Toán 6 Học Sinh Giỏiđiền Số tự nhiên. ghi số tự nhiên. tìm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (747.37 KB, 44 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

điền Số tự nhiên. ghi số tự nhiên. tìm số 
A/. Mục tiêu:

- Học sinh nắm vững các kiến thức về số tự nhiên về cấu tạo số trong hệ
thập phân, các phép tính về số tự nhiên, các tính chất về chia hết.

- Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.

- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lơ gic óc phân tích
tổng hợp.

B/. Chuẩn bị:

Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.

I/ Kiến thức cơ bản.

1, Đặc điểm của ghi số tự nhiên trong hệ thập phân.

- Dùng 10 chữ số 0; 1; 2; 3;...9 để ghi mọi số tự nhiên.
- Cứ 10 đơn vị của một hàng bằng một đơn vị của hàng trước.

Ví dụ: ab= 10a+b

abc= 100a + 10b+c
2, So sánh 2 số tự nhiên.

+ a > b khi a nằm ở bên trái số b trên tia số.
+ a 3, Tính chẵn lẻ:

a, Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 là số chẵn (2b;b N)
b, Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 là số lẻ (2b+1;b N)
4, Số tự nhiên liên tiếp.

a, Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau hai đơn vị.
a; a+1 (a  N)

b, Hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hơn kém nhau hai đơn vị.
2b; 2b + 2 (b  N)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II/ Bài tập.

Bài tập 1: Có bao nhiêu chữ số có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 3? 
Giải

3 = 0 + 0 + 3 = 0 + 1 + 1 + 1 = 1 + 2 + 0 + 0

3000 1011 2001 1002

1110 2100 1200 1 + 3 + 6 = 10 số
1101 2010 1020

Bài tập 2: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có bao nhiêu số có đúng ba chữ 
số giống nhau?

Giải

Có duy nhất số 10000 có 5 chữ số không thoả mãn đề bài vậy các số đều có
dạng.

abbb babb bbab bbba (ab)
Xét số abbb chữ số a có 9 cách chọn (ab)

Với a đã chọn ta có 9 cách chọn (ba)
=> Có 9.9 = 81 số có dạng abbb
Tương tự: => Có 81.4=324 số

Bài tập 3: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 ->100 từ trái sang phải thành dãy.

a, Dãy trên có tất cả bao nhiêu chữ số?

b, Chữ số thứ 100 kể từ trái sang phải là chữ số nào?
Giải

a, Số có 1 chữ số: 9 số => 9.1 = 9 chữ số

Số có 2 chữ số: 99 – 9 = 90 số => 90.2 = 180 chữ số
Số 3 chữ số: 100 => 3 chữ số

Vậy dãy trên có 9 + 180 + 3 = 192 chữ số.

b, Chữ số thứ 100 rơi vào khoảng số có 2 chữ số
Bắt đầu từ 1011 ....là chữ số thứ 91

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Số thứ 45 kể từ 10 là: (45 - 1) + 10 = 54
Vậy chữ số thứ 100 là chữ số 5.

Bài tập 4: Viết liên tiếp 15 số tự nhiên lẻ đầu tiên tạo thành một số tự nhiên hãy 
xoá đi 15 chữ số để được.

a, Số lớn nhất (9 923 252 729)
b, Số nhỏ nhất (1 111 111 122)

Bài tập 5: Nếu số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 5 vào bên phải số

đó thì nó tăng 1112 đơn vị (abc=123)

Bài tập 6: Tìm số có 4 chữ số. Biết rằng nếu xoá đi chữ số hàng chục và hàng 
đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị.

Giải abcd-ab = 4455 => cd = 99.(45-ab)

cd < 100 => (45-ab) < 100 => 45 - ab= 0
1
=> Nếu ab= 45 => cd = 0

Nếu ab= 44 => cd = 99
Vậy số phải tìm 4500

44996

Bài tập 7: Tìm số có 2 chữ số biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. 
Giải

ab = 5(a+b) => 5a = 4b
=> b  5 => b = 0

5
Nếu b = 0 => a = 0 loại

Nếu b = 5 thì a = 4 => ab = 45

Bài tập 8: Tìm số có 2 chữ số biết rằng lấy số đó chia cho tổng các chữ số của 
nó được thương là 5 dư 12.

Giải

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Nếu b = 2 => a = 4 => ab = 42
Nếu b = 7 => a = 8 87

Bài tập 9: Không làm phép tính hãy kiểm tra kết quả phép tính

a, 136 . 136 – 42 = 1960
b, ab . ab - 8557 = 0

(chữ số tận cùng)

Bài tập 10: Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số vào bên trái số đó 
ta được một số gấp 26 lần số đó(260)

Bài tập 11: Tìm số có 2 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số 
hàng chục và chữ số hàng đơn vị ta có thương là 26 dư 1.

Giải

ab = (a - b) . 26 + 1 => 27b = 16 a + 1

ab16a chẵn => 16a + 1 lẻ => b lẻ => b = 3 => a = 5
ab = 53

Bài tập 12: Tìm số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng số đó bằng tổng các số có 2 
chữ số khác nhau lập từ 3 chữ số của số phải.

Giải

abc = ab + ac + bc + ba + ca + cb
=> abc = 22(a + b + c)

Bài tập 13: Điền chữ số thích hợp thay cho các chữ cái

a, 1 ab + 36 = ab1
b, abc - cb = ca

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Các phép tính về số tự nhiên . Đếm số 
A/. Mục tiêu:

- Học sinh nắm vững các phép tính về số tự nhiên, các tính chất về chia hết,
kiến thức về dãy số cách đều.

- Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.

- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lơ gic óc phân tích
tổng hợp.

B/. Chuẩn bị:

Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.

C/. Nội dung chuyên đề.

I/ Kiến thức cơ bản. 
1) Các tính chất:

Giao hốn: a + b = b + a; a.b = b.a

Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c 
Phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ:

a.(b+c) = a.b + a.c a.(b-c) = a.b - a.c 
Một số trừ đi một tổng: a – (b+c) = a - b – c

Một số trừ đi một hiệu: a – (b-c) = a - b + c

2) Công thức về dãy số cách đều:

Số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1 
Tổng = (số cuối + số đầu). Số số hạng : 2

I/ Bài tập.

Bài tập 1: Tính bằng cách nhanh chóng.

a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 = 29 + (132 + 868) + (237 + 763)
= 29 + 1000 + 1000 = 2029

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

= 700 + 400 + 15 = 1115
Bài tập 2: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp.

a, ab +bc + ca=abc
=>ab + ca=a00=>

aoo
ac

ab


=> a = 1 => b = 9 => c = 8 => 19 + 98 + 81 = 198
b, abc + ab + a = 874

=> aaa + bb + c = 874

Do bb + c < 110 => 874  aaa > 874 – 110 = 764 => a = 7
=> bb + c = 874 – 777 = 97

Ta có: 97  bb > 97 – 10 = 87 => bb = 88 => c = 9
Ta được: 789 + 78 + 7 = 874

Bài tập 3: Điền các số từ 1 đến 9 vào ma phương 3 x 3 sao cho tổng các hàng 
thứ tự là 6 ; 16; 23 và tổng các cột 14; 12;19

Bài tập 4:

Cho 9 số 1; 3; 5; ...; 17 có thể chia 9 số đã cho thành 2 nhóm sao cho:
a, Tổng các số nhóm I gấp đơi tổng các số nhóm II

a, Tổng các số nhóm I bằng tổng các số nhóm II.
Giải

a, Có thể: (chia hết cho 3)

Nhóm I: 1 + 3 + 5 + 13 + 15 + 17 = 54
Nhóm II: 7 + 9 + 11 = 27

b, Khơng vì tổng đó khơng chia hết cho 2.
Bài tập 5: Tìm x biết:

a, 135 – (x + 37 ) = 80 => x + 37 = 135 – 80
=> x + 37 = 55

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

=> x = 106 + 17 = 123

Bài tập 6: Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng 490 hiệu lớn 
hơn số trừ là 129. Tìm số trừ và số bị trừ.

Giải

SBT = a ; ST = b; H = c
=> a – b = c (1)

a + b + c = 490 (2)
c – b + c 129 (3)
(1) và (2) => a = 490 : 2 = 245

(2) và (3) => a + 2c = 619 => c= 187
2

245

619 

=> b = 245 – 187 = 58

Bài tập 7 Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp **** - *** = **. Biết rằng các số 
đều không đổi khi đọc từ phải sang trái hoặc là từ trái sang phải.

Giải

* * * => chữ số hàng nghìn của tổng là 1 => chữ số hàng đơn vị của
+ * * tổng cũng bằng 1

* * * * Chữ số hàng trăm của số hạng thứ nhất là 9
=> Chữ số hàng đơn vị của số hạng thứ nhất là 9
=> ...

Bài tập 8:

Một trăm số tự nhiên từ 1 -> 100 chia thành 2 lớp chẵn và lẻ
a, Tổng các số của 2 nhóm, nhóm nào lớn hơn?

b, Tổng các chữ số của 2 nhóm, nhóm nào lớn hơn? 
Giải

a) 1 3 5 7 9 .... 99

2 4 6 8 10 .... 100

b) 1 3 5 7 9 11 13 .... 99

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài tập 9:

Đem số có 4 chữ số giống nhau chia cho số có 3 chữ số giống nhau thì
được thương là 16 và số dư là 1. Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số
thì thương khơng đổi và số dư giảm 200 đơn vị, tìm các số đó?

Giải

aaaa = 16 . bbb + r
aaa = 16 . bb + (r - 200)
Với 200  r < bbb

Từ 2 đẳng thức => 1000 a = 1600 b + 200
=> 5a = 8b + 1

=> a = 5 và b = 3

Bài tập 10: Để đánh số trong một cuốn sách cần dùng 1995 chữ số 
a, Cuốn sách đó có bao nhiêu trang ?

b, Chữ số thứ 1000 ở trang nào và là chữ số nào?
Giải

a) Để viết các số có 1 ; 2 chữ số cần 1 . 9 + 2 . 90 = 189 chữ số
Vậy số trang là số có 3 chữ số

Số các số có 3 chữ số là 602
3

189

1995 

Số thứ nhất có 3 chữ số là 100 . Vậy số thứ 602 là
100 + 602 – 1 = 701

Cuốn sách có 701 trang

b) Chữ số thứ 1000 thuộc số có 3 chữ số (1000 – 189 = 811)
811 = 3 . 270 + 1

Số thứ 270 là 100 + 270 – 1 = 369

Vậy chữ số thứ 1000 là chữ số hàng trăm của 370 (chữ số 3)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c, chữ số 2 ; 3 được biết bao nhiêu lần ? (20 lần)

Bài tập 12: Trong các số tự nhiên từ 100 đến 10000 có bao nhiêu số mà trong 
cách viết của chúng có 3 chữ số giống nhau.

Giải

Loại có 3 chữ số: aaa có 9 số
Loại có 4 chữ số: aaab

Có 9 cách chọn; b có 9 cách chọn và b có 4 vị trí khác.
=> có 9 . 9 . 4 = 324 số

Vậy có 9 + 324 = 333 số

Bài tập 13: a, Tính tổng của các số tự nhiên lẻ từ 1 -> 999

b, Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999. Tính tổng các chữ số
Giải

a, Số hạng của dãy là: 1 500
2

1
999





Tổng của dây là: 250000

2
500
)
999
1

(  

b, 999 là số có tổng các chữ số là 27
Ta thấy 1 + 998 = 999

2 + 997 = 999
...

Có 499 cặp => Tổng các chữ số là 27.500 = 13500

Bài tập 14: Trong các số tự nhiên có 3 dãy số. Có bao nhiêu số không chứa chữ 
số 9

Giải

Các số tự nhiên phải đếm có dạng

a có 8 cách chọn từ 1 -> 8 . b có 9 cách chọn từ 0 -> 8
c có 9 cách chọn từ 0 -> 8

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

A/. Mục tiêu:

- Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất về luỹ thừa, vận dụng
thành thạo vào trong giải bài tập về luỹ thừa.

- Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.

- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lơ gic óc phân tích
tổng hợp.

B/. Chuẩn bị:

Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.

I/ Kiến thức cơ bản.

1, Định nghĩa:

an = a . a ....a (a, n  N ; n  1 )
Ví dụ:

23 = 2 . 2 . 2 = 8
5 . 5 . 5 = 53

Quy ước: a0 = 1 (a



0)

2, Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số (chia)

a, am . an = am+n

b, am : an = am-n (a0 ; m  n ) 
Ví dụ:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 . 22 . 23 = 21+2+3 = 26
a2 : a = a42-1 = a (a0) 
139 : 135 = 134

3, Lũy thừa của một tích. 
Ví dụ: Tính:

( 2 . 3)2 = (2 . 3) (2 . 3) = (2 . 2) (3 . 3) = 22 . 32
Tổng quát: (a . b )n = an . bn

4, Luỹ thừa của luỹ thừa.

Ví dụ: Tính (32)3 = 32 . 32 . 32 = 32.3 = 36

Tổng quát: (am)n = am.n

Ví dụ: 93 . 32 = (32)3 . 32 = 36 . 33 . 38
= 93 . 9 = 94

6, Thứ tự thực hiện phép tính.

Nâng luỹ thừa – Nhân, chia – cộng trừ.
7, So sánh 2 luỹ thừa.

a, Luỹ thừa nào có giá trị lớn hơn thì lớn hơn.

23 và 32

23 = 8 ; 32 = 9 . Vì 8 < 9 => 23< 32

b, Luỹ thừa có cùng cơ số. Luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. 
Ví dụ: 162 và 210

162 = (24)2 = 28

Vì 228 < 210=> 162<210

c, Hai luỹ thừa có cùng số, luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn. 
Ví dụ: 23 < 33

So sánh: 272 và 46

272 = (33)2 = 36.Vì 36< 46 => 272< 46
II/. Bài tập

Bài tập 1: Viết gọn các biểu thức sau bằng cách dùng luỹ thừa.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức.

a, 38 : 34 + 22 . 23 = 34 + 25 = 81 + 32 = 113
b, 3 . 42 – 2 . 32 = 3 . 16 – 2 . 9 = 30

c, 3 9

3
.
2
3
.
3
.
2
)
3
.
2
(
)
3
.(
3
.
)
2

(
6
9
.
3
.
4 2
12
12
10
4
12
12
5
2
4
6
2
12
5
4
6





d, 3

.
2
.
7
.
5
5
.
7
.
2
.
7
.
3
3
.
2
.
)
7
.
5
(
5
.
7
.
2
.

)
7
.
2
(
6
35
125
.
14
.
21
3
3
3
2
2
3
3
2
3
2




e, 2 2 5

2
2

4
2
3
2
5
2
4
3
)
5
.
3
.
2
(
)
3
.
2
.(
)
2
.
5
.(
)
3
.
5
(

180
18
.
20
.
45 

= 5 25

2
.
3
.
5
2
3
.
5 2
10
10
5
10
10
7



g, 2 8

2
)
1
2
(
2
)
1
2
(
2
2
2
2
2 3
2
5
8
2
8
5
2
10
5
13










Bài tập 3: Viết các tổng sau thành một bình phương

a, 13 + 23 = 32
b, 13 + 23 + 33 = 42
c, 13 + 23 + 33 + 43 = 52

Bài tập 4: Viết kết quả sau dưới dạng một luỹ thừa

a, 166 : 42 = 166: 16 = 165

b, 178: 94= (33)8 : (32)8 : (32)4 = 324 : 38 = 316
c, 1254 ; 253= (53)4 : (52)3 = 512. 56 = 56
d, 414 . 528 = (22)14 . 528= 228 . 528 = 1028
e, 12n: 22n = (3.4)n : (22)n = 3n . 4n : 4n = 3n
Bài tập 5: Tìm x  N biết

a, 2x . 4 = 128 => 2x = 32 => 2x = 25=> x = 5 
b, x15 = x => x = 0

x = 1

c, (2x + 1)3 = 125 => (2x + 1)3 = 53
=> 2x + 1 = 5 => 2x = 4 => x = 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a, 3500 và 7300 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100

Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300

b, 85 và 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47
=> 85 < 3 . 47

d, 202303 và 303202

202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Ta so sánh 2023 và 3032

2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 => 3032 < 2023
3032 = 33. 1012 = 9.1012

Vậy 303202 < 2002303
e, 321 và 231

321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810
3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231

g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660
371320 = (372)660 = 1369660

Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979
Bài tập 7: Tìm n  N sao cho:

a) 50 < 2n < 100 b) 50<7n < 2500
Bài tập 8: Tính giá trị của các biểu thức

104
.
2

65
.
2
13
.
2

8
10
10 

b) (1 + 2 +…+ 100)(12 + 22 + … + 102)(65 . 111 – 13 . 15 . 37) 
Bài tập 9: Tìm x biết:

a) 2x . 7 = 224 b) (3x + 5)2 = 289 
c) x. (x2)3 = x5 d) 32x+1 . 11 = 2673 
Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + … +230

Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

- Tổng các chữ số của nó khơng nhỏ hơn 7

- Tổng các bình phương các chữ số của nó khơng lớn hơn 30

- Hai lần số được viết bởi các chữ số của số phải tìm nhưng theo thứ tự
ngược lại khơng lớn hơn số đó.

Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abcbiết (a + b + c)3 = abc (a  b  c)

Bài tập 14: Có hay khơng số tự nhiên abcd
(a + b + c + d)4 = abcd

CHệế SỐ TẬN CUỉNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LUếY

THệỉA

1. Trong thửùc teỏ nhiều khi ta khõng cần bieỏt giaự trũ cuỷa moọt
soỏ maứ chổ caàn bieỏt moọt hay nhiều chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa noự.
Chaỳng hán, khi so xoồ soỏ muoỏn bieỏt coự truựng nhửừng giaỷi cuoỏi hay
khõng ta chổ cần so 2 chửừ soỏ cuoỏi cuứng. Trong toaựn hoùc, khi xeựt
moọt soỏ coự chia heỏt cho 2, 4, 8 hoaởc chia heỏt cho 5, 25, 125 hay khõng ta
chổ cần xeựt 1, 2, 3 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa soỏ ủoự (xem Đ 10).

2. Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa tớch.
- Tớch caực soỏ leỷ laứ moọt soỏ leỷ.

- ẹaởc bieọt, tớch cuỷa moọt soỏ leỷ coự taọn cuứng laứ 5 vụựi baỏt kỡ soỏ leỷ
naứo cuừng coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 5.

- Tớch cuỷa moọt soỏ chaỹn vụựi baỏt kỡ moọt soỏ tửù nhieõn naứo
cuừng laứ moọt soỏ chaỹn.

ẹaởc bieọt, tớch cuỷa moọt soỏ chaỳn coự taọn cuứng laứ 0 vụựi baỏt kỡ
soỏ tửù nhieõn naứo cuừng coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 0.

3. Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa moọt luyừ thửứa.

- Caực soỏ tửù nhieõn coự taọn cuứng baống 0, 1, 5, 6 khi nãng lẽn
luyừ thửứa baỏt kỡ

( khaực 0 ) vaón giửừ nguyeõn chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa noự.

- Caực soỏ tửù nhieõn taọn cuứng baống nhửừng chửừ soỏ 3, 7, 9 khi
nãng lẽn luyừ thửứa 4n ủều coự taọn cuứng laứ 1.

...34n = ...1; ...74n = ...1; 94n = ...1

- Caực soỏ tửù nhieõn taọn cuứng baống nhửừng chửừ soỏ 2, 4, 8 nãng lẽn
luừy thửứa 4n (n ≠ 0) ủeàu coự taọn cuứng laứ 6.

...24n = ...6 ; ...44n = ...6 ; 84n = ...6

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

noự; nãng lẽn luừy thửứa chaỹn coự chửừ soỏ taọn cuứng laàn lửụùt laứ 6 vaứ
1).

4. Moọt soỏ chớnh phửụng thỡ khoõng coự taọn cuứng baống 2, 3, 7, 8.
Thớ duù 1:

Cho A = 51n + 47102 (n º N).

Chửựng toỷ raống A chia heỏt cho 10.
Giaỷi:

51 n = … 1

47102 = 47100 . 472 = 474.25 . 472 = … 1 ì … 9 = … 9.

Vaọy A = … 1 + … 9 = … 0 ; Vaọy A chia heỏt cho 10.

Thớ duù 2: Ta ủaừ bieỏt ngoaứi dửụng lũch, AÂm lũch ngửụứi ta coứn
ghi lũch theo heọ ủeỏn CAN CHI, chaỳng hán Nhãm Ngó, Quyự Muứi,
Giaựp Thaõn, … Chửừ thửự nhaỏt chổ haứng CAN cuỷa naờm. Coự 10 can laứ:
Haứng

can

Giaựp Aỏt Bớnh ẹinh Maọu Kổ Canh Taõn Nhaõm Quyự
Maừ

soỏ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (0)

Muoỏn tỡm haứng CAN cuỷa moọt naờm ta duứng coõng thửực ủụn
giaỷn sau ủãy rồi ủoỏi chieỏu keỏt quaỷ vụựi baỷng treõn:

Haứng CAN = Chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa naờm dửụng 
lũch _ 3

(Neỏu chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa naờm dửụng lũch nhoỷ hụn 3 thỡ ta mửụùn
thẽm 10).

Bãy giụứ bán haỷy tỡm haứng CAN cuỷa caực naờm Ngoù quan troùng
trong lũch sửỷ giaứnh ủoọc laọp cuỷa daõn toọc ta trong theỏ kổ XX ủoự laứ
naờm 1930 naờm ẹaỷng CSVN ra ủụứi vaứ naờm 1954 chieỏn thaộng ẹieọn
Bieõn Phuỷ.

Giaỷi : 10 _ 3 = 7  CANH ; 1930 laứ naờm CANH NGOẽ 
4 _ 3 = 1  GIAÙP ; 1954 laứ naờm GIÁP NGOẽ

BAỉI TẬP

1. Nửụực Vieọt Nam daõn chuỷ coọng hoứa ra ủụứi sau caựch maùng
thaựng Taựm naờm 1945, ủoự laứ moọt naờm Daọu. Haừy tỡm haứng CAN
cuỷa naờm Daọu ủoự.

2. Em tuoồi gỡ ? Tỡm haứng CAN cuỷa tuoồi ủoự.
3. Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa caực soỏ sau :

7430 ; 4931 ; 9732 ; 5833 ; 2335 . 
4. Tỡm hai chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa caực soỏ sau 5n ( n > 1 ). 
5. Chửựng toỷ raống caực toồng, hieọu sau khoõng chia heỏt cho 10.
a) A = 98 . 96 . 94 .92 _ 91 . 93 . 95 . 97

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

6. Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa caực soỏ sau :
a) 234567 ; b) 579675

7. Tớch caực soỏ leỷ lieõn tieỏp coự taọn cuứng laứ 7. Hoỷi tớch ủoự coự
bao nhieõu thửứa soỏ ?

Tớch A = 2 . 22. 23 ....210 x 52 . 54 . 56 …514 taọn cuứng baống bao nhieõu 
chửừ soỏ 0 ?

8*. Cho S = 1 + 31 + 32 +33 + … + 330.

Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa S, tửứ ủoự suy ra S khoõng phaỷi
laứ soỏ chớnh phửụng.

Các dấu hiệu chia hết

A/. Mục tiêu:

- Học sinh nắm vững các tính chất chia hết và các tdấu hiệu chia hết vào
trong giải bài tập.

- Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.

- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lơ gic óc phân tích
tổng hợp.

B/. Chuẩn bị:

Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.

I/ Kiến thức cơ bản.

1) Các tính chất chia hết:

a  m và b  m => (a + b)  m

a không chia hết cho m và b  m => (a + b) không chia hết cho m
2) Các dấu hiệu chia hết.

Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11
3) Tìm dư của một số khi chia cho

Tìm số dư khi chia cho 5-3-9-4-25-8-125
II/. Bài tập:

Bài tập 1: Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2 khơng? cho 5

khơng?

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 chữ số hàng 
nghìn là 6, các chữ số hàng trăm và hàng trục bằng nhau.

Bài tập 3: Cho A= 119 + 118 +…+ 11 + 1. Chứng minh rằng A  5 
B= 2 + 22 + 23 +….+ 220 . Chứng minh rằng B  5

Bài tập 4: Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000. Có bao nhiêu số chia hết cho 2 
nhưng không chia hết cho 5 ?

Giải:

+ Số chia hết cho 2 là:
2

0
998 

+ 1 = 500 (số)

+ Số chia hết cho 2 và cho 5 là:
10

0
990 

+ 1 = 100 (số)
Vậy có 400 số thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài tập 5: Tìm 2 STN liên tiếp có 2 c/s biết rằng một số chia hết cho 4 một số 
chia hết cho 25.

(24; 25); (75; 76)

Bài tập 6: Dùng 10 c/s khác nhau viết thành số có 10 c/s chia hết cho 4 sao cho.

a- Lớn nhất b- Nhỏ nhất

9876543210 1023457896

Bài tập 7: CMR

a- 1050 + 5 chia hết cho 3 và 5 
b- 1025 + 26 chia hết cho 9 và 2.

Bài tập 8: Tìm số có 4 chữ số biết rằng chữ số hàng nghìn là 9 và số đó chia hết

cho 2; 4 ; 5 và 9
Giải:

Gọi số phải tìm là 9abc

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

b = 8 a = 1

Bài tập 9: Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 7a5b1  3

a =6 => b = 2

a =6 => b = 2
Bài tập 10: Phải thay x bởi chữ số nào để

a) 113 + x chia hết cho 7 (x = 6)
b) 113 + x chia hết cho 7 dư 5 (x = 4)
c) 20x20x20x 7 (x = 3)

Bài tập 11: Với x; y; z  Z . CMR (100x + 10y + z) 21
 (x –2y + 4z) 21
Giải

Xét hiệu 100x + 10y + z) – 16 (x –2y + 4z) = 48x + 42y – 63z 21
Bài tập 12: CMR: n  N ta có 2.7n + 1  3

Giải:

Với n = 2b => 2.7n + 1 = 2.49b + 1  0 (mod 3) 
n = 2b + 1=> 2.7n + 1 = 14.49b + 1  0 (mod 3) 
Bài tập 13:

Có hay khơng một số ngun dương là bội của 2003 mà có 4 chữ số tận
cùng là 2004 ?

Giải

Có: Xét dãy số 2004 Theo Dirkhlê có 2 số có cùng số
20042004 dư khi chia cho 2003. Vậy hiệu
2004 ………… Chúng chia hết cho 2003

2004…2004
Hiệu có dạng: 10k. 2004…2004  2003 
Mà (10k:2003) = 1 => đpcm./.

