Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 30
MƠN: TỐN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi HSG Tốn 9 –H. Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019)
ĐỀ BÀI

FF
IC
IA
L

Câu 1 (4,0 điểm).

1
1
a2 + 1
1
1) Tìm giá trị của a thỏa mãn A < . Biết A =
.
+
−
2
3
2 + 2 a 2 − 2 a 1− a
2) Cho số thực x thỏa mãn x 2 − 2019 x + 2 = 0 . Tính giá trị biểu thức P =

Câu 2 (4,0 điểm).
1) Giải phương trình:

x4 + 4
.
x2

2

O

x + 8 + 6 x −1 + x + 3 − 4 x −1 = 5 .
2

2













Ơ



N

1
1
1
1
2) Giải phương trình: 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 )2 .
x
x
x
x

Câu 3 (4,0 điểm).

H

1) Cho đường thẳng (d): y = kx + 3 (k là tham số).

N

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị

Y

của k.

U

b) Tìm giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) bằng 2.

Câu 4 (6,0điểm).

Q

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy .

M

1) Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ

KÈ

tia Ax vng góc với AB và vẽ tia By vng góc với AB. Gọi O là trung điểm của đoạn
·
·
thẳng AB và C là một điểm thuộc tia Ax. Vẽ tia Cz sao cho OCz
và tia Cz cắt By
= OCA

ẠY

tại D ( AC < BD ) . Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E.

D

a) Kẻ OH vng góc với CD. Chứng minh OC 2 .HD = OD 2 .HC .
b) Kẻ HK vng góc với AB. Chứng minh

HA2 KA EA
.

=
=
HB 2 KB EB

2) Cho AB và AC là hai tiếp tuyến của (O). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của
AB; AC. Trên đoạn thẳng EF lấy một điểm M bất kỳ. Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới (O).
Chứng minh rằng: MA = MT.

Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)

1


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu 5 (2,0điểm). Ba số thay đổi x, y, z > 1 thỏa mãn điều kiện
trị nhỏ nhất của biểu thức M =

x + y + z = xyz .

Hãy tính giá

y−2 z−2 x−2
+ 2 + 2 .
x2
y
z

----------------– Hết –---------------------

FF
IC
IA
L

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 30
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP 9
(Đề thi HSG Tốn 9 –H. Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019)
Nội dung
Điểm
1) Điều kiện: a ≥ 0; a ≠ 1
1
1
a2 + 1 1 − a + 1 + a a2 + 1
Ta có: A =
+
−
=
−
2
2 (1 − a )
1 − a2
2 + 2 a 2 − 2 a 1− a

1
a2 + 1 1 + a − a2 − 1 a − a2
a

.
−
=
=
=
2
2
2
1− a 1− a
1− a
1− a
1+ a

O

=

Ta có: A < 1 ⇔ a < 1 ⇔ a − 1 < 0 ⇔ 2 a − 1 < 0
1+ a

3

3(1 + a )

N

1+ a

3

3

1,5

1,0

(*)

N

H

Ơ

1
1
(4,0đ) Do a ≥ 0 nên 3(1 + a ) > 0 . Suy ra (*) ⇔ 2a − 1 < 0 ⇔ a < .
2
1
1
Kết hợp a ≥ 0; a ≠ 1, ta có A < ⇔ 0 ≤ a < .
3
2
2) Ta có:
x 4 + 4 ( x 2 + 2) 2 − (2 x ) 2 ( x 2 + 2 + 2 x)( x 2 + 2 − 2 x ) (2019 x + 2 x )(2019 x − 2 x )
=
=
=
x2
x2

x2
x2
2 2
2
2019 x − 4 x
=
= (2019 − 2)(2019 + 2) = 2017.2021
x2

1,5

Q

U

Y

P=

2
1) pt: x + 8 + 6 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 = 5 (1). ĐKXĐ:
(4,0đ)
(1) ⇔ ( x − 1 + 3) 2 + ( x − 1 − 2) 2 = 5
⇔ x − 1 + 3 + x − 1 − 2 = 5 (vì x − 1 + 3 > 0) (2)

x ≥1

M

0,25

0,5

D

ẠY

KÈ

+) Nếu x − 1 ≥ 2 ⇔ x ≥ 5
(2) ⇔ x − 1 + 3 + x − 1 − 2 = 5 ⇔ 2 x − 1 = 4 ⇔ x = 5 (chọn)
+) Nếu 0 ≤ x − 1 < 2 ⇔ 1 ≤ x < 5
(2) ⇔ x − 1 + 3 + 2 − x − 1 = 5 ⇔ 0 = 0 pt nghiệm đúng ∀ x :1 ≤ x < 5
Vậy nghiệm của pt : 1 ≤ x ≤ 5
2

2

ĐKXĐ :







0,5
0,25

2

1
1
1
1
2) Giải pt : 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 )2
x
x
x
x


0,5







(*)

x≠0

2,0
0,5

2
Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”
2
2


(*) ⇔ 8  x + 1  + 4  x 2 + 12   x 2 + 12 −  x + 1   = ( x + 4 )2
x
x  
x 
x  



1,0

2

1
1 
2


⇔ 8  x +  − 8  x 2 + 2  = ( x + 4 ) ⇔ ( x + 4) 2 = 16 ⇔ x = −8 (chọn) hoặc
x
x 


x = −8

0,5

FF
IC
IA
L

x = 0 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm :

1a) Điều kiện để (d) đi qua điểm cố định M(x0, y0) với mọi giá trị của k
là:
xk − y + 3 = 0 ∀k ⇔ x0 k − y0 + 3 = 0 ∀k

x0 = 0


x = 0
.
⇔
⇔ 0
 − y0 + 3 = 0  y0 = 3

1,0

Vậy (d) đi qua điểm cố định M(0; 3)

1b) Vì (d) ln đi qua điểm M(0 ;3)

⇒ OM = 3

∀k .

0,25

O

Gọi N ( x1 ; y1 ) là giao điểm của (d) với trực Ox ⇒ N  − 3 ; 0  ⇒ ON = − 3
 k



0,25

k

H

1
1
1
1
1 k
5
5
=
+
⇔ 2 = 2+
⇔ k2 = ⇔ k = ±
2
2

2
OH
OM
ON
2
3
9
4
2
Vậ y k = ± 5 .
2

2) Ta có 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy ⇔ 2 y 2 ( x − 1) − x( x − 1) − y ( x − 1) + 1 = 0
(1)
+) x = 1 không là nghiệm của (1)

0,5

Y

U

Q

+) Chia cả hai vế của (1) cho

ta có: 2 y 2 − x − y +

0,5

1
=0
x −1

x = 2  y = 1
x = 0 ⇒  y = 1


nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ {(2;1);(0;1)}

1
∈ ¢ nên x − 1 = ±1 ⇔
x −1

M

Với x, y ∈ ¢ ⇒

x −1,

KÈ

Vậy phương trình đã cho có

0,25

0,25

N

3
(4,0đ)

2

Ơ

N

Kẻ OH vng góc với đường thẳng (d).
Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O đường
cao OH :

0,5
0,5
y

ẠY

x

D
H

4
(6,0đ)

D

C

Q

P
E

A

K

O

B

·
1a) Ta có ∆AOC = ∆HOC (ch − gn) ⇒ ·AOC = COH
⇒ OC phân giác ·
AOH
·
·
·
Cmtt : OD phân giác HOB
kề bù nên COD
= 90 0
.Mà ·AOH và HOB

2,0
3

Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có :
OC 2 CH .CD CH
=
=
⇒ OC 2 .DH = OD 2 .HC
2
OD
DH .CD DH

1b) HS chứng minh được: HPOQ là hình chữ nhật.
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng HAB ta có:
HA2 AK . AB AK
=
=
HB 2 KB. AB BK

FF
IC
IA
L

(1)

Mặt khác: CA / / HK / / DB ( ⊥ AB ) nên suy ra

2,0

AK HC AC EA
(vì HC = AC , HD = DB )
=
=
=
BK HD BD EB
HA2 AK EA
Từ (1) và (2) suy ra:
=
=
HB 2 BK EB

(2)

B

O

E
M
O

N

K

F
T

N

2) Giả sử OA cắt EF tại K.
Ta có: MT ⊥ OT ( gt ) .
Xét ∆OMT vng tại T, ta có:

H

C

Ơ

A

Y

0,5

MT 2 = OM 2 − OT 2 = MK 2 + OK 2 − OT 2

U

2

= AK + M K 2
2

1,0

Q

AM

vng tại K, ta có:

∆ AM K

Xét

Suy ra: MT 2 − AM 2 = OK 2 − OT 2 − AK 2 = (OK 2 − AK 2 ) − OT 2
= (OK − AK )(OK + AK ) − OT 2 = (OK − KH )OA − OT 2 = OH .OA − OC 2

M

Trong ∆OAC vng tại C, ta có: OC 2 = OH .OA
Do đó MT 2 − MA 2 = 0 ⇔ MT 2 = MA2 ⇔ MT = MA (đpcm).

KÈ

0,5

1
1 1
+ + = 1 . Ta biến đổi biểu thức M như sau:
xy yz zx
( x − 1) + (y − 1) ( y − 1) + ( z − 1) ( z − 1) + ( x − 1)  1 1 1 
M =
+
+
− + + 
x2

y2
z2
x y z

D

ẠY

Từ gt suy ra :

5
(2,0đ)

 1
 1
1 
1 
1  1 1 1
 1
= ( x − 1)  2 + 2  + ( y − 1)  2 + 2  + ( z − 1)  2 + 2  −  + + 
z 
y 
z  x y z
x
x
y
2( x − 1) 2( y − 1) 2( z − 1)  1 1 1  1 1 1
≥
+
+

− + +  = + + −2
xz
xy
yz
x y z x y z

1

1

1

2

 1

1

2,0

1

Vì  + +  ≥ 3  + +  = 3 ⇒ M ≥ 3 − 2 .
x y z
 xy yz zx 
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z = 3 . Vậy min M = 3 − 2 ⇔ x = y = z =
(Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho số điểm tương đương)

3

4
Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI
Câu 1 (4.0 điểm)


x   x +3

x +2

FF
IC
IA
L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 29
MƠN: TỐN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi HSG Tốn 9 –H. Đơng Sơn - Năm học 2018 – 2019)

x +2



N

O

:

1.Cho biểu thức M = 1 −
  x − 2 + 3− x + x −5 x + 6
+
x
1

 

a. Rút gọn M
b. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = 4 .
Tính giá trị của biểu thức:
A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc .

N

H

Ơ

Câu 2 (4.0 điểm)
1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy
2. Giải phương trình : 2 x − 2 − 6 x − 9 = 16 x 2 − 48 x + 35

M

Q

U

Y

Câu 3 (4.0 điểm)
1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì
A= ( 10n + 10n-1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng khơng
phải lập phương của một số tự nhiên.
y2
1
 x2
+
=

2
2
2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện:  ( y + 1) ( x + 1)
2
3xy = x + y + 1.


