CHUONG 4-GT

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN
1. Nguyên hàm và tích phân không xác định
2. Tích phân xác định
3. Tích phân suy rộng
1. Nguyên hàm & tích phâân không xác ònhđ
1.1. Nguyên hàm
Hàm F(x) là một ngun hàm của hàm f(x) /(a,b) nếu
F’(x)=f(x) ∀x∈(a,b).
ĐL1: Nếu F(x), G(x) là hai ngun hàm của f(x) /(a,b) thì
G(x)=F(x)+C, trong đó C là một hằng số bất kỳ.
ĐL2: Nếu f(x) liên tục /[a,b] thì f(x) có nguyên hàm /
(a,b)

1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.2. Tích phân không
Hàm f(x) có nguyên hàm là F(x) /(a,b). Biểu thức F(x)
+C được gọi là tích phân không xác đònh của hàm f(x)
và (C là hằng số). Kí hiệu là:

- Là dấu tích phân
f(x)dx - Là biểu thức thức dưới dấu tích phân
f(x) - Là hàm dưới dấu tích phân
dx - Là vi phân của đối số x
= +
∫
( ) ( )f x dx F x C
∫
1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.3. Các tích chất

( ) ( )

= =
=
± = ±
= + = + ∀ =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1) ( ) ' ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( )
3) [ ( ) ( ) ( ) ( )
4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x dx f x hay d f x dx f x dx
af x dx a f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx F x C thì f u du F u C u u x
1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.2. PP tính tích phân
a) Biến đổi về các tính tích phân cơ bản
+
= + ≠ − = +
+
= + < ≠ = +
= − + = +
= + = − +
−
= + ≠ = + ≠
+ − +
∫ ∫
∫ ∫

∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1
2 2
2 2 2 2
1
1/ , ( 1); 2/ ln
1
3/ , (0 1) 4/
ln
5/ sin cos 6/ cos sin
7/ 8/
cos sin
1 1
9/ ( 0) 10/ ln ( 0)
2
11
x
x x x
x
x dx C dx x C
x
a
a dx C a e dx e C
a
xdx x C xdx x C
dx dx
tgx C cotgx C
x x

dx x dx x a
arctg C a C a
x a a a a x a a x
α
α
α
α
= + <
−
∫
2 2
/ arcsin ,
dx x
C x a
a
a x
1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.2. PP tính tích phân
b) Phương pháp đổi biến
Cách 1: Đặt x=ϕ(t) là hàm liên tục, đơn điệu, có đạo
hàm liên tục.

Cách 2: Đặt t=ψ(x) là hàm liên tục, đơn điệu, có đạo
hàm liên tục.
⇒ f(x)dx=g(t)dt
⇒ = = +
∫ ∫
( ) [ ( )] '( ) ( )f x dx f t t dt F x C
ϕ ϕ
⇒ = = +

∫ ∫
( ) ( )] ( )f x dx g t dt F x C

1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.2. PP tính tích phân-TD

(
)
= = + ⇒ = + − + +
+
= = ⇒ = − +
= = ⇒ + + +
+
 
= − = ∈ −
 
 
−
⇒ = + +
= − = − + +
∫
∫
∫
∫
2
3
3 3
2
3
2 2 4

4
2
2
2
2 2 2 2
) 1 2 2 ln( 1)
1
sin
) 3cos
1
) , ln 1
2
1
) 1 sin ;
2 2
arcsin 1
2 2
) arcsin (
2 2
dx
a I Đặt t x I x x C
x
x
b J dx Đặt t x J x C
x
xdx
c K Đặt u x x x C
x
d H x dx Đặt x t vớit
x x x

L C
x a x
e L a x dx a x C
a
π π
>
0)a
1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.2. PP tính tích phân
c) PP tích phân từng phần
TD: Tính các tích phân sau:
Để tính L đặt t=arcosx
= − ⇔ = −
∫ ∫ ∫ ∫
' 'udv uv vdu uv dx uv vu dx
= =
= =
=
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 2 2
2
) cos ) cos3
) ) (arccos )
) ln
x
x
a I e xdx b J x xdx
c K x e dx d L x x dx

e M x xdx
1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.2. Phương pháp tính tích phân
Một số dạng đặc biệt:
∫ ∫ ∫
1) ( ) ; ( )sin ; ( )cos
ax
P x e dx P x axdx P x axdx
≠ −
∫
2) ln 1
k
x xdx với
α
α
∫ ∫
3) ( )(arcsin ) ; ( )(arccos )
n n
P x x dx P x x dx
∫ ∫
4) cos ; sin
ax ax
e bxdx e bxdx
1. Ngyên hàm & tích phân không xác đònh
1.2. Phương pháp tính tích phân
d) Tích phân hàm phân thức hữu tỷ
−
= − + = − × +
− −
− −

 
+ +
= + − − <
 ÷
+ + + + + +
 
 
+ +
= + − − <
 ÷
+ + + + + +
 
+
+ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
m m 1
2
2 2 2
2
2 n 2 n 2 n
2 n
A A A 1
1) dx Aln x a C; 2) dx C
x a m 1
(x a) (x a)
Ax B A 2x p AP dx
3) dx dx B (p 4q 0)
2 2

x px q x px q x px q
Ax B A 2x p AP dx
4) dx dx B (p 4q 0)
2 2
(x px q) (x px q) (x px q)
2x p
(x px q)
−
−
−
+ +
= = − +
−
+ + + +
=
+ +
 
 
 
 
+ + −
 ÷
 ÷
 
 
 
 
−
= = + ≥ ∈
+ − + −

∫ ∫
∫ ∫
∫
2
1
2 n 2 n 1
2 n n
2
2
n n 1
2 2 n 2 2 2 n 1 2
d(x px q) 1 1
dx . c
n 1
(x px q) (x px q)
dx dx
(x px q)
p p
x q
2 4
dt t 2n 3
I I ,n 2,n
(t a ) 2(n 1)a (t a ) 2(n 1)a
¥
2. Tích phân xác đònh
2.1. Đònh nghóa
a) Đònh nghóa tính phân xác đònh
Cho f(x) xác đònh trên đoạn [a,b].
Chia đoạn [a,b] thành n đoạn con bởi các điểm chia:
a=x0<x1<..xn=b, đặt ∆xi=xi-xi-1

trên mỗi đoạn con [xi-1,xi] lấy một điểmξi.
Lập tổng tích phân:
( )
=
= ∆
∑
1
n
n i i
i
I f x
ξ