Toán 11 Chương 4 Bài tập Gioi han cua day so va hàm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (270.82 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giới hạn

A. Kiến thức sách giáo khoa 
I. Giíi h¹n cđa d·y sè

1. D·y sè cã giíi h¹n 0

a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số

( )

un có giới hạn 0, kí hiệulim u

( )

n =0(haylim un = ), 0
nếu với mọi số d-ơng nhỏ bao nhiêu tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ
số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số d-ơng đó.

b. TÝnh chÊt: 1 1

(

)

(

)

lim 0; lim 0 0 ; lim q 0 | q | 1

n= nα = α > = <

c. Định lí: Cho hai dÃy số

( )

n n

n n n

| u | v

u , v : lim u 0

lim v 0

≤

 ⇒ =

 =

 (1)

2. DÃy số có giới hạn hữu hạn

a. Định nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè

( )

un cã giíi hạn là số thực L, kí hiệu lim un = , L
nÕu lim u

(

n−L

)

= 0

(

)

n n

lim u = ⇔L lim u −L =0

b. Các định lí:

• Cho (un) mµ un = c, ∀n : lim un = c

• limun = L

n
3
3

lim | u | | L |

lim u L

=


⇒ 

=


• NÕu lim un =L, lim vn =M th×:

(

)

(

)

n n n n n

u L

lim u v L M; lim u .v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0)

v M

± = ± = = ∈¡ = ≠

•

(

)

n n n

n n

v u w , n

lim u L

lim v lim w L L

≤ ≤ ∀

 ⇒ =

 = =

Ă (2)

ã DÃy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;

DÃy (vn) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

2 n 1

n 1 1 1 1 1

1 q

S u u q u q ... u q u . ;

1 q

− −

= + + + + =

−

•

2 n 1 1

1 1 1 1 n 1

u
1 q

S u u q u q ... u q ... lim S lim u . ;

1 q 1 q

− −

= + + + + + = = =

− −

3. D·y sè cã giới hạn vô cực

a. DÃy số có giới hạn +∞

Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương

tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn
hơn số d-ơng đó.

KÕt qu¶: lim n= +∞; lim n = +∞; lim n3 = +∞
b. D·y sè cã giíi h¹n - ∞

Ta nãi r»ng d·y (un) có giới hạn là - , kí hiệu limun = -∞, nÕu víi mäi sè ©m

tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ
hơn số âm đó.

c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực 
ã Quy tắc nhân

lim u lim v n lim u .v

(

n n

)

lim u n lim v n lim u .v

(

n n

)

+∞ +∞ +∞ +∞ + +∞

+∞ −∞ −∞ +∞ − −∞

−∞ +∞ −∞ −∞ + −∞

−∞ −∞ +∞ −∞ − +∞

• Quy t¾c chia

lim u = ≠ cã dÊu L 0 lim vn =0, vn ≠ cã dÊu 0

n
n

u
lim

+ + +∞

+ − −∞

− + −∞

− +

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a. Giới hạn hữu hạn

Cho x0∈

( )

a; b và f là hàm số xác định trên tập

( ) { }

a; b \ x0 . Ta nói rằng hàm số f có

giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiƯu

( )

xlim f x→x = , khi x dần đến L x (hoặc tại điểm 0 x ), 0

nếu với mọi dãy số

( )

xn trong tập

( ) { }

a; b \ x0 mà lim xn =x0, ta đều có lim f x

( )

n =L

b. Giới hạn vô cực

( )

xlim f x→x = +∞ nÕu mäi d·y

( )

xn trong tËp

( ) { }

a; b \ x0 mà lim xn =x0 thì lim f x

( )

n = +

2. Giới hạn của hàm số tại v« cùc

Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng

(

a;+∞ . Ta nói rằng hàm f có

)

giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞, kí hiệu

( )

xlim f x→+∞ = , nếu với mọi dãy số L

( )

xn trong khoảng

(

a;+∞ mà

)

lim xn = +∞ , ta đều có lim f x

( )

n = L

3. Cỏc nh lớ

a. Định lí 1: Giả sử

( )

xlim f x→x = vµ L x x0

( )

(

)

lim g x M L, M

→ = ∈ Ă . Khi đó:

•

( ) ( )

xlim f x→x  ±g x = ±L M

•

( ) ( )

xlim f x .g x→x  =L.M

•

( )

(

)

xlim k.f x→x  =k.L k∈¡ •

( )

(

)

x x

f x L

lim M 0

g x M

b. Định lí 2: Giả sử

( )

xlim f x→x = . Khi đó: L

•

( )

xlim | f x | | L |→x = ;

•

( )

3
3

xlim→x f x = L

;

• Nếu f x

( )

≥0 với mọi x∈J \ x

{ }

0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x thì L0 ≥ 0

vµ

( )

xlim→x f x = L

c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định 0
trên tập hợp J \ x

{ }

0 . Khi đó:

{ } ( ) ( )

( )

0 0

x x
x x x x

x J \ x : g x f x h x

lim f x L

lim g x lim h x L →

→ →

∀ ∈ ≤ ≤

 =

= =

4. Giới hạn một bên

a. Định nghÜa:

• Giả sử hàm f xác định trên khoảng

(

x ; b , x0

)

0∈ Ă . Ta nói rằng hàm f có giới hạn

bên phải là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu:

( )

xlim f x→x+ L

= , nÕu víi mäi d·y sè

( )

xn trong khoảng

(

x ; b mà 0

)

lim xn =x0, ta đều có lim f x

( )

n = . L

• Giả sử hàm f xác định trên khoảng

(

a; x0

)

, x0∈ Ă . Ta nói rằng hàm f có giới hạn

bên trái là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu:

( )

xlim f x→x− = , nếu với mọi dãy số L

( )

xn trong khoảng

(

a; x0

)

mà lim xn =x0, ta đều có lim f x

( )

n = . L

• Các định nghĩa

( )

0 0 0 0

xlim f x→x− ; lim f xx→x− ; lim f xx→x+ ; lim f xx→x+

= +∞ = −∞ = +∞ = đ-ợc phát biểu

t-ơng tự nh- trên.

b. Định lí:

ã

( )

0 0 x x

xlim f x→x+ xlim f x→x− L lim f x→ L

= = ⇒ =

•

( )

0 0

x x x x

lim | f x | lim 0

f x

→ = +∞ ⇒ → =

5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực

a. Quy tắc nhân b. Quy tắc chia

( )

xlim f x→x

( )

xlim g x→x = ≠L 0

cã dÊu

( ) ( )

xlim f x .g x→x  

( )

xlim f x→x = ≠ L 0

cã dÊu

( )

xlim g x→x = 0

g(x) cã
dÊu

( )

x x

f x
lim

g x

→

+∞ + +∞ + + +∞

+∞ − −∞ + − −∞

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

−∞ − +∞ − − +∞

6. Các dạng vơ định

Khi t×m

( )

( ) ( )

f x

lim , lim f x g x , lim f x g x

g x    −  khi  x x ; x0 x ; x0 x ; x0 ; x

+ −

→ → → → +∞ → −∞ ta gỈp

các dạng vơ địn, kí hiệu 0, , 0. ,
0

∞

∞ ∞ − ∞

∞ , lúc đó ta khơng dùng đ-ợc các định lí về

giới hạn cũng nh- các quy tắc tìm giới hạn vơ cực. Phép biến đổi về các định lí
và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vơ định

B. C¸c dạng toán cơ bản 
Dạng 1: Tìm giới hạn của d·y sè

Ph-ơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy

sè.

Ví dụ 1: Tìm:

2
3

8n 3n

lim
n

Giải: 
2

3 3

8n 3n 3

lim lim 8 8 2

n
n

−

= − = =

VÝ dô 2: Tìm: 
2

2n 3n 1

lim

n 2

Giải:

2 2

3 1

2n 3n 1 n n 2

lim lim 2

2 1

n 2

1
n
− −

− −

= = = −

−

− + − +

VÝ dô 3: Tìm: lim n 1

(

n2+1

)

Giải:

(

)

2n 2

lim n 1 n 1 lim lim 1

1 1

n 1 n 1 1 1

n n

− −

− − + = = = −

− + + − + + .

D¹ng 2: Chøng minh lim un = 0

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí:

Cho hai d·y sè

( )

n n

n n n

| u | v

u , v : lim u 0

lim v 0

≤

 ⇒ =

 =

 (1);

(

)

n n n

n n

v u w , n

lim u L

lim v lim w L L

≤ ≤ ∀

 ⇒ =

 = = ∈

 ¡ (2)

VÝ dô: Chøng minh:

( )

1 cos n

lim 0

n
−

Gi¶i:

Ta cã:

( )

1 cos n 1

n n

−

≤ vµ lim 1 0

n = nªn

( )

1 cos n

lim 0

n
−

D¹ng 3: Chøng minh lim u tån t¹i n

Ph-ơng phỏp gii: S dng nh lớ

DÃy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;

DÃy (vn) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn.
Ví dụ: Chøng minh d·y sè

( )

un cho bëi

(

)

1
u

n n 1

+ có giới hạn.

Giải:

Ta có

(

)(

)

(

)

n 1
n

n n 1

u 1 n

. 1, n.

u n 1 n 2 1 n 2

+ = + = < ∀

+ + + Do đó dãy

( )

un giảm. Ngoài ra,

(

)

*
n

n : u 0,

n n 1

= >

Ơ nêu dÃy

( )

un bị chặn d-ới. Vậy dÃy

( )

un có giới hạn.

Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng công thức: S u1 ,| q | 1

1 q

= <

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

VÝ dơ: TÝnh tỉng

2 n

1 1 1

S 1 ... ....

2 2 2

= + + + + +

Giải:

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q 1 1

= < vµ u1= . VËy: 1

u 1

S 2

1
1 q

1
2

= = =

Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực 
Ví dụ: Tìm:

3
2

2n 4n 3

lim

3n 1

Giải:

Cách 1:

Ta có:

3 2 3

4 3

2n 4n 3 n n

lim lim

3 1

3n 1

n n

− + −

− + − =

+ +

L¹i cã lim 2 42 33 2 0, lim 3 12 0

n n n

− + − = − <  + =

   

    vµ

(

)

*
3

3 1

0 n

n+n > Ơ nên suy ra:

3 2 3

4 3

2n 4n 3 n n

lim lim

3 1

3n 1

n n

− + −

− + − = = −∞

+ +

C¸ch 2:

Ta cã:

3 2 3 2 3

2
2

4 3 4 3

n 2 2

2n 4n 3 n n n n

lim lim lim n.

1
1

3n 1 3

n 3

n
n

− + −   

− + −

   

− + − =  =

 

+  +   + 

   

 

L¹i cã

2 3 2 3

2 2

4 3 4 3

2 2

2 2n 4n 3

n n n n

lim n ; lim 0 lim lim n.

1 3 3n 1 1

3 3

n n

 

− + − − + −  − + − 

= +∞ = − < ⇒ =  = −∞

+ 

+ +

Dạng 6: Tìm giới hạn của hµm sè

Ph-ơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc 
Ví dụ 1: Tính:

x 0

1
lim x.sin

→



Giải:

Xét dÃy

( )

xn mà xn ≠ ∀ vµ 0, n lim xn = . Ta cã: 0

( )

n n n
n

f x x sin | x |

= ≤

Vì lim | x | 0n = ⇒lim f x

( )

n =0. Do đó

x 0

1
lim x.sin 0

→

  =

 

  .

VÝ dô 2: TÝnh:

(

)

xlim→+∞ x + + −x 1 x
Gi¶i:

Ta cã:

(

)

2 2

x x x x

1
1

x x 1 x x 1 x 1

lim x x 1 x lim lim lim

1 1

x x 1 x x x 1 x 1 1

x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + − +

+ + − = = = =

+ + + + + + + + +

VÝ dô 3: TÝnh:

(

)

xlim→−∞ x +3x 1+ +x
Gi¶i:

Ta cã:

(

)

2 2

x x x x

1 1

3 3

3x 1 x x 3

lim x 3x 1 x lim lim lim

3 1

x 3x 1 x x 3x 1

1 1

x x

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

+ +

+ + + = = = = −

+ + − + + − + + −

−

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

D¹ng 7: Chøng minh

( )

xlim f x→x = (Hoặc bằng L) 0
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp

Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0

{ }

J \ x . Khi đó:

{ } ( ) ( )

( )

0 0

x x
x x x x

x J \ x : g x f x h x

lim f x L

lim g x lim h x L →

→ →

∀ ∈ ≤ ≤

 ⇒ =

 = =



VÝ dơ: Chøng minh: 
2

4
x

x sin x

lim 0

1 x

→+∞ + =
Gi¶i:

Ta lu«n cã:

( )

2 2 2 2

4 4 4 4

x sin x x x x

| f x | f x

1 x 1 x 1 x 1 x

= ≤ ⇒ − ≤ ≤

+ + + +

2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 4

x x x x x x x

4 4

1 1

x x x x x x x sin x

lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0

1 1

1 x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x

x x

→+∞ + = →+∞ = →−∞ + = →−∞ = ⇒ →+∞ + = →−∞ + = ⇒ →+∞ + =

+ +

D¹ng 8: Tìm giới hạn một bên

Ph-ng phỏp gii: S dụng định nghĩa giới hạn một bên 
Ví dụ 1: Cho hàm số

( )

x x 1

f x

2x 3 x 1

 < −


= 

− ≥ −



ví i

ví i . Tìm xlim f x1

( )

Giải:

Ta có:

( )

(

)

( )

2
2

x 1 x 1

lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1

+ +

→ − = → − − = − − = − (1)

( )

x 1 x 1

lim f x− lim x− 1

→ − = → − = − (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra

( )

xlim f x→−1 = − 1

VÝ dơ 2: Cho hµm sè

( )

x 1

x 1
f x

x 1

x 1
khi

khi

 >

 +
=  −

 <

 +

a. T×m

( )

x 2

lim f x

b. Tìm

( )

x 1

lim f x

Giải:

( )

x 2 x 2

1 1

lim f x lim

x 1 3

→ = → + =

( )

x 1

lim f x

→

Ta cã:

( )

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

1 1 1 1

lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x

1 x 2 1 x 2

+ + − − + −

→ → → → → →

−

= = = = −

+ + suy

ra không tồn tại

( )

x 1

lim f x

→

(Chó ý:

( )

xlim f x→x tồn tại khi và chỉ khi x x0

( )

x x0

( )

lim f x+ lim f x− L

→ = → = th× x x0

( )

lim f x L

= )

Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực

Ph-ơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực 
Ví dụ: Tính 2

xlim 4x 1
Gi¶i:

2 2

x x x

1 1

lim 4x 1 lim x 4 lim | x | . 4

x x

→−∞ →−∞ →−∞

 

− =  − = −

 

V×

xlim | x |→−∞ = +∞ vµ

2
2

x x

lim 4 2 0 lim 4x 1

→−∞ − = > ⇒ →−∞ − = +∞

Dạng 10: Khử dạng vô định

Ph-ơng pháp giải

1. Khi tìm giới hạn dạng

( )

x x

P x
lim

Q x

→ , víi x x0

( )

x x0

( )

lim P x lim Q x 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ã Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu 
Q(x) cho xx0

ã Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho 
l-ợng liên hiệp.

Ví dụ 1: Tìm: 
2
x 2

x 9x 14

lim

x 2

Giải:

(

)(

)

(

)

x 2 x 2 x 2

x 2 x 7

x 9x 14

lim lim lim x 7 5

x 2 x 2

→ → →

− −

− + = = − = −

−

Ví dụ 2: Tìm: 
x 0

4 x 2

lim
4x

Giải:

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

x 0 x 0 x 0 x 0

4 x 2 4 x 2

4 x 2 4 x 4 1 1

lim lim lim lim

4x 4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2 16

→ → → →

+ − + +

+ − = = + − = =

+ + + + + +

VÝ dụ 3: Tìm: 
3
x 1

x 7 2

lim
x 1

Giải:

(

)

(

)

(

) (

(

)

(

) (

(

)

3 3 3

3
3

x 1 x 1 3 2 3 x 1 3 2 3

x 7 2 x 7 2. x 7 4

x 7 2 x 7 2

lim lim lim

x 1 x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4

→ → →

+ − + + + +

+ − + −

= =

− − + + + + − + + + +

(

)

(

)

x 1 3 2 3

1 1

lim

x 7 2. x 7 4

→

= =

+ + + +

VÝ dơ 4: T×m: 
x 2

2x 5 3

lim

x 2 2

→

+ −
+ −

Gi¶i:

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

x 2 x 2 x 2 x 2

2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2

2x 5 3 4

lim lim lim lim

x 2 2 x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3 2x 5 3

→ → → →

+ − + + + + + − + + + +

+ − = = = =

+ − + − + + + + + − + + + +

VÝ dụ 5: Tìm: 
3
x 1

x 3x 2

lim

x 1

Giải:

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3

x 1 x 1 x 1 x 1

2
x 1

x 1 3x 2 1

x 3x 2 x 1 3x 2 1 3x 2 1

lim lim lim lim x x 1

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3x 2 1

3 3 3

lim x x 1 3

2 2

3x 2 1

→ → → →

→

 

− − − −  

− − − − −  − − 

= =  − =  + + − 

− −  − −   − − + 

 

=  + + − = − =

− +

 

VÝ dơ 6: T×m: 
4
3
x 1

x 2 1

lim

x 2 1

→−

+ −
+ −

Gi¶i:

Đặt t=12x+ ⇒ + =2 x 2 t12⇔ =x t12−2, khi đó x→ −1 thì t→ . Do đó: 1

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

3 2

4 2 2

x 1 t 1 t 1 t 1

t 1 t t 1

x 2 1 t 1 t t 1 3

lim lim lim lim

t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1

x 2 1

→− → → →

− + +

+ − = − = = + + =

− − + + + +

+ −

VÝ dơ 7: T×m: 
3
x 1

x 7 x 3

lim

x 1

→

+ − +

−

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3

x 1 x 1 x 1

3
2

x 1 3 3

x 1 3 3

x 7 2 x 3 2

x 7 x 3 x 7 2 x 3 2

lim lim lim

x 1 x 1 x 1 x 1

x 7 2 x 3 4

lim

x 1 x 3 2

x 1 x 7 2. x 7 4

1 1 1 1 1

lim

12 4 6

x 3 2

x 7 2 x 7 4

→ → →
→
→
+ − − + −  
+ − + = = + − − + −
 
− −  − − 
 
 + − + − 
=  − 
  − + +
 −  + + + +  
   
 
 
 
= − = − = −
 + + + + + + 
 

2. Khi t×m giíi h¹n d¹ng

( )

P x
lim

Q x

→±∞ , ta l-u ý:

ã Đặt x (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x) m

ã Sử dụng kết quả:

lim 0

= ( víi α > ) 0

VÝ dơ 1: T×m:

2
2
x

3x 4x 1

lim

2x x 1

→+∞
− +
− + +
Gi¶i: 
2 2
2
x x
2
4 1
3

3x 4x 1 x x 3

lim lim

1 1 2

2x x 1 2

x x

→+∞ →+∞

− +

− + = = −

− + + − + +

VÝ dơ 2: T×m:

2
x

x x 1 3x

lim
2 3x
→−∞
+ + −
−
Gi¶i: 
2 2
x x
1 1
1 3

x x 1 3x x x 1 3 4

lim lim

2 3x 3 3

3
x

→−∞ →−∞
− + + −
+ + − − −
= = =
− − −

VÝ dơ 3: T×m:

3 3 2
2
x

8x 3x 1 x

lim

4x x 2 3x

→−∞

+ + −

− + +

Gi¶i:

3 3 2 3 3

x x

3 1

8 1

8x 3x 1 x x x 8 1

lim lim 1

1 2 4 3

4x x 2 3x

4 3
x x
→−∞ →−∞
+ + −
+ + − = = − =
− +
− + + − − + +

C. Bài tập tự luận 
1. Tìm giới hạn của các hµm sè sau:

1.

2
2
x 3

x 5x 6

lim

x 8x 15

→

− +

2.

2
2
1
x
2
8x 1
lim

6x 5x 1

→

−

− +

3.

3 2
2
x 3

x 4x 4x 3

lim
x 3x
→
− + −
−

4.

4 3 2

x 1

2x 5x 3x 1

lim

3x 8x 6x 1

→

− + +

− + −

5.

3
4
x 1

x 3x 2

lim

x 4x 3

→

− +

6.

3 2
4 2
x 2

x 2x 4x 8

lim

x 8x 16

→
− − +
− +

7.

3
5
x 1

x 2x 1

lim

x 2x 1

→

− −

8. (

)(

)

x 0

1 x 1 2x 1 3x 1

lim

→

+ + + −

9. (

)(

) (

)

x 0

1 x 1 2x 1 3x ... 1 nx 1
lim

+ + + +

2. Tìm các giới hạn hàm số sau:

1.

x 2

lim

3 x 7

+ 2. x 1

2x 7 3

lim

x 3 2

→

+ −

+ − 3.

2
x 0

1 x 1

lim
x

→

+ −

4. 2

x 2

x 7 3

lim
x 4
→
+ −
− 5. 
3
x 2
4x 2
lim
x 2
→
−
− 6. 
3 2
2
x 0

1 x 1

lim
x
→
+ −
7.

(

)

3 2 3

2
x 1

x 2 x 1
lim
x 1
→
− +
− 8. 
3
x 0
x 1
lim
x 1
→
−

− 9. x 2

x 2 x 7 5

lim
x 2
→
+ + + −
−
10. 
3 3

x 0

1 x 1 x

lim
x

→

+ − −

11.

(

)

2
2
x 1

3x 2 4x x 2

lim

x 3x 2

→

− − − −

− + 12. x 1

2x 2 3x 1

lim

x 1

→

+ − +

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

13.

2 2

2
x 3

x 2x 6 x 2x 6

lim

x 4x 3

→

− + − + −

− + 14. x 0

x 9 x 16 7

lim
x
→
+ + + −
15. 
3 2
3
2
x 1

x 2 x x 1

lim

x 1

→

− + +

3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

3
2
x 1

x 7 x 3

lim

x 3x 2

→

+ − +

− + 2.

3
x 0

2 1 x 8 x

lim
x
→
+ − −
3.
3
x 0

1 x 1 x

lim
x
→

+ − −
4.
3
2
x 2

x 11 8x 43

lim

2x 3x 2

→−

+ − +

+ − 5.

3 3 2

x 1

7 x 3 x

lim
x 1
→
+ − +
− 6.
2

3
x 1

x 7 5 x

lim
x 1
→
+ − −
−

7.

3
x 0

1 4x 1 6x 1
lim
x
→
+ + −

8.

3
2
x 0

1 2x 1 3x
lim

+ +

4. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

3 2

4 3 2

2x 3x 4x 1
lim

x 5x 2x x 3

→−∞

− + −

− + − + 2.

2
2
x

x x 1

lim

2x x 1

→+∞

+ −

+ + 3.

(

(

) (

)(

)

)

2 3

3 2

2x 3 4x 7

lim

3x 1 10x 9

→+∞

− +

+ +

(

) (

)

(

)

20 30
50
x

2x 3 3x 2

lim
2x 1
→−∞
− +
+ 5.
2
2
x

x 2x 3x

lim

4x 1 x 2

→−∞

+ +

+ − + 6. x

5x 3 1 x

lim

1 x

5. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

1. 2 2

xlim→−∞ x x 1 x x 1

 + + − − + 

  2. xlim→+∞

(

2x 5

)

4x2 4x 1

 − − − − 

  3. xlim→+∞ x x x

 + − 

 

 

4. 2

xlim x.→+∞ x 1 x

 + − 

  5. xlim x→−∞ 4x2 9 2x

 + + 

  6. xlim x→∞ 2 3x4 5 3x4 2

 + − − 

 

7.

3 3 2

xlim→+∞ x 2 x 1

 + − + 

 

8.

xlim x→+∞ 4x2 5 38x3 1

 + − − 



D. Bài tập trắc nghiệm 
DÃy số có giới hạn 0

1. DÃy số nào sau đây có giới hạn kh¸c 0?

a. 1

n b.
1
n c.
2n 1
n
+

d. cos n

2. DÃy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

a.
n
5
3
 
 

  b.

3
 
 

  c.

5
3
− 

 

  d.

n
4
3
− 
 


3. DÃy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

(

0, 909

)

n b.

(

−1, 012

)

n c.

(

1, 013

)

n d.

(

1, 901

)

n
4. DÃy số nào sau đây không có giới hạn?

(

0, 99

)

n b.

( )

1n c.

(

−0, 99

)

n d.

(

−0,89

)

5. Gäi

( )

n
1
L lim
n 4
−
=

+ . Khi đó L bằng

a. 1

− b. 1

− c. – 1 d. 0

6. DÃy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

a. 1

2n b.
1
n
c.
n

4
3

( )

1
n

DÃy số có giới giạn hữu h¹n

7. Cho un 1 4n
5n
−

= . Khi đó un bằng

a. 3

5 b.

3
5

− c. 4

5 d.
4
5
−
8. Cho
n n
n n
2 5
u
5
+

= . Khi đó limun bằng

a. 0 b. 1 c. 2

5 d.

7
5

9. Gäi L lim 9 cos 2n
n

= − thì L bằng số nào sau đây?

a. 0 b. 3 c. 3 d. 9

10. Tổng của cấp số nhân vô hạn

( )

n 1
n

1 1 1

, , ,..., ,...

2 4 8 2

−

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a. 1 b. 1

3 c.

1
3

− d. 2

3
−

11. Tỉng cđa cÊp số nhân vô hạn

( )

n 1

1 1 1

, , ,..., ,...

3 9 27 3

−

− lµ

a. 1

4 b.

2 c.

4 d. 4

12. Tỉng cđa cÊp số nhân vô hạn

( )

n 1
n 1

1 1 1

, , ,..., ,...

2 6 18 2.3

+
−

−

− lµ

a. 8

3 b.

4 c.

3 d.

3
8

13. Tỉng cđa cÊp số nhân vô hạn:

( )

n 1
n 1

1 1 1

1, , , ,..., ,...

2 4 8 2

+
−

−

− − lµ

a. 2

− b. 2

3 c.

2 d. 2

DÃy số có giới hạn vô cực

14. Kết quả L=lim 5n

(

3n3

)

là

a. b. – 4 c. – 6 d. +∞

15. BiÕt L=lim 3n

(

2+5n−3

)

th× L b»ng

a. −∞ b. 3 c. 5 d. +∞

16. lim

(

−3n3+2n2− b»ng 5

)

a. −∞ b. – 6 c. – 3 d. +∞

17. lim 2 3

4n 2n 1

−

− + b»ng

a. −∞ b. 3

− c. – 1 d. 0

18. lim 4 2

5n −2n 1+ b»ng

a. 2

5 b.

2 c. 0 d. +∞

19.

3
4

3n 2n 1

lim

4n 2n 1

− +

+ + b»ng

a. 0 b. +∞ c. 3

4 d.

2
7

20.

4
4

2n 2n 2
lim

4n 2n 5

− +

+ + bằng

a. 0 b. +∞ c. 1

2 d.

3
11

21.

2 4
4

5n 3n

lim

4n 2n 1

−

+ + b»ng

a. 3
4

− b. 0 c. 5

4 d.

3
4

22.

3
2

2n 3n
lim

4n 2n 1

+ + b»ng

a. 3

4 b.

7 c. 0 d. +∞

23. DÃy số nào sau đây có giới hạn là+?

a. un =3n2−n3 b. un =n2−4n3 c. un =4n2−3n d. un =3n3n4

24. DÃy số nào sau đây có giới hạn là - ∞?

a. un =n4−3n3 b. un =3n3−2n4 c. un =3n2− n d. un = − +n2 4n3

25.

4n 5 n 4

lim

2n 1

+ − +

− b»ng

a. 0 b. 1 c. 2 d. +∞

26. KÕt quả lim

(

n 10+ n

)

là

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

27. KÕt qu¶

2
2

3 2n 4n

lim

4n 5n 3

− +

+ − lµ

a. 0 b. 1 c. 3

4 d.

4
3
−

28. NÕu lim un = th× L lim un+ b»ng 9

a. L + 9 b. L + 3 c. L 9+ d. L+ 3

29. NÕu lim un = thì L

3
n

1
lim

u +8

bằng bao nhiêu?

a. 1

L+ 8

b. 1

L 8+

1
L+2

1
L 8+

30. lim 2n 3
2n 5
+

+ b»ng

a. 5

7 b.

2 c. 1 d. +∞

31.

4
4

10 n
lim

10 +2n b»ng bao nhiªu?

a. +∞ b. 10000 c. 5000 d. 1

32. lim1 2 3 ... n2
2n
+ + + +

b»ng bao nhiªu?

a. 0 b. 1

4 c.

2 d. +∞

33.

3 3

n n

lim
6n 2

+ b»ng

a. 1

6 b.

4 c.

6 d. 0

34. lim n

(

n2+ −1 n2−3

)

b»ng bao nhiªu?

a. +∞ b. 4 c. 2 d. – 1

35. limn sin 2n

n 5

+ b»ng sè nào sau đây?

a. 2

5 b.

5 c. 0 d. 1

36. DÃy số nào sau đây có giới h¹n b»ng 0?

n 2

n 2n

5n 3n
−
=

+ b. 2

1 2n
5n 3n

−

+ c.

2
2

1 2n
5n 3n

−

+ d.

n 2

5n 3n

=

+
37. DÃy số nào sau đây có giới hạn lµ +∞?

n 2

n 2n

5n 5n
−
=

+ b. 2

1 2n
5n 5n

+ c.

2
n

1 n
u

5n 5
+

+ d.

n 3

n 2

5n 5n

=

38. DÃy số nào sau đây có giới hạn +?

n 2

9n 7n

n n

+
=

+ b. n

2007 2008n
u

n 1
+
=

+ c.

2
n

u =2008n−2007n d. un =n2+1

39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?

2
3

2n 3

lim

2n 4

−

− − b.

2
2

2n 3

lim

2n 1

−

− − c.

2
3 2

2n 3

lim

2n 2n

−

− + d.

3
2

2n 3

lim

2n 1

40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nµo b»ng 0?

2
3

2n 3

lim

2n 4

−

− − b.

3
2

2n 3n
lim

2n 1

−

− − c.

2 4
3 2

2n 3n

lim

2n n

−

− + d.

3 2n
lim

2n 1

+

41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là +?

2
3

2n 3

lim

n 4

+ b.

2
2

2n 3n

lim

2n 1

−

− c.

2 4
3 2

2n 3n

lim

2n n

−

− + d.

3
2

3 2n
lim

2n 1

42. DÃy số nào sau đây có giíi h¹n b»ng 1

n 2

n 2n
u

5n 5n
−
=

+ b. n

1 2n
u

5n 5
−
=

+ c.

2
n

1 2n
u

5n 5
−
=

+ d. n 2

1 2n
u

5n 5n
−
=

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

43. NÕu L=lim n

(

n2+ −2 n2−4

)



  th× L b»ng

a. +∞ b. 7 1− c. 7

2 d. 0

44. Gäi L=lim n

(

n2+ −2 n2−4

)



 . Khi đó L bằng

a. +∞ b. 6 c. 3 d. 2

45.

4n 1 n 2

lim

2n 3

+ − +

− b»ng

a. 1 b. 3

2 c. 2 d. +∞

46. lim cos 2n 9

3n + b»ng

a. +∞ b. 29

3 c. 9 d. 3

47. lim

(

n2+2n n22n

)

có kết quả là

a. 1 b. 2 c. 4 d. +∞

50. DÃy số nào sau đây có giới hạn 1

3
?

2 3

n 3 2

n 3n
u

9n n 1
−
=

+ − b.

n 2

2n n
u

3n 5
− +
=

+ c.

4 3

n 3 2

n 2n 1
u

3n 2n 1

− + −

+ − d.

2
n 3

n 2n 5
u

3n 4n 2

− + −

+ −

Giíi h¹n cđa hµm sè

51.

(

)

xlim x→−1 − +x 7 b»ng

a. 5 b. 7 c. 9 d. +∞

52.

(

)

xlim 3x→−2 −3x 8− b»ng

a. − 2 b. 5 c. 9 d. 10

53.

2
x 1

x 3x 2

lim
x 1

→

− +

− b»ng

a. −1 b. 1 c. 2 d. +∞

54.

3 2
x 1

3x x 2

lim

x 2

→−

− +

− b»ng

a. 5 b. 1 c. 5

3 d.

5
3

−

55.

4 5
4 6
x 1

3x 2x

lim

5x 3x 1

→

−

+ + b»ng

a. 1

9 b.

5 c.

2
5

− d. 2

3
−

56.

2 5
4
x 1

3x x

lim

x x 5

→−

−

+ + b»ng

a. 4

5 b.

7 c.

5 d.

2
7

57.

2 3
2
x 2

x x

lim

x x 3

→−

−

− + b»ng

a. 4

− b. 12

5 c.

3 d. +∞

58.

4 5
4 5
x 1

x 2x

lim

2x 3x 2

→

−

+ + b»ng

a. 1

− b. 1

− c. 2

− d. −∞

59.

3
2
x 2

x x

lim

x x 1

→−

− + b»ng

a. 10

− b. 10

− c. 6

7 d. −∞

60. 3

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a. 5 b. 3 c. 1 d. − 5

61.

3
3 2
x 1

x 1

lim

x 3 2

→−

+ − b»ng

a. 0 b. 1 c.

4 2

−

− d.

2
3
−

62.

4 3 2
4
x

2x x 2x 3

lim

x 2x

→+∞

+ − −

− b»ng

a. − 2 b. − 1 c. 1 d. 2

63.

4
4
x

3x 2x 3

lim

5x 3x 1

→+∞

− +

+ + b»ng

a. 0 b. 4

9 c.

5 d. +∞

64.

4 5
4
x

3x 2x

lim

5x 3x 2

→+∞

−

+ + b»ng

a. 2

− b. 3

5 c. −∞ d. +∞

65.

4 5
4 6
x

3x 2x

lim

5x 3x 2

→+∞

−

+ + b»ng

a. −∞ b. 3

5 c.

2
5

− d. 0

66.

4 5

5 4
x

3x 4x 2

lim

9x 5x 4

→+∞

+ +

+ + b»ng

a. 0 b. 1

3 c.

3 d.

2
3

67.

4 2
2

x 2

x 4x 3

lim

7x 9x 1

→−

− +

+ − b»ng

a. 1

15 b.

3 c.

9 d. +∞

68.

4 2
2

x 1

x 4x 3x

lim

x 16x 1

→−

− +

+ − b»ng

a. 1

8 b.

8 c.

8 d. +

Giới hạn một bên

69.

x 3

| x 3 |
lim

3x 6
+

→

−

− b»ng

a. 1

2 b.

6 c. 0 d. +∞

70.

3
2
x 1

1 x
lim

3x x

−

→

−

+ b»ng

a. 1 b. 0 c. 1

3 d. +∞

71.

x 1

x 2

lim
x 1
−

→

− b»ng

a. 1

− b. 1

2 c. −∞ d. +∞

72.

2
x 1

x 1

lim
x 1
+

→

− lµ

a. +∞ b. 2 c. 1 d. −∞

73.

3
2
x 2

x 2x 3

lim

x 2x

−

→−

− +

+ b»ng

a. +∞ b. 1

8 c.

9
8

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

74.

x 0

2x x

lim

5x x

→

− lµ

a. +∞ b. 2

5 c. − 1 d. −∞

75.

2
3 2
x 1

x 4x 3

lim

x x

→−

+ +

+ lµ

a. − 1 b. 0 c. 1 d. +∞

76. Cho hµm sè:

( )

x 3x 1 x 2

f x

5x 3 x 2

 − + <

=  − ≥



ví i

vớ i . Khi đó xlim f x→2−

( )

b»ng:

a. 11 b. 7 c. − 1 d. − 13

77. Cho hµm sè

( )

3
3

2x 2x x 1

f x

x 3x x 1

ví i

 − ≥


= 

− <

 . Khi đó xlim f x→1−

( )

b»ng

a. – 4 b. –3 c. –2 d. 2

78. Cho hµm sè

( )

2 x 3

x 1

y f x

khi x 1
8

khi

 − +

≠

 −

= = 

 =



. Khi đó

( )

x 1

lim f x−

→ b»ng

a. 1

8 b.

1
8

− c. 0 d. +∞

79. Cho hµm sè:

( )

x 1

f x 1 x

2x 2 x 1

ví i

 +

<


= −

 − ≥



. Khi đó

( )

xlim f x→1−

b»ng

a. –1 b. 0 c. 1 d. +∞

80. Cho hµm sè

( )

x 1

1 x
f x

3x 1 x 1

ví i

 <

 −

= 

 + ≥



. Khi đó

( )

x 1

lim f x+

→ b»ng

a. −∞ b. 2 c. 4 d. +∞

Một vài quy tăc tìm giới hạn vơ cực (dạng vô định)

81. Cho

2
2
x 1

2x 3x 1

L lim
1 x

→

− +

− . Khi đó

a. L 1

= b. L 1

= c. L 1

= − d. 1

2
−

82. Cho

2
2
x 2

x 4

L lim

2x 3x 2

→−

−
=

+ − . Khi đó

a. L 4

= b. L 4

= − c. L 1

= d. L 1

2
= −

83.

2
x 2

x 3x 2

lim

2x 4

→

− +

− b»ng

a. +∞ b. 3

2 c.

2 d.

1
2
−

84.

2
x 2

x 12x 35

lim

x 5

→

− +

− b»ng

a. +∞ b. 5 c. 2

5 d.

2
5
−

85.

2
x 5

x 12x 35

lim

5x 25

→

− +

− b»ng

a. +∞ b. 1

5 c.

5 d.

2
5
−

86.

2
2
x

x 2x 3x

lim

4x 1 x 2

→−∞

+ +

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a. 2

3 b.

2
3

− c. 1

2 d.

1
2
−

87.

(

)

xlim→+∞ x 1+ − x−3

b»ng

a. +∞ b. 2 c. 0 d. −∞

88.

(

)

xlim x→+∞ x + −5 x

b»ng

a. 5 b. 5

c. 5

2 d. +∞

89.

(

)

xlim x→+∞ x + −2 x

b»ng

a. +∞ b. 2 c. 1 d. 0

90.

4
t 1

t 1

lim
t 1

→

−

− b»ng

a. +∞ b. 4 c. 1 d. −∞

91.

4 4

t a

t a
lim

t a

→

−

− b»ng

a. 4a 2 b. 3a 3 c. 4a 3 d. +∞

92.

4
3
y 1

y 1

lim

y 1

→

−

− b»ng

a. +∞ b. 0 c. 3

4 d.

4
3

93.

2 5
4
x

3x x

lim

x 6x 5

→+∞

−

+ + b»ng

a. +∞ b. 3 c. –1 d. −∞

94.

2
x

4x 1 x 5

lim

2x 7

→+∞

+ − +

− b»ng

a. 0 b. 1 c. 2 d. +∞

95.

2
x 0

x 1 x x 1

lim

→

+ − + +

b»ng

a. 0 b. –1 c. 1

− d. −∞

96.

3
2
x 1

x 1

lim

x 3 2

→−

+ − b»ng

a. −∞ b. 1 c. 2

3 d.

2
3
−

97.

2
x 5

x 2x 15

lim

2x 10

→−

+ −

+ b»ng

a. –8 b. –4 c. 1

2 d. +∞

98.

2
x 5

x 2x 15

lim

2x 10

→

− −

− b»ng

a. –4 b. –1 c. 4 d. +∞

99.

2
x 5

x 9x 20

lim

2x 10

→

− −

+ b»ng

a. 5

− b. –2 c. 3

− d. +∞

100.

4 5
4
x

3x 2x

lim

5x x 4

→−∞

−

+ + b»ng

a. 2

− b. 3

5 c. −∞ d. +∞

101.

3
2
x 1

x 1

lim

x x

→−

+ b»ng

a. –3 b. –1 c. 0 d. 1

102.

(

)

3

x
lim x 5

x 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a. 0 b. 1 c. 2 d. +∞

103.

2
3
x 1

x 3x 2

lim

x 1

→

− +

− b»ng

a. 2

− b. 1

− c. 0 d. 1

104.

3
2
x

2x x

lim

x 2

→+∞

−

+ b»ng

a. −∞ b. 1 c. 2 d. +∞

105.

(

)

xlim→+∞ x+ −5 x−7

b»ng

a. +∞ b. 4 c. 0 d. −∞

106.

2
x 3

3x 7x

lim

2x 3

→

−

+ b»ng

a. 3

2 b. 2 c. 6 d. +∞

107.

2
x 1

2 x 3

lim
1 x

→

− +

− b»ng

a. 1

4 b.

6 c.

8 d.

8
−

108. Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để đ-ợc một khẳng định
đúng.

Cét tr¸i Cét ph¶i

2
x 3

x 2x 15

lim

2x 10

→

+ −

+ b»ng a)

7
2
−

2
x 5

x 3x 10
lim

2x 10

→

+ −

+ b»ng b) 0

2
x 5

x 2x 15
lim

3x 15

→

− −

− b»ng c)

3
2

2
x 5

x 3x 10

lim

2x 10

→−

+ −

+ b»ng d)

8
3

</div>

Toán 11 Chương 4 Bài tập Gioi han cua day so va hàm số

<b>Giới hạn </b>

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( ) { }

( )

( )

( ) { }

( )

( )

( )

( ) { }

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

{ }

( )

{ }

{ } ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )