SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT- Đại số 9-10 – Xuctu.com

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (678.43 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Dạng 2:

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT

A. PHƯƠNG PHÁP

Trường hợp tổng quát:

Ta cũng có thể chứng minh sự đồng biến và nghịch biến của hàm số bằng

phương pháp như đã nêu ở trên lý thuyết.

* Cho hàm số y= f x

( )

và x1 và x2 là hai số sao cho hàm số xác định, giả sử x1<x2

+ Hàm số y= f x

( )

được gọi là hàm số đồng biến khi và chỉ khi f x

( )

1 < f x

( )

2

+ Hàm số y= f x

( )

được gọi là hàm số nghịch biến khi và chỉ khi f x

( )

1 > f x

( )

Tuy nhiên trong thực hành ta cũng có thể sử dụng các kết quả sau để chứng

minh mang tính trực quan và dễ nhớ hơn.

+ Nếu

( ) ( )

1 2
1 2

f x f x

x x

−

− thì hàm số y= f x

( )

là đồng biến

+ Nếu

( ) ( )

1 2
1 2

f x f x

x x

−

− thì hàm số y= f x

( )

là nghịch biến

Đối với hàm số bậc nhất:

Cho hàm số y=ax+b a

(

≠0

)

. Khi đó ta có các kết quả sau về sự đồng biến và
nghịch biến

+ Nếu a>0 hàm số đồng biến trên tập số thực ℝ
+ Nếu a<0 hàm số nghịch biến trên tập số thực ℝ.

Bài tập mẫu 1: Trong các hàm số bậc nhất sau, hàm số nào đồng biến , hàm số

nào nghịch biến?

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Hướng dẫn giải

a. Ta có: 2 0
3

a= − < . Nên hàm số đã cho nghịch biến.

b. Ta có:

(

)(

)

1 3 2

3 2 0

3 2 3 2 3 2

a= = + = + >

− − + .

Nên hàm số đã cho đồng biến.

c. Ta có: 5 2 2 25 8 0

6 6

a= − = − > . Nên hàm số đã cho đồng biến.

d. Ta có: 3 2 0
3 2

a= − <

+ . Nên hàm số đã cho nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ

Gọi x1 và x2 là hai số thuộc tập xác định D, giả sử x1<x2

Ta có: f x

( )

1 =3x1−9và f x

( )

2 =3x2−9

Xét f x

( ) ( ) (

1 − f x2 = 3x1− −9

) (

3x2− =9

)

3x1− −9 3x2+ =9 3

(

x1−x2

)

Do x1<x2 nên 3

(

x1−x2

)

<0. Suy ra f x

( ) ( )

1 − f x2 < ⇔0 f x

( )

1 < f x

( )

Do đó hàm số y=3x−9 là hàm số đồng biến.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh theo phương pháp thứ hai.

Tập xác định: D=ℝ

Gọi x1 và x2 là hai số thuộc tập xác định D.

Bài tập mẫu 3: Chứng minh theo lý thuyết hàm số 1 11
2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Xét:

( ) ( )

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

11 11 11 11

2x 2x 2x 2x

f x f x

x x x x x x

   

− + − − + − + + −

   

− =   =

− − −

(

1 2

)

1 2

2 0

x x

− −

= = − <

−

Vậy hàm số 1 11

y= − x+ là hàm số nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Để hàm số y= −

(

3 2m x

)

+ −m 5 nghịch biến ta phải có
3

3 2 0 2 3

m m m

− < ⇔ − < − ⇔ >

Vậy khi 3
2

m> thì hàm số y= −

(

3 2m x

)

+ −m 5 nghịch biến

Hướng dẫn giải

Hàm số a của hàm số là: 2 2 3

m − m+ .

Ta có biến đổi : 2 2 3 2 2 1 2

(

1

)

2 2 0

m − + = − + + = − + >m m m m với mọi giá trị của m.

Do đó hàm số ln có hàm số a>0 với mọi giá trị của m
Nên hàm số luôn đồng biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ

Để hàm số ln đồng biến thì 1 0
1 3

m
a

m

−
= >

− . Ta có hai trường hợp sau:

m>



Bài tập mẫu 6: Tìm m để hàm số 1 2
1 3

m

y x m

m

−

= − +

− là hàm số đồng biến.

Bài tập mẫu 5: Chứng minh rằng hàm số

(

2 2 3

)

6

y= m − m+ x− là hàm số đồng biến

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trường hợp 2:

1 0 1

1
1

1 3 0 3

m

m m



− <

 

⇔ ⇔ < <

 

− < >

 

Kết hợp 2 trường hợp ta thấy 1 1

3< <m thỏa mãn.
Vậy với 1 1

3< <m thì hàm số

2
1 3

m

y x m

m

−

= − +

− là hàm số đồng biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ

Ta có: 2 3 2

(

1

)(

2

)

a=m + m+ = m+ m+

Để hàm số luôn đồng biến thì a=

(

m+1

)(

m+2

)

>0. Có hai trường hợp xãy ra:

Trường hợp 1: 1 0 1 1

2 0 2

m m

m

m m

+ > > −

 

⇔ ⇔ > −

 

+ > > −

 

Trường hợp 2: 1 0 1 2

2 0 2

m m

m

m m

+ < < −

 

⇔ ⇔ < −

 

+ < < −

 

Để hàm số đồng biến thì xãy ra một trong hai trường hợp nên kết hợp hai trường

hợp ta có m< −2 hoặc m> −1.

