Phần 2 :Lượng giác

LƯỢNG GIÁC


CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC

( )
()
()
()
++= ≠
++= ≠
+== ≠
++=
2
2
2
2
asin u bsinu c 0 a 0
acos u bcosu c 0 a 0
atg u btgu c 0 a 0
a cot g u b cot gu c 0 a 0≠


Cách giải:
Đặt : hay với
tsinu
=
tcosu=
t1≤

(điều kiện
ttgu=
uk
2
π
≠ +π
)
(điều kiện
tcotgu=
uk
≠ π
)
Các phương trình trên thành:
2
at bt c 0+ +=

Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t.
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u.


Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002)
Tìm các nghiệm trên
(
của phương trình
)
0, 2π
()
cos 3x sin 3x
5sinx 3 cos2x*
12sin2x

+
⎛⎞
+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

Điều kiện:
1
sin 2x
2
≠−

Ta có:
( ) ( )
33
sin 3x cos 3x 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x+= − + −

()
()
()
()
()()
33
22
3cosx sinx 4cos x sin x
cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x
cos x sin x 1 2sin 2x
=− − + −
⎡⎤

=− −+ + +
⎣⎦
=− +

Lúc đó: (*)
( )
( )
2
5 sin x cos x sin x 3 2cos x 1
⎡⎤
⇔+−=+
⎣⎦
−

1
do sin 2x
2
⎛⎞
≠−
⎜⎟
⎝⎠

2
2cos x 5cosx 2 0⇔−+=

()
1
cos x
2
cos x 2 loại

⎡
=
⎢
⇔
⎢
=
⎢
⎣

x
3
π
⇔=±+ πk2
(nhận do
31
sin 2x
22
= ±≠−
)
Do
( )
x0,2∈π
nên
5
xx
33
π π
=∨=

Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005)
Giải phương trình:
( )
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=


Ta có: (*)
1cos6x 1cos2x
.cos2x 0
22
++
⇔ −=

cos6x.cos 2x 1 0
⇔−=
(**)
Cách 1: (**)
()
3
4 cos 2x 3cos2x cos2x 1 0
⇔− −=
=
42
4 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔−−

()
2
2
cos 2x 1

1
cos 2x vô nghiệm
4
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

()
sin 2x 0
k
2x k x k Z
2
⇔=
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 2: (**)
()
1
cos8x cos 4x 1 0
2
⇔+−=

()
2

cos 8x cos 4x 2 0
2cos 4x cos4x 3 0
cos4x 1
3
cos4x loại
2
⇔+−=
⇔+−
=
⎡
⎢
⇔
⎢
=−
⎣
=

()
k
4x k2 x k Z
2
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực:
(**) ⇔
cos6x cos2x 1
cos6x cos2x 1
==
⎡

⎢
==−
⎣
Cách 4:
+−=⇔+
cos 8x cos 4x 2 0 cos 8x cos 4x 2
=

⇔ ==
cos 8x cos 4x 1
⇔ =
cos 4x 1


Bài 58:
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)
Giải phương trình:
44
3
cos x sin x cos x sin 3x 0
44
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
++− −−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
2
=

Ta có:
(*)
()
2
22 22
13
sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin 2x 0
22
⎡⎤
π
⎛⎞
⇔+ − + −+−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

2
=
[]
2
11 3
1 sin 2x cos 4x sin 2x 0
22 2
⇔− + − + − =

()
22
11 11
sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 0

22 22
⇔− − − + − =

2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+−

=
()
sin 2x 1
sin 2x 2 loại
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

π
⇔=+π∈
π
⇔=+π∈


2x k2 , k
2
xk,k
4


Bài 59: (Đề th ïc khối B, năm 2004) i tuyển sinh Đại ho

( )(
−= −
2
5sinx 2 3 1 sinx tg x *

)
Giải phương trình:

Khi đó: (*)
cos x 0 sin x 1
≠⇔ ≠±
Điều kiện:
()
2
2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
cos x
⇔−=−

()
2
2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
1sinx
⇔−=−
−

2
3sin x
5sinx 2
1sinx
⇔−=
+

2
2sin x 3sinx 2 0
⇔+−

=
()
()
1
sin x nhận do sin x 1
2
sin x 2 vô nghiệm
⎡
=≠
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

±
()
5

xk2x k2k
66
ππ
⇔=+ π∨= + π ∈

Z


()
11
2sin 3x 2cos 3x *
sin x cos x
−= +
Bài 60: Giải phương trình:

Lúc đó: (*)
Điều kiện:
sin 2x 0
≠

()
11
2sin3x cos3x
sin x cos x
⇔−=+

()
( )
33
11

2 3 sin x cos x 4 sin x cos x
sin x cos x
⎡⎤
⇔+−+=+
⎣⎦

()
( )
22
sin x cos x
2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x
sin x cos x
+
⎡⎤
⇔+ − − + =
⎣⎦

