Tham khảo TN Toán 2010 số 4

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
A.PHẦN BẮT BUỘC
CÂU I : ( 3 điểm)
Cho hàmsố
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
(1), với m là tham số thực
1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2
2.Tìm các giá trò của m để đồ thò của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành .Xác đònh tọa độ của
tiếp điểm tương ứng trong mỗi trường hợp của m.
CÂU II: (2 điểm)
Cho bất phương trình :
1 2
4 2( 2)2 2 2 0
x x
m m m
+
− + + + + >
1.Giải bất phương trình khi m=1
2.Tìm m để bất phương trình thỏa mãn với mọi
x
∈
¡
CÂU III: (1 điểm)
Chứng minh rằng ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:

2 3 3 3
3 2 (sin sin sin )S R A B C= + +
Trong đó S là diện tích tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
CÂU IV : ( 1 điểm)
Tính tích phân sau:

3
2
0
4sin
1 cos
xdx
x
∏
+
∫
B.PHẦN TỰ CHỌN
Thí sinh được phép chọn một trong hai câu dưới đây:
CÂU Va: ( 3 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho 3 điểm:A(0,0,1) ;B(-1,-2,0) ;C(2,1,-
1).
1.Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A ,B ,C
2.Viết phương trình thamsố của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt
phẳng (P).
3.Xác đònh chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC
CÂU Vb: (3 điểm)
Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng sao cho
ˆ ˆ
xOz zOy
α
= =
với
0 90
α
° < < °
.Gọi M là một điểm

trên Oz có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (xOy) là H.
1. Chứng minh rằng H thuộc đường phân giác của góc
ˆ
xOy
2. Cho
ˆ
xOy
β
=
.Chứng minh
2
β
α
<
3. Cho OM= a. Hãy tính độ dài MH theo
, ,a
α β

ĐAP AN
Câu I:
Cho:
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
(1)
1) Khảo sát hàm số (1) tương ứng với m= -2:
2
3 2
( 1)( 2 2)
3 2
= − − −

= − +
y x x x
y x x
• Tập xác đònh : D = R
•
2
' 3 6 3 ( 2)= − = −y x x x x
0
' 0
2
=

= ⇔

=

x
y
x
•
'' 6 6= −y x
" 0 1 0= ⇔ = ⇒ =y x y
⇒
Điểm uốn : I(1, 0)
• BBT:
• Đồ thò:
Điểm đặc biệt :
2) Tìm m để đồ thò (1) tiếp xúc trục hoành. Xác đònh toạ độ tiếp điểm.
Ta có :
3 2

( 1)y x m x m= + − −
(1)
Đồ thò (1) tiếp xúc trục hoành
3 2
2
x +(m-1)x -m=0 (2)
3x +2(m-1)x=0 (3)


⇔



có nghiệm .
[ ]
0
(3) 3 2( 1) 0
2( 1)
3
x
x x m
m
x
=


⇔ + − = ⇔
−

= −


Thay vào (2) :
3 3
3 3 2
2
0 0
2( 1) 8 4
( 1) ( 1) 0
3 27 9
4( 1) 27 0 4 12 15 4 0
( 4)(4 4 1) 0
4
1
2
x m
m
x m m m
m m m m m
m m m
m
m
= ⇒ =
−
= − ⇒ − − + − − =
⇔ − − = ⇔ − − − =
⇔ − + + =
=


⇔


= −

Hoành độ tiếp điểm là :
0 0
4 2
1
1
2
m x
m x
m x
= ⇒ =
= ⇒ = −
= − ⇒ =
Vậy đồ thò (C) tiếp xúc Ox khi:
m= 0, m= 4,
1
2
m = −
Toạ độ tiếp điểm tương ứng là: (0, 0), (-2, 0), (1, 0)
Câu II :
+
− + + + + >
1 2
4 2( 2).2 2 2 0
x x
m m m
1) Giải bất phương trình khi m= 1:
Đặt

= 2
x
t
. Điều kiện t > 0.
Khi đó bất phương trình trở thành:
− + + + + >
2 2
4( 2) 2 2 0m t m mt
(*)
Khi m= 1, (*) trở thành :




< < −
− + > ⇔
> +
2
0 6 31
12 5 0
6 31
t
t t
t
Nghóa là: Bất phương trình




< −

⇔
> +
2 6 31
2 6 31
x
x





< −
> +
⇔
2
2
log (6 31)
log (6 31)
x
x
2) Tìm m để bất phương trình thoả
∀ ∈
¡x
Đặt
= − + + + +
2 2
( ) 4( 2) 2 2f t m t m mt
Bất phương trình thoả
∀ ∈
¡x

.
⇔ ∀


∆


∆ ∧ ≤



∆





⇔
1 2 1 2
f (t) > 0 thoả t >0
'< 0
S
' = 0 0
2
' > 0
t < t < 0 ( với t ,t là nghiệm của f(t) =0 )
' 0
S
' = 0 0
2

' 0
(0) 0
0
2
af
S


∆ <


∆ ∧ ≤


⇔



∆ >

≥





<




− +
⇔ <
7 7
3
m
Câu III:
Chứng minh rằng
∆
ABC đều khi và chỉ khi:
= ++
2 3 3 3
3 2 (sin sin sin )S r A B C
Ta có:
= ++
2 3 3 3
3 2 (sin sin sin )S r A B C

 
 ÷
 
⇔ = + +
⇔ = + +
3 3 3
2
3 3 3
3 3 3
3
2
4 8 8 8
3

abc a b c
R
R R R R
abc a b c
p dụng BĐT Côsi:
+ + ≥ =
3 3 3 3 3 3
3
3 3a b c a b c abc
Vậy hệ thức chỉ thoả khi dấu “ = ” xảy ra.

⇔ = = ⇔ ∆a b c
ABC đều (đpcm)
Câu IV:
Tính
π
=
+
∫
2
3
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
Ta có:
π
−

=
+
∫
2
2
0
4sin (1 cos )
1 cos
x x
I dx
x

π
π
π
= −
= −
= − + =
∫
∫
2
0
2
0
2
0
4sin (1 cos )
(4sin 2sin2 )
( 4cos cos2 ) 2
x x dx

x x dx
x x
Câu Va:
A(0, 0, 1); B(-1, -2, 0); C(2, 1, -1)
1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B,C.
Ta có VTP (P) là :
 
 
= = −
uur uuur uuuur
, (5, 4,3)
P
n AB AC

⇒
Phương trình mặt phẳng (P):
5x – 4y + 3z – 3 = 0
2) Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G
 
−
 ÷
 
1 1
, ,0
3 3

Đường thẳng d đi qua G và d
⊥
(P):
⇒

−= =
uuur uuur
(5, 4,3)
P
d
a n
Phương trình tham số của d là:

= +



= − −


=



1
5
3
1
4
3
3
x t
y t
z t

2) Chân đường cao H hạ từ A xuống đường thẳng BC.
Ta có:
= −
uuur
(3,3, 1)BC
Phương trình tham số của BC là :
= − +


= − +


= −

1 3
2 3
x t
y t
z t
Lấy H(-1 + 3t, -2 + 3t, -t)
∈
BC.
H là hình chiếu của A
⇔ =
uuur uuur
. 0HA BC

⇔ − + − − +
⇔ =
⇔ =

3(1 3 ) 3(2 3 ) 1(1 )
19 8
19
8
t t t
t
t
Vậy H
 
− −
 ÷
 
5 14 8
, ,
19 19 19
Câu Vb:
O
M
I
H
J
a
x
y
z
1) Vẽ
⊥MI Oz
và
⊥MJ Oy
.

Ta có:
∆ = ∆MOI MOJ
⇒ =MI MJ
Khi đó
∆ = ∆ ⇒ =MHI MHJ HI HJ
Và
⊥
HI Ox
,
⊥HJ Oy
Suy ra H thuộc đường phân giác
·
xOy .
2) Ta có:
β
α
° < < °0 , 90
2
và
β
α
= < =
2
IH MI
tg tg
OI OI
do
<IH MI

β

α
⇒ <
2