Lưu ý: Đối với cách lấy điều kiện ở trong trường hợp 1 ta nói: “Cả hai điều lớn

lấy cái lớn hơn”. Còn đối với lấy điều kiện ở trường hợp 2 ta nói: “Cả hai điều bé

lấy cái bé hơn”

Hướng dẫn giải 
Bài tập mẫu 8: Cho hàm số y= −

(

2 3m x

)

+ −m 1

a. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm 1; 2
2

A 

 .

b. Tìm m để hàm số đã cho là hàm số đồng biến.

Bài tập mẫu 7(*): Tìm m để hàm số

(

2 3 2

)

5 3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a. Điểm 1; 2
2

A 

  thuộc vào đồ thị hàm số y= −

(

2 3m x

)

+ −m 1 thì thỏa mãn phương

trình : 2

(

2 3

)

1 1 4 2 3 2 2 4 4

m m m m m m

= − + − ⇔ = − + − ⇔ = − ⇔ = −

Vậy m= −4 là giá trị cần tìm.

b. Để hàm số đồng biến thì a= −2 3m>0
Điều này tương đương 2

m< .

Vậy khi 2
3

m< thì hàm số y= −

(

2 3m x

)

+ −m 1 đồng biến.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 1

(

1

)(

1

)

a=m − = m− m+ .

Để hàm số nghịch biến trên tập xác định thì a<0 hay

(

m−1

)(

m+ <1

)

0
Điều này xãy ra hai trường hợp:

+ TH1: 1 0 1

1 0 1

m m

− > >

 

⇔

 

+ < < −

  Vô lý.

+ TH2: 1 0 1 1 1

1 0 1

m m

m

m m

− < <

 

⇔ ⇔ − < <

 

+ > > −

  .

Kết hợp hai điều kiện ta thấy khi − < <1 m 1 thì hàm số đã cho là hàm số nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2 3 1

(

2 1

)(

1

)

a= m − m+ = m− m−

Để hàm số đã cho là hàm số đồng biến thì a>0 hay

(

2m−1

)(

m− >1

)

0
Bài tập mẫu 10: Tìm m để hàm số

(

2 2 3 1

) (

3 2 2

)

y= m − m+ x− + m−m đồng biến

trên tập xác định của nó.

Bài tập mẫu 9: Tìm m để hàm số

(

2 1

)

3 2

y= m − x+ m− nghịch biến trên tập xác

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

+ TH1:

1
2 1 0

1
2
1 0
1
m m
m

m
m


− > >

 

⇔ ⇔ >

 

− >

  >

+ TH2:

2 1 0 1

1 0 2

1
m m
m
m

m


− < <

 

⇔ ⇔ <

 

− <

  <

Vậy kết hợp hai điều kiện ta thấy 1
2

m< hoặc m>1 thì hàm số đã cho là hàm số
đồng biến.

Hướng dẫn giải

Ta xét: 2 1

1
2

a=m + m+

2
2 2. .1 1 1 1 2 2. .1 1 15

4 16 16 4 4 16

a m m a m m  

⇔ = + + − + ⇔ = + +  +
 
2
1 15
0
4 16

a m 

⇔ = +  + >

 

Vậy a>0 với mọi giá trị của m.

Do đó hàm số 2 1 1 3

y=m + m+ x− +m

  là hàm số đồng biến với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

(

)

4 4 4 4

a= − m + − ⇔ = −m a m − +m

( )

2 2

1 1 1 1 1 63

2 2.2 . 4 2 2.2 .

4 16 16 4 4 16

1 63 1 63

2 2 0

4 16 4 16

a m m a m m

a m a m

 

   

⇔ = − − + − + ⇔ = − − +  + 

     

    

⇔ = − −  + ⇔ = − −  − <

   

 

 

Bài tập mẫu 12: Chứng minh rằng hàm số

(

4 2 4

)

3 2 2

y= − m + −m x− + m+m

nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài tập mẫu 11: Chứng minh rằng hàm số 2 1 1 3

y=m + m+ x− +m

  đồng biến

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vậy a<0 với mọi giá trị của m.

Do đó hàm số

(

4 2 4

)

3 2 2

y= − m + −m x− + m+m là hàm số nghịch biến với mọi giá trị

của m.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ

Gọi x1 và x2 là hai số thuộc tập xác định D.

Xét:

( ) ( )

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

5 5 5 5

3 3 3 3

2x 2x 2x 2x

f x f x

x x x x x x

   

− + − − + − + + −

   

− =   =

− − −

(

1 2

)

1 2

2 0

x x

− −

= = − <

−

Vậy hàm số 5 3

y= − x+ là hàm số nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ

Gọi x1 và x2 là hai số thuộc tập xác định D.

Xét:

( ) ( )

1 2

(

) (

)

1 2

1 2 1 2 1 2

5x 11 5x 11 5 11 5 11

f x f x x x

x x x x x x

− − −

− = = − − +

− − −

(

1 2

)

1 2

5 0

x x

−

= = >

−

Vậy hàm số y= 5x−11 là hàm số đồng biến.

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 MỚI NHẤT-2020-2021

Bài tập mẫu 14: Chứng minh theo lý thuyết hàm số y= 5x−11 là hàm số

đồng biến.

Bài tập mẫu 13: Chứng minh theo lý thuyết hàm số 5 3
2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

/>

FB:

facebook.com/xuctu.book/

Email:

Đặt trực tiếp tại:

/>

Đọc trước những quyển sách này tại:

</div>

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT- Đại số 9-10 – Xuctu.com

<b>Dạng 2: </b>

<b>SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT </b>

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

(

)(

)

( )

( )

( ) ( ) (

) (

)

(

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

)

(

)

( )

( )

(