Tham khảo TN Toán 2010 số 3

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
Câu 1:
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C) hàm số:
y = -(x + 1)
2
(x+4).
2. Dùng đồ thò (C) để biện luận theo số nghiệm của phương trình :
(x + 1)
2
(x+4) = (m+1)
2
(m+4)
Câu 2:
1. Giải phương trình :

2
2 7( 3)(1 ) 5 x xx x + −+ − = −
2. giải hệ phương trình :

2 2
2 2
2 2 5
3 3
x xy y
x xy y





+ + =

− + =
Câu 3
3. Tính các tích phân:
1 .
1
3 2
0
1
1
x
I dx
x x x
−
=
+ + +
∫
2.
2
0
sin(1 cos )
n
xdxJ x
π
= −
∫
(n = 0 ,1,2).
Câu 4:
1. Giải phương trình : sin
3
x – cos

3
x = cos2x
2. trong một trận chung kết giải cờ vua đồng đội toàn trường có hai đội A và B tham dự, mỗi đội có 5 kỳ
thủ. Ban giám khảo sẽ chọn từ mỗi đội3 kỳ thủ để xếp thành 3 cặp thi đấu cùng lúc trong một lòch thi
đấu (mỗi cặp kỳ thủ đội A gặp một kỳ thủ đội B trong một ván đấu).
Hỏi có thể xếp được bao nhiêu lòch thi đấu khác nhau ?
Câu 5
Trong không gian với hệ trục ĐềCac vuông góc Oxyz
Mặt cầu (S) : x
2
+y
2
+ z
2
– 2x –2y –4z +2 = 0
Và đường thẳng (D) :
2 2 3 0
2 2 3 0
x y z
x y z





− + + =
− + + + =
1. Tính khoảng cách từ tâm I của Mặt cầu (S) đến đường thẳng (D) .
2. viết phương trình các mặt phẳng chứa (D) và tiếp xúc với (S).
ĐAP AN

Câu I:
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
= − + + = − − − −
2 3 2
( 1) ( 4) 6 9 4y x x x x x
• TXĐ: D = R
= − − −
= −

= ⇔

= −

= − −
= ⇔ = − ⇒ = −
2
' 3 12 9
1
' 0
3
'' 6 12
" 0 2 2
y x x
x
y
x
y x
y x y
Điểm uốn :( -2, -2)
• BBT:

• Đồ thò :
2) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
+ + = + +
2 2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)x x m m
⇔ − + + = − + +
2 2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)x x m m
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình :
= − + +
2
( 1) ( 4)y m m
- Số giao điểm là số nghiệm của phương trình .
• Biện luận:
− + + < − ⇔ + > ⇔ >
2 2
( 1) ( 4) 4 ( 3) 0 0m m m m m
: 1 nghiệm
− + + < − ⇔ = ∨ = −
2
( 1) ( 4) 4 0 3m m m m
: 2 nghiệm
− < − + + < ⇔ − < <
2
4 ( 1) ( 4) 0 4 0m m m
: 3 nghiệm
− + + = ⇔ = − ∨ = −
2
( 1) ( 4) 0 1 4m m m m
: 2 nghiệm

− + + > ⇔ < −
2
( 1) ( 4) 0 4m m m
:1 nghiệm
Câu II:
1. Giải phương trình:
+ − = − + −
2
( 3)(1 ) 5 2 7x x x x
Phương trình
2 2
2 3 5 2 7x x x x⇔ + − = + −
Đặt:
= + −
2
t 2 7x x
0
≥
Khi đó phương trình trở thành:
+ = ⇔ − + =
⇔ = ∨ =
2 2
4 5 5 4 0
1 4
t t t t
t t
Do đó :


+ − = + − =


⇔

+ − =

+ − = 

2 2
2
2
2 7 1 2 8 0
2 23 0
2 7 4
x x x x
x x
x x
⇔ = ∨ = − ∨ = − ±2 4 1 2 26x x x
2. Giải hệ phương trình :

+ + =


− + =


2 2
2 2
2 2 5
3 3
x xy y

x xy y
Vì x = 0 không là nghiệm nên đặt y = kx.
Khi đó hệ trở thành:





2 2
2 2
x (1 + 2k + 2k ) (1)
x (3 - k + k ) (2)
(1) chia (2) ta được :
+ +
=
− +
2
2
1 2 2 5
3 3
k k
k k
⇔ + − = ⇔ = ∨ = −
2
11 12 0 1 12k k k k
• Thế k = 1 vào (2) ta được:
= ⇒ =

= ⇔


= − ⇒ = −

2
1 1
1
1 1
x y
x
x y

• Thế k = -12 vào (2) ta được :

= ⇒ = −
= ⇔

= − ⇒ =


2
53 12 53
53
53 12 53
x y
x
x y
Tóm lại hệ có 4 nghiệm:
(1, 1), (-1, -1),
−( 53, 12 53)
,
−( 53,12 53)

Câu III:
1. Tính
−
=
+ + +
∫
1
3 2
0
1
1
x
I dx
x x x
Ta có:
− − + − +
= =
+ + + + + + +
2
3 2 2 2
1 1 1 ( 1)
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x x
x x x x x x x
   
⇒ = − = + − + =
 ÷
 
+ +
   

∫
1
1
2
2
0
0
1 1 1
ln 1 ln( 1) ln2
1 1 2 2
x
I dx x x
x x
2. Tính
π
2
= −
∫
(1 cos ) sin .
0
n
J x x dx
Đặt:
= − ⇒ =
1 cos sint x dt xdx
Đổi cận:
= ⇒ =
0 0x t
π
= ⇒ =

2
1x t
+
⇒ = = =
∫
+ +
1
1
1
1
1 1
0
0
n
t
n
J t dt
n n
Câu IV:
1. Giải phương trình:
− =
3 3
sin cos cos2x x x
Phương trình
⇔ − + = −
2 2
(sin cos )(1 sin cos ) cos sinx x x x x x
(sin cos )(1 sin cos sin cos ) 0
sinx - cosx = 0 (1)
1 + sinxcosx + sinx + cosx = 0 (2)

x x x x x x⇔ − + + + =

⇔


• (1)
π
⇔ = ⇔ = + π1
4
tgx x k
• Giải (2) bằng cách đặt
π
 
= + = +
 ÷
 
sin cos 2 sin
4
t x x x
Điều kiện:
≤ 2t
Khi đó phương trình (2) trở thành:
−
+ + =
⇔ + + = ⇔ = −
2
2
1
1 0
2

2 1 0 1
t
t
t t t
Do đó :
π
 
+ = −
 ÷
 
2 sin 1
4
x
π
 
⇔ + = −
 ÷
 
π

= − + π

⇔

= π + π

2
sin
4 2
2

2
2
x
x k
x k
Tóm lại phương trình có nghiệm:
π π
= + π∨ = − + π∨ = π + π (κ∈ )¢2 2
4 2
x k x k x k
2. Có bao nhiêu cách xếp lòch thi đấu:
• Số cách chọn 3 kỳ thủ đội A:
3
C
5
• Số cách chọn 3 kỳ thủ đội B:
3
C
5
• Số cách xếp 3 cặp thi đấu là:
P
3
Vậy số cách xếp lòch thi đấu là:
3 3
C + C .P
3
5 5
= 600 (cách)
Câu V:
(S):

+ + − − − + =
2 2 2
x 2 2 4 2 0y z x y z
(D:
− + + =


− + + + =

2 3 0
2 2 3 0
x y z
x y z
1. Tính khoảng cách tâm I của (S) đến (D):
(S) có tâm I(1, 1, 2), bán kính R = 2.
(D) có vectơ chỉ phương
=
r
(2,2,1)a
Gọi
α
( )
là mặt phẳng qua I và vuông góc với (D):
α
⇒ − + − + − =
⇔ + + − =
( ) : 2( 1) 2( 1) ( 2) 0
2 2 6 0
x y z
x y z

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống (D).

=

− + + =


 
⇒ − + + + = ⇔ =
 
 
+ + − =


= −


 
⇒ −
 ÷
 
⇒ = =
5
3
2 2 3 0
5
: 2 2 3 0
3
2 2 6 0
2

3
5 5 2
, ,
3 3 3
( ,( )) 8
x
x y z
H x y z y
x y z
z
H
d I D IH
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa (D) và tiếp xúc (S).
• Mặt phẳng
β
( )
chứa (D) nên phương trình có dạng:
− + + + − + + + =
⇔ − + − + + + + =
( 2 2 3) ( 2 2 3) 0
( 2 ) ( 2 ) (2 2 ) 3 3 0
m x y z n x y z
m n x n m y m n z m n
(m và n không đồng thời bằng 0)
• Mặt phẳng
β
( )
tiếp xúc (S):
β
⇔ =

+
⇔ =
+
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ = ⇔ = ∨ =
2 2
2 2
2 2 2
( , )
6 6
2
9 9
( )
2 0 0 0
d I R
m n
m n
m n m n
m n m n
mn m n
Suy ra có 2 đáp số:
β
( )
:
− + + =2 2 3 0x y z

hay
β
( )

:
− + + + =2 2 3 0x y z
.