Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Dạy học Hình học 7 theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1.

Tên sáng kiến :
Dạy học Hình học 7 theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh.

2.

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Giảng dạy môn Toán lớp 7

3.Thời gian áp dụng sáng kiến:
Năm học 2014 – 2015 và năm học 2015 - 2016

4.Tác giả:
Họ và tên: Phan Thị Hoà
Năm sinh : 1976
Nơi thường trú : 5/79 Đường Thái Bình - Phường Lộc Hạ
Thành phố Nam Định
Trình độ chun mơn: CĐSP Tốn Tin
Chức vụ cơng tác: Giáo viên – Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên.
Nơi làm việc: Trường trung học cơ sở Tô Hiệu
Điện thoại : 0915245829
Tỉ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến : 100 %
5.

Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị :Trường trung học cơ sở Tô Hiệu
Địa chỉ : Đường 19/5 - Phường Trần Tế Xương - TP Nam Định
Điện thoại : 03503646433

I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàng ngày.
Vì thế tốn học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong đời sống xa
hội. Hiểu biết về toán học giúp cho người ta có thể tính tốn, ước lượng,…và
nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận logic,…trong
giải quyết các vấn đề nảy sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng
ngày.
Ở trường THCS, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán liên
quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kĩ năng cơ bản,
khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đởi các y
tưởng liên quan,….Giải tốn địi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống. Học tốn và
giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp,
…Vì vậy, có thể xem đó là cơ sở cho những phát minh khoa học. Kiến thức tốn
cịn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các mơn học khác, như: Vật lí, Hố
học, Sinh học,…Vì thế, có thể xem mơn Tốn như mơn học cơng cụ ở trường
THCS.
Do đó ở trường THCS mơn Tốn có nhiều cơ hội giúp học sinh hình thành
và phát triển các năng lực chung, như: năng lực tính toán, năng lực tư duy, năng
lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng
lực làm chủ bản thân, năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin. Thơng qua đó giúp
cho HS:
- Có những kiến thức và kĩ năng tốn học cơ bản, làm nền tảng cho sự
phát triển các năng lực chung cũng như năng lực riêng (đối với mơn Tốn)
- Hình thành và phát triển năng lực tư duy (tư duy logic, tư duy phê
phán, tư duy sáng tạo, khả năng suy diễn, lập luận toán học). Phát triển trí tưởng

tượng khơng gian, trực giác tốn học.
- Sử dụng được các kiến thức để học Toán, học tập các bộ môn khác,
đồng thời giải thích, giải quyết một số hiện tượng, tình huống xảy ra trong thực
tiễn (phù hợp với trình độ). Qua đó, phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng
lực mơ hình hóa Tốn học.

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


- Phát triển vốn ngơn ngữ (ngơn ngữ Tốn và ngôn ngữ thông thường
trong mối quan hệ chặt chẽ với nhau) trong giao tiếp và giao tiếp có hiệu quả.
- Góp phần cùng các mơn học khác hình thành thế giới quan khoa học,
hiểu được nguồn gốc thực tiễn và khả năng ứng dụng rộng rai của Toán học
trong các lĩnh vực của đời sống xa hội. Biết cách làm việc có kế hoạch, cẩn thận,
chính xác, có thói quen tò mò, thích tìm hiểu, khám phá, biết cách học độc lập
với phương pháp thích hợp cùng những kĩ năng cần thiết, trong sự hợp tác có
hiệu quả với người khác.
Trong trường phổ thông, Hình học 7 là sự tiếp nối và phát triển các kiến
thức mở đầu của Hình học 6, được đánh giá là “nặng nhất” so với phân môn
Hình học ở cấp THCS. Trong khi tìm phương pháp giải bài tốn Hình học 7, có
lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn,
thuận lợi hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải.
Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải tốn là điều
khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy: khơng có phương pháp chung cho việc vẽ
thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ
thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài
tốn một cách ngắn gọn chứ khơng phải là một công việc tùy tiện. Hơn nữa, việc

vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán
dựng hình cơ bản .
Để đạt được kết quả cao trong dạy học người thày phải biết kết hợp nhiều
phương pháp. Để giúp HS tháo gỡ những khó khăn khi giải tốn Hình học, trước
hết thầy cơ phải có phương pháp hướng dẫn các em hiểu thấu đáo và biết cách
phân tích một đề bài. Trên cơ sở đó giáo viên tìm cách giúp đỡ các em vận dụng
được những kiến thức đa học để tìm ra lời giải và có cách trình bày bài tốn của
mình hồn chỉnh và chặt chẽ. Thực tế cho thấy nhiều HS không giải được bài tập
Hình học không phải các em không thuộc phần ly thuyết mà do khơng biết vận
dụng nên khi đa “có bản đồ chi tiết” trong tay vẫn “không tìm được lối ra” hoặc
“bị lạc đường”.
Người thực hiện : Phan Thị Hoà

Trường THCS Tô Hiệu


Trong các phương pháp đa thực hiện trong chương trình THCS, giải bài tập
Hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp HS dễ hiểu,
có kỹ tḥt giải tốn Hình học một cách có hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất.
Xuất phát từ thực tế trên , tôi nhận thấy hai trong các phương pháp “Dạy
học Hình học 7 theo định hướng phát triển năng lực học sinh” là đưa thêm
yếu tố phụ vào hình vẽ và phương pháp phân tích đi lên.