()
1
sinx cosx 2 8sinxcosx 0
sin x cos x
⎡⎤
⇔+ −+ − =
⎢⎥
⎣⎦

()
2
sin x cos x 4 sin 2x 2 0
sin 2x

⎡⎤
⇔+ − −
⎢⎥
⎣⎦

=
()
2
tgx 1
sin x cos x 0
nhận so với điều kiện
1
sin 2x 1 sin 2x
4sin 2x 2sin2x 2 0
2
=−
⎡
+=
⎡
⎢
⇔⇔
−
⎢
⎢
=∨ =
−−=
⎣
⎣

ππ π π

⇔ =− + π∨ = + π∨ =− + π∨ = + π ∈

7
x k 2x k2 2x k2 2x k2 ,k
42 6 6

π ππ
⇔ =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈

7
xkxkxk,k
41212



( )
()
+− −
=
+
2
cos x 2 sin x 3 2 2 cos x 1
1*
1sin2x
Bài 61: Giải phương trình:

sin 2x 1 x m
4
π
≠− ⇔ ≠− + π

Điều kiện:
Lúc đó:
(*)
2
2sinxcosx 3 2cosx 2cos x 1 1 sin2x
⇔ + − −=+

2
2cos x 3 2cosx 2 0
⇔− +

=
()
⇔= =
2
cos x hay cos x 2 vô nghiệm
2

()
xk2
4
xk'2loạidiềukiện
4
π
⎡
=+ π
⎢
⇔
⎢
π

⎢
=− + π
⎢
⎣

xk2
4
⇔=+ π

π

Bài 62: Giải phương trình:
()
x3x x3x1
cosx.cos .cos sinxsin sin *
22 222
−=


Ta có: (*)
()()
11
cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
22
1
2
⇔ ++ −=

2
cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1⇔++−=

cos x⇔+=−+

()
2
cos 2x cos x sin x 1 cos x sin x
()( )
cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔+=+

()( )( )
cos x sin x cos 2x sin x 0 * *⇔+ −=

()
()
2
cos x sin x 1 2sin x sin x 0
⇔+ − −

=
2
cos x sin x
2sin x sinx 1 0
=−
⎡
⇔
⎢
+−=
⎣

tgx 1

sin x 1
1
sin x
2
⎡
⎢
=−
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
−

()
xk
4
xk2 k
2
5
xk2x k2
66
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π

⎢
⇔=−+π ∈
⎢
⎢
ππ
⎢
=+ π∨= + π
⎢
⎣

Z
Cách khác: (**)
tgx 1 cos 2x sin x cos x
2
π
⎛⎞
⇔=−∨ = = −
⎜⎟
⎝⎠



( )
3
4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *+=
Bài 63: Giải phương trình:

Ta có: (*)
3
4 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 0⇔ +−

=
()
2
cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0
⇔+−

=
( )
2
cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦

=
2
cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − +=

()
cos x 0
2
sin x
2
sin x 2 vô nghiệm
=
⎡
⎢
⎢
⇔=

⎢
⎢
=
⎢
⎣

2
x k sin x sin
22
ππ
⇔=+π∨ = =

4
()
3
xkxk2x k2k
24 4
ππ π
⇔=+π∨=+π∨= +π∈

Z
Bài 64

: Giải phương trình:
()
cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x *
44
ππ
⎛⎞⎛⎞
++ −+ =+ −

⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

()

(*)
()
2cos 2x.cos 4 sin x 2 2 1 sin x
4
π
⇔+=+−

( )
( )
()
2
2
21 2sin x 4 2sinx 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔− ++ −−=
⇔−++=


()
⇔−++=
2
2sin x 2 2 1 sinx 2 0
()
⎡
⎢

si

=
⇔
⎢
=
⎢
⎣
n x 2 loại
1
sin x
2


ππ
⇔=+ π = + π∈

5
xk2hayx k2,k
66


Bài 65
( )
()
+
2
g x 2 2
=+
2

3 cot sin x 2 3 2 cos x *
: Giải phương trình :

Điều kiện:
(*)

sin x 0 cos x 1
≠⇔ ≠±

Chia hai vế (*) cho
2
sin x
ta được:
()
2
42
cos x cos x
322232
sin x sin x
⇔+=+
và
sin x 0
≠


2
cos x
t
sin x
=

Đặt ta được phương trình:
()
2
3t 2 t 2−+ +2 3 2 0
2
t2t
3
=
⇔= ∨=

* Với
2
t
3
=
ta có:
2
cos x 2
3
sin x
=

()
()
(
co nhận 1
⎢
⎣
)
2

2
3cos x 2 1 cos x
2cos x 3cosx 2 0
cos x 2 loại
1
s x do cos x
2
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=≠±

()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈

Z
* Với
t2=
ta có:
=
2
cos x
2

sin x

()
()
()
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
= ≠±
⎢
⎣
π
⇔=±+ π∈xk2,k

2
2
cos x 2 1 cos x
2 cos x cos x 2 0
cos x 2 loại
2
cos x nhận do cos x 1
2
4

Bài 66

: Giải phương trình:
()
+−−
=
22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0*
cos x


