Tham khảo TN Toán 2010 số 16

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
CÂU I:
Cho hàm số :
2
2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+
, (m là tham số )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số với m=1
2. Tìm giá trò của m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai
điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau
CÂU II:
1. Tìm tất cả giá trò của tham số a để hệ sau có nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện x > 4:

3
5 3
x y
x y a

+ =


+ + + ≤


2. Giải phương trình : 3 5 6 2

x x
x+ = +
CÂU III:
1. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :

4 2
4 2
3cos 4sin
3sin 2cos
x x
y
x x
+
=
+
2. Cho tam giác ABC có các góc A ,B ,C thoả mãn hệ thức :

2 2 2
1 1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2 2cos cos cosA B C A B C
+ + =
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
CÂU IV:
Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo ) và ABEF (AE là đường chéo) không cùng nằm
trong một mặt phẳng và thoả mãn điều kiện : AB= a; AD=AF=
2a
; đường thẳng AC vuông góc với
đường thẳng BF . Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF ( H thuộc AC ,K thuộc BF)
1. Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF .Tính tỉ số
DI

DF

2. Tính độ dài đoạn HK
3. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK
CÂU V:
Trong khai triển của
10
1 2
3 3
x
 
+
 ÷
 
thành đa thức:

9 10
0 1 9 10
... ,( )
k
a a x a x a x a+ + + + ∈ ¡
Hãy tìm hệ số
k
a
lớn nhất
(0 10)k≤ ≤
ĐAP AN
Câu I:
Cho hàm số :
2

2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 1:
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
• TXĐ :
{ }
\ 1D R= −
2
2
2
'
( 1)
x x
y
x
+

=
+
0
' 0
2
x
y
x



=
= ⇔
= −
• Tiệm cận đứng :
x = -1 vì
1
lim
x→−
= ∞
Ta có:
1
1
1
y x
x
= + +
+
• Tiệm cận xiên :
y = x + 1 vì

1
lim 0
1
x
x
→∞
=
+

• BBT:
• Đồ thò:
X
Y
O
( C )
2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực đại và điểm cực tiểu đến
đường thẳng: x + y + 2 = 0 bằng nhau.
Ta có:
2
2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+

2
2

2 2 2
'
( 1)
x x m
y
x
+ + −
=
+

2
' 0 2 2 2 0y x x m= ⇔ + + − =
(1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt.
3
' 3 2 0
2
m m⇔ ∆ = − > ⇔ <
Toạ độ điểm CĐ
1 1 1
( , )M x y
và điểm CT
2 2 2
( , )M x y
cho bởi:
1
1 1 1
1

2
2 2 2
2
'( )
1 3 2 2 2
'( )
'( )
1 3 2 2 2
'( )
u x
x m y x m
v x
u x
x m y x m
v x






= − − − ⇒ = = +
= − − − ⇒ = = +
Gọi (D): x + y +2 = 0, ta có:
( ) ( )
1 2
, ,d M D d M D=
1 1 2 2
1 2
1 2

1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
( )
4( 1)
3
4( 1) 1
2
3 2
x x m x x m
x m x m
x m x m
x m x m
x x loại
m
x x
m
m









+ + + + + +
⇔ =
⇔ + + = + +
+ + = + +
⇔
+ + = − − −
=
⇔
− +
+ =
− +
⇔ − = ⇔ =
So với điều kiện
3
2
m <
nhận
1
2
m =
ĐS :
1
2
m =
Câu II:
Tìm tất cả các giá trò a để hệ có nghiệm (x, y) thoả x > 4.
3
5 3
x y

x y a





+ =
+ + + ≤
• Hệ
2
2
3
3
(3 )
5 3
5 (3 ) 3 (1)
x
y x
y x
x y a
a x x



 
 
 




≤
= −
⇔ ⇔ = −
+ + + ≤
≥ + + − +
Hệ có nghiệm thoả x > 4
⇔
(1) có nghiệm
4 9x
< ≤
( vì khi đó luôn tính được y )
Đặt
(2,3}t x= ∈
. Khi đó:
2 2
(1) 5 6 12a t t t⇔ ≥ + + − +
Xem hàm
2 2
( ) 5 6 12f t t t t= + + − +

( (2,3})t ∈
2 2
3
'( )
5 6 12
t t
f t
t t t
−
= +

+ − +
Xét
2 2
3
'( ) 0
5 6 12
t t
f t
t t t
−
≥ ⇔ ≥
+ − +
( hai vế
0≥
)
2 2 2 2
2
( 6 12) (3 ) ( 5)
2 30 45 0
15 135 15 135
2 2
t t t t t
t t
t
⇔ − + ≥ − +
⇔ − + ≤
− +
⇔ ≤ ≤
Vậy
'( ) 0, (2,3}f t t> ∀ ∈

+
3
5
2
f ’ ( t )
t
f ( t )

Vậy (1) có nghiệm thoả
( )a f t⇔ ≥
có nghiệm
2 3t< ≤
5a
⇔ >
2. Giải: 6 23 5
x x
x= ++
Xem (C) :
3 5
x x
y = +
và
( )∆
: y = 6x + 2
( )∆
chỉ cắt (C) tại 2 điểm: A(0, 2) và B(1, 8)
⇒
Phương trình có 2 nghiệm:
0 1x x
= ∨ =

Câu III :
1. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
4 2
4 2
3cos 4sin
3sin 2 cos
x x
y
x x
+
=
+
Ta có :
2 2 2 4 2
4 2 4 2
3(1 sin ) 4sin 3sin 2sin 3
3sin 2(1 sin ) 3sin 2sin 2
x x x x
y
x x x x
− + − +
= =
+ − − +
Do
2
2
4 2
1 5
3sin 2sin 2 3sin 0,
3

3
x x x x
 
− + = − + > ∀
 
 
nên hàm số có miền xác đònh là R.
• Đặt
2
sin ,t x x R= ∈

[ ]
0,1t⇒ ∈
Hàm số trở thành:
[ ]
2
2
3 2 3
( ) , 0,1
3 2 2
t t
f t t
t t
− +
= ∈
− +
2 2
6 2 1 8
'( ) , '( ) 0 ( )
3 5

(3 2 2)
t
f t f t t f t
t t
− +
= = ⇔ = ⇒ =
− +
• Trên đoạn [0, 1] ta có:
3 4
(0) ; (1)
2 3
f f= =
, giá trò cực trò
1 8
3 5
f
 
=
 
 
Do đó :
[ ]
[ ]
8
( )
5
R 0,1
4
inf( )
3

R 0,1
Maxy Maxf t
Miny M t

= =





= =



Cách khác :
Ta có
4 2
4 2
2
3sin 2sin 3 1
1
3sin 2sin 2
1 5
3 sin
3
3
x x
y
x x
x

− +
= = +
− +
 
− +
 
 
Ta có :
2
1 3
3 sin 0 sin
2
3
Max
y x x⇔ − = ⇔ = ±
và
8
5
Max
y =
Và
2
sin 1
Min
y x⇔ =
. Khi đó
4
3
Min
y =

2. Chứng minh rằng
ABC
∆
đều nếu:
2 2 2
1 1 1 1
2cos cos cos
sin 2 sin 2 sin 2
A B C
A B C
+ + =
Ta có: theo bất đẳng thức
2 2
2x y xy+ ≥
2 2
1 1 1 1
2. .
sin2 sin 2
sin 2 sin 2
A B
A B
⇒ + ≥
(1)
Tương tự :
2 2
1 1 1 1
2. .
sin2 sin2
sin 2 sin 2
B C

B C
+ ≥
(2)
2 2
1 1 1 1
2. .
sin2 sin 2
sin 2 sin 2
C A
A C
+ ≥
(3)
Cộng (1), (2), (3) ta được:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
sin2 sin 2 sin2 sin2 sin2 sin2
sin 2 sin 2 sin 2
A B B C C A
A B C
   
+ + ≥ + +
   
   
⇒
2 2 2
1 1 1 sin2 sin 2 sin2 1
sin2 sin 2 sin2 2cos cos cos
sin 2 sin 2 sin 2
A B C

A B C A B C
A B C
+ +
+ + ≥ =
Vì sin2A + sin2B + sin2C = 4sin2Asin2Bsin2C
sin2A.sin2B.sin2C = 8sinAsinBsinCcosAcosBcosC.
Vậy giả thiết chỉ thoả khi trong (1), (2), (3) xảy ra dấu =
2 2 2
sin 2 sin 2 sin 2A B C ABC⇒ = = ⇒ ∆ đều.
Câu IV:
1. Vẽ đoạn
//FS BC
và
FS BC=
⇒
BCSF là hình bình hành .
⇒
CS//BF
⇒
(ACS) chứa AC và song song BF.
Khi đó ADSF là hình bình hành vì AD // SF
Gọi
I AS DF= ∩
thì I là giao điểm của DF và (ACS).