Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Dạy học chủ đề Tỉ lệ thức - Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến :
Dạy học chủ đề Tỉ lệ thức - Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau theo định
hướng phát triển năng lực cho học sinh.

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Giảng dạy mơn Tốn lớp 7

3.Thời gian áp dụng sáng kiến:
Năm học 2017 – 2018 và năm học 2019 - 2020

4.Tác giả:
Họ và tên: Phan Thị Hoà
Năm sinh : 1976
Nơi thường trú : 5/79 Đường Thái Bình - Phường Lộc Hạ
Thành phố Nam Định
Trình độ chun mơn: CĐSP Tốn Tin
Chức vụ công tác: Giáo viên – Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên.
Nơi làm việc: Trường trung học cơ sở Tô Hiệu
Điện thoại : 0915245829
Tỉ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến :

5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị :Trường trung học cơ sở Tô Hiệu
Địa chỉ : Đường 19/5 - Phường Trần Tế Xương - TP Nam Định
Điện thoại : 03503646433

I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàng ngày.
Vì thế tốn học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong đời sống xã
hội. Hiểu biết về toán học giúp cho người ta có thể tính tốn, ước lượng,…và
nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận logic,…trong
giải quyết các vấn đề nảy sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng
ngày.
Ở trường THCS, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán liên
quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kĩ năng cơ bản,
khám phá về các con số, xây dựng mơ hình, giải thích số liệu, trao đởi các y
tưởng liên quan,….Vì vậy, có thể xem đó là cơ sở cho những phát minh khoa
học. Kiến thức toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các mơn học
khác, như: Vật lí, Hố học, Sinh học,…Vì thế, có thể xem mơn Tốn như mơn
học cơng cụ ở trường THCS.
Do đó ở trường THCS mơn Tốn có nhiều cơ hội giúp học sinh hình thành
và phát triển các năng lực chung, như: năng lực tính tốn, năng lực tư duy, năng
lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng
lực làm chủ bản thân, năng lực sử dụng công nghệ thông tin.
Như chúng ta đã biết, việc dạy học theo chủ đề có tác dụng rất lớn đối với
việc tiếp thu kiến thức của học sinh, từ đó hình thành các thao tác tư duy,
phương pháp suy luận cho học sinh.
Giáo dục định hướng năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc
dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú
trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn
bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề
nghiệp.
Ở lớp 7 hệ thống kiến thức về tỉ lệ thức chiếm thời lượng tương đối lớn,
đóng vai trò quan trọng trong việc giải bài tập toán lớp 7 nói riêng và chương
trình Tốn THCS nói chung.

Từ một tỉ lệ thức có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tích và
ngược lại. Trong một tỉ lệ thức nếu biết ba số hạng ta có thể tìm được số hạng
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


thứ tư. Khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là
một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong Hình học, để giải bài tập về
định lí Ta-lét, tam giác đồng dạng (ở lớp 8) thì khơng thể thiếu kiến thức về tỉ lệ
thức.
Trong sách giáo khoa lớp 7 việc trình bày hệ thống kiến thức về tỉ lệ
thức và một số bài tập vận dụng tính chất của tỉ lệ thức đã có, xong còn ở dạng
đơn giản, chỉ phù hợp với đối tượng học sinh đại trà, chưa hệ thống hoá được
các dạng bài tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài
toán và chưa đưa ra các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài tốn để
kích thích sự sáng tạo của học sinh .Trong các tiết luyện tập, nếu đưa ra một vài
bài tốn khó thì học sinh cảm thấy nặng nề, khơng tin tưởng vào bản thân mình
dẫn đến tình trạng chán học.
Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho
từng dạng tốn cụ thể, khơng có tính sáng tạo trong khi làm bài. Vì vậy giáo
viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có hướng giải bài tập
theo nhiều cách khác nhau (nếu bài tốn đó cho phép). Mỗi dạng tốn có phương
pháp giải riêng nhằm hình thành tư duy tốn học cho học sinh, cung cấp cho học
sinh những kĩ năng để giải quyết bài tốn một cách thích hợp .
Xuất phát từ thực tế trên , tôi nhận thấy muốn cho học sinh nắm vững kiến
thức về tỉ lệ thức để học khá, giỏi mơn Tốn và để tḥn tiện cho việc bồi dưỡng
học sinh giỏi, qua kinh nghiệm của bản thân và tham khảo y kiến của đồng
nghiệp tôi thấy : một trong các chuyên đề cần thiết cho học sinh khá giỏi lớp 7 là
“Dạy học chủ đề Tỉ lệ thức - Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau theo định

hướng phát triển năng lực cho học sinh”.