II. Mô tả giải pháp kỹ thuật
1. Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến
Qua thực tế khi chưa thực hiện đề tài này tôi nhận thây học sinh gặp nhiều
khó khăn trong q trình giải tốn, một số năng lực của học sinh còn yếu như:
năng lực tư duy lôgic, năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết các vấn đề thực tế.
Trong quá trình giảng dạy môn Hình học tôi nhận thấy kĩ năng trình bày của
học sinh cịn yếu, học sinh rất lúng túng khơng biết trình bày thế nào, không biết

bắt đầu từ đâu mặc dù học sinh hiểu bài. Do đó hiện tượng học sinh ngại học
mơn Hình cịn khá phở biến, học sinh đạt đến độ say mê để trở thành kĩ năng
trong giải tốn cịn hạn chế. Vì vậy q trình giảng dạy để đạt được kết quả tốt
và việc rèn kỹ năng cho học sinh có tầm quan trọng đặc biệt. Hiện trạng việc sử
dụng các phương tiện dạy học đi đôi với việc đổi mới cách giảng dạy cho phù
hợp với đối tượng học sinh là một việc không thể tách rời. Việc kết hợp phương
pháp truyền thống với các phương pháp hiện đại phải đảm bảo hiệu quả nhất
trong giảng dạy. Người thầy chớ quên việc rèn cho học sinh tính sáng tạo, tư duy
suy luận lô gic một cách thích hợp nhất. Đặc biệt là trong suy luận để giải một
bài toán. Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học
mơn tốn ở trường THCS. Đối với học sinh, việc giải toán là hoạt động chủ yếu
của việc học tập mơn Tốn. Do vậy, rèn kĩ năng giải toán cho học sinh là cần
nhất. Giải toán là hình thức tốt để hình thành và phát triển các phẩm chất : Trung
thực, tự trọng, tự lập, tự tin tự chủ và có tinh thần vượt khó, tư duy khoa học,
chính xác, tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh tăng
cường học tập thực hành, rèn khả năng tính tốn. Trong giải tốn, để học trị say
mê thật sự thì người thầy không gì bằng là cung cấp cho học sinh cách suy luận
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


ngắn nhất để tìm ra cách giải hay nhất và ngắn nhất. Điều này đa làm tôi băn
khoăn và trăn trở trong nhiều năm qua.
2. Mô tả giải pháp kỹ tḥt sau khi có sáng kiến
Nhìn chung, dạy học Tốn theo định hướng hình thành và phát triển năng
lực người học đến nay đang còn là vấn đề mới, đang thảo luận và chưa có những
nghiên cứu sâu, đủ để có thể làm sáng tỏ về vấn đề này.
Với kinh nghiệm trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất lượng
học tập của học sinh thân yêu, tôi đa viết ra những cách làm, hướng suy nghĩ của

bản thân . Cụ thể như sau:
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Phương pháp phân tích đi lên
Có thể khái niệm rằng đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề
cần chứng minh dẫn tới vấn đề đa cho trong một bài tốn. Cách lập ḷn đó
khơng có gì xa lạ mà chính là các định nghĩa, định ly, các tính chất, các dấu hiệu
nhận biết đa được dạy và học. Nói cách khác, đây là phương pháp dùng lập luận
phân tích theo kiểu “thăng tiến”, biết cái này là do đa biết cái kia, biết vấn đề A
từ cơ sở của vấn đề B… Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực hiện phương
pháp này, HS phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng: “để chứng minh(…)
ta cần chứng minh (cần có) gì? ” Như vậy, muốn chứng minh A khơng có nghĩa
là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc chứng minh B thì ta đa chứng
minh được A một cách gián tiếp theo kiểu đi lên.
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, tơi thấy phương pháp phân tích đi lên
ln có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của HS (bao gồm tư duy
phân tích và tư duy tởng hợp), thực sự có hiệu quả trong việc giúp học sinh tự
học, tự nghiên cứu. Nó là cơng cụ sắc bén cho việc tìm tịi lời giải bài tốn, nó
giúp học sinh tìm ra con đường đi tới đích của vấn đề đặt ra.
Dựa vào sơ đồ phân tích đi lên trong chứng minh hình học không chỉ giúp
học sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng sâu sắc mà còn giúp HS chủ động tìm ra con
đường để giải một bài toán hình học chính xác. Sơ đồ phân tích đi lên là phương

