Dạy học bài tập tón học phần quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 77 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ THƯƠNG
DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN HỌC PHẦN
"QUAN HỆ VUÔNG GÓC" TRONG KHÔNG GIAN
LỚP 11 THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN VĂN HÀ
HÀ NỘI - 2015
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN
Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy
giáo ThS. Nguyễn Văn Hà – người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho tôi có cơ hội tập dượt với việc nghiên
cứu.
Bản khóa luận này là bước đầu tiên để tôi làm quen với việc nghiên cứu
khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và gặp khó khăn khi mới làm quen với việc nghiên
cứu khoa học tôi đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa. Tôi luôn ghi nhớ công lao dạy dỗ chỉ bảo của
các thầy cô giáo trong suốt 4 năm học vừa qua. Kính chúc quý thầy cô dồi
dào sức khỏe, tiếp tục đạt được nhiều thắng lợi trong nghiên cứu khoa học và
sự nghiệp trồng người.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình – nơi chắp cánh ước
mơ, luôn tạo điều kiện và khuyến khích tôi học tập đến đích cuối cùng.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Thương
SV: Nguyễn Thị Thương
K37A – Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó tôi được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy, cô
giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo ThS.
Nguyễn Văn Hà.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này tôi có tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan khóa luận này là do tôi thực hiện, không có sự trùng
lặp với đề tài của tác giả khác và những kiến thức trích dẫn trong khóa luận là
trung thực.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Thương
SV: Nguyễn Thị Thương
K37A – Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt
Viết đầy đủ
THPT
Trung học phổ thông
PPDH
Phương pháp dạy học
GD&ĐT
Giáo dục và đào tạo
CNTT
Công nghệ thông tin
C.m.r
Chứng minh rằng
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
SV: Nguyễn Thị Thương
K37A – Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 3
4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 3
NỘI DUNG....................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................... 4
1.1. Tổng quan về phương pháp dạy học (PPDH) ....................................... 4
1.1.1. Khái niệm về PPDH ............................................................................ 4
1.1.2. Một số đặc điểm của PPDH ................................................................ 4
1.1.3. Hệ thống phân loại PPDH ................................................................... 4
1.2. Định hướng đổi mới PPDH trong giáo dục THPT sau năm 2015 ....... 5
1.2.1. Một số hạn chế về PPDH trong dạy học hiện nay .............................. 5
1.2.2. Những vấn đề cơ bản về đổi mới PPDH ở phổ thông theo định hướng
phát triển năng lực ......................................................................................... 5
1.2.2.1. Khái niệm năng lực .......................................................................... 5
1.2.2.2. Đặc điểm của năng lực ..................................................................... 6
1.2.2.3. Định hướng chuẩn đầu ra về năng lực của chương trình đổi mới
PPDH môn Toán ........................................................................................... 9
1.2.2.4. Biện pháp sư phạm hình thành năng lực thông qua dạy học
bài tập .......................................................................................................... 10
1.3. Lí luận về dạy học giải bài tập toán...................................................... 11
1.3.1. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông 11
1.3.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán.................................................. 12
1.3.3. Dạy học phương pháp giải bài toán. ................................................. 13
SV: Nguyễn Thị Thương
K37A – Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
1.4. Các bước của tiến trình dạy học theo định hướng phát triển năng lực
cho học sinh .................................................................................................... 15
1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................. 17
CHƯƠNG 2. DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN HỌC PHẦN “QUAN HỆ
VUÔNG GÓC” TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11 THPT THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH .......................... 18
2.1. Nội dung dạy học quan hệ vuông góc trong không gian – Hình học 11
THPT. ............................................................................................................. 18
2.2 . Cơ sở lý thuyết ....................................................................................... 22
2.2.1. Các định nghĩa................................................................................... 22
2.2.2. Các định lý thường được sử dụng ..................................................... 24
2.3. Biên soạn bài tập theo yêu cầu của chủ đề........................................... 25
Chủ đề 1: " Hai đường thẳng vuông góc" ....................................................... 25
Chủ đề 2: " Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng" ..................................... 34
Chủ đề 3: " Hai mặt phẳng vuông góc" .......................................................... 45
Chủ đề 4: " Khoảng cách" ............................................................................... 55
2.4. Kết luận chương 2 ................................................................................. 69
KẾT LUẬN .................................................................................................... 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 71
SV: Nguyễn Thị Thương
K37A – Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục
và Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực
chất lượng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa
đất nước. Để thực hiện nhiệm vụ này, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội
dung chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta đã quan tâm
nhiều đến việc đổi mới phương pháp dạy học. Từ các vị lãnh đạo Đảng, Nhà
nước, lãnh đạo các cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên
cứu, các nhà giáo đều khẳng định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc
đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện
của nhà trường. Điều này đã được thể chế hóa trong Luật Giáo dục: “Phương
pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo
của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực
hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng cũng đã khẳng định “Thực hiện
đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo.
Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng hiện
đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý
tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công
nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”.
Để tạo ra những con người lao động mới có năng lực cần có một phương
pháp dạy học mới để khơi dậy và phát triển năng lực của người học. Chương
trình giáo dục định hướng phát triển năng lực (định hướng phát triển năng
lực) nay còn gọi là dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ
những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục
quốc tế. Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển
SV: Nguyễn Thị Thương
~1~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
năng lực người học. Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động
giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới
phương pháp dạy học Toán là một trong những vấn đề được quan tâm nhiều.
Thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn
bộc lộ những yếu kém, hạn chế về phát triển năng lực: Nhìn các đối tượng
toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán
học, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen
với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm
đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi,
học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Từ đó dẫn đến một hệ
quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi
hỏi phải có sáng tạo trong lời giải như các bài tập hình học không gian. Giải
bài tập hình học không gian là một vấn đề không đơn giản đối với nhiều học
sinh, bài tập phần quan hệ vuông góc là một phần trong số đó. Do vậy, việc
rèn luyện và phát triển năng lực cho học sinh là một yêu cầu cấp bách.
Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tôi chọn đề
tài nghiên cứu của khóa luận này là “Dạy học bài tập toán học phần “Quan
hệ vuông góc” trong không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển
năng lực cho học sinh”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những vấn đề cơ bản về đổi mới phương pháp dạy học theo
định hướng phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông để từ đó đưa
ra các phương pháp dạy học thích hợp trong việc dạy học bài tập toán học
phần “Quan hệ vuông góc” trong không gian lớp 11 THPT, từ đó góp phần
nâng cao chất lượng đào tạo của nhà trường.
SV: Nguyễn Thị Thương
~2~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề
sau:
- Làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học theo định hướng
phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông.
- Nghiên cứu lí luận về dạy học giải bài tập toán.
- Hệ thống các bài tập vận dụng cơ bản và bài tập phát triển chương trình cơ
bản trong dạy học các dạng bài tập toán học phần “Quan hệ vuông góc” trong
không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý
học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, đặc san tham
khảo có liên quan tới năng lực toán học, các phương pháp nhằm phát triển và
rèn luyện năng lực toán học cho học sinh phổ thông, các bài tập mang nhiều
tính tìm tòi – khám phá.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
+ Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
+ Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn.
+ Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc “Dạy
học bài tập toán học phần “Quan hệ vuông góc” trong không gian lớp 11
THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh”.
SV: Nguyễn Thị Thương
~3~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan về phương pháp dạy học (PPDH)
1.1.1. Khái niệm về PPDH
- Phương pháp là con đường, là cách thức để đạt được những mục đích nhất
định.
- PPDH là những cách thức hoạt động và ứng xử của GV gây nên những hoạt
động và giao lưu cần thiết của HS trong quá trình dạy học nhằm đạt được
các mục tiêu dạy học.
1.1.2. Một số đặc điểm của PPDH
- PPDH có tính khái quát: con đường, cách thức để đạt những mục đích ở đây
được hiểu chính là một tập hợp các hoạt động, các thao tác cần thiết có tính
chất chung nhất, khái quát nhất mà mọi người khác nhau cần phải hiểu và
hoạt động như thế để đạt mục đích đề ra.
- PPDH có chức năng phương tiện tư tưởng: Phương pháp là con đường, là
cách thức để đạt những mục đích nhất định – đó chính là phương tiện tư
tưởng để đạt tới mục đích đã định.
1.1.3. Hệ thống phân loại PPDH
Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không thống nhất, nó tùy thuộc
vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phương tiện khác nhau.
- Phân loại theo phương pháp truyền tin: PPDH thuyết trình; PPDH giảng
giải minh họa; PPDH gợi mở vấn đáp; PPDH thực hành luyện tập.
- Phân loại theo các tình huống dạy học: PPDH định nghĩa khái niệm; PPDH
định lý, tính chất toán học; PPDH bài tập toán học.
- Phân loại theo sự phát triển của tư duy: PPDH tích cực; PPDH thụ động
(không tích cực).
SV: Nguyễn Thị Thương
~4~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
1.2. Định hướng đổi mới PPDH trong giáo dục THPT sau năm 2015
1.2.1. Một số hạn chế về PPDH trong dạy học hiện nay
- Truyền thụ kiến thức một chiều từ giáo viên, kết hợp hỏi đáp (câu hỏi
đóng), nặng lý thuyết chuyên môn, thiếu gợi mở và phát huy những trải
nghiệm của học sinh liên kết với đời sống xã hội.
- Hướng dẫn thực hành chưa tạo cơ hội hoặc có phần còn hạn chế tính sáng
tạo của học sinh.
- Thực hiện đổi mới PPDH còn hình thức hoặc chưa triệt để, thiếu đồng bộ
trong các thành tố của quá trình dạy học (mục tiêu, nội dung, phương pháp,
hình thức tổ chức, thiết bị giáo dục, kiểm tra đánh giá).
1.2.2. Những vấn đề cơ bản về đổi mới PPDH ở phổ thông theo định
hướng phát triển năng lực
1.2.2.1. Khái niệm năng lực
Khái niệm "Năng lực" là một vấn đề rộng, với nhiều cách định nghĩa khác
nhau:
“Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các
nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do
những tình huống này đặt ra” (Theo Xavier Roegiers: "Khoa sư phạm tích
hợp – hay làm thế nào để phát triển các năng lực nhà trường", NXBGD 1996).
Hoặc như ý kiến của GS.TS Đinh Quang Báo lấy dấu hiệu từ các yếu tố
tạo thành khả năng hành động: “Năng lực là khả năng vận dụng những kiến
thức, kinh nghiệm, kỹ năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù
hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống” (Hội thảo:
"Đổi mới chương trình và sách giáo khoa GD phổ thông – nghiệm quốc tế và
vận dụng vào Việt Nam" do Bộ GD-ĐT tổ chức 10-12/12/2012 tại Hà Nội).
Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm
năng lực được sử dụng như sau:
SV: Nguyễn Thị Thương
~5~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
- Năng lực liên quan đến bình diện mục tiêu của dạy học: mục tiêu dạy học
được mô tả thông qua các năng lực cần hình thành;
- Trong các môn học, những nội dung và hoạt động cơ bản được liên kết với
nhau nhằm hình thành các năng lực;
- Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng, mong muốn...;
- Mục tiêu hình thành năng lực định hướng cho việc lựa chọn, đánh giá mức
độ quan trọng và cấu trúc hóa các nội dung và hoạt động và hành động dạy
học về mặt phương pháp;
- Năng lực mô tả việc giải quyết những đòi hỏi về nội dung trong các tình
huống: ví dụ như đọc một văn bản cụ thể ...Nắm vững và vận dụng được các
phép tính cơ bản ...;
- Các năng lực chung cùng với các năng lực chuyên môn tạo thành nền tảng
chung cho công việc giáo dục và dạy học;
- Mức độ đối với sự phát triển năng lực có thể được xác định trong các chuẩn:
Đến một thời điểm nhất định nào đó, học sinh có thể/ phải đạt được những gì?
Như vậy, có thể thấy dù cách phát biểu có sự khác nhau, nhưng các cách
trên đều khẳng định: Khi đề cập đến năng lực là phải nói đến khả năng thực
hiện, là phải biết làm (know-how), chứ không chỉ biết và hiểu (know-what).
1.2.2.2. Đặc điểm của năng lực
Năng lực có một số đặc điểm chung, cơ bản là:
- Đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một công việc cụ thể, do
một người cụ thể thực hiện (năng lực học tập, năng lực tư duy, năng lực tự
quản lý bản thân,…Như vậy không tồn tại năng lực chung chung.
- Có sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối tượng cụ thể (kiến thức,
quan hệ xã hội,…) để có một sản phẩm nhất định, do đó có thể phân biệt
người này với người khác.
- Năng lực là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể. Năng lực vừa
là mục tiêu, vừa là kết quả hoạt động, nó là điều kiện của hoạt động nhưng
cũng phát triển trong chính hoạt động đó. Quá trình dạy học, giáo dục nhằm
SV: Nguyễn Thị Thương
~6~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
hình thành, rèn luyện, phát triển năng lực ở cá nhân tất yếu phải đưa cá nhân
tham gia vào các hoạt động.
Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh
hoạt, có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ,
nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt
động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất định. Biểu
hiện của năng lực là biết sử dụng các nội dung và các kĩ thuật trong một tình
huống có ý nghĩa, chứ không tiếp thu lượng tri thức rời rạc.
Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu
trúc của chúng. Có nhiều loại năng lực khác nhau. Việc mô tả cấu trúc và các
thành phần năng lực cũng khác nhau. Cấu trúc chung của năng lực hành động
được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn,
năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.
(i) Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng thực
hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên
môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn. Nó
được tiếp nhận qua việc học nội dung – chuyên môn và chủ yếu gắn với khả
năng nhận thức và tâm lý vận động.
(ii) Năng lực phương pháp (Methodical competency): Là khả năng đối
với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết
các nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương
pháp chung và phương pháp chuyên môn. Trung tâm của phương pháp nhận
thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri
thức. Nó được tiếp nhận qua việc học phương pháp luận – giải quyết vấn đề.
(iii) Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt được mục
đích trong những tình huống giao tiếp ứng xử xã hội cũng như trong những
nhiệm vụ khác nhau trong sự phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác.
Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp.
SV: Nguyễn Thị Thương
~7~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
(iv) Năng lực cá thể (Induvidual competency): Là khả năng xác định, đánh
giá được những cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhân, phát
triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những quan
điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ và hành vi ứng xử.
Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc – đạo đức và liên quan đến tư duy và
hành động tự chịu trách nhiệm.
Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn trụ cốt giáo dục
theo UNESCO:
Các thành phần năng lực
Các trụ cột giáo dục của UNESO
Năng lực chuyên môn
Học để biết
Năng lực phương pháp
Học để làm
Năng lực xã hội
Học để cùng chung sống
Năng lực cá thể
Học để tự khẳng định
Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy giáo dục định hướng phát
triển năng lực không chỉ nhằm mục tiêu phát triển năng lực chuyên môn bao
gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn mà còn phát triển năng lực phương pháp,
năng lực xã hội và năng lực cá thể. Những năng lực này không tách rời nhau
mà có mối quan hệ chặt chẽ. Năng lực hành động được hình thành trên cơ sở
có sự kết hợp các năng lực này.
Mô hình cấu trúc năng lực trên có thể cụ thể hoá trong từng lĩnh vực
chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau. Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực nghề
nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau. Ví dụ năng lực của
GV bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học, năng lực giáo dục,
năng lực chẩn đoán và tư vấn, năng lực phát triển nghề nghiệp và phát triển
trường học.
SV: Nguyễn Thị Thương
~8~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
1.2.2.3. Định hướng chuẩn đầu ra về năng lực của chương trình đổi mới
PPDH môn Toán
Trong giáo dục theo định hướng năng lực HS, quan trọng là xác định rõ
những năng lực cần có và có thể có phát triển trong dạy học mỗi môn học/cấp
học; trong đó gồm "năng lực chung" và "năng lực riêng".
* Các năng lực chung: được phát triển từ các môn học khác nhau của chương
trình Giáo dục như:
(1) - Năng lực tự học;
(2) - Năng lực tự giải quyết vấn đề;
(3) - Năng lực sáng tạo;
(4) - Năng lực tự quản lý;
(5) - Năng lực giao tiếp;
(6) - Năng lực tự hợp tác;
(7) - Năng lực sử dụng CNTT và truyền thông;
(8) - Năng lực sử dụng ngôn ngữ;
(9) - Năng lực tính toán.
* Các năng lực riêng của môn Toán:
Theo Đinh Quang Báo (2013), có nhiều cách liệt kê năng lực do xuất
phát từ những góc độ khác nhau. Ở đây sẽ trình bày một số năng lực chủ yếu
cần được hình thành và phát triển cho học sinh khi học toán trong mối quan
hệ chặt chẽ với những năng lực chung đã được nêu ở trên và phản ánh đặc thù
của môn Toán.
- Năng lực tư duy với các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, so
sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa ..., bước đầu chú ý đến năng lực tư duy lôgic
trong suy luận tiền chứng minh, lập luận; năng lực tìm tòi, dự đoán; tư duy
phê phán, sáng tạo kể cả trực giác toán học, tưởng tượng không gian.
- Năng lực giải quyết vấn đề. Đây là một trong những năng lực mà môn Toán
có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm,
quy tắc toán học và đặc biệt là qua giải toán.
- Năng lực mô hình hóa toán học tình huống thực tiễn giả định hoặc tình
huống thực trong cuộc sống. Đây là năng lực cần phải được quan tâm nhiều
hơn nữa đối với các trường tiểu học.
SV: Nguyễn Thị Thương
~9~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
- Năng lực giao tiếp (qua nói hoặc viết) liên quan tới việc sử dụng ngôn ngữ
toán học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết lôgic...) kết hợp với ngôn
ngữ thông thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán
học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi giải toán...
- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán (bao gồm các phương
tiện thông thường và bước đầu làm quen với sử dụng công nghệ thông tin).
- Năng lực học tập độc lập với phương pháp phù hợp, đồng thời hợp tác được
với người khác một cách hiệu quả trong quá trình học tập toán.
1.2.2.4. Biện pháp sư phạm hình thành năng lực thông qua dạy học bài tập
Thay đổi vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học:
- GV: người tổ chức, hướng dẫn HS (cá nhân, cặp đôi, nhóm, cả lớp) học tập
thông qua hoạt động, nhằm rèn luyện và phát triển nhận thức, kỹ năng ứng
dụng trong học tập và thực tế đời sống.
+ Tạo môi trường hỗ trợ học tập (gắn với bối cảnh thực).
+ Cung cấp đầy đủ cơ hội để học sinh tìm tòi, khám phá, sáng tạo.
+ Đa dạng các hình thức tổ chức dạy học phù hợp với đặc trưng môn học,
bài học.
+ Phối hợp linh hoạt các PPDH tích cực, thực hiện đổi mới đồng bộ các
thành tố của quá trình dạy học trong giảng dạy trên lớp. Ứng dụng hợp lý, có
hiệu quả CNTT trong dạy học.
+ Lựa chọn một số PPDH truyền thống có yếu tố phát huy tính tích cực học
tập của HS (thực hành, vấn đáp có tính chất mở…).
+ Chú trọng hướng HS phát hiện và giải quyết vấn đề trong học tập bám sát
thực tiễn.
- HS: Là chủ thể trong quá trình học tập với ý thức chủ động, tích cực và sáng
tạo.
+ Khuyến khích hoạt động giao tiếp, phản ánh tư tưởng và hành động.
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 10 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
1.3. Lý luận về dạy học giải bài tập toán
1.3.1. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông
G.POLYA cho rằng "Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng
hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một
cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong
các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến
thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều phải dạy cho họ đến một mức độ nào
đó để nắm vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó là
biết giải toán".
a. Mục đích: Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là:
Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh
biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu kiến thức của bản
thân, thành công cụ để nhận thức và hành động cũng như trong học tập hiện
nay và sau này.
Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ
thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù
hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình
huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ
môn khoa học khác.
b. Vai trò: Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công cụ
để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói "Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó
có thể sử dụng được phương pháp của toán học".
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ
như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa…Rèn luyện
những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính
xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo…
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 11 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
c. Ý nghĩa: Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng
cố, hệ thống hóa kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào
những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về
mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập
cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con
người học sinh về nhiều mặt.
Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất
nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên.
1.3.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán
a. Vị trí: "Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với
học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển
tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học
có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán".
b. Các chức năng của bài tập toán.
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 12 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy
học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc
vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của
các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người
giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng
năng lực sư phạm của mình.
1.3.3. Dạy học phương pháp giải bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài
toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong
việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học
sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế
nào để giải được bài toán. Để tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư
duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương
pháp tìm lời giải cho một bài toán.
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 13 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Theo G.POLYA, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường tiến
hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng
thú với việc giải bài toán đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ,
kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán
một cách tổng quát. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:
- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện.
- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều
kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải
huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan
đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó
những kiến thức gần gũi hơn cả những dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự
đoán kết quả. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt. Sau
đó, xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh
đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải của bài toán cần chú ý phân biệt
sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được –
chính là điều chứng minh được.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 14 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại
bài toán nào đó.
- Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
- Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
1.4. Các bước của tiến trình dạy học theo định hướng phát triển năng lực
cho học sinh
Căn cứ vào các cơ sở trên, ta có thể làm rõ tiến trình dạy học theo định
hướng phát triển năng lực theo 5 bước cụ thể sau đây:
Bước 1: Tình huống xuất phát và câu hỏi nêu vấn đề
Tình huống xuất phát hay tình huống nêu vấn đề là một tình huống do
giáo viên chủ động đưa ra như là một cách dẫn nhập vào bài học. Tình huống
xuất phát phải ngắn gọn, gần gũi dễ hiểu đối với học sinh. Tình huống xuất
phát nhằm lồng ghép câu hỏi nêu vấn đề. Tình huống xuất phát càng rõ ràng
thì việc dẫn nhập cho câu hỏi nêu vấn đề càng dễ. Tuy nhiên có những trường
hợp không nhất thiết phải có tình huống xuất phát mới đề xuất được câu hỏi
nêu vấn đề (tùy vào từng kiến thức và từng trường hợp cụ thể).
Câu hỏi nêu vấn đề là câu hỏi lớn của bài học (hay môđun kiến thức mà
học sinh sẽ được học). Câu hỏi nêu vấn đề cần đảm bảo yêu cầu phù hợp với
trình độ, gây mâu thuẫn nhận thức và kích thích tính tò mò, thích tìm tòi,
nghiên cứu của học sinh nhằm chuẩn bị tâm thế cho học sinh trước khi khám
phá, lĩnh hội kiến thức. Giáo viên phải dùng câu hỏi mở, tuyệt đối không được
dùng câu hỏi đóng (trả lời có hoặc không) đối với câu hỏi nêu vấn đề. Câu hỏi
nêu vấn đề càng đảm bảo các yêu cầu nêu ra ở trên thì ý đồ dạy học của giáo
viên càng dễ thực hiện thành công.