II. Mô tả giải pháp kỹ thuật
II.1. Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến
Qua thực tế khi chưa thực hiện đề tài này tôi nhận thây học sinh gặp nhiều
sai sót và khó khăn trong q trình giải tốn, một số năng lực của học sinh còn
yếu như: năng lực tư duy lôgic, năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết các vấn
đề thực tế.
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải, sự nhầm lẫn giữa dấu “=”
với dấu “ => ”
Ví dụ 1:

x y
x
y
 (�)

9 5 d 9.3 5.3 thì các em lại dùng dấu “=” là sai.

x y z
 
5
3 4 và x + y + z = 12
Ví dụ 2: Hãy tìm x, y, z biết
x y z

x  y  z 12
  (�)

1
Học sinh thường ghi lời giải như sau: 5 3 4 S 5  3  4 12

Ở trên các em dùng dấu “ =>” là sai.
Các em cũng rất lúng túng trước các dạng bài tập : chứng minh tỉ lệ thức từ
một tỉ lệ thức cho trước
Ví dụ : Cho tỉ lệ thức \f(a,b = \f(c,d . Chứng minh : \f(7a+3ab,11a-8b
= \f(7c+3cd,11c-8d
Bài tập chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ : Cho các số dương a1; a2; a3; b1; b2; b3 thoả mãn: \f(a1,b1 ≤
\f(a2,b2 ≤ \f(a3,b3
Chứng minh rằng : \f(a1,b1 ≤ \f(a1+a2+a3,b1+b2+b3 ≤
\f(a3,b3

Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch có nội dung gắn liền với thực tế
Ví dụ : Giá hàng tăng 20%. Hỏi với cùng một số tiền có thể mua ít đi
bao nhiêu phần trăm hàng ?
Vì vậy tơi đã phân loại và đưa ra một số dạng tốn về tỉ lệ thức, có những
định hướng cụ thể đối với mỗi dạng toán giúp các em khơng còn sai sót trong lời
giải của mình, tự tin hơn, hào hứng hơn khi giải toán. Đồng thời qua đó hình
thành và phát triển cho học sinh một số năng lực : năng lực tính tốn, năng lực
tư duy lôgic, năng lực hợp tác, năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết các vấn đề
thực tế.
II.2. Mô tả giải pháp kỹ tḥt sau khi có sáng kiến
Nhìn chung, dạy học tốn theo định hướng hình thành và phát triển
năng lực người học đến nay đang còn là vấn đề mới, đang thảo luận và chưa có
những nghiên cứu sâu, đủ để có thể làm sáng tỏ về vấn đề này.

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Với kinh nghiệm trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất
lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy
nghĩ của bản thân . Cụ thể như sau:
TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa
a c

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b d ( a, b, c, d  Q; b, d ≠ 0 )

Các số hạng a, d gọi là ngoại tỉ , các số hạng b, c gọi là trung tỉ
2. Tính chất
* Tính chất 1 ( Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức )
a c

b
d thì a.d = b.c
Nếu
* Tính chất 2:
Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức :
a c a b d c d b
 ;  ;  ; 
b d c d b a c a
Như vậy, với a, b, c, d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra
các đẳng thức còn lại :
ad = bc

\f(a,b =
\f(c,d

\f(a,c

=

\f(d,b
= \f(c,a

\f(d,c =
\f(b,a

\f(b,d

3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
* Từ tỷ lệ thức \f(a,b = \f(c,d suy ra \f(a,b = \f(c,d = \f(a+c,b+d = \f(ac,b-d (b ≠ d, b ≠ - d)
* Từ dãy tỉ số bằng nhau \f(a,b = \f(c,d = \f(e,f , ta suy ra:

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


\f(a,b = \f(c,d = \f(e,f = \f(a+c+e,b+d+f = \f(a-c-e,b-d-f =
\f(a-c+e,b-d+f =……..

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )
* a, b, c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có: \f(a,3 = \f(b,5 = \f(c,7

Trong q trình học lí thuyết, tơi phân tích kĩ để học sinh hiểu được bản
chất của vấn đề, từ đó nhận biết được tính chất nào dùng dấu “=”, tính chất nào
dùng dấu “=>”, qua đó phát triển tư duy lơgic cho học sinh.
Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức,tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
tơi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ
bản, tính chất mở rộng của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau. Sau đó cho học
sinh làm một loạt những bài tốn cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy
luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, đồng thời cũng định hướng một
số năng lực cần phát triển cho học sinh. Có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng
tốn, bằng các bài tốn từ đơn giản đến phức tạp sau đây:
DẠNG I: Lập tỉ lệ thức
Bài toán 1: Cho tập hợp số A = { 4; 8; 16; 32; 64 }. Hãy liệt kê tất cả các tỉ lệ
thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A
Hướng dẫn giải : Một tỉ lệ thức \f(a,b = \f(c,d có các số hạng khác nhau nếu
a ≠ b, a ≠ c, d ≠ a, b ≠ c , b ≠ d, c ≠ d và a.d = b.c . Do đó xét các nhóm 4 phần
tử của A sao cho từ 4 phần tử đó có thể lập được một đẳng thức giữa hai tích
( Để lập các nhóm gồm 4 phần tử một cách nhanh chóng, chính xác, giáo vên có
thể gợi y cho học sinh :
4 = 22 ; 8 = 23 ; 16 = 24 ; 32 = 25 ; 64 = 26 )
Giải:
*Xét nhóm { 4; 8; 16; 32 } ta có : 4.32 = 8.16. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau:
4 16

8 32 ;

8 32

4 16 ;

4

8

16 32 ;

16 32

4
8 .

*Xét nhóm { 4; 8; 32; 64 } ta có : 4.64 = 8.32. Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau:
4 32

8 64 ;

8 64

4 32 ;

4 16

32 64 ;

32 64

4
8 .

*Xét nhóm {8; 16; 32; 64} ta có: 8.64 = 32.16.Từ đó ta lập được 4 tỉ lệ thức sau:
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


8 32

16 64 ;

16 64

8 32 ;

8 16

32 64 ;

32 64

8 16 .

Như vậy ta có thể lập được 12 tỉ lệ thức có các số hạng khác nhau thuộc tập
hợp A.
Giáo viên có thể hướng dẫn thêm: Nếu bài tốn khơng đòi hỏi các số hạng khác
nhau thì ngồi 12 tỉ lệ thức trên ta còn lập được một số tỉ lệ thức khác nữa. Ví
dụ:
4 8
8 16
4 16 16 64
8 16 16 32 16 32 32 64









8 16 ; 4 8 ; 16 64 ; 4 16 ; 16 32 ; 8 16 ; 32 64 ; 16 32

Bài toán 2: Cho tập hợp số A = { 2; 8; 32; 128; 512 }. Hãy liệt kê tất cả các tỉ lệ
thức có các số hạng là các phần tử của A
Giải: Từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức:
+, 2.32 = 8.8 . Từ đó ta lập được các tỉ lệ thức sau : \f(2,8 = \f(8,32 ; \f(32,8 =
\f(8,2 .
8
32
32 128


+, 8.128 = 32.32. Từ đó ta lập được các tỉ lệ thức sau : 32 128 ; 8 32 .
32 128 128 512


+, 32.512 = 128.128 .Từ đó ta lập được các tỉ lệ thức sau : 128 512 ; 32 128 .
2
32
32 512


+, 2.512 = 32.32 .Từ đó ta lập được các tỉ lệ thức sau : 32 512 ; 2 32 .

+, 2.128 = 8.32 Từ đó ta lập được các tỉ lệ thức sau :
8 128 2 32 32 128 2
8

; 
; 

2 32 8 128 2
8 ; 32 128 .

+, 8.512 = 32.128 .Từ đó ta lập được các tỉ lệ thức sau :
\f(8,32 = \f(128,512 ; \f(8,128 = \f(32,512 ; \f(512,32 = \f(128,8 ;
\f(512,128 = \f(32,8

+, 2.512 = 8.128 . Từ đó ta lập được các tỉ lệ thức sau :
2 128 8 512 2
8 128 512

; 
;


8 512 2 128 128 512 ; 2
8 .

Như vậy ta có thể lập được 20 tỉ lệ thức khác nhau từ các phần tử thuộc tập
hợp A.

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Như vậy để lập tỉ lệ thức từ các số đã cho, ta cần xác định các bộ 4 số a, b,
c, d sao cho ad = bc rồi áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để viết được 4 tỉ lệ
thức:
\f(a,b = \f(c,d ; \f(a,c = \f(b,d ; \f(d,b = \f(c,a ; \f(d,c = \f(b,a

Qua dạng toán này, các em củng cố được năng lực tính tốn, năng lực
sáng tạo (viết 8 = 2 ; 32 = 2 ; 128 = 2 ; 512 = 2 để dễ dàng lập được các đẳng
thức dạng ad = bc)
Bài tập tự luyện dạng I
Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn trong năm số sau:
a , 9; 81; 729; 6561; 59049
b , 5; 25; 125; 625; 3125
Bài 2: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập các tỉ lệ thức:
(-5) : 10 ; \f(2,5 : \f(9,7 ; (-3,11) : 12,5 ;

\f(-14,5 : 9 ; (-1,5) : 3 ;

\f(-

311,50 : 25

Bài 3: Cho ba số: 6; 8; 24.
a, Tìm số x sao cho x cùng với ba số trên lập thành một tỉ lệ thức.
b, Có thể lập được tất cả bao nhiêu tỉ lệ thức?
Bài 4: Cho bốn số: 2; 4; 8; 16.
a, Tìm số x sao cho x cùng với ba trong bốn số trên lập thành một tỉ lệ
thức.

b, Có thể lập được tất cả bao nhiêu tỉ lệ thức?
DẠNG II : Tìm các số hạng của tỉ lệ thức.
Bài tốn 1: Tìm x, y biết :
a. và x.y = 90.
b. và x.y = 252.
c. và x2 – y2 = 4
Phân tích câu a : Khởi điểm bài tốn đi từ đâu? Có áp dụng được tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau khơng? Có áp dụng được tính chất cơ bản của tỉ lệ thức

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


khơng? Nếu áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức thì nên theo tính chất nào?
Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai lầm như sau:
 x = 2.9 = 18.
y = 5.9 = 45.
Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho các
em các hướng giải sau :
* Hướng thứ nhất :
Dùng phương pháp đặt giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ
thống hố, khái qt hố về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.
Đặt \f(x,2 = \f(y,5 = k =>
Mà xy = 90 =>

2k.5k = 90.
10k2 = 90
k2 = 9 =>

* Với k = 3 =>

x = 2.3 = 6.
y = 5.3 = 15.

* Với k = -3 =>

x = 2. (-3) = -6.
y = 5.(-3) = -15.

Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
* Hướng thứ hai :
Khái qt hố tồn bộ tính chất của tỉ lệ thức xem có tính chất nào liên
quan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai
Ta có : (tính chất mở rộng của tỉ lệ thức)
Mà \f(x,2 = \f(y,5 nên x và y cùng dấu.
Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
*Hướng thứ ba :
Làm thế nào để xuất hiện một tỉ lệ thức mà có một trung tỉ là tích xy ?
(Gợi y: Nhớ lại tính chất a = b => ac = bc (với c ≠ 0) )
Học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ ba như sau:
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Hiển nhiên ta thấy x ≠ 0
Ta có \f(x,2 = \f(y,5 => \f(x,2 . x = \f(y,5. x
=> \f(x2,2 = \f(xy,5 = \f(90,5 = 18
=> x2 = 2.18 = 36 => x =  6

\f(x,2 = \f(y,5 => y = \f(5x,2

Với x = 6 ta có : y = \f(5.6,2 = 15
Với x = -6 ta có : y = \f(,2 = -15
Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
Tương tự, học sinh có thể biến đởi \f(x,2 = \f(y,5 => \f(x,2 . y = \f(y,5. y
=> \f(y,5 = \f(xy,2 = \f(90,2 = 45
…………………………
*Hướng thứ tư :
Nếu đi từ tính chất cơ bản của tỉ lệ thức thì làm như thế nào? Từ tỉ lệ thức đã
cho có tính được một ẩn theo ẩn kia rồi thay vào biểu thức còn lại không?
Học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ tư như sau:
Có \f(x,2 = \f(y,5 => y = \f(5x,2
Thay y = \f(5x,2 vào biểu thức xy = 90 ta có :
x. \f(5x,2 = 90 => 5x2 = 180 => x2 = 36 => x =  6
Với x = 6 ta có : y = \f(5.6,2 = 15
Với x = -6 ta có : y = \f(,2 = -15
Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
Qua việc hệ thống hố, khái qt hố tơi đã định hướng cho các em để có lời
giải thích hợp, các em đã vận dụng để làm tốt các phần còn lại.
Bài tốn 2: Tìm x, y, z biết :
a. và x + y + z = 37.
b. và 2x + 3y – z = 186.
c. và x + y + z = 92.
d. và 2x + 4y – 2z = -4.
Phân tích câu a:

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

Có x + y + z = 37. Áp dụng tính chất nào để xuất hiện tởng x + y + z ? Liệu
có tìm được tỉ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau hay khơng?
u cầu đó đã hướng các em hệ thống hố kiến thức cơ bản , tính chất mở rộng
để chọn lời giải thích hợp
Ta có :
=>

x = 10.1 = 10.
y = 15.1 = 15.
z = 12.1 = 12

Vậy x = 10; y = 15; z = 12.
Ở bài toán này, khi trình bày lời giải học sinh cũng hay nhầm lẫn giữa dấu
“=” và dấu “=>”, do đó phải làm cho học sinh nắm được bản chất của từng phép
biến đổi.
+ Từ \f(x,2 = \f(y,3 nhân cả 2 vế với \f(1,5 ta được \f(x,2 . \f(1,5 =
\f(y,3 . \f(1,5 . Đây là phép “kéo theo”, do đó phải dùng dấu “=>”

+ Còn \f(x,10 = \f(y,15 = \f(z,12 = \f(x+y+z,10+15+12 là áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau, do đó phải dùng dấu “=”
Sau khi tìm được tỉ số trung gian để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau, học
sinh có thể dùng phương pháp đặt giá trị của dãy số để tính x; y; z ( tương tự
hướng thứ nhất – bài toán 1)
b. Để giải được phần b của bài tốn, ngồi việc tìm được tỉ số trung gian để
xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau, tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem làm thế
nào để xuất hiện tổng 2x + 3y – z, từ đó giúp các em nhớ lại tính chất của phân
số bằng nhau và các em đã chọn được lời giải thích hợp.
Ta có :

\f(

x,3 = \f(y,4

=> \f(x,3 . \f(1,5 = \f(y,4 . \f(1,5 hay

\f(x,15 =

\f(y,20
\f(y,5 = \f(z,7 => \f(y,5 . \f(1,4 = \f(z,7 . \f(1,4 hay \f(y,20 = \f(z,28

=> \f(x,15 = \f(y,20 = \f(z,28 => \f(2x,2.15 = \f(3y,3.20 = \f(z,28
=> \f(2x,30 = \f(3y,60 = \f(z,28 = \f(2x+3y-z,30+60-28 = \f(186,62 =3
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


=>

x = 15.3 = 45.
y = 20.3 = 60.
z = 28.3 = 84.

Vậy x = 45; y = 60; z = 84.
* Sau khi xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau, GV đặt vấn đề: Có thể dùng phương
pháp đặt giá trị của dãy số để tìm x, y, z khơng? Từ đó học sinh có cách giải sau:
Đặt \f(x,15 = \f(y,20 = \f(z,28 = k ( k  Z ) =>
Do đó 2x + 3y – z = 2.15k + 3.20k - 28k = 62k
Mà 2x + 3y – z = 186 => 62k = 186 => k = 3

=>

x = 15.3 = 45.
y = 20.3 = 60.
z = 28.3 = 84.

Vậy x = 45; y = 60; z = 84.
Với cách làm như trên các em đã vận dụng để làm tốt các phần còn lại.
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết :
a. 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
b. 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z – 7y = 60
Hướng dẫn :
Đây là bài toán hơi khác lạ so với các bài tốn trên. Song tơi đã nhắc các
em lưu y đến sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc tính chất của
đẳng thức, từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp
* Hướng thứ nhất :
Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:
Ta có :
=>

x = 40.2 = 80.
y = 24.2 = 48.
z = 15.2 = 30.

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
* Hướng thứ hai:
Người thực hiện : Phan Thị Hoà

Trường THCS Tô Hiệu

Dựa vào tính chất của phép nhân đẳng thức. Các em đã biết tìm bội chung
nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải bài tốn như sau:
Ta có BCNN (3; 5; 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z
Hay
=>

x = 40.2 = 80.
y = 24.2 = 48.
z = 15.2 = 30.

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
* Hướng thứ ba:
Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích của hai số thành một thương. Từ đó đã
hướng cho các em tìm ra cách giải sau:
Từ 3x = 5y = 8z
=>

x = .240 = 80.
y = . 240 = 48.
z = . 240 = 30.

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Qua ba hướng trên đã giúp các em có cơng cụ để giải bài tốn và từ đó các
em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em có
thể sang tạo thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b.
*Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các em
phải tạo ra tích trung gian ( nếu giải theo hướng thứ hai hoặc thứ ba )
+ Từ 2x = 3y => 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y.

+ Từ 5y = 7z => 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z.
=> 10x = 15y = 21z.
Bài tốn 4: Tìm x,y, z biết rằng :
a. và x + 2y – z = 12
b. và 2x + 3y – z = 50
Để tìm được lời giải của bài tốn này tơi cho các em nhận xét xem là thế
nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Phương pháp phân tích, hệ thống hố đã giúp các em nhìn ra ngay và có
hướng đi cụ thể.
* Hướng thứ nhất:
Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời
giải của bài tốn như sau :
Ta có :
=>

x – 1 = 5 => x = 6.
y – 2 = 3 => y = 5.
z – 2 = 2 => z = 4

* Hướng thứ hai: Dùng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số ta có lời giải sau:
Đặt : = k
=>

x – 1 = 5k => x = 5k + 1.
y – 2 = 3k => y = 3k + 2

z – 2 = 2k => z = 2k + 2.

Ta có : x + 2y – z = 12 => 5k + 1 + 2(3k + 2) – (2k + 2) = 12
=> 9k + 3 = 12
=> k = 1
Vậy x = 5.1 + 1 = 6.
y = 3.1 + 2 = 5.
z = 2.1 + 2 = 4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng giải, các em đã vận dụng để
tự giải phần b của bài tốn này.
Bài tốn 5: : Tìm x,y,z biết rằng :
x
y
z


x yz
y  z 1 x  z  1 x  y  2
y z  1 x  z  2 x  y  3
1
b)



x
y
z
x  y z
a)

Đây là bài tốn lạ và khó đối với học sinh. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ
đâu, đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


xuất hiện x + y + z . Tôi đã gợi y cho các em đi từ ba tỉ số đầu để xuất hiện dãy
tỉ số bằng nhau và đã có lời giải của phần b bài tốn như sau:
Giải : Điều kiện : x, y, z  0.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\f(y+z+1,x = \f(x+z+2,y = \f(x+y-3,z = \f(y+z+1+x+z+2+x+y-3,x+y+z =
\f(,x+y+z = 2

=> \f(1,x+y+z = 2
=> x + y + z = \f(1,2 = 0,5
=>

x + y = 0,5 – z
y + z = 0,5 – x.
x + z = 0,5 – y.

Thay các giá trị vừa tìm được của x, y, z vào dãy tỉ số trên, ta có :
=> 0,5 – x + 1 = 2x
=> 1,5 = 3x
=> x = 0,5.
=> 2,5 – y = 2y
=> 2,5 = 3y
=> y =
=> -2,5 – z = 2z

=> -2,5 = 3z.
=> z = Vậy (x;y;z) = (0,5 ; ; -)
Với hướng giải như trên học sinh có thể tự giải được phần a
Tóm lại, để giải các bài tốn dạng tìm các số hạng của tỉ lệ thức, học sinh có
thể có các hướng làm như sau:
1, Dùng phương pháp đặt giá trị của dãy số
2, Dùng các tính chất của tỉ lệ thức
3, Dùng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Tuỳ từng bài tập , học sinh có thể chọn cho mình hướng giải phù hợp nhất

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Qua dạng tốn trên tơi đã hình thành và củng cố cho học sinh một số
năng lực cần thiết: năng lực tính tốn, năng lực tư duy logic, năng lực sáng
tạo, năng lực tự tìm tịi nghiên cứu
Bài tập tự luyện dạng II
Bài 1 : Tìm các số x, y, z biết rằng :

x y z
 
a, 2 3 4 và x + 2y – 3z = - 20
b, \f(x-1,2 = \f(y-2,3 = \f(z-3,4 và x - 2y + 3z = 14
c, x = \f(y,2 = \f(z,3 và 4x - 3y + 2z = 36
d, x : y : z = 3 : 5 : (-2) và 5x - y + 3z = 124

x 1 y  2 z  3



 1
2
3
4
e,
và 2x + 3y –z = 50
2x 2 y 4z

  2
3
4
5
g.
và x + y +z = 49
h, 2x = 3y = 5z và x + y –z = 95

x y z
 
i, 2 3 5 và xyz = 810
Bài 2 : Tìm các số x, y, z biết rằng :
x y z
 
a, 2 3 4 và x2 – y 2 + 2z2 = 108

x y

2
2
5

3 và x  y  4 (x, y > 0)
b.
c, \f(x,2 = \f(y,3 = \f(z,4 và xy + yz + zx = 104
d, x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100
Bài 3. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:
a 9
a1  1 a 2  2

 ...  9
9
8
1 và a1  a 2  ...  a 9  90
Bài 4. Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng:
x
x
x1 x2
 �
�
�
 n 1  n
�
�
 xn  c
a1 a2
an 1 an và x1  x2  �
( a1 �0,..., an �0; a1  a2  ...  an �0 )
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

Bài 5 . Tìm x, y, z biết
x y
y z


a, 2 3 ; 5 7 và x + y + z = 98
x y
y z


b, 3 4 ; 5 7 và 2 x  3 y  z  372

c, 3x = 2y ; 7y = 5z và x - y + z = 32
d, 2x = 3y ; 5y = 7z và 3x - 7y + 5z = -30
DẠNG III : Chứng minh tỉ lệ thức
Bài toán 1: Cho tỉ lệ thức . Hãy chứng minh :
Để giải bài tốn này khơng khó, xong u cầu học sinh phải hệ thống hoá
kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng và tìm hướng giải cụ
thể.
*Hướng thứ nhất:
Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh
Đặt = k

=> a = b.k
c = d.k

Ta có :
=>
*Hướng thứ hai:

Sử dụng phương pháp hốn vị các số hạng của tỉ lệ thức và tính chất cơ bản
của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
Từ : (Hốn vị trung tỉ)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \f(

a,c

=

\f(b,d = \f(a-b,c-d = \f(a+b,c+d

(Hốn vị trung tỉ)
*Hướng thứ ba:
Ngồi hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ tính chất cơ
bản của tỉ lệ thức:
Từ
Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
Người thực hiện : Phan Thị Hoà

Trường THCS Tô Hiệu


= ac - bd

( vì ad = bc => ad - bc = 0 )

(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
= ac - bd
Do đó

( vì ad = bc => - ad + bc = 0 )

(a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) ( cùng bằng ac – bd)
=>

(Đpcm)

Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỉ lệ thức đã đưa ra một số hướng
giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu để
trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó học sinh tự giải phần b của bài
tốn này.
Bài toán 2: Cho tỉ lệ thức . Hãy chứng minh :
Hướng giải của bài toán 2 tương tự như bài tốn 1, xong mức độ tính tốn
dễ nhầm lẫn hơn. Do đó phải phân tích, cho học sinh ơn lại về luỹ thừa và kiến
thức về tính chất mở rộng của tỉ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày
hơn. Cần nhấn mạnh lại các cơng thức:
Nếu : và hướng cho các em trình bày lời giải của bài toán phần b như sau:
*Hướng thứ nhất: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức
và tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
Từ : (Hốn vị trung tỉ)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \f(

a,c

\f(b,d = \f(a-b,c-d

=> \f(a-b,c-d 2 = \f(a.b,c.d

=> \f(, = \f(ab,cd

* Hướng thứ hai:
Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh
Đặt = k

=> a = b.k ; c = d.k

Ta có : \f(, = \f(, = \f(, = \f(b,d
\f(ab,dc = \f(bk.b,dk.d = \f(b,d

Từ đó suy ra : \f(, = \f(ab,cd

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu

=


Tương tự bài toán phần b học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời
giải phần a,c và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng
minh tỉ lệ thức.
Bài toán 3: Cho . Hãy chứng minh :
Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy ḷn cao
hơn, khơng dập khn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỉ lệ thức để có
hướng giải phù hợp.
* Hướng thứ nhất :
Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào vế trái và biến đởi
ta có lời giải sau:
Từ => b2 = ac . Thay vào vế trái ta có:
(Đpcm)

* Hướng thứ hai:
Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân đẳng thức
Vì cần có a2 ; b2 ; c2 nên ta nhân từng vế của với chính bản thân nó (hay bình
phương 2 vế của tỉ lệ thức này) ta có lời giải sau :
(1)
mà

(2)
Từ (1) và (2) (Đpcm)

* Hướng thứ ba : Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỉ số để chứng minh
Đặt \f(a,b = \f(b,c = k

=> a = b.k

và b = c.k
Do đó a = c. k2
Ta có:

\f(a+b,b+c = \f(ck+ck,ck+c = \f(, = k2 (1)
\f(a,c = \f(ck2,c = k2 (2)

Từ (1) và (2) (Đpcm)
Bài toán 4:

Cho tỉ lệ thức \f(2a+15b,5a-7b = \f(2c+15d,5c-7d . Chứng

minh : \f(a,b = \f(c,d
Đây là bài toán ngược lại với các dạng bài tập đã làm. Để giải bài toán này,
học sinh phải sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: \f(a,b = \f(c,d  ad = bc

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Ta có : \f(2a+15b,5a-7b = \f(2c+15d,5c-7d


( 2a + 15b ).(5c - 7d ) = ( 5a - 7b ).(2c + 15d )

 10ac + 75bc - 14ad - 105bd = 10ac + 75ad - 14bc - 105bd
75bc - 14ad = 75ad - 14bc




75bc + 14cb = 75ad + 14ad



89bc = 89ad



bc = ad
\f(a,b = \f(c,d



Khi giải bài tập này, tôi yêu cầu học sinh nhận xét các hệ số gắn liền với a; b;

c; d. Từ đó học sinh dễ dàng đặt được các đề Tốn tương tự và giải
Ví dụ : Cho tỉ lệ thức \f(2a+3b,2a-3b = \f(2c+3d,2c-3d . Chứng minh :
\f(a,b = \f(c,d

Như vậy để chứng minh tỉ lệ thức \f(a,b = \f(c,d , ta thường dùng hai
phương pháp chính:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng ad = bc.
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số \f(a,b và \f(c,d có cùng một
giá trị. Nếu trong đề bài đã cho trước một tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị
của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho bằng k, rồi tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ
thức phải chứng minh theo k. Cũng có thể dùng các tính chất của tỉ lệ thức
như hốn vị các số hạng, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của
đẳng thức ….. để biến đổi từ tỉ lệ thức đã cho thành tỉ lệ thức phải chứng
minh.
Qua dạng toán này học sinh được hình thành và phát triển các năng lực sử
dụng các phép tính, năng lực tư duy logic, năng lực tự học,tự giải quyết vấn
đề và đặc biệt là năng lực sáng tạo.
Bài tập tự luyện dạng III
Bài 1: Cho tỉ lệ thức \f(a,b = \f(c,d . Chứng minh :
a, \f(a-b,a = \f(c-d,d

b, \f(ma+nb,ma-nb =

\f(mc+nd,mc-nd
Người thực hiện : Phan Thị Hoà

Trường THCS Tô Hiệu


(với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Bài 2: Cho tỉ lệ thức \f(a,b = \f(c,d . Chứng minh :
b, \f(a+b,c+d 2 =

a, \f(ab,cd = \f(a-b,c-d
\f(a+b,c+d

c, \f(a-b,c-d 3= \f(a+b,c+d

d, \f(7a+3ab,11a-8b =

\f(7c+3cd,11c-8d
4

e, \f(a,b = \f(2c2-ac,2d2-bd
(với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

4
4
�a  b � a  b
�
� 4
4
c

d
�
� c d
g,

Bài 3: Cho tỉ lệ thức \f(a,b = \f(b,c = \f(c,d . Chứng minh rằng :

a, \f(a+b+c,b+c+d = \f(a,d

b, \f(a+b+c,b+c+d 3

= \f(a,d
Bài 4: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện:

b 2  ac; c 2  bd và b3  c3  d 3 �0
a 3  b3  c 3 a

3
3
3
Chứng minh : b  c  d d

Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y)
Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
yz
zx
x y


 
a  b  c b  c  a c  a  b
a c

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b và 2bd = c(b+d) đk: b; d≠0 thì b d

bz-cy cx-az ay-bx



 1
b
c
Bài 7: Cho a
x y z
 
Chứng minh : a b c
DẠNG IV: Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch
Dạng IV.1: Chia một số thành những phần tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch với các số
cho trước
Bài toán 1:

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Người ta phân tích số M thành tởng của 4 số sao cho số thứ nhất và số thứ
hai tỉ lệ với 2 và 3; số thứ hai và số thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; số thứ ba và số thứ tư
tỉ lệ với 6 và 7 và số thứ tư hơn số thứ hai 22 đơn vị. Tìm số M.
Để giải bài tốn này tơi u cầu học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ
mối tương quan giữa các số liệu , từ đó có lời giải sau:
Giải:
Gọi các số thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt là a; b; c; d . Theo đề bài
ta có:
\f(a,2 = \f(b,3 ; \f(b,4 = \f(c,5 ; \f(c,6 = \f(d,7 và d - b = 22

Từ \f(a,2 = \f(b,3 => \f(a,16 = \f(b,24
Từ \f(b,4 = \f(c,5 => \f(b,24 = \f(c,30

Từ \f(c,6 = \f(d,7 => \f(c,30 = \f(d,35
Do đó ta có : \f(a,16 = \f(b,24 = \f(c,30 = \f(d,35
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\f(a,16 = \f(b,24 = \f(c,30 = \f(d,35 = \f(d-b,35-24 = \f(22,11 = 2

Do đó: a = 2.16 = 32
b = 2.24 = 48
c = 2.30 = 60
d = 2.35 = 70
M = a + b + c + d = 32 + 48 + 60 + 70 = 210
Vậy số M là 210.
Sau khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài tốn trên, tơi hướng
dẫn học sinh khai thác bài tốn bằng cách thay đổi số liệu, dữ kiện và gắn với
thực tế để được những bài tốn thực tế có phương pháp giải tương tự. Thơng
qua việc giải quyết các bài tốn thực tế đó hình thành và phát triển cho học
sinh năng lực giải quyết các vấn đề thực tế.
Chẳng hạn:
1, Người ta chia 210m vải thành 4 tấm vải sao cho độ dài tấm thứ nhất và
tấm thứ hai tỉ lệ với 2 và 3; độ dài tấm thứ hai và tấm thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; độ
dài tấm thứ ba và tấm thứ tư tỉ lệ với 6 và 7. Hãy tính độ dài mỗi tấm vải đó.
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


