Một số phương trình quy về bậc nhất và bậc hai một ẩn | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG TRÌNH </b>
<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>

§ 4. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai


<i><b>Dạng tốn 1: Phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn </b></i>

<i><b>Phương trình trùng phương: </b></i> 4 2

0, ( 0)

<i>ax</i> <i>bx</i>  <i>c</i> <i>a</i> <i><b> </b></i>( )
— Đặt 2

0

<i>t</i><i>x</i>  thì ( ) <i>at</i>2<i>bt c</i>  ( )0 

— Để xác định số nghiệm của ( ), ta dựa vào số nghiệm của ( ) và dấu của chúng, cụ thể:

_{Để ( )}_{ vơ nghiệm}




 _ 

 


( ) v« nghiƯm

( ) cã nghiƯm kÐp ©m.
( ) cã 2 nghiƯm ©m

 Để ( ) có 1 nghiệm  _    




1 2

( ) cã nghiÖm kÐp t t 0

( ) cã 1 nghiÖm b»ng 0, nghiệm còn lại âm

_{ờ ( )}_{ có 2 nghiệm phân biệt} _  




( ) cã nghiƯm kÐp d ¬ng
( ) cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu

_{Để ( )}_{ có 3 nghiệm}_{  có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.}( )
_{Để ( )}_{ có 4 nghiệm}  có 2 nghiệm dương phân biệt.( )

<i><b>Mợt sớ dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai</b></i>

<b> Loại 1. </b> 4 3 2

0
<i>ax</i> <i>bx</i> <i>cx</i> <i>dx e</i>  với

2

0.
<i>e</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>b</i>
 
_ _ 

 

 <b> Phương pháp giải: Chia hai vế cho </b><i>x </i>2 0, rồi đặt

2
2

<i>t</i> <i>x</i> <i>t</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   

   _  _
  với
<i>d</i>

<i>b</i>

  

<b> Loại 2. </b>(<i>x a x b x c x d</i> )(  )(  )(  )<i>e</i> với <i>a c b d</i>   .
 <b> Phương pháp giải: </b>(<i>x a x c</i> )(  )  (<i>x b x d</i> )(  ) <i>e</i>

2 2

( ) ( )

<i>x</i> <i>a c x ac</i> <i>x</i> <i>b d x bd</i> <i>e</i>

   

 _    _{ }    _  và đặt 2

( ) .
<i>t</i><i>x</i>  <i>a c x</i>

<b> Loại 3. </b> 2

(<i>x a x b x c x d</i> )(  )(  )(  )<i>ex</i> với <i>a b c d</i>.  . .

 <b> Phương pháp giải: Đặt </b> 2

2
<i>a b c d</i>

<i>t</i><i>x</i> <i>ab</i>    <i>x</i> thì phương trình

2

2 2

<i>a b c d</i> <i>a b c d</i>

<i>t</i> <i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>ex</i>

         
_   _{ }   _

    (có dạng đẳng cấp)

<b> Loại 4. </b> 4 4

(<i>x a</i> ) (<i>x b</i> ) <i>c</i>

 <b> Phương pháp giải: Đặt </b> ( )4 ( )4
2

<i>a b</i>

<i>x tt</i>    <i>t</i>  <i>c</i>    với
2
<i>a b</i>
  

<b> Loại 5. </b> 4 2

<i>x</i> <i>ax</i> <i>bx c</i> (1)

 <b> Phương pháp giải: Tạo ra dạng </b> 2 2

<i>A</i> <i>B</i> bằng cách thêm hai vế cho một lượng

2 2

2 .<i>k x</i> <i>k</i> , tức phương trình (1) tương đương:

<b>3</b>

<b>3</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(<i>x</i> ) 2<i>kx</i> <i>k</i> (2<i>k a x</i> ) <i>bx c k</i>  (<i>x</i> <i>k</i>) (2<i>k a x</i> ) <i>bx c k</i>  .

Cần vế phải có dạng bình phương 2 2

2 0

?
4(2 )( ) 0

<i>VP</i>

<i>k a</i>

<i>k</i>
<i>b</i> <i>k a c k</i>

  



   

     



<b> Loại 6. </b> 4 3 2

<i>x</i> <i>ax</i> <i>bx</i> <i>cx d</i> (2)

 <b> Phương pháp giải: Tạo </b><i>A</i>2<i>B</i>2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng

bình phương:

2 ₂

2 4 3 2 2

2 .

2 4

<i>a</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i>x k</i> <i>x</i> <i>ax</i>  <i>k</i> <i>x</i> <i>kax k</i>

 

    _  _  

 

    Do đó ta sẽ cợng thêm hai vế

của phương trình (2) một lượng:

2

2 2

2 ,

4
<i>a</i>

<i>k</i> <i>x</i> <i>kax k</i>

 

  

 

  thì phương trình

2 ₂

2 2 2

(2) 2 ( ) .

2 4

<i>a</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i>x k</i>  <i>k</i> <i>b x</i> <i>ka c x k</i> <i>d</i>

 

_   _ _   _    

   

Lúc này cần số <i>k</i> thỏa:

2

2

2 2

2 0

4

?

( ) 4 2 ( ) 0

4

<i>VP</i>

<i>a</i>

<i>k</i> <i>b</i>

<i>k</i>
<i>a</i>

<i>ka c</i> <i>k</i> <i>b k</i> <i>d</i>



  




 

 _ _

    _   _  

 _ _



 Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hồn tồn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng
phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai,
sau đó lấy bậc bớn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bớn được viết
lại thành tích của 2 bậc hai.

<i><b>Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner</b></i>

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm
nghiệm sau đó chia Hoocner.

— Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

_{Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm}<i>x </i>1.

_{Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ sớ bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm}<i>x </i>1.

<i>_{Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham sớ m và}</i>
thử lại tính đúng sai.

— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

<b>Câu 1.</b> Phương trình
1

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>x</i>+ = có nghiệm duy nhất khi:

A. <i>a</i>¹ 0. B. <i>a</i>= .0 C. <i>a</i>¹ 0và <i>b</i>¹ 0. D. <i>a</i>= = .<i>b</i> 0

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

Điều kiện: <i>x</i>¹ - 1

Phương trình

( )

1
1

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>x</i>+ = Û <i>a x</i>

(

+ =1

)

<i>b</i>Û <i>ax</i>= -<i>b a</i>

( )

2

Phương trình

( )

1 có nghiệm duy nhất

Û Phương trình

( )

2 có nghiệm duy nhất khác - 1
0

1
<i>a</i>

<i>b a</i>
<i>a</i>
ì ¹
ïï
ï
Û í -_ï

¹
ïïỵ

0

<i>a</i>

<i>b a</i> <i>a</i>

ì ¹
ïï
Û í_{ï - ¹}

ïỵ

0
0

<i>a</i>
<i>b</i>

ì ¹
ïï
Û ớ_{ù ạ}

ùợ .

<b>Cõu 2.</b> Tp nghim ca phng trỡnh 2 3 3

1 1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+ =

- - là :

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

Điều kiện: <i>x</i>¹ 1

Phương trình 2 3 3

1 1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+ =

- - Û 2<i>x x</i>

(

- 1

)

+ =3 3<i>x</i>

2

2<i>x</i> 5<i>x</i> 3 0

Û - + =

( )

( )

1
3
2

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>n</i>

é =
ê
ê
Û

ê =
ê
ë

.

Vậy 3

2
<i>S</i>_{=í ý}ì üï ïï ù

ù ù
ù ù
ợ ỵ.

<b>Cõu 3.</b> Tp nghim ca phng trỡnh

(

)

2 ₂ ₃

2

<i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x</i>

+ +

= trường hợp <i>m</i>¹ 0 là:

A. <i>T</i> 3
<i>m</i>

ì ü

ï ï

ï ï

= -í_ï ý_ï

ï ù

ợ ỵ. B. <i>T</i>=ặ.

C. <i>T</i>= Ă . D. C ba câu trên đều sai.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Điều kiện: <i>x</i>¹ 0

Phương trình thành

(

<i>_m</i>2₊₂

)

<i>_x</i>₊₃<i>_m</i>₌₂<i>_x</i> _Û <i>_{m x}</i>2 _=- ₃<i>_m</i>

Vì <i>m</i>¹ 0 suy ra <i>x</i> 3
<i>m</i>

-= .

<b>Câu 4.</b> Tập hợp nghiệm của phương trình

(

)

₍

₎

2 ₂ ₂

2 0

<i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>m</i>
<i>x</i>

+ +

= ¹ là :

A. <i>T</i> 2
<i>m</i>

ì ü

ï ï

ï ï

= -í_ï ý_ù

ù ù

ợ ỵ. B. <i>T</i> =ặ. C. <i>T</i> =<i>R</i>. D. <i>T</i> =<i>R</i>\ 0

{ }

.
<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Điều kiện: <i>x</i>¹ 0

Phương trình

(

)

2 ₂ ₂

2

<i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x</i>

+ +

= _Û <i>_{m x}</i>2 _=- ₂<i>_m</i> <i>_x</i> 2

<i>m</i>

-Û =

Vậy <i>S</i> 2
<i>m</i>
ì- ü
ï ï
ï ù
=ớ_ù ý_ù

ù ù
ợ ỵ.

<b>Cõu 5.</b> Phng trỡnh 2

1 1

<i>x m</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- ₌

-+ - có nghiệm duy nhất khi :

A. <i>m</i>¹ 0. B. <i>m</i>¹ - .1 C. <i>m</i>¹ 0 và <i>m¹ - . D. Khơng có m .</i>1

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

Điều kiện: 1
1

<i>x</i>
<i>x</i>

ì ¹
ïï
íï ¹
-ïỵ

Phương trình

( )

1 thành

( )

2
1

1 1

<i>x m</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

-

-=

+ - Û

(

<i>x m x</i>-

)(

- 1

) (

= -<i>x</i> 2

)(

<i>x</i>+1

)

2 2 ₂

<i>x</i> <i>x mx m</i> <i>x</i> <i>x</i>

Û - - + =

-( )

2 2

<i>mx</i> <i>m</i>

Û = +

Phương trình

( )

1 có nghiệm duy nhất

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

0
2

1

2
1

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

ỡùù
ù ạ
ùù
ù ₊
ùù

_ớù ạ
ùù

ù +

ù _ạ

-ùùùợ

0
2
2

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

ỡ ạ
ùù
ùù

_ớù + ạ
ù + ạ
-ùùợ

( )

0
2 0

1
<i>m</i>

<i>ld</i>
<i>m</i>

ỡ ạ
ùù
ùù
_ớù ạ

ùù ạ
-ùợ

0
1

<i>m</i>
<i>m</i>

ỡ ạ
ùù
ớ_{ù ạ}

-ùợ .

<b>Câu 6.</b> Biết phương trình: 2

1
<i>x a</i>

<i>x</i> <i>a</i>

<i>x</i>
+

- + =

- có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là
nghiệm nguyên. Vậy nghiệm đó là :

A. - 2. B. - 1. C. 2. D. 0 .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>

Điều kiện: <i>x</i>¹ 1

Phương trình

( )

1 thành

2

1
<i>x a</i>

<i>x</i> <i>a</i>

<i>x</i>
+

- + =

-2 ₃ ₂

<i>x</i> <i>x</i> <i>x a</i> <i>ax a</i>

Û - + + + = - Û <i>x</i>2-

(

2+<i>a x</i>

)

+2<i>a</i>+ =2 0 2

( )

Phương trình

( )

1 có nghiệm duy nhất

Û Phương trình

( )

2 có nghiệm duy nhất khác 1hoặc phương trình

( )

2 có 2
nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1

2 ₄ ₄ ₀

1 0

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>

ỡù - - =
ù

ớ
ù + ạ
ùợ

2 ₄ _{4 0}

1 0

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>

ìï - - >
ï

Èí

ï + =
ïỵ

2 2 2
2 2 2

1

<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

é = +
ê
ê
Û ê =

-ê

=-ê
ê

ë

Với <i>a</i>= +2 2 2 phương trình có nghiệm là <i>x</i>= +2 2
Với <i>a</i>= -2 2 2 phương trình có nghiệm là <i>x</i>= -2 2

Với <i>a</i>=- phương trình có nghiệm là 1

( )

( )

0
1

<i>x</i> <i>n</i>

<i>x</i> <i>l</i>

é =
ê
ê =
ê

ë .

<b>Câu 7.</b> Cho phương trình: 2 1 3
1

<i>mx</i>
<i>x</i>

-=

+

( )

1 . Với giá trị nào của m thì phương trình

( )

1 có
nghiệm?

A. 3

2

<i>m</i>¹ . B. <i>m</i>¹ 0.

C. 3

2

<i>m</i>¹ và <i>m</i>¹ 0. D. 3

2

<i>m</i>¹ và 1
2
<i>m</i>¹ - .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>

Điều kiện: <i>x</i>¹ - 1

Phương trình

( )

1 thành2 1 3

1

<i>mx</i>
<i>x</i>

- ₌

+ Û 2<i>mx</i>- =1 3<i>x</i>+3Û

(

2<i>m</i>- 3

)

<i>x</i>=4 2

( )

Phương trình

( )

1 có nghiệm

Û Phương trình

( )

2 có nghiệm khác - 1

2 3 0

4

1

2 3

<i>m</i>

<i>m</i>
ì - ¹
ïï

ï
Û í_ï

¹

-ùù
-ợ

3
2

1
2

<i>m</i>

<i>m</i>

ỡùù ạ
ùùù
ớ

ùù ạ
-ùùùợ

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>C. ax b cx d</i>+ = + hay<i>ax b</i>+ =-

(

<i>cx d</i>+

)

D. <i>ax b</i>+ = <i>cx d</i>+
<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

<b>Câu 9.</b> Tập nghiệm của phương trình: <i>x</i>- 2 =3<i>x</i>- 5 (1) là tập hợp nào sau đây ?

A. 3 7;

2 4

ỡ ỹ

ù ù

ù ù

ớ ý

ù ù

ù ù

ợ ỵ. B.

3 7
;
2 4

ì ü

ï ï

ï_- ï

í ý

ï ï

ï ï

ỵ þ. C.

7 3

;

4 2

ì ü

ï ï

ï_- _- ï

í ý

ï ù

ù ù

ợ ỵ. D.

7 3
;
4 2

ỡ ỹ

ù ù

ù_- ù

ớ ý

ù ù

ù ù

ợ ỵ.

<b>Hng dn gii</b>

<b>Chn A.</b>
Ta cú

2 3 5

<i>x</i>- = <i>x</i>- 2 3 5

2 5 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

é =
-ê

Û

ê =
-ë

2 3

4 7

<i>x</i>
<i>x</i>

é =
ê
Û

ê =
ë

3
2
7
4

<i>x</i>

<i>x</i>

é
ê =

ê
Û ê

ê =
ê
ê
ë

.

<b>Câu 10.</b>Phương trình 2<i>x</i>- 4+ - = có bao nhiêu nghiệm ?<i>x</i> 1 0

A. 0 . B. 1. C. 2. D. Vơ số.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>
Ta có

2<i>x</i>- 4+ - =<i>x</i> 1 0 2 4 0
1 0

<i>x</i>
<i>x</i>

ì - =

ïï

Û í_{ï - =}

ïỵ

( )

2
1

<i>x</i>

<i>vl</i>
<i>x</i>

ì =
ïï
Û í_{ï =}

ïỵ
<i>Suy ra S =Ỉ.</i>

<b>Câu 11.</b>Phương trình 2<i>x</i>- 4- 2<i>x</i>+ = có bao nhiêu nghiệm ?4 0

A. 0 . B. 1. C. 2. D. Vơ số.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>

Ta có: 2<i>x</i>- 4- 2<i>x</i>+ =4 0Û 2<i>x</i>- 4=2<i>x</i>- 4Û 2<i>x</i>- 4 0³ Ç

( )

2 4 2 4

2 4 4 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x vl</i>

é - =

-ê

ê =
-ë

2

<i>x</i>
<i>x</i>

ì
ùù
ớ_{ù ẻ}

ùợ Ă <i>x</i> 2.

<b>Cõu 12.</b>Vi giỏ tr nào của a thì phương trình: 3<i>x</i> +2<i>ax</i>=- có nghiệm duy nhất:1

A. 3
2

<i>a</i>> . B. 3

2

<i>a</i><- . C. 3 3;
2 2
<i>a</i>_{ạ ớ}ỡùù- ỹùù_ý

ù ù

ù ù

ợ ỵ. D.

3 3

2 2

<i>a</i><- Ú ><i>a</i> .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>

Ta có: 3 <i>x</i> +2<i>ax</i>=- 1Û 3<i>x</i> =- -1 2<i>ax</i> Û - -1 2<i>ax</i>³ 0 Ç 3 1 2

3 1 2

<i>x</i> <i>ax</i>

<i>x</i> <i>ax</i>

é =
-ê

ê = +

ë Û 2<i>ax</i>£ - Ç1

(

)

( )

(

)

( )

3 2 1 2

3 2 1 3

<i>a x</i>
<i>a x</i>

é +

=-ê

ê - =

ê

ë . Giải hệ này ta được

3
2
3
2

<i>a</i>

<i>a</i>

é
-ê <
ê
Û ê

ê >
ê
ê
ë

Vậy phương trình

( )

1 có nghiệm duy nhất

3
2
3
2

<i>a</i>

<i>a</i>

é
-ê <
ê
Û ê

ê >
ê
ê
ë

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

A. <i>m</i>=0 B. <i>m</i>= .1

C. <i>m</i>=- .1 <i>D. Không tồn tại giá trị m thỏa.</i>

<b>Hướng dẫn giải</b>
<b>Chọn D.</b>

2

1

<i>x</i> + =<i>x</i> +<i>m</i> Û <i>m</i>=

( )

2
2

1 0

1 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>khi x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>khi x</i>

ìï - + + ³

ï
=í

ï - - + <
ïỵ

.

Biểu diễn đồ thị hàm số <i>f x lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên. Dựa</i>

( )

<i>vào đồ thị ta suy ra không tồn tại m để phương trình m</i>= <i>f x</i>

( )

có duy nhất 1
nghiệm.

<b>Câu 14.</b>Tập nghiệm của phương trình: <i>x</i>- 2 =2<i>x</i>- là:1

A.<i>S</i>= -

{

1;1

}

. B.<i>S</i>= -

{ }

1 . C.<i>S</i>=

{ }

1 . D.<i>S</i>=

{ }

0 .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

Ta có <i>x</i>- 2 =2<i>x</i>- 1Û 2<i>x</i>- ³1 0È 2 2 1
2 1 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

é - =
-ê

ê =
-ë

1
2
<i>x</i>

Û ³ Ç

( )

( )

1
1

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>n</i>

é

=-ê
ê =
ê
ë
Vậy <i>S</i>=

{ }

1

<b>Câu 15.</b>Tập nghiệm của phương trình ₂<i>x_x</i>-_-1₃=- <i>_x</i>3<i>x</i>₊+₁1

( )

1 là :

A. 11 65 ; 11 41

14 10

ì ỹ

ù ₊ ₊ ù

ù ù

ớ ý

ù ù

ù ù

ợ ỵ. B.

11 65 11 41

;

14 10

ì ü

ï _- _- ù

ù ù

ớ ý

ù ù

ù ù

ợ ỵ.

C. 11 65 ; 11 65

14 14

ì ü

ï + - ï

ï ï

í ý

ù ù

ù ù

ợ ỵ. D.

11 41 11 41

;

10 10

ì ü

ï + - ï

ï ï

í ý

ï ï

ï ù

ợ ỵ.

<b>Hng dn gii</b>

<b>Chn C.</b>

iu kin: 2 3 0
1 0

<i>x</i>
<i>x</i>

ỡ - ạ
ùù

ớù + ạ
ùợ

3
2
1

<i>x</i>

<i>x</i>

ỡùù ạ
ù
ớ

ùù ạ
-ùợ

Phng trỡnh (1) thành: <i>x</i>+1

(

<i>x</i>- 1

) (

= - 3<i>x</i>+1 2

)(

<i>x</i>- 3

)

TH1: <i>x</i>³ - 1

Phương trình thành <i>_x</i>2_{- =-}₁ ₆<i>_x</i>2₊₁₁<i>_x</i>_- ₃_Û ₇<i>_x</i>2_- ₁₁<i>_x</i>_{+ =}₂ ₀

( )

( )

11 65
14
11 65

14

<i>x</i> <i>n</i>

<i>x</i> <i>n</i>

é ₊

ê =
ê
ê
Û _ê

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Phương trình thành _- <i>_x</i>2_{+ =-}₁ ₆<i>_x</i>2₊₁₁<i>_x</i>_- ₃_Û ₅<i>_x</i>2_- ₁₁<i>_x</i>_{+ =}₄ ₀

( )

( )

11 41
10
11 41

10

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>l</i>

é ₊

ê =
ê
ê
Û _ê

-ê =
ê
ë

Vậy 11 65 11; 65

14 14

<i>S</i>=ớỡùù_ù + - ỹùùý_ù

ù ù

ợ ỵ.

<b>Cõu 16.</b>Tp nghim của phương trình

2 ₄ ₂

2
2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

- - ₌ 

-- là :

A. <i>S</i>=

{ }

2 . B. <i>S</i>=

{ }

1 . C. <i>S</i>=

{ }

0;1 . D. <i>S</i>=

{ }

5 .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

Điều kiện: <i>x</i>>2

Ta có

2 ₄ ₂

2
2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

-

-=

-2 ₄ ₂ ₂

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

Û - - = - _Û <i>_x</i>2_- ₅<i>_x</i>₌₀

( )

( )

0
5

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>n</i>

é =
ê
Û ê₌

ê
ë
Vậy <i>S</i>=

{ }

5 .

<b>Câu 17.</b>Cho

(

)

2 ₂ ₁ ₆ ₂

2
2

<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

- + +

-=

--

( )

<i>1 . Với m là bao nhiêu thì </i>

( )

1 có nghiệm duy
nhất

A. <i>m</i>> .1 B. <i>m</i>³ 1. C. <i>m</i>< .1 D. <i>m</i>£1.

<b>Hướng dẫn giải</b>
<b>Chọn D</b>

Điều kiện <i>x</i>- > Û > .2 0 <i>x</i> 2

( )

₁ _Û <i>_x</i>2_-

(

₂<i>_m</i>₊₃

)

<i>_x</i>₊₆<i>_m</i>₌₀

_{( )}

_{2 , phương trình ln có nghiệm là}

3

<i>x</i>= và <i>x</i>=2<i>m</i>

, để phường trình

( )

1 có duy nhất 1 nghiệm thì 2<i>m</i>£ 2Û <i>m</i>£1.

<b>Câu 18.</b><i>Với giá trị nào của tham số a thì phương trình: </i>

(

<i>x</i>2- 5<i>x</i>+4

)

<i>x a</i>- =0có hai
nghiệm phân biệt

A. <i>a</i>< .1 B. 1£ <<i>a</i> 4. C. <i>a</i>³ 4. <i>D. Khơng có a .</i>

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn B.</b>

<i>Điều kiện: x a</i>³

Phương trình thành

2 ₅ ₄ ₀

0

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x a</i>

é - + =

ê
ê - =
ë

4
1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>a</i>

é =
ê
ê
Û _ê=

ê =
ë

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û £ <1 <i>a</i> 4.

<b>Câu 19.</b>Số nghiệm của phương trình: <i>x</i>- 4

(

<i>x</i>2- 3<i>x</i>+ =2

)

0là:

A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3 .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn B.</b>

Điều kiện: <i>x</i>³ 4

Phương trình thành <i>_x</i>_- ₄

(

<i>_x</i>2_- ₃<i>_x</i>_{+ =}₂

)

₀

( )

( )

( )

4
1
2

<i>x</i> <i>n</i>

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>l</i>

é =
ê
ê
Û _ê =

ê
ê =
ë

4

<i>x</i>

Û = .

<b>Câu 20.</b>Phương trình

(

<i>_x</i>2_- ₃<i>_{x m x}</i>₊

)

(

_- ₁

)

₌₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

A. 9
4

<i>m</i>< . B. 9 2

4

<i>m</i>£ Ù ¹<i>m</i> . C. 9 2

4

<i>m</i>< Ù ¹<i>m</i> . D. 9
4
<i>m</i>> .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

Phương trình

(

<i>_x</i>2_- ₃<i>_{x m x}</i>₊

)

(

_- ₁

)

₌₀

( )

2

1

3 0 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x m</i>

é =
ê

Û ê - + =_ê_ë
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Û Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 9 4 0

1 3 0

<i>m</i>
<i>m</i>

ì - >
ùù

ớ_{ù - + ạ}
ùợ

9
4

2

<i>m</i>

<i>m</i>

ỡùù <
ù
ớ

ùù ạ
ùợ

.

<b>Cõu 21.</b>Cho phương trình:

(

<i>_x</i>2_- ₂<i>_x</i>₊₃

)

2₊_{2 3}

(

_- <i>_{m x}</i>

)

(

2_- ₂<i>_x</i>_{+ +}₃

)

<i>_m</i>2_- ₆<i>_m</i>₌₀<i>_{. Tìm m để}</i>

phương trình có nghiệm :

A. Mọi m. B. <i>m</i>£ 4. C. <i>m</i>£ - 2. D. <i>m</i>³ 2.

<b>Hướng dẫn giải</b>
<b>Chọn D</b>

Đặt <i>t</i>=<i>x</i>2- 2<i>x</i>+3

(

<i>t</i>³ 2

)

. Ta được phương trình <i>t</i>2+2 3

(

- <i>m t m</i>

)

+ 2- 6<i>m</i>=0 1

( )

,

/ <i>_m</i>2 ₆<i>_m</i> ₉ <i>_m</i>2 ₆<i>_m</i> ₉

D = - + - + = suy ra phương trình

( )

1 ln có hai nghiệm là

1 6

<i>t</i> = -<i>m</i> và <i>t</i>2 =<i>m</i>.

theo yêu cầu bài tốn ta suy ra phương trình

( )

1 có nghiệm lớn hơn hoặc

bằng 2 6 2

2

<i>m</i>
<i>m</i>

é - ³
ê
Û

ê ³

ë Û <i>m</i>³ 2

<b>Câu 22.</b>Tìm tất cả giá trị của m để phương trình :

2 ₂

2

2

<i>x</i> <i>mx</i>

<i>m</i> <i>x</i>

<i>x</i>

- +

- =

- có nghiệm
dương:

A.0< £<i>m</i> 2 6 4- . B.1< < .<i>m</i> 3 C.4 2 6- £ <i>m</i><1. D. 2 6 4- £ <i>m</i><1
<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn B</b>

Điều kiện <i>x</i>< , với điều kiện này thì phương trình đã cho trở thành2

2 _{2 2} ₀ 2 ₂ ₂

<i>x</i> + - <i>m</i>= Û <i>x</i> = <i>m</i>- , phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ
khi 0 2< <i>m</i>- 2 4< Û < < .1 <i>m</i> 3

<b>Câu 23.</b>Có bao nhiêu giá trị nguyên của a phng trỡnh:

2

2 ₂ 2

0

1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ổ ử_ữ

ỗ _ữ+ _{+ =}

ỗ _ữ

ỗ ữ

ỗ -

-ố ứ

( )

1 cú

ỳng 4 nghiệm.

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3 .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Đặt 2

1

<i>x</i>
<i>t</i>

<i>x</i>

=

-Phương trình

( )

1 thành <i>_t</i>2_{+ + =}₂<i>_t</i> <i>_a</i> ₀

( )

₂

Phương trình

( )

1 có đúng 4 nghiệm

Û phương trình

( )

2 có 2 nghiệm dương phân biệt

0
0
0

<i>S</i>
<i>P</i>

ì D >
ïï
ïï
Û _íï >

ï >
ïïỵ

( )

4 4 0

2 0
0

<i>a</i>
<i>vl</i>
<i>a</i>

ì - >
ïï

ïï
Û - >_íï

ïï >
ïỵ

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Câu 24.</b>Định m để phương trình : 2
2

1 1

2 1 2 0

<i>x</i> <i>m x</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ổ ử_ữ ổ ử_ữ

ỗ ₊ _ữ_- ỗ ₊ _ữ_{+ +} ₌

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ ç

è ø è ø có nghiệm :

A. 3 3

4 <i>m</i> 4

- £ £ . B. 3

4

<i>m</i>³ . C. 3

4

<i>m</i>£ - . D.

3
2

1
2

<i>m</i>

<i>m</i>

é
ê ³
ê
ê
ê £
-ê
ê
ë

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Điều kiện <i>x</i>¹ 0
Đặt <i>t</i> <i>x</i> 1

<i>x</i>

= + suy ra <i>t</i>£ - 2 hoặc <i>t</i>³ 2. Phương trình đã cho trở thành

2 ₂ _{1 2} ₀

<i>t</i> - <i>mt</i>- + <i>m</i>= , phương trình này ln có hai nghiệm là <i>t</i>1=1; <i>t</i>2=2<i>m</i>- 1.

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra 2 1 2

2 1 2

<i>m</i>
<i>m</i>

é - ³
ê

ê £
-ë

3
2

1
2

<i>m</i>

<i>m</i>

é
ê ³
ê
Û ê

ê £
-ê
ê
ë

.

<b>Câu 25.</b><i>Định k để phương trình: </i> 2
2

4 2

4 1 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ỉ ử_ữ
ỗ

+ - ỗ_ỗố - ữ_ữ_ứ+ - = cú ỳng hai nghiệm lớn hơn

1:

A. <i>k</i><- .8 B. 8- < < .<i>k</i> 1 C. 0< < .<i>k</i> 1 <i>D. Không tồn tại k</i>
.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: 2
2

4 2

4 1 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ổ ử_ữ
ỗ

+ - ỗ_ỗố - ữ_ữ_ứ+ - =

 

2

2 2

4 3 0 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _  

    .

Đặt <i>t</i> <i>x</i> 2
<i>x</i>

  , phương trình trở thành <i>t</i>2 4<i>t k</i>  3 0 2

 

.

Nhận xét : với mỗi nghiệm <i>t</i> của phương trình

 

2 cho ta hai nghiệm trái dấu
của phương trình

 

1 .

Ta có :   4



<i>k</i>1



 1 <i>k</i> .

Từ nhận xét trên, phương trình

 

1 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ
khi









2

2

1 0

1 2 1 .1 2 0

1 2 1 .1 2 0


 



    




     



<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

8 1

  <i>k</i>

<b>Câu 26.</b><i>Tìm m để phương trình : </i>

_

<i>_x</i>2 _{2 4 – 2}<i>_x</i>

_

2 <i>_{m x}</i>

_

2 ₂<i>_x</i> ₄

_

_{4 –1 0}<i>_m</i>

      có đúng hai

nghiệm.

A. 3< < .<i>m</i> 4 B. <i>m</i>< -2 3Ú > +<i>m</i> 2 3.

C. 2+ 3< <<i>m</i> 4. D. 2 3

4
<i>m</i>
<i>m</i>
  





.

Lời giải
Chọn D.

Đặt <i>_t</i> <i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> ₄



<i>_x</i> ₁



2 _{3 3}

       , phương trình trở thành

 

2 ₂ ₄ _{1 0 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm <i>t </i>3 của phương trình

 

2 cho ta hai nghiệm
của phương trình

 

1 . Do đó phương trình

 

1 có đúng hai nghiệm khi
phương trình

 

2 có đúng một nghiệm <i>t </i>3.





2

2

4 1 0

2 3

1. 3 2 .3 4 1 0

    
 

 

   

<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
2 3
4
  
 


<i>m</i>

<i>m</i> .

<b>Câu 27.</b>Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình :

(

)

2
2
2
25
11
5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
+ =

+ gần nhất với số
nào dưới đây?

A. 2,5. B. 3. C. 3,5. D. 2,8.

Lời giải
Chọn D.

Ta có :

(

)

2
2
2

25
11
5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
+ =
+
2 ₂₅
5 11
5 5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
ổ ử_ữ
ỗ
₊ ỗ_ỗố + + ₊ ÷_÷_ø=
2 2
10 50
. 11
5 5
 
 
 

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
2 2
10 11

5 5
 
 _  _ 
 _  _
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
2 2

10 11 0

5 5
 
_ _   
 
 
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
2
1
5
11
5









 

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





2
2
5 0

11 55 0 vn
   
 
  

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1 21
1, 79
2
1 21
2, 79
2
 _
 




 _
 


<i>x</i>
<i>x</i>
.

<b>Câu 28.</b>Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

(

2

)

2

(

)

(

2

)

2 <i>x</i> +2<i>x</i> - 4<i>m</i>- 3 <i>x</i> +2<i>x</i> + -1 2<i>m</i>= có đúng 3 nghiệm thuộc 0

[

- 3;0 .

]

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn .</b>

Ta có:  



4<i>m</i> 3



2  4.2. 1 2



 <i>m</i>

 

 4<i>m</i>1



2



2



2





_

2

_

2 <i>x</i> 2<i>x</i>  4<i>m</i> 3 <i>x</i> 2<i>x</i>  1 2<i>m</i>0

 

 

2

2

1

2 1
2

2 2 1 2

 



  

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

 

2 1

1 2 0

2
 <i>x</i>  <i>x</i> 









2 6

3; 0
2

2 6

3; 0
2
 _{ }
  



 _{ }
  


<i>x</i>
<i>x</i>

 

2 



<i>x</i>1



2 2<i>m</i>. Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn



3; 0



khi
phương trình

 

2 có hai nghiệm thuộc đoạn



3; 0



2 0

3 1 2 0

3 1 2 0




   _ 

   

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
0
1
2
2




 _ 




<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
1
0 .
2

 <i>m</i>

<i>Khơng có giá trị ngun nào của m thỏa mãn.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

A. 0 . B. 1. C. 2. D. 6 .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn B.</b>

Phương trình <i>_x</i>6₊₂₀₀₃<i>_x</i>3_- ₂₀₀₅₌₀

Vì 1.

(

- 2005

)

< suy ra phương trình có 2 nghiệm trái dấu0
Suy ra có phương trình có một nghiệm âm.

<b>Câu 30.</b>Cho phương trình<i>ax</i>4+<i>bx</i>2+ =<i>c</i> 0 1

( ) (

<i>a</i>¹ 0

)

. Đặt:_{D =}<i>_b</i>2_- ₄<i>_ac</i>_,<i>_S</i> <i>b</i>

<i>a</i>

-= , <i>P</i> <i>c</i>
<i>a</i>
= . Ta

có

( )

1 vơ nghiệm khi và chỉ khi :

A.D < .0 B.

0

0 0

0

<i>S</i>
<i>P</i>

ì D ³
ïï
ïï
D < Ú_íï <

ï >
ïïỵ

. C. 0

0

<i>S</i>

ì D >
ïï
íï <

ïỵ . D.

0
0

<i>P</i>

ì D >
ïï
íï >
ïỵ .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn B.</b>

Đặt <i>t</i>=<i>x</i>2

(

<i>t</i>³ 0

)

Phương trình

( )

1 thành <i>_at</i>2_{+ + =}<i>_{bt c}</i> _{0 2}

( )

Phương trình

( )

1 vơ nghiệm

Û phương trình

( )

2 vơ nghiệm hoặc phương trình

( )

2 có 2 nghiệm cùng âm
0

0 0

0

<i>S</i>
<i>P</i>

ì D ³
ïï
ïï

Û D < È_íï <

ï >
ïïỵ

.

<b>Câu 31.</b>Phương trình<i>_x</i>4₊

(

₆₅_- ₃

)

<i>_x</i>2₊_{2 8}

(

₊ ₆₃

)

₌₀

có bao nhiêu nghiệm ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 0.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>

Ta có D =

(

65- 3

)

2- 4.2. 8

(

+ 63

)

= -4 2 195 8 63- <0
Suy ra phương trình vơ nghiệm.

<b>Câu 32.</b>Phương trình_- <i>_x</i>4_- ₂

(

_{2 1}_-

)

<i>_x</i>2_{+ -}

(

_{3 2 2}

)

₀

= có bao nhiêu nghiệm ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 0.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Đặt <i>_t</i>₌<i>_x</i>2

(

<i>_t</i>_³ ₀

)

Phương trình

( )

1 thành _- <i>_t</i>2_- ₂

(

_{2 1}_-

) (

<i>_t</i>_{+ -}_{3 2 2}

)

₌₀

_{( )}

₂

Phương trình

( )

2 có <i>a c</i>. = -

( )

1 3 2 2

(

-

)

<0
Suy ra phương trình

( )

2 có 2 nghiệm trái dấu
Suy ra phương trình

( )

2 có 2 nghiệm phân biệt.

<b>Câu 33.</b>Phương trình: ₂<i>_x</i>4_- ₂

(

₂₊ ₃

)

<i>_x</i>2₊ ₁₂₌₀

A. vơ nghiệm

B. Có 2 nghiệm 2 3 5

2

<i>x</i>= + + , 2 3 5

2

<i>x</i>=- + + .

C. Có 2 nghiệm 2 3 5

2

<i>x</i>= + - , 2 3 5

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

D. Có 4 nghiệm 2 3 5
2

<i>x</i>= + + , 2 3 5

2

<i>x</i>=- + + , 2 3 5

2

<i>x</i>= + - ,

2 3 5

2

<i>x</i>=- + - .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>

Đặt <i>t</i>=<i>x</i>2

(

<i>t</i>³ 0

)

Phương trình (1) thành _2.<i>_t</i>2_- ₂

(

₂₊ ₃

)

<i>_t</i>₊ ₁₂₌₀

_{( )}

₂

Ta có D = +' 5 2 6 2 6- =5

Ta có

(

)

' 5 0

2 2 3

0
2

12

0
2

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>a</i>

ìïï

ï D = >
ïï

ïï - +

ïï - =- >

íï
ïï

ïï

ï _{= >}
ïï

ïỵ

Suy ra phương trình

( )

2 có 2 nghiệm dương phân biệt
Vậy Phương trình

( )

1 có 4 nghiệm.

<b>Câu 34.</b>Cho phương trình<i>_x</i>4₊<i>_x</i>2_{+ =}<i>_m</i> ₀_{. Khẳng định nào sau đây là đúng:}

A. Phương trình có nghiệm 1
4
<i>m</i>

Û £ .

B. Phương trình có nghiệm<i>m</i>£ 0.
<i>C. Phương trình vơ nghiệm với mọi m .</i>

D. Phương trình có nghiệm duy nhấtÛ <i>m</i>=- .2

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn B.</b>

Đặt <i>_t</i>₌<i>_x</i>2

(

<i>_t</i>_³ ₀

)

Phương trình

( )

1 thành <i>_t</i>2_{+ + =}<i>_{t m}</i> _{0 2}

( )

Phương trình

( )

1 vơ nghiệm

Û phương trình

( )

2 vơ nghiệm hoặc phương trình

( )

2 có 2 nghiệm âm
0

0 0

0

<i>S</i>
<i>P</i>

ì D ³
ïï
ïï
Û D < È_íï <

ï >
ïïỵ

1 4 0

1 4 0 1 0

0

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

ì - ³
ïï

ïï
Û - < È - <_íï

ï >
ïïỵ

1
1

4

4 ₀

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

ìïï £
ï
Û > È í

ïï >
ïỵ

0

<i>m</i>

Û > .

Phương trình có nghiệm Û <i>m</i>£ 0.

<b>Câu 35.</b>Phương trình_- <i>_x</i>4₊

(

₂_- ₃

)

<i>_x</i>2₌₀

có:

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>
Ta có

(

)

4 2

2 3 0

<i>x</i> <i>x</i>

- + - = 2

(

2

)

2 3 0

<i>x</i> <i>x</i>

Û - + - =

( )

2
2

0

2 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>vl</i>

é =
ê

Û ê ₌ 
-ê

ë

2 ₀

<i>x</i>

Û = Û <i>x</i><b>= .</b>0

<b>Câu 36.</b>Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm:<i>_x</i>4_- ₂₀₀₅<i>_x</i>2_- ₁₃₌₀

A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Đặt <i>t</i>=<i>x</i>2

(

<i>t</i>³ 0

)

Phương trình

( )

1 thành <i>_t</i>2_- ₂₀₀₅<i>_t</i>_- ₁₃₌₀

( )

₁

Phương trình

( )

2 có <i>a c</i>. = -1.( 13)<0

Suy ra phương trình

( )

2 có 2 nghiệm trái dấu

Ruy ra phương trình

( )

1 có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

<b>Câu 37.</b> Phương trình : 3- <i>x</i> +2<i>x</i>+ = , có4 3

nghiệm là :

A. 4

3

<i>x</i>=- . B. <i>x</i>=- .4 C. 2

3

<i>x</i>= . D. Vơ nghiệm.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>

Trường hợp 1: <i>x</i><- 2

Phương trình thành 3- -<i>x</i> 2<i>x</i>- 4 3= Û 3<i>x</i>=- 4 4

( )

3

<i>x</i> - <i>l</i>

Û =

Trường hợp 2: - £ £2 <i>x</i> 3

Phương trình thành 3- +<i>x</i> 2<i>x</i>+ =4 3 Û <i>x</i>=- 4

( )

<i>l</i>

Trường hợp 3: <i>x</i>>3

Phương trình thành <i>x</i>- +3 2<i>x</i>+ =4 3Û 3<i>x</i>=2 2

( )

3

<i>x</i> <i>l</i>

Û =

<i>Vậy S =Ỉ.</i>

<b>Câu 38.</b> Phương trình: 2<i>x</i>- 4+ - = có bao<i>x</i> 1 0

nhiêu nghiệm ?

A. 0 . B. 1. C. 2. D. Vô số.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

2<i>x</i>- 4+ - =<i>x</i> 1 0 2 4 0
1 0

<i>x</i>
<i>x</i>

ì - =

ïï

Û í_{ï - =}

ïỵ

( )

2
1

<i>x</i>

<i>vl</i>
<i>x</i>

ì =
ïï
Û ớ_{ù =}

ùợ <i>x</i>ẻ ặ

<b>Cõu 39.</b> Cho phng trình:<i>a x</i>+ +2 <i>a x</i>- 1= .<i>b</i>

Để phương trình có hai nghiệm khác nhau, hệ thức giữa hai tham số<i>a b</i>, _là:
A. <i>a</i>>3<i>b</i>. B. <i>b</i>>3<i>a</i>. C. <i>a</i>=3<i>b</i>. D. <i>b</i>=3<i>a</i>.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

<b>Câu 40.</b> Phương trình:

2 3 5 2 7 0

<i>x</i>+ + <i>x</i>- - <i>x</i>- = , có nghiệm là :

A. 2;5
3
<i>x</i> éê ùú
" Ỵ

-ê ú

ë û. B. <i>x</i>=- .3 C. <i>x</i>= .3 D. <i>x</i>= .4

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Trường hợp 1: <i>x</i>£ - 2

Phương trình thành: - - -<i>x</i> 2 3<i>x</i>+ +5 2<i>x</i>- 7=0 Û - 2<i>x</i>=4Û <i>x</i>=- 2

( )

<i>n</i> .

Trường hợp 2: 2 5
3
<i>x</i>
- < <

Phương trình thành: <i>x</i>+ -2 3<i>x</i>+ +5 2<i>x</i>- 7=0Û 0<i>x</i>=0

( )

<i>ld</i> Suy ra 2 5
3
<i>x</i>
- < < .

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Phương trình thành: <i>x</i>+ + - +2 3<i>x</i> 5 2<i>x</i>- 7=0Û 6<i>x</i>=10 5

( )

3

<i>x</i> <i>n</i>

Û = .

Trường hợp 4: 7
2
<i>x</i>>

Phương trình thành: <i>x</i>+ + - -2 3<i>x</i> 5 2<i>x</i>+ =7 0Û 6<i>x</i>=- 4 2

( )

3

<i>x</i> - <i>l</i>

Û = .

Vậy 2;5
3
<i>S</i>= -éê ùú

ê ú

ë û.

<b>Câu 41.</b> Phương trình

2 ₃ 2 ₃

2 3 4

2 2 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- + + - + = có nghiệm là :

A. 1

2

<i>x</i>= , 7
2

<i>x</i>= , 13
3

<i>x</i>= . B. 3

2

<i>x</i>= ; 7
3

<i>x</i>= , 11
3
<i>x</i>= .

C. 7
5

<i>x</i>= , 5
4

<i>x</i>= , 13
2

<i>x</i>= . D. 7

4

<i>x</i>= , 5
2

<i>x</i>= , 13
4
<i>x</i>= .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn D.</b>
TH 1: <i>x</i>£1

Phương trình thành: 2 2 3 2 3 4 3

2 2 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- + + - + = 2 ₅ 19 ₀

4

<i>x</i> <i>x</i>

Û - + =

( )

( )

5 6

2

5 6

2

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>l</i>

é ₊

ê =
ê
ê
Û _ê

-ê =
ê
ë

.

TH 2: 1< <<i>x</i> 2

Phương trình thành:

2 2

3 3

2 3 4

2 2 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- + - + - + = 7

( )

4

<i>x</i> <i>n</i>

Û = .

TH 3: 2£ £<i>x</i> 3

Phương trình thành:

2 2

3 3

2 3 4

2 2 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- + - - + - = 2 ₅ 25 ₀

4

<i>x</i> <i>x</i>

Û - + - = 5

( )

2

<i>x</i> <i>n</i>

Û = .

TH 4: 3< <<i>x</i> 4

Phương trình thành:

2 ₃ 2 ₃

2 3 4

2 2 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- + - + - = 13

( )

4

<i>x</i> <i>n</i>

Û = .

TH 4: <i>x</i>³ 4

Phương trình thành:

2 ₃ 2 ₃

2 3 4

2 2 2 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- + + - + = 2 19

5 0

4

<i>x</i> <i>x</i>

Û - + =

( )

( )

5 6

2

5 6

2

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>l</i>

é ₊

ê =
ê

ê
Û _ê

-ê =
ê
ë

.

<b>Câu 42.</b> Định <i> k để</i> phương trình:

2 ₂ _{1 0}

<i>x</i> + <i>x k</i>- + - =<i>x</i> <i>có đúng ba nghiệm. Các giá trị k tìm được có tổng :</i>

A. 5- . B. - 1. C. 0 . D. 4.

<b>Câu 43.</b> Phương trình:<i>_x</i>2_- ₆<i>_x</i>_{+ =}₅ <i>_{k x}</i>₂ _- ₁ _có

nghiệm duy nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Câu 44.</b> Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để

phương trình:

2
2

2 1 2

12

4 4 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>m</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ổ _- ₊ ử_ữ ₊

ỗ _ữ- ₌

ỗ _ữ

ỗ ữ

ỗ + +

-ố ứ cú ỳng 4 nghim?

A. 14. B. 15 .

C. 16 . D. Nhiều hơn 16 nhưng hữu hạn.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Câu 45.</b> Cho phương trình:

3 1 2 5 3

1

1 1

<i>mx</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+ + +

+ + =

+ + . Để phương trình có nghiệm, điều kiện để thỏa
<i>mãn tham số m là :</i>

A. 0 1

3
<i>m</i>

< < . B.
0
1
3
<i>m</i>

<i>m</i>
é <
ê
ê
ê >
ê
ë

. C. 1 0

3 <i>m</i>

- < < . D.

1
3
0
<i>m</i>

<i>m</i>
é
ê
<-ê
ê

>
ê
ë

.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn B.</b>

Điều kiện: <i>x</i>>- 1

Phương trình thành 3<i>mx</i>+ + + =1 <i>x</i> 1 2<i>x</i>+5<i>m</i>+3 Û

(

3<i>m</i>- 1

)

<i>x</i>=5<i>m</i>+1 2

( )

Phương trình

( )

1 vơ nghiệmÛ Phương trình

( )

2 vơ nghiệm hoặc phương
trình

( )

2 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn bằng - 1

3 1 0

3 1 0

5 1

5 1 0 1

3 1

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

ì - ¹
ï

ì - = ï

ï _ï

ï

Û í_ï _{+ ¹} Èí_ï + _£

-ïỵ _ïï_ỵ 

-1
3

<i>m</i>

Û = È 1 5 1 3 1 3 1 0

5 1 3 1 3 1 0

3

<i>m</i> <i>m</i> <i>khi</i> <i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>khi</i> <i>m</i>

æ _{é + £ -} ₊ _{- ữ}ử

ỗ _ạ _ầ_ờ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ờ _ữ

ỗ + - + - <

ố _ở ứ

1
3
<i>m</i>

= ẩ

1
0

1 3

1
3

0

3

<i>m</i> <i>khi m</i>

<i>m</i>

<i>m</i> <i>khi m</i>

ổ ộ ử_ữ

ỗ _{ờ Ê} _ữ

ỗ _ữ

ỗ ờ ữ

ỗ _ạ _ầ _ữ

ỗ ờ ữ

ỗ _ờ ữ

ỗ ữ_ữ

ỗ ờ < _ữ

ỗ ữ

ỗố ờ_ở ứ

1
0

3
<i>m</i>

£ £

Vậy Phương trình có nghiệm
0
1
3
<i>m</i>

<i>m</i>
é <
ê
ê
ê >
ê
ë

.

<b>Câu 46.</b> Cho phương trình: 2 2

1

<i>x m</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

+

-+ =

+ . Để

phương trình vơ nghiệm thì:

A. 1

3

<i>m</i>
<i>m</i>

é =
ê
ê =

ë . B.

1
3

<i>m</i>
<i>m</i>

é
=-ê
ê

=-ë . C.

2
2

<i>m</i>
<i>m</i>

é =
ê
ê

=-ë . D.

1
3
1
2

<i>m</i>

<i>m</i>

é
ê
=-ê
ê
ê ₌
ê

ê
ë

.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Điều kiện: 0
1

<i>x</i>
<i>x</i>

ỡ ạ
ùù
ớù ạ
-ùợ

Phng trỡnh thnh <i>_x</i>2₊<i>_mx</i>_{+ - -}<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₂₌₂

(

<i>_x</i>2₊<i>_x</i>

)

_Û

₍

<i>_m</i>_- ₃

₎

<i>_x</i>₌₂

_{( )}

2 .
Phương trình

( )

1 vô nghiệm

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

3 0

<i>m</i>

Û - = È

( )

2
0
3
3 0

2

1
3

<i>vl</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

ổ ộ ử_ữ

ỗ _ờ ₌ _ữ

ỗ _ữ

ỗ ờ - ữ

ỗ _{- ạ} _ầ _ữ

ỗ ờ ữ

ỗ _ờ ữ

ỗ ữ_ữ

ỗ ờ =- _ữ

ỗ _ữ

ỗố ờ -ở ứ

3
3

2 3

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

ỡ ạ
ùù
= ẩ í_{ï =}

-ïỵ

3
1

<i>m</i>
<i>m</i>

é =
ê
Û

ê =
ë

.

<b>Câu 47.</b> Cho phương trình:

(

)

2 ₁ ₁

2
2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i>

- + +
=

- . Có

nghiệm là:

A. <i>x</i>= .1 B. <i>x</i>= .3 C. <i>x</i>= .4 D. <i>x</i>= .5

<b>Hướng dn gii</b>

<b>Chn A.</b>

iu kin: 0
2

<i>x</i>
<i>x</i>

ỡ ạ
ùù
ớù ạ
ùợ

Phng trỡnh thnh <i>x</i>2- + + =1 <i>x</i> 1 2 <i>x x</i>

(

- 2

)

TH 1: <i>x</i><- 1

Phương trình thành <i>x</i>2- - - = -1 <i>x</i> 1 2

( ) (

<i>x x</i>- 2

)

_Û ₃<i>_x</i>2_- ₅<i>_x</i>_- ₂₌₀

( )

( )

2
1

3

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>l</i>

é =
ê
ê

Û 

-ê =
ê
ë

.

TH 2: - £ £1 <i>x</i> 0

Phương trình thành <i>_x</i>2_{- + + =-}₁ <i>_x</i> ₁ ₂<i>_{x x}</i>

(

_- ₂

)

_Û ₃<i>_x</i>2_- ₃<i>_x</i>₌₀

( )

( )

0
1

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>l</i>

é =
ê
Û ê₌

ê

ë .

TH3: <i>x</i>>0

Phương trình thành <i>x</i>2- + + =1 <i>x</i> 1 2<i>x x</i>

(

- 2

)

_Û <i>_x</i>2_- ₅<i>_x</i>₌₀

( )

( )

0
5

<i>x</i> <i>l</i>

<i>x</i> <i>n</i>

é =
ê
Û ê₌

ê

ë .

<b>Câu 48.</b> <i>Tìm m để phương trình vơ nghiệm:</i>

2

1
2

<i>x m</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

- ₌

-- <i> ( m là tham số).</i>

A. <i>m</i>= .3 B. <i>m</i>= .4 C. <i>m</i>= Ú = .3 <i>m</i> 4 D. <i>m</i>= Ú =- .3 <i>m</i> 4

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Điều kiện: <i>x</i>¹ 2

Phương trình thành 2<i>x m</i>- =<i>mx</i>- 2<i>m x</i>- + Û2

(

<i>m</i>- 3

)

<i>x</i>= -<i>m</i> 2(2)
Phương trình (1) vơ nghiệm

Û Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất
bằng 2

3 0

3 0

2

2 0 2

3
<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>
ì - ¹
ï

ì - = ï

ï _ï

ï

Û í_ï _- _¹ Èí -_ï ₌

ïỵ _{ïï -}_ỵ

3
4

<i>m</i>
<i>m</i>

é =
ê
Û

ê =

ë .

<b>Câu 49.</b> Phương trình 3 2 5

3 2 2

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

-

-=

+ + - có các

nghiệm là:

A. 1

8

<i>x</i>=- , <i>x</i>=- .7 B. 21
9

<i>x</i>=- , 2
23

<i>x</i>= . C. 22
9

<i>x</i>=- , 1
23

<i>x</i>= . D. 23
9

<i>x</i>=- , 3
23
<i>x</i>= .

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn A.</b>

Điều kiện: 3 2+ <i>x</i>+ -<i>x</i> 2¹ 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

TH 1: 3
2
<i>x</i><

-Phương trình thành 3 2- <i>x</i>+ =-<i>x</i> 15 10- <i>x</i>+ -5<i>x</i> 10Û 4<i>x</i>=- 28Û <i>x</i>=- 7

( )

<i>n</i> .

TH2: 3 0

2 <i>x</i>

- _{£ £}

Phương trình thành 3 2- <i>x x</i>+ = +15 10<i>x</i>+ -5<i>x</i> 10 Û 16<i>x</i>=- 2 1

( )

8

<i>x</i> <i>n</i>

Û =- .

TH 3: 0 3
2
<i>x</i>
< <

Phương trình thành 3 2- <i>x x</i>- = +15 10<i>x</i>+ -5<i>x</i> 10 Û 18<i>x</i>=- 2 1

( )

9

<i>x</i> <i>l</i>

Û =- .

TH 4: 3
2
<i>x</i>³

Phương trình thành 3 2- + <i>x x</i>- = +15 10<i>x</i>+ -5<i>x</i> 10 Û 14<i>x</i>=- 8 4

( )

7

<i>x</i> <i>l</i>

Û =- .

<b>Câu 50.</b> Tập nghiệm T của phương trình:

3 3

4 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

- ₌

-- - là:

A. <i>T</i> = +¥ .

[

3;

)

B. <i>T</i>=

[

4;+¥ .

)

C.

(

4;+¥ .

)

D. <i>T</i> =Ỉ.

<b>Hướng dẫn giải</b>

<b>Chọn C.</b>

Điều kiện: <i>x</i>>4
Phương trình thành

3 3

<i>x</i>- = -<i>x</i> 3 0 3 3

3 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

é =
-ê

Û - ³ Ç

ê =
-ë

( )

0 0

3

3

<i>x</i> <i>ld</i>

<i>x</i>

<i>x</i>
é =
ê
Û _{³ Ç ê}

=

ë Û <i>x</i>³ 3

.

</div>

<!--links-->