Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.91 MB, 49 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [1H3-3.1-1] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hai đường thẳng phân biệt a , b và mặt phẳng

 

P

. Chọn khẳng định đúng?

A. Nếu a //

 

P và b thì a b

 

P . B. Nếu a //

 

P và b

 

P thì b .a
C. Nếu a 

 

P và b thì a b //

 

P . D. Nếu a //

 

P và b //

 

P thì // b a .

Lời giải

Tác giả: Hồ Ngọc Hưng; Fb: Ho Ngoc Hung
Chọn B

Theo lí thuyết, ta có nếu a //

 

P và b

 

P thì b .a

Đáp án A sai do chưa đủ cơ sở khẳng định b

 

P . (b có thể song song

 

P hoặc thuộc

 

P
hoặc cắt

 

P một góc khác 90)

Đáp án C sai do b có thể nằm trên

 

P .

Đáp án D sai do chưa đủ cơ sở khẳng định // b a . (b có thể cắt a hoặc a và b chéo nhau)
Câu 2. [1H3-3.1-1] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Tập hợp các

điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

B. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng



ABC



.
C. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vng góc với mặt
phẳng



ABC



D. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt

phẳng



ABC



Lời giải

Tác giả: Trần Thế Độ, FB: Trần Độ

Chọn D

Trong không gian tập hợp cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng đi qua tâm

đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng



ABC



. Đường thẳng
này cịn được gọi là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Bài tập tương tự :

Câu 3. Trong mặt phẳng, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là
A. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

B. đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng



ABC



.
C. đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

D. đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt
phẳng



ABC



Câu 4. Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB là
A. đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

B. đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB .
C. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

D. trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 5. [1H3-3.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Trong không gian cho điểm O và đường thẳng
d . Qua O có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với d ?

A. Ba. B.Hai. C.Một. D.Vô số.

Lời giải

Tác giả:Đặng Thanh Quang ; Fb: Quang Đăng Thanh

Chọn C

Theo tính chất đường thẳng vng góc mặt phẳng: Qua O duy nhất chỉ có một mặt phẳng
vng góc d .

Câu 6. [1H3-3.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hai đường thẳng a b, phân biệt và mặt
phẳng

 

P . Mệnh đề nào sau đây đúng :

A. Nếu a//

 

P và b thì a b

 

P . B. Nếu a

 

P và b thì a b//

 

P .

C. Nếu a//

 

P và b

 

P thì b .a D. Nếu a//

 

P và b//

 

P thì //b a .
Lời giải

Tác giả:Nguyen Thanh Nha; Fb: Thanh Nha Nguyen

Chọn C

Theo tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc ta chọn C.

Câu 7. [1H3-3.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện ABCD đều. Gọi G là
trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề sai.

A. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng



BCD



là góc ABC .
B. ABCD.

C. AG



BCD



D. AB AC AD   3AG.

Lời giải

Tác giả: Lưu Anh Bảo ; Fb: Luu Anh Bao

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có GB GC GD    0
0

AB AG AC AG AD AG

          AB AC AD   3AG nên D là mệnh đề đúng.

Tứ diện ABCD đều nên ta có tính chất AG



BCD



suy ra C là mệnh đề đúng.

Gọi M là trung điểm của CD. Khi ấy , ,B G M thẳng hàng và AG



BCD



(tính chất tứ diện
đều) nên AGCD đồng thời BM CD (BCD đều) suy ra CD



ABM



 ABCD nên

B là mệnh đề đúng.

Vì AG



BCD



nên BG là hình chiếu vng góc của AB trên



BCD



do đó góc giữa AB
và mặt phẳng



BCD



là góc ABG . Vậy A là mệnh đề sai.

Bài tập tương tự :

Câu 8. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề sai.
A. Góc giữa mặt thẳng



ACD



và mặt phẳng



BCD



là góc DGC .

B. AB CD .

C. AGBD.

D. MB MC MD    3MG với M là điểm tuỳ ý trong không gian.

Câu 9. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề đúng?

A.



ABC

 

 BCD



. B. AC AG.

C. BDGI với I là trung điểm AD . D. BC BD  3BG.

Ghi nhớ: Tứ diện ABCD đều có một số tính chất sau:

+) Tất cả các cạnh đều bằng nhau.

+) Các cặp cạnh đối diện vng góc với nhau: ABCD, ACBD,ADBC.

+) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có AG



BCD



+)G là trọng tâm tam giác BCD ta có GB GC GD    0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 10. [1H3-3.1-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình chóp .S ABC với ABC khơng là tam giác cân.
Góc giữa các đường thẳng SA SB SC và mặt phẳng , ,



ABC



bằng nhau. Hình chiếu vng

góc của điểm S lên mặt phẳng



ABC



là

A. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC .
B. Trực tâm của tam giác ABC .

C. Trọng tâm của tam giác ABC .

D. Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Điệp ; Fb:

Chọn A

Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng



ABC



, ta có































SA ABC SAH

SB ABC SBH

SC ABC SCH



Từ giả thiết suy ra SAH SBH SCH  SAH SBH SCH  HA HB HC  
Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC .

Câu 11. [1H3-3.2-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC
vuông tại B và SA vng góc với mặt phẳng



ABC



. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. BCSA. B. BC



SAB



. C. BC SB. D. BC 



SAC



.
Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Xét mệnh đề A. Do SA



ABC



chứa BC nên BCSA. Vậy mệnh đề A. đúng.

Xét mệnh đề B. Do





B

B AB

BC SA

SA
C
BC


  




 . Vậy mệnh đề B. đúng.

Xét mệnh đề C. Do BC 



SAB



chứa SB nên BCSB. Vậy mệnh đề C. đúng.

Xét mệnh đề D. Nếu BC 



SAC



thì BC AC. Điều này vơ lý vì tam giác ABC vng tại

B. Do đó mệnh đề D. sai.

Ghi nhớ:

Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

 

P khi và chỉ khi d vng góc với mọi đường 
thẳng nằm trong

 

P .

Để chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

 

P ta chứng minh d vng góc với
hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

 

P .

Câu 12. [1H3-3.2-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tứ diện ABCD có AB AC , DB DC . Khẳng định
nào sau đây là đúng?

A. BCAD. B. CD



ABD



. C. ABBC. D. AB



ABC



.
Lời giải

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Gọi E là trung điểm BC , ta có: AB AC nên ABC cân đỉnh A do đó: BCAE

 

1 .

Mặt khác: DB DC nên DBC cân đỉnh D do đó: BCDE

 

2 .

Từ

 

1 và

 

2 suy ra: BC



ADE



 BCAD.

Câu 13. [1H3-3.2-2] (THTT lần5) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác không vuông và
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là hình chiếu vng góc của S trên BC . Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. BCSC. B. BCAH. C. BCAB. D. BC AC.
Lời giải

Tác giả: Lê Văn Kỳ, FB: Lê Văn Kỳ
Chọn B

Ta có:





BC SA

BC SAH BC AH

BC SH




   





Câu 14. [1H3-3.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB và
CA CB . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.BC



SAC



. B.SBAB. C.SA



ABC



. D.ABSC.
Lời giải

Tác giả:Đặng Thanh Quang ; Fb: Quang Đăng Thanh

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Gọi I là trung điểm AB.

Ta có

AB SI
AB CI







  AB



SCI



 ABSC.

Câu 15. [1H3-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hình chóp .S ABC có SA vng góc với mặt
phẳng đáy, AB a và SB2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng đáy bằng

A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .

Lời giải
Chọn A

Góc giữa SB và đáy là góc SBA .


cos SBA =

1
2
AB

SB   SBA60 .

Câu 16. [1H3-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác
vng cân tại A, BC2a và hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng



ABC



trùng với

trung điểm cạnh BC , góc giữa AA và mặt đáy bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. 
3
3

a

. B.

2
a

. C.

3
3

a

. D. 3a .3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Gọi M là trung điểm của 2
BC

BC AM 

và

2
1

.
2

ABC

S  AM BC a
.

Ta có: A M 



ABC



 góc giữa AA và mặt phẳng



ABC



là A AM 60
.tan 60 3

A M AM a

    .

Vậy: V A M S . ABC  3a3.

Câu 17. [1H3-3.2-2] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình
vng, SA



ABCD



. Gọi F là trung điểm của SC . Góc giữa đường thẳng BF và đường
thẳng AC có số đo bằng

A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .

Lời giải

Tác giả: Lê Quốc Đạt ; Fb: Dat Le Quoc
Chọn B

Cách 1:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>





1
2

BF  BC BS

  





2 BC BA AS
    

ACAB BC

  



 



. .

BF AC BC BA AS AB BC

    

      





. . . .

2 BC AB BC BC BA AB BA BC AS AB AS BC

     

           





. . 0

2 BC BC BA AB

                                

Do đó, BF AC.

Cách 2:

Gọi O là tâm của hình vng ABCD , do FO SA và // SA



ABCD



nên FO



ABCD



suy
ra FOAC, mặt khác ACBD nên AC



FOB



 BF AC. Vậy góc giữa BF và AC

bằng 90 .

Câu 18. [1H3-3.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình
thang vng tại A và D. AB=AD=a, CD=2a, SD vuông góc với mặt phẳng

(

ABCD

)

.
Có bao nhiêu mặt bên của hình chóp .S ABCD là tam giác vng

A. 1. B. 3 . C. 2. D. 4.

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng

Chọn D

Ta có SD^

(

ABCD

)

Þ SD^AD SD, ^CD nên các mặt bên SAD, SCD là các tam giác
vuông tại D.

Ta có SD^

(

ABCD

)

Þ SD^AB, ABCD là hình thang vng tại A nên AD^AB

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Gọi F là trung điểm của CD , ta có ABFD là hình vng nên

1
2

BF=AD= =a CDÞ

BCD
là tam giác vng tại BÞ BC^BD.

Ta có SD^

(

ABCD

)

Þ SD^BC Þ BC^

(

SBD

)

Þ BC^SB nên mặt bên SCB là tam giác
vuông tại B.

Câu 19. [1H3-3.2-2] (HSG Bắc Ninh) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một vng góc với
nhau. Kẻ OH vng góc với mặt phẳng



ABC



tại H. Khẳng định nào sau đây là khẳng định

SAI?

A. H là trực tâm tam giác ABC . B. AH 



OBC



.

C. 2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC . D. OA BC .

Lời giải
Chọn B

Tác giả: Lê Thị Thu Thủy; Fb: Thủy Lê

Ký hiệu các điểm như hình vẽ.

+) Ta có:





OA OB

OA OBC

OA OC

 

 



 

+) Ta lại có:

BC OH

BC AH

BC OA

 

 



  , chứng minh tương tự ta cũng có AC BH. Vậy H là

trực tâm tam giác ABC .

+) Do BC



AOH



nên BC OM . Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OAM ,

OBC , ta được: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

OH OA OM OA OB OC .

Vậy đáp án B sai.

Câu 20. [1H3-3.2-3] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng
cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính sin

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

A. 
15

5 . B.

3 . C.

3 . D.

13
5 .
Lời giải

Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương
Chọn A

Gọi H là trung điểm của SB thì AH SB.



SAB

 

 ABCD





SAB

 

 ABCD



AB và BCAB nên BC 



SAB



 BCAH





AH SBC

   AH d A SBC





Gọi  là góc giữa đường thẳng DM và mặt phẳng



SBC















sin d D SBC d A SBC AH

DM DM DM



   

Ta có

2
2

3 5

2 2 2

a a a

AH  DM  a   

 

3 15
sin

5
5
AH
DM


   

Câu 21. [1H3-3.3-1] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều
cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

A. 30. B. 60. C. 45. D. 90.

Lời giải

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Gọi O trọng tâm của tam giác đều ABC. Do S ABC. là hình chóp tam giác đều nên





SO ABC .





SO ABC  CO là hình chiếu của SC trên



ABC







 

, , .

SC ABC SC OC

   

   

 

SCO

 vuông tại O

  

90 , .

SCO SC OC SCO

     

 

Đặt ABSO a . Gọi M là trung điểm ABthì

3
2

a
CM 

2 2. 3 3

3 3 2 3

a a

CO CM  

Từ đó suy ra

 

tan 3 60

3
3
SO a
SCO SCO
OC a

    







, 60 .

SC ABC

 

   

 

Vậy góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60.

Câu 22. [1H3-3.3-1] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD
là hình vng cạnh a. Cạnh bên SA vng góc với



ABCD



. Góc giữa cạnh SC và mặt

phẳng



SAD



là góc nào sau đây?

A. SCA . B. CSA . C. SCD . D. CSD .

Lời giải

Tác giả:Trần Đức Phương; Fb:Phuong Tran Duc
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn
Chọn D

Ta có: SC



SAD

  

 S (1)
Mặt khác:

 





CD AD

CD SA CD SAD

AD SA A




  

  

, tức là D là hình chiếu vng góc của C lên



SAD



(2)

Từ (1), (2) suy ra SD là hình chiếu vng góc của SC lên



SAD



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 23. [1H3-3.3-1] (SỞ LÀO CAI 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
tâm O . Hai mặt phẳng



SAC





SBD



cùng vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và

mặt phẳng



ABCD



là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?

A.



SB SO,



. B.



SB BD,



. C.



SB SA,



. D.



SO BD,



Lời giải

Tác giả: Trần Như Tú; Fb: Tú Tran.
Chọn B

Ta có



SAC

 

, SBD



cùng vng góc với



ABCD



và



SAC

 

 SBD



SO.

Suy ra



SO







ABCD



. Do đó BO là hình chiếu vng góc của BS trên mặt phẳng



ABCD



Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



ABCD



là góc giữa đường thẳng SB và BD.

Câu 24. [1H3-3.3-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi
tâm O , SO vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng
đáy:

A.  SDA. B.  SDO. C.  SAD. D.  ASD.
Lời giải

Tác giả: Trần Tiến Đạt ; Fb: Tien Dat Tran

Chọn B

S

A

B C

D

O

Ta có : SO



ABCD



nên OD là hình chiếu vơng góc của SD trên mặt phẳng



ABCD



Suy ra :









SD ABCD;





SD OD ;



SDO

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 25. [1H3-3.3-2] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp đều .S ABCD có

SA a , AB a . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của , ,SA SB SC SD . Tính cosin,

của góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng



MQP



A. 
2

2 . B.

2 . C.

2 . D.

15
6 .
Lời giải

Tác giả: Đỗ Phúc Thịnh; Fb: Đỗ Phúc Thịnh
Chọn A

Gọi O là tâm hình vng ABCD . Khi đó SO



ABCD



Mặt phẳng



MQP



cũng là mặt phẳng



MNPQ



Vì hai mặt phẳng



MNPQ



và



ABCD



song song với nhau nên góc giữa đường thẳng DN

và mặt phẳng



MNPQ



bằng góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng



ABCD



Trong mặt phẳng



SBD



gọi H là hình chiếu vng góc của N lên BD .

Khi đó góc giữa DN và



ABCD



là góc NDH .

Ta có:





2
2

2 2 5 2 3 2

2 2

a

SO SB  BO  a     a

 

 

3 2

2 4

SO

NH   a

;

3 3 3 2

. 2

4 4 4

DH  BD a  a

Ta suy ra tam giác NDH vuông cân tại H nên góc NDH 450.

Vậy

 2

cos

NDH 

Câu 26. [1H3-3.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam
giác vuông cân tại B , AB= . SA vng góc với mặt phẳng a

(

ABC

)

và SA= . Gọi a là góca

giữa SB và mặt phẳng

(

SAC

)

. Tính a .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tác giả: Nguyễn Thị Vân ; Fb: Nguyễn Thị Vân

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC . Do tam giác ABC vuông cân tại B nên BH ^AC.

Ta lại có BH ^SA (doSA^

(

ABC

)

) nên BH ^

(

SAC

)

. Suy ra H là hình chiếu của B trên

mặt phẳng

(

SAC

)

. Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

(

SAC

)

là góc a =·BSH.

Tam giác ABC có

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a

AC =BA +BC = BA = a Þ AC=a Þ BH=

Tam giác SAB có SB2=SA2+AB2=a2+a2=2a2Þ SB=a 2.

Tam giác SHB có

2
1
2

sin 30

2
2
a
BH

SB a

a = = = Þ a = °

Câu 27. [1H3-3.3-2] (Nguyễn Khuyến) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, BC a 3,AC2a . Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA a 3. Góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .

Lời giải

Tác giả:Trần Thanh Hà ; Fb: Hà Trần

Chọn C

2a a 3

a 3
S

+ Ta có:



SB ABC, ( )

 

 SB BA,



SBA  (Vì AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng



ABC



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

+ Tính: tan

SA

AB.

+ Tính:









2
2

2 2 2 3 2

     

AB AC BC a a a a

Suy ra:

tan 3  60

SA a   

AB a .

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 .

Câu 28. [1H3-3.3-2] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vng
cạnh a , SA



ABCD



và SA a 6. Gọi  là góc giữa SC và



SAB



. Giá trị tan bằng

A. 
5

5 . B.

7 . C.

7 . D.

1
5 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb:Nguyễn Loan.
GV phản biện: Phan Thị Hồng Cẩm; Fb: lop toan co cam.

Chọn B.

Vì SA



ABCD



 SABC. Mặt khác ABCD là hình vng nên BCAB



SAB



BC

   hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng



SAB



là SB .

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)là góc BSC .

Vậy







2 2 2

2
7
tan tan

7
6

BC BC a

BSC

SB SA AB a a

     

 

Câu 29. [1H3-3.3-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh
đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2. Độ lớn góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng

A. 45. B. 75. C. 30. D. 60.

Lời giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hình chóp .S ABCD là hình chóp đều nên SO



ABCD



suy ra AO là hình chiếu của AS

trên mặt phẳng



ABCD











SA ABCD,





SA AO ;



SAO

  

Tứ giác ABCD là hình vng cạnh bằng a suy ra

1 2

2 2

a

AO AC

Trong tam giác vuông SOA :

 1

cos

AO
SAO

SA

  

60
SAO

  .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 60.

Câu 30. [1H3-3.3-2] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam
giác đều cạnh a, BB a 6. Hình chiếu vng góc H của A trên mặt phẳng



A B C   trùng



với trọng tâm của tam giác A B C   (tham khảo hình vẽ). Cơsin của góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng

A. 
15

15 . B.

6 . C.

3 . D.

2
6 .
Lời giải

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Gọi M là trung điểm của B C . Ta có:

2 3

3 3

a

A H  AM 

; AABBa 6.





AH  A B C    A H

là hình chiếu vng góc của AA lên mặt phẳng



A B C   .



Vậy ·AA H là góc giữa AA và mặt phẳng



A B C   .



Tam giác AA H  vuông tại H

3 1 2

cos .

3 6

6 6

a
A H

AA a

 

    

 .

Vậy cơsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
2
6 .

Câu 31. [1H3-3.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện OABC có OA OB OC 
và đơi một vng góc. Tan của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng



ABC



bằng

A. 2 . B. 2 . C. 1. D.

2 .

Lời giải

Tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai

Chọn D

Theo bài ra tứ diện OABC có OA OB OC  và đơi một vng góc nên đáy ABC là tam giác

đều và hình chiếu vng góc của O lên



ABC



trùng với trọng tâm G của ABC.

Do đó OG



ABC







OA ABC;





OAG .

Giả sử OA OB OC a    AB AC BC a   2.

Xét tam giác OBC vuông:

2 2

BC a

OM  

(tính chất đường trung tuyến)





tan 2 2

2a 2

OA OB OM a

OA OBC OA OM OAM

OA OC OA

 

       



  .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 32. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA



ABCD



và SA a 6.
Gọi  là góc giữa SC và



SAB



,  là góc giữa AC và



SBC



. Giá trị tansin bằng?

A.

1 7

7


. B.

1 19
7



. C.

7 21
7


. D.

1 20
7


.

Câu 33. Cho hình chóp .S ABCD đáy là hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA AB a  .
Sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng



SBD



bằng

A. 
1

4 . B.

3 . C.

3 . D.

2
3 .
Ghi nhớ:

Nếu đường thẳng a khơng vng góc với

 

P thì góc giữa đường thẳng a và

 

P là góc giữa
a và hình chiếu a của a trên

 

P .

P a'

a

Câu 34. [1H3-3.3-2] (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh
bên bằng 2a . Cơsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng

A. 
1

2 B.

2
.

2 C.

14
.

4 D.

2
.
4

Lời giải

Tác giả: Đỗ Thị Nhàn Fb: DoNhan

Chọn D

Vì .S ABC là chóp đều nên D ABC là hình vng cạnh D a, SH (ABCD).

Góc tạo bởi canh bên SA và mặt đáy ( ABCD ) là góc SAH . Ta có:



2
2
2

cos .

2 4

a
AH
SAH

SA a

  

Câu 35. [1H3-3.3-2] ( Sở Phú Thọ) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     . Góc giữa đường thẳng

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

A. 60 . B. 90 . C. 30 . D . 45 .
Lời giải

Tácgiả:Lê Thị Anh; Fb:Lan Anh Le 
Chọn D

Ta có BB 



ABCD



 B là hình chiếu vng góc của B trên mặt phẳng



ABCD



Suy ra hình chiếu của AB trên mặt phẳng



ABCD



là AB.







AB, ABCD





AB AB,



B AB 45

    

Câu 36. [1H3-3.3-2] (Chun-Thái-Ngun-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình chóp .S ABCD
có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Tam giác SAB cân tại S có SA SB 2a nằm trong

mặt phẳng vng góc với đáy ABCD . Gọi  là góc giữa SD và mặt phẳng đáy



ABCD



.
Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. tan  3. B.

3
cot



. C.

3
tan



. D. cot 2 3.
Lời giải

Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê Phạm 
Chọn A

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì tam giác SAB cân tại S nên SHAB mà



SAB

 

 ABCD



và



SAB

 

 ABCD



AB





SH ABCD

 

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Suy ra: HD là hình chiếu của SD trên mặt phẳng



ABCD









·SD ABCD;



SDH· 

   .

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông SAH và ADH , ta có:

2 2 4 2 15

4 2

a a

SH SA  AH  a  

2 2 2 5

4 2

a a

DH AD AH  a  
.

tan SH 3

DH



  

Câu 37. [1H3-3.3-2] (Sở Phú Thọ) Cho hình lập phương ABCD A B C D . Góc giữa đường thẳng. ' ' ' '

AB và mặt phẳng



ABCD



bằng

A. 60 . B. 90. C. 30. D. 45.

Lời giải

Tác giả: Phạm Hoài Trung; Fb: Phạm Hồi Trung 
Chọn D

Ta có: BB'



ABCD



nên Blà hình chiếu của B' lên mặt phẳng



ABCD



.

A là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng



ABCD



.

Suy ra: ABlà hình chiếu của AB'lên mặt phẳng



ABCD



.

Do đó góc giữa đường thẳng AB'và mặt phẳng



ABCD



là BAB' 45 .

Câu 38. [1H3-3.3-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chun KHTN lần2) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là
hình vng cạnh a, SA a 2 và vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SC với
mặt phẳng đáy bằng

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lờigiải

Tácgiả: DươngChiến;Fb: DuongChien
Giáo viên phản biện:Nguyễn Lệ Hoài;Fb:Hoài Lệ
Chọn A

DoSA



ABCD



 hình chiếu vng góc của SC lên



ABCD



là AC







SC ABCD,





SC AC,



SCA .

  

Ta có SA AC a  2 SAC vuông cân tạiA



SC ABCD,





SCA 450.

Câu 39. [1H3-3.3-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho tứ diện ABCD có AB vng

góc với mặt phẳng (BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và )

6,
2

a
AB 

AC a

CD a . Gọi E là trung điểm của cạnh AC . Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng

A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .

Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn ; Fb: Lê Hoàn
Chọn B

Gọi H là trung điểm của cạnh BC .

Ta có









/ /

AB BCD

EH BCD

AB EH





 




  EH HD và góc giữa hai đường thẳng AB và DE

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Lại có
CD BC
CD AC
CD AB


 


 .

Xét tam giác ECD vuông tại C , ED EC2CD2

2
2
2 6
2 2
a a
a
 
    
 
  .

Xét tam giác EHD vng tại H có 


cosHED EH
ED

6
1
4
2
6
2
a
a
 
 60
HED
   .

Câu 40. [1H3-3.3-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA2a, gọi M là trung điểm của SC.
Tính cơsin của góc  là góc giữa đường thẳng BM và (ABC).

A. 
7
cos .
14
 
B. 
2 7
cos .
7
 
C. 
21
cos .
7
 
D. 
5
cos .
7
 
Lời giải

Tác giả: Bùi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong 
Chọn C

Trong



SAC



kẻ MN/ /SA MN, AC N suy ra MN 



ABC



tại N.

Suy ra N là hình chiếu của M lên mp



ABC



Khi đó,



·BM ABC,









·BM BN,



MBN ·  .

Xét tam giác vng MNB có

3
,

a

MN a BN  7

2
a
BM
 
3 21
cos
7
7
BN
BM
   
.

Câu 41. [1H3-3.3-2] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hình chóp

S ABCD có đáy là hình vng cạnh a và SA



ABCD



6
3
a
SA 

. Gọi  là góc tạo bởi

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

A. 3 . B. 
1

3. C.

3 . D. 3.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa ; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn 
Chọn C

+ Vì SA



ABCD



nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng



ABCD



+ Nên  goc SC AC



;



SCA

+ Tính AC a 2 (đường chéo hình vng).

+ Suy ra

 

6
3
3

tan

3
2

a

  

.

Câu 42. [1H3-3.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.   có đáy

ABC là một tam giác vng cân tại B, AB a , BB'a 3. Góc giữa đường thẳng A ' B và

mặt phẳng



BCC B' '



bằng

A.30o. B.90o. C.60o. D.45o.

Lời giải

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ta có:





( )
( )
A B B C gt

A B BCC B
A B B B gt

   


   

 



  

 suy ra B B là hình chiếu vng góc của A B' lên mặt

phẳng



BCC B  . Khi đó





A B BCC B ;



 



A BB .

Xét A BB  vuông tại B, có

 3

tan

3
3

A B a

A BB

BB a

 

    

 A BB  300

  .

Câu 43. [1H3-3.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A,
BC SB a  . Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABC)

trùng với trung điểm của
BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC bằng)

A. 45o. B. 60 .0 C. 75 .0 D30 .0

Lời giải

Tác giả:Trần Xuân Trường; Fb: toanthaytruong 
Chọn B.

Gọi H là trung điểm của cạnh BC SH (ABC) AH là hình chiếu của SA lên mặt phẳng
(ABC)

suy ra góc giữaSA và mặt phẳng (ABC) là góc SAH .

2 2

BC a

AH  

(Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyển)
2

2 2 2 3

2 2

a a

SH  SB  BH  a    

  .

Tam giác SAH vng tại H do đó

 

3
2

tan SAH 3 SAH 60

o

a
SH

a
AH

    

Câu 44. [1H3-3.3-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho hình
lập phương ABCD A B C D.    . Gọi  là góc giữa đường thẳng A C' và mặt phẳng



ABC D' '



.
Khi đó

A. tan  3. B. tan 1. C.

1
tan

3
 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng 
Chọn D

Gọi I là trung điểm của A C' . Ta có: ACC A ABC D là các hình chữ nhật.' '; ' '

Nên AC A C BD cắt nhau tại I '; ' ; '  A C' 



ABC D' '



 .I

Gọi O là tâm của hình vng ADD A' '  A O' AD'.

 

Lại có: AB



ADD A' '



 A O' AB.

 

Từ

 

1 và

 

2 ta có A O' 



ABC D' '









A C ABC D' ; ' '



A IO'

 

Gọi cạnh hình lập phương là a .

Tam giác A IO' vng tại O có: A'O
2
2

a

;

1
' '

2 2

a
OI  D C 



2
'O 2

tan ' 2

2
a
A
A IO

a
OI

  

Câu 45. [1H3-3.3-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh
đều bằng a. Gọi M là điểm nằm trên đoạn SD sao cho SM 2MD. Giá trị tan của góc giữa
đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD là:)

A. 
3

3 B.

1
.

5 C.

5
.

5 D.

1
.
3

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thảo ; Fb: Trần Thảo

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Trong mặt phẳng (ABCD : ) ACBD

 

O  SO(ABCD)

Xét SAO vng tại Ocó:

2 2 2 2 2

2 2

a a

SO SA  AO  a    

  .

Kẻ MI BD tại I . Suy ra: MI SOP nên MI (ABCD).

Vậy góc giữa BM và mặt phẳng (ABCD là góc ·MBI .)

Ta có:

1 2

3 6

a
MI  SO

;

5 5 2

6 6

a
BI  BD

Xét MBI vng tại I ta có:

· 1

tan

5
MI
MBI

BI

 

Vậy giá trị tan của góc giữa BM và mặt phẳng (ABCD là )
1
5 .

Câu 46. [1H3-3.3-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam
giác vuông tại B , AC  , 2 BC  ,1 AA  . Tính góc giữa AB và 1



BCC B 



A. 45o. B. 90o. C. 30o. D. 60o.

Lời giải

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Ta có ABBC, ABBB  AB



BCC B 



suy ra AB có hình chiếu trên



BCC B 



là
BB. Vậy



AB BCC B,



 







AB BB, 



AB B .

Ta có AB AC2  BC2  2212  3, BBAA1



tanAB B AB 3

BB



  

  AB B 60o.

Câu 47. [1H3-3.3-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam
giác đều cạnh bằng 2 , AA  2. Tính góc giữa AB và



BCC B 



A. 45o. B. 90o. C. 30o. D. 60o.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An 
Chọn A

Gọi H là trung điểm của cạnh BC .

Ta có AH BC, AH BB  AH 



BCC B 



suy ra AB có hình chiếu trên



BCC B 



là
HB. Vậy



AB BCC B,



 







AB HB, 



AB H

Ta có AH  3, AB AB2BB2  222 6

 3 1

sin

6 2

AH
AB H

AB


   

 AB H 45o

  .

Câu 48. [1H3-3.3-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam
giác vuông cân tại C , mặt bên ABB A  là hình vng, BC  . Tính góc giữa AB và2



BCC B 



A. 45o. B. 90o. C. 30o. D. 60o.

Lời giải

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ta có ACBC, AC BB  AC 



BCC B 



suy ra AB có hình chiếu trên



BCC B 



là
CB. Vậy



AB BCC B,



 







AB CB, 



AB C

Ta có AC BC  , 2 AB 2 2  AB4

 2 1

sin

4 2

AC
AB C

AB



   

  AB C 30o.

Câu 49. [1H3-3.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho hình chóp
.

S ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , ABC 60 , SA a 3 và SA



ABCD



. Tính góc
giữa SA và mp SBD





A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai 
Chọn C

Ta có





 

 



 

BD AC

BD SAC

BD SA mà BD



SBD







SAC

 

 SBD



và



SAC

 

 SBD



SO

suy ra



SA SBD,









SA SO,



ASO vì tam giác SAO vng tại A.

Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a

1
2

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Xét tam giác vng SAO ta có:

 1

tan

3
OA

ASO

SA  ASO30

Vậy



SA SBD,





30.

Câu 50. [1H3-3.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) (THPT QUỐC
GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SA 2a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .

Lời giải
Chọn A

Do SAABCD nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA.

Ta có SA 2a, AC 2a


tan

 SCASA

AC 1 SCA 45.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45 .

Câu 51. [1H3-3.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) (Tham khảo 2018)
Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của SD

(tham khảo hình vẽ bên). Tan của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng



ABCD



bằng

A. 
2

2 . B.

3 . C.

3 . D.

1
3 .

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Gọi O là tâm của hình vng. Ta có SO



ABCD



và

2 2

  a a

SO a

Gọi M là trung điểm của OD ta có MH/ /SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng



ABCD



và

1 2

2 4

 a

MH SO

Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD là ) MBH.

Khi đó ta có


2
1
4
tan

3
3 2

  

a
MH

MBH

BH a

Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng



ABCD



bằng

1
3

Câu 52. [1H3-3.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) (THPT Chuyên 
-ĐH Vinh - Lần 3 - 2018)Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh

, 3

 

AB a AD a. Cạnh bên SA 2a và vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và

mặt phẳng



SAC



bằng

A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 75 .

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Vẽ BH AC BH 



SAC



Suy ra góc giữa SB và mặt phẳng



SAC



là BSH

. . 3 3

2 2

BA BC a a a
BH

AC a

2 2 3

  

SB SA AB a

 1

sin

2
BH 
BSH

SB  BSH 30.

Câu 53. [1H3-3.3-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a. Điểm M

thuộc tia DD thỏa măn DM a 6. Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng



ABCD



là

A. 30 B. 45 . C. 75 D. 60 .

Lời giải

Tác giả: Trần Phương ; Fb: Trần Phương
Chọn D

Ta có BM cắt mặt phẳng



ABCD



tại B.





DM  ABCD

tại D.

Suy ra



BM,



ABCD







BM BD,



MBD .
Xét tam giác DBM vng tại D, ta có

 6

tan 3

DM a

MBD

BD a

  

 MBD   60



BM ABCD  ,





60 .

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Câu 54. [1H3-3.3-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hình chóp tam giác .S ABC có mặt phẳng
đáy là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với đáy, biết AB a SA AC a ,   2. Góc giữa

đường thẳng SA với mặt phẳng



SBC



bằng

A. 30 . B. 90. C. 45. D. 60.

Lời giải

Tác giả: Đinh Minh Thắng ; Fb: Win Đinh 
Chọn A

Ta có SABC vì



SA



ABC



.

Kẻ AH BC H



BC



, khi đó ta có



SAH



BC



SAH

 

SBC



 

và



SAH

 

 SBC



SH
SH

 là hình chiếu của SA lên



SBC



.

Do đó



SA SBC,









SA SH,



ASH  .
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có

2 2

AB AC
AH

AB AC









2
2

. 2 2

3
2

a a a

a a

 



Xét tam giác SAH vuông tại A, ta có

2
1
3
tan

2 3

a
AH

SA a

   

30
   .

Câu 55. [1H3-3.3-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình lăng
trụ đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm AB và  là góc tạo bởi

đường thẳng MC và mặt phẳng



ABC



. Khi đó tan bằng

A. 
2 7

7 . B.

2 . C.

7 . D.

2 3
3 .

Lời giải

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ta có: CC



ABC



 MC là hình chiếu của đường thẳng MC trên



ABC



.

Suy ra:



MC ABC;









MC MC;



C MC   90 .

Trong tam giác C MC vuông tại C có:

 2 3

tan tan

3
3

C C a

CMC

CM a

     

 

 

  .

Câu 56. [1H3-3.3-3] (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho hình chóp S ABCD. có SA vng góc với mặt
phẳng đáy, ABCD là hình chữ nhật có AD3 , a AC5a, góc giữa hai mặt phẳng



SCD



và



ABCD



bằng 45 . Khi đó cơsin của góc giữa đường thẳng 0 SD và mặt phẳng



SBC



bằng

A. 
7

5 . B.

5 . C.

2 2

5 . D.

17
5 .
Lời giải

Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc 
Phản biện: Huong Nguyen 
Chọn D

Góc giữa hai mặt phẳng



SCD



và



ABCD



bằng SDA  450.

Gọi E là hình chiếu vng góc của A lên SB









2. 2 12

SA AB a

AE SBC d A SBC AE

SA AB

     

 .

(với AB AC2 AD2 4a).

Gọi H là hình chiếu vng góc của D lên



SBC



</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>











0
12

, , 5 2 2

sin

.tan 45 3 2 5
a

d D SBC d A SBC

DH AE

DSH

SD SD SD AD a

     

 2  17

cos 1 sin

DSH DSH

   

Câu 57. [1H3-3.3-3] (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình chóp
.

S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Hai mặt phẳng



SAB



và



SAC



cùng vng
góc với đáy



ABCD



và SA2a. Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



SAD



A. 
1

2 . B. 1. C.

5 . D.

2 5
5 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Chọn D



















 







SAB ABCD

SAC ABCD SA ABCD

SAB SAC SA




  


 
 .













AB AD
AB SAD

AB SA SA ABCD




 


 

 .

Do hình chiếu của SB lên mặt phẳng



SAD



là SA nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



SAD



là góc giữa hai đường thẳng SB và SA .

2 2 5

SB SA AB a .

 2 5

cos
5
SA
BSA
SB
 
.

Vậy cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



SAD



là
2 5

5 .

Câu 58. [1H3-3.3-3] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho hình chóp tứ

giác đều, biết hai mặt bên đối diện tạo với nhau góc 60, tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của
hình chóp.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Lời giải

Tác giả: Lê Vũ; Fb: Lê Vũ 
Chọn C

Gọi  là đường thẳng đi qua điểm S và song song AD và BC 



SAD

 

 SBC



.
Gọi H và K lần lượt là trung điểm cạnh BC và AD .

Do SBC và SAD cân đỉnh S nên:





 









 ,



SH BC SH

SBC SAD SH SK

SK AD SK

   

   



     .

Suy ra HSK   hoặc 60 HSK 180  60 120 .

Ta lại có SBCSAD SK SH  SHK cân tại S.

Từ đó suy ra  SHK   hoặc  60 SHK   .30

Vậy



 







SBC , ABCD



SHK 60

hoặc



 







SBC , ABCD



SHK 30

Câu 59. [1H3-3.3-3] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng cạnh
a . Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, , H K lần lượt là trung điểm
của AB AD . Tính sin của góc tạo bởi SA và ,



SHK



A. 
2

4 . B.

2 . C.

4 . D.

7
4 .
Lời giải

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Ta có



SAB

 

 ABCD



;



SAB

 

 ABCD



AB ; SH AB(vì tam giác SAB đều) nên





SH  ABCD
.

Vì HK // BD nên HK AC .

Lại có SH 



ABCD







SHK

 

 ABCD



và



SHK

 

 ABCD



HK nên AC



SHK



.

Vậy hình chiếu của A trên



SHK



là I 



SA SHK;





ASI.

Tam giác SAI vng tại I(vì AI 



SHK



và SA a ;

2
4
a
AI 

nên

 2

sin

4
AI
ASI

SA

 

Câu 60. [1H3-3.3-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     . Gọi M , N

lần lượt trung điểm của cạnh AC và B C . Gọi  là góc hợp giữa đường thẳng MN và mặt

phẳng



A B C D    . Tính giá trị của sin .



A.

5
sin

5
 

. B.

2
sin

5
 

. C.

2
sin

2
 

. D.

1
sin

2
 

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Mai. Facebook: Mai Nguyen
Chọn B

Đặt AB a  . Gọi 0 P là trung điểm của cạnh A C  MP



A B C D   



.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Xét tam giác vng MNP ta có

2 2 5

2
a
MN  MP PN 

.
 2
sin sin
5 5
2
MP a
MNP
MN a

    
.

Câu 61. [1H3-3.3-3] (Chun KHTN) Cho hình chóp tam giác .S ABC có đáy ABC là một tam giác
vuông cân tại B với trọng tâm G, cạnh bên SA tạo với đáy



ABC



một góc 300. Biết hai mặt

phẳng



SBG



và



SCG



cùng vng góc với mặt phẳng



ABC



. Tính cơsin của góc giữa hai
đường thẳng SA và BC .

A. 
30

20 . B.

5 . C.

3 15

20 . D.

15
10 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến 
Chọn D

Vì hai mặt phẳng



SBG



và



SCG



cùng vng góc với

mặt phẳng



ABC



nên SG 



ABC



do đó góc giữa SA

tạo với đáy



ABC



là góc ·SAG nên ·SAG 300.

Gọi D sao cho ABCD là hình bình hành do ABC vng
cân tại B nên ABCD là hình vng. Khi đó góc giữa SA
và BC là góc giữa SA và AD .

Giả sử hình vng ABCD có cạnh bằng a. Vì G là

trọng tâm tam giác ABC nên

2 2

2 2 5

3 3 3

a

AG CG  CM  CB AM 

;

2 2 2

3 3

a

DG DB

. Tam giác SAG vuông tại G có

0 15
.tan 30

a

SG AG 

và
0
2 15
9
cos 30
AG a

SA  

. Tam giác SGD vng tại G ta có

2 2 2 29 2
27

SD SG GD  a

. Tam

giác SAD có

· 2 2 2 15

cos

2 . 10

SA AD SD

SAD
SA AD
 
 
.
Vậy

· · 15

cos , cos .

SA BC SAD

 

 

 

 

Câu 62. [1H3-3.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật AB 2a, AD2a, SA vng góc với đáy và SA 2a. Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của SB và AD( tham khảo hình vẽ). Cơsin góc giữa đường thẳng MN và mặt

phẳng



SAC



bằng

A. 
1

3 . B.

3 . C.

3 . D.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Lời giải

Tác giả: Mai Vĩnh Phú ; Fb: Mai Vĩnh Phú
Chọn B

Ta xét hình chóp S ABCD. trong hệ tọa độ Oxyz sao cho

Gốc toạ độ tại A O . Các tia Ox Oy Oz lần lượt trùng với các tia , , AB, AD, AS và cho a 1

ta có tọa độ điểm là A



0;0;0



, D



0; 2;0



, B



2 ;0;0



, S



0;0; 2



, C



2 ;2;0



2 2

;0;

2 2

M 

 , N



0;1;0



. 
Do vậy





2 2 2

;1; 1; 2 ;1

2 2 2

MN     

 

 



và SA 



0;0; 2





, 



2 ;2; 2





</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>









, 2 2 ; 2;0 2 2 ; 1;0

 

               SA SC    
.

Khi đó đường thẳng MN có véc-tơ chỉ phương là 



1; 2 ;1





u

Và mặt phẳng



SAC



có véc-tơ pháp tuyến là n 



2 ; 1;0





Khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định bởi công thức













. 2 2 0 6

sin , cos ,

3
1 2 1. 2 1 0
.

 

   

   

 
 

 

u n

MN SAC u n

u n













6 3

cos , 1 sin , 1

9 3

MN SAC MN SAC

     

Câu 63. [1H3-3.3-3] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho hình chóp S ABCD. có
đáy ABCD là hình chữ nhật AB a BC , 2 ,a SA a và SA vng góc với mặt phẳng đáy. Cơ
sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng

A.
2

5 B.

21
.

5 C.

3
.

2 D.

1
.
2

Lời giải

Chọn B

Kẻ DEAC E AC,  ta có DESA do đó DE(SAC). Suy ra góc giữa đường thẳng SD

và mặt phẳng (SAC) bằng góc DSE .

Ta có

2 21

, 5, .

5 5

a
ED SD a SE

Tam giác DSEvuông tại E nên

 21

cos .

SE
DSE

SD

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Câu 64. [1H3-3.3-4] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho điểm O ở ngồi mặt phẳng

 

 .Trong mặt

phẳng

 

 có đường thẳng d di động qua điểm A cố định. Gọi H M, lần lượt là hình chiếu

của O trên mặt phẳng

 

 và đường thẳng d . Độ dài đoạn OM lớn nhất khi

A.Đường thẳng d trùng với HA B.Đường thẳng d tạo với HAmột góc 450

C.Đường thẳng d tạo với HAmột góc
0

60 D. Đường thẳng d vng góc với HA

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hường;Fb: Huong Nguyen

Chọn D

M là hình chiếu của O

trên d . Suy ra OM MA

Xét tam giácOMAvuông tại M . Ta có OM OA

Suy ra OM lớn nhất khi và chỉ khi OM OA A M  OAd

 

Mặt khác OH 

 

  OH d

 

Từ

   

1 , 2  d HA.

Câu 65. [1H3-3.3-4] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC

là tam giác vng cân tại A , hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng



ABC



là một
điểm nằm trên đoạn thẳng BC . Mặt phẳng



SAB



tạo với



SBC



một góc 60 và mặt phẳng



SAC



tạo với



SBC



một góc  thỏa mãn

2
cos

4
 

. Gọi  là góc tạo bởi SA và mặt
phẳng



ABC



, tính tan .

A. 
3

3 B.

2 C.

2 D. 3

Lời giải

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu của S xuống BC . Gọi M N lần lượt là hình ,

chiếu của H lên các cạnh AB AC .,

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI BC

 

1 , mặt khác AI SH (vì SH 



ABC



 

2 .

Từ

 

1 và

 

2 suy ra AI 



SBC



hay hình chiếu của A xuống



SBC



chính là I .

Hình chiếu của tam giác SAB lên mặt phẳng



SBC



chính là tam giác SBI . Theo giả thiết góc 
giữa



SAB



và



SBC



bằng 60 nên:

1 1 1 1

.cos 60 . . .

2 2 2 2 2

SBI SAB

BC SH AB

S S SH SM AB

SM BC

        

 2 

sin 45

SMH SMH

    

Suy ra tam giác SHM vuông cân tại H hay SH MH .

Tương tự, hình chiếu của tam giác SAC lên



SBC



chính là tam giác SCI . Theo giả thiết góc 
giữa



SBC



và



SAC



là  nên ta có:

1 1 2 1

.cos . . .

2 2 2 4 2

SCI AC

BC SH

S S SH SN AC

SN


      

 1 

sin 30 . 3

2 tan 30

SH

SNH SNH HN SH

       

 .

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên HA HM2HN2  SH23SH2 2SH.

Góc giữa SA với mặt đáy chính là SAH . Xét tam giác vuông SHA ,

 1

tan

2S 2

SH SH

SAH

AH H

  

Vậy

1
tan

2
 

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Câu 66. [1H3-3.3-4] (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
 60

ABC . Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt phẳng



ABCD



trùng với trọng tâm

của tam giác ABC , gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng



SCD



, tính sin biết
rằng SB a .

A. sin

3
2
 

. B. sin
1
4
 

. C. sin

1
2
 

. D. sin

2
2
 

.
Lời giải

Tác giả: Mai Tiến Linh ; Fb: Mai Tiến Linh 
Chọn D

Cách 1:

● Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC . Dựng đường thẳng d qua O và d SB// , d cắt SD

tại K. Khi đó góc giữa SB và



SCD



chính là góc giữa OK và



SCD



.
● Vì SO(ABCD) SO CD .

Ta lại có : ABC đều ( ABC cân tại B và BAC 60).
 AB CO  CD CO

( ) ( ) ( )

 CD SCO  SCD  SCO .

Gọi H là hình chiếu của O trên SC , khi đó ta có:





 
 

 
OH SC
OH SCD

OH CD . Do đó góc giữa SB và mặt phẳng



SCD



là : OKH  .

Ta có :



sinsinOKH OH

OK .

● Tứ diện .S ABC là tứ diện đều cạnh a nên ta tính được :

3
3
a
OC
,
6
3
a
SO 2
3
 OH a

Vì

2
//

3
 OK DO 

OK SB

SB DB

2 2

3 3

 OK  SB a
.

Vậy :

2
sin

2
OH 

OK .

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Trước hết ta chứng minh được sin ( ;

))
(SCD)) d B SC( ,( D

SB

SB (như hình trên).

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó ta có CO CD .

Dựng OH SC suy ra OH (SCD). Ta tính được

3 6 2

3 3 3

a a  a

OC SO OH

Khi đó

3 3 3

( , ( )) ( , ( )) a 2 a

2 2

   

d B SCD d O SCD OH

Vậy

2
2
2
sin ( ;( ))

 

SB SCD
a

a .

Hết.

Câu 67. [1H3-3.3-4] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại A, hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng



ABC



là một điểm nằm trên
đoạn thẳng BC . Mặt phẳng



SAB



tạo với



SBC



một góc 60 và mặt phẳng



SAC



tạo với



SBC



một góc  thỏa mãn

2
cos

4
 

. Gọi  là góc tạo bởi SA và mặt phẳng



ABC



, tính
tan .

A. 
3

3 B.

2 C.

2 D. 3

Lời giải

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu của S xuống BC . Gọi M N, lần lượt là hình

chiếu của H lên các cạnh AB AC, .

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI BC

 

1 , mặt khác AI SH (vì SH 



ABC



 

2 .

Từ

 

1 và

 

2 suy ra AI 



SBC



hay hình chiếu của A xuống



SBC



chính là I .

Hình chiếu của tam giác SAB lên mặt phẳng



SBC



chính là tam giác SBI . Theo giả thiết góc 
giữa



SAB



và



SBC



bằng 60 nên:

1 1 1 1

.cos 60 . . .

2 2 2 2 2

SBI SAB

BC SH AB

S S SH SM AB

SM BC

        

 2 

sin 45

SMH SMH

    

Suy ra tam giác SHM vuông cân tại H hay SH MH .

Tương tự, hình chiếu của tam giác SAC lên



SBC



chính là tam giác SCI . Theo giả thiết góc 
giữa



SBC



và



SAC



là  nên ta có:

1 1 2 1

.cos . . .

2 2 2 4 2

SCI AC

BC SH

S S SH SN AC

SN


      

 1 

sin 30 . 3

2 tan 30

SH

SNH SNH HN SH

       

 .

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên HA HM2HN2  SH23SH2 2SH.

Góc giữa SA với mặt đáy chính là SAH . Xét tam giác vuông SHA ,

 1

tan

2S 2

SH SH

SAH

AH H

  

Vậy

1
tan

2
 

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Câu 68. [1H3-3.3-4] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hình
hộp ABCD A B C D.     có , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh A B  , A D , C D  . Góc

giữa đường thẳng CP và mặt phẳng



DMN



bằng

A. 60. B. 30. C. 0 . D. 45.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm 
Chọn C

Xét tam giác A B D   có:

M là trung điểm của A B  và N là trung điểm của A D 

nên MN là đường trung bình của tam giác A B D  

Suy ra MN // B D  , mà B D  // BD nên MN // BD M N B D, , , đồng phẳng.

Ta có

//=

//=
//=

MP B C

MP BC

BC B C

 





 

 nên tứ giác MPCB là hình bình hành CP BM // .

Ta có













// //

CP BM

CP BMND CP MND

BM BMND




 





 .

Do đó



CP MND ,





0.

Câu 69. [1H3-3.4-3] (Chuyên KHTN) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C. ' ' ' có cạnh đáy bằng a, cạnh
bên a 2. Gọi M là trung điểm AB. Tính diện tích thiết diện cắt bởi lăng trụ đã cho bởi mặt

phẳng



A C M' '



A.

2
7 2

16 a . B.

2
3 35

16 a . C.

2
3 2

4 a . D.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến. 
Chọn B

Vì ABC A B C. ' ' ' là lăng trụ đều nên AA'



ABC



và

ABC

 đều cạnh a.

Gọi N là trung điểm BC suy ra MN AC A C// //   và

1 1

2 2

MN  AC  a

Vì MN A C//   nên A C M N', ', , đồng phẳng do đó thiết

diện cắt bởi lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng



A C M' '



là
hình thang cân NMA C .' '

Lại có

2 2 3

' ' '

C N A M  A A AM  a

nên đường

cao của hình thang cân NMA C là ' '

2 ' ' 35

2 4

A C MN

h A M      a

 

Do đó diện tích thiết diện là





1 3 35

' ' .

2 16

S  A C MN h a

Câu 70. [1H3-3.4-4] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là
hình vng tâm

O

, cạnh bằng

a

. Cạnh

SA

vng góc với mặt phẳng

(

ABCD

)

và

3 SA a



. Gọi

( )



là mặt phẳng qua

B

và vng góc với

SC

. Tính diện tích thiết diện tạo

bởi hình chóp và mặt phẳng

( )



A.

15

10 a

. B.

15

5 a

. C.

15

20 a

. D.

5

10 a

Lời giải
Chọn A

Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Dung; Fb: Dung Nguyễn

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Ta có

BD

AC

BD

SC

BD

SA















.

Mà

BE



SC

nên mặt phẳng

( ) (

 

BDE

)

.

Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi

( )



là tam giác

BDE

(

)

(

)

BD

SAC

BD OE

OE

SAC















.

Suy ra

1 .

2

BDE

S





BD OE

Mặt khác

BD a



2

( đường chéo hình vng cạnh

a

) nên

SC a



5

(định lý Pitago trong
tam giác

SAC

Ta có



OEC





SAC g g

(



)

nên

2

3. .

2

6

5 2 5

a

OE

OC

SA OC

a

OE

SA



SC





SC



a



.

Vậy

1

6

15 .

2.

2 2 5

10

BDE

a

S





BD OE



a



Câu 71. [1H3-3.9-1] (Văn Giang Hưng Yên) Cho hình chóp S ABCD. có SA vng góc với đáy. Góc
giữa SC và mặt phẳng đáy



ABCD



là

A. SCA . B. SAC . C. SDA . D. SBA.

Lời giải

Tác giả: Lê Xuân Đức; Fb: Lê Xuân Đức
Chọn A.

Vì hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy



ABCD



là AC nên góc giữa SC và mặt phẳng đáy



ABCD



là góc SCA .

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Huyền; Fb: Huyen Nguyen
Chọn D

+) Ta có A B  là hình chiếu của AB lên mặt phẳng



A B C  









AB A B C,   





AB A B,  



  AB A  ( do góc AB A  là góc nhọn).

+) AA B  vng tại A, AAA B  a  AA B  vuông cân tại A  AB A 45 .

Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng



A B C   bằng 45 .



Câu 73. [1H3-3.9-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Cho hình chóp .S ABCD có đáy
ABCD là hình vng tâm O , cạnh a và SO



ABCD SA



, 2a 2

. Gọi M N lần lượt là,

trung điểm của SA BC . Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ,



ABCD



A. 6


. B. 3



. C. arctan 2 . D. 6


.
Lời giải

Tác giả: Đặng Mai Hương ; Fb: maihuongpla 
Chọn B

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Gọi H là trung điểm của AO . Ta có HM / /SO .

Mà SO



ABCD



 MH 



ABCD



 H là hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng



ABCD



. Suy ra HN là hình chiếu vng góc của MN trên mp



ABCD



Do đó



MN ABCD,









MN HN,



MNH.

1 2

2 2

a

OA AC

;

2 2

1 1

2 2

HM  SO SA  OA

2
2

1 15

2 2 2 2

a a

a

  

3 3

. 2

4 4

HC AC a

2 2 2 2. . . 450
HN HC NC  HC NC cos

2 2 2

9 1 3 2 1 5

2. . .

8 4 4 2 2 8

a a

a a a

    5

2 2
a
HN

 

Xét tam giác vng HMN , ta có 


tanMNH HM
HN



 0

2 2 3 60

5
2 2

a

MNH
a

   

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Gọi EANCD, suy ra E đối xứng với D qua C .

Ta có MN / /SE nên

























, SE, SE,OE

MN ABCD  ABCD  SEO

2 2
SO SA  OA

2 15

2 2

a a

a

  

Gọi K là trung điểm CD . Ta có

2 2

2 2 3 5.

2 2 2

a a a

OE OK KE      
   

 15 2  0

tan . 3 60

2 5

SO a

SEO SEO

OE a

    

</div>