2, Người ta chia một khu đất rộng 315m thành 4 mảnh sao cho diện tích
mảnh thứ nhất và mảnh thứ hai tỉ lệ với 2 và 3; diện tích mảnh thứ hai và mảnh
thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; diện tích mảnh thứ ba và mảnh thứ tư tỉ lệ với 6 và 7.
Tính diện tích của mỗi mảnh đất.
Bài toán 2:

Ba kho A,B,C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 số
gạo của kho A, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo của kho B, xuất ở kho C đi 2/7 số gạo
của kho C. Khi đó số gạo ở 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu.
Biết rằng kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ.
Để giải bài tốn này tơi cho học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ mối
tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:
Giải:
Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z (tạ) (x, y, z > 0)
Số gạo lúc sau ở kho A là : x + x = x ( tạ ).
Số gạo lúc sau ở kho B là : y - y = y ( tạ ).
Số gạo lúc sau ở kho C là : z - z = z ( tạ ).
Theo bài ra ta có : x = y = z (1) và y – x = 20
Chia cả ba tỉ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có : \f(x,35 = \f(y,45 =
\f(z,56 .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
=>

x = 35 . 2 = 70 ( thoả mãn điều kiện ).
y = 45 . 2 = 90 ( thoả mãn điều kiện ).
z = 56 . 2 = 112 ( thoả mãn điều kiện ).

Vậy số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
Ngồi việc hướng dẫn học sinh tìm tịi những lời giải khác nhau cho bài
tốn, tơi cịn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi
số liệu, dữ kiện để có bài tốn mới với phương pháp giải tương tự.
Chẳng hạn :
Thay dữ kiện kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau :
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


1. Tổng số gạo ở hai kho A và B là 160 tạ.
2. Hai lần số gạo ở kho A hơn số gạo ở kho B là 50 tạ.
3. Số gạo ở kho C nhiều hơn số gạo ở kho B là 22 tạ.
Thì ta sẽ được các bài tốn mới có cùng đáp số
Bài tập tự luyện dạng IV.1
Bài 1 : Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số
5
10
thứ nhất với số thứ 2 là 9 , của số thứ nhất với số thứ ba là 7 .

Bài 2 : Tổng các lập phương của ba số nguyên là 1009. Biết rằng số thứ nhất và
số thứ hai tỉ lệ với 2 và 3. Tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 4/9. Tìm ba số
đó.
Bài 3: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng hoá
từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân
chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách
cần chuyển.
2
3
Bài 4 : Trường có 3 lớp 7, biết 3 có số học sinh lớp 7A bằng 4 số học sinh 7B và

4
bằng 5 số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp

kia là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp?
Dạng IV.2: Tốn chuyển động
Bài tốn 3:

Một người dự kiến đi ơ tơ từ A đến B trong một thời gian dự định. Thực
tế vận tốc khi đi phải giảm \f(1,4 vận tốc so với dự định nên đến B muộn hơn
thời gian dự định là 30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu.
Để giải các bài tốn chuyển động nói chung tôi yêu cầu học sinh nhắc
lại mối quan hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường của một chuyển động
đều, phân tích xem đại lượng nào khơng đởi, đại lượng nào thay đởi. Từ đó đi
đến kết ḷn về tương quan tỉ lệ giữa các đại lượng trong bài. Với bài toán này:
Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và
thiết lập được tỉ lệ thức . Từ các gợi y trên , học sinh đã tìm ra lời giải.
Giải:
Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu


Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định;
v2 là vận tốc thực đi, t2 là thời gian thực đi.
( v1, v2 cùng đơn vị; t1, t2 cùng đơn vị là phút ; v1, v2 , t1, t2 > 0 )
Ta có : v2 = v1 – \f(1,4 v1 = \f(3,4 v1 và t2 - t1 = 30 ( phút )
Cùng quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do
đó :
mà v2 = v1.
=>

\f(t2,t1 = \f(3,4\f(v1,v1 = \f(4,3 => \f(t2,4 = \f(t1,3 = \f(t2-t1,4-3 =
\f(30,1 = 30

=>

t1 = 30.3 = 90 ( thoả mãn điều kiện ).

Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút.
Bài tập tự luyện dạng IV.2
Bài 1 : Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự định đến B lúc
11h45phút. Sau khi đi được \f(4,5 quãng đường thì ơ tơ giảm vận tốc chỉ còn 30
km/h trên quãng đường còn lại nên đến B lúc 12 giờ. Hỏi xe đó khởi hành lúc
mấy giờ và quãng đường AB dài bao nhiêu kilômét ?
Bài 2: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi
quãng đường AB hết 4 giờ 15 phút, xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3 giờ 45
phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường
xe thứ nhất đã đi là 20 km. Tính quãng đường AB.
Bài 3: Để đi từ A đến B có thể dùng các phương tiện : máy bay, ô tô, xe lửa. Vận
tốc của máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6 ; 2 ; 1 .Biết rằng thời gian đi từ A đến B
bằng máy bay ít hơn so với đi bằng ô tô là 6 giờ. Hỏi thời gian xe lửa đi quãng
đường AB là bao lâu ?
Bài 4: Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 520 km,
đi ngược chiều nhau. Tính xem hai xe gặp nhau tại địa điểm cách A bao nhiêu
km, biết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB trong 12 giờ, còn xe thứ hai đi
cả quãng đường AB trong 14 giờ

Người thực hiện : Phan Thị Hồ

Trường THCS Tơ Hiệu