CHUONG 3-GT

CHƯƠNG 3
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
1. Khái niệm số nhiều biến
2. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến
3. Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến
4. Bài toán cực trò của hàm nhiều biến
5. Bài toán ng dụng trong kinh tế
1. Khái niệm số nhiều biến
1.1. Đònh nghóa hàm n biến
Cho D⊂Rn, D≠∅ Một quy tắc f cho tương ứng
mỗi điểm x=(x1,x2,..,xn)∈D với một và chỉ một
số w∈R là một hàm n biến số, có miền xác đònh
trên D, kí hiệu w=f(x1,x2,..xn)
Nếu hàm w được cho bởi biểu thức giải tích
f(x1,x2,..,xn) thì miền xác đònh của
w=f(x1,x2,..,xn) là miền D⊂Rn sao cho
f(x1x2,..,xn) có nghóa ∀x=(x1,x2,..xn)∈D.
1. Khái niệm số nhiều biến
1.2. Đồ thò của hàm n biến
Tập G={(x1,x2,..,xn,w)∈Rn+1: w=f(x1,x2,..,xn)
∀x=(x1,x2,..xn)∈D} được gọi là đồ thò của hàm n
biến w=f(x1,x2,..,xn) xác đònh trên D.
TD: Cho hàm số
a) Tìm miền xác đònh của w
b) Tìm f(0,1)
Giải: a) (x,y)∈D⇔4-x2-y2≥0 ⇔ x2+y2≤4
D là hình tròn tâm gốc toạ độ, bán kính bằng 2.
b)
2 2
( , ) 4= = − −w f x y x y
2 2

(0,1) 4 0 1 3= − − =f
2. Giới hạn và liên tục
2.1.Giới hạn của dãy điểm
a) Khoảng cách 2 điểm:
Trong Rn với x0=(x01,x02,….,x0n), x=(x1, x2,…., xn)
Khoảng cách giữa 2 điểm x và x0 là:
d(x,x0)=
Tính chất
–
d(x,x0)≥0
–
d(x,x0)=0⇔x≡x0
–
d(x,x0)≤d(x,y)+d(y,x0) ∀y∈Rn
− + + −
1
0 2 0 2
1
( ) ... ( )
n
n
x x x x
2. Giới hạn và liên tục
2.1.Giới hạn của dãy điểm
a) Sự hội tụ của dãy điểm
Dãy điểm {xk=(xk1,xk2,..,xkn)} hội tụ về
x0=(x01,x02,..,x0n) nếu d(xk,x0)→0 (k→∞)
Kí hiệu: xk→x0 hay
Hệ quả: xk→x0⇔xki→x0i ∀i=1,2..n khi k→∞
b) Lân cận của một điểm

Cho điểm x0∈Rn và số δ>0. Tập hợp δ(x0)={x∈Rn:
d(x0,x)<δ} được gọi là một lân cận của x0
k
k
limx x
→∞
=
0
2. Giới hạn và liên tục
2.2. Giới hạn của hàm n biến
ĐN1: Hàm n biến f(x) xác đònh trong một lân cận
của điểm x0 (có thể không xác đònh tại x0) có
giới hạn là số L, nếu mọi dãy điểm xk→x0 ta
luôn có:
n n
k
K
x x
x x
...
x x
Limf(x ) L và ghi Lim f(x) L
→∞
→
→
→
= =
0
1 1
0

2 2
0
2. Giới hạn và liên tục
2.2. Giới hạn của hàm n biến
ĐN2: Tương tự ta có:
n
n n
x
x x
x
x x
...
...
x
x x
Lim f(x) Limf(x) L
→∞
→
→∞
→
→∞
→
= ∞ =
0
1
1 1
0
2
2 2
0

2. Giới hạn và liên tục
2.2. Giới hạn của hàm n biến
Chú ý: Các đònh lý về giới hạn của hàm n biến
cũng được thiết lập tương tự như hàm một biến.
Chẳng hạn: tổng, hiệu, tích, thương của các hàm
có giới hạn hữu hạn tại một điểm là một hàm có
giới hạn tại điểm đó.
TD1: CM
→
→
+ =
2 2
0
0
1
lim( )sin 0
x
y
x y
xy
→ →
− + ≤ + ≤ +
2 2 2 2 2 2
0 0
1
( ) ( )sin ( )
14 2 43 14 2 43
x y x y x y
xy
2. Giới hạn và liên tục

2.2. Giới hạn của hàm n biến
TD2: CM không tồn tại
Giải: Xét:
Từ (*), (**) suy ra điều phải chứng minh.
x
y
xy
Lim
x y
→
→
+
2 2
0
0
x x
y x y
x y
xy x
Lim Lim (*)
x y x
→ →
→ =
=
= =
+
2
2 2 2
0 0
0

1
2
2
x x
y x y
x y
xy x
Lim Lim (**)
x y x
→ →
→ =−
=−
−
= = −
+
2
2 2 2
0 0
0
1
2
2
2. Giới hạn và liên tục
2.2. Liên tục của hàm n biến
ĐN: Cho hàm n biến f(x) xác đònh trên D và
x0∈D. Hàm f(x) liên tục tại x0 nếu:
Hàm f(x) liên tục tại ∀x∈D, ta nói f(x) liên tục
trên D.
Hàm f(x) không liên tục tại điểm x0 ta nói f(x)
gián đoạn tại x0.

Ta cũng có tổng, hiệu, tích, thương các hàm liên
tục tại x0 là một hàm liên tục tại x0.
x x
Limf(x) f(x )
→
=
0
0
2. Giới hạn và liên tục
2.2. Liên tục của hàm n biến
ĐL: Cho hàm n biến f(x) liên tục trên miền D
đóng và bò chặn thì có giá trò lớn nhất và giá trò
nhỏ nhất /D
TD: Chứng minh hàm số f(x,y)=x2+y2 liên tục tại
mọi điểm trong R2.
3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.1. Đạo hàm riêng
Cho hàm n biến W=f(x) xác đònh trên miền D⊂Rn
và x∈D. Đạo hàm riêng của hàm f(x) theo biến xj
ký hiệu và xác đònh như sau:
(Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ∀j=1,2..n)
∆ →
+ ∆ −
∂
= =
∂ ∆
1 1
0
( ,.. ,.., ) ( ,.., ,.. )
( )

' lim
j
j j n j n
x
x
j j
f x x x x f x x x
f x
f
x x
3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.1. Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng theo biến xj thực chất là đạo hàm
của hàm một biến số, khi coi các biến còn lại là
hằng. Vì vậy các công thức đạo hàm riêng cũng
tương tự như đạo hàm của hàm một biến.
TD: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a) z=x2y3-2x+3y+1; tìm f’x(0,1); f’y(1,2)
b) z=x/y
c) z = xy.

3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.2. Đạo hàm riêng của hàm hợp
Với hàm 2 biến: w=f[u1(x,y),u2(x,y)]
Với hàm m biến:
w=f(u1,u2,..,um),ui=ui(x1,x2,..,xn)
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 2 1 2
1 2 1 2
;
u u u u
w w w w w w
x u x u x y u y u y
∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= + + + ∀ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1 2
1 2
... 1,2..
m
i i i m i
u
u u
w w w w
i n
x u x u x u x
3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.2. Đạo hàm riêng của hàm hợp-TD
1) Cho w=x2+y2 với x=t2, y=lnt. Tìm w’x, w’t
Giải: w’x=2x; w’t=4xt+2y/t
2) Cho z=u2v+uv3 với u=x2–y2, v=exy.
Tìm z’x; z’y
Giải: z’x=2xv(2u+v2)+uyexy( u+3v2)
z’y= -4uvy–2v3y+u2xexy+3uv2xexy
3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.2. Đạo hàm riêng của hàm ẩn
Đònh lí. Hàm số F(x1,x2,…,xn,w) xác đònh, liên
tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong cận của
điểm (x01,x02,..,x0n,w0) và thỏa các điều kiện:
F(x01,x02,..,x0n,w0)=0; F’w(x01,x02,..,x0n,w0)≠0
a) Phương trình F(x1,x2,…,xn,w)=0 xác đònh hàm
ẩn w=w(x1,x2,…,xn) trong một lân cận của điểm
(x01,x02,..,x0n)
b) Hàm số w=w(x) nhận giá trò w0 tại điểm
(x01,x02,..,x0n)
c) Hàm số w=w(x) liên tục, có các đạo hàm
riêng liên tục trong lân cận của điểm x0
3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.2. Đạo hàm riêng của hàm ẩn
Đạo hàm hai vế của phương trình (1) ta được:
Với hàm ẩn một biến y=y(x) cho bởi F(x,y)=0
∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ = ⇒ = − ∀ =
∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂
0 1,
w i
i i i
F
x
F F w
i n

F
x w x x
w
∂ ∂
⇒ = −
∂ ∂
' :
x
F F
y
x y
3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.2. Đạo hàm riêng của hàm ẩn-TD
Cho phương trình: ey=x+y. Tìm y’x
Giải: ey=x+y ⇒ F(x,y)=ey–x–y=0
∂ ∂
⇒ = − = −
∂ ∂
1, 1
y
F F
e
x y
⇒ = =
+ −
−
1 1
'
1
1

x
y
y
x y
e