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


tiện hỗ trợ đắc lực cho việc phát triển tư duy sáng tạo trong học Toán của học
sinh.
Để cho HS làm quen và rèn kỹ năng giải toán bằng phương pháp phân tích

đi lên, GV cần đưa ra những yêu cầu bắt buộc trong khi thực hiện:
+ Hình vẽ luôn chính xác, đầy đủ các ky hiệu trên đó. HS phải trang bị các
dụng cụ học tập cần thiết như thước kẻ, com-pa, thước đo độ, bút chì…
+ Hệ thống được các kiến thức đa tiếp thu, kiến thức đó phải được lặp đi
lặp lại nhiều lần và thật chính xác. Bên cạnh đó, HS cịn biết thể hiện các nội
dung kiến thức bằng ngơn ngữ tốn học và dựa vào hình vẽ để phân tích.
+ GV phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp ly kèm theo sơ đồ để có thể từng
bước hướng dẫn HS biết thực hiện phân tích.
+ Từng bước cho HS làm quen dần cách phân tích và từ từ cho HS áp
dụng phương pháp này khi học ở lớp 7, đồng thời hướng dẫn thao tác tổng hợp
để trình bày lại bài giảng.
+ Phương pháp này phải được áp dụng thường xuyên thì HS mới hiểu và
có thói quen sử dụng thường xuyên.
* Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ
Vẽ thêm yếu tố phụ khơng theo một quy tắc chung nào mà đó là sự sáng tạo
“nghệ thuật” tùy theo yêu cầu của bài tốn. Nó giúp:
- Giải được một số bài tốn Hình học mà nếu khơng vẽ thêm yếu tố phụ
có thể bế tắc.
- Trình bày lời giải một số bài toán Hình học hay hơn, ngắn gọn hơn.
- Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng vốn kiến thức cịn hạn
chế, mặc dù sau này khi học đến có thể là đơn giản.
* Sự kết hợp 2 phương pháp trên giúp học sinh tìm ra lời giải bài toán dễ dàng
hơn, chủ động hơn, dễ dàng đi từ các bài tốn cụ thể đến các bài tốn có tính
tởng quát . Nó là phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc phát triển tư duy sáng tạo
trong học Toán của học sinh, từ đó góp phần hình thành một số năng lực, một số
phẩm chất và giá trị sống cho HS:
+ Lòng nhân ái, khoan dung;
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

+ Trung thực, tự trọng;
+ Tự lập, tự tin tự chủ và có tinh thần vượt khó;
+ Tư duy khoa học, chính xác.
…………………………………..

B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 ( Bài 57/104 SGK tập 1)

a
38

Cho hình 39( a//b), hay tính số đo x của góc O.
Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với a
đi qua điểm O.

O

x?
132
b

Đây là bài tập đầu tiên trong SGK mà muốn giải được phải vẽ thêm yếu tố
phụ. Chính vì vậy, sau khi nêu đề bài, người viết sách đă chủ y đưa thêm phần
hướng dẫn để học sinh làm quen.
Bài này nằm trong tiết 14 - 15 (ôn tập chương I), khi ôn tập giáo viên nên
chọn bài này và cần thiết phải giới thiệu qua về phương pháp để học sinh được
tiếp cận, bởi vì ở các bài tập sau này ( hoặc để chứng minh các định lí, tính chất)
thì không có ( hoặc rất hiếm khi) cịn có thêm phần hướng dẫn như trong bài

toán trên.
Trong khi hướng dẫn học sinh trình bày lời giải, phải phân tích cho HS hiểu
tại sao phải vẽ thêm yếu tố phụ và vẽ thế nào cho hợp lí.
Chứng minh: Vẽ tia Oc đi qua O và song song với đường thẳng a.
Vì a // b ( GT ) và a // Oc (cách vẽ )
a

Suy ra Oc // b ( tính chất 3 đường thẳng song song)

38
c

1

0

Vì a // c suy ra Ô1 = 38 (hai góc so le trong)
Vì Oc // b suy ra Ơ2 + 1320 = 1800

O
2

132
b

( hai góc trong cùng phía )
Suy ra Ô2 = 1800 - 1320 = 480
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

A

Mặt khác Ô1 + Ô2 = x nên x = 380 + 480 = 860.
Vậy x = 860
Sau khi đa học xong bài định lí tởng ba góc của một tam giác, GV có thể quay
trở lại bài tốn trên và hướng dẫn HS vẽ thêm đường phụ và phân tích như sau:
+ Kéo dài tia AO cắt đường thẳng b tại C => Tạo ra được tam giác OBC
+ Sử dụng tính chất 2 đường thẳng song song tính được góc OCB
+ Sử dụng tính chất 2 góc kề bù tính được góc OBC
+ Sử dụng tính chất góc ngồi của tam giác tính được góc AOB (hay số đo x)
a

A
O

x

b

B

C

Như vậy ngay từ bài toán đầu tiên cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, GV đa
cho HS thấy được: vẽ thêm yếu tố phụ không theo một quy tắc chung nào mà đó
là sự sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo u cầu của bài tốn.
Sau bài này có thể đưa ra các bài tập tương tự cho học sinh làm về nhà tuỳ
theo từng đối tượng.

m

Bài 1: ( Dành cho học sinh đại trà ):
Cho hình vẽ bên, biết mn // pq; = 400 ;

=

A

n
40o
O

0

90 . Tính ?

p

Bài 2: ( Dành cho học sinh khá giỏi):

B

q

Hình vẽ bên cho biết:
= a0 , = b0 ,

= a0 + b0 .

Chứng minh rằng: Ax// By.

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


A

x
a

a+b

C
y

b
B

Ví dụ 2 : Hướng dẫn chứng minh định lí: “ Tởng ba góc của một tam giác
bằng 1800 ”.
Việc chứng minh định lí này được hình thành qua việc thực hành cắt ghép
hình theo ?2 SGK tập 1 trang 106.
?2 Cắt một tấm bìa hình tam giác ABC,

A

cắt rời góc B ra rồi đặt kề nó với góc A, cắt rời
góc C ra rồi đặt kề nó với góc A như hình vẽ.

Hay nêu dự đốn về tởng các góc A, B, C của
B

tam giác ABC.

C

Việc cắt ghép theo gợi y trên đa cho thấy: góc B ở vị trí mới so với vị trí
cũ là hai góc so le trong; góc C cũng tương tự. Học sinh sẽ thấy được muốn có
các góc so le trong thì phải làm thế nào.
Sau khi HS đa định hướng được phải vẽ thêm yếu tố phụ nào để chứng
minh định lí, GV có thể đưa ra một số các câu hỏi gợi mở để cùng HS xây dựng
sơ đồ phân tích đi lên như sau:
x

y

A
1

2

C

B

+ + = 180
⇑
= ;

= ; + + = 180

Người thực hiện : Phan Thị Hoà

Trường THCS Tô Hiệu


⇑

⇑

xy // BC

xy // BC

Khi trình bày phần chứng minh định lí cũng nên trình bày mẫu mực như
sách giáo khoa, nhưng để học sinh làm quen dần giáo viên chuẩn bị sẵn bảng
phụ có ghi lời chứng minh chưa đầy đủ rồi yêu cầu học sinh hoàn thành bằng
cách điền vào chỗ trống. Nội dung bảng phụ như sau:
Hoàn thành chứng minh định lí bằng cách điền vào chỗ trống:
Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BC
xy // BC
xy // BC

⇒
⇒

x

=……. (hai góc so le trong)

=……. (hai góc ………….)

y

A
1

2

B

C

Từ đó suy ra:
+ + = ….+ + … = …….
Sau khi đa cắt, ghép hình và chứng minh xong định lí, GV có thể có thêm
những câu hỏi gợi mở : Với cùng cách cắt hình như trên, cịn có cách ghép nào
khác để chứng tỏ tởng 3 góc A, B, C của tam giác ABC bằng 180 khơng ?
Khi đó HS sẽ phải loay hoay ghép thử , tuỳ theo từng điều kiện, từng đối tượng
học sinh mà HS có thể tự nêu được cách ghép hoặc giáo viên có thể hướng dẫn
cách ghép thứ hai như trong hình sau đây:

A

B

C

Trong cách này học sinh sẽ thấy vị trí mới và cũ của góc B là đồng vị, của
góc C là so le trong. Khi đa nắm chắc và hình dung được như vậy thì hướng vẽ

đường phụ và chứng minh được mở ra.
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Chứng minh:
Kéo dài tia BA, qua A vẽ đường thẳng a song song với BC
Ta có:
a // BC
a // BC

⇒
⇒

= (hai góc đồng vị)
= (hai góc so le trong)

x

Suy ra + + = + +

A

a

1
2

= 180

C

B

Ngoài ra trong cách thứ hai này ta cịn chứng minh được tính chất góc ngồi
của tam giác: “ Mỗi góc ngồi của tam giác bằng tởng hai góc trong khơng kề
với nó”. Trong hình vẽ trên ta có:
= + = +.
Như vậy việc vẽ thêm yếu tố phụ khơng chỉ có một cách duy nhất, giống như
có rất nhiều con đường đi đến một đích, mà trên mỗi con đường ấy đều có
những cái hay, cái đẹp và những phát hiện lí thú khác nhau.
Ví dụ 3: Bài 38/124 SGK tập 1
Trên hình 104 ta có AB // CD, AC // BD. Hay

A

B

chứng minh : AB = CD; AC = BD.
( sau khi học xong bài trường hợp bằng nhau

C

D

g-c-g của tam giác).
Khi dạy phần này giáo thường nhắc học sinh: Để chứng các đoạn thẳng bằng
nhau ta thường gắn chúng vào hai tam giác rồi tìm cách chứng minh hai tam
giác ấy bằng nhau. Vậy mà trên hình vẽ chưa có tam giác nào. Làm thế nào để
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


xuất hiện các tam giác? Học sinh dễ dàng phát hiện ra: Chỉ cần nối A với D hoặc
B với C. Đến đây ta thấy rằng việc vẽ thêm yếu tố phụ có thể chỉ đơn giản là nối
các điểm đa sẵn có trên hình vẽ như bài này.
A
2

B

1

1

2
D

C

Chứng minh: Nối A với D.
Có : AB // CD (GT)

⇒

= (hai góc so le trong)

AC // BD (GT) =>
Xét

∆

ADC và

∆

= (hai góc so le trong)

DAB có :

= ( chứng minh trên )
AD là cạnh chung
= ( chứng minh trên )
Do đó
⇒

∆

ADC =

∆

DAB (g-c-g)

AB = CD (hai cạnh tương ứng) và AC = BD (hai cạnh tương ứng).

Ví dụ 4: Hướng dẫn chứng minh định lí: “Nếu một tam giác có hai góc bằng
nhau thì đó là tam giác cân”.
Trong phần giới thiệu định lí có hướng dẫn : Xem bài tập 44. Như vậy

trong tiết luyện tập (tiết 33, 34) giáo viên nên chọn bài tập 44 để chữa cho học
sinh, và hơn nữa nên hướng dẫn học sinh khái quát: “Nếu tam giác ABC có góc
B bằng góc C thì AB = AC ”; hoặc nếu phát biểu được bằng lời văn thì càng tốt:
“Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó có hai cạnh bằng
nhau”. Giáo viên cũng có thể giới thiệu: tam giác ABC như vậy được gọi là tam
giác cân, chúng ta sẽ học ở tiết 35, để tạo sự hứng khởi, niềm vui đón chờ kiến
thức mới ở học sinh.
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Đến tiết 35, sau khi giới thiệu định nghĩa tam giác cân, cho học sinh nhắc
lại kết luận đa khái quát của bài 44: “Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì
tam giác đó có hai cạnh bằng nhau”, nhưng thay cụm từ “tam giác đó có hai
cạnh bằng nhau” bởi cụm từ “tam giác đó là tam giác cân”.
So sánh đề bài 44 và định lí 2 có thể thấy: Bài 44 là một gợi y rất chi tiết
để chứng minh định lí này.
Bài 44 ( SGK) trang 125.

Định lí 2

Cho tam giác ABC có = . Tia phân

“Nếu một tam giác có hai góc bằng

giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh: nhau thì đó là tam giác cân”.
a.

∆

ADB =

∆

ADC

b. AB = AC.

A

A

A

B

B

1

2

1

2

∆

ADB và

∆

ADC có:

= (gt) và = (tính chất tia phân giác
của một góc)
Suy ra = ( vận dụng định lí tởng 3 góc

∆

ADB và

1

2

D

C

Vẽ tia phân giác AD của góc A (D
thuộc cạnh BC).
* Xét

∆

ADB và

∆

ADC có:

= (gt) và = (tính chất tia phân
giác của một góc)

của tam giác )
* Xét

2

Chứng minh:

Chứng minh:
a. * Xét

1

B

C

D

C

∆

ADC có:

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Suy ra = ( vận dụng định lí tởng 3 góc
của tam giác )
Trường THCS Tô Hiệu


= (gt)

* Xét

AD là cạnh chung

b.

⇒

∆

∆

ADB =

ADB =

∆

∆

ADB và

∆

ADC có:

= (gt)

= (chứng minh trên)
Do đó

∆

AD là cạnh chung

ADC (g-c-g)

= (chứng minh trên)

ADC (chứng minh trên)

AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Do đó

⇒

Vậy

∆

ADB =

∆

ADC (g-c-g)

AB = AC (hai cạnh tương ứng).

∆

ABC cân tại A.

Cũng chú y rằng muốn chứng minh định lí phải biết cách chuyển định lí với
cách phát biểu bằng lời thành một bài toán với hình vẽ và các kí hiệu hình học
cụ thể. Giáo viên phải định hướng cho học sinh: Muốn chứng minh một tam giác
là tam giác cân ta đi chứng minh hai cạnh bằng nhau. Bài 44 đa gợi y điều đó,
nhưng xét trên một phương diện nào đó điểm xuất phát và đến của bài 44 và
định lí 2 là khác nhau.
Đối với giáo viên nên biết rằng có những cách chứng minh rất đơn giản
không cần vẽ thêm yếu tố phụ, nhưng đối với học sinh để hiểu được nó là điều
khó khăn. Chẳng hạn, định lí 2 trên đây được chứng minh như sau:
Chứng minh: Xét
=

∆

ABC và

∆

ACB có :
A

(gt)

BC = CB
= (gt)
Do đó

⇒

∆

ABC =

∆

ACB (g-c-g)

B

AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

C

Vậy

∆

ABC là tam giác cân.

Rõ ràng xét hai tam giác nhưng trên hình vẽ lại chỉ có một. Rất đơn giản
nhưng cũng rất khó hình dung.
Trong trường hợp này vẽ thêm yếu tố phụ làm cho học sinh dễ hiểu bởi
nó trực quan hơn, phù hợp với đặc điểm nhận thức của lứa t̉i. Mặt khác học
sinh cịn thấy được sự liên hệ, móc nối giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, thấy
được ta có thể giải quyết được những vấn đề chưa biết bằng vốn kiến thức ít ỏi
thông qua việc vẽ thêm yếu tố phụ, những vấn đề mà sau này khi đa học đến thì
thật là đơn giản.
Ví dụ 5 : Hướng dẫn chứng minh định lí: “Trong một tam giác góc đối diện với
cạnh lớn hơn là góc lớn hơn”.
Hoạt động trực quan của học sinh ở ?2 giúp cho học sinh hiểu được cách
chứng minh của định lí này.
?2 Gấp hình và quan sát:

A

Cắt một tam giác bằng giấy có AC > AB
(hình 1). Gấp tam giác ABC từ đỉnh A sao
cho cạnh AB chồng lên cạnh AC để xác định

B

C

Hình
1

tia phân giác AM của góc BAC. Khi đó
điểm B trùng với điểm B’ trên cạnh AC
(hình 2). Hay so sánh góc AB’M với góc C.

Hình
A2
B

M

B'

C

Khi cho học sinh gấp hình giáo viên nên
chú y cho học sinh vuốt mạnh các nếp gấp
AM, MB’ để khi mở hình ra ta cịn có thể
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


nhìn rõ các nếp gấp như ở hình 3, đồng thời

A

hướng dẫn học sinh đánh dấu các đoạn

B'

thẳng, các góc bằng nhau trên hình đa gấp.
B

C

M

Việc so sánh và trên hình đa gấp là khá đơn giản, nhưng để chứng minh
Hình
định lí thì không phải với học sinh nào cũng dễ dàng làm được.
3
Sau khi làm xong nội dung ?2 GV phải dẫn dắt để học sinh phát biểu được
định lí, chuyển nội dung định lí thành bài toán với hình vẽ và các kí hiệu hình
học. Nhìn vào hình 3 học sinh có thể nêu được cách chứng minh (có thể nêu
khơng được đầy đủ). Giáo viên sẽ là người hướng dẫn để chứng minh hoàn
chỉnh định lí :
+ Tạo ra góc B’ bằng góc B bằng cách tạo ra tam giác AMB’ bằng tam giác
AMB như sau:
•

Vẽ đường phân giác AM của

•

Trên AC lấy B’ sao cho AB’ = AB.

•

Nối MB’

+ Sử dụng tính chất góc ngồi của tam giác để chứng minh >
Chứng minh
Vẽ đường phân giác AM của ( M∈ BC )
Trên cạnh AC lấy B’ sao cho AB’ = AB.
Do AC > AB nên B’ nằm giữa A và C.

A
1

* Xét ∆ABM và ∆AB’M có :

2
B'

AB = AB’ ( theo cách lấy điểm B’ )
B

=

M

( vì AM là tia phân giác của )

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

C

AM là cạnh chung
Do đó

⇒

∆

∆

AB’M (c-g-c)

= ( hai góc tương ứng ) (1)

* Lại có
có

ABM =

là góc ngồi của

∆

MB’C nên theo tính chất góc ngồi của tam

giác ta

> ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra

>.

Đây là tiết học lí thuyết, trọng tâm không phải là cách vẽ thêm yếu tố phụ
nhưng không vì thế mà bỏ qua cách thực hiện để có thể chứng minh định lí, bởi
một lẽ là nó khơng có sẵn mà ta phải “vẽ thêm” .
Sau khi chứng minh định lí có thể giới thiệu ngay bài tập 7/56 SGK để
học sinh về nhà chứng minh định lí bằng cách khác theo gợi y của bài này.
Bài 7: Một cách chứng minh khác của định lí 1.
Cho tam giác ABC với AC > AB. Trên tia AC lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB.
a. Hay so sánh với
b. Hay so sánh với
c. Hăy so sánh

với . Từ đó suy ra

>

Chứng minh :
Lấy B’ trên tia AC sao cho AB’ = AB

A

a. Vì AC > AB nên B’ nằm giữa A và C => tia BB’

B’

nằm giữa hai tia BA và BC. Do đó:
=

+

=>

>

B

C

(1)

b. Tam giác ABB’ có AB = AB’( theo cách lấy điểm B’) nên ∆ABB’là tam giác
cân tại A.
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


=> =

( hai góc ở đáy của tam giác cân ).

c. Từ (1) và (2) suy ra
Nhưng

>

.

