Đề thi học sinh giỏi Toán khối 12 năm 2018 – 2019 tỉnh Bình Thuận

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.14 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 18/10/2018
Môn: Tốn

Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2

x y

 

0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2
2

.

x

xy y

P

x

xy y









b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3

y x





x



mx m



có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hồnh.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 

u

n

biết

u  và

1

2 u

n1



2 u

n



5,

 

n

.

b) Cho dãy số

 

v

n

thỏa mãn

v 

2018

1 ,

1 2

2 ,

1 2018

n

v







n

*.

   Chứng minh

rằng

v

n1



v

n

,

  

n

.

Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình





2 2

2 2 2 2

2

1 .

1 xy x y

x

y

x y y

x

x y x







 





 

 



Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB AC



và hai đường cao

BE CF cắt

,

nhau tại .

H Các đường tròn

 

O

,

 

O

cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với

BC tại , .

B C Gọi

D

là giao điểm thứ hai của

 

O

và

 

O

.

a) Chứng minh đường thẳng

AD

đi qua trung điểm của cạnh

BC

;

b) Chứng minh ba đường thẳng

EF ,

,

BC

HD

đồng quy.

- HẾT

---Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi khơng được giải thích gì thêm.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Nội dung Điểm

1 6,0
a
Ta có
2
2
1
,
1

t t
P
t t
 


  với

1
.
2
x
t
y
 

Xét hàm số

2
2
1
( )
1
t t
f t
t t
 


  với

1
.
2
t 
Tính được
2
2 2
2 2
(t) ,
( 1)
t
f
t t

 
 

( ) 0

1.
1
2
f t
t
t
 


 





Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng
1

3 và khơng có giá trị lớn nhất

0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
b

Tập xác định D 

' 3 6 3

y  x  x m

Yêu cầu bài toán  Phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x thỏa mãn y x y x 

   

1 . 2 0.

Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt 10  m (*)0

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là



1; 1





2; 2



A x y B x y

Ta có





. 2 1

3 3

x

y   y m x

 

Do đó y1y x

 

1 2



m1



x1

y2 y x

 

2 2



m1



x2

   

1 . 2 0 4





2 1. 2 0

y x y x   m x x 

 x x1. 2   0 m 0 m 0

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn bài tốn 0

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
2 5,0

a n *,

   ta có un1 2un 5 un1 5 2



un5



Đặt wn un 5,  n *.

Khi đó wn12 ,wn   n *.

Do đó



wn



là cấp số nhân có w1u1  cơng bội 5 7, q  2.

Suy ra 1. 1 7.2 ,1 *.

n n

n

w w q   n

    

Vậy un 7.2n 1 5, n *.


    
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b

Chứng minh được vn 0,  n *.

Khi đó

1 2

2 2 1

, .

1 2108 2 2018. 2018

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Mặt khác,    ta có n *,





1 2 2 2

1 2018

2 2018

1 2018 1 2018 1 2018

n n

n n n

v v

v v v




     
  
1,0

3





2 2

2 2 2 2

2 1 (1)

1 1 (2)

xy x y x y

x y y x x y x

    


    


4,0

Điều kiện xy 0

Ta có x2 1 x0,   nên x y 0 khơng thỏa mãn (2). Do đó

y  Suy ra x  không thỏa mãn (1).0

Nếu x y, cùng âm thì (1) vơ lí. Do đó x y, cùng dương.

Suy ra



 



2 2

(2) x 1 x y y 1 1

x

     

2
2

1 1 1

1 y y 1 y

x x x

     

(3)

Xét hàm số f t( )t t2  trên khoảng 1 t



0;



Ta có

2
2

( ) 1 1 0, 0

1
t

f t t t

t

       



Suy ra f t( ) đồng biến trên



0;



Do đó

 

1 1

(3) f f y y xy 1

x x

 

      

 

Thay xy 1 vào phương trình (1) ta được





2 2









2 x y 1 x y  x1  y1  0 x y 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



x y ;

 

1;1



0,25
0,5
0,25
0,5
0,25

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
4 5,0

a Gọi I là giao điểm của AD và BC .
Ta có IB2 IA ID IC.  2.

Suy ra IB IC .

Do đó I là trung điểm của BC Hay đường thẳng . AD đi qua trung
điểm I của BC .

0,25
0,75
0,25
0,25

b

Chứng minh được BHC BDC  . Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp. 1,0
1,0
A

B C

E
F H D

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chứng minh AFHD nội tiếp

Chứng minh EF BC HD, , đồng qui

</div>

Đề thi học sinh giỏi Toán khối 12 năm 2018 – 2019 tỉnh Bình Thuận

<i><b>Bài 1 (6,0 điểm).</b></i>

<i>a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2</i>

<i>x y</i>

 

0.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

.

<i>x</i>

<i>xy y</i>

<i>P</i>

<i>x</i>

<i>xy y</i>











<i>b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số</i>

<sub>3</sub>

<sub>3</sub>

<i>y x</i>





<i>x</i>



<i>mx m</i>



<sub> có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hồnh.</sub>

<i><b>Bài 2 (5,0 điểm).</b></i>

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 

<i>u</i>

<sub> biết </sub>

<i>u  và </i>

2

<i>u</i>



2

<i>u</i>



5,

 

<i>n</i>

.

b) Cho dãy số

 

<i>v</i>

<sub> thỏa mãn </sub>

<i>v </i>

2018

1 ,

2

<sub>,</sub>

1 2018

<i>v</i>

<i>v</i>

<i>v</i>





<i><sub>n</sub></i>

   Chứng minh

rằng

<i>v</i>



<i>v</i>

,

  

<i>n</i>

.

<i><b>Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình </b></i>





2

1

.

1

1

<i>xy x y</i>