Bài tập 14: CMR tồn tại b  N* sao cho: 2003b- 1  105
Giải:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

20032…2003105+1

Theo Dirichlê tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 105 
Hiệu của chúng có dạng 2003m(2003b - 1)  105

Mà (2003m: 105) = 1 => 2003b – 1  105

Số chính phương 
A/. Mục tiêu:

- Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất của số chính phương vào
trong giải bài tập.

- Vận dụng thành thạo các phép biến đổi luỹ thừa vào trong các bài tập số
học.

- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lơ gic óc phân tích
tổng hợp.

B/. Chuẩn bị:

Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.

C/. Nội dung chuyên đề.

I/ Kiến thức cơ bản. 
1- Định nghĩa:

Số chính phương là số có thể viết được dưới dạng bình phương của một
số tự nhiên.

2- Tính chất:

a- Số chính phương chỉ có tận cùng bằng 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bằng
2; 3; 7; 8 (điều ngược lại không đúng).

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

CSP chia hết cho 2 => chia hết cho 4
3 => chia hết cho 9
5 => chia hết cho 25
8 => chia hết cho 16

d- Một số là số chính phương khi và chỉ khi có số ước là lẻ.
II/. Bài tập:

Bài tập 1: Cho 4 chữ số 0; 2; 3; 4. Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm 4 chữ 
số đã cho.

Giải:

Số chính phương khơng thể tận cùng là 2; 3.

Số chính phương có tận cùng là 0 thì phải có tận cùng là 00.
Do đó số lập được phải có tận cùng là 4.

=> Số đó chia hết cho 2 => chia hết cho 4.
Xét các số: 2304; 3204; 3024 => 2304 = 482
Bài tập 2: Các số sau có phải là số chính phương hay không ?

a) A = 3 + 32 + 33 +….+ 320
b) B = 11 + 112+ 113. 
Giải:

a) A  3 nhưng A  3 (mod 9) => A khơng phải là số chính phương
b) B  3 (mod 10) => B không phải là số chính phương

Bài tập 3: CMR: A = abc+ bca+cab khơng phải là số chính phương
Giải:

A = 111( a + b + c) = 3 . 37 ( a + b + c) (số mũ lẻ)
Bài tập 4: Tìm số chính phương lập bởi 4 chữ số: 7; 2; 4; 0.

Bài tập 5: Các tổng sau có là số chính phương khơng?

a) 1010 + 8 c) 1010 + 5

b) 100! + 7 d) 10100 + 1050 + 1

Bài tập 6: Chứng tỏ các số sau khơng là Số chính phương.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài tập 7: Một số tự nhiên có 30 chữ số 1. Hỏi có cách nào thêm các chữ số 0 
vào vị trí tuỳ ý để tạo thành một số chính phương khơng?

Bài tập 8: Tìm n có 2 chữ số, biết rằng 2n+ 1 và 3n + 1 đều là các số chính

phương.

Bài tập 9: Tìm số chính phương n có 3 chữ số, biết rằng n chia hiết cho 5 và nếu 
nhân n với 2 thì tổng các chữ số của nó khơng đổi.

Bài tập 10: Tìm số tự nhiên n (n>0) sao cho tổng. 
1! + 2! + … + n! là một số chính phương.
Bài tập 11: Tìm các chữ số a và b sao cho

aabb là số chính phương.

Bài tập 12: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ khơng phải là 
một số chính phương.

Bài tập 13: Một số gồm 4 chữ số, khi đọc ngược lại thì khơng đổi và chia hết 
cho 5. Số đó có thể là số chính phương hay khơng?

Bài tập 14: Tìm số chính phương có 4 chữ số chia hết cho 33.

Ước chung và bội chung 
A/. Mục tiêu:

- Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất của ước chung, ƯCLN,
bội chung, BCNN vào trong giải bài tập.

- Vận dụng thành thạo các tính chất về chia hết vào trong các bài tập.

- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lơ gic óc phân tích
tổng hợp.

B/. Chuẩn bị:

Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.

I/ Kiến thức cơ bản.

1- Tính chất chia hết liên quan

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a  n => a  m.n
(m,n)=1

a.b  m => b m
(a, m) =1

2- Thuật toán Ơclit:

Ví dụ: Tìm ƯCLN của các cặp số sau:

11111 và 1111 342 và 266

11111 chia 1111 dư 1 342 chia 266 dư 76
11111 chia 1 dư 0 266 chia 76 dư 38
=> ƯCLN (11111; 1111) =1 76 chia 38 dư 0

=> ƯCLN (342; 266) = 38
I/ Bài tập.

Bài tập 1: 3 khối 6 – 7 – 8 theo thứ tự có 300 học sinh- 276 học sinh – 252 học 
sinh xếp hàng dọc để điều hành sao cho hàng dọc mỗi khối như nhau. Có thể

xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối khơng lẻ ? kho đó mỗi khối có
bao nhiêu hàng ngang?

Giải:

Số hàng dọc = ƯCLN (300; 276; 252) = 12
K6 có 300 : 12 = 25

K7 có 276 : 12 = 23
K8 có 252 : 12 = 21

Bài tập 2: CMR các cặp số sau nguyên tố cùng nhau với mọi n  N

a) n; 2n + 1 c)3n + 2; 5n + 3
b) 2n + 3; 4n + 8 d) 2n + 1; 6n + 5
Bài tập 3: a) Biết a – 5b  17 CMR 10a + b  17 (a, b  N)

b) Biết 3a + 2b  17 CMR 10a + b  17 (a, b  N)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Giải:

Gọi số học sinh là a: => 100 – 4  a ; 90 – 18  a
Bài tập 5: Tìm n  N sao cho: a) 4n – 5  13

b) 5n + 1  7
c) 25n + 3  53
Giải:

a) 4n – 5  13 => 4n – 5 +13  13 => 4n + 8  13 => 4(n+2)  13
=> n + 2  13 => n + 2 + 13 b => n = 13b – 2

b) 5n + 1  7 => 5n + 1 – 21  7 => 5n – 20  7
=> 5(n - 4)  7 => n – 4  7 => n = 7b + 4
c) Tương tự.

Bài tập 6: Tìm n sao cho a) n + 4  n + 1
b) n2 + 4  n + 2 
Giải:

a) n + 4  n + 1 => (n + 1) + 3  n + 1 => 3 n + 1
b- n2 + 4  n + 2 => n2 + 2n – 2n – 2 + 6  n + 1 
=> n(n + 2) – 2 (n + 2) + 6  n + 1

Bài tập 7: Tìm x, y sao cho a) ( x + 1) (2y - 1) = 12

b) x – 6 = y (x + 12)
Giải

b) (x + 2) – 8 = y ( x + 2)

=> 8 = (x + 2) – y ( x + 2) => 8 = (x + 2) (1 - y)

Bài tập 8: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nó cho 15, cho 35 được các 
số dư là 8 và 13.

Giải

Gọi số phải tìm là a.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài tập 9: Tìm dạng chung của số tự nhiên a sao cho chia 4; 5; 6 lần lượt có số

dư là 3; 4; 5 và chia hết cho 13

Giải

a + 1  BC (4; 5; 6)

=> a + 1  60 => a + 1 – 300  60 => a – 299  60
và a  13 a – 13 . 23  13 a – 299  13
=> a – 299  BCNN (60; 13)

a – 299  780

=> a = 780b + 299 (b N)

Bài tập 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5; cho 7; 9 dư là 3; 4; 5 
Giải

Gọi số phải tìm là a:

=> 2a chia cho 5; 7; 9 đều dư 1
2a – 1 = BCNN (5; 7; 9) = 315
=> 2a – 1 = 315 => a = 158

Bài tập 11: Một thiết bị điện tử 605 phát tiếng bíp; chiều thứ 2 625 bíp lúc 10h 
sáng cả 2 cùng kêu hỏi lúc mấy giờ cả 2 cùng kêu (10h 31p)

Bài tập 12: Tìm n để các số sau nguyên tố cùng nhau

a) 9n + 24 và 3n + 4 b) 18n + 3 và 21n + 7
Giải:

a) giả sử d là ước của 9n + 24 và 3n + 4
=> 9n + 24  d => 12  d => d  {3; 2}
3n + 4  d dP

d  3 vì 3n + 4  3

Vậy để (9n + 24; 3n + 4)= 1 => n lẻ

b) 18n + 3  d => 21  d => d {3; 7}
18n + 3  d

d  3 vì 21n + 7  3 => d = 7

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

=> n  7 b + 1

( 18n + 3; 21n + 7) = 1

Vậy để (9n + 24; 3n + 4)= 1 => n lẻ
Tìm 2 số tự nhiên biết

Bài tập 13: Hiệu bằng 84; ƯCLN bằng 28; nằm trong khoảng (300; 440)

a= 392 ; b= 308

Bài tập 14: ƯCLN bằng 16; số lớn là 96 
(16 hoặc 80)

Bài tập 15: BCNN bằng 770; một số bằng 14

(770; 385; 110; 55)

Bài tập 16: (a, b) = 15; [a; b] = 2100(a, b)

(15; 31500) (45; 10500) (60; 7875) (150; 4500)
(180; 2625) (315; 1500) (375; 1260) (420; 1125)
Bài tập 17: a . b = 180; [a; b] = 20 (a; b)

(3; 60) (12; 15)
Bài tập 18: [a; b] – (a; b) = 35

(1; 36) (4; 9) (5; 40) (7; 42) (14; 21) (35; 70)
Bài tập 19: a + b = 30 [a; b] = 6 (a; b)

Một số dạng tốn ƠN TậP lớp 6 
Bài tốn 1: Thực hiện phép tính:

A = (157. 57 - 99. 57 - 572) : 57 + 57 
B = 2 - 4 + 6 - 8 + … + 98 - 100
Lời giải: Ta có:

A = 57(157 - 99 - 57: 57 + 57 = 1 + 57 = 58

B = (2 - 4) + (6 - 8) + …+ (98 - 100) = (- 2) + (- 2) + (-2) + …+ (- 2) = - 98
Bài tốn 2: Tìm x:

200 - (254 : x + 3+ : 2 = 262 (1)
5.2x+ 1 = 80 (với x là số tự nhiên) (2)
Lời giải: Ta có:

(1)  (254 : x + 3) : 2 = 200 - 262  (254 : x + 3) : 2 = - 62  254 : x + 3 = -
124

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

(2) 2x + 1 = 16  x + 1 = 4  x = 3.

Bài toán 3: Cho A = 62x1y. Tìm các chữ số x, y thoả mãn:
a/ A chia hết cho cả 2, 3, 5.

b/ A chia hết cho 45 và chia cho 2 dư 1.
Lời giải:

a/ Vì A chia hết cho cả 2 và 5 nên A chia hết cho 10. Do đó y = 0.

Vì A chia hết cho 3 nên 6 + 2 + x + 1 + y = 9 + x là số chia hết cho 3. Do
đó x 3. Vậy x 



0;3;6;9



b/ Vì A chia cho 2 dư 1 nên y lẻ. Vì A chia hết cho 45 nên A chia hết cho cả 9
và 5. Suy ra y = 5 và 6 + 2 + x + 1 = 14 + x là số chia hết cho 8. Do đó (x + 5)
Vậy x = 9.

Bài toán 4: Số HS của một trường trong khoảng từ 2500 đến 2600. Nếu toàn thể
HS của trường xếp hàng 3 thì thừa một bạn, xếp hàng 4 thì thừa 2 bạn, xếp hàng
5 thì thừa 3 bạn, xếp hàng 7 thì thừa 5 bạn.

Tính số HS của trường ?

Lờp giải: Gọi số HS của trường là x (x N, 2500 < x < 2600)
Từ giả thiết suy ra a + 2 là số chia hết cho cả 3, 4, 5 và 7.

Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nên a + 2 chia hết cho 420, vì 2503 chia cho

420 bằng 5 dư 403 và 2601 chia 420 bằng 6 dư 81 nên a + 2 = 420.6 tức là a =
2518

Vậy số HS của trường là 2518 em.
Bài toán 5: Ch S = 3 + 32 + 33 + …+ 3100
a/ Chứng minh rằng S chia hết cho 4

b/ Chứng minh rằng 2S + 3 là một luỹ thừa của 3
c/ Tìm chữ số tận cùng của S.

Lời giải: Ta có

a/ S = 3(1 + 3) + 33(1 + 3) + … 399(1 + 3) = 4(3 + 33 + 35 + …+ 399).
Vậy S chia hết cho 4.

b/ Ta có: 2S + 3 = 3(3 - 1) + 32(3 - 1) + 33(3 - 1) + … + 3100(3 - 1) + 3
= 32 - 3 + 33 - 32 + 34 - 33 + … + 3101 - 3100 + 3 = 3101

c/ Ta có S = 3(1 + 3 + 32 + 33) + 35(1 + 3 + 32 + 33)+ … + 397(1 + 3 + 32 + 33) 
= 40(1 + 3 + 32 + 33)

Suy ra S có tận cùng bằng 0.

Bài tốn 6: Tìm chữ số tự nhiên n để 3n + 29 chia hết cho n + 3.
Lời giải:

Vì (3n + 29) (n + 3+ mà 3(n + 3) (n + 3) nên 20 9n + 3)
n + 3 



4; 5; 10; 20



n 



1; 2; 7; 17



Bài tốn 7: Tìm các số tự nhiên a, b thảo mãn a + b = 120 và (a, b) = 15.

Lời giải: Đặt a = 15x, b = 15y với (x, y) = 1. Vì a + b = 120 nên x + y = 8.
Suy ra



x, y







       

1;7 ; 3;5 ; 5;3 ; 7;1 ;



. Vậy:

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

so sánh phân số

A/. Mục tiêu:

- Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất của ước chung, ƯCLN,
bội chung, BCNN vào trong giải bài tập.

- Vận dụng thành thạo các tính chất về chia hết vào trong các bài tập.

- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lơ gic óc phân tích
tổng hợp.

B/. Chuẩn bị:

Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.

I/ Kiến thức cơ bản.

CÁCH 1: Quy ủồng mu dửụng roài so saựnh caực tửỷ :tửỷ naứo lụựn hụn

thỡ phãn soỏ ủoự lụựn hụn

Vớ dú : So saựnh 11& 17

12 18



 ?

Ta vieỏt : 11 33& 17 17 34

12 36 18 18 36

     

 ;

33 34 11 17

36 36 12 18

Vì    

Chuự yự :Phaỷi vieỏt phãn soỏ dửụựi mu dửụng .

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Vớ duù 1 : 2 2 5 4;
5 4vì  

 

3 3

7 5
7 5vì 
Vớ dú 2: So saựnh 2&5

5 7?
Ta coự : 2 10&5 10

5 25 7  24;

10 10 2 5

25 24 5 7

Vì   

Vớ duù 3: So saựnh 3& 6
4 7
 

?
Ta coự : 3 3 6 & 6 6

4 4 8 7 7

    

   ;

6 6 3 6

8 7 4 7

Vì     

 

Chuự yự : Khi quy ủoàng tửỷ caực phaõn soỏ thỡ phaỷi vieỏt 
caực tửỷ dửụng .

CAÙCH 3: (Tớch cheựo vụựi caực mu b vaứ d ủều laứ dửụng )

+Neỏu a.d>b.c thỡ 
a c

b  d + Neỏu a.d<b.c thỡ 
a c

b  d ; + Neỏu a.d=b.c thỡ 
a c

b d

Vớ duù 1: 5 7 5.8 7.6
6 8vì 

Vớ dú 2: 4 4 4.8 4.5
5 8 vì

     

Vớ duù 3: So saựnh 3 & 4 ?

4 5

  Ta vieỏt

3 3 4 4

4 4 5 5

 

 

  ; Vỡ tớch

cheựo –3.5 > -4.4 neõn 3 4
4 5

 

Chuự yự : Phaỷi vieỏt caực mu cuỷa caực phãn soỏ laứ caực mu 
dửụng

vỡ chaỳng hán 3 4

4 5




 do 3.5 < -4.(-4) laứ sai

CÁCH 4: Duứng soỏ hoaởc phãn soỏ laứm trung gian . 
1) Duứng soỏ 1 laứm trung gian:

a) Neỏu a 1&1 c a c
b    d b d
b) Neỏu a M 1;c N 1

b  d   maứ M > N thỡ
a c
b d

• M,N laứ phần thửứa so vụựi 1 cuỷa 2 phaõn soỏ ủaừ cho .
• Phãn soỏ naứo coự phần thửứa lụựn hụn thỡ phaõn soỏ

ủoự lụựn hụn.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

• M,N laứ phần thieỏu hay phần buứ ủeỏn ủụn vũ cuỷa 2
phãn soỏ ủoự.

• Phãn soỏ naứo coự phần buứ lụựn hụn thỡ phãn soỏ ủoự
nhoỷ hụn.

Baứi taọp aựp duùng :

Baứi taọp 1: So saựnh 19&2005?
18 2004
Ta coự : 19 1 1&2005 1 1

18 18  20042004 ;

1 1 19 2005

18 2004 18 2004

Vì   

Baứi taọp 2: So saựnh 72&98?
73 99
Ta coự : 72 1 1&98 1 1

7373 9999 ;

1 1 72 98

73 99 73 99

Vì   

Baứi taọp 3 : So saựnh 7&19?

9 17 Ta coự

7 19 7 19

9 17 9 17

2) Duứng 1 phaõn soỏ laứm trung gian:(Phaõn soỏ naứy coự tửỷ laứ tửỷ 
cuỷa phaõn soỏ thửự nhaỏt , coự maóu laứ mu cuỷa phãn soỏ thửự
hai)

Vớ duù : ẹeồ so saựnh 18&15

31 37ta xeựt phaõn soỏ trung gian
18
37.
Vỡ 18 18&18 15 18 15

3137 37 373137

*Nhaọn xeựt : Trong hai phaõn soỏ , phaõn soỏ naứo vửứa coự tửỷ 
lụựn hụn , vửứa coự mu nhoỷ hụn thỡ phãn soỏ ủoự lụựn hụn (ủieàu 
kieọn caực tửỷ vaứ mu ủều dửụng).

*Tớnh baộc cầu : a c &c mthìa m
b  d d  n b  n
Baứi taọp aựp duùng :

Baứi taọp 1: So saựnh 72&58?
73 99
-Xeựt phaõn soỏ trung gian laứ 72

99, ta thaỏy

72 72 72 58 72 58

7399 99997399
-Hoaởc xeựt soỏ trung gian laứ 58

73, ta thaỏy

72 58 58 58 72 58

7373 7399 7399

Baứi taọp 2: So saựnh 1 *

& ; ( )

3 2

n n

n N

n n

 

 

Duứng phaõn soỏ trung gian laứ
2

n
n 

Ta coự : 1 1 *

& ;( )

3 2 2 2 3 2

n n n n n n

n N

n n n n n n

 

    

     

Baứi taọp 3: (Tửù giaỷi) So saựnh caực phaõn soỏ sau: 
a) 12&13?

49 47 e)

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

b) 64&73?

85 81 f)

2003.2004 1 2004.2005 1

& ?

2003.2004 2004.2005

 

c) 19&17?

31 35 g)

149 449
& ?
157 457
d) 67&73?

77 83 h)

1999.2000 2000.2001

& ?

1999.2000 1 2000.2001 1
(Hửụựng dn : Tửứ cãu ac :Xeựt phaõn soỏ trung gian. 
 Tửứ cãu dh :Xeựt phần buứ ủeỏn ủụn vũ )

3) Duứng phaõn soỏ xaỏp xổ laứm phaõn soỏ trung gian. 
Vớ duù : So saựnh 12&19?

47 77

Ta thaỏy caỷ hai phãn soỏ ủaừ cho ủều xaỏp xổ vụựi phãn soỏ trung
gian laứ1

Ta coự : 12 12 1&19 19 1 12 19
47 48 4 77 76 4 47 77
Baứi taọp aựp dúng :

Duứng phãn soỏ xaỏp xổ laứm phaõn soỏ trung gian ủeồ so saựnh :

11 16 58 36 12 19 18 26

) & ; ) & ; ) & ; ) &

32 49 89 53 37 54 53 78

13 34 25 74 58 36

) & ; ) & ; ) & .

79 204 103 295 63 55

a b c d

e f h

CAÙCH 5: Duứng tớnh chaỏt sau vụựi m0 :

*a 1 a a m

b b b m


  

 * 1 .

a a a m

b b b m


  



*a 1 a a m

b b b m


  

 * .

a c a c
b d b d


 



Baứi taọp 1: So saựnh 101112 1& 101011 1?

10 1 10 1

A  B 

 

Ta coự : 101211 1 1
10 1
A  

 (vỡ tửỷ < maóu) 

11 11 11 10

12 12 12 11

10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1

A         B

    

Vaọy A < B .

Baứi taọp 2: So saựnh 2004 2005& 2004 2005?
2005 2006 2005 2006

M   N  



Ta coự :

2004 2004
2005 2005 2006
2005 2005
2006 2005 2006



 





 

 

Coọng theo veỏ ta coự keỏt quaỷ M > N.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Giaỷi: 37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939



  

 (aựp duùng .

a c a c

b d b d


 

 )

CÁCH 6: ẹoồi phãn soỏ lụựn hụn ủụn vũ ra hoón soỏ ủeồ so saựnh : 
+ Hoón soỏ naứo coự phaàn nguyẽn lụựn hụn thỡ hn soỏ ủoự 
lụựn hụn.

+ Neỏu phần nguyẽn baống nhau thỡ xeựt so saựnh caực phãn soỏ 
keứm theo.

Baứi taọp 1:Saộp xeỏp caực phaõn soỏ 134 55 77 116; ; ;

43 21 19 37 theo thửự tửù taờng
dần.

Giaỷi: ủoồi ra hn soỏ :3 5 ; 213; 4 1 ;3 5
43 21 19 37
Ta thaỏy: 213 3 5 3 5 4 1

21 43 37 19 neõn

55 134 116 77
21 43  37 19.
Baứi taọp 2: So saựnh 1088 2& 108 8 ?

10 1 10 3

A  B

 

Giaỷi: 1 83 & 1 83

10 1 10 3

A B

  maứ 8 8

3 3

10 110 3 A B
Baứi taọp 3: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ 47 17 27; ; ; 37

223 98 148 183 theo thửự tửù

taờng dần.

Giaỷi: Xeựt caực phãn soỏ nghũch ủaỷo: 223 98 148 183; ; ;

47 17 27 37 , ủoồi ra hoón
soỏ laứ : 435;513;513; 435

47 17 27 37
Ta thaỏy: 513 513 435 435

17  27 37 47 

17 27 37 47

( )

98 148 183 223

a c b d

vì

b d a c

     

Baứi taọp 4: So saựnh caực phaõn soỏ :

3535.232323 3535 2323

; ;

353535.2323 3534 2322

A B C ?

Hửụựng daón giaỷi: Ruựt gón A=1 , ủoồi B;C ra hn soỏ A<B<C.
Baứi taọp 5: So saựnh 5 11.13 22.26





& 13822 690?

22.26 44.54 137 548

M   N  

 

Hửụựng dn giaỷi:-Ruựt gón 5 1 1& 138 1 1 .

4 4 137 137

M    N    M N

( Chuự yự: 690=138.5&548=137.4 )

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

PHẦN II: CÁC BAỉI TẬP TỔNG HễẽP .

Baứi taọp 1: So saựnh caực phaõn soỏ sau baống caựch hụùp lyự: 
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251

) & ; ) & ) & ) & ) &
8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261

a b c d e

(Gụùi yự: a) Quy ủoàng tửỷ c) Xeựt phaàn buứ , chuự yự

:10 100 100
41410 413

d)Chuự yự: 53 530

57 570 Xeựt phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ

e)Chuự yự: phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ laứ: 1 1010 1010
26 26260 26261)

Baứi taọp 2: Khoõng thửùc hieọn pheựp tớnh ụỷ maóu , haừy duứng tớnh 
chaỏt cuỷa phaõn soỏ ủeồ so saựnh caực phaõn soỏ sau:

244.395 151 423134.846267 423133

) &

244 395.243 423133.846267 423134

a A  B 

 

Hửụựng dn giaỷi:Sửỷ dúng tớnh chaỏt a(b + c)= ab + ac

+Vieỏt 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Vieỏt 423134.846267=(423133+1).846267=…
+Keỏt quaỷ A=B=1

) 53.71 18; 54.107 53; 135.269 133?
71.52 53 53.107 54 134.269 135

b M   N   P 

  

(Gụùi yự: laứm nhử cãu a ụỷ trẽn ,keỏt quaỷ M=N=1,P>1)
Baứi taọp 3: So saựnh 3 33.103 3 & 3774

2 .5.10 7000 5217

A B



Gụùi yự: 7000=7.103 ,ruựt goùn 33& 3774 :111 34
47 5217 :111 47

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Baứi taọp 4: So saựnh 4 5 32 53 64 & 54 5 62 4 53?

7 7 7 7 7 7 7 7

A     B    

Gụùi yự: Chổ tớnh 32 64 ... 1534 & 62 54 ... 3294

7 7   7 7 7   7
Tửứ ủoự keỏt luaọn deó daứng : A < B

Baứi taọp 5:So saựnh 1919.171717& 18
191919.1717 19

M  N  ?

Gụùi yự: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Keỏt quaỷ M>N
 Mụỷ roọng : 123123123=123.1001001 ;…..

Baứi taọp 6: So saựnh 17&1717?
19 1919

Gụùi yự: +Caựch 1: Sửỷ duùng a c a c.
b d b d


 

 ; chuự yự :

17 1700
191900
+Caựch 2: Ruựt gón phãn soỏ sau cho 101….

Baứi taọp 7: Cho a,m,n N* .Haừy so saựnh : 10 10& 11 9 ?

m n m n

A B

a a a a

   

Giaỷi: A 10m 9n 1n &B 10m 9n 1m

a a a a a a

   

     

   

Muoỏn so saựnh A & B ,ta so saựnh 1n
a &

m

a baống caựch xeựt caực
trửụứng hụùp sau:

a) Vụựi a=1 thỡ am = an A=B
b) Vụựi a0:

• Neỏu m= n thỡ am = an A=B

• Neỏu m< n thỡ am < an  1 1

m n

a  a A n thỡ am > an  1 1

m n

a  a A >B

Baứi taọp 8: So saựnh P vaứ Q, bieỏt

raống: 31 32 33. . ....60& 1.3.5.7....59

2 2 2 2

P Q ?

30 30

31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.60).(1.2.3....30)
. . ....

2 2 2 2 2 2 .(1.2.3....30)
(1.3.5....59).(2.4.6....60)

1.3.5....59
2.4.6....60

P

Q

  

Vaọy P = Q

Baứi taọp 9: So saựnh 7.9 14.27 21.36 & 37 ?
21.27 42.81 63.108 333

M    N 

 

Giaỷi: Ruựt goùn

7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37 1
&

21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333 : 37 9

M       N  

   

Vaọy M = N

Baứi taọp 10: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ 21 62; & 93

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Gụùi yự: Quy ủoàng tửỷ roài so saựnh .

Baứi taọp 11: Tỡm caực soỏ nguyeõn x,y bieỏt: 1 1
18 12 9 4

x y

   ?
Gụùi yự : Quy ủồng mu , ta ủửụùc 2 3 4 9

36 36 36 36

x y

   2 < 3x < 4y < 9
Do ủoự x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.

Baứi taọp 12: So saựnh

7 6 5 3

1 1 3 5

) & ; ) &

80 243 8 243

a A  B  b C   D 

       

Giaỷi: Aựp dúng cõng thửực:

 

n n

n
m m n
n
x x
x x
y y
 
 
 
 

7 7 7 6 6

4 28 5 30 28 30

5 5 3 3

3 15 5 15

1 1 1 1 1 1 1 1 1

) & ;

80 81 3 3 243 3 3 3 3

3 3 243 5 5 125

) & .

8 2 2 243 3 3

a A B Vì A B

b C D

         
              
         
       
         
       

Chón 12515

2 laứm phãn soỏ trung gian ,so saựnh 15
125

2 > 15
125

3  C > D.

Baứi taọp 13: Cho 1 3 5. . ... 99 & 2 4 6. . ...100

2 4 6 100 3 5 7 101

M  N 

a)Chửựng minh: M < N b) Tỡm tớch M.N c) Chửựng minh:
1

10
M 

Giaỷi: Nhaọn xeựt M vaứ N ủeàu coự 45 thửứa soỏ
a)Vaứ 1 2 3; 4 5; 6;... 99 100

23 4 5 67 100101 neõn M < N
b) Tớch M.N 1

101


c)Vỡ M.N 1
101

 maứ M < N neõn ta suy ra ủửụùc : M.M < 1
101<

1
100
tửực laứ M.M < 1

10.
1

10  M <
1
10
 Baứi taọp 14: Cho toồng : 1 1 ... 1

31 32 60

S     .Chửựng minh: 3 4
5 S 5
Giaỷi: Toồng S coự 30 soỏ haùng , cửự nhoựm 10 soỏ haùng laứm thaứnh
moọt nhoựm .Giửừ nguyẽn tửỷ , neỏu thay mu baống moọt mu khaực
lụựn hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ giaỷm ủi. Ngửụùc lái , neỏu thay
mu baống moọt mu khaực nhoỷ hụn thỡ giaự trũ cuỷa phãn soỏ seừ
taờng leõn.

Ta coự : 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1

31 32 40 41 42 50 51 52 60

S                

     

 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S                

     

hay 10 10 10
30 40 50

S    tửức laứ: 47 48
60 60

S   Vaọy 4

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Maởt khaực: 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S                 

     

 10 10 10

40 50 60

S    tửực laứ : 37 36
60 60

S   Vaọy 3

5
S  (2).
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra :ủpcm.

một số phương pháp tính tổng

I > Phương pháp dự đốn và quy nạp :

Trong một số trường hợp khi gặp bài tốn tính tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + .... an (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đốn , hoặc bài toán chứng minh khi
đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào
cũng chứng minh được .

Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 ) 
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng

giả sử với n= k ( k  1) ta có Sk = k 2 (2) 
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) 
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)

vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp
toán học .

1, 1 + 2+3 + .... + n =
2

)
1
( n
n

2, 12 + 2 2 + ... + n 2 =

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

3, 13+23 + ... + n3 = 
2
2
)
1
(




n n

4, 15 + 25 + .... + n5 =
12

.n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )
II > Phương pháp khử liên tiếp :

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai
số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

.... .... ...

an = bn – bn+ 1

khi đó ta có ngay :

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ... + ( bn – bn + 1 )
= b1 – bn + 1

Ví dụ 2 : tính tổng :
S =
100
.
99
1
...
13
.
12
1

12
.
11
1
11
.
10
1





Ta có :

11
1
10
1
11
.
10
1

 ,
12
1
11
1
12

.
11
1

 ,
100
1
99
1
100
.
99
1



Do đó :
S =
100
9
100
1
10
1
100
1
99
1
...
12

1
11
1
11
1
10
1










• Dạng tổng quát
Sn =
)
1
(
1
...
3
.
2
1
2
.

1
1




n

n ( n > 1 )
= 1-
1
1
1


 n
n
n

Ví dụ 3 : tính tổng
Sn =
)
2
)(
1
(
1
...
5
.

4
.
3
1
4
.
3
.
2
1
3
.
2
.
1
1






n
n
n

Ta có Sn = 


















 






 
)
2
)(
1
(
1
)
1

(
1
2
1
...
4
.
3
1
3
.
2
1
2
1
3
.
2
1
2
.
1
1
2
1
n
n
n
n

Sn = 















)
2
)(
1
(
1
)
1
(
1
...
4
.
3

1
3
.
2
1
3
.
2
1
2
.
1
1
2
1
n
n
n
n
Sn =
)
2
)(
1
(
4
)
3
(
)

2
)(
1
(
1
2
.
1
1
2
1













n
n
n
n
n
n

Ví dụ 4 : tính tổng

Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
Ta có : 1! = 2! -1!

2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!
... ... ...

n.n! = (n + 1) –n!

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng

Sn =





2
2
2
)
1
(
1
2
...
)
3
.
2
(

5
)
2
.
1
(
3





n
n
n

Ta có :





( 1) ;
1
1
)
1
(
1
2
2
2

2   



i
i
i
i
i

i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

Do đó Sn = ( 1- 















 

 2 2 2 2

2
)
1
(
1
1
...
3
1
2
1
)
2
1
n
n
= 1- 2 2

)
1
(
)
2
(
)
1
(
1




 n
n
n
n

III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: 
Ví dụ 6 : Tính tổng

S = 1+2+22 +... + 2100 ( 4) 
ta viết lại S như sau :

S = 1+2 (1+2+22 +... + 299 )

S = 1+2 ( 1 +2+22+ ... + 299 + 2 100 - 2100 )
=> S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)

Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
 S = 2101-1

Ví dụ 7 : tính tổng

Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ... + pn ( p1) 
Ta viết lại Sn dưới dạng sau :

Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )

Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +... + p n-1 + p n –p n )
 Sn = 1+p ( Sn –pn )

 Sn = 1 +p.Sn –p n+1 
 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 
 Sn =

1
1
1



p
Pn

Ví dụ 8 : Tính tổng

Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) 
Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ... + ( n+ 1) p n +1

= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + ... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1

= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 )
pn+1

p.Sn=Sn- 1

1
)
1

(
1
1 




 n
n
P
n
P
P

( theo VD 7 )
Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 -

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

 Sn = 1 1 2
)
1
(
1
1
)
1
(





  
P
p
p
P

n n n

IV > Phương pháp tính qua các tổng đã biết

• Các kí hiệu : n

n

i

i a a a a

a     




...
3
2
1
1

• Các tính chất :



  



n
i
n
i
n
i
i
i
i

i b a b

a

1 1 1

)
(





 n

i
i
n
i

i a a

a
a

1
1

Ví dụ 9 : Tính tổng :

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n( n+1)

Ta có : Sn =




 





 n
i

n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
1
1 1
2
2
1
)
(
)
1
(
Vì :

6
)
1
2
)(
1

(
2
)
1
(
....
3
2
1
1
2
1















n
n
n
i

n
n
n
i
n
i
n
i

(Theo I )

cho nên : Sn =

3
)
2
)(
1
(
6
)
1
2
)(
1
(
2
)
1
(  






 n n n n n n

n
n
Ví dụ 10 : Tính tổng :

Sn =1.2+2.5+3.8+...+n(3n-1)

ta có : Sn =



 



n
i
n
i
i
i
i
i
1 1
2
)

3
(
)
1
3
(
=





 n
i
n
i
i
i
1
1
2
3

Theo (I) ta có :

Sn = ( 1)

2
)
1
(
6
)

1
2
)(
1
(

3      2 

n
n
n
n
n
n
n

Ví dụ 11 . Tính tổng

Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 
ta có :

Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]

= [13+23 +33 +43 + ... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +...+ n3 )
Sn =
4
)
1
(
8

4
)
2
2
(
)
1
2

( 2 2 2  2




 n n n

n

( theo (I) – 3 )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2

= (n +1 )2 (2n2 +4n +1)

V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều (
Học sinh lớp 6 )

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1
số đơn vị , ta dùng công thức:

Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau
cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:

Tổng = ( số đầu – số cuối ) .( số số hạng ) :2
Ví dụ 12 :

Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132

Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

Ví dụ 13 : Tính tổng

B = 1 +5 +9 +...+ 2005 +2009

số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503
B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515

VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm tốn

Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )
Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +... + n (n + 1)

Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)
= k( k+1)



(k2)(k1)



= k (k+1) .3
= 3k(k+1)
Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1).

3
)
1
(
)
2

(k  k

=
3
)
1
)(
1
(
3
)
2
)(
1
(  



 k k k k

k
k

*
 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)

=> 1.2 = 1.2.3 0.1.2
3  3

2.3.4 1.2.3
2.3

3 3

...

( 1)( 2) ( 1) ( 1)
( 1)

3 3

n n n n n n

n n

 

   

  

S = 1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

3 3 3

n n n n n n

      

Ví dụ 15 : Chứng minh rằng :

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2)



(k3)(k1)



= k( k+1) ( k +2 ) .4

Rút ra : k(k+1) (k+2) =

4
)
2
)(
1
(
)
1
(
4
)

3
)(
2
)(
1

(k k k  k k k k
k

áp dụng : 1.2.3 =

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

2.3.4 =
4
4
.
3
.
2
.
1
4
5
.
4
.
3
.
2

...

n(n+1) (n+2) =

4
)
2
)(
1
(
)
1
(
4
)
3
)(
2
)(
1
(   




 n n n n n n

n
n

Cộng vế với vế ta được S =

4
)
3
n
)(
2
n
)(
1
n
(

n   

* Bài tập đề nghị :

Tính các tổng sau

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ... + 202
2, a, A = 1+2 +22 +23 +...+ 26.2 + 2 6 3 
b, S = 5 + 52 + 53 + ... + 5 99 + 5100
c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76

3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,....
5, S =

100
.

99
1
...
4
.
3
1
3
.
2
1
2
.
1
1





6, S =

61
.
59
4
....
9
.
7

4
7
.
5

4   

7, A =

66
.
61
5
...
26
.
21
5
21
.
16
5
16
.
11
5





8, M = 0 1 2 2005

3
1
...
3
1
3
1
3

1    

9, Sn =

)
2
)(
1
(
1
...
4
.
3
.
2
1
.

3
.
2
.
1
1





n
n
n
10, Sn =

100
.
99
.
98
2
...
4
.
3
.
2
2
3

.
2
.
1
2




11, Sn =

)
3
)(
2
)(
1
(
1
...
5
.
4
.
3
.
2
1
4
.

3
.
2
.
1
1






n
n
n
n

12, M = 9 + 99 + 999 +... + 99... ...9

50 chữ số 9
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14
Tính S100 =?

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tơi đã kết hợp các dạng tốn có liên
quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng tốn tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +... + ( x+100 ) = 5070

b, 1 + 2 + 3 + 4 +...+ x = 820

c, 1 +

1991
1989
1
)
1
(
2
...
10
1
6
1
3
1






x
x

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +... + 220 là luỹ thừa của 2 
b, B =2 + 22 + 2 3 + ... + 2 60  3 ; 7; 15

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

d, D = 119 + 118 +117 +...+ 11 +1  5

ôn tập

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức

a) 19 :5 7 15 :1 7

8 12  4 12 b)

2 1 2 1 3 1

. : .

5 315 5 5 3

c) 31 2,5 : 31 41 11

3 6 5 31

     

   

   

1 1 3

6 :

2 2 12

   

  

    

 

  e)

18 8 19 23 2

3724 37  24 3 f)

 

3 3 1 1

2 . 0,25 : 2 1

4 4 6

   

      

    g)

2 3

2 1 2

5 .(4,5 2)

5 2 ( 4)

    

  

  h)

4 1 4 1

.19 .39

9 39 3 i)

2 2

1 1 1

: 2

2 4 2

    

   

   

j) 125%.

1 5

: 1 1,5 2008

2 16



    

   

    k)

 

24

1
2 3

 + 4 15 : 5

3 6 12

  

 

  l)

3 12 27

41 47 53

4 16 36

41 47 53

 

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

m) 3 21 1 : 4 51 21

3 4 6 4

       

   

    n)

4 4 4 4

...

2.4 4.6 6.8 2008.2010

F

    

p) 1 1 1 ... 1

18 54 108 990

F

    

Bài 2. Tìm x biết:

a) 31 1 2

22

x

 3 b)

1 2

: 7

33

x

  c)

1 2

( 1) 0

x

5

x

  d)

x

3)(6 2 )

x

0

e) :3 1 2

4 4 3

x

   f) 2 1



2 5



3 3

x

   

g) 2 1 1 3 1

x

  3 2 4

h)3 2. 2 2 2

4

x

 3

i) 0,6 1 .3 ( 1) 1

2 4 3

x

     

 

  j)





3 1 5 0

x

 

x

 

  k)





1 1

: 2 1 5

43

x

  
l)
2
3 9
2 0
5 25

x

    
 

  m)

1 1

3 3 0

2 9

x

    

 

  n)60%x+

2
3

x

1 1

6
3 3

p) 5( 1) 1( 2) 3 5

5 2 3 2 6

x

      q)3( 1) 5( 3) 1

2 5 5

x

 

x

   

x

Bài 3. Tìm x nguyên để các phân số sau là số nguyên a) 3

x



 b)

4
2

x



 c)

3 7
1

x




d) 4 1

x




Bài 4. Bạn Nam đọc một cuốn sách dầy 200 trang trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bạn đọc

được 1

5 số trang sách. Ngày thứ hai bạn đọc được

4 số trang còn lại. Hỏi:
a) Mỗi ngày bạn Nam đọc được bao nhiêu trang sách?

b) Tính tỉ số số trang sách trong ngày 1 và ngày 3

c) Ngày 1 bạn đọc được số trang chiếm bao nhiêu % số trang của cuốn sách.

Bài 5. Một lớp có 45 học sinh gồm 3 loại học lực: giỏi, khá, trung bình. Số học sinh

trung bình chiếm
9
2

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

a) Tính số học sinh mỗi loại b)Tính tỉ số giữa số học sinh giỏi và học sinh trung

bình.

c) Số học sinh giỏi chiếm bao nhiêu phần trăm học sinh của cả lớp?

Bài 6. Bạn Nga đọc một cuốn sách trong 3 ngày. Ngày 1 bạn đọc được 1

5 số trang

sách. Ngày 2 bạn đọc được 2

3 số trang sách còn lại. Ngày 3 bạn đọc nốt 200 trang.

a) Cuốn sách đó dầy bao nhiêu trang?

b) Tính số trang sách bạn Nga đọc được trong ngày 1; ngày 2

c) Tính tỉ số số trang sách mà bạn Nga đọc được trong ngày 1 và ngày 3

d) Ngày 1 bạn đọc được số trang sách chiếm bao nhiêu % của cuốn sách?

Bài 7. Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo của mình trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bán

được 3

7 số gạo của cửa hàng. Ngày thứ hai bán được 26 tấn. Ngày thứ ba bán được số

gạo chỉ bằng 25% số gạo bán được trong ngày 1.

a) Ban đầu cửa hàng có bao nhiêu tấn gạo?

b) Tính số gạo mà cửa hàng bán được trong ngày 1; ngày 3

c) Tính tỉ số số gạo cửa hàng bán được trong ngày 2 và ngày 1.

d) Số gạo cửa hàng bán được trong ngày 1 chiếm bao nhiêu % số gạo của cửa

hàng?

Bài 8. Một bà bán cam bán lần đầu hết 1

3 và 1 quả. Lần thứ hai bán
1

3 còn lại và 1
quả. Lần 3 bán được 29 quả cam thì vừa hết số cam. Hỏi ban đầu bà có bao nhiêu quả

cam?

Bài 9. Chứng minh các phân số sau là các phân số tối giản:

12 1 14 17

) )

30 2 21 25

n

a A

b B

n

 

 

 

Bài 10. Tìm x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

A





x

1



2 2008 b)

B

  

x

4 1996 c) 5

C

x



 d)

x

D

x






</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

P

2010



x

1



2008 b)

Q

1010 3

x





3 1

C

x



  d)

2 2

D

x



 

Bài 12. Chứng minh rằng:

a) 1 12 12 12 ... 1 2 2

2 3 4 100

A

       b) 1 1 1 1 ... 1 6

2 3 4 63

B

      

c) 1 3 5. . .... 9999 1
2 4 6 10000 100

C

 

Bài 13. Tính tổng

2 3 2008
2009

1 2 2 2 ... 2

1 2

S

     

</div>

Toán 6 Học Sinh Giỏiđiền Số tự nhiên. ghi số tự nhiên. tìm số



<b>CHệế SỐ TẬN CUỉNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LUếY </b>

<b>THệỉA </b>



















       



<b>so sánh phân số </b>

<b> </b>





 

















































ôn tập

 

 

F

F

x

x

x

x

x

x

x





x

x

x

x





x

x





x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x