Bước 2: Giúp học sinh bộc lộ ý tưởng ban đầu
Hình thành ý tưởng ban đầu của học sinh là bước quan trọng của quá
trình dạy học theo hướng phát triển năng lực. Bước này khuyến khích học
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 15 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
sinh nêu những suy nghĩ, nhận thức ban đầu của mình trước khi được học
kiến thức. Để hình thành ý tưởng ban đầu, giáo viên có thể yêu cầu học sinh
nhắc lại kiến thức cũ đã học có liên quan đến kiến thức mới của bài học. Khi
yêu cầu học sinh trình bày ý tưởng ban đầu, giáo viên có thể yêu cầu nhiều
hình thức biểu hiện của học sinh, có thể là bằng lời nói (thông qua phát biểu
cá nhân), bằng cách viết hay vẽ để biểu hiện suy nghĩ.
Bước 3: Đề xuất phương án thực hành/ giải quyết vấn đề
Từ những khác biệt và phong phú về ý tưởng ban đầu của học sinh, giáo
viên giúp học sinh đề xuất các câu hỏi từ những sự khác biệt đó. Chú ý xoáy
sâu vào những sự khác biệt liên quan đến kiến thức trọng tâm của bài học (hay
môđun kiến thức).
Ở bước này giáo viên cần khéo léo chọn lựa một số ý tưởng ban đầu
khác biệt trong lớp để giúp học sinh so sánh, từ đó giúp học sinh đặt câu hỏi
liên quan đến nội dung bài học. Đây là một bước khá khó khăn vì giáo viên
cần phải chọn lựa các ý tưởng ban đầu tiêu biểu của học sinh một cách nhanh
chóng theo mục đích dạy học, đồng thời linh hoạt điều khiển thảo luận của
học sinh nhằm giúp học sinh đề xuất các câu hỏi từ những sự khác biệt đó
theo ý đồ dạy học.
Bước 4: Tiến hành thực hành tìm tòi – khám phá
Từ các phương án thực hành/ giải quyết vấn đề mà học sinh nêu ra, giáo
viên khéo léo nhận xét và gợi ý để học sinh lựa chọn phương án tiến hành. Ưu
tiên thực hiện các phương án thực hành trực tiếp trên vật thật. Một số trường
hợp không thể tiến hành trên vật thật có thể sử dụng mô hình, hoặc cho học
sinh quan sát tranh vẽ.
Khi học sinh thực hành, giáo viên bao quát lớp, quan sát từng học sinh/
nhóm. Nếu thấy học sinh hoặc nhóm nào làm sai theo yêu cầu thì giáo viên
chỉ nhắc nhỏ riêng học sinh hoặc nhóm đó, không nên thông báo lớn tiếng
chung cho cả lớp vì làm như vậy sẽ phân tán tư tưởng và ảnh hưởng đến công
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 16 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
việc của các học sinh/ nhóm khác.
Bước 5: Kết luận, hợp thức hóa kiến thức
Sau khi thực hiện hoạt động thực hành tìm tòi – khám phá, các câu trả lời
dần dần được giải quyết, kiến thức được hình thành, tuy nhiên vẫn chưa có hệ
thống hoặc chưa chuẩn xác một cách khoa học. Giáo viên có nhiệm vụ tóm
tắt, kết luận và hệ thống lại để học sinh ghi vào vở coi như là kiến thức của
bài học.
Trước khi kết luận chung, giáo viên nên yêu cầu một vài ý kiến của học
sinh cho kết luận sau khi thực hiện thí nghiệm (rút ra kiến thức của bài học).
Nếu có điều kiện, giáo viên có thể in sẵn tờ rời tóm tắt kiến thức của bài
học để phát cho học sinh dán vào vở thí nghiệm hoặc tập hợp thành một tập
riêng để tránh mất thời gian ghi chép.
1.5. Kết luận chương 1
Nghiên cứu lí luận và thực tiễn cho thấy dạy học bài tập toán học phải trải
qua nhiều hoạt động để phát triển năng lực cho HS.
• Đối với bài tập toán nói chung, vận dụng cho HS trải nghiệm giải bài
tập toán thông qua quá trình phân tích, tìm đường lối chứng minh, trình
bày chứng minh toán học.
• Đối với bài tập HHKG, từ một bài toán đã cho khai thác, đề xuất các
bài toán mới liên quan để HS tiếp tục trải nghiệm, chú trọng hướng HS
phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải toán, tìm tòi – khám phá, lĩnh
hội tri thức.
Đó là cơ sở trình bày PPDH bài tập toán học phần “Quan hệ vuông góc” trong
không gian lớp 11 THPT theo định hướng phát triển năng lực cho HS.
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 17 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
CHƯƠNG 2
DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN HỌC PHẦN “QUAN HỆ VUÔNG GÓC”
TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11 THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH
2.1. Nội dung dạy học quan hệ vuông góc trong không gian – Hình học 11
THPT
Các mức độ về kiến thức, kĩ năng được thể hiện cụ thể trong “Chuẩn
kiến thức, kĩ năng” của Chương trình giáo dục và phát triển.
Về kiến thức : Yêu cầu HS phải hiểu rõ và nắm vững các kiến thức cơ bản
trong chương trình, sách giáo khoa để từ đó có thể phát triển năng lực nhận
thức ở cấp cao hơn.
Về kĩ năng : Yêu cầu HS phải biết vận dụng các kiến thức đã học để trả lời
câu hỏi, giải bài tập, làm thực hành; có kĩ năng tính toán, vẽ hình, dựng
biểu đồ,...
Kiến thức, kĩ năng: phải dựa trên cơ sở phát triển năng lực, trí tuệ HS ở
các mức độ, từ đơn giản đến phức tạp, bao hàm các mức độ khác nhau của
nhận thức.
Mức độ cần đạt được về kiến thức được xác định theo 4 cấp độ nhận thức
của GS. Boleslaw Niemierko: nhận biết, thông hiểu, vận dụng ở cấp độ
thấp, vận dụng ở cấp độ cao.
Mô tả các cấp độ của nhận thức:
Cấp độ
Nhận biết
Mô tả
Học sinh nhớ các khái niệm cơ bản, có thể nêu lên hoặc
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 18 ~
K37A – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
nhận ra chúng khi được yêu cầu.
Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản và có thể vận dụng
Thông hiểu
chúng, khi chúng được thể hiện theo cách tương tự như
cách giáo viên đã giảng hoặc như các ví dụ tiêu biểu về
chúng trên lớp học.
Học sinh có thể hiểu được khái niệm ở một cấp độ cao
Vận dụng
(ở cấp độ thấp)
hơn “thông hiểu”, tạo ra được sự liên kết logic giữa các
khái niệm cơ bản và có thể vận dụng chúng để tổ chức
lại các thông tin đã được trình bày giống với bài giảng
của giáo viên hoặc trong sách giáo khoa.
Học sinh có thể sử dụng các kiến thức về môn học - chủ
đề để giải quyết các vấn đề mới, không giống với những
Vận dụng
điều đã được học, hoặc trình bày trong sách giáo khoa,
(ở cấp độ cao)
nhưng ở mức độ phù hợp nhiệm vụ, với kỹ năng và kiến
thức được giảng dạy phù hợp với mức độ nhận thức này.
Đây là những vấn đề, nhiệm vụ giống với các tình huống
mà Học sinh sẽ gặp phải ngoài xã hội.
* Yêu cầu dạy học quan hệ vuông góc trong không gian
Theo quyết định số 16/2006/QĐ – BGDĐT ngày 05/05/2006 của bộ
trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo, khi dạy học nội dung Quan hệ vuông góc
trong không gian cần phải đảm bảo các yêu cầu sau:
SV: Nguyễn Thị Thương
~ 19 ~
K37A – SP Toán