Điều kiện:
Lúc đó:
(*)
=

≠
cos x 0

22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔+−−

()
()
2
2
4 1 cos 2x 3 1 cos 2x 9 3cos 2x 0
4cos 2x 6cos2x 2 0
1
cos2x 1 cos2x
2

⇔− +− −− =
⇔++=
⇔=−∨=−

22
1
2cos x 1 1 2cos x 1
2
⇔ − =− ∨ − =−

()
()
()
cos x 0 loại diều kiện
1
cos x nhận do cos x 0
2
2
xk2x
3
⇔=±+ π∨ k2kZ
3
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=± ≠
ππ
=± + π ∈

⎢
⎣

()
12
fx sinx sin3x sin5x
35
=+ +
Bài 67: Cho
()
f' x 0=
Giải phương trình:

Ta có:

=

()
f' x 0=

()( )
()()
32
cos x cos 3x 2 cos5x 0
cos x cos5x cos3x cos5x 0
2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0
4 cos x 3cos x cos 2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔+ + =
⇔+++=

⇔+=
⇔− + −

()
()
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦
⎡
⎡⎤
+− + −=
⎣⎦
⇔
⎢
=
⎢
⎣
⎡
−−=
⇔
⎢
=
⎣
±
⇔= ∨=
22
2
2
4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0
2 1 cos 2x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 0

cos x 0
4cos 2x cos2x 1 0
cos x 0
117
cos 2x cos x 0
8

=
()
117 117
cos2x cos cos2x cos cosx 0
8

8
xkxkxkkZ
222
+−
⇔= =α∨= =β∨=
αβπ
⇔=±+π∨=±+π∨=+π ∈



()
88 2
17
sin x cos x cos 2x *
16
+=
Bài 68: Giải phương trình:

Ta có:
()
()
2
88 44 44
2
2
22 22 4
2
24
24
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
1
sin x cos x 2sin x cos x sin 2x
8
11
1sin2x sin2x
28
1
1sin2x sin2x
8
+= + −
⎡⎤
=+− −
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
=− −
⎜⎟

⎝⎠
=− +

Do đó:

()
()
()
()
()()
⎛⎞
⇔− + =−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔⇔−
⎢
=
⎢
=
π
⇔=⇔=+ ∈
24 2
42
2
2
1

* 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x
8
2sin 2x sin 2x 1 0
sin 2x 1 loại
11
1cos4x
1
22
sin 2x
cos 4x 0 x 2k 1 , k Z
8


Bài 69
⎣
2
()
3
5x x
sin 5cos x.sin *
22
=
: Giải phương trình:

Nhận xét thấy:
x
cos 0 x k2 cos x 1
2
=⇔=π+ π⇔ =−

Thay vào (*) ta được:
π
⎛⎞ ⎛
+π=− +π
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
5
sin 5k 5.sin k
22
π
⎞
⎟
⎠
, không thỏa
k
∀

x
cos
2
Do không là nghiệm của (*) nên:
()
⇔=
2
5x x x x
* sin .cos 5 cos x.sin cos
22 22
và
x
cos 0

2
≠

()
3
15
sin 3x sin 2x cos x.sin x
22
⇔+=
và
≠
x
cos 0

và
2
33
3sin x 4 sin x 2sin x cos x 5 cos x.sin x⇔− + =
≠
x
cos 0
2

23
x
cos 0
2
34sinx2cosx 5cosxsinx 0
⎧
≠

⎪
⇔
⎨
⎪
−+=∨
⎩

=
32
x
cos 0
2
x
5cos x 4cos x 2cosx 1 0 sin 0
2
⎧
≠
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−−+=∨
⎪
⎩

=
()
()
2

cos x 1
x
cos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0
2
≠−
⎧
⎪
⇔
⎨
− +−=∨ =
⎪
⎩

≠−
⎧
⎪
⎡
⎪
⎢
=
⎪
⎢
⎪
⇔
−+
⎨
⎢
= =α
⎪
⎢

⎪
⎢
−−
⎪
⎢
= =β
⎣
⎩
cos x 1
cos x 1
121
cos x cos
10
1
cos
10

⎪
⎢
12
cos x
( )
⇔= π =±α+ π =±β+ π ∈xk2hayx k2hayx k2,kZ



( ) ( )
2
sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+=
Bài 70: Giải phương trình:

iều kiện: và
cos 2x 1
Đ
0

cos2x 0
≠
sin x 0 cos 2x
≠ ⇔≠∧≠

Ta có:
cos x sin 2x
cot gx tg2x
sin x cos 2x
+= +

cos2x cos x sin 2x sin x
sin x cos 2x
cos x
sin x cos 2x
+
=
=

2
cos x
2sinx.cosx 4cos x
sin x cos 2x
⎛⎞

⇔=
⎜⎟
⎝⎠
Lúc đó: (*)
() ()
()
()
⇔=
⇔+= +
⇔+= =
⇔=−∨= ≠ ≠
2
2
cos x
2cos x
cos 2x
cos2x 1 2cos2x cos2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x
1
cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2

π
⇔=π+π∨=±+π∈
ππ
⇔=+π∨=±+π∈


2x k2 2x k2 , k
3

xkx k,k


Bài 71
26

()
2
6x 8x
2cos 1 3cos *
55
+=
: Giải phương trình: