tiet 31: He pt bac nhat hai an

Tr­êng THCS T©n DÜnh


Kiểm tra bài cũ:
1.Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
2x + y = 3 (1)
và x – 2y = 4 (2)
Kiểm tra rằng cặp số (x;y) = (2; - 1) vừa là nghiệm của phương trình thứ
nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.
Thay x = 2; y = - 1 vào phương trình 2x + y = 3 ta được
2.2 + ( -1) = 3 ⇔

3=3( Luôn đúng)

Thay x = 2; y = -1 vào phương trình x – 2y = 4 ta được
2 – 2(-1) = 4 ⇔ 4=4 ( Luôn đúng)
Vậy cặp số (2; -1) vừa là nghiệm của PT(1) vừa là nghiệm của PT(2)


Tiết 31: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho
*Tổng quát : Cho hai phương
Câu 1:hai phương trình bậc nhất hai
ẩn: nào sau đây có thể kêt hợp với
PT
trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c
PT: 3x + y = 1 để
và 2x – 2y= 3 (1) được một hệ hai
và a’x + b’y= c’. Khi đó, ta có
PT bậc nhất hai(2)

x – 2y = 4 ẩn.
hệ hai phương trình bậc nhất hai
A, x – t = 0;
B, x2 – 2y = 2;
ẩn:
cặp0x + 0y = -1) vừa là 0x + y = 2của
C, số (2; 2;
D, nghiệm
ax+by=c
PT(1) vừa là nghiệm của PT(2)
Câu 2: a, Cặp số nào sau đây là
(I) 
a'x+b'y=c'
nghiệm của hệ PT:
x + y = 2
* Nếu hai phương trình ấy có nghiệm

chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là
2 x − y =1
một nghiệm của hệ (I).
A (1;1),
B (0;2),
C(0,5;0)
Nếu hai phương trình đã cho không
b, Cặp số nào sau đây là nghiệm của
có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vơ
hệ
x− y = 1
nghiệm.


Giải hệ phương trình là tìm tất cả các
− x + y = − 1
nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
A(2;1),

B(0;-1),

C cả A và B


Tiết 31: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
*Tổng quát :

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn
ax + by = c và a,x + b,y = c,.
Khi đó, ta có hệ hai phương trình
bậc nhất hai ẩn:

(I) ax + by = c (d)
a’x + b’y = c’ (d’)

2. Minh họa hình học tập nghiệm
của hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn.
- Tập nghiệm của hệ PT (I) được
biểu diễn bởi tập hợp các điểm
chung của ( d ) và ( d’ )

?2: Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ

trống (...) trong câu sau:
Nếu điểm M thuộc đường thẳng
ax + by = c thì tọa độ ( x0 ; y0) của
nghiệm
điểm M là một ............ của PT
ax + by = c


Ví dụ 1: Xét hệ pt

x + y = 3(d1 )

x − 2y = 0(d 2 )


(d1 ) : x + y = 3

y

(d2 ) : x − 2y = 0

4
3
2
1
-2

-1

x

O

1
-1
-2

2

3

4


(d1 ) : x + y = 3

y

(d2 ) : x − 2y = 0

4
3
2
1

x
-2

-1

O

1
-1
-2

2

3

4


(d1 ) : x + y = 3

y

(d2 ) : x − 2y = 0

4
3
2
1

x
-2

-1

O

1
-1
-2

2

3

4


(d1 ) : x + y = 3
(d2 ) : x − 2y = 0

(d1 )

y
4
3
2
1

x
-2

-1

O

1
-1
-2

2

3

4


(d1 ) : x + y = 3
(d2 ) : x − 2y = 0

(d1 )

y
4
3
2

Vậy: Hệ pt đã cho có 1
nghiệm duy nhất (2;1)

M

1

x
-2

(d 2 )

-1

O

1
-1
-2

2

3

4


VD2: Hãy xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
(d1 ) : 2x − y = 3
(d 2 ) : −2x + y = −3

⇒ (d1 ) : y = 2x − 3
(d 2 ) : y = 2x 3

Hai đường thẳng (d )
1
và (d 2 ) trùng nhau:
? Hệ phương trình
2x y = 3

2x + y = −3

cã bao nhiªu nghiƯm.


HÃy xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
y

(d1 ) : 2x − y = 3

4

(d 2 ) : −2x + y = −3

3

⇒ (d1 ) : y = 2x − 3

2

(d 2 ) : y = 2x 3

1

Hai đường thẳng (d )
1
và (d 2 ) trùng nhau:
Hệ phương trình
2x y = 3

2x + y = −3

cã v« sè nghiƯm.

-2

-1

O
-1
-2
-3

3
2

1

x
2

3

4


VD3: Hệ phương trình
(d1 ) : 2x y = 3
(d 2 ) : −2x + y = 4

⇒ (d1 ) : y = 2x − 3
(d 2 ) : y = 2x + 4

Hai đường thẳng (d )
1
và (d 2 ) song song
Vậy: Hệ pt đã cho vô
nghiệm.

2x − y = 3

−2x + y = 4


Tổng quát:
Đối với hệ phương trình (I), ta có:
- Nếu (d) cắt (d) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhÊt.
- NÕu (d) song song víi (d’) th× hƯ (I) vô nghiệm .
- Nếu (d) trùng với (d) thì hệ (I) cã v« sè nghiƯm.
Chó ý:

b, Cặp số nào sau õy l nghim ca h

Có thể đoán nhận số nghiệm của hệ (I) bằng cách xét vị trí tư
y =1
x − ax + by = c vµ a’x + by = c
ơng đối của các đường
thẳng

x + y = − 1

A(2;1),

B(0;-1),

C cả A và B


Minh họa hình học rồi tìm nghiệm của hệ pt sau:

2 x − y = 1
(II) 
x − y = 0

2 x − y = 1
(I) 
 x − 2y = 1

Minh hoạ hình học tập nghiệm của hai hệ phương trình

y=
1

x

3

1
=- 2y

1

2x


2

-1

O

x

y=

0

2
1

1
-2

2x


4

4

3

y=

y

y

x

x
1

2

3

4

-2

-1

O

-1

3

4

-2

-3

2

-1

-2

1

-3

Hệ (I) có nghiệm duy nhất là ( 1 ; 1 )

HƯ (II) cã nghiƯm duy nhÊt lµ ( 1 ; 1 )


3. Hệ phương trình tương đương:
Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu
chúng có cùng tập nghiệm
Kí hiệu:

2x − y = 1
2 x − y = 1
⇔

x − y = 0

 x − 2y = −1


Bạn Nga nhận xét : Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô
nghiệm thì luôn tương đương với nhau.
Bạn Phương khẳng định : Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.
Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ?

Đố

Minh hoạ hình học tập nghiệm của hai hệ phương trình

x y = 0
(I)
x = y y

x + y = 0
(II) 
 x = −y

4

y=

3

y

x

=

y
4

-x

3

2
1
-2

-1

2
1

O

x
1

2

3

4

-2

-1

O

-1

-1

-2

-2

-3

-3

x
1

2

3

4


Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa

Hệ pt bậc nhất 2 ẩn số

Số nghiệm của hệ pt

có 1 nghiệm duy nhất
Vơ nghiệm

Vô số nghiệm


Luyn tp
Bài tập 4( SGK trang 11)
Không cần vẽ hình, hÃy cho biết số nghiệm của mỗi hệ
phương trình sau đây và giải thích vì sao:

y = 3 2x
(Cã mét nghiÖm)
a) 
 y = 3x − 1

2 y = −3x
c) 
(Cã mét nghiÖm)
3 y = 2 x

1

y = − 2 x + 3


(V« nghiƯm)
b) 
y = − 1 x + 1


2

3x − y = 3

(V« nghiƯm)
d)
1
x − 3 y = 1



HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Kết luận:
+ Học thuộc khái niệm hệ hai PT bậc nhất hai ẩn

a b
≠ ,
Hệ của nghiệm duy nhất với
+ Nắm vững số nghiệm(I) có hệ hai PT ứng khi : vị trí ,tương đối
a b ca b
của hai đường thẳng Hệ(I) vô nghiệm khi:

,

=

,

≠

a b c,
+ BTVN: 5,6,7 (SGK 11;12) + SBT : 8; 9 ; 10 ; 11 (SBT 5)

BT(11SBT5) Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng= b = c hãy tìm
Hệ(I) có vơ số nghiệm khi: a dưới đây,
mối liên hệ giữa các hằng số a, b, c và các hằng số a ,, b,, c, ,để hệ ,PT c ,
a b
(I) ax+by = c
a,x+ b,y = c,
a,Có nghiệm duy nhất;

Hướng dẫn: Đưa mỗi pt của hệ về dạng
a
c

y =
− x+


b
b

c
 = a′x + ′

y
−

b′
b′


b, Vô nghiệm;

+ Xét các trường hợp

c, Có vơ số nghiệm

+ Trường hợp a,b,a,,b, đều khác khơng
+ Trường hợp a = 0 ≠ a,
+ Trường hợp a≠ 0 = a,
+ Trường hợp a = 0 = a,


Bài tập 8( SGK trang 12)
Cho hệ phương trình sau:

x = 2

2 x y = 3
Trước hết, hÃy đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình
( giải thích rõ lí do). Sau đó tìm tập nghiệm của hệ đà cho
bằng cách vẽ hình.