Dạy học khái niệm toán học phần giải tích ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC

••••

PHẰN “GIẢI TÍCH” Ở LỚP 11 TRƯỜNG THPT
THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIẺN NĂNG Lực

CHO HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

•

•••

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS. Nguyễn Văn Hà

HÀ NỘI-2015

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy
giáo - TS Nguyễn Văn Hà khoá luận của em đến nay đã được hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Hà, người đã
trực tiếp hướng dẫn em thực hiện khoá luận này. Em cũng xin chân thành cảm ơn sự

giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian
em làm khoá luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian
và năng lực còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng song bản khoá luận không
tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
giáo và của các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên


Nguyễn Thị Phương Anh

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận này là kết quả khách quan, trung thực và là kết quả của em trong suốt quá trình học tập nghiên
cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo - TS Nguyễn Văn Hà.
Em xin cam đoan khoá luận với đề tài “Dạy học khái niệm Toán học phần “giải tích” ở lóp 11 trường
THPT theo định hướng phát triến năng lực cho học sinh” không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Neu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, thảng 05 năm 2015 Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Anh
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Thực tiễn cuộc sống đòi hỏi con người khả năng vận dụng thành thạo tri thức đã biết để giải quyết vấn đề
hon là lý thuyết sáo rỗng. Nằm trong lộ trình đối mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiếm tra đánh giá ở các
trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực học sinh trên tinh thần nghị quyết 29-NQ/TƯ về đối mới
căn bản toàn diện giáo dục đào tạo, việc thay đổi từ dạy học theo cách tiếp cận nội dung sang dạy học theo hướng
phát triến năng lực cho học sinh là một hệ quả tất yếu.
Neu như dạy học tiếp cận nội dung là dạy cho học sinh biết cái gì thì dạy học phát triến năng lực là dạy các
em làm được những gì trên cơ sở các em đã biết. Như vậy dạy học theo định hướng phát triển năng lực quy định
mục tiêu, nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học, cuối cùng là thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng
giáo dục.
Các khái niệm giải tích khá mới mẻ với học sinh lớp 11 khi từ trước đến nay các em chỉ quen thuộc với khái
niệm đại số. Việc hiểu và vận dụng được các khái niệm này lại càng khó khăn. Mặt khác các khái niệm về giới
hạn và đạo hàm là những khái niệm cơ bản của giải tích, có thể nói không có giới hạn thì không có giải tích nên
việc nắm vững các khái niệm này vừa giúp các em tiếp cận thành công 1 khía cạnh mới của toán học vừa là tiền
đề giúp các em tìm hiểu các nội dung khác của giải tích.
Trên cơ sở
đó tôiThị
lựaPhương
chọn đềAnh
tài “DẠY HỌC 10
KHÁI NIỆM TOÁN HỌC PHÀN
Nguyên
K37A“GIẢI
Toán TÍCH” LỚP 11
TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIẺN NĂNG Lực CHO HỌC SINH” làm đề tài khoá luận
của mình.


2. Mục đích nghiên cứu

Khóalựcluận

tốt nghiệp
HàkĩNội
- Phát triển các năng
của học
sinh nói chung, năng lực toán họcTrường
nói riêng,ĐHSP
hìn thành
năng2giải quyết
vấn đề trên cơ sở kiến thức đã học.
-

Củng cố niềm tin vào công cụ toán học.

3. Nhiệm vụ nghiên cửu
-

Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theo định hướng phát triển năng lực cho học
sinh.

-

Thiết kế 1 số tình huống dạy học các khái niệm giải tích trong chương 4, 5.

4. Phương pháp nghiên cứu
-

Nghiên cứu lí luận về dạy học theo định hướng phát triển năng lực.

-

Tống kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo định hướng này.

-

Nghiên cứu chương 4,5 đại số và giải tích 11 nâng cao.

5. Cấu trúc khoá luận Khoá luận gồm hai chương:
-

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

-

Chương 2: Dạy học theo định hướng phát triển năng lực một số khái niệm giải tích ở trường phố thông

Chương 1: Cơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THựC TIỄN
1.1. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực
1.1.1.

Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của năng lực. Hiện
nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điếm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn.
Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triển năng lực. Đó là
điều kiện cần nhung chưa đủ .
Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người từ khi sinh ra đã có sẵn những tố
chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không
phát triển được. Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau trong
môi trường Văn hóa - Xã hội.
Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động. Sống trong môi trường xã hội tự

nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sủ dụng
hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra các kết quả “vật chất”
mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực là hiện tượng có bản chất, nguồn gốc phức tạp. Các tố chất
và hoạt động của
con người
tương tácAnh
qua lại với nhau10
để tạo ra các năng lực.
Nguyên
Thị Phương
1.1.2.

K37A Toán

Các khái niệm

a) Khái niệm năng lực
Theo tâm lí học: Năng lực là tống hợp các đặc điếm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu


đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các năng lực hình thành

luận
tốtcủa
nghiệp
ĐHSP
Hàcon
Nội
2 không phải

trên cơ sở của các tưKhóa
chất tự
nhiên
cá nhân, nó đóng vai trò quan Trường
trọng. Năng
lực của
người
hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, tập luyện hình thành.
Ket quả nghiên cứu các công trình tâm lí học và giáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các tư chất ban đầu
học sinh bước vào hoạt động. Qua quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ cao hơn.Đen một lúc
nào đó, học sinh đủ khả năng để giải quyết những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì khi đó
học sinh đã có được một năng lực nhất định. Dưới đây là một số cách hiểu về năng lực:
Đinh nghĩa 1 : năng lực là phâm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng hoàn thành 1 loại hoạt động nào đó
với chất lượng cao.
Đinh nghĩa 2: năng lực là 1 tố họp những đặc điếm tâm lý của con người đáp ứng được yêu cầu của lhoạt động
nhất định và là điều kiện cần thiết đế hoàn thành có kết quả 1 hoạt động nào đó.(theo tác giả Phạm Minh Hạc)
Đinh nghĩa 3: năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của 1 loại hoạt động nhất định
và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc 1 loại hoạt động nào đó.(theo tác giả Trần Đình Châu)
Cả ba định nghĩa đều có điếm chung là năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết
những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy có khác nhau về mức độ.
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhận rằng con người có những năng
lực khác nhau vì có những tố chất riêng. Tức là thừa nhận sự tồn tại của nhũng tố chất tự nhiên của cá nhân thuận
lợi cho sự hình thành và phát triến những năng lực khác nhau.
Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một cá thể, một thứ phi vật thể. Song nó thể
hiện qua hành động và đánh giá được nó qua kết quả của hoạt động.
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của
một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác
cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Người ta thường phân biệt ba trình
độ năng lực:

♦

Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo.

♦

Tài năng là một tố hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành
tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của những thành tựu đạt được của xã hội loài người.

♦

Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý
nghĩa lịch sử.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong hoạt động nhất định của con người. Năng lực này chỉ nảy

sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra. b) khái niêm năng lực Toán học
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
Theo V.A.Krutecxki năng lực toán học được hiếu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo), tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo
trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh chóng và tốt các kiến thức, kĩ năng, kỹ xảo tương ứng.


Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra

Khóaquan
luậncótốtgiánghiệp
những kết quả mới, khách
trị lớn đối với xã hội loài người. Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giữa hai mức độ toán học đó không có sự ngăn cách tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập toán không có
nghĩa là không đề cập đến năng lực sáng tạo. Nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình một cách độc lập và
sáng tạo, đã tự đặt ra và giải những bài tập không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp
sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức. Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán
học:
Đinh nshĩa li Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt
động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán,kiến thức, hình thành kĩ
năng , kĩ xảo tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc.
Đinh ti2hĩa 2: Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân(trước hết là những đặc diểm
hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học và trong những điều kiện vũng chắc như nhau là
nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc
biệt nắm vững tương đối nhanh, vững vàng sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học.
Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán. Tất cả
học sinh đều có khả năng và phải nắm được chương trình toán trung học, nhưng các khả năng này khác nhau tuỳ
vào từng học sinh. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: các năng lực này không phải nhất
thành, bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, rèn luyện để nắm được hoạt động tương ứng.
Vì vậy cần nghiên cứu để nắm được bản chất của
năng lực và con đường hình thành, phát triến, hoàn thiện của năng lực. ĩ. 1.3. Các quan điếm về cấu trúc năng
lực toán học
a) Quan điểm của V.A.Krutecxki
V.A.Krutecxki- nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo
dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cún tâm lí năng lực toán học với công trình độ sộ “Tâm lý năng lực toán” Luận
án tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Công trình là kết quả của việc nghiên cứu lý
luận và thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm hết sức công phu được tiến hành từ năm 1955 đến 1968.
Ket quả chủ yếu và quan trọng nhất là ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm
những thành phần sau (dựa trên quan điểm lý thuyết thông tin):
•

về mặt thu nhận thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.
•

về mặt chế biến thông tin toán học

1) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống kí hiệu dố và dấu,
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học.
2) Năng lực khái quát hoá nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán.
3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng


các cấu trúc rút gọn.

Khóa
luậntrình
tốt tư
nghiệp
4) Tính linh hoạt
của quá
duy trong hoạt động toán học. Trường ĐHSP Hà Nội 2
5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng , đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải.
6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến
trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học).
•

về mặt lim trữ thông tin toán học

Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học, đặc điểm về loại, sơ đồ suy luận và chứng minh,
phương pháp giải toán,nguyên tắc, đường lối giải toán).
•

về thành phần tổng hợp khái quát Khuynh hướng toán học của trí tuệ

Các thành phần nêu trên có quan hệ mật thiết với nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa
một cấu trúc toàn vẹn của năng lực toán học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thị bằng một công thức khác, cô đọng hơn: năng
lực toán học được đặc trưng bởi tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực quan hệ toán học, hệ thống
kí hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Cùng với cấu trúc nói trên, V.A.Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về phương pháp bồi dưỡng năng lực
toán học cho học sinh.
Nghiên cứu quan diểm của V.A.Krutecxi về năng lực toán học có thể thấy một số vấn đề quan trọng sau:

* về mặt lý luận:
1) Theo V.A.Krutecxki thì nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh trong
việc học toán.
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng lực tức là giả định rằng: có sự khác
biệt về nhũng mặt nào đó giữa các cá nhân, chẳng hạn về năng lực toán học.Điều quan trọng năng lực
không chỉ là bâm sinh mà còn được phát sinh phát triến trong hoạt động, trong đời sống của mỗi cá nhân.
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động nhất định của con người.Năng lực
toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học
mới thấy được biếu hiện của năng lực toán học;
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vục nào đó của con người thường phụ thuộc vào một to hợp năng lực.
Ket quả học tập toán cũng không nằm ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác,
chang hạn niềm say mê, thái độ học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, của gia đình và xã hội.

* về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗi người trong lĩnh vực đào tạo, phải

biết những phương pháp tốt nhất để bồi dưỡng năng lực đó;
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống
chúng dựa trên tài liệu toán học. Các năng lực đã nêu biếu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học
sinh giỏi, trung bình, kém. ơ các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó được tạo thành ngay tức


khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình thành các mối liên tưởng cần cả một hệ

Khóa
luận
tốtrèn
nghiệp
thống bài tập
và phải
có sự
luyện.