D

ẠY

KÈ

Câu 4 (6.0 điểm)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH.
Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt AH tại I, OM cắt
AB tại J
a. Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng
b. Chứng minh I là trung điểm của AH
c. Cho BC = 2R và OM = x. Tính AB và AH theo R và x
d. Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi
Câu 5 (2.0 điểm)
Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện xy ( x − y) = x + y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+y
----------------------Hết--------------------5

Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 29
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TỐN - LỚP 9
(Đề thi HSG Tốn 9 –H. Đơng Sơn - Năm học 2018 – 2019)

.
Câu

Điểm

Nội dung

M=

FF
IC
IA
L

1. (3,0 điểm)
a. ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 4; x ≠ 9

0,5

x −2
x +1

1,5

3
x −2
=1 −
x +1
x +1
Để M nguyên => x +1∈ Ư(3) ⇔ x + 1∈ {1;3}

b, M=

O
N

0,5

0,5
0,25

Ơ

1

( Vì x + 1 > 0∀x ∈ ĐKXĐ)
=> x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên
2. (1,0 điểm)

0,25

H

A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a ) + c(4 − a )(4 − b) − abc

Ta có:

N

a + b + c + abc = 4 ⇔ 4a + 4b + 4c + 4 abc = 16

0,5

Y

⇒ a(4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc)
= a (2 a + bc ) 2 = a (2 a + bc ) = 2a + abc

U

Tương tự:

Q

b(4 − c)(4 − a) = 2b + abc , c(4 − a )(4 − b) = 2c + abc

0,5
0,5

⇒ A = 2(a + b + c) + 3 abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = 8

M

0,5

ẠY

KÈ

1.(2,0 điểm)
Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy
2
⇔ 2y ( x- 1) – x( x-1) – y( x-1) +1 = 0 (1)
Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai
vế cho x-1 ta được

D

2

2y2 –x –y +

Vì pt có nghiệm x,y ngun nên
⇒ x ∈ {0;2}

0,5

1
= 0(2)
x −1

1
nguyên nên x-1 ∈ {± 1}
x −1

1
2
1
Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y = −
2
Vậy (x,y) ∈ {(0;1); (2;1)}

0,75

Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y -1 = 0 => y = 1; y = −

0,5
0,25
6

Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu

Điểm

Nội dung

2.(2,0 điểm)
3
2
2 x − 2 − 6 x − 9 = 16 x 2 − 48 x + 35
7 − 4x
⇔
= (7 − 4 x )(5 − 4 x )
2x − 2 + 6x − 9

0,25

ĐK: x ≥

FF

IC
IA
L

0,5



1
⇔ (7 − 4 x )
+ 4x − 5 = 0
 2x − 2 + 6x − 9

3
1
Vì x ≥ nên
+ 4x − 5 > 0
2
2x − 2 + 6x − 9
7
4
7
Vậy pt có nghiệm : x =
4

0,5

0,5

O

Suy ra : 7 − 4 x = 0 ⇒ x = (tm)

10 n+1 − 1 n+1
10 + 5 + 1
9
10 2( n+1) + 4.10 n +1 − 5 + 9
=
9

Ơ
H

2

Q

Vậy A là số chính phương
2
2
2
Mặt khác 33
1 2...
3 34 = 2 . 1666
1 2 3...7 = A

M

n

n −1

Do A Μ2 nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương
của một số tự nhiên
2. (2,0 điểm)
Điều kiện: x ≠ −1; y ≠ −1
y2
1
 x2
+
=
 ( y + 1) 2 ( x + 1) 2 2

Theo gt ta có 
 x . y =1
 y + 1 x + 1 4
1
 2
u + v2 =

x
y

2
Đặt u =
;v=
, khi đó : 
y +1
x +1
uv = 1


4

KÈ
ẠY
D

0,5

U

n

3

0,5

Y

 10 n+1 + 2 

Ta có = 
3


2
= 33
1 2...
3 34

)

N

(

A=

N

1. (2,0 điểm)

0,25

0,5
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

7
Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Nội dung

( u + v )2 = 1
u 2 + v 2 + 2uv = 1
⇔ 2
⇔
2
2
u + v − 2uv = 0
( u − v ) = 0
1
1
Suy ra u = v = hoặc u = v = −
2
2
 y + 1 = 2x
1
Nếu u = v = thì 
⇔ x = y = 1 (thỏa mãn)
2
x + 1 = 2 y
 y + 1 = −2 x
1
1
Nếu u = v = thì 
⇔ x = y = − (thỏa mãn)
2
3
 x + 1 = −2 y
1
Vậy : x = y = 1; x = y = −
3

Điểm

0,75

0,75

N

H

Ơ

N

O

FF
IC
IA
L

Câu

Q

U

Y

4

2,0

D

ẠY

KÈ

M

a. (2,0 điểm) Chứng minh ∆MOB ∼ ∆ACH
Ta có MA = MB ( T/c tiếp tuyến)
OA = OB = R
=> OM là trung trực của đoạn AB
=> OM vng góc với AB tại J nên OM // AC
=> MOˆ B = ACˆ H => ∆MOB ∼ ∆ACH (g.g)
b.(1,5 điểm) Trong ∆CMB có HI//BM nên
∆MOB ∼ ∆ACH =>

HI CH
=
(1)
BM CB

1,5

HA CH
=

(2)
BM OB

Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được

HI OB 1
=
=
HA CB 2

=> I là trung điểm của AH
c.(0,75 điểm) ∆MOB vuông ở B nên OB2 = OJ . OM => OJ =
8
Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

Câu

Điểm

Nội dung
2

2

OB
R
=

OM
x

 R2 
R 2 (x 2 − R 2 )
2
2
2
 =
∆ OJB vuông ở J nên BJ = OB – OJ = R 2 − 
=> BJ
x2
 x 
R 2
x − R 2 vớ i x > R
=
x
4R 4
2
2
2
∆ ABC vuông ở A nên AC = BC – AB = 2
x
2
2R
=> AC =
x

0,75

FF
IC
IA
L

2

Lại có BC . AH = AB . AC
x 2 − R 2 với x > R

O

AB. AC 2 R 2
= 2
BC
x

=> AH =

d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3)
2R 2
<=> 2
x

x −R ≤ R

<=> 2R x − R ≤ x
2

2

2

0,75

2

N

2

Q

U

Y

N

H

Ơ

<=> 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4
<=> x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0
<=> (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với ∀ x > R
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 <=> x = R 2
Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2
(2,0 điểm)
Do x, y > 0 và xy ( x − y) = x + y ta suy ra x > y > 0

và xy(x-y)2 = (x+y)2 (1)
Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 ≥ 4b)
2
2
2
2
Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b

