Bài giảng phương trình vi phân

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
BÀI 2A. MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
PGS. TS. NGUYỄN XN THẢO
•

•

Đặt vấn đề

Mơ hình tăng trưởng dân số

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
• Mục 1.4 xét phương trình vi phân dạng mũ dP = kP , có nghiệm dạng
dt
kt
P (t ) = P0e , như là một mô hình tốn học cho sự tăng trưởng dân số tự
nhiên, ở đó k = β − δ, β là tỉ lệ sinh, δ là tỉ lệ chết (cố định).

• Thực tế thường gặp các tỉ lệ sinh và tỉ lệ chết khơng phải là hằng số, khi
đó cần có mơ hình tốn nào?
II. MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
1. Phương trình tăng trưởng dân số

• Giả sử sự thay đổi dân số chỉ phụ thuộc vào sự sinh sản và sự diệt vong
(khơng tính đến các vấn đề di cư, nhập cư, mơi trường, ...).
• P(t) là hàm tăng trưởng dân số.
• Gọi β(t) là số lượng dân số được sinh ra trên một đợn vị thời gian tại thời
điểm t;
• δ(t) là số lượng dân số bị chết đi trên một đơn vị thời gian tại thời điểm t.
• Số lượng dân số được sinh ra và chết đi trong khoảng thời gian [t, t + Δt]
xấp xỉ là β(t).P(t).Δt và δ(t).P(t).Δt.

• ΔP ≈ β (t ).P (t ).Δt − δ (t ).P (t ).Δt .

•

ΔP
≈ [ β (t ) − δ (t )]. P (t )
Δt

• Cho Δt → 0 ta có

dP
= ( β ( t ) − δ ( t ) ) .P ( t )
dt

là phương trình tăng trưởng dân số tổng quát.

(1.1)


• Khi β(t) ≡ β, δ(t) ≡ δ ta có phương trình tăng trưởng dân số tự nhiên với
k = β − δ.
• Phương trình (1.1) thậm chí cịn chứa đựng khả năng khi β(t) và δ(t)
không được biết trước và có thể phụ thuộc vào ẩn hàm P(t).
Ví dụ 1. Giả sử số lượng cá sấu ban đầu là 100 con, biết rằng khơng có con
nào bị chết, tỷ lệ sinh là β = (0,0005)P (tính theo năm)

• Ta có phương trình tăng trưởng tổng qt
dP
= (0.0005)P 2 , P(0) = 100
dt

• Theo phương pháp tách biến có:
1

∫P
• −

2

∫

dP = (0.0005)dt ,

1
= (0.0005)t + C
P

• Thay điều kiện P(0) = 100, ta có C =
• Do đó P (t ) = −

• P (10) =

−1
100

2000
1
.
hay P (t ) =
0,0005t − 0,01
20 − t

2000
= 200 , tức là sau 10 năm đàn cá sấu tăng gấp đơi.
10

• P(15) = 400 con
• P(19) = 2000 con
• t → 20 sẽ có P → ∞, do đó xảy ra vấn đề bùng nổ dân số xuất hiện trong
20 năm.
2. Phương trình Logistic

• Trong một số trường hợp ta có tốc độ sinh giảm trong khi số lượng trong
quần thể lại tăng.
• Giả sử tốc độ sinh β(t) là một hàm giảm tuyến tính của số lượng trong
quần thể P, tức β = β0 − β1P, β0, β1 là những hằng số dương.
• Tốc độ chết khơng đổi là δ = δ0
• Phương trình tăng trưởng tổng qt có dạng


dP
= ( β0 − β1P − δ 0 )P;
dt

ở đó a = β0 − δ0 và b = β1.

Được gọi là phương trình logistic nếu a > 0 và b > 0.
• Cách viết khác:

dP
= kP (M − P ), trong đó k = b và M = a là các hằng số.

b
dt

dP
= kP (M − P ) thường được sử dụng trong mơ
dt
hình về một lượng dân số P(t) sống trong môi trường với khả năng thực thi M
(Lượng dân số lớn nhất mà mơi trường ấy có thể duy trì được trong một thời
gian dài).
Ví dụ 2. Phương trình Logistic

• Xét trường hợp khi k = 0,0004, M = 150 ta có
•

dP
= 0.06P − 0.0004P 2
dt

• Số dương 0,06P tương ứng với sự gia tăng tự nhiên với tốc độ hàng năm
là 6%
• Số âm: −0,0004P2 biểu thị sự hạn chế tăng trưởng do lượng tài nguyên
hữu hạn của mơi trường
•

dP
= 0,0004dt
P (150 − P )
dP
= 0.0004dt
P (150 − P )

•

∫

∫

•

1
1
1
( +
)dP = 0.0004dt
150 P 150 − P

∫

∫

• ln P − ln 150 − P = 150 ( 0,0004t + C1 )
• ln

P
0.06t + C
150 − P

•

P

= ±eC e0.06t
150 − P

•

P
= Be0.06t , β = ± ec.
150 − P

• Nếu bổ sung điều kiện: P(0) = P0 ≠ 150 thì ta có


P0
P0
= β e0,06t hay β =
150 − P0
150 − P0
• Thay vào ta có
P0e0.06t
P
=
.
150 − P 150 − P0
• P (t ) =

150P0
.
P0 + (150 − P0 )e −0.06t

Hình 1.7.2. Đường cong nghiệm cơ bản của phương trình logistic

P ' = 0.06P − 0.0004P 2 .
• Hình trên cho một số đường cong nghiệm tương ứng với những giá trị
khác nhau của dữ kiện ban đầu trong khoảng P0 = 20 đến P0 = 300.
• Các đường cong nghiệm đó đều tiệm cận với đường thẳng có phương
nằm ngang P =150 ( lim P (t ) = 150 , với dữ kiện ban đầu P0 > 0).
t →∞

3. Giới hạn dân số và khả năng chứa đựng

• Ta biết phương trình logistic
có nghiệm là P (t ) =

dP
= kP (M − P ), P (0) = P0
dt

MP0
.
P0 + (M − P0 )e − kMt

• Thơng thường số lượng động vật là số tự nhiên. Nếu P0 = M thì có
P(t) ≡ M, ∀ t.
• Nếu 0 < P0 < M thì từ (3.1) ta có


P ′(t ) =

−kMe −kMt (M − P0 )
> 0.

