Đề và hướng dẫn chấm thi HSG cấp huyện

Đề thi học sinh giỏi huyện khối 9
Năm học 2010 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
---------------------------
Câu1:
Cho biểu thức: P =








+


+

+

6
9
3
2
2
3
:
9
3
1
xx
x
x
x
x
x
x
xx
a) Tìm điều kiện và rút gọn P
b) Tìm x để P > 1.
Câu2:
a/ Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh
9
16

+
abc

ba
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
22
2
22
2
)()( baa
b
bab
a
++
+
++
Câu3:
1. Cho a =
2
26
+
và b =
2
26

. Tính S =
55
11
ba
+
.
2. Tìm nghiệm nguyên dơng của:
z

yx
=+
11
Câu4:
Cho tứ giác ABCD có AB =
3
, BC = 3, CD = 2
3
, DA = 3
3
và

A =
60
0
.
Tính các góc còn lại của tứ giác ABCD ?
Câu5:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB =
2
3
AD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE
cắt đờng thẳng DC tại F. Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN
vuông góc với AE. Đờng phân giác của

DAE cắt CD tại P. Chứng minh
rằng:
a) MN =
3
2

BE + DP.
b)
222
9
411
AFAEAB
+=
.
------------------------
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện khối 9
1
1
N¨m häc 2010 – 2100
M«n To¸n
Câu1:
Tổng 5
điểm
a) Tìm đợc điều kiện xác định của P là: x > 0, x

4, x

9
Qui đồng và rút gọn đợc: P =
2
3

x

b) P > 1 =>
2

3

x
> 1 =>
2
3

x
- 1 > 0 =>
2
5


x
x
> 0
Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: 4 < x < 25 và x

9 thì P > 1
(Nếu quên không kết hợp với điều kiện thì trừ 1 điểm ở câu b)
1 điểm
2 điểm
1 điểm
1 điểm
Câu2:
Tổng: 4
đ
a/ (2đ) Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh
9
16

+
abc
ba
(1)
(1)

9(a+b)
abc16

Ta có
abcbacabba 16)(44)(
22
++
Ta chứng minh 9(a+b)

4c(a+b)
2

0)32(09124)3(49)(49
22
++
cccccbac
luôn đúng
Vậy 9(a+b)
abc16

Hay
9
16

+
abc
ba
2 điểm
b/ (2đ) B =
22
2
22
2
)()( baa
b
bab
a
++
+
++
Ta có (a+b)
2


2(a
2
+b
2
)
B

)(2)(2
222

2
222
2
baa
b
bab
a
++
+
++
=
22
2
22
2
23)32 ba
b
ba
a
+
+
+
B+2

22
222
22
222
23
23

32
32
ba
bab
ba
baa
+
++
+
+
++
= 3 (a
2
+b
2
)(
2222
23
1
32
1
baba
+
+
+
)
=
( ) ( )
[ ]

+
+
+
+++
2222
2222
23
1
32
1
2332
5
3
baba
baba
( )( )
( )( )
5
12
2332
1
2.23322.
5
3
2222

2222
=
++
++
baba
baba

B
5
2
2
5
12
=
Vậy B
5
2

Dấu = xảy ra khi a=b
2 điểm
Câu3
Tổng:
4đ
1. Theo bài ra ta có : a + b =
6
và ab = 1
Mà: S =
55
11
ba

+
=
55
55
ba
ba
+
= a
5
+ b
5
(vì ab = 1)
Mặt khác: a
5
+ b
5
= (a + b)
5
5(a
3
+ b
3
) -10a
2
b
2
(a + b)
Biến đổi và thay: a + b =
6
và ab = 1 vào đợc S = 11

6
2 điểm
2. 2. Ta có: x + y = xyz. Vì vai trò của x, y nh nhau nên giả sử : x

y
=> xy z = x + y

y + y = 2y => xz

2. Vì x, z nguyên dơng nên có thế xẩy
ra: x = 1, z = 1 hoặc x = 1, z = 2 hoặc x = 2, z = 1.
Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2)
1 điểm
1 điểm
Câu4:
Tổng:
2,5 đ