2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (4,0 im).
Gii h phng trỡnh sau trờn tp s thc:

( )
2 2
2
1
5
57
4 3 3 1 .
25
x y
x x y x

+ =




+ = +

Cõu 2 (4,0 im).
Cho dóy s
( )
n
x
vi
( )
*
1 1
, 1 ,
n n n
x a x x x n
+
= = Ơ
.
Tỡm iu kin cn v ca a dóy s trờn cú gii hn hu hn.
Cõu 3 (4,0 im).
Cho tam giỏc nhn ABC cú phõn giỏc trong AD (D nm trờn cnh BC). Gi E, F ln
lt l hỡnh chiu ca D trờn AB, AC. Gi H l giao im ca BF v CE. Chng minh
rng AH vuụng gúc vi BC.
Cõu 4 (4,0 im).
Cho tam giỏc ABC cú din tớch S,
, ,BC a CA b AB c= = =
.
Chng minh rng:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3
b c a a c a b b a b c c

S
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + +
.
Cõu 5 (4,0 im).
Cho s nguyờn dng
2n
v tp
{ }
1; 2; 3; ... ;M n=
. Vi mi tp con A khỏc rng
ca M ta ký hiu
A
l s phn t ca tp A, minA v maxA tng ng l phn t nh
nht v ln nht ca tp A. Tớnh
( )
A M, A
minA maxA A

+

theo
n
.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:............................................................................................ Số báo danh:........................................
Tài liệu tích lũy : 2010 - 2011 Trang 1/ 5 Phan Anh C ơng
Đề chính thức

hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán (Ngày 07/10/2010)
----------------------------------------------
I. Hng dn chung
1. Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu trong ỏp ỏn m vn ỳng thỡ cho im tng
phn nh hng dn quy nh.
2. Vic chi tit hoỏ thang im (nu cú) so vi thang im trong Hng dn chm phi m
bo khụng sai lch vi Hng dn chm v c thng nht thc hin trong Hi ng
chm thi.
II. ỏp ỏn v thang im
CU P N IM
Cõu 1
(4,0 )
H phng trỡnh ó cho tng ng vi
2 2
2
5 5 1
57
4 3 3
25
x y
x x xy y

+ =


+ + + =

2 2
2 2
5 5 1
47
2 2 3 3
25
x y
x y xy x y

+ =



+ + + =


1.0
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
5 5 1
47
2 2 2 2
25
x y
x y x y x y x y

+ =

+ + + + =


1.0
t
2 ; 2a x y b x y= = +
H ó cho tr thnh

2 2
1
47
25
a b
ab a b

+ =


+ + =



( )
( )
2
2 1
94
2 2
25

a b ab
ab a b

+ =



+ + =



( )
( )
2
2
2 1
144
1
25
ab a b
a b

= +



+ + =


1.0

( )
7
5
12
25
17
5
132
25
a b
ab
a b
VN
ab


+ =







=

+ =







=




( )
3 4
; ( ; )
5 5
a b =
hoc
4 3
( ; )
5 5

( )
2 1
; ( ; )
5 5
x y =

hoc
11 2
( ; )
25 25
(tha món).
1.0
Cõu 2
(4,0 )
Nu
1a
<
hoc
2,a >
khi ú
2 3
2 ...x x< < <
. Gi s tn ti
lim ,
n
x c=
ta cú:
2
0c c c c= =
hoc
2c
=
(mõu thun). Suy ra
1 2a
.
1.0

(*) Ta chng minh nu tn ti
k
sao cho
0 1
k
x
thỡ dóy hi t. Tht vy:
1 2 3 4
1 1
0 1 0, 0 1, 0,0 1,...
4 4
k k k k k
x x x x x
+ + + +

Dóy
( )
2k l
x
+
n iu gim vỡ
( )
3
2 2 2 2 2
2 0
k l k l k l k l
x x x x
+ + + + +
=
. Vỡ vy tn ti

1.0
Tài liệu tích lũy : 2010 - 2011 Trang 2/ 5 Phan Anh C ơng
2
lim ,
k l
x c
+
=
ta có
3
( 2) 0c c c c c= + − ⇔ =
(vì
1c ≤
).
Mặt khác:
( )
2
2 1 2 2
lim lim 0
k l k l k l
x x x
+ + + +
 
= − =
 
. Vậy tồn tại
lim 0
n
x =
.

(**) Ta chứng minh nếu tồn tại
k
sao cho
0 2
k
x≤ ≤
thì dãy hội tụ. Thật vậy:
1
0 2 2
k k k
x x x
+
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
. Nếu
2 1
2
k k
x x
+ +
≤ ≤
.
Nếu
0,
k l
x l
+
≥ ∀
thì dãy
( )
k l

x
+
đơn điệu giảm và bị chặn dưới do đó hội tụ.
Nếu
0
k l
x
+
<
thì
1
0 1
k l
x
+ −
< <
. Theo chứng minh (*) dãy
( )
n
x
hội tụ.
1.0
Từ đó,
0 2a≤ ≤
thì
1
0 2x≤ ≤
suy ra dãy có giới hạn.
Nếu
2

1 0 0 2,a x− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
suy ra dãy có giới hạn.
Vậy điều kiện cần và đủ để dãy có giói hạn là
1 2a− ≤ ≤
.
1.0
Câu 3
(4,0 đ)
Gọi K là hình chiếu của A trên BC.
0.5
Vì K, E, F theo thứ tự thuộc các đoạn BC, CA, AB nên:

KB FC EA KB FC EA
KC FA EB
KC FA EB
=−
.
0.5
Từ giả thiết ta có EA = FA; ED = FD, do đó:

cot tan cot tan 1
KB FC EA KB KA FC ED
B C C B
KA KC FD EB
KC FA EB
=− = − =−
.
1.5
Vậy theo định lý Ceva, với chú ý AK, BF, CE không thể đôi một song song, ta có
AK, BF, CE đồng qui.

1.0
Điều đó có nghĩa là AK đi qua H. Vậy AH vuông góc với BC. 0.5
Tµi liÖu tÝch lòy : 2010 - 2011 Trang 3/ 5 Phan Anh C ¬ng
A
B
D
K
C
F
H
E
C
1
A
B
1
C
A
1
B
x
Câu 4
(4,0 đ)
Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:
Bổ đề 1: Với
, ,a b c
là ba cạnh của một tam giác có diện tích
S
thì:

2 2 2
2( ) 4 3ab bc ca a b c S+ + − − − ≥
.
Chứng minh: Vận dụng kết quả
( ) ( )
2
3x y z xy yz zx+ + ≥ + +
. Ta có
[ ]
2
( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 ( )( )( )p a p b p b p c p c p a p p a p b p c− − + − − + − − ≥ − − −
(với
2
a b c
p
+ +
=
)

( )( ) ( )( ) ( )( ) 3p a p b p b p c p c p a S⇒ − − + − − + − − ≥


2 2 2
2( ) 4 3ab bc ca a b c S⇒ + + − − − ≥
1.0
Bổ đề 2: Với
, ,a b c
là ba cạnh của một tam giác có diện tích
S
và

, ,x y z
là các số
thực dương. Ta luôn có

2 2 2
2 3
xa yb zc
S
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
.
Chứng minh:
Ta có
[ ]
( )
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c
y z z x x y a b c
y z z x z x
 
+ + + + + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 

2 2 2
2 2 2

2 2 2
2( )
xa yb zc
ab bc ca a b c
y z z x x y
⇒ + + ≥ + + − − −
+ + +
.
Áp dụng Bổ đề 1 ta có
2 2 2
2 3
xa yb zc
S
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
.
1.0
Trở lại bài toán:
Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp của các góc A, B, C của tam
giác ABC.
Ta có
( )
2

1
1 1 1 1
1 1 1
( )dt A BC a
A BC A B C
dt A B C x
 
∆ ∆ ⇒ =
 ÷
 
:
2
2 '
a
ar a
S x
 
⇒ =
 ÷
 

(trong đó
1 1 1 1 1
, ' ( )B C x S dt A B C= =
và
a
r
là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A).
1.0
Tµi liÖu tÝch lòy : 2010 - 2011 Trang 4/ 5 Phan Anh C ¬ng

2 2 2
( ) ( ) ( )
'( ) '( )
a a
b c a a ar b c a x r p a ax
b c S b c S b c
+ +
= =
+ + +
2 2
( )
'
b c a a S ax
b c S b c
+
=
+ +
Tng t
2 2
( )
,
'
c a b b S by
c a S c a
+
=
+ +
2 2
( )
'

a b c b S cz
a b S a b
+
=
+ +
vi
1 1 1 1
,C A y A B z= =
.
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
'
b c a a c a b b a b c b S ax by cz
b c c a a b S b c c a a b

+ + +
+ + = + +

+ + + + + +

.
p dng B 2, i vi tam giỏc A
1
B
1
C
1
ta cú

2 2 2

2 ' 3
ax by cz
S
b c c a a b
+ +
+ + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3
b c a a c a b b a b c c
S
b c a c a b
+ + +
+ +
+ + +
(pcm).
Du bng xy ra khi v ch khi tam giỏc ABC u.
1.0
Cõu 5
(4,0 )
Vi mi
1 k n
,
t
{ }
k
E A M A k= =
v
( )
min ax

k
k
A E
x A m A A

= +

.
Khi ú
1
n
k
k
T x
=
=

1.0
Vi mi
{ }
1 2
; ;...;
k k
A a a a E=
t
{ }
*
1 2
1 ; 1 ;...; 1
k

A n a n a n a= + + +
.
Ta cú
( )
*
* *
,
k
A E A A =
{ } { }
*
,
k
E A M A k A A M A k = = = =
( )
* *
2 min ax min ax 2
k
k
A E
x A m A A m A A

= + + +

1.0
Gi s
1
min , ax
k
A a m A a= =

. Khi ú
* *
1
min 1 , ax 1
k
A n a m A n a= + = +
.
Do ú
* *
min ax min ax 2 2( 1) 2A m A A m A A n k+ + + = +
( ) ( )
2 2 1 2 1
k
k
k n
A E
x n k n k C

= + = +

( )
1
k
k n
x n k C = +
.
1.0
( )
1
1

n
k
n
k
T n k C
=
= +

.
Ta cú
( ) ( )
1 1
0 0
1 ( 1) ( 1) 1
n n
n
k n k n n k n k
n n
k k
x x C x x nx x n k C x
+
= =
+ = + + + = +

.
Thay
1x=
, ta cú
( )
1

0
2 .2 1 1
n
n n k
n
k
n n k C n T

=
+ = + = +

.
Vy
1
2 .2 1
n n
T n n

= +
.
1.0
- - - Hết - - -
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Tài liệu tích lũy : 2010 - 2011 Trang 5/ 5 Phan Anh C ơng