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b) Quan điếm của A.N.Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách về nghề nghiệp của nhà Toán học, A.N.Kôlmôgôrôv đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy
móc một số lượng lớn các sự kiện, công thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không
quan hệ đến năng lực toán học. Trong thành phần các quan hệ toán học ông nêu ra:
1) Năng lực biến đối thành thạo các biếu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các
phương trình không phù hợp với qui tắc giải thông thường, hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực
tính toán hay năng lực “angôrit”;
2) Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”;

3) Nghệ thuật suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành
logic cần thiết cho nhà toán học là hiếu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một
cách đúng đắn.
Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toán học thường gặp trong các tổ hợp khác
nhau và năng lực này thường bộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
c) Quan điểm của A.I.Marcusevich
Viện sĩ A.I.Marcusevich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau

đây của trí tuệ

và tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy toán:
1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và

loại bỏ các chi

tiết không cơ bản( kỹ năng trừu tượng hoá);
2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải
thích vấn đề về mặt Toán học, đó chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không
gian (kỹ năng sơ đồ hoá);
3) Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiên đề đã cho(tư duy suy diễn);
4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường họp riêng, kỹ năng phân biệt được khi nào chúng bao
quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra từ những suy luận lý thuyết cho những vấn đề cụ thế và đối chiếu
các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến
độ tin cậy của các kết quả;
6) Khái quát các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát;
d) Quan điểm của X.L.Svacxbuốc
X.L.Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà toán học, đã nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự
Nguyên Thị Phương Anh
10

K37A Toán
phát triển toán học:
1) Các biểu tượng không gian;
2) Tư duy trừu tượng;


3) Chuyển thành sơ đồ toán học;
4) Tư duy suy Khóa
diễn; luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;
6) Áp dụng các kết luận:
7) Tính phê phán;
8) Ngôn ngữ toán học;
9) Kiên trì khi giải toán;
e) Quan điếm của B.V.Gơnhedenco
Viện sỹ B.V.Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí “Toán học trong nhà trường” trong các
năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các tính chất sau đây của tư duy toán học:
1) Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết
của chứng minh;
2) Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ;
3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
4) Sự cô đọng;
5) Sự chính xác của ký hiệu.
f)

Quan điểm của UNESCO

Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của NLTH đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) Năng lực xây dựng một chứng minh;
7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;
8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;
10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.
1.1,4.

Dạy học theo định hưởng phát triên năng lực Dạy học theo định hướng phát triển năng lực

: nay còn gọi là
dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành
xu hướng giáo dục quốc tế. Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
học. Dạy học định hướng phát triến năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những
kết quả đầu ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn
nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học tức


là đạt được kết quả đầu ra mong muốn.

luậnđốitốtphương
nghiệppháp dạy học theo định hướng

Trường
Hà lực
Nội 2
1.1.5. Nguyên Khóa
nhân thay
phátĐHSP
triên năng
Chương trình dạy học truyền thống có thể gọi là chương trình giáo dục “định hướng nội dung” (điều khiển
đầu vào). Đặc điểm của chương trình giảo dục định hướng nội dung là chú trọng truyền thụ hệ thống tri thức khoa
học theo các môn học đã được qui định trong chương trình dạy học. Những nội dung của các môn học này dựa
trên các khoa học chuyên ngành tương ứng. Người ta chú trọng trang bị cho người học hệ thống tri thức khoa học
khách quan về nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tuy nhiên chương trình giáo dục định hướng nội dung chưa chú trọng đầy đủ đến chủ thể người học cũng
như đến khả năng ứng dụng tri thức đã học trong nhiều tình huống thực tiễn. Mục tiêu dạy học chương trình định
hướng nội dung được đưa ra một cách chung chung, không chi tiết và không nhất thiết phải quan sát , đánh giá
được một cách cụ thể nên không đảm bảo rõ ràng về việc đạt được chất lượng dạy học theo mục tiêu đã đề ra.
Việc quản lí chất lượng giáo dục ở đây tập trung vào “điều khiến đầu vào” là nội dung dạy học.
Ưu điêm của chương trình giáo dục định hướng nội dung là việc truyền thụ cho người học một hệ thống tri
thức khoa học. Tuy nhiên, ngày nay chương trình dạy hoe định hướng nội dung không còn thích họp,trong đó có
những nguyên nhân sau:
•

Ngày nay, tri thức thay đối và bị lạc hậu nhanh chóng, việc qui định cứng nhắc những nội dung chi tiết
trong chương trình dạy học dẫn đến nội dung chương trình dạy học nhanh bị lạc hậu so với tri thức hiện
đại. Do đó việc rèn luyện phương pháp học tập ngày càng có ý nghĩa quan trọng trong việc chuẩn bị cho
con người có khả năng học tập suốt đời.

•

Chương trình dạy học định hướng nội dung dẫn đến xu hướng việc kiếm tra, đánh giá chủ yếu dựa trên

việc kiếm tra khả năng tái hiện tri thức mà không định hướng vào khả năng vận dụng tri thức trong những
tình huống thực tiễn.

•

Do phương pháp dạy học mang tính thụ động và ít chú ý đến khả năng ứng dụng nên sản phâm giáo dục
là những con người mang tính thụ động, hạn chế khả năng sáng tạo và năng động. Do đó chương trình
giáo dục định hướng nội dung này không đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội và thị trường
lao động đối với người lao động về năng lực hành động , khả năng sáng tạo và tính năng động.
Cấu trúc chung của năng lực hành động được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần: Năng lực

chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.
(i) Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng
như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt
chuyên môn. Nó được tiếp nhận qua việc học nội dung - chuyên môn và chủ yếu gắn với khả năng nhận
thức và tâm lý vận động.
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
(ii) Năng lực phương pháp {Methodical competency): Là khả năng đối với những hành động có kế hoạch,
định hướng mục đích trong việc giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phương pháp bao gồm năng
lực phương pháp chung và phương pháp chuyên môn. Trung tâm của phương pháp nhận thức là những


khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức. Nó được tiếp nhận qua việc học

Khóa
tốt nghiệp
phương pháp
luận -luận

giải quyết
vấn đề.

Trường ĐHSP Hà Nội 2

(iii) Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống giao tiếp
ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự phối hợp chặt chẽ với những thành
viên khác. Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp.
(iv) Năng lực cá thể (Induvỉdual competency): Là khả năng xác định, đánh giá được những cơ hội phát triển
cũng như những giới hạn của cá nhân, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triến
cá nhân, những quan điếm, chuân giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ và hành vi ứng xử. Nó
được tiếp nhận qua việc học cảm xúc - đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách
nhiệm.
Mô hình cấu trúc năng lực trên đây có thế cụ thế hoá trong từng lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp khác
nhau. Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực nghề nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau. Ví dụ năng lực
của GV bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học, năng lực giáo dục, năng lực chẩn đoán và tư vấn,
năng lực phát triển nghề nghiệp và phát triển trường học.
Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn trụ cốt giáo dục theo UNESCO:

Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy giáo dục định hướng phát triển năng lực không chỉ nhằm
mục tiêu phát triển năng lực chuyên môn bao gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn mà còn phát triên năng lực
phương pháp, năng lực xã hội và năng lực cá thể.
1.1.6.Đặc trưng phân biệt dạy học theo định hưởng nội dung và dạy học theo định hướng phát triên năng
lực
Sau đây là bảng so sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình định hướng nội dung và chương trình
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
định hướng phát triến năng lực:
Chương trình định hướng

Chương trình định hướng phát

nội dung

triển năng lực


Mục tiêu

Mục tiêu dạy học được mô

Khóa
nghiệp
tả tốt
không
chi tiết và không
giáo
dục luận

Ket quả học tập cần đạt được mô

Hàđánh
Nội 2
tả chi tiếtTrường
và có thểĐHSP
quan sát,

nhất thiết phải quan sát,

giá được; thể hiện được mức độ

đánh giá được

tiến bộ của HS một cách liên tục

Nội dung

Việc lựa chọn nội dung dựa

Lựa chọn những nội dung nhằm

giáo dục

vào các khoa học chuyên

đạt được kết quả đầu ra đã quy

môn, không gắn với các tình

định, gắn với các tình huống thực

huống thực tiễn. Nội dung

tiễn. Chương trình chỉ quy định

được quy định chi tiết trong

những nội dung chính, không quy

chương trình.

định chi tiết.

Phương

GV là người truyền thụ tri

- GV chủ yếu là người tổ chức, hỗ

pháp dạy

thức, là trung tâm của quá

trợ HS tự lực và tích cực lĩnh hội

học

trình dạy học. HS tiếp thu

tri thức. Chú trọng sự phát triển

thụ động nhũng tri thức

khả năng giải quyết vấn đề,

được quy định sẵn.

khả năng giao tiếp,...;
- Chú trọng sử dụng các quan

điểm, phương pháp và kỹ thuật
dạy học tích cực; các phương pháp
dạy học thí nghiệm, thực hành

Hình thức

Chủ yếu dạy học lý thuyết

Tổ chức hình thức học tập đa

dạy học

trên lớp học

dạng; chú ý các hoạt động xã hội,
ngoại khóa, nghiên cứu khoa học,
trải nghiệm sáng tạo; đẩy mạnh
ứng dụng công nghệ thông tin và
truyền thông trong dạy và học

Nguyên Thị Phương Anh

10

K37A Toán


Đánh giá

Tiêu chí đánh giá được xây

Tiêu chí đánh giá dựa vào năng

tốt chủ
nghiệp
kếtKhóa
quảluận
dựng
yếu dựa trên sự

Trường
lực đầu ra,
có tínhĐHSP
đến sự Hà
tiếnNội
bộ 2

học

ghi nhớ và tái hiện nội dung

trong quá trình học tập, chú trọng

đã học.

khả năng vận dụng trong các tình

của HS

tập

huống thực tiễn.

1. 2. Dạy học khái niệm toán học
1.2.1.

Đại cương về định ngĩa khái niệm

a) Khái niệm
>Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh 1 lớp đối tượng do đó lkhái niệm có thể được xem xét theo hai
phương diện: bản thân lóp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính chung của
lóp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm.

Nguyên Thị Phương Anh

10

K37A Toán


>

Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại

luận
tốt nghiệp
diên càng bịKhóa
thu hẹp
và ngược
lại.

>

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Neu ngoại diên của khái niệm A là 1 bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là khái niệm
chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được gọi là khái niệm loại của khái niệm A.

b) Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa 1 khái niệm là 1 thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối
tượng khác thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó.
Các

định

nghĩa

Từ mới ( biểu thị khái

thường có cấu trúc sau:
(Những ) từ chỉ miền

niệm mới)

đối tượng đã biết
(loại)

Ví dụ: “Hình vuông

là một hình chữ nhật có hai

cạnh liên tiếp bằng nhau”. Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật
òn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái niệm. Đặc trưng của khái
niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó. cố nhiều cách nêuđặc trưng
niệm tức là có thế định nghĩa cùng 1

khái niệm theo nhiều cách

của cùng 1

khái

khác

nhau. . Chang hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một
cách khác, ví dụ như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”.
Trong định nghĩa theo cấu trúc
loại phải tương ứng với 1 khái niệm đã

Nguyên Thị Phương Anh

đã nêu từ chỉ miền đối tượng hay
biết

10

K37A Toán


c) Khái niệm không định nghĩa

luậnthường
tốt nghiệp
Trường
Hàđịnh
Nộinghĩa
2 hình vuông
Định nghĩa một kháiKhóa
niệm mới
dựa vào một hay nhiều khái niệm
đã biết.ĐHSP
Ví dụ để
ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành', để định nghĩa
hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác... Tuy nhiên quá trình nay không thê kéo dài vô hạn. Tức là phải có khái
niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ, chang hạn
người ta thừa nhận điếm, đường thắng, mặt phang là những khái niệm nguyên thuỷ.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả giảo thích thông qua các ví dụ cụ
thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng 1 cách trực giác.
1.2.2.

Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm

a) Vị trí của dạy học khái niệm
Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng
bậc nhất là hình thành 1 cách vững chắc cho học sinh 1 hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức
toán học cho học sinh, là tiền đề quan trọng đế xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học.
b) Yêu cầu của dạy học khái niệm
Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho học sinh dần đạt được nhũng yêu cầu sau:
-

Nắm vững các đặc điếm đặc trưng cho một khái niệm.

-

Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái
niệm nào đó hay không, đồng thời biết thế hiện khái niệm.

-

Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.

-

Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thế trong hoại động giải toán và ứng dụng vào thực
tế.

-

Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong
một hệ thống khái niệm.
Ví dụ đối với những khái niệm như “Hình bình hành”, “đạo hàm”,...học sinh phải hiểu được định nghĩa

một cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm “chiều” của
vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tường minhmà chỉ cần hình dung định nghĩa
này một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của bản thân mình.
1.2.3.

Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường dùng ở phổ thông

a) Định nghĩa khái niệm theo hình thức loài- chủng

Nôi duns: Định nghĩa theo phương pháp loài- chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc
tính của chủng.
Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng
♦

Anh hành có hai cạnh
10 liên tiếp bằng nhau”. TrongK37A
Toán này:
Ví dụ 1:Nguyên
“Hình Thị
thoiPhương
là hình bình
định nghĩa

-

Hình bình hành là khái niệm loài;

-

Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng.

♦

Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó”. Ở đây:


-Số tự nhiên là khái niệm loài;

Khóa

luận là
tốt1 nghiệp
-Chỉ có hai ước
số chung
và chính nó là đặc tính của chủng.Trường ĐHSP Hà Nội 2
b) Định nghĩa bằng quy ước
Nôi dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối tượng cần định nghĩa 1 đối tượng cụ thể
nào đó.
♦

Ví dụ:a° = 1 ( Đối tượng cần định nghĩa là a° = 1 )
a " = -y [ n e N , a ^ o) a"

Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không phải giải thích tại sao lại quy ước được như vậy mà
chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có họp lý hay không.
Ví dụ: a = 1 là định nghĩa hợp lý vì \ = ^— = a m m = a°.
a"'

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề
Nôi dung: Người ta chọn ra 1 đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản và thừa nhận chúng gọi là các tiên đề. Từ đó định
nghĩa các khái niệm khác, chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp logic.
♦

Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:
Cho tập X cùng quan hệ tương đương T, (X,T) được gọi là quan hệ

tương đương nếu thoả mãn 3 tính chất sau:
i)

Tính chất phản xạ:

ii) tính chất đối xứng:
iii) Tính chất bắc cầu.
♦

Ví du 2: ta có định nghĩa khái niệm nhóm như sau:
Tập x(x *0) cùng phép toán hai ngôi * được gọi là nhóm nếu
,

,

(a,b) —> c

i)

thoả mãn:

CÓ tính chất kết hợp;

ii) Có phần tử đơn vị ee X sao cho Vxel : x * e = e * x = x ;
iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo Vxe X , 3 x e X : x * x ] = x ] * X = e
d) Định nghĩa bằng phương pháp mô tả
Nôi duns: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định nghĩa chỉ ra nhũng đối tượng trong thực tiễn có
hình ảnh gần gũi với đối tượng, quan hệ cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra chúng.
♦

Ví dụ 1: Các khái niệm “điêm trong mặt phăng, đường thăng, mặt phang” là các khái niệm không định
nghĩa, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả.

♦

Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng).Cho hai tia Ou, Ov, nếu
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia cuối
Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác từ tia đầu Ou, tia cuối Ov.

1.2.4.

Các qui tắc định nghĩa khái niệm


a) Qui tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Khóa
tốtnghĩa
nghiệp
Trường
Hà được
Nội 2định nghĩa phải
Định nghĩa theo
qui luận
tắc này
là phạm vi của khái niệm định
nghĩa vàĐHSP
khái niệm
bằng nhau.
Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái
niệm được định nghĩa.

♦

Ví dụ 1: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là định nghĩa đúng, phù họp, tương xứng.

♦

Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường họp những số này không thế khai căn được”
là định nghĩa không tương xúng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vi khái
niệm định nghĩa, ví dụ số e và số n là những số vô tỉ nhưng không là kết quả của phép khai căn nào.

b) Qui tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh
Định nghĩa theo qui tắc này có nghĩa là phải dựa vào khái niệm đã biết đã được định nghĩa.
♦

Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc “độ là — của góc vuông, góc

vuông là góc có số đo 90°” là định nghĩa vòng quanh.
♦

Ví dụ 2: “Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phang đi qua một đường thẳng” là định nghĩa vòng
quanh vì khái niệm góc chưa xác

định. Vì thế ta phải định nghĩa góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không gian giới hạn bởi hai nửa mặt
phang cùng đi qua một đường thẳng.
c) Qui tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu
Định nghĩa theo qui tắc này tức là trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thế suy ra
từ các thuộc tính còn lại.
♦

Ví dụ 1: Định nghĩa “Hình bình hành là tứ giác phang có các cặp cạnh song song và bằng nhau” vi phạm

quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai điều kiện song song hoặc bằng nhau

♦

Ví dụ 2: Định nghĩa “số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó” thừa
điều kiện “là 1 và chính nó” nhưng vì lí do sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh
hiếu rõ hai ước đó là hai ước cụ thế nào.

d) Qui tắc 4 : Định nghĩa không dùng lối phủ định nếu loài không được phân chia thành 2 tập hợp triệt ( tức
là khái niệm loài không bao gồm hai khái niệm mâu thuẫn).
♦

Ví dụ 1: “Hình thoi không phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêu lên dấu hiệu xem xét một hình
không phải là hình tam giác, chưa chỉ ra được đặc trưng của hình thoi.

♦

Ví dụ 2: “Số siêu việt là những số thực không đại số” là định nghĩa đúng vì khái niệm loài là tập số thực
được phân chia thành hai tập họp gồm tập hợp số đại số và tập hợp số siêu việt, hai tập số này là hai tập
họp tách
rời nhau
họpAnh
của chúng tạo thành
Nguyên
Thịnhưng
Phương
10 tập số thực

1.2.5.

K37A Toán

Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái
niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống


có thuộc về khái niệm đó hay không.

Khóa
tốt biệt
nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Trong dạy học
ngườiluận
ta phân
ba con đường tiếp cận khái niệm
đó là:
Con đường qui nạp,
t

*' Con đường suy diễn,
Con đường kiến thiết.

Sau đây ta sẽ đi sâu vào tùng con đường nói trên.
a) Con đường qui nạp
Xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình, hình vẽ giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích ,
so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trung của một khái niệm thể hiện ở những trường
họp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiếu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo

yêu cầu của chương trình.
Qui trình tiếp cận 1 khái niệm theo con đường qui nạp:
i)

Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thế đế học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một đối tượng nào đó

ii) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang
được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu.
iii) Giáo viên gợi mở đế học sinh phát biếu một định nghĩa bằng cách nêu tên và đặc điểm đặc trưng của khái
niệm.
Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần
phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa. Tuy nhiên
con đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải lúc nào cũng có điều kiện thực hiện.
Con đường qui nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:
-

Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điếm xuất phát cho con đường suy diễn

-

Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó có đủ điều
kiện để thực hiện phép qui nạp

b) Con đường suy diễn
Một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào định nghĩa khái niệm mới như
trường họp riêng của một khái niệm nào đó mà học sinh đã được học.
Qui trình tiêp cận một khái niệm băng con đương suy diên:
i)

Xuất phát từ khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điếm mà ta quan tâm.

ii) Phát biếu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó bằng một khái niệm tổng quát
hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tống quát đó.
Nguyên Thị Phương Anh
10
K37A Toán
iii) Đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm được định nghĩa.
Việc định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi như những trường họp riêng của hình bình hành; định nghĩa hàm
số mũ, hàm số lôgarit và nhừng hàm số lượng giác như những trường họp riêng của khái niệm hàm số là những ví


dụ về việc tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn.

Khóa
nghiệp
ĐHSP
Hà Nội
Con đường suy
diễnluận
có ưutốt
điểm
là tiết kiệm thời gian và thuận Trường
lợi cho việc
tập luyện
cho 2
học sinh tự học
những khái niệm toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe những báo cáo khoa học trên lĩnh vực toán học.
Tuy nhiên, con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí tuệ chung như
phân tích, tổng họp, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá.
Con đường này thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làm điếm xuất phát cho con

đường suy diễn.
c) Con đường kiến thiết
Qui trình tiêp cận một khái niệm theo con đường Mên thỉêt:
i)

Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành, hướng vào nhũng yêu
cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ môn toán hay từ thực tiễn.

ii) Khái quát hoá quá trình xây dựng đối tượng đại diện đi tới đặc điếm đặc trưng cho khái niệm cần hình
thành.
iii) Phát biểu định nghĩa đã được gợi ý
Con đường này mang cả những yếu tố qui nạp lẫn suy diễn. Yeu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ
những yêu cầu tổng quát để xây dụng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yeu tố quy
nạp thể hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc
trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
Ví dụ ta đi định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên âm ( học sinh đã được quy ước a° = 1 với a * 0).
i)

Xây dựng một đối tượng đại diện

Cẳng hạn ta muốn định nghĩa 3 4 . Đe đảm bảo phép nâng lên luỹ thừa mới này cũng có những tính chất cơ bản
của các luỹ thừa với số mũ tự nhiên, ví dụ á" X a” = a"'+", ta cần có 3 4 X 34 = 3 4+4 = 3°
Nhưng 3° = 1 do đó 3 4 X 34 = 1 . Muốn vậy ta phải định nghĩa
ii) Khái quát hoá quá trình xây dựng đối tượng đại diện
Một cách tống quát, đế đảm bảo luỹ thừa với số mũ âm cũng có các tính chất cơ bản của luỹ thừa với số
mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa:
am =\

à”

Trong đó a là một số thực khác 0, còn m là số tự nhiên,
iii) Phát biểu một định nghĩa được gợi ý ở bước (ii)
1
m

a-—

Trong đó a là một số thực khác 0, còn m là số tự nhiên.
Nguyên
Anh
10 hoạt động tự giác, tích cực của
K37A
Con đường
kiến Thị
thiếtPhương
thuận lợi
cho việc khơi dậy
họcToán
sinh và rèn luyện cho
họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình hình thành khái niệm. Tuy nhiên con đường này nói chung dài, tốn
nhiều thời gian.


Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong các điều kiện sau:
-

Khóa
luận
tốt nghiệp
Trường

ĐHSP
Hà Nội
2 không thích
Chưa định hình
được
những
đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm,
do đó
con đường
qui nạp
hợp.

-

Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điếm xuất phát cho con đường suy diễn.

1.2.6.

Hoạt động củng cố khái niệm Quá trình hình thành khái niệm chưa kết thúc khi phát

biểu được định nghĩa khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm là một khâu rất quan
trọng, khâu này thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:
^ Nhận dạng và thế hiện khái niệm.
^ Hoạt động ngôn ngữ.
Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm
đã học
Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động.
a) Nhận dạng và thế hiện khái niệm:
Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau có tác dụng củng
cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng khái niệm.

♦

Ví dụ 1: ( nhận dạng khái niệm hình chóp đều). Phải chăng mọi hình chóp có đáy là một đa giác đều luôn
là một hình chóp đa giác đều?

♦

Ví dụ 2: ( thể hiện một khái niệm hình chóp đều). Chohinhf lập phương ABCD.A’B’C’D’, các đường
thẳng AC và BD cắt nhau tại o. Các đường thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau tại 0\ Hãy vẽ hai hình chóp đều
có đáy là hình vuông ABCD.
Khi cho học sinh nhận dạng và thể hiện khái niệm chúng ta cần

lưu ý:
Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những đối tượng không thuộc ngoại diên
khái niệm đó
Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm đang xét thì cần đưa ra cả những trường hợp
đặc biệt của khái niệm đó. Việc đưa ra những trường họp đặc biệt của khái niệm, trong đó một đối tượng mang
những thuộc tính nối bật nhưng không phải là những thuộc tính bản chất đối với khái niệm đang xét vừa giúp học
sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm, lại vừa rèn luyện cho họ khả năng trừu tượng hoá thể hiện ở chỗ
biết phân biệt và tách đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất.
Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái niệm đang xét, trong trường họp đặc
trưng của khái niệm có cấu trúc hội các phản ví dụ thường được xây dựng sao cho chỉ một thành phần trong cấu
trúc hội còn các thành phần khác đều được thoả mãn. Sau đây ta đưa ra một ví dụ như sau:
Theo định
nghĩaThị
hàmPhương
số, tínhAnh
chất đặc trưng của
phân tích
Nguyên

10 khái niệm này có thể được K37A
Toánthành hội của hai
điều kiện đon p] và p2như sau :
-Điều kiện px: Với mỗi số thực xeX đều tồn tại số thực tương ứng y e Y ( điều kiện tồn tại).


Khóa luận tốt nghiệp
-Điều kiện p 2 :

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Với mỗi số thực X<=x thì số thực tương ứng

y e Y là duy nhất.
Trên cơ sở đó có thể đưa ra hai phản ví dụ sau đây:
Phản ví dụ 1: R —> R
xba/Ĩ (vi phạm điều kiện p x)
Phản ví dụ 2: N —> N
n h-> một ước của n ( vi phạm điều kiện p x)
Thứ tư, trường họp đặc trung của cấu trúc hội có 2 điều kiện, cần làm rõ
cấu trúc này để học sinh nhận dạng khái niệm đó dễ dàng hơn.
Trường họp tống quát khi đặc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện,
định nghĩa có cấu trúc như sau:
Vx(yj(x)<

DN

> B Ì ( X ) A B 2 ( X ) A . . . . A B (x))

Bằng cách tương tự, có thể xây dựng thuật toán nhận dạng tương ứng với
trường họp đặc trưng của khái niệm là tuyến của n điều kiện theo công thức sau:

Vx^(x)< — > B i ( x ) v B 2 ( x ) v

...V

B (*))

b) Hoạt động ngôn ngữ
Cho học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ vừa có tác dụng củng
cố khái niệm vừa góp phần phát triến ngôn ngữ cho học sinh. Đây là nhiệm vụ
mà tất cả các bộ môn trong nhà trường đều có trách nhiệm thực hiện:
-Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đối phát
biếu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau;
-Phân tích, nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định nghĩa
một cách tường minh hay ấn tàng.
c) Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá
Đe củng cố khái niệm, thầy giáo có thế thực hiện nhiều hoạt động khác
nữa, trước hết là
-

Khái quát hoá, tức là mở rộng khái niệm, chẳng hạn vận tốc tức thời của
một chuyển động tới khái niệm đạo hàm của hàm số.

-

Đặc biệt hoá , ví dụ đang xét một hình bình hành đặc biệt với một góc

Nguyên Thị Phương Anh

20

K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

vuông để được hình chữ nhật
-

Hệ thống hoá: chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái
niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa các khái niệm khác nhau trong
một hệ thống khái niệm.
Rộng hon nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề nảy

sinh trong Toán học và đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà
còn là mục đích sâu xa của việc học khái niệm.
1.2.7.

Dạy học phân chia khái niệm

Khi ta dạy học khái niệm thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác
định.Ngoại diên của khái niệm sẽ được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái
niệm. Biết phân chia khái niệm là một biểu hiện của việc nắm vững các khái
niệm toán học cũng như khái niệm của bất cứ môn học nào.
Ví dụ với việc phân chia khái niệm số phức thành số thực và số ảo rồi lại
tiếp tục phân chia số thực thành số hữu tỉ và số vô tỉ, học sinh thấy được nhiều
khía cạnh về ngoại diên của khái niệm số phức đó là: tập hợp số phức có hai tập
con là tập số thực và tập số ảo; hai tập con này không có phần tử nào chung và
họp của chúng choán hết tập số phức; tập hợp số thực đến lượt nó lại có hai tập

con là tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ; hai tập con này không có phần tủ’ nào chung
và hợp của chúng choán hết tập số thực.
Tuy nhiên trên thực tế, có nhũng học sinh hiểu sai khái niệm hoặc

Nguyên Thị Phương Anh

21

K37A Toán


giải toán sai do phân chia khái niệm sai, chắng hạn họ coi một hàm số là lẻ bởi
vì nó không phải là hàm số chẵn hoặc kết luận hai đường thẳng nào đó trong
không gian là song song với nhau chỉ vì chúng không cắt nhau. Đe học sinh biết
phân chia khái niệm trước hết cần cho học sinh hiếu thế nào là phân chia khái
niệm.
Một khái niệm có ngoại diên là A được phân chia thành những khái niệm
có ngoại diên tương ứng là A],A2,...,An có nghĩa là các điều kiện sau thoả mãn:
i) Aj ^ 0 Vi=l,...,n
ii) AjnAj=0 Vi^j
iii) ỊJ A. = A
/=1

Như vậy, cách phân chia các hàm số thành hàm số chẵn và hàm số lẻ là
một cách phân chia sai, bởi vì có những hàm số không chẵn mà cũng không lẻ.
Thật ra, liên quan tới các khái niệm hàm số chẵn và hàm số kẻ, có hai cách phân
loại hàm số:
Cách 1

Cách 2

Hàm s

Hàm số

chẵn
không

không chẵn
lẻ

°

lẻ

Tập cho học sinh phân chia một khái niệm nào đó liên quan với nhiều
khái niệm khác trong chương trình cũng có tác dụng tốt trong việc hệ thống hoá
khái niệm.


Tập luyện cho học sinh phân chia khái niệm tạo tiềm đề cần thiết đế biện luận
trong những bài toán quỹ tích, dựng hình, để chúng minh phản chứng và để giải nhiều
bài toán khác dựa trên sự phân chia bài toán.
1.3. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực đối với chương trình toán phổ
thông
ĩ.3.1. Thực trạng dạy học theo định hưởng phát triên năng lực trong dạy học môn
toán ở nhà trường phố thông hiện nay
Quan niệm về dạy học phát triến năng lực là khái niệm mới đối với phần lớn giáo
viên. Chính vì vậy đại đa số giáo viên vẫn chủ yếu phụ thuộc vào tiến trình các bài học
được trình bày trong sách giáo khoa, chưa dám chủ động trong việc thiết kế, xây dựng
kiến thức phù họp với các phương pháp và kĩ thuật dạy học phát triển năng lực.

Sức ép về thời gian sợ “cháy giáo án” ám ảnh trong đầu giáo viên từ lúc bắt đầu
đến lúc kết thúc giờ dạy. Bởi vậy mà họ chưa thực sự tố chức được phương pháp tự học
cho học sinh, việc học tập cá thế và hợp tác của học sinh còn hạn chế.
1.3.2.Tác dụng của việc dạy học phát triến năng lực trong dạy học môn toán ở
trường phố thông
Phần lớn giáo viên cho rằng cung cấp tri thức thì tự nhiên sẽ xuất hiện năng lực
nhưng điều đó không đúng, đặc biệt với một môn học công cụ như môn toán. Ngoài các
kiến thức cơ bản cần thiết, học sinh cần được luyện tập các kĩ năng vận dụng kiến thức
đã biết giải quyết những vấn đề toán học như chứng minh, tính toán , giải bài tập...Đồng
thời qua đó phát triển các năng lực xã hội, năng lực giao tiếp, làm việc nhóm...đó là mục
tiêu cuối cùng đào tạo ra những con người đầy đủ cả tri thức và năng lực.
1.4 Vị trí vai trò của các khái niệm giải tích trong chương trình toán phổ thông
Nếu Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh lại”, thì Giải tích
vận dụng kiểu tư duy “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”
1.4.1. Vị trí đặc điếm của giới hạn trong chương trình toán phố thông Giới hạn là


một khái niệm cơ bản của giải tích, có vị trí đặc biệt
quan trong với Giải tích Toán học nói chung, và Giải tích Toán học ở phố thông nói
riêng, không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đối tượng hàm số mà
còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý
thuyết biểu diễn,... ngoài ra chủ đề Giới hạn có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết cũng
như thực tiễn. Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta có thế giải quyết nhiều vấn đề
thuộc phạm vi Đại số, số học, Hình học, Vật lý.. .Vì vậy dạy học khái niệm giới hạn ở
trường THPT có ý nghĩa rất quan trọng.
Có thế nói khái niệm Giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở trường
phổ thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của giải tích là phép tính đạo hàm và
phép tính vi phân. Giới hạn còn được áp dụng như một phương pháp để giải một số dạng
toán như: tính đạo hàm của hàm số tại một điếm , tìm tiệm cận của đồ thị, chứng minh
các đắng thức và các bất đẳng thức, xét sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất

phương trình... Dãy số, hàm số cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm đạo
hàm, vi phân, tích phân. Các bài toán về tính Giới hạn, các phương pháp thông dụng và
vấn đề chuyến qua Giới hạn trong các phép toán về Giới hạn là nền tảng cơ bản của giải
tích toán học.
1.4.2. Vị trí đặc điếm của khái niệm đạo hàm trong chương trình toán pho thông
Như chúng ta đã biết giới hạn là khái niệm trung tâm của giải tích, từ khi có khái
niệm này xuất hiện nhiều khái niệm mới lấy khái niệm giới hạn làm nền tảng, Đạo hàm
chính là một khái niệm như thế.Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như
trong giải tích như xét sự biến thiên của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số, tìm cự trị của hàm số, các bài toán tìm vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tức
thời,... ứng dụng đạo hàm được xem là một phương pháp phổ biến, dễ sử dụng để giải
quyết nhiều vấn đề toán học cũng như thực tiễn.Vì vậy người ta coi đạo hàm là một khái
niệm cơ bản của giải tích dùng để xây dựng lý thuyết giải tích.


Kết luận
Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tế giảng dạy ở trường phổ thông, chương 1
đã chỉ ra:
>Những un điểm của chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực của
học sinh so với chương trình dạy học định hướng nội dung.
>Yêu cầu cấp thiết thay đối chương trình dạy học định hướng nội dung sang
chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của
xã hội, bồi dưỡng những con người có năng lực thích ứng với cuộc sống hiện đại.
Những kết luận trên là cơ sở cho việc xây dựng thiết kế một số tình huống dạy học khái
niệm giải tích lớp 11 ở trường phố thông trong chương 2.

Chưong 2: DẠY HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIÉN
NĂNG Lực MỘT SỐ KHÁI NIỆM GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG
PHỒ THÔNG
2.1. Các khái niệm giải tích trong chương trình sách giáo khoa Đại số và

giải tích lóp 11 nâng cao
A. Giới hạn dãy số
-

Dãy số có giới hạn 0

-

Dãy số có giới hạn hữu hạn -Dãy số
có giới hạn vô cực

B. Giới hạn hàm số
-

Giới hạn hàm số tại 1 điểm:giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực

-

Giới hạn hàm số tại vô cực

-

Giới hạn 1 bên: giớ hạn hữu hạn, giới hạn vô cực c. Hàm số
liên tục