(2)

(3)

là góc ngồi của tam giác BB’C nên theo tính chất góc ngồi của tam

giác, ta có:
>

.

Từ (3) và (4) suy ra

(4)
>

Như vậy HS thấy được bài tập 7/56 SGK cũng là một cách chứng minh định lí 1
theo phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ nhưng vẽ theo hướng khác.
Ví dụ 6: Hướng dẫn chứng minh định lí : “Trong một tam giác, tổng độ dài hai
cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại”.
Trong các ví dụ trên, trước khi chứng minh định lí, tính chất thường có các
hoạt động trực quan như cắt, ghép, gấp hình, hoặc giới thiệu bài tập tương tự đa
làm trước đó, cịn ở bài này hoạt động trên do giáo viên tự thiết kế. Ta đa áp
dụng những cách vẽ đường phụ như sau:
+ Nối hai điểm sẵn có trên hình để tạo ra một cạnh chung của hai tam giác
(VD 3).
+ Vẽ đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước ( VD1, VD2 ).
+ Vẽ tia phân giác của một góc (VD 4).
+ Trên một tia, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước (VD5).

Có thể thấy cách “trên một tia, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng
cho trước” khó hơn các cách đa nêu. Khó hơn nữa là việc phân tích, định hướng
như thế nào để bài chứng minh được nhẹ nhàng, tự nhiên, học sinh không cảm
thấy bị “ép”. Ý tưởng sau đây là hoạt động trực quan dẫn dắt chứng minh định lí
trên :
Giáo viên dùng một tam giác ghép bởi ba thanh kim loại gắn trên bảng từ
(hình 1). Các đỉnh A,B được bắt vít, đỉnh C đa tháo rời vít. Quay đoạn AC theo
Người thực hiện : Phan Thị Hoà

Trường THCS Tô Hiệu


hướng mũi tên đến điểm D sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng (hình 2). Dùng
phấn tô đoạn thẳng AC và nối C với D (hình 3).
D

D
A

A

A
B

Hình
3

C
B

Hình
1

Hình
2

C
B

C

Yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau (bảng phụ):
a. Tam giác ADC là tam giác gì?
b. So sánh với ?
c. Trong tam giác, góc và cạnh đối diện có mối liên hệ như thế nào?
d. So sánh cạnh BD và cạnh BC?
e. Rút ra kết luận gì về mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác ABC?
Tù đó hay nêu cách chứng minh định lí.
Chứng minh:
Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AC (hình 3).
Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên

> .

(1)

Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên
= ( tính chất tam giác cân ) hay =

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
>

(3)

Trong tam giác BDC có > ( chứng minh trên )

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


=> BD > BC ( theo định lí về quan hệ giữa góc và
cạnh đối diện trong một tam giác).
Hay AB + AC > BC
Hai bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.
Cũng tương tự như ví dụ 5, sau khi chứng minh định lí, giáo viên nên giới
thiệu bài tập 20/64 SGK tập 2 .
Bài 20/64 SGK tập 2: ( Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức trong
tam giác):
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vng góc AH
đến đường thẳng BC (H thuộc BC).
a. Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông để chứng minh
AB + AC > BC.
b. Từ giả thiết về cạnh BC, hay suy ra hai bất đẳng thức còn lại.
Với học sinh trung bình chỉ cần chứng minh được yêu cầu bài này là đủ, còn
với học sinh khá giỏi cần hướng dẫn các em trình bày thêm phần (*) để bài toán
trở thành cách 2 trong chứng minh định lí trên.
Chứng minh:

A

Giả sử tam giác ABC có cạnh BC là cạnh lớn
nhất ta có : BC > AB ; BC > AC.
Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC). (*)

B

H

Trong tam giác vng ABH có BH < AB ( AB là cạnh hùn)
Trong tam giác vng ACH có HC < AC (AC là cạnh huyền)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta có :
BH + HC < AB +AC hay AB +AC > BC .
Từ BC > AB ta có BC + AC > AB
Từ BC > AC ta có BC + AB > AC.
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

C


Càng về sau, bài tập cần vẽ thêm yếu tố phụ càng phong phú, càng nhiều cách
vẽ. Sau đây là một số bài tập cần vẽ thêm đường phụ và sử dụng phương pháp
phân tích đi lên để phân tích tìm lời giải cho bài toán
1. Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằng AM = BC .
C

D

∆ABC, = 90
M

GT

M là trung điểm của cạnh BC

KL

AM = BC
B

A

AM = BC  BC = 2.AM

Hướng dẫn giải :

=> Tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng
đoạn thẳng đó.
Như vậy HS dễ nhận thấy rằng yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M
là trung điểm của AD
Sơ đồ phân tích
Sau khi đa vẽ thêm hình phụ GV cùng HS xây dựng sơ đồ phân tích đi lên
BC = 2.AM
⇑
BC = AD

và

⇑
∆ABC = ∆BAD

AD = 2AM
⇑
Cách vẽ điểm D

⇑
AC = BD;

= (=90) ; BA là cạnh chung

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


⇑
∆MAC = ∆MDB
⇑
MA = MD; = (đối đỉnh); MC = MB (GT)
⇑
Cách vẽ điểm D
Từ sơ đồ phân tích trên HS hiểu bài một cách tường minh hơn, dễ dàng tự
trình bày được phần chứng minh bài toán.
Với cùng hướng tư duy, cùng cách phân tích như trên, HS có thể dễ dàng tìm
ra lời giải cho các bài toán sau:
1.1. Bài 30 SBT toán 7 tập 2

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
AM <
Chứng minh: Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD => AD = 2AM
* Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

A

AM = MD ( theo cách vẽ)
= (hai góc đối đỉnh)
MB = MC (giả thiết)
Do đó

∆

AMB =

∆

C
B

M

DMC (c-g-c)
D

Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng)
* Trong tam giác ACD có AD < AC + CD ( bất đẳng thức tam giác)
=> AD < AC + AB
Vì AD = 2AM nên 2AM < AC + AB hay AM <

1.2. Bài tập
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Cho tam giác ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh
rằng :
< AM <
( Bài toán này phân tích và chứng minh tương tự bài trên )
1.3. Bài 47 SBT toán 7 tập 2
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác.
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Chứng minh:
Cách 1: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = AM
* Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:
AM = MD ( theo cách vẽ)
= (hai góc đối đỉnh)

A

MB = MC (giả thiết)
Do đó

∆

AMB =

∆

DMC (c-g-c)
B

Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng) (1)

C

M

Và = (hai góc tương ứng) (2)
Do AM là tia phân giác của nên

=

(3)
DS

Từ (2) và (3) ta thấy = , suy ra tam giác ADC cân tại C => AC = CD (4)
Từ (1) và (4)

⇒

AB = AC . Vậy tam giác ABC cân tại A.

Cách 2: Từ M kẻ MH
MK

⊥
⊥

A

AB ( H ∈ AB ),
AC ( K ∈ AC )
H

K

Vì AM là tia phân giác của nên MH = MK
B

( tính chất điểm thuộc tia phân giác của một góc )
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

M

Trường THCS Tơ Hiệu

C


Xét

∆

vngMHB và

∆

vngMKC có:

BM =MC (giả thiết)
MH = MK ( chứng minh trên )
Do đó

∆

vng MHB =
=

⇒
⇒

∆

∆

vng MKC (cạnh hùn – cạnh góc vng)

(hai góc tương ứng)

ABC cân tại A.

1.4. Bài toán : Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng MN // BC và MN = BC.
A

M

N

D

B

C

Trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao cho N là trung điểm của MD
Sơ đờ phân tích
MN = BC
MN = MD

và

MD = BC
∆MBC = ∆CDM

Cách vẽ điểm D
MB = DC ;

= ; MC là cạnh chung

MB=MA(gt) và MA=DC

BM // DC

∆MAN = ∆DCN(c.g.c)

=

MN // BC
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


=
∆MBC = ∆CDM
Từ kết quả bài tốn này có thể phát biểu: “Đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác thì song song với cạnh đáy và bằng nửa cạnh đáy”. Đây là
định lí về tính chất đường trung bình của hình tam giác mà học sinh sẽ được học
ở lớp 8.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC có AB > AC. Kẻ tia phân giác AD của

(D

∈ BC ). Lấy điểm M trên đoạn AD. Chứng minh : AB - AC > MB - MC
Hướng dẫn giải :

A

Ta cần chứng minh : AB - AC > MB - MC,
trong khi có AB > AC, do đó ta nghĩ đến

E

M

điểm E trên đoạn AB sao cho AE =AB. Khi
đó AB - AC = EB

B

D

C

=> Phải chứng minh EB > MB - MC .
Điều này có được khi áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ∆EMB và chứng minh
Như vậy HS dễ nhận thấy rằng yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm E trên cạnh
AB sao cho AE = AC
Chứng minh:
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC. Vì AB > AC (GT) nên điểm E
nằm giữa 2 điểm A và B => AE + EB = AB
=> EB = AB - AE = AB - AC.
* Xét ∆AEM và ∆ACM có:
AE = AC ( cách vẽ điểm E )
= ( vì AD là tia phân giác của )
AM là cạnh chung
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu