Phương pháp giải phương trình lượng giác – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> </b>

<i>Chuyên đề 2</i>

<b>: </b>

LƯỢNG GIÁC



<i><b> Vấn đề 1: </b></i>

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>
<b>1. Phương trình lượng giác cơ bản </b>

cosx = cos  x =  + k2

sinx = sin  x k2

x k2

   


    


tanx = tan  x =  + k

cotx = cot  x =  + k (với k  )

<b>2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác </b>
<b> </b> asin2_{x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,}__t__₁

acos2_{x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,}__t__₁

atan2_{x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx}

acot2_{x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx}

<b>3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx </b>

asinx + bcosx = c (*)
Điều kiện có nghiệm: a2_{+ b}2__c2
<i> Cách 1: Chia hai veá cho </i> a2b2  0
(*) 

2 2

a

a b sinx + 2 2
b

a b cosx = 2 2
c
a b

Do

2

2 2

a

a b

 

 



  +

2

2 2

b

a b

 

 



  = 1

Nên có thể ñaët

2 2

a

a b = cos, 2 2

b

a b = sin
Khi đó:

(*)  sinxcos + sincosx =

2 2

c

a b  sin(x + ) = 2 2
c
a b

<i> Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a </i> 0)
(*)  sinx +b

acosx =
c
a
Đặt b

a= tan. Khi đó: (*)  sinx +
sin
cos


cosx =

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 sinx cos + sin cosx =c

acos  sin(x + ) =
c
acos

<i> Cách 3: Đặt ẩn số phụ. </i>

 Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0

 Xét x  (2k + 1) với (k  )
Đặt t = tanx

2

Khi đó: (*)  a 2t₂
1 t + b

2
2
1 t
1 t



 = c  (b + c)t

2_{– 2at + c – b = 0}

<b>4. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 </b>

Đặt t = sinx + cosx = 2cos x
4


 _ 

 

 

Điều kiện  t 2

Khi đó: t2_{= 1 + 2sinxcosx}__{sinxcosx =}t2 1

2



Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.

<i> Chú ý: a(sinx </i> cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx – cosx (với t  2)

<b>5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx </b>

asin2_{x + bsinxcosx + ccos}2_{x = 0}
 Xeùt cosx = 0  x =

2



+ k (k  ) coù là nghiệm không?

 Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos2_{x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.}
<i> Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0 </i>

và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho cosk_{x và ta thu được một}

phương trình bậc k theo tanx.

<b>B. ĐỀ THI </b>
<b>Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 </b>

Giaûi phương trình: 1 sin2x cos2x₂ 2 sinx.sin2x
1 cot x

  _

 .

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện: sinx  0. Khi đó:

(1)    





2

1 sin2x cos2x _{2 sinx. 2sinxcosx}
1

sin x

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 sin x 1 sin2x cos2x2



 



2 2 sin x.cosx2
1 sin2x cos2x 2 2 cosx   (vì sinx  0)
 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 02   

 cosx 0 cosx sinx    2
   _ _

 

cosx 0 sin x 1

4

 x      k x  k2

2 4 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0).
Vậy nghiệm của (1) là x      k x  k2

2 4 (k  Z).

<b>Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 </b>

Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

<i><b>Giaûi </b></i>

sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

 2sinx.cos2_{x + sinx.cosx = 2cos}2_{x – 1 + sinx + cosx}

 sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1
 cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1

 sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1
 sinx = 1 hoặc 2cos2_{x + cosx – 1 = 0}

 sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1
2
 x k2

2



   hoặc x  k2 hoặcx k2
3



   

 x k2
2



   hoặc x  k2

3 3 (k Z)

<b>Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 </b>

Giải phương trình:    


sin2x 2cosx sinx 1 ₀

tanx 3

<i><b>Giaûi </b></i>

   


sin2x 2cosx sinx 1 ₀

tanx 3 . Điều kiện: tanx   3 vaø cosx  0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 2cosx sinx 1



 

 

sinx 1 0 







sinx 1 2cosx 1



 



0



  


 _



sinx 1 (Loại vì khi đó cosx = 0)
1

cosx
2

 x   k2

3 (k Z).

So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x  k2

3 (k Z).

<b>Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 </b>

Giải phương trình: cos4x + 12sin2_{x – 1 = 0.}

<i><b>Giaûi </b></i>

cos4x + 12sin2_{x – 1 = 0}__2cos2_{2x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0}
 cos2_{2x – 3cos2x + 2 = 0}__{cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)}

 2x = k2π  x = kπ (k  Z).

<b>Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 </b>

Giải phương trình:

(1 sinx cos2x)sin x

1
4 _cosx

1 tanx 2



  




 

 

 

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: cosx 0 vaø tanx ≠ – 1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
(1 sinx cos2x).(sinx cosx)

cosx
1 tanx

   _



 (1 sinx cos2x).(sinx cosx)cosx cosx
sinx cosx

  




2

1 sin x cos2x 1 sin x cos2x 0

1
2sin x sin x 1 0 sin x 1(loại) hay sin x

2
7

x k2 hay x k2 (k Z)

6 6

      

       

 

        

<b> Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 </b>

Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

(2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
 cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2_{x – 1) = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 cos2x (cosx + sinx + 2) = 0

 cos2x 0

cosx sinx 2 0 (vn)




 _ _{ }



 2x = k
2

_{ }

(k  )  x = k
4 2

_ 

(k  ) .

<b>Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 </b>

Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0    

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

2
2

2sin x cosx 1 2sin x 3sin x cosx 1 0

cosx(2sin x 1) 2sin x 3sin x 2 0
cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0
(2sin x 1)(cosx sin x 2) 0

     

     

     

    

1 x k2

sin x ₆

(k )
2

5
cosx sin x 2 (VN) x k2

6



  



  



     



 _

 _

 _

 _

.

<b>Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 </b>

Giải phương trình 4cos5xcos3x 2(8sinx 1)cosx 5

2 2    .

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5   

 2cos4x 8sin2x 5   2 4sin 2x 8sin2x 5 2  

 4sin2_{2x – 8sin2x + 3 = 0}_ _sin2x 3

2

 (loại ) hay sin2x 1
2



 2x k2
6



   hay 2x 5 k2
6



  

 x k
12



   hay x 5 k
12



   (k  ) .

<b>Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 </b>

Giải phương trình:











1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx





</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện: sinx  1 và sinx  1

2

 (*)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
(1 – 2sinx)cosx = 3 1 2sinx 1 sinx











cosx 3sinx sin2x  3 cos2x
cos x cos 2x

3 6

 

   

 _  _ _  _

   

x k2 hoặc x k2

2 18 3

  

       (k  )

Kết hợp (*), ta được nghiệm: x k2

_

k

_

18 3

 

   

<b>Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 </b>

Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2 cos4x sin x



 3



<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

(1 – 2sin2_{x)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x}_ 

 sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x

 sin3x + 3 cos3x 2cos4x cos 3x cos4x
6



 

  _  _

 

 4x = 3x k2 hoặc 4x 3x k2

6 6

 

        (k  )

Vaäy: x = k2 ; x k2



k



6 42 7

  

      .

<b>Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 </b>

Giải phương trình: 3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:
3 cos5x



sin5x sinx



sinx 0

 3cos5x 1sin5x sinx

2 2   sin 3 5x sinx



 _ _

 

 

 5x x k2 hay   5x   x k2

3 3 (k  )

Vaäy: x =  k hay x    k



k



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Baøi 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 </b>

Giải phương trình (1 + 2sinx)2_{cosx = 1 + sinx + cosx}

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

(1 + 4sinx + 4sin2_{x)cosx = 1 + sinx + cosx}
 cosx + 4sinxcosx + 4sin2_{xcosx = 1 + sinx + cosx}
 1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1

 sinx = 1 hay sin2x = 1
2

5
x k2 hay x k hay x k

2 12 12

  

           (với k  ) .

<b>Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 </b>

Giải phương trình: 1 1 4sin 7 x
3

sin x _{sin x} 4
2



 

  _  _



 _   

 

 

<i><b>Giải </b></i>

Ta có: sin x 3 cosx
2



 _ _

 

 

Điều kiện: sin x 0
cosx 0




 _

  sin2x  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
1 1 4sin x

sinx cosx 4



 

   _  _

 





cosx sinx



 2 2 sinx cosx sinxcosx











cosx sinx 1





 2 sin2x



0



x k

4
tan x 1

cosx sin x 0

x k

1 ₂

sin2x ₂ sin2x 8

2 ₅

x k

8


    


 

   





 

 _ _ _{   }

 

   _{ }

 

  _

   



(k  ) .

<b>Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 </b>

Giải phương trình: sin x3  3 cos x sinxcos x3  2  3sin xcosx2

<i><b>Giaûi </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
<b> Cách 1: Phương trình đã cho tương đương: </b>

sinx(cos x sin x)2  2  3 cosx(cos x sin x) 02  2 





cos x sin x sinx2  2





 3 cosx



0



k
x

cos2x 0 ₄ ₂

(k )

tan x 3 _x _k

3

 

  





 

 _{ } _



 _{   }



Nghiệm của phương trình là: x k
4 2

 

  vaø x k (k )
3



    

<b> Cách 2: </b>  cosx = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình (1).
 Chia hai vế của phương trình (1) cho cos3_{x ta được:}

tan x3  3 tanx  3 tan x3

 _{(tan x} _{3)(tan x 1) 0}2 tan x 3 x 3 k _k 

tan x 1 _x _k

4


    


  

     _ 

  

 _{   }



<b>Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 </b>

Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx.

<i><b>Giaûi </b></i>

<b> Phương trình đã cho tương đương: </b>
4sinx.cos2_{x + sin2x – 1 – 2cosx = 0}

 2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0

 (sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0

  

sin2x 1haycosx      1 x k hayx2 k2 hay x  2 k2 (k  )

2 4 3 3

<b>Bài 16: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 </b>

Giải phương trình: sin3x 3 cos3x 2sin2x .

<i><b>Giải </b></i>

<b> Phương trình đã cho tương đương: </b>

1sin3x 3cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x

2 2 3 3

 

    

 sin 3x sin2x
3



 _ _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

 3x 3 2x k2 x 3 k2 (k )
4 k2

3x 2x k2 x

3 15 5

 

 _{ } _ _  _{ } _

 

 

 

  

 _{   } _ _  _ _

 

 

<b>Bài 17: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 </b>

Giải phương trình: (1 + sin2_{x)cosx + (1 + cos}2_{x)sinx = 1 + sin2x}

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương:

(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2
 (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0

 x k , x k2 , x k2 (k )

4 2

 

          .

<b>Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 </b>

Giải phương trình: 2sin2_{2x + sin7x – 1 = sinx.}

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

sin7x  sinx + 2sin2_2x__{1 = 0}__cos4x(2sin3x__{1) = 0}
 cos4x = 0  x = k



k



8 4

_  _

 sin3x 1 x k2

2 18 3

 

    hoặc x 5 k2 (k )

18 3

 

   .

<b>Bài 19: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 </b>

Giải phương trình: sinx cosx 2 3 cosx 2

2 2

 _  _ _

 

 

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

1 sinx 3 cosx 2 cos x 1

6 2



 

    _  _

  x 2 k2 , x 6 k2 (k )

 

       

<b>Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI A NĂM 2007 </b>

Giải phương trình: 3tan x2 2 1 sinx
2 sinx

 

 _ _  

   

   

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: sinx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
3cot x2 2 2

sinx

   3₂ 2 1 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN







1 ₁
sin x

1 1 _{vô nghiệm}
sin x 3

 _




 _{ }



 x k2 , k





2



   

<b>Bài 21: ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI B NĂM 2007 </b>

Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:
1 + sinx + cosx + sin x 0

cosx (điều kiện: cosx  0)




sinx cosx 1



1 0

cosx

 

 _  _

 

 sinx cosx 0

cosx 1

 



 _{ }

 

3

x k

4
x k2


   




   


(k  )

<b>Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007 </b>

Giải phương trình: cos4_{x – sin}4_{x + cos4x = 0.}

<i><b>Giải </b></i>

<b> Phương trình đã cho tương đương với: </b>

cos2_{x – sin}2_{x + 2cos}2_{2x – 1 = 0}

 2cos2_{2x + cos2x – 1 = 0}_ cos2x 1

1
cos2x

2

 




 





x k

2

x k

6


   




    


(k  )

<b>Baøi 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 </b>

Giải phương trình: 2sin3_{x + 4cos}3_{x = 3sinx.}

<i><b>Giải </b></i>

<b> Phương trình đã cho tương đương với: </b>

<b> 2sin</b>3_{x + 4cos}3_{x – 3sinx(sin}2_{x + cos}2_{x) = 0}

 sin3_{x + 3sinxcos}2_{x – 4cos}3_{x = 0 (1)}

Dễ thấy cosx = 0 không phải là nghiệm của (1)

Do đó cosx  0, ta chia hai vế của (1) cho cos3_{x, ta được:}

(1)  tan3_{x + 3tanx – 4 = 0}__{(tanx – 1)(tan}2_{x + tanx + 4) = 0}

 tanx = 1 (do tan2_{x + tanx + 4 > 0 với}__x)

 x k
4



</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài 24: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 </b>

Giải phương trình:





6 6

2 cos x sin x sinxcosx
0
2 2sinx

 




<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: sin x 2
2

 (1).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

 2(cos6_{x + sin}6_{x) – sinxcosx = 0}
 2 1 3sin 2x2 1sin2x 0

4 2

 _ _ _

 

 

 3sin 2x sin2x 4 02     sin2x = 1  x = k
4

_{ }_(k__).

Do điều kiện (1) nên: x 5 2m .
4



   (m  ).

<b>Bài 25: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 </b>

Giải phương trình: cot x sinx 1 tanxtanx 4

2

 

 _  _

 

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: sinx  0, cosx  0, (1)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

x x

cosx cos sin xsin

cosx _{sin x} ₂ ₂ ₄

x
sin x _{cosx cos}

2



 

 cosx sinx 4 1 4 sin2x 1
sinx cosx  sinxcosx  2
 x   k hay x5 k

12 12 (k  ), thỏa mãn (1)

<b>Bài 26: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 </b>

Giải phương trình: cos3x + cos2x  cosx  1 = 0.

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

  

  

2
2sin2x.sinx 2sin x 0
sinx hay sin2x sinx 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 x = k hay x 2k2

3 (k  )
<b> Bài 27: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 </b>
Giải phương trình: cos3x.cox3_{x – sin3x.sin}3_{x = 2 3 2}

8



<i><b>Giải </b></i>

Ta có cơng thức: sin3x = 3sinx – 4sin3_x_ _{sin x}3 3sinx sin3x

4




vaø cos3x = 4cos3_{x – 3cosx}_ _{cos x}3 3cosx cos3x

4




Từ đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
cos3x 3cosx cos3x sin3x 3sinx sin3x 2 3 2

4 4 8

  

 _  _

   

   

 cos 3x sin 3x 3(cos3xcosx sin3xsinx)2 2 2 3 2
2



   

1 3cos4x 2 3 2
2



   cos4x 2 x k (k )

2 16 2

 

     

<b>Bài 28: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 </b>

Giải phương trình: (2sin2_x__1)tan2_{2x + 3(2cos}2_x__{1) = 0}

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện cos2x  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
cos2xtan2_{2x + 3cos2x = 0}__cos2x(tan2_{2x – 3) = 0}

 cos2x 0 loại₂





tan2x 3 x k



k



6 2

tan 2x 3 0



 _ _

       



 


<b>Bài 29: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 </b>

Giải phương trình: cos3_{x + sin}3_{x + 2sin}2_{x = 1}

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

(sinx + cosx)(1  cosxsinx)  cos2x = 0

 (sinx + cosx)(1  sinx. cosx  (cosx  sinx)) = 0
 (sinx + cosx)(1  cosx)(1 + sinx) = 0

 x k x k2 x k2 , k





4 2

 

          

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:

2x 2 3

4sin 3 cos2x 1 2cos x

2 4



 

   _  _

 

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

 2(1 cosx) 3 cos2x 1 1 cos 2x 3
2



 

     _  _

 

 2 – 2cosx  3 cos2x = 2 – sin2x

 3cos2x – sin2x = 2cosx

 3cos2x 1sin2x cosx

2 2    cos 2x 6 cos( x)



 _ _ _{ }

 

 



5 2

x k

18 3
7

x k2

6

 

  





    


(k  )

Do x  (0; ) neân ta có nghiệm: x₁ 5 , x₂ 17 , x₃ 5

18 18 6

  

   .

<b>Bài 31: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Giải phương trình: sinxcos2x cos x tan x 1 2sin x 0 2



2  



3  .

<i><b>Giải </b></i>

Điều kieän: cosx  0  sinx  1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

2

2 3

2

sin x

sinx.cos2x cos x 1 2sin x 0
cos x

 

 _  _ 

 



2



sinx cos2x 2sin x cos2x 0

   

2

sinx(cos2x 1 cos2x) cos2x 0
2sin x sinx 1 0

    

   

sin x 1 (loại) x k2

6 _k

1 ₅

sin x _x _k2

2 ₆




    

 _



_  



 _{   }

 _

<b>Bài 32: ĐỀ DỰ BỊ 2 </b>

Giải phương trình: tan x 3tan x2 cos2x 1₂

2 cos x

 

 _ _ _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: cosx  0 và sinx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

cot x 3tan x2 2sin x₂2
cos x



   1 tan x 02 tan x3 1

tanx

      

tanx 1 x k

4



       (k  ) thỏa điều kiện.

<b>Bài 33: </b>

Giải phương trình: 5sinx  2 = 3(1 <b> sinx) tan</b>2_x

<i><b>Giải </b></i>

Điều kieän cosx  0  sinx  1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

5sinx 2 3 1 sinx .

_

_

sin x2₂ 3 1 sinx

_

_

sin x2₂

cos x 1 sin x

    



 (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin2_x

 5sinx + 5sin2_x_₂__{2sinx = 3sin}2_x

 2sin2_{x + 3sinx}__{2 = 0}



1

sin x (thỏa mãnđk)
2

sinx = 2 (loại)

 _









x k2

6
5

x k2

6


   




   


(k  )

<b>Bài 34: </b>

Giải phương trình (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sin2x  sinx.

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

(2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx
 (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)
 (2cosx  1) (sinx + cosx) = 0



1 x = k2

cosx ₃

2

tan x 1 x k

4



 _ _ _

 _ _

 _{ }

 _{ } _ _{   }

 _

(k  )

<b>Bài 35: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Giải phương trình: 4(sin3_{x + cos}3_{x) = cosx + 3sinx.}

<i><b>Giaûi </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Phương trình đã cho tương đương với:

4tan3_{x + 4 = 1 + tan}2_{x + 3tanx(1 + tan}2_x)

 tan3_{x – tan}2_{x – 3tanx + 3 = 0}__{(tanx – 1)(tan}2_{x – 3) = 0}
 tanx 1haytan x 3 2  tanx 1 haytanx   3

 x   k hay x    k



k



4 3

<b>Bài 36: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Giải phương trình: 1 1 2 2 cos x

cosx sinx 4



 

  _  _

 

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện cosxsinx  0  x k
2



 (k  )

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
sinx cosx 2 2 cos x cosxsinx

4



 

  _  _

 

  _ _ _ _

   

2 cos x 2 cos x sin2x

4 4

 _ _  

 

cos x 0 hay sin2x 1
4



x k

4 2

2x k2

2

 
    






 _{  } _





x k

4

x k

4


   




    


(k  )

<b>Bài 37: </b>

Giải phương trình cotx  1 = cos2x sin x2 1sin2x
1 tanx  2 .

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện


    


 

 _  _{ } 

 _  _

 _{ }



x k

tan x 1 ₄

x k

sin x,cosx 0 _{x k} 2

2

(k <b> ) </b>

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:





2 2

2

cos x sin x cosx

cosx sinx _{sin x cosxsinx}

sinx cosx sinx



 _ _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 cosx sinx

_

cosx sinx cosx sinx sinx cosx

_

_

_

sinx

 _ _ _ _

 cosx sinx 0hay 1 sinxcosx sin x     2
 tanx = 1 hay1 tan x tanx tan x  2   2













    _

 _{   } _



   

 2

x k

4 x k , k

4
2tan x tanx 1 0 vô nghiệm

<b>Bài 38: </b>

Giải phương trình: cotx  tanx + 4sin2x = 2
sin2x

<i><b>Giải </b></i>

<b> Điều kiện sin2x </b> 0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
 2cos2x 4sin2x 2 2cos2x 4sin 2x 22

sin2x  sin2x  

 2cos2_2x__cos2x__{1 = 0}







cos2x 1 loại
1
cos2x

2






 _{ }



 cos2x = 1
2

  x k



k



3



    

<b>Baøi 39: </b>

Giải phương trình sin2 x tan x cos2 2x 0.

2 4 2



 _  _ _

 

 

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện: x k , k
2



   

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

1 cos x 2 tan x2 1 cosx 0

2 2



 

 _  _ _

 

          


2
2

sin x 1 cosx 1 cosx

(1 sinx) 1 cosx 0 1 cosx

1 sinx
cos x

 1 cosx 0hay1 cosx 1 sinx    









 

    


      _ 

    


x k2 nhaän

cosx 1 hay tanx 1 k

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bài 40: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Giải phương trình: 3  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện: cosx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
3 sinx sinx 2sinx 6cosx 0

cosx cosx

 

 _  _ 

 

 3cos2_{x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos}3_{x = 0}

 3cos2_{x(1 + 2cosx) – sin}2_{x(1 + 2cosx) = 0}

 1 + 2cosx = 0 hay 3cos2_{x – sin}2_{x = 0}

 cos2x 1 hay tan x 32      x  k k  haytanx 3

2 3

    x  k k  

3

<b>Bài 41: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Giải phương trình: 3cos4x  8cos6_{x + 2cos}2_{x + 3 = 0}

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

<b> 3(1 + cos4x) – 2cos</b>2_x_(4cos4_{x – 1) = 0}

 6cos2_{2x – 2cos}2_x(2cos2_{x – 1)(2cos}2_{x + 1) = 0}

 6cos2_{2x – 2cos}2_{x(cos2x)(2cos}2_{x + 1) = 0}

 2cos2x = 0 hay 3cos2x – cos2_x(2cos2_{x + 1) = 0}

  

  

 4 2

cos2x 0

2cos x 5cos x 3 0







2

2

cos2x 0

k

2x k x

cos x 1 ₂ ₄ ₂ _{, k}

3 _{x k} _{x k}

cos x loại
2





  

 

 _{  } _{ }

  

 _ _ _

 

 _{ } _{ }

 

 



<b>Bài 42: ĐỀ DỰ BỊ 2 </b>

Giải phương trình:





2 x

2 3 cosx 2sin

2 4 ₁
2cosx 1



 

  _  _

 _{ }

 .

<i><b>Giải </b></i>

Điều kieän: cosx 1
2



</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

(2 3)cosx 1 cos x 2cosx 1 3 cosx sinx 0
2

   

  _ _  __     

 

 

 tanx 3 x k ; (k )
3



     

Kết hợp lại điều kiện cosx 1.
2

 Ta choïn x4m2 , m 

3

<b>Bài 43: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Giải phương trình: cotx = tanx + 2cos4x
sin2x

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện sin2x  0  cos2x 1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
cosx sinx 2cos4x

sinx cosx 2sinx.cosx   cos

2_{x = sin}2_{x + cos4x.}

 cos2_{x – sin}2_{x – (2cos}2_{2x – 1) = 0}__2cos2_{2x – cos2x – 1 = 0}

 cos2x 1 loại haycos2x





  1 cos2

2 3 







    

x k k

3

<b>Bài 44: </b>

Giải phương trình sin2_3x__cos2_{4x = sin}2_5x__cos2_6x.

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x

2 2 2 2

 _  _  _ 

 cos8x + cos6x = cos12x + cos10x

 cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = 0 hay cos11x = cos7x



 _{ }

 _ _

 _




 _   


 

 _ _


 



x = k

2 _{x = k}

2
x k

2 _{x k}

9
x k

9

(k  )

<b>Bài 45: ĐỀ DỰ BỊ 2 </b>

Giải phương trình: sin x cos x 14 4 cot 2x 1
5sin2x 2 8sin2x

 _ _ _.

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện sin2x  0

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2 2

1 2sin x.cos x 1 cos2x 1

5sin2x 2 sin2x 8sin2x

 _ _









 _



     

 _



2

9
cos2x loại

9 2

cos 2x 5cos2x 0

1

4 _cos2x _nhaän

2

cos2x = 1 cos

2 3



  x =  k
6

_{ }_(k_₎

<b>Bài 46: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Giaûi phương trình





2
4

4

2 sin 2x sin3x
tan x 1

cos x



  .

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện cosx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
sin4_{x + cos}4_{x = (2 – sin}2_2x).sin3x

 1 – 2sin2_x.cos2_{x = (2 – sin}2_2x).sin3x

 (2 – sin2_{2x) = 2(2 – sin}2_2x).sin3x

 2 – sin2_{2x =0( loại) hay 1 = 2sin3x}

 sin3x = 1
2

 

  


  _ _

  



2

x k

18 3

5 2

x k

18 3

(k  )

<b>Bài 47: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I </b>

Giải phương trình: sin x2 sin x2 2 3 sinx

3 3 2

  

 _ _  _ _

   

   

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:
sin x2 sin2 x 3 sinx

3 3 2

  

 _ _  _ _

   

   



2 2

1 cos 2x 1 cos 2x

3 sinx

3 3

2 2 2

 

   

 _  _  _  _



 _  _

 1 sinx cos 2x 2 cos 2 2x 0

3 3

 

   

  _  _ _  _

   

   _ _ 

 

1

1 sinx 2 cos2x 0
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN



sin x 0
1
sin x

2





 





x k
x k2

6
5

x k2

6

 


 _

   


 _

   



(k  )

<b>Bài 48: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TP. HCM </b>

Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x

<i><b>Giải </b></i>

Điều kiện: cos5x  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
sin5x. cos3x = sin7x. cos5x

 1



sin2x sin8x



1



sin2x sin12x



2  2 

 sin12x = sin8x 

k
x

2 _(k ₎

k
x

20 10


 





 

  


<b>Bài 49: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM </b>

Giải phương trình: 1 1 2 sin x

cosx sinx 4



 

  _  _

 

<i><b>Giaûi </b></i>

Điều kiện: cosx  0; sinx  0

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)

 sinx + cosx = 0 hay 2 = sin2x ( vô nghiệm)
 tanx = 1  x k

4



   (k  )

<b>Bài 50: CĐSP TW TP. HCM </b>

Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

2sinxcosx + 1 – 2sin2_{x + 3sinx – cosx – 2 = 0}

 cosx(2sinx – 1) – (2sin2_x__{3sinx + 1) = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

sinx =1

2 hay sin x 4



 _ 

 

  = sin4

 _ x ₆ k2

5

x k2

6


   




   


hay x 2 k2

x k2


   




   


(k  )

<b> Bài 51: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI </b>
Giải phương trình: sin6_{x + cos}6_{x =}_{2sin x}2

4



 _ 

 

 

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:
1  3

4sin

2_{2x = (sinx + cosx)}2__3sin2_{2x + 4sin2x = 0}

 sin2x = 0 hay sin2x = 4

3 (loại)  x = k2

_(k_₎

<b>Bài 52: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM </b>

Giải phương trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =1 cos8x
2



<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

1cosx cos3x 1cos7x cos3x 1 cos8x

2 2 2



 

 

 cosx + cos7x = 1 + cos8x  2cos4xcos3x = 2cos2_4x



k
x

cos4x 0 ₈ ₄

cos4x cos3x _x k2
7

 

  





 

 _ _



 _



(k  )

<b>Baøi 53: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN </b>

Giải phương trình: cosx.cos2x.sin3x = 1
4sin2x

<i><b>Giải </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx
 cosx 0 hay2cos2xsin3x sinx  

 x =
2

_{+ k}__(k__{) hay sin5x + sinx = sinx}

 x =
2



+ k hay x = k
5



(k  )



<i><b> Vấn đề 2:</b></i>

<b> </b>

<b>GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRÊN MỘT MIỀN </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<b>Baøi 1: </b>

Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:
cos3x sin3x

5 sinx cos2x 3

1 2sin2x



 _ _ _

 _ 

  .

<i><b>Giaûi </b></i>

<b> Điều kiện 1 + 2sin2x </b> 0 (1)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:

5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5(sinx + cosx  cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5cosx = cos2x + 3 (Vì 1 + 2sin2x  0)
 5cosx = 2cos2_{x + 2}__{cosx = 1}

2(thỏa điều kieän (1))
 x k2

3



   (k  )

Vì nghiệm x thuộc khoảng (0; 2) nên x x = 5

3 3

 

 

<b>Bài 2: </b>

Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x  4cos2x + 3cosx  4 = 0.

<i><b>Giải </b></i>

<b> Phương trình đã cho tương đương với: </b>

4cos3_x__3cosx__{4 (2cos}2_x__{1) + 3cosx}__{4 = 0}

 4(cos3_x__2cos2_{x) = 0}

 cosx = 0  cosx = 2 (loại)  x =
2

_{+ k}__(k_₎

Vì x  [0; 14] neân x =
2

_{, x = 3}

2

_{, x = 5}

2

_{, x = 7}

2

_.



<i><b> Vấn đề 3: </b></i>

<b>ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC </b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>

<b> </b> <b> Phương trình Asinx + Bcosx = C có nghiệm </b>__A2__B2__C2<b>_.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i><b>B. ĐỀ THI </b></i>

<b> Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Xác định m để phương trình 2(sin4_{x + cos}4_{x) + cos4x + 2sin2x}__{m = 0 có ít nhất}

một nghiệm thuộc đoạn 0;
2



 

 

 .

<i><b>Giaûi </b></i>

Phương trình đã cho tương đương với:

<b> 2(1 – 2sin</b>2_x.cos2_{x) + 1 – 2sin}2_{2x + 2sin2x – m = 0}

 _  _   

 

2 2

1

2 1 sin 2x 1 2sin 2x 2sin2x m
2

 3sin2_{2x + 2sin2x + 3 = m} ₍₁₎

Đặt t = sin2x. Vì x  0;
2



 

 

   0  2x  0  sin2x  1  0  t  1

(1) thaønh 3t2_{+ 2t + 3 = m} _{(2); 0}__t_₁

Ñaët f(t) = 3t2_{+ 2t + 3}

 f'(t) = 6t + 2  f'(t) = 0  t = 1
3

 Bảng bịến thiên

t _₀1

3 1 +
f'(t) + 0 

f(t) ₁₀
3

3 2

 Nhận xét: (2) là phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng : y = m
và đường cong (C). Từ đó (1) có nghiệm x  0;

2



 

 

 

 và (C) có điểm chung treân [0;1]  2  m  10

3 .

<b>Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Cho phương trình 2sinx cosx 1 a
sinx 2cosx 3

  _

  (1) (a là tham số)

<b>a/ Giải phương trình (1) khi a = </b>1

3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giaûi </b></i>

Tập xác định của phương trình (1): D = . Do đó:
(1) 2sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3)
 (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a – 1

<b>a/ Khi a = 1</b>

3:

5 5

(1) sinx cosx 0 sinx cosx 0

3 3

     

sinx cosx tanx 1 x k (k )
4



           

<b>b/ Do (2 – a)</b>2_{+ (2a + 1)}__{0 nên điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là}

(2 – a)2_{+ (2a + 1)}2__{(3a – 1)}2__2a2_{– 3a – 2}_₀__{1 a 2}

2

  



<i><b> Vấn đề 4: </b></i>

<b> </b>

<b>BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC </b>

<b>A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI </b>

 <b>Sử dụng cơng thức trong tam giác tương ứng </b>

 Nhận dạng tam giác bằng cách rút gọn hệ thức đã cho hay chứng tỏ hệ thức đó
<b>là điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức </b>

<b>Hệ thức trong tam giác cần chú ý </b>

<b>a. Định lí hàm số sin: a</b> b c 2R
sinA sinB sinC  

<b>b. Định lí hàm số cosin: a</b>2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bccosA; b}2_{= a}2_{+ c}2_{– 2accosB}

c2_{= a}2_{+ b}2_{– 2abcosC}

<b>c. Định lí đường trung tuyến: </b>m2_a 2b2 2c2 a2
4

 



<i><b>d. Định lí đường phân giác: l</b></i>a =

A
2bc.cos

2
b c

<b>e. Diện tích tam giác: </b>

S = 1

2a.ha = 12absinC = abc4R = pr = (p – a).ra = p(p a)(p b)(p c)  

<b>f. Bán kính đường trịn nội tiếp: r = (p – a)tan A</b>

2 = (p – b)tan B2 = (p – c)tan C2

<b>g. Bán kính đường tròn bàng tiếp: r</b>a = p.tan A

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ 1 </b>

Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức:

Q = sin2_{A + sin}2_B__sin2_{C đạt giá trị nhỏ nhất.}

<i><b>Giải </b></i>

Ta có: _Q 1_{(1 cos2A)} 1_{(1 cos2B) sin C}2

2 2

    

 1 cos(A B).cos(A B) sin C   2 = 1 + cosC cos(A  B)  1 + cos2_C

= cos2_{C + cosC. cos(A}__B)

= cosC 1cos(A B) 2 1cos (A B)2 1

2 4 4

 _ _  _ _ _{ }

 

 

Vaäy _min 0

0

A B _{C 120}

1

Q ₄ _cosC 1

A B 30
2



 _{ }

 

  _ _

  _ _{ }

 



<b>Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ 2 </b>

Xác định hình dạng của tam giác ABC, biết rằng:



_{p a sin A}_



2 _



_{p b sin B c.sinA.sinB}_



2 _

Trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p a b c
2

 

 .

<i><b>Giaûi </b></i>

(p – a)sin2_{A + (p – b)sin}2_{B = c.sinA. sinB}

 (p – a)a2_{+ (p – b)b}2_{= abc (định lý hàm sin)}





p a a







p b b p p a a p p b b



















p

bc ac bc ac

 a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c

( p. p a







 p.r _Aabc. 1 _A a _A  sinA_A1 cosA

bc _b.c.tan 4R _b.c.tan _4.R.tan _2.tan 2

2 2 2 2

)

 acosA + bcosB = c
 sin2A + sin2B = 2sinC

 2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC

 cos (A – B) = 1  A = B  ABC cân tại C.

<b>Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ 2 </b>

Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a, CA = b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

<i><b>Giải </b></i>

<b> Tính diện tích tam giác </b>

<b> Từ b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20 </b>

 4R2_{sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20}

 4R2_{.sinB.sinC.sinA = 20} ₍₁₎

Ta coù: S abc 8R .sinA.sinB.sinC3 2R .sinA.sinB.sinC2

4R 4R

   (2)

Thế (1) vào (2)  S = 10 (đvdt)

<b>Bài 4: </b>

Gọi x, y, z là khoảng cách từ các điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

x y z a2 b2 c2
2R

 

   . Dấu “=” xảy ra khi naøo?

(a, b, c là các cạnh của ABC, R là bán kính đường trịn ngoại tiếp).

<i><b>Giải </b></i>

Ta có: a2 b2 c2 a a b. b c. c

2R 2R 2R 2R

  _ _ _

VPasinA bsinB csinC  a2S b2S c2S 2S a b c
bc ac ab bc ac ab

 

    _   _

 

Mặt khác ta có: 2S = ax + by + cz, do đó:

a2 b2 c2



ax by cz



a b c

2R bc c ab

  _ _ _  _{ } 

 

  (1)

Ta coù: a b c 1 b c 1 c a 1 a b
bc ac ab 2a c b 2b a c 2c b a

     

   _  _ _  _ _  _

     

Vaäy a b c 1 1 1
bc ac ab a b c    

b c

Vì 2

a b

 _{ } 

 

  (2)

Từ (1) và (2) ta có:





  _ _ _  _{ } 

 

 

2 2 2

a b c _{ax by cz} 1 1 1

2R a b c

_   _ 



 



 

2 ₂

1 _ax 1 _by 1 _cz _x _y _z

a b c

Suy ra: x y z a2 b2 c2
2R

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Dấu “=” xảy ra b c a c a b 2c b c a b a a b c ABC đều
x y z M : trọng tâm
a x b y c z

          



_ _ _

 

 

 _ _



<b>Baøi 5: </b>

Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh rằng để tam giác ABC
đều thì điều kiện cần và đủ là:

cos2A cos2B cos2C 2 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2 4 2 2 2

  

   

<i><b>Giaûi </b></i>

Ta coù: cos2A cos2B cos2C 2 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2 4 2 2 2

  

    <b> </b>

2A 2B 2C A B B C C A

4cos 4cos 4cos 8 cos cos cos

2 2 2 2 2 2

  

    

A B B C C A

2 2cosA 2 2cosB 2 2cosC 8 cos cos cos

2 2 2

  

       





A B B C C A

2 cosA cosB cosC 1 cos cos cos

2 2 2

  

    

A B C

Ta bietá cosA + cosB + cosC 1 = 4sin sin sin

2 2 2

A B C A B B C C A

8sin sin sin cos cos cos

2 2 2 2 2 2

 _ 

 

 

  

 

<b> Nhân hai vế cho </b>8cos cos cosA B C

2 2 2

 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)
 sinA = sinB = sinC (Cauchy coù VP  VT)

</div>

<!--links-->