CHUYEN DE PTBPTHPT VO TI

Trường THPT 2008-2009
PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A. Phương trình - bất phương trình chứa căn thức
I. Phương pháp biến đổi tương đương
1. Kiến thức cần nhớ:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
1.
2. 0
3. ,
4. 0
5. ,
n
n
n n
n n
n n
n n
a a
a b a b ab
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
+ +
+ +

=
= ⇔ = >
= ⇔ = ∀
≥ ≥ ⇔ ≥
≥ ⇔ ≥ ∀
2. Các dạng cơ bản:
* Dạng 1:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x
 ≥

= ⇔

=


(Không cần đặt điều kiện
( )
0f x ≥
)
* Dạng 2:
( ) ( )
f x g x>
xét 2 trường hợp:
TH1:

( )
( )
0
0
g x
f x

<


≥


TH2:
( ) ( )
2
( ) 0g x
f x g x
≥



>


* Dạng 3:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) 0

0
f x
f x g x g x
f x g x

≥

≤ ⇔ ≥


≤

Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai
(ax
2
+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho
( )
0g x ≥
rồi bình phương 2 vế đưa
phương trình−bất phương trình về dạng quen thuộc.
+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình
1 2
0 1 2 1
0
n n n
n n
a x a x a x a x a
− −
−
+ + + + + =L

có nghiệm x=
α
thì chia vế trái cho cho x–
α
ta được
( )
( )
1 2
0 1 2 1
0
n n
n n
x b x b x b x b
α
− −
− −
− + + + + =L
, tương tự cho bất phương
trình.
* Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng,
nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm
số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.
* Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình
theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình−bất phương trình bậc 3
và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
01312
2
=+−+−
xxx

(ĐH Khối D – 2006)
Biến đổi phương trình thành:
2
2 1 3 1x x x− = − + −
(*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:
028116
234
=+−+−
xxxx
ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:
(*)⇔ (x – 1)
2
(x
2
– 4x + 2) = 0.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
( ) ( )
( )
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x+ ≥ + − +
, ĐK:
2
3
−≥
x
( )
( )
2
2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x⇔ + + ≥ + + − + ⇔ + + ≥ +

(1), Với
3
2
x ≥ −
hai vế (1) đều không
âm nên ta bình phương 2 vế: x
3
– x
2
– 5x – 3
0
≥
( ) ( )
2
3 1 0x x⇔ − + ≥
b) Tương tự với 2 dạng: *
( ) ( )
f x g x≥
*
( ) ( )
f x g x<
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
( )
2
2 6 1 2 0 1x x x− + − + <
Giải
( )
2
1 2 6 1 2x x x⇔ − + < −
bất phương trình tương đương với hệ:

Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
1
Trường THPT 2008-2009
2
2
2
2 0
3 7 3 7 3 7
2 6 1 0 3
2 2 2
2 6 1 2
1 3
x
x
x x x x x
x x x
x
>

− >


− + +


− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ≤
 
 
− + < −


− < <


Ví dụ 2: Tìm m để phương trình
2
2 1 2x mx m− + = −
có nghiêm.
Giải
* Nếu m < 2 ⇒ phương trình vô nghiệm.
* Nếu m ≥ 2 ⇒ phương trình ⇔ x
2
−2mx−m
2
+4m−3=0. Phương trình này có ∆=2m
2
−4m+3>0 với mọi m.
Vậy với m ≥ 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
2
2 3 1x mx x+ − = +
có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Cách 1:
( )
2
1
2 4 0,(*)
x
PT
x m x

≥ −


⇔

+ − − =


, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:
2 2
1 2
2 4 20 2 4 20
0, 0
2 2
m m m m m m
x x
− + − + − − − +
= > = <
. Phương trình đã cho có 2 nghiệm
⇔
(*) có
2 nghiệm
1x ≥ −
⇔
( )
2
22
2
4
1 4 4 20 1

4 4 20
m
x m m m m
m m m
≤


≥ − ⇔ − ≥ − + ⇔ ⇔ ≤ −

− ≥ − +


Chú ý: + x
1
> 0, x
2
< 0 vì x
1
> x
2
và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với
1 0x t≥ − ⇒ ≥
.
(*) trở thành:
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 4 0t m t− + − − − =
(**). Để (*) có 2 nghiệm

1x ≥ −
thì (**) phải có 2 nghiệm
0
≥
t
.
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
2
2 2 1x mx x+ + = +
, (1)
Giải:
( ) ( )
2
2 1 0
3 4 1 0, 2
x
pt
x m x
+ ≥


⇔

− − − =


để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc
bằng
1
2

−
hay
( )
2
4 12 0
1 9
0
2 2
1
2 2
m
f m
S


∆ = − + >


 
− ≥ ⇔ ≥

 ÷
 


> −


.
Chú ý : Cách 2: đặt

1
2
t x= +
, khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng
1
2
−
thì
( )
2
1 1
3 4 1 0
2 2
t m t
   
− − − − − =
 ÷  ÷
   
có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.
3. Các kỹ năng:
a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm
hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
5 1 1 2 4x x x− − − > −
(ĐH Khối A – 2005)
Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành:
5 1 1 2 4x x x− > − + −

khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1x x x x x− + + =
.
Giải
Điều kiện:
( )
1
2 *
0
x
x
x
≥


≤ −


=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2
1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1

4 2 2 1
8 9 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x
⇔ + + − + = ⇔ − + = −
⇔ + − = −
⇔ − =
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
2
Trường THPT 2008-2009
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0,
9
8
x =
.
(Hãy tìm thêm cách giải khác)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
2 2
2 4 0x mx x− − − =
có nghiệm.
HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được
2
1,2
16
2
m m
x
± −
=

. Kết hợp với điều kiện ta tìm
được |m| ≥ 4.
b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:
- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
7 7x x+ + =
.
HD:
• Bình phương hai vế.
• Dùng hằng đẳng thức a
2
− b
2
=0.
• Nghiệm
1 29
2,
2
x x
−
= =
.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.
( )
2
2
4
1 1

x
x
x
> −
+ +
b.
( )
2 2
3 2 3 2 0x x x x− − − ≥
ĐS: a. −1≤x<8, b.
{ }
[
)
1
; 2 3;
2
 
−∞ − +∞


 
U U
.
Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai
nghiệm thực phân biệt:
( )
2
2 8 2x x m x+ − = −
.(1)
Giải: ĐK:

2
≥
x
, do m > 0.
( ) ( ) ( )



=−+
=
⇔−=+−⇔
)2(,326
2
242
23
mxx
x
xmxxpt
. Để chứng minh
0
>∀
m
, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ
cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2.
Thật vậy: đặt
( )
3 2
6 32, 2f x x x x= + − ≥
, ta có f(2) = 0,
( ) ( )

' 2
lim , 3 12 0, 2
x
f x f x x x x
→+∞
= +∞ = + > ∀ ≥
nên f(x) là hàm liên tục trên
[
)
2;+∞
và đồng biến trên khoảng đó suy ra
0
>∀
m
phương trình (2) luôn có
nghiệm x
0
mà 2 < x
0
<
∞+
.
Một số dạng chuyển thành tích:
- Dạng:
( ) ( )
- -a c x b d
ax b cx d
m
+
+ ± + =

Ta biến đổi thành:
( ) ( )
( )m ax b cx d ax b cx d+ ± + = + − +
Ví dụ: Giải phương trình:
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
. ĐS: x=2.
- Dạng: u+v=1+uv ⇔ (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình:
3
2
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
. ĐS: x=0, x=−1.
Ví dụ: Giải phương trình:
3 24
4
1 1x x x x+ + = + +
. ĐS: x=0, x=1.
- Dạng: au+bv=ab+uv ⇔ (u−b)(v−a)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
. ĐS: x=0, x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

3 2 2 2
3 3 2 3 2 2x x x x x x x+ + + + = + + +
. ĐS: x=0.
- Dạng: a
3
−b
3
⇔ (a−b)(a
2
+ab+b
2
)=0 ⇔ a=b
Ví dụ: Giải phương trình:
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + +
. ĐS: x=1.
c. Chuyển về dạng: A
1
+ A
2
+....+ A
n
= 0 với
,0 1
i
A i n≥ ≤ ≤

khi đó pt tương đương với:
, ,
1 2
0 0 0L
n
A A A= = =
.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + −
.
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
3
Trường THPT 2008-2009
HD: Phương trình tương đương
( ) ( )
2
4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x− + + + − − + − =
. ĐS: x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2
4 2 4x y y x y− − + = +
.
Giải
Bình phương hai vế ta được
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
1

2 1 2 2 2 4 0 , 2.
2
x y y x y x y− + + + + + = ⇔ = = −
d. Sử dụng lập phương:
Với dạng tổng quát
3 3 3
a b c± =
ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức
( ) ( )
3
3 3
3a b a b ab a b± = ± ± ±
khi đó phương trình tương đương với hệ
3 3 3
3
3
a b c
a b abc c

± =


± ± =


. Giải hệ này ta có
nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −

. ĐS:
3
1; 2;
2
x x x= = =
.
e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:
- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
( )
( )
2
2 16
7
3 1
3 3
x
x
x
x x
−
−
+ − >
− −
(ĐH Khối A−2004)
Giải
ĐK:
4≥x
.
( )

( ) ( )
2 2
1 2 16 3 7 2 16 10 2⇔ − + − > − ⇔ − > −x x x x x

( )
( )
2
2
4
5
10 2 0
10 2 0
10 34 5
2 16 10 2
x
x
x
x
x
x x

≥

⇔ >


− <


⇔


− ≥



⇔ − < ≤


− > −



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
10 34> −x
.
- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.
( )
2 2
3 4 9x x x− + ≤ −
b.
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−

.
HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS:
5
3
6
x x< − ∨ ≥
.
b. Xét hai trừng hợp của x−1. ĐS:
1 52 5 1x x− ≤ < − ∨ >
.
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
( )
2
2 1 1 0x x x x x x− − − − + − =
.
HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành:
2 2 3 2
2 4 4 6 4 0x x x x x x x x− − − + − + − =
.
2 2
( 2)(2 2 2) 0x x x x x⇔ − − + − + =
b.
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − − = +
. HD: Nhân lượng liên hợp.
Bài 2: Giải bất phương trình sau:
2
1 2 1 2 2 .x x x− + + ≥ −

HD: Cách 1: Đặt
4 2
2
4
1 2 1 2
16
t t
t x x x
−
= − + + ⇒ = −
. Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A
1
+A
2
= 0, với
A
1
, A
2

0
≥
.
Bài 3: Giải phương trình
4 3 10 3 2x x− − = −
. (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy
đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức).
Bài 4: Giải phương trình
2
2

1 1
3
x x x x+ − = + −
.
Bài 5: Giải phương trình
2
2 6 1 1x x x+ + = +
.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
4
Trường THPT 2008-2009
1.
2
1 1x x− = +
2.
3 3
2 2 3 1x x− + − =
3.
3 3 3
2 2 2 9x x x+ + − =
4.
3
3 3
1 1 2x x x− + + =
5.
2
1 1 2
4
x

x x+ + − = −
6.
2
2 3 3 1
4
x
x x
− +
+ = + +
7.
5 3 3 1 1x x x− + − = −
. (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A
1
+A
2
= 0, với A
1
, A
2

0
≥
).
Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
m x m x m+ + − =
.
Bài 8: Tìm m sao cho phương trình:
2
4x x x m− = +
.

a. Có nghiệm.
b. Có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
a.
2
1 1 4
3
x
x
− −
<
.
b.
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + ≤ + +
.
c.
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x+ − + + − ≤ + −
.
Bài 10: Giải các phương trình:
a.
3 3
2 2
3 3
1x x x x x+ + = + +
. b.
4
3 4
3

x
x x
x
+ + =
+
.
c.
3
4 3 1 4x x
x
+ = + +
. d.
2
2 3 9 4x x x+ = − −
.
e.
2 2
2 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x− + + + = + +
.
II. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
( )
( )
0
n
F f x =
, đặt
( )
n
t f x=

(lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t ≥ 0).
Ví dụ 1: Giải các phương trình: a.
2 2
11 31x x+ + =
. b.
( ) ( )
2
5 2 3 3x x x x+ − = +
.
HD: a. Đặt
2
11, 0t x t= + ≥
. ĐS: x=±5.
b. Đặt
2
3 , 0t x x t= + ≥
. ĐS:
3 109
2
x
− ±
=
.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2 2
2 2 5 2x x m x x m+ + − − =
.
Giải
Đặt:
( )

2
2
5 2 6 1 0; 6t x x x t
 
= − − = − + ⇒ ∈
 
.
Khi đó phương trình trở thành
( )
2 2
2 5 0 * 5t mt m t m− + − = ⇔ = ±
. Phương trình đã cho có nghiệm khi (*)
có nghiệm
0; 6t
 
∈
 
hay
0 5 6 5 6 5
0 5 6 5 6 5
m m
m m
 
≤ + ≤ − ≤ ≤ −
⇔
 
≤ − ≤ ≤ ≤ +
 
 
.

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:
( )
2
( 2 2 1) 2 0m x x x x− + + + − ≤
, (1) có nghiệm
0;1 3x
 
∈ +
 
.
Giải: Đặt
2 2 2
2 2 2 2t x x x x t= − + ⇒ − = −
. Nếu
[ ]
31;0
+∈
x
thì
( )
[ ]
2;111
2
∈+−=
xt

BPT trở thành:
( ) ( )
2
1 2 0, 2m t t+ + − ≤

Khi đó ta có
2
2
1
t
m
t
−
≥
+
, với
1 2t≤ ≤
. Đặt
( )
2
2
1
t
f t
t
−
=
+
, dùng đồ thị ta tìm được
2
3
m ≤
.
Dạng 2:
( ) ( )

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + =
, đặt
( ) ( )
t f x g x= ±
, bình phương hai
vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.
Ví dụ 1: Cho phương trình
( ) ( )
3 6 3 6x x m x x+ + − = + + −
.
a. Giải phương trình khi m=3.
b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
5