P0 + (M − P0 )e −kMt

• Do đó có hàm P(t) tăng, ngoài ra do (M − P0)e−kMt > 0 nên có
P (t ) =

MP0
MP0
<
= M.
− kMt
P0 + (M − P0 )e
P0

• Tương tự nếu P0 > M ta có P ′(t ) =

−kMe −kMt (M − P0 )
< 0.
P0 + (M − P0 )e −kMt

• Như vậy hàm P(t) giảm và do (M −P0)e−kMt < 0 dẫn đến
P0 + (M − P0)e−kMt < 0 nên có
• P (t ) =

MP0
MP0
>
=M.
− kMt
P0 + (M − P0 )e
P0

• Từ (3.1) ta có
lim P (t ) =
t →∞

MP0
= M.
P0 + 0

• Như vậy quần thể thỏa mãn phương trình logistic khơng tăng. Hơn nữa
quần thể sẽ xấp xỉ tới dân số tới hạn hữu hạn M khi t → +∞.

Hình 1.7.3. Đường cong nghiệm cơ bản của phương trình logistic

P ′ = kP (M − P ).
Từ hình ta có quần thể P(t) tăng ngặt và xấp xỉ từ dưới lên tới M nếu 0 < P0 < M,
còn khi P0 > M thì quần thể đó giảm ngặt và xấp xỉ từ trên xuống M. Số M được
gọi là khả năng chứa đựng của mơi trường, nó được xem như là quần thể cực
đại mà mơi trường có thể duy trì được trong một khoảng thời gian dài.


Ví dụ 3. Giả sử năm 1885 dân số của một quốc gia là 50 triệu và tốc độ tăng lúc
đó là 750,000 người trên năm. Vào năm 1940 dân số của quốc gia đó là 100
triệu và tốc độ tăng trưởng tương ứng là 1 triệu người trên năm. Giả thiết rằng
dân số của quốc gia đó tuân theo phương trình logistic. Hãy xác định số dân số
tới hạn M và dự đốn dân số vào năm 2000.

• Ta có phương trình logistic: dP = kP (M − P )
dt
• Từ

giả

thiết

P (1940) = 100 .

có

dP (1885) = 0,75 ,
dt

dP (1940) = 1 ,
dt

P (1985) = 50 ,

• Thay vào phương trình trên ta có hệ hai phương trình
⎧0.75 = 50k (M − 50)
⎨
⎩1 = 100k (M − 100).
• Giải hệ này ta có nghiệm M = 200, k = 0,0001. Như vậy dân số giới hạn
của quốc gia này là 200 triệu.
• Thay với t = 0 tương ứng với năm 1940, có P0 = 100 vào phương trình
(3.1), ta nhận được dân số vào năm 2000 là
P (60) =

100 . 200
100 + (200 − 100)e −(0.0001)(200)(60)

≈ 153.7 triệu người.
4. Sự kiện lịch sử

• Phương trình logistic được đưa ra (vào khoảng năm 1840) bởi nhà toán
học và nhân chủng học người Bỉ P.F. Verhulst và nó trở thành một mơ
hình cho sự tăng trưởng dân số.
• Trong hai ví dụ sau đây chúng ta so sánh mơ hình tăng trưởng tự nhiên
và mơ hình logistic cho dữ liệu điều tra dân số ở Mỹ vào thế kỷ 19, sau đó
đưa ra dự án so sánh cho thế kỷ 20.
Ví dụ 4. Dân số nước Mỹ vào năm 1800 là 5,308 triệu và vào năm 1900 là
76,212 triệu.

• Lấy P0= 5,308 (với t = 0 vào năm 1800) thế t = 100, P = 76,212 vào mơ
hình tăng trưởng tự nhiên P (t ) = P0e rt ta có

76,212 = 5,308e100 r


• r =

1
76.212
ln
≈ 0,026643 .
100 5,308

• Mơ hình tăng trưởng tự nhiên đối với dân số nước Mỹ trong suốt thế kỷ 19
là
P (t ) = (5,308)e(0,026643)t

(4.1)

(đơn vị t là năm và P là triệu).
• P1 ≈ 5,308. e0,026643 ≈ 2,7.
• Như vậy tốc độ tăng dân số trung bình trong những năm từ 1800 đến
1900 vào khoảng 2,7% trên năm.
Ví dụ 5. Dân số nước Mỹ năm 1850 là 23.192 triệu. Nếu lấy P0 = 5,308.

• Thế các dữ liệu t = 50, P = 23,192 (với thời điểm 1850) và t = 100,
P = 76212 (với thời điểm 1900) vào phương trình logistic (3.1) ta có hệ hai
phương trình
(5,308)M
= 23,192
5,308 + (M − 5,308)e −50 kM
(5.308)M
= 76,212
5,308 + (M − 5,308)e −100 kM
• Giải hệ này ta có M = 188,121, k = 0,000167716 .

• Thế vào (3.1) ta có
P (t ) =

Năm

Dân số
thực của
nước Mỹ

998,546
5,308 + (182,813)e −(0,031551)t

Mơ hình dân Sai số dạng
số dạng mũ
mũ

Mơ hình
logistic

(4.2)

Sai số
logistic

1800

5.308

5.308

0.000

5.308

0.000

1810

7.240

6.929

0.311

7.202

0.038

1820

9.638

9.044

0.594

9.735

-0.097

1830

12.861

11.805

1.056

13.095

-0.234

1840

17.064

15.409

1.655

17.501

-0.437

1850

23.192

20.113

3.079

23.192

0.000


1860

31.443

26.253

5.190

30.405

1.038

1870

38.558

34.268

4.290

39.326

-0.768

1880

50.189

44.730

5.459

50.034

0.155

1890

62.980

58.387

4.593

62.435

0.545

1900

76.212

76.212

0.000

76.213

-0.001

1910

92.228

99.479

-7.251

90.834

1.394

1920

106.022

129.849

-23.827

105.612

0.410

1930

123.203

169.492

-46.289

119.834

3.369

1940

132.165

221.237

-89.072

132.886

-0.721

1950

151.326

288.780

-137.454

144.354

6.972

1960

179.323

376.943

-197.620

154.052

25.271

1970

203.302

492.023

-288.721

161.990

41.312

1980

226.542

642.236

-415.694

168.316

58.226

1990

248.710

838.308

-589.598

173.252

76.458

2000

281.422

1094.240

-812.818

177.038

104.384

Hình 1.7.4. So sánh kết quả của mơ hình dạng mũ và mơ hình logistic với dân số thực của nước
Mỹ (tính theo triệu)

• Những dự đốn theo mơ hình dạng mũ (4.1) và theo mơ hình dạng logistic

(4.2) đối chiếu với kết quả thống kê dân số thực của Mỹ, ta thấy
- Cả 2 mơ hình đều cho kết quả tốt trong giai đoạn thế kỉ 19
- Mơ hình dạng mũ cho số liệu phân kỳ ngay từ thập niên đầu tiên của
thế kỉ 20, trong khi mơ hình logistic có kết quả tương đối tốt cho tới
tận những năm 1940.
- Đến cuối thế kỉ 20 mơ hình dạng mũ cho kết quả vượt quá xa dân số
thực của Mỹ, cịn mơ hình logistic lại cho số liệu dự đốn thấp hơn
số liệu thực.

• Sai số trung bình để đo mức độ cho phép của mơ hình hợp lí với dữ liệu
thực tế: là căn bậc hai của trung bình các bình phương của các sai số
thành phần.
• Từ bảng 1.7.4 trên được: mơ hình dạng mũ có sai số trung bình là 3.162,
cịn mơ hình logistic có sai số trung bình là 0.452. Do đó mơ hình logistic


dự đoán tốc độ tăng trưởng dân số nước Mỹ suốt thế kỷ 20 tốt hơn mơ
hình dạng mũ.
5. Một số ứng dụng khác của phương trình logistic

Phương trình logistic là một mơ hình tốn học tốt thể hiện qua minh hoạ những
tình huống khác nhau dưới đây
a) Trạng thái môi trường tới hạn (là nơi sinh sống của tối đa M cá thể).
• Ta giả thiết β − δ = k(M − P)
• Có phương trình

dP
dP
= ( β − δ )P hay
= kP (M − P ).

dt
dt

• Ví dụ kinh điển của trạng thái mơi trường tới hạn đó là quần thể sâu bệnh
trong một container kín.
b) Tình huống cạnh tranh. Nếu tốc độ sinh β là hằng số, tốc độ diệt vong
δ = αP
• Có phương trình

dP
dP
= ( β − α P )P hay
= kP (M − P ) .
dt
dt

• Điều này có lý khi nghiên cứu mơi trường của những quần thể ăn thịt
đồng loại (ở đó cái chết sẽ có thể xảy ra khi những cá thể chạm chán
nhau).
c) Trạng thái tỷ lệ chung. Trong một quần thể có số lượng khơng đổi M, gọi P(t)
là số các cá thể bị nhiễm một bệnh lây lan và không chữa được. Bệnh bị lan ra
do những cuộc gặp gỡ tình cờ.
• Khi đó P’(t) có thể tỷ lệ với tích của P cá thể mắc bệnh và M – P cá thể
không mang bệnh, như vậy
dP
= kP (M − P ).
dt
• Mơ hình tốn học là phương trình logistic (mơ tả sự lây lan trong số lượng
những cá thể M).
Ví dụ 6. Giả sử tại thời điểm t = 0, mười ngàn người trong một thành phố có số

dân M = 100 ngàn nhận được một tin đồn. Sau 1 tuần số người P(t) trong thành
phố đó biết tới tin đồn này lên tới P(1) = 20000. Giả sử P(t) thỏa mãn phương
trình logistic, khi nào sẽ có 80% dân số trong thành phố biết tới tin đồn này ?

• Thế P0 = 10 và M = 100 (ngàn) vào (3.1) ta có


P (t ) =

1000
10 + 90e −100 kt

(4.1)

• Thay t = 1 (tuần), P = 20, ta có
20 =
• e −100 k =

1000
10 + 90e −100 k

1
9
4
, hay k =
ln ≈ 0,008109 .
100 4
9

• Thay P(t) = 80 vào phương trình (4.1) có

80 =
• e −100 kt =

1000
,
10 + 90e −100 kt

1
ln36 ln36
⇒ t=
=
≈ 4,42
36
100k ln 9
4

• Như vậy sau 4 tuần và 3 ngày sẽ có 80% dân số trong thành phố biết tin
đồn này
5. Ngày tận thế chống lại Sự tuyệt chủng.

Xét một quần thể gồm các động vật hoang dã trong đó những con cái chỉ có duy
nhất một cơ hội gặp những con đực để có thể thực hiện trách nhiệm bảo tồn nịi
giống. Ta có cơ sở để hy vọng xuất hiện những cuộc gặp gỡ đó với tần suất tỷ
lệ với tích của P con đực và P con cái, tức là tần suất gặp gỡ tỷ lệ với P2. Từ
2
2
đó giả thiết rằng số con sinh ra với tần số là kP2 (trên một đơn vị thời gian,
k = const). Khi đó tốc độ sinh trưởng (số con sinh ra / thời gian / số lượng trong
quần thể) được cho bởi β = kP. Nếu tỷ lệ chết δ là hằng số thì phương trình
quần thể tổng quát (1.1) trở thành phương trình vi phân

•

dP
δ
= kP 2 − δ P = kP (P − M ) , M = > 0
dt
k

(5.1)

• Phương trình này như là một mơ hình tốn học của sự tăng trưởng dân
số.
• Vế phải trong phương trình (5.1) ngược dấu với vế phải trong phương
trình logistic.
• Hằng số M được gọi là ngưỡng số lượng cá thể trong một quần thể.
Ví dụ 7. Xét một quần thể động vật được mơ hình hóa bởi phương trình


dP
= 0,0004P (P − 150) = 0,0004P 2 − 0,06P
dt

(5.2)

Tìm P(t) nếu:
a)

P(0) = 200

b)

P(0) = 100.

• Giải (5.2) có
• −

∫

dP
= 0,0004dt
P (P − 150)

∫

1
1
1
( −
)dP = 0,0004dt
150 P P − 150

∫

∫

• ln P − ln P − 150 = −0,06t + C
•

P
= ±eC e −0,06t = Be −0,06t

P − 150

(B = ±eC )

(5.3)

a)
• Thay t = 0, P = 200 vào (5.3) ta có B = 4.
• Giải (5.3) có P(t) = 4.e−0,06t. (P − 150) hay P (t ) =

600e −0,06t
4e −0,06t − 1

ln 4
≈ 23,15, Đây là hiện tượng Ngày tận thế - trạng
0,06
thái bùng nổ dân số.

• Khi t tăng đến T =

b)
• Thay t = 0 và P = 100 vào (5.3) ta có B = −2.
• Giải (5.3) có P(t) = 2.e−0,06t. (P − 150) hay

300e −0,06t
300
P (t ) = −0,06t
=
2e
+ 1 2 + e0,06t

• P(t) → 0 khi t → +∞. Đây chính là sự tuyệt chủng.
• Như vậy số lượng cá thể của quần thể trong Ví dụ 7 có thể xảy ra hiện
tượng bùng nổ hoặc dẫn tới sự diệt vong tùy thuộc vào số lượng cá thể
ban đầu vượt quá hay không ngưỡng M = 150.


Hình 1.7.5. Đường cong nghiệm cơ bản của phương trình bùng nổ - tuyệt chủng

P ' = kP ( P − M ) .
• Hình trên cho các đường cong nghiệm cơ bản, nếu P0 = M thì số lượng cá
thể còn lại là hằng số, tuy nhiên trạng thái cân bằng này thường khơng
bền.
• Cịn khi P0 > M thì P(t) tăng nhanh, khơng bị chặn,
• Khi P0 < M thì P(t) thì nó giảm tương đối nhanh về 0.
Ghi nhớ.

1. Buổi sau học lí thuyết các mục: 2.1; 2.2; 2.3.
2. Tuần sau học bài tập các mục: 1.5; 1.6; 1.7.


Phương trình Vi phân
Bài 2B. Chương II. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp cao
PGS. TS. NGUYỄN XN THẢO
§ 2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
•
•
•
•

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Ứng dụng đặc trưng
Phương trình tuyến tính thuần nhất
Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng

1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
• Định nghĩa. G ( x, y , y ′, y ′′) = 0 , ở đó hàm G tuyến tính đối với các
biến y và các đạo hàm của nó là y ′ và y ′′ , tức ta có
G ( x, α y + β y, y ′, y ′′) = αG ( x, y , y ′, y ′′) + βG ( x, y, y ′, y ′′)
G ( x, y,α1y ′ + β1y ′, y ′′) = α1G ( x, y , y ′, y ′′) + β1G ( x, y, y ′, y ′′)
G ( x, y, y ′,α 2 y ′′ + β 2 y ′′) = α 2G ( x, y , y ′, y ′′) + β 2G ( x, y, y ′, y ′′),
∀α , β ,α1, β1,α 2, β 2.
• Do đó phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng
A( x ) y ′′ + B ( x ) y ′ + C ( x ) y = F ( x )
(1.1)
ở đó A( x ), B ( x ), C ( x ), F ( x ) là các hàm liên tục đã biết.
Ví dụ 1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
e x y ′′ + (cos x )y ′ + (1 + x )y = tan−1 x
Ví dụ 2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
y ′′ = yy ′ .
• Định nghĩa. (1.1) là phương trình tuyến tính khơng thuần nhất khi
F ( x ) ≡/ 0 , là phương trình tuyến tính thuần nhất nếu F ( x ) ≡ 0 .
• Trong các bài tốn ứng dụng, F ( x ) tương ứng với tác động bên
ngồi vào đó.

2. Ứng dụng đặc trưng
• Là mơ hình tốn học của những hệ cơ học và mạch điện.
• Phương trình mơ tả dao động tự do của chất điểm

d 2x

dx
+ kx = 0.
dt
dt
ở đó chất điểm có khối lượng m , các hằng số dương k, c .
• Phương trình mơ tả dao động cưỡng bức của chất điểm bởi tác động
của ngoại lực F (t ) :
m

d 2x

2

+c

dx
+ kx = F (t ).
dt
dt 2
3. Phương trình tuyến tính khơng thuần nhất
Để phương trình vi phân là mơ hình tốn tốt cho bài tốn tốn lí nào đó thì
nó phải có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện đầu tương ứng.
Định lí. (tồn tại và duy nhất nghiệm). Các hàm p ( x ), q ( x ) liên tục trên
khoảng mở I chứa điểm a , cho trước hai số b0 và b1. Khi đó phương trình
y ′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) có duy nhất nghiệm trong khoảng I thoả mãn
điều kiện y (a) = b0 , y ′(0) = b1.
m

+c

4. Phương trình tuyến tính thuần nhất
a) Định lí 1. (Nguyên lí chồng chất nghiệm).
• y1, y 2 là các nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất
y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = 0.
(3.1)
• Khi đó y = C1y1 + C2 y 2 cũng là nghiệm của (3.1), với các hằng số tuỳ
ý C1 và C2 .
• Chứng minh. Suy ra từ tính tuyến tính của phép tính vi phân.
Ví dụ 3. y ′′ + 4y = 0 có các nghiệm y1 = cos2x , y 2 = sin2x , nên
y = C1cos2x + C2 sin2x cũng là nghiệm.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng các hàm y1( x ) = e x , y 2 ( x ) = xe x là các
nghiệm của phương trình vi phân y ′′ − 2y ′ + y = 0 . Tìm một nghiệm thoả
mãn các điều kiện ban đầu: y (0) = 3, y ′(0) = 1.
• Dễ dàng kiểm tra được các hàm đã cho là nghiệm.
• Nghiệm tổng quát của phương trình là y = C1e x + C2 xe x .
• Thay vào các điều kiện đã cho có:
y (0) = C1 = 3
C1 = 3
⇔
C2 = −2
y ′(0) = C1 + C2 = 1

{

{

• Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu là y = 3e x − 2xe x .

b) Nghiệm tổng quát
• Định nghĩa. Các hàm f ( x ), g ( x ) xác định trên khoảng I được gọi là
độc lập tuyến tính trên I ⇔ ∃ k ∈» : f ( x ) = k. g ( x ), ∀ x ∈ I .
• Hai hàm khơng độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến
tính.
Định lí 2. Cho các nghiệm y1( x ), y 2 ( x ) độc lập tuyến tính trên I của
phương trình (3.1), khi đó:
• y = C1y1 + C2 y 2 là nghiệm tổng quát của (3.1).
Định lí 3. Cho các nghiệm y1( x ), y 2 ( x ) của phương trình (3.1) trên
khoảng mở I , các hàm p ( x ), q ( x ) liên tục.
o Nếu y1( x ), y 2 ( x ) phụ thuộc tuyến tính trên I thì
W ( y1, y 2 ) = 0, ∀ x ∈ I .
o Nếu y1( x ), y 2 ( x ) độc
W ( y1, y 2 ) ≠ 0, ∀ x ∈ I .

lập

tuyến

tính

trên

I

thì

y y2
ở đó W ( y1, y 2 ) = y1y 2′ − y1′ y 2 = 1′

y1 y 2′

•
•
•
•
•

Ví dụ 5. Xét phương trình vi phân y ′′ − 4y = 0
Có hai nghiệm độc lập tuyến tính là y1( x ) = e2x , y 2 ( x ) = e −2x .
Có nghiệm tổng quát là y = C1e2x + C2e −2x .
Có hai nghiệm độc lập tuyến tính khác là: cosh2x và sinh2x .
Có nghiệm tổng quát là y = a cosh2x + b sinh2x
Các nghiệm tổng quát này có thể biểu diễn qua nhau, chẳng hạn
2x
−2x
2x
−2x
y = a cosh2x + b sinh2x = a e + e
+ be − e
2
2
= a + b e 2x + a − b e −2x = C1e 2x + C2e −2x .
2
2

5. Phương trình tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
ay ′′ + by ′ + cy = 0 , a, b,c ∈ »
• Ta tìm một nghiệm dưới dạng y = e rx
• Thay vào ta có (ar 2 + br + c )erx = 0

⇔ ar 2 + br + c = 0

(5.1)

(5.2)


• Khi r0 là nghiệm của (5.2) thì có y = er0 x là nghiệm của (5.2)
Định lí 4.
• Nếu (5.1) có 2 nghiệm thực phân biệt r1 ≠ r2 thì có nghiệm tổng qt
(5.1) là y = C1er1x + C2e r2 x
• Nếu (5.2) có hai nghiệm trùng nhau: r1 = r2 thì có nghiệm tổng qt
(5.1) là y = (C1 + C2 x )er1x
• Nếu (5.2) có hai nghiệm phức thì nghiệm tổng quát (5.1) là
y = eα x (C1cos x + C2 sin x ) , ở đó r1,2 = α + i β

Ví dụ 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y ′′ − 5y ′ + 4y = 0
• Phương trình đặc trưng r 2 − 5r + 4 ⇔ r = 1 hoặc r = 4
• Nghiệm tổng quát: y = C1e x + C2e 4 x
Ví dụ 7. Giải phương trình y ′′ − 2y ′ + y = 0 với điều kiện
y ( 0 ) = 2 , y ′( 0 ) = 3
2

• Phương trình đăc trưng: r 2 − 2r + 1 = 0 ⇔ (r − 1) = 0 ⇔ r = 1
• Nghiệm tổng quát y = (C1 + C2 x )e x
• Thay vào điều kiện đầu ta có
y (0) = 2 ⇒ C1 = 2

y ′(0) = (C1 + C2 + C2 x )e x x =0 = 3 ⇒ C1 + C2 = 3 ⇒ C2 = 1.

• Nghiệm cần tìm: y = (2 + x )e x .

Ví dụ 8. Giải phương trình y ′′ + y = 0
• Phương trình đặc trưng: r 2 + 1 = 0 ⇔ r 2 = −1 ⇔ r = ± i
• Nghiệm tổng quát: y = C1cos x + C2 sin x .


§ 2.2. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
tuyến tính
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp n
• Phương trình khơng thuần nhất bậc cao
• Nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất cấp n

1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n
• Định nghĩa
P0 ( x )y ( n ) + P1( x )y ( n −1) + .... + Pn −1( x )y ′ + Pn ( x )y = F ( x )
Các hàm Pi ( x ), F ( x ) liên tục trên khoảng mở I .
• Khi P0 ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ I , phương trình trên có dạng
y ( n ) + p1( x )y ( n −1) + .... + pn −1( x )y ′ + pn ( x )y = f ( x )
• Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n là
y ( n ) + p1( x )y ( n −1) + .... + pn −1( x )y ′ + pn ( x )y = 0.

(1.1)

(1.2)
(1.3)

2. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất bậc cao
a) Nguyên lí chồng nghiệm
Định lí 1. Cho y1, y 2, ..., y n là các nghiệm của (1.3) trên khoảng I , khi

đó
y = C1y1 + C2 y 2 + ... + Cn y n
Cũng là nghiệm của (1.3) trên khoảng I , ở đó C1, C2, ..., Cn là các
hằng số.
Ví dụ 1.
• Xét phương trình bậc ba y (3) + 3 y ′′ + 4 y ′ + 12y = 0
• Có các nghiệm riêng:
y1( x ) = e −3 x , y 2 ( x ) = cos2 x , y 3 ( x ) = sin2 x
• Nghiệm tổng quát y ( x ) = c1e −3 x + c2cos2 x + c3 sin 2 x .

b) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lí 2.
• Các hàm p1, p2, ..., pn và f liên tục trên một khoảng mở I ∋ a .
• Cho trước các hằng số b0, b1, ..., bn −1
• Khi đó phương trình (1.2) có duy nhất nghiệm trên khoảng mở I thỏa
mãn các điều kiện ban sau


y (a ) = b0 , y ′ ( a ) = b1, …, y ( n −1) ( a ) = bn −1
(2.1)
Phương trình (1.2) với điều kiện (2.1) được gọi là bài toán giá trị ban
đầu cấp n .

Chú ý. Phương trình sau: x 2 y ′′ − 4xy ′ + 6y = 0 có hai nghiệm y1 = x 2,
y 2 = x 3 thoả mãn các điều kiện đầu y (0) = y ′(0) = 0 . Điều này khơng mâu
thuẫn với định lí duy nhất vì phương trình này khơng đưa về được (1.3) với
các hệ số liên tục trên khoảng mở chứa 0 .
c) Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
Định nghĩa. Các hàm f1, f2, ..., fn được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên
một khoảng I nếu có các hằng số ci , i = 1, n không đồng thời bằng 0 sao

cho
c1f1 ( x ) + c2f2 ( x ) + + cnfn ( x ) = 0, ∀ x ∈ I
(hay có ít nhất một hàm là tổ hợp tuyếnt ính của các hàm cịn lại)
Ví dụ 2. f1( x ) = sin 2 x , f2 ( x ) = e x , f3 ( x ) = sin x cos x là phụ thuộc tuyến
tính vì có c1 = 1, c2 = 0, c3 = −2 để có
1. f1 ( x ) + 0. f2 ( x ) − 2f3 ( x ) = 0, ∀ x

Định nghĩa. Các hàm f1, f2, ..., fn được gọi là độc lập tuyến tính trên
một khoảng I nếu từ
c1f1 ( x ) + c2f2 ( x ) + + cnfn ( x ) = 0, ∀ x ∈ I
luôn có c1 = c2 = ... = cn = 0
Định lí 3. Cho y1, y 2, ..., y n là các nghiệm của (1.3) trên khoảng I
• Nếu y1, y 2, ..., y n phụ thuộc tuyến tính trên I thì W ≡ 0, ∀ x ∈ I .
• Nếu y1, y 2, ..., y n độc lập tuyến tính thì trên I thì W ≠ 0, ∀ x ∈ I .
d) Nghiệm tổng quát
Định lí 4. Cho y1, y 2, ..., y n là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3)
trên khoảng mở I , các hàm pi liên tục. Khi đó
y = c1y1 + c2 y 2 + + cn y n
là nghiệm tổng quát của (1.3), ở đó c1, c2, ..., cn là các hằng số tuỳ ý.


Ví dụ 3. Giải phương trình y (3) + 3 y ′′ + 4 y ′ + 12y = 0 trong ví dụ 1, thoả
mãn điều kiện y (0) = 2, y ′(0) = 1, y ′′(0) = 5 .
• Đã biết trong ví dụ 1: Nghiệm tổng quát
y = C1e −3 x + C2 cos2x + C3 sin2x
• Thay vào điều kiện đầu ta có
=2
C1 + C2
13C1 = 13
C1 = 1

+ 2C3 = 1 ⇔ −3C1 + 2C3 = 1 ⇔ C2 = 1
−3C1
9
C
−
4
C
=5
 1
9C1 − 4C2 = 5
C3 = 2
2
• Nghiệm cần tìm: y = e −3 x + cos2x + 2sin2x .
3. Phương trình khơng thuần nhất bậc cao
a) Định nghĩa. Phương trình tuyến tính khơng thuần nhất cấp n
y ( n ) + p1( x )y ( n −1) + + pn −1( x )y ′ + pn ( x )y = f ( x )
(3.1)
b) Định lí 5. Cho y1, y 2, ..., y n là các nghiệm độc lập tuyến tính của
(3.1) trên khoảng mở I , các hàm pi ( x ) và f , i = 1, n liên tục.
• y p là nghiệm riêng của (3.1) trên I .
• Khi đó nghiệm tổng quát của (3.1) là
y = c1y1( x ) + c2 y 2 ( x ) + .... + cn y n ( x ) + y p ( x )

Ví dụ 4. Tìm nghiệm của phương trình y ′′ + 4y = 12x thoả mãn điều kiện:
y (0) = 5, y ′(0) = 7 .
• Phương trình đặc trưng r 2 + 4 = 0 ⇔ r 2 = −4 ⇔ r = ± 2i .
• Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1cos2x + C2 sin2x
• Dễ thấy y = 3 x là nghiệm riêng của phương trình đã cho
• Nghiệm tổng qt: y = C1cos2x + C2 sin2x + 3 x.

• Thay vào điều kiện đầu ta có
C1 = 5
C =5
•
⇔ 1
2C2 + 3 = 7
C2 = 2

{

{

• Nghiệm cần tìm: y = 5cos2x + 2sin2x + 3x .


§ 2.3. Phương trình tuyến tính thuần nhất
cấp cao với hệ số hằng
• Định nghĩa

• Nghiệm tổng quát

1. Định nghĩa. an y ( n ) + an −1y ( n −1) + + a2 y ′′ + a1y ′ + a0 y = 0
ở đó a0, a1, ,..., an là các hằng số thực, an ≠ 0 .
• Phương trình đặc trưng
an r n + an −1r n −1 + + a2r 2 + a1r + a0 = 0

(1.1)

(1.2)

2. Nghiệm tổng quát
a) Định lí 1. r1, r2, . . ., rn là các nghiệm thực của phân biệt của (1.2), khi
đó nghiệm tổng quát của (1.1) là
y ( x ) = c1er1x + c2e r2 x + + cne rn x
Ví dụ 1. Giải bài tốn giá trị ban đầu:
y (3) + 3 y ′′ − 10 y ′ = 0;
y (0) = 7, y ′(0) = 0, y ′′(0) = 70.
• Phương trình đặc trưng: r 3 + 3r 2 − 10r = 0 ⇔ r (r 2 + 3r − 10) = 0
⇔ r = 0, r = −5, r = 2
• Nghiệm tổng quát y = C1 + C2e −5 x + C3e 2x
• Thay vào điều kiện đầu có
 y (0) = c1 + c2 + c3 = 7,
C1 + C2 + C3 = 7
C1 = 0

− 5c2 + 2c3 = 0, ⇔ −5C2 + 2C3 = 0 ⇔ C2 = 2
 y '(0) =

14C3 = 70
C3 = 5
25c2 + 4c3 = 70 
y " (0 ) =
• Nghiệm cần tìm: y = 2e −5 x + 5e 2x .
b) Định lí 2. Nếu phương trình (1.2) có r nghiệm bội k , khi đó
nghiệm tổng quát của (1.1) là
y = (C1 + C2 x + ... + Ck x k −1)erx

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 9 y (5) − 6 y (4) + y (3) = 0 .
• Phương trình đặc trưng
9r 5 − 6r 4 + r 3 = 0 ⇔ r 3 (9r 2 − 6r + 1) = 0

1
⇔ r 3 (3r − 1)2 = 0 ⇔ r = 0 bội ba, r = bội 2.
3


2

x
3
e

x
3
e

• Nghiệm tổng quát y ( x ) = c1 + c2 x + c3 x + c4 + c5
• Sử dụng công thức Euler e ix = cos x + i sin x và lập luận như trên ta
có :
Định lí 3. Nếu phương trình (1.2) có các nghiệm phức bội k là a ± bi
thì nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng
k −1

y=

∑ x i eax (c j cos bx + d j sin bx )
j =0

Ví dụ 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình :
y ′′ − 4 y ′ + 5 y = 0 với y (0) = 1, y ′(0) = 5 .
• Phương trình đặc trưng r 2 − 4r + 5 = 0 ⇔ r1,2 = 2 ± i

• Nghiệm tổng quát: y ( x ) = e2 x (c1 cos x + c2 sin x ).
• Thay vào điều kiện đầu ta có:
c1 = 1
C =1
⇔ 1
2C1 + C2 = 5
C2 = 3

{

{

• Nghiệm cần tìm : y = e 2x (cos x + 3sin x )

Ví dụ 4. Giải phương trình y (3) + y ′ − 10 y = 0
• Phương trình đặc trưng
r 3 + r − 10 = 0 ⇔ (r − 2)(r 2 + 2r + 5) = 0 ⇔ r = 2, r = −1 ± 2 i
• Nghiệm tổng quát y ( x ) = c1e2 x + e − x (c2cos2 x + c3 sin2 x )

Ví dụ 5. Giải phương trình sau (D 2 + 6D + 13)2 y = 0 , ở đó D = d .
dx
2
2
2
2
• Phương trình đặc trưng: (r + 6r + 13) = [(r + 3) + 4] = 0 ⇔ các
nghiệm r1,2 = −3 ± 2i bội 2.
• Nghiệm tổng quát
y ( x ) = e −3 x (c1cos2 x + d1 sin2 x ) + xe −3 x (c2cos2 x + d2 sin 2 x )

Ghi nhớ.
• Buổi sau học lí thuyết mục 2.5.
• Tuần sau học bài tập các mục : 1.5, 1.6, 1.7.


Phương trình vi phân
Bài 3A
PGS. TS. NGUYỄN XN THẢO
§ 2.5. Phương trình vi phân khơng thuần nhất với các hệ số
bất định
• Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n
• Phương pháp hệ số bất định
• Phương pháp biến thiên hằng số

I. Đặt vấn đề
• Mục 2.3 đã cho cách giải phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số
hằng.
• Mục 2.4 xem xét ví dụ sau:
Một vật thể với khối lượng m được gắn với một
đầu của một lò xo chịu được lực nén cùng với
lực căng; một đầu của lò xo được gắn với bức
tường cố định. Giả thiết vật thể nằm yên trên một
mặt phẳng nằm ngang khơng có ma sát, do đó
nó chỉ có thể chuyển động sang trái hay sang
phải mỗi khi lò xo nén lại hay căng ra. Ký hiệu x
Hình 2.4.1. Hệ chất
là khoảng cách của vật thể so với vị trí cân
điểm
bằng (vị trí khi lị xo khơng bị kéo căng). Ta có
x > 0 khi lị xo bị kéo căng và x < 0 khi lò xo bị nén lại. Khi đó ta có

phương trình điều khiển chuyển động của vật thể là
mx ′′ + cx ′ + kx = F ( t )
F ( t ) ≠ 0 có chuyển động cưỡng bức, F ( t ) = 0 có chuyển động tự do
• Cần thiết nghiên cứu phương trình tuyến tính khơng thuần nhất cấp cao.

II. Phương trình vi phân không thuần nhất cấp n
1. Định nghĩa. an y ( n ) + an −1y ( n −1) +

+ a1y ′ + a0 y = f ( x )

ai ∈ », i = 1, n

(2.1)


2. Cách giải.
• Từ mục (2.2) ta có nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng y = y c + y p

ở đó y c là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
an y ( n ) + an −1y ( n −1) +

+ a1y ′ + a0 y = 0

(2.2)

còn y p là nghiệm riêng của phương trình (2.1).
• Ta đã biết cách tìm y c , nhiệm vụ cịn lại là tìm y p .
• Dưới đây ta xét một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tìm một nghiệm riêng của y ′′ − 4 y = 2e3 x .

• Do vế phải là hàm e3x , và mọi đạo hàm của e3x là tích của một hằng số
nhân với e3x , nên ta dự đốn y p ( x ) = Ae3 x
• y p′′ = pAe3x ,
• Thay vào ta có 9 Ae3 x − 4( Ae3 x ) = 2e3 x
⇔ 5A = 2 ⇔ A =

2
2
⇔ y p ( x ) = e3 x .
5
5

• Khái quát: Nếu vế phải là hàm eBx +C ta ln tìm được y p ( x ) .

Ví dụ 2. Tìm nghiệm riêng của y ′′ + 3 y ′ + 4 y = 3 x + 2.
• Vế phải là đa thức bậc nhất, vế trái có y nên ta dự đốn y p ( x ) = Ax + B.
• y p′ = A , y p′′ = 0 , thay vào ta có (0) + 3( A) + 4( Ax + B ) = 3 x + 2.

3

A
=

4 A = 3
4
⇔ 4 Ax + 3 A + 4B = 3 x + 2 ⇔ 
⇔ 
3 A + 4B = 2
B = − 1


6
• y p (x) =

3
1
x−
4
16

• Khái quát: Nếu vế phải là đa thức bất kì, ta ln tìm được y p ( x )


Ví dụ 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình 3 y ′′ + y ′ − 2y = 2 cos x.
• Do

d
d
sin x = cos x;
cos x = sin x
dx
dx

• Do vế trái có mặt ba đạo hàm liên tiếp: Cấp 0, cấp 1, cấp 2. Vì vậy ta dự
đốn:
• y p ( x ) = A cos x + B sin x; y p′ ( x ) = − A sin x + B cos x,
y p′′ ( x ) = − A cos x − B sin x.
• Thay vào ta có
3( − A cos x − B sin x ) + ( − A sin x + B cos x ) − 2( A cos x + B sin x ) = 2 cos x.
 −5 A + B = 2
 −26 A = 10

⇔
⇔ ( −5 A + B ) cos x + ( − A − 5B ) sin x = 2 cos x ⇔ 
 − A − 5B = 0
 A + 5B = 0
5

A
=
−

13
• 
B = 1

13
• y p (x) = −

5
1
cos x +
sin x.
13
13

• Khái quát: Khi vế phải là α cos Ax + β sin Ax thì ln tìm được nghiệm
riêng y p ( x ) .

Ví dụ 4. Tìm nghiệm riêng của phương trình y ′′ − 4 y = 2e 2 x .
• Nếu lập luận như ở ví dụ 1, ta sẽ dự đốn y p ( x ) = Ae 2x
• y ′′ = 4 Ae 2 x , thay vào ta có 4 Ae 2 x − 4 Ae 2 x = 2e 2 x ⇔ 0 = 2e2 x

• Như vậy y p ( x ) = Ae2 x không là nghiệm riêng cần tìm (chỉ là nghiệm
riêng của phương trình thuần nhất). Ta cần dự đốn nghiệm riêng có
dạng khác y p ( x ) = Axe2 x .
• y p′ ( x ) = Ae2 x + 2 Axe2 x


• y p′′ ( x ) = 4 Ae 2 x + 4 Axe2 x
•

Thay vào ta có (4 Ae 2 x + 4 Axe 2 x ) − 4( Axe 2 x ) = 2e 2 x ⇔ 4 Ae 2 x = 2e 2 x

• ⇔ 4 A = 2 hay A =
• yp (x) =

1
.
2

1 2x
xe
2

Nhận xét: Điều gì đã tạo nên sự khác biệt trong cách tìm nghiệm riêng ở các
ví dụ 4 và ví dụ 1

Quy tắc 1: Phương pháp hệ số bất định.
• Giả sử không số hạng nào xuất hiện cả ở trong f ( x ) và trong f ′ ( x ) thoả
mãn phương trình thuần nhất L ( y ) = 0 .
• Khi đó ta dự đốn y p là một tổ hợp tuyến tính của tất cả các số hạng độc
lập tuyến tính đó và các đạo hàm của chúng.

• Xác định các hệ số bằng cách thế nghiệm thử này vào phương trình
khơng thuần nhất L ( y ) = f ( x ) .
• Trong thực hành, chúng ta thường làm như sau:

o Sử dụng phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất (hàm bù) y c ,
o Liệt kê tất cả các số hạng có trong f ( x ) và các đạo hàm của nó.
o Nếu khơng có số hạng nào ở trên xuất hiện ở y c , thì ta sử dụng
quy tắc 1.
Ví dụ 5. Tìm nghiệm riêng

y ′′ + 4 y = 3 x 3

(5)

• Phương trình đặc trưng: r 2 + 4 = 0 ⇔ r 2 = −2 ⇔ r = ±2i
•

y c ( x ) = c1 cos 2 x + c2 sin 2 x .

• Hàm số f ( x ) = 3 x 3 và các đạo hàm của nó là tích của hằng số với các
hàm số độc lập tuyến tính x 3 , x 2 , x và 1, vì khơng có hàm nào xuất hiện
trong y c nên ta chọn