M

Suy ra: b-1 > 0 và
b

2

4b 2
a2 =
b −1

1

0.25
0.25

1

1

Lại có: b − 1 = b + 1 + b − 1 = (b − 1) + b − 1 + 2 ≥ 2 (b − 1). b − 1 + 2 = 4
(theo bđt cơ si)

2
Do đó: a ≥ 16.
Mà a > 0 nên a ≥ 4 ⇒ x + y ≥ 4

KÈ
D

ẠY

5

0.25

0.25

0.25

1

2
Dấu “=” xảy ra khi b − 1 = b − 1 ⇔ (b − 1) = 1 ⇔ b = 2

 x = 2 + 2
x + y = 4
Khi đó:  xy = 2 ⇔ 
(Vì x > y)
 y = 2 − 2

Vậy Min (x+y)=4 khi x = 2 + 2 ; y = 2 − 2 .

0.25
0.25
0.25

---------------------------------Hết---------------------9


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 28
MƠN: TỐN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Nguồn: Đề thi HSG Tốn 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018

FF
IC
IA
L

ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm)

1
1   2x + x − 1 2x x + x − x 
−
+

 :
x   1− x

1+ x x
1− x



Cho biểu thức A = 

O

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2
c) So sánh A với A .
Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình : 3x + 6x +12 + 5x −10x + 9 = 3− 4x − 2x .
2
2
2
b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 2xy + x + y +1 = x + 2 y + xy.
Câu 3: (4,0 điểm)
4

2

2

H

Ơ

N

2

a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = 24102017 .

N

Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.

Y

b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: a + b + c + d = 0 .

Q

U

Chứng minh rằng: M = (ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) là số hữu tỉ.
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

M

a) Chứng minh rằng: ∆ AEF

∆ ABC và

(

S AEF
= cos 2 Α.
S ABC

)

KÈ

2
2
2
b) Chứng minh rằng : SDEF = 1−cos A−cos B−cos C .SABC

c) Nếu

HA HB HC
+
+
=
BC AC AB

3 thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

D

ẠY

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho
· .

BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE
Câu 6: (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: A = x 2 + xyz + y 2 + xyz + z 2 + xyz + 9 xyz
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

10


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 28
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TỐN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Tốn 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018

Ý

a

1   2x + x − 1 2x x + x − x  
1
 1

A=
−
+
  x > 0;x ≠ ;x ≠ 1 
 :  1 − x
4

x 
1+ x x

1− x


(

(

)

x −1
1

(

)

: 2 x −1 :

(1 − x )(1 −

1

:

) (1 − x )(1 −

x −1

x +x

(

)

2

Q
(

)

1 − 3 − 2 2 + 17 − 12 2
3−2 2

KÈ

M

A=

)

)
)

)

)

0,5

0.25

0,5

1− x + x
x

0,5

=

(3 − 2 2 )

2

= 3−2 2 = 3−2 2

(

)

⇒A= x+

0,25

1− x + x

1
= x+
−1
x
x
1
1
x+
> 2 với mọi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1
4
x

1
−1 > 1 ⇒ A > 1 ⇒ A −1 > 0 ⇒ A
x

(

0,25
0,25

)

A −1 > 0

⇒A− A >0⇒A > A

0,25
0,5

15 − 10 2 5 3 − 2 2
=
=5
3−2 2
3−2 2

Biến đổi ta được: A =
Chứng minh được

ẠY

)

=

x +x

0,25

Ta có

1,0đ x = 17 − 12 2 = 3 − 2 2 ⇒ x =

D

(

1− x + x + x 1− x

Y

x

(

) ( )(
) ( )(
) ( )(

)

U

=

x

(

)

2 x −1

=

)(
)(
)(

O

) (
(
) (

(

1,0đ

)

N

(

Ơ

(4điểm)

c

FF
IC
IA
L

(

H

=

1

b

Điểm


x 2x + x − 1 
x − 1 + x  2x + 2 x − x − 1

:
+

x 1− x
1− x 1+ x
1+ x 1− x + x 



x x +1 2 x −1 
2 x −1  x +1 2 x −1

=
:
+
x x −1  1− x 1+ x
1+ x 1− x + x 



 1

2 x −1 
x
:  2 x − 1 
=
+
 
1
−
x
1
−
x
+
x
x x − 1 

 

2,0đ

N

Câu

.
Tóm tắt cách giải

0,25

0,25

Ta có:
a

VT =
=

3 x 2 + 6 x + 12 +
3( x + 1) 2 + 9 +

5 x 4 − 10 x 2 + 9
5( x 2 − 1) 2 + 4 ≥

9+

4 =5

11


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2đ

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1
V P = 3 − 4 x − 2 x = 5 − 2( x + 1) ≤ 5
2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1
⇒ VT = VP ⇔ x = −1

2xy2 + x + y +1 = x2 + 2y2 + xy

⇔ 2 y ( x − 1) − x(x − 1) − y (x − 1) + 1 = 0 (1)
2

2

0,5

FF
IC
IA
L

Ta có:

2đ

0,5
0,5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1

b

0,5

2

0,25

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế
của phương trình cho x – 1, ta được:

(4 điểm)

2y2 − x − y +

1
=0
x −1

1
nguyên
x −1

Ơ

N

O

PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra
nên x – 1 ∈ {− 1 ;1 }
• x – 1 = -1
x=0

• x–1=1
x=2

(2)

1
Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2 y − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = −
2
1
Thay x = 2 vào PT(2) ta được: 2 y 2 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 ; y = −
2
Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên ( x ; y ) ∈ {( 0;1) ; ( 2;1)} .

0,25

0,5

0,25

N

H

2

Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5)
= a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1)
2đ
= a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1)
Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số

chia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5
(*)
Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**)

U

M

(4 điểm)

Q

3

Y

a

2đ

0,5
0,25

0,25

0,5

(1)
Từ (*) và (**) suy ra a – a chia hết cho 5
5

5
tương tự có b – b chia hết cho 5 (2), c – c chia hết cho 5 (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5
Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5
Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

0,25

Ta có: a + b + c + d = 0 ⇔ ad + bd + cd + d 2 = 0 (vì d ≠ 0)

0,5

KÈ
ẠY
D

b

5

0,25

−ad = d 2 + bd + cd

⇔ −bd = d 2 + cd + ad
−cd = d 2 + ad + bd


0,25
0,5

0,25

12


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

M = (ab − cd )(bc − da )(ca − bd )
= (ab + d 2 + ad + bd )(bc + d 2 + bd + cd )(ca + d 2 + cd + ad )
= ( a + d )(b + d )(b + d )(c + d )(a + d )(c + d )
2

Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên (a + d )(b + d )(c + d )
hữu tỉ.
Vậy M = ( ab − cd )(bc − da)(ca − bd ) là số hữu tỉ

4

N

Y

a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA =

U

Tam giác ACF vuông tại F nên cosA =

AE

AB

AF
.
AC

Q

AE AF
Suy ra
=
⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g .c)
AB AC
2

M

* Từ ∆AEF : ∆ABC suy ra

ẠY

KÈ

b) Tương tự câu a,

0,5

C

H

D

Ơ

H

B

0,25

N

E

F

là số

0,25

O

A

(5điểm)

D

0,25

[(a + d )(b + d )(c + d )] = (a + d )(b + d )(c + d )

FF
IC
IA
L

=

S AEF  AE 
2
=
 = cos A
S ABC  AB 

S BDF
S
= cos 2 B, CDE = cos 2 C.
S ABC
S ABC

0,5

0,5
0,5
0,5

1

Từ đó suy ra

S DEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE
=
= 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C
S ABC
S ABC

1

Suy ra S DEF = (1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C ) .S ABC

HC CE
HC.HB CE.HB S HBC
=
⇒
=
=
AC CF
AC. AB CF . AB S ABC
HB.HA S HAB HA.HC S HAC
Tương tự:
;
. Do đó:
=
=
AC.BC S ABC AB.BC S ABC
HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB
+
+

=
=1
AC. AB AC.BC AB.BC
S ABC

c) Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒

0,25

0,25

13


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

• Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*)
Áp dụng (*) ta chứng minh được:

0,25

HA HB HC
+
+
≥ 3
BC AC AB

0,25

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều.

(1 điểm)

0,25

O

Kẻ EF ⊥ AC tại F, DG ⊥ BC tại G.
Theo giả thiết S ADPE = S BPC ⇒ S ACE = S BCD

FF
IC
IA
L

5

·
·
Mà AC = BC ⇒ EF = DG và EAF
= DCG
= 600
Suy ra ∆AEF = ∆CDG ⇒ AE = CG.

0,25

·
·
Do đó ∆AEC = ∆CDB(c − g − c) ⇒ DBC
= ECA

0,25

Ơ

N

0,25

·
·
·
·
·
⇒ BPE
= PBC
+ PCB
= PCD
+ PCB
= 60

= x

(

(

)

x + yz + yz = x

N

x 2 + xyz + xyz = x

(2 điểm)

H

Áp dụng BĐT cơsi ta có
( x + z )( x + y ) + yz

Y

6

)

0

(

x ( x + y + z ) + yz + yz

)

3
1  x + y + x + z y + z 
3
1
+

 x + 
=
x+ 
2 
3 
2
2  2 
3

Q

(Vì x + y + z =1)
Chứng minh tương tự:

KÈ

M

y 2 + xyz + xyz ≤

z 2 + xyz + xyz ≤

ẠY

Mà

D

0,25

U

≤

0,25

3
1
y+ 
2 
3
3
1
z+ 
2 
3

1
 x+ y+z
xyz ≤ 
 =
3
3 3



Do đó A ≤

0,25

3

0,25

0,5

3
6
5 5 3
=
=
(1 + x + y + z ) +
2
3
3 3
3

Vậy GTLN của A =

5 3
1
khi x = y = z =
3
3

0,5

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

14


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
ĐỀ SỐ: 27
MÔN: TỐN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017

FF
IC
IA
L

ĐỀ BÀI
Bài 1: (5,0 điểm)

O

 x+2
x
1  x −1
+
+
. Với x ≥ 0, x ≠ 1.
Cho biểu thức: P = 
:
2

−
+
+
−
x
x
x
x
x
1
1
1


a) Rút gọn biểu thức P.
2
b) Tìm x để P = .
7
2
c) So sánh: P và 2P.

Y

N

H

Ơ

N

Bài 2: (4,0 điểm)
a) Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy
b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:
2
1 1 1
1 1 1
 + +  = 2 + 2 + 2.
b c
a b c a
3
3
3
Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho 3.

Q

U

Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20
b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.

D

ẠY

KÈ

M

Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao
điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vng góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm
của EF.
a) Chứng minh: CM vng góc với EF.
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích
của hình vng ABCD
Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a
b
c
a
b
c
+
+
<
+
+
a+b b+c c+a
b+c
c+a
a+b

-------------------------------------- Hết --------------------------------------15

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

2đ

=

x
+
−
3
+
+
x
x
1
x −1

( )

x + 2 + x ( x − 1) − ( x + x + 1)

(

)

)(

)

x −1 x + x +1

.

N

x − 2 x +1

x −1
2

2
x −1

Ơ

(

)(

x −1 x + x +1

:

H

=


1  x −1
:

2
x − 1 


x+2

O

a



=



FF
IC
IA
L

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 27
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017
.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm

Điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 1.
 x+2
x
1  x −1
P=
+
+
:
2
x
−
+
+
−
x
1
x
x
1
1
x



2
x + x +1
Với x ≥ 0, x ≠ 1. Ta có:
2
P=
7

2
2
⇔
=
x + x +1 7

0,5

0,5

0,5

Y

N

=

0,5

D

ẠY

KÈ

⇔ x+ x −6=0
⇔ ( x − 2)( x + 3) = 0

1,0

x + 3 > 0 nên x − 2 = 0 ⇔ x = 4 (t/m)
2
Vậy P = khi x = 4
7

0,25

Vì x ≥ 0 ⇒ x + x + 1 ≥ 1

0.25

Vì

⇔ 0<

2

x + x +1
⇔ 0< P≤2

c
1,0đ

0,5

⇔ x + x +1= 7

M

b
2,0đ

Q

U

Bài 1
5,0đ

0,25

≤2

0,25

⇔ P ( P − 2) ≤ 0
⇔ P2 − 2P ≤ 0
⇔ P2 ≤ 2P

0,25
16


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,25

Dấu “=” xảy ra khi P = 2 ⇔ x = 0
Vậy P2 ≤ 2P

2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy
⇔ ( x − 1) (2 y 2 − y − x ) = −1

0,5

Vì x, y ∈ Z nên x - 1∈ Ư(-1) = {1; −1}

0,5

Ơ

0,5

0,25

M

Q

U

Y

N

H

Bài 2
4,0đ

0,25

O

+) Nếu x – 1 = 1 ⇒ x = 2
Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1
⇔ y = 1 (t/m)
−1
∉Z (loại)
hoặc y =
2
+) Nếu x – 1 = -1 ⇒ x = 0
Khi đó 2y2 - y = 1
⇔ y = 1 (t/m)
−1
∉Z (loại)
hoặc y =
2
x = 2 x = 0
Vậy 
; 
y =1 y =1
a) Từ giả thiết
1 1 1
1 1 1
( + + )2 = 2 + 2 + 2
a b c
a
b c
1

1
1
⇔ 2( + + ) = 0
ab bc ca
Vì a, b, c ≠ 0 nên a + b + c = 0
⇒ a + b = −c

N

A
2đ

FF
IC
IA
L

⇔ 2 y 2 x + x + y + 1 − x 2 − 2 y 2 − xy = 0

D

ẠY

KÈ

b
2đ

Bài 3
4,0đ

a
2đ

⇒ ( a + b ) = ( −c )
3

0,5
0,5

3

⇒ a 3 + b3 + 3ab(a + b) = −c3
⇒ a 3 + b3 + c3 = 3abc
3 với a, b, c ∈ Z
Vậy a 3 + b3 + c3 M
Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
Đkxđ: ∀x ∈ R
4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20
Vì 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 với ∀x
⇒ 10x – 20 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Ta có:

0,5
0,25
0,25

0,25

0,5

17


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,5

4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20
⇔ 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20
⇔ 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20
⇔ 7 x = 28
⇔ x = 4(t / m)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
2
⇔ ( x + y ) + 7( x + y ) + 10 = − y 2
⇔ ( x + y + 2)( x + y + 5) = − y 2 ≤ 0

0,5

0,5
0,5
0,5

N

⇔ −4 ≤ x + y + 1 ≤ −1

* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0
* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0
Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0
Amax = - 1 khi x = -2; y = 0

0,25

O

b
2đ

FF
IC
IA
L

0,5

Ơ

E

A

B

F

M

Q

U

Y

N

N

H

M

KÈ

a
2đ

D

ẠY

Bài 4
6,0 đ

B
2đ

D

C

·
·
·
Ta có: ECD
= BCF
(cùng phụ với ECB
)
Chứng minh được: ∆ EDC = ∆ FBC (cạnh góc vng – góc

nhọn)
⇒ CE = CF
⇒ ∆ ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM ⊥ EF

* Vì ∆ EDC = ∆ FBC ⇒ ED = FB
∆ NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vng ta có: BC2 = NB.BF

1.0

1,0
0,5

0.5
18

“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

⇒ a2 = NB.DE (đpcm)
* ∆ CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

EF
2
∆ AEF vng tại A có AM là đường trung tuyến nên

FF
IC
IA
L

CM =

EF
2
⇒ CM = AM ⇒ M thuộc đường trung trực của AC.
Vì ABCD là hình vng nên B, D thuộc đường trung trực
của AC
⇒ B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của
AC (đpcm).

0.5

0.5

O

AM =

0.5

Y

N

H

Ơ

N

Đặt DE = x (x > 0) ⇒ BF = x
1
SACFE = SACF + SAEF = AF ⋅ ( AE + CB )
2
1
= (AB + BF) ⋅ ( AE + AD )
2
1
= (a + x).DE
2
1
= (a + x)x
2
1
SACFE = 3.SABCD ⇔ (a + x)x = 3a 2 ⇔ 6a 2 − ax − x 2 = 0

2
⇔ (2a − x)(3a + x) = 0
Do x > 0; a > 0 ⇒ 3a + x > 0 ⇒ 2a − x = 0 ⇔ x = 2a
⇔ A là trung điểm của DE ⇔ AE = a
AN AE
Vì AE // BC nên
=
=1
NB BC
⇒ N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0.5

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

c
2đ

0.25

0,5
0.25

.

* Vì a, b, c > 0 nên

Bài 5
1,0đ

Tương tự:

a
a
a+c
<1⇒
<
.
a+b
a+b a+b+c

b
b+a
<
;
b+c a+b+c

c
c+b

<
c+a a+b+c
19


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

0,5

b
c
a
+
+
< 2 (1)
a+b b+c c+a

* Ta có:

a
a
=
b+c
a (b + c)

Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cơ- si ta có:

a + (b + c)
≥ a(b + c) > 0
2

2
1
⇔
≤
a+b+c
a(b + c )
2a
a
2a
a
≤
⇔
≤
a+b+c
a+b+c
b+c
a(b + c )

O

⇔

FF
IC
IA
L

⇒

N

2c
c
≤
a+b+c
b+a

a
b
c
+
+
≥2
b+c
c+a
a+b

H

⇒

2b
b
;
≤
a+b+c
a+c

Ơ

Tương tự:

U

a
b
c
+
+
> 2 (2)
b+c
c+a
a+b

0,5

Q

⇒

Y

tức là a = b = c (vô lý).

N

Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b

M

Từ (1) (2) ta có đpcm.

D

ẠY

KÈ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc khơng vẽ hình thì khơng chấm.
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

20


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm).
1
x

FF
IC
IA
L

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ: 26
MƠN: TỐN - LỚP 9

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Nguồn: Đề thi HSG Tốn 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017

1
1
2
1
1
x − y
+
.(
+
):
3
y x + y + 2 xy ( x + y )
x
y
xy xy

Cho biểu thức: A = ( + ).

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 - 5

N

O

Câu 2: (3,5 điểm).
a) Cho hàm số bậc nhất : y = mx + m – 1(*) (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam
giác có diện tích bằng 2.

Ơ

2
b) Giải phương trình: x − 2 x − x x − 2 x + 4 = 0

U

Câu 4: (5,0 điểm).

Y

N

H

Câu 3: (3,5 điểm).
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320
b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2016 .
2 a + 3b + 3c + 1 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − 1
+
+
≥6
Chứng minh rằng:
2015 + a
2016 + b
2017 + c

KÈ

M

Q

Cho đường trịn (O;R), đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn đã cho (A khác
B và C). Hạ AH vng góc với BC tại H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B.
Gọi I là trung điểm HC.
a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA.
b) Chứng minh: MH vng góc với IA.
c) Gọi K là trọng tâm của tam giác BCM, chứng minh khi điểm A chuyển động
trên đường tròn ( O; R) với B, C cố định thì điểm K ln thuộc một đường tròn cố định.

Câu 5: (2,0 điểm).

ẠY

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn tâm I bán kính bằng 1 và độ dài các
đường cao của tam giác ABC là các số nguyên dương. Chứng minh tam giác ABC đều.

D

Câu 6. (2,0 điểm).
Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1.
( a + b + c)(a + b)
abcd
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

21


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 26
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TỐN - LỚP 9
Nguồn: Đề thi HSG Tốn 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017
.
Nội dung

=

y)

x + y + 2 xy
xy( x +
1
xy

( x+

x−

y)

x−

y

y)

3

y ) .( x . y )

y

xy

=

x−

y

xy

Vậ y A =

x−

.

xy xy

.

2

xy xy

.

2( x +

x

1
y

xy xy
x−

y

x−

) :

y

xy xy

0,5đ

O

xy .( x +

+

2

y)

+

y

0,5đ

=

U

( xy )2

x + y − 2 xy

Q

Mà A2 =

y

Y

N

b.
b) Với x = 3 + 5 Và y = 3 - 5 ta có : x >y>0, do đó:
(2,0đ)
xy
A=
>0
x−

[( 3 + 5 ) .( 3 − 5 ) ] 2

( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) − 2. 32 − ( 5 )2

=

42
=8
6 − 2.2

KÈ

M

Câu 2
Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m ≠ 0 (1)
a.
(2,0đ) Để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác là m ≠ 1 (2)
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung
=> A(0; m-1) nên độ dài OA = |m-1|

Gọi B là giao điểm của (*) với trục hoành
=> B(
; 0) nên độ dài OB = |

ẠY

0,5đ
1,0đ
0,5đ

Vậ y : A = 8 = 2 2

D

0,5đ

N

=

x+ y

( x+

1

H

=

x + y + 2 xy

y

.(

3

Ơ

x

2

Điểm
4,0 đ
0,5đ

FF
IC
IA
L

Câu
Câu 1
a) ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x ≠ y
a.
(2,0đ)
1 1
1

A = ( + ).
+

3,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

OA.OB = 2 = ⇔ OA.OB = 4 ⇔ (m - 1)2 = 4|m|

SABC = 2 ⇔

Với m > 0 => (m - 1)2 = 4m
2
⇔ m - 2m + 1 = 4m
2
⇔ m - 6m + 1 = 0
2
⇔ (m - 3) = 8
⇔

⇔

0,5đ
(Thỏa mãn đk)
22


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

m < 0 => m2 - 2m + 1 = -4m
2
⇔ m + 2m + 1 = 0
2
⇔ (m + 1) = 0
(Thỏa mãn đk)
⇔ m=-1
Vậ y m
ĐK: x ≥ 0 .
b.
(1,5đ) Nhận thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế
cho x ta có:
Vớ i

0,5đ

FF
IC
IA
L

0,25đ

0,25đ

2 4
4
2
x2 − 2x − x x − 2 x + 4 = 0 ⇔ x − 2 − x −
+ = 0 ⇔ (x + ) − ( x +

)−2 = 0
x
x x
x
0,5đ
2
4
4
= t > 0 ⇔ t 2 = x + 4 + ⇔ x + = t 2 − 4 , thay vào ta có:
Đặt x +
x
x
x

t = 3
t = −2

⇔ (t − 4) − t − 2 = 0 ⇔ t − t − 6 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 2) = 0 ⇔ 
2

O

2

Đối chiếu ĐK của t

x = 4
2
= 3 ⇔ x − 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x − 2)( x − 1) = 0 ⇔ 
x

x = 1

N

⇒t =3⇔ x +

H

Ơ

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 hoặc x = 4

M

Q

U

Y

N

Câu 3
Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3 - y)2 + (x3)2 = 320
a.
(1,5đ) => (x3)2 ≤ 320 => x < 3 mà x nguyên nên ta có các trường hợp:
+ Nếu x = 0 thì y khơng ngun ( loại)
+ Nếu x = 1 hoặc x = -1 thì y khơng nguyên (loại)
+ Nếu x = 2=> y= - 8 hoặc y = 24
+ Nếu x = -2 => y= -24 hoặc y = 8

Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là:
(2;-8);(2;24);(-2;- 24);(-2;8)
2 a + 3b + 3c + 1 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − 1
+
+
≥6
2015 + a
2016 + b
2017 + c
b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031
+
+
≥6
⇔
2015 + a
2016 + b
2017 + c
Đặt 2015 + a = x;
2016 + b = y;
2017 + c = z
(x,y,z > 0)
b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031
+
+
VT =
2015 + a
2016 + b
2017 + c

KÈ

D

ẠY

b.
(2,0đ)

0,5đ

0,25đ

3,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

Ta có :

0,5đ
0,5đ
0,5đ

23


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

VT =

y+z z+x x+ y y x x z y z
+
+
= + + + + +
x
y
z
x y z x z y

0,5đ

y x
z x
y z
. +2 . +2
. = 6 (Co − si )
x y
x z
z y
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671

FF
IC
IA
L

≥2

5,0 đ

Câu 4

A
D
O

N

K

I

C

N

H

O

B

Ơ

E

H

M

0,5đ
0,5đ

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

·
a.
Vì A thuộc đường trịn đường kính BC nên BAC
= 900
(1,5đ)
AB AH
Xét ∆ vng BAC và ∆ vng AHC có
=

= tan ·ACB
AC HC
2AB 2AH
AM AH
⇒
=
(Vì HC = 2IC) ⇒
=
(Vì AM = 2AB)
AC
2 IC
AC
IC
AM AH
Xét 2 tam giác AHM và CIA ta có
⇒
=
AC
IC
·
· A (Cùng phụ HAC
·
HAM
= IC
) ⇒ ∆AHM
∆CIA ( cgc)
Gọi giao điểm của MH với AI là D
b.
·
·

(1,5đ)
∆CIA ( câu a) ⇒ HMA
= IAC
( 2 góc tương ứng)
Vì ∆AHM
0
0
·
·
·
·
Mà: IAC + DAM = 90 nên HMA + DAM = 90
⇒·
ADM = 900 ⇒ MH ⊥ IA tại D
Gọi E là trung điểm của MC. Nối AE cắt BC ở N
c.
(2,0đ)
AN
⇒ N là trọng tâm của tam giác AMC ⇒
=2
NE
Vì K là trọng tâm của tam giác MBC
BK
=2
Nên K là giao điểm của BE và MO và
KE
AN BK
⇒
=
⇒ NK / / AB (Định lí Ta Lét đảo) (1)

NE KE

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ

24


“Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp 9 – THCS (có đáp án chi tiết)”

BA = BM 
 ⇒ BE là đường trung bình của tam giác AMC
EM = EC 
Nên BE//AC mà AC ⊥ AB nên BE ⊥ AB (2)
·
= 900 (3)
Từ (1) và (2) ⇒ NK ⊥ BE tại K ⇒ BKN
1
Vì N là trọng tâm của ∆ AMC nên BN = BC không đổi
3
⇒ N thuộc BC cố định mà BN không đổi nên N là điểm cố định (4)
Từ (3) và (4) ⇒ K ln thuộc đường trịn đường kính BN cố định.

0,5đ

0,5đ

FF
IC
IA
L

Vì

Câu 5

Đặt BC = a; CA = b; AB = c; SABC = s;
Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z
(với x, y, z là các số ngun dương); r là bán kính đường trịn nội tiếp

0,5đ
2,0 đ

0,25đ

1
1
1
ax = by = cz
2
2
2
1
1
s = SIAB + SIAC + SIBC = r(a + b + c) = (a + b + c) (do r = 1)
2

2
a+b+c
Suy ra: x =
> 2 (theo BĐT tam giác).
a

0,25đ

Tương tự y > 2; z > 2

0,25đ

Ơ

N

O

∆ABC. Khi đó: SABC =s =

0,25đ
0,25đ

0,5đ

U

Y

N

H

S
S
S
Lại có: ∆IAB + ∆IAc + ∆ICB = 1
s
s
s
1 1 1
⇒ + + = 1 Do x, y, z nguyên dương và lớn hơn 2.
x y z
2s
Giải ra ta có x = y = z = 3 nên a = b = c = . Vậy ∆ABC đều
3

0,25đ

Câu 6

D

ẠY

KÈ

M

Q

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b + c) và d ta có:
1 = (a + b + c) + d ≥ 2. (a + b + c).d
⇒ 1 = a + b + c + d ≥ 4(a + b + c).d
⇒ 1.(a + b + c) ≥ 4(a + b + c)(a + b + c).d
(1)
=> a + b + c ≥ 4(a + b + c)2.d ≥ 0
Lại áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b) và c ta có:

2,0 đ
0,5đ
0,5đ

(a + b) + c ≥ 2. (a + b).c ⇒ (a+b+c)2 ≥ 4 (a+b).c > 0
(2)
Vì (1) và (2 ) cùng chiều và cùng dương nên thay (2) vào (1) ta được:
a + b + c ≥ 4 (a + b + c)2.d ≥ 16 (a + b).c.d
2
(a + b + c)(a + b) 16( a + b) 2 .cd 16( a + b)
≥ 64 (3) (Vì
Ta có A =
≥
=
ab
abcd
abcd

0,5đ

(a+b)2 ≥ 4ab. Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a

+b+c+d=1
0,5đ
25