Đề Thi HSG Toán Lớp 9 2013-2014 Huyện Phù Ninh Có Đáp Án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.04 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2013 - 2014
Mơn: Tốn

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm):

a. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

b. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết
cho 19.

Câu 2. (4,0 điểm):

a. Cho

2 1 2 2

y

x z

A

xy x yz y zx z

  

      .

Biết xyz = 4, tính A.

b. Cho 1

x y z

a b c  và 0
a b c

x yz  . Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 1

x y z
a b c  .
Câu 3. (3,0 điểm):

Giải phương trình: x2 +
2

( 1)

x

x  = 3
Câu 4. (7,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng HA 'AA ' +HB'

BB ' +

HC '
CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc
AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức

AB+BC+CA¿2

¿
Ơ¿

đạt giá trị nhỏ

nhất?

2. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay

quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E.
Chứng minh rằng:

a) BD.CE = 4

BC

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

Câu 5. (2,0 điểm):

Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:

T = 3

a

a b c  + 3

b

b a c  +3

c

c b a  
3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

PHỊNG GD&ĐT PHÙ NINH

Híng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp 9
Năm học 2013 - 2014

(Có điều chỉnh biểu điểm so với đề thi)

Câu 1 (5,0 điểm): 
a. (3,0 điểm)

Ta có:

¿
n+24=k2
n −65=h2

¿{

2 2

k 24 h 65

   

⇔(k − h) (k +h)=89=1 . 89

⇔
k +h=89

k −h=1
⇒
¿k =45

h=44
¿{

Vậy: n = 452 – 24 = 2001

b. (2,0 điểm)

Với n = 0 ta có A(0) = 19  19

Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k  19

Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19

Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 
= 7.52k.52 + 12.6n. 6

= 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
= 6.A(k) + 7.52k .19 19

Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên

Câu 2. (6,0 điểm):

a. (3,0 điểm)

ĐKXĐ x,y,z  0. Kết hợp xyz = 4  x y z, , 0; xyz 2

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với x, thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba bởi

xyz ta được.





2 2 2

xy

x z

A

xy x xy x z x xy

   

     

Suy ra A 1 (vì A>0).

b. (3,0 i m) đ ể

Từ :

ayz+bxz+cxy

0 0

a b c

x  y  z   xyz 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ta có :

1 ( ) 1

x y z x y z
a b c    a b c 

2 2 2

2 2 2 2( ) 1

x y z xy xz yz

a b c ab ac bc

      

2 2 2

2 2 2 2 1

x y z cxy bxz ayz

a b c abc

 

    

2 2 2

2 2 2 1( )

x y z

dfcm
a b c

   

Câu 3. (1,0 điểm):

ĐK: x - 1

 ( x - 1

x

x  )2 = 3 – 2 
2

x

x   (

x

x  )2 + 2 
2

x

x  - 3 = 0

x

x  = 1 => x1,2 =

1 5
2

Hoặc
2
1
x

x  = -3 vô nghiệm
Câu 4. (6,0 điểm)

1. (3,0 điểm):

a) (1,0đ) SHBC

SABC=

2. HA ' . BC
1

2. AA ' .BC

=HA '

AA '

Tương tự: SHAB

SABC

=HC '

CC' ;

SHAC
SABC

=HB '

BB '

HA 'AA '+HB'

BB' +

HC '

CC' =

SHBC

SABC

+SHAB

SABC

+SHAC

SABC

b) (1,0đ) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BIIC=AB

AC;
AN
NB=
AI
BI ;
CM
MA=
IC
AI

BI
IC .
AN
NB .
CM

MA=
AB
AC.
AI
BI .
IC
AI=
AB
AC.
IC
BI=1

⇒BI . AN . CM=BN . IC. AM

c) (1,0đ) Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
- Chứng minh được góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
- Δ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2

⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2

4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2

4BB’2 (AB+BC)2 – AC2

- Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2

AB+BC+CA¿2

¿
Ơ¿

Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC

⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều

* Kết luận đúng

2. (3 ®iĨm):

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) (1 ®iĨm) Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^D

1=120
0

− ^M1
V× ^M

2 = 600 nªn ta cã: ^M3=120
0

− ^M1
Suy ra ^D

1=^M3

Chøng minh ΔBMD ~ ΔCEM (1)
Suy ra BD

BM=

CE , từ đó BD.CE = BM.CM

V× BM = CM = BC

2 , nªn ta cã BD.CE = BC

b) (1 ®iĨm) Tõ (1) suy ra BD

CM=

EM mà BM = CM nên ta có

BM=

MD
EM

Chứng minh ΔBMD ∾ ΔMED
Từ đó suy ra ^D

1=^D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c) (1 điểm) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chøng minh DH = DI, EI = EK
TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.

Câu 5 (2,0 điểm):

Đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a

=> x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c
=> 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ;

=> 10T =

4x (y z)

x

 

4y (x z)

y